《索洛增长模型》
索洛增长模型
稳态分析的图形
y
yA
syA
A
0
kA
(n+g+δ)k
f(k) sf(k)
k
图中，sf(k)为人均储蓄曲线，它与 人均生产函数有相同形状但是位于生 产函数的下方。另外一条直线表示资 本的广化。
根据稳态分析，sy= （n+g+δ）k， 此时（n+g+δ）k线和sy曲线相交， 交点A所对应的人均资本为kA，人均 产量为yA，这时人均储蓄恰好等于资 本广化的需要，即
当经济处于资本深化阶段时，产出的增长 会快于人口的增长，人均产出水平会不断 提高。因此对于资本贫乏的国家，其产出 增长率会高于资本充裕的国家，但是随着 资本深化的提高，他将日益接近于稳定增 长的人均资本水平，经济增长率最终会慢 下来。因此当经济偏离稳定状态时，无论 人均资本过多还是过少，都存在着某种力 量使其恢复到长期增长的均衡状态。这是 新古典经济增长理论对哈罗的模型的改进。
y
人均产出和增长率随时间变化的轨迹
y0
0
t0
t1
t
g
0
t
上图的上半部分显示了人均产出水平 的时间路径。储蓄率的提高增加了人 均资本占有量从而人均产量提高，直 到达到新的稳定状态。
下半部分则显示了人均产量增长率的 时间路径。储蓄率的增加会导致资本 积累，实现人均产量水平的暂时性较 高增长，但是随着资本积累，人均产 量的增长率最终会回落到人口增长率 水平。
Байду номын сангаас
储蓄率变动对消费的影响
若将家庭引入模型，其福利将取决于消费而非产量， 因此在许多情况下，我们可能只关心消费变动而非产 量变动。
率为n，知识增长率为g。
索洛增长模型的基本结论与意义
索洛增长模型的基本结论与意义
索洛增长模型是一种用来度量经济增长的模型，其是经济学家和政策分析师使用的一种实用工具。
索洛增长模型由经济学家和金融顾问斯蒂芬·索洛发明。
它主要用来测量经济增长，并估计经济政策对经济的影响。
索洛增长模型的基本结论是保持通货膨胀的同时，可以以最低的成本获得经济增长。
它强调的是，与货币政策相比，调整税收和通货膨胀的政策可以更有效地实现经济增长。
该模型最初由斯蒂芬·索洛（Stephen Sloan）提出，他认为，有必要创造
稳定的货币政策环境，以确保有效的经济增长。
因此，索洛增长模型是一个非货币性的经济政策方法。
索洛增长模型试图在可能的最小成本下实现经济增长。
它还试图测量不同经济政策对经济增长的影响。
它提出，唯一可以保证经济活动和持续增长的疗法是在通货膨胀的条件下进行政府财政政策的调整，包括更多的政府投资和税收减免政策，以及定期释放更多的财政政策。
该模型的核心意义在于，政府采取财政政策的正确组合，可以最大限度地提高经济增长和增加福利，同时不会导致通货膨胀或失业，从而帮助政府在有限的财政资源中实现最高的经济增长率。
总之，索洛增长模型试图解决经济增长问题，减少物价的上涨和失业的出现，以及提供更高的社会福利。
它的存在为经济政策制定者们提供了一个更好的了解，以协调政府的财政政策，并有效利用公共收入来推动经济发展。
4讲 经济增长：索洛模型和内生增长模型
这一模型的政策含义是：由于经济增长 率不仅与人口增长率，而且也与储蓄率 技术进步相关，因而政府采取促进积累 和提高技术水平的政策对经济增长也将 起到重要作用Sf(k)=nk NhomakorabeaSf(k)
△k=0
k=K/L
可见，稳定状态的条件是Sf(k)=nk 。图中， 如果Sf(k)>nk , △k>0
如果Sf(k)<nk , △k<0,这会引起经济的扩张
和收缩
当△k=0时,经济处于稳定状态.此时,经济增长 率由n决定
如果考虑折旧因素：
稳定条件为Sf(k)=(n+ δ)k
生产函数 Y=AK 式中，A为反映技术水平的正的常数，K为资
本存量
假定没有人口增长与资本折旧，则所有的储 蓄都转化为资本存量的增量，于是有
△K=SY=SAK 或 △K/K=SA 这样，储蓄率S就影响到了资本增长率△K/K
进一步，既然产量与资本成比例：产量增长 率也等于 △Y/Y=SA
这样情况下，储蓄率越高，产量的增长 率也越高
f(k)
c
δK
y
Sf(k)
I
k
任意某个资本存量上，引一条垂直横轴的线
图中符合黄金规则的资本存量是K，对应的消费水 平最高。此时，产出线的斜率f’(k) 与折旧线的斜率
δ相等
内生增长模型
索洛模型所作的是外生技术进步的假设， 按照内生增长理论，使稳定增长率内生 的有两条途径。一是将技术进步率内生 化；二是通过某些方式使稳定增长率被 要素的积累所影响。第二种途径的内涵 可以用AK模型来说明
课程资料：第2节 索洛增长模型
第二节 索洛增长模型变量定义：Y ：总产出；K ：总资本，L:劳动力总量，A ：技术进步参数，C ：总消费，S:总储蓄， s ：储蓄率， I:总投资，d ：折旧率。
增长的解释框架索洛（R.Solow,1957）从生产函数入手分析决定经济增长的决定因素。
建立总量生产函数：产量（Q ）是资本存量(K)、劳动投入(L)和技术状态(T)的函数： Q=Q(K,L,T)假定：技术变化引起K 和L 边际产量的同等增加，因此，上式可以改写为Q=TF(K,L)产量变化：(,)K L Q TF K L TF K TF L ∆=∆+∆+∆在生产函数为规模报酬不变和完全竞争条件下，一、假设1. 生产一种产品2. 简单比例的储蓄函数：,01S sY s =<<（储蓄率s ：外生不变）3. 资本存量的变化：K I dK ∆=-,（折旧率d ：外生不变）假设储蓄全部转化为投资，则资本存量的变化：K sY dK ∆=-4. 劳动力按一个外生的不变比率n 增长：L n L∆= 5. 生产函数的技术进步是劳动增进型技术进步（Harrod Neutral ）：技术进步参数A 与L 结合，AL 称为有效劳动（effective labors ），技术进步使劳动者工作效率的提高可视为技术进步使得劳动者的数量增加。
(,)Y F K AL =，技术的增长率为g ：A g A∆=，因此，有效劳动的增长速度为（n+g ）。
6. 假设生产函数规模报酬不变，因此，生产函数的集约形式为： ()/,/y f k y Y AL k K AL = ==y :单位有效劳动产出；k ：单位有效劳动资本生产函数满足下列条件：（1） 资本的边际产量记为：()f k ' ，()f k ' >0，()f k '' <0 (0)0f =，()f ∞=∞（2） 稻田条件（Inada Conditions ）: 0lim ()k f k →'=∞，lim ()0k f k →∞'= 二、新古典经济增长模型 该模型描绘出在整个时期中资本-有效劳动比的轨迹。
索洛增长模型
在A点的左边，sy曲线比（n+g+δ）k
线高，这表明储蓄高于资本广化的需 要，会导致人均资本k的提高，从而使 产出增加，k会不断向kA靠近，直到最 终用于资本广化的储蓄等于全部储蓄， 而人均占有的资本数量保持不变，经 济增长达到稳定状态。 在A点的右边，情况完全相反。
当经济处于资本深化阶段时，产出的增长
y
人均产出和增长率随时间变化的轨迹
y00 gFra bibliotekt0t1
t
0
t
上图的上半部分显示了人均产出水平
的时间路径。储蓄率的提高增加了人 均资本占有量从而人均产量提高，直 到达到新的稳定状态。 下半部分则显示了人均产量增长率的 时间路径。储蓄率的增加会导致资本 积累，实现人均产量水平的暂时性较 高增长，但是随着资本积累，人均产 量的增长率最终会回落到人口增长率 水平。
由于K / AL k , L/ L n, A/ A g , K sY (t ) K (t ),则， sY (t ) K (t ) Y (t ) k (t ) k (t )n k (t ) g s k (t ) nk(t ) gk(t ) A(t ) L(t ) A(t ) L(t ) 应用Y / AL f (k ), 有 k (t ) sf (k (t )) (n g )k (t )
索罗模型的定量含义
前面我们对储蓄率变动 对增长产生的水平影响 的解释如果成立，取决 于经济体系从前一个均 衡增长向后一个均衡增 长路径收敛的速度，如 果 需要上百年的时间才能 最终收敛，那么这种水 平 效应的认识就毫无意义 。下面我们将对这一过 程 作定量化分析。
储蓄率上升对产量的影 响
索洛增长模型名词解释
索洛增长模型名词解释
一、概念
索洛增长模型，又称作新古典经济增长模型或外生经济增长模型，是 Solow 于 1956 年首次创立的经济增长模型。
该模型旨在说明储蓄、资本积累和经济增长之间的关系，是分析以上三个变量关系的主要理论框架。
二、原理
索洛模型对经济总体的增长贡献被设定为由劳动、资本和技术进步三者组成。
该模型假设边际生产递减的一次齐次的总生产函数，满足稻田条件，储蓄率一定，技术进步为外生等条件。
在此基础上，得出了政府政策对于经济增长的作用是无效的结论。
三、应用
索洛模型的应用十分广泛，可以用于分析国家和地区的经济增长情况，为企业和政府制定经济政策提供理论依据。
例如，通过索洛模型可以分析资本积累、技术进步、劳动力等因素对经济增长的贡献，以及各种政策对经济增长的影响。
四、影响
索洛模型的创立对经济增长理论产生了深远的影响。
一方面，该模型提出了储蓄、资本积累和技术进步是经济增长的重要因素，为经济增长理论研究提供了新的视角和思路。
另一方面，该模型得出的政府政策无效论使人们意识到，政府政策并非万能，经济增长还需要依靠市场机制和内在动力。
然而，需要注意的是，索洛模型存在诸多假设条件，如边际生产递减、储蓄率一定等，这些假设条件在现实经济中并不完全符合。
因此，在应用索洛模型进行分析时，需要结合实际情况进行调整和改进，以更好地解释和预测经济增长。
总之，索洛增长模型作为一种重要的经济增长理论框架，对于分析和理解经济增长的基本原理和机制具有重要意义。
索洛增长模型
y* f k * k * s, n, g,
s
s
k *是k 0来决定的，因此k *满足：
sf k * s, n, g, n g k * s, n, g,
sf k * k * f k * n g k *
s
s
k * s
n
g
f k *
sf
k *
2.储蓄率增加的影响程度分析
，
Y FK K FAL AL
❖ 其中 FK 是资本的边际生产力，FAL是有效劳动的边际 生产力。由于资本与有效劳动以同样的增长率 n g
在增长，所以， 。 K(t) (n g)K(t)
•
(AL)(t) (n g)A(t)L(t)
Y的增长率
❖ 从以上可推导：
Y(t)
FK
K(t)
FAL
(
•
（劳动密集型）； ❖ 生产函数的集约形式满足新古典假设； ❖ 人口增长率、知识增长率、储蓄率、资本折旧率都等于常数，
人口和知识呈指数增长。
（二）模型的动态学
❖ k的动态变化
kt dk d K t AtLt
dt
dt
Kt At Lt
K t
At Lt
2
AtLt
Lt At
Kt At Lt
K t At Lt
在平衡增长路径上，资本获得的总收入（完 全竞争市场假设）：
k * f k *
所以 K k * 可以用资本收入占总收入的比重来
估计
完全竞争市场假设
单位资本报酬=f (k*)，
所以总资本报酬=f (k*) k*
资本报酬占总产出的比例=
f (k*) k* f (k*)
=
索洛增长模型及稳定详解
模型假设模型假设:1、该模型假设储蓄全部转化为投资，即储蓄-投资转化率假设为1;2、该模型假设投资的边际收益率递减，即投资的规模收益是常数;3、该模型修正了哈罗德-多马模型的生产技术假设，采用了资本和劳动可替代的新古典科布-道格拉斯生产函数，从而解决了哈罗德-多马模型中经济增长率与人口增长率不能自发相等的问题。
该模型假设储蓄全部转化为投资，即储蓄-投资转化率假设为1; 该模型假设投资的边际收益率递减，即投资的规模收益是常数; 该模型修正了哈罗德-多马模型的生产技术假设，采用了资本和劳动可替代的新古典科布-道格拉斯生产函数，从而解决了哈罗德-多马模型中经济增长率与人口增长率不能自发相等的问题。
因为在科布-道格拉斯生产函数中，劳动数量既定，随资本存量的增加，资本的边际收益递减规律确保经济增长稳定在一个特定值上。
该模型没有投资的预期，因此回避了有保证的经济增长率与实际经济增长率之间的不稳定，就此可得出结论:经济稳定增长。
编辑本段模型变量外生变量:储蓄率、人口增长率、技术进步率内生变量:投资模型的数学表达其中，K--资本;L--劳动;A--技术发展水平;I--毛投资;S--储蓄;k--有效劳动投入之上的资本密度;s--边际储蓄率;n--人口增长率;g--技术进步率;δ--资本折旧率;y--有效劳动投入之上的人均国内生产总值。
索洛增长模型的假设{①生产和供给方面:Y=F(K，L)，劳动和资本可以平滑替代，规模报酬不变，稻田条件(公式)，在生产函数两边同除以L--y=F(k,1)=f(k)，所有符号均代表人均产量;需求方面:y=c+i，c=(1-s)y，y=(1-s)y+i，i=sy=s f(k)}，资本存量的变化{△k=i-δk= s f(k)-δk}，投资、折旧和资本存量的"稳态"(图，储蓄率对稳态的影响，资本积累能提高产出水平，但是无法实现经济持续增长，"黄金律水平"{c*=f(k*)-δk*，条件:MPK=δ}，一个经济肯定会自动收敛于一个稳定状态，但并不会自动收敛到一个"黄金律水平"的稳定状态编辑本段模型结论经济增长的路径是稳定的编辑本段模型评价在索罗模型中，较高的储蓄导致较快的经济增长，但是，这只是暂时的。
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第一章 索洛增长模型一、索洛模型的介绍与一些前提假设条件该模型是经济学家传统上用于分析经济增长的主要模型。
几乎对于所有有关增长的分析而言，索洛模型是其起点。
理解该模型实质上便是理解增长理论。
但该模型也存在缺陷：它不能解释不同时间上人均产出的巨大增长，也无法解释地域上不同人均产出的巨大差距。
（按边际产品取得收益的传统途径）。
()((),()())Y t F K t A t L t =假设：（1）生产函数关于两个自变量是规模报酬不变的，即资本与有效劳动是规模报酬不变的((,)(,),0)F cK cAL cF K AL c =∀≥；（2）除资本、劳动与知识以外的其他投入是相对不重要的，特别地，模型忽略了土地与其他自然资源。
规模报酬不变的假设可以让我们利用紧凑形式的生产函数进行分析：当11/,(,)(,)(,1)(,)K c AL F cK cAL cF K AL F F K AL AL AL ==⇒=，其中，KAL是单位有效劳动的资本量，1(,)F K AL AL 是单位有效劳动的产出。
定义Kk AL=，/y Y AL =，及(,1)y F k =()y f k ⇒=，即把单位有效劳动的产出写成单位有效劳动的资本量的函数。
[人均收入：/(/)()Y L A Y AL Af k ==]紧凑型生产函数()f k 假定满足(0)0f =，'()0f k >，''()0f k <。
因为：'(,)(/)(,)/(/)(1/)F K AL ALf K AL F K AL K ALf K AL AL =⇒∂∂='()f k = '()0f k >，''()0f k <的假设意味着资本的边际产品为正，但它随每单位有效劳动的资本量的增加而下降。
另()f •被假设满足稻田条件：''0lim (),lim ()0k k f k f k →→∞=∞=，其意思是在资本存量充分小量资本的边际产品是十分大的，而当资本存量变大时，资本的边际产品变得十分小。
，它是确保经济的路径并不发散。
（举例柯布－道格拉斯生产函数，说明满足稻田条件的意义） 二、生产投入的时间变化描述资本、劳动与知识的初始水平给定的，劳动与知识以不变的增长率增长：()()L t nL t •=，()()A t gA t •=（n 与g 是外生参数，而变量上的一点表示关于时间的一个导数，()()/L t dL t dt •=，为变量的变化率。
而变量的增长率指其变化的速率，它等于其自然对数的变化率，如，ln ()()1ln ()/()()()d L t dL t n d L t dt L t dL t dt L t •===。
ln ()ln (0)L t L nt⇒=+()(0)nt L t L e ⇒=（同理可得出()(0)gt A t A e =）假设产出仅在消费与投资之间分配，其中投入投资的产出份额s 是外生且不变的，投入投资的一单位产出可获得一单位的新资本。
现有资本以速率δ折旧，即有：()()()K t sY t K t δ•=-（索洛模型简化：只存在一种单一的产品，政府不存在，就业波动被忽视，生产正好可用于三种投入的总生产函数描述，并且储蓄率（s ）、折旧（δ）、人口增长（n ）与技术进步（g ）不变。
）三、模型的动态学解释1、k 的动态学由于/k K AL =，求关于时间t 的导数，可得：2()()()()()K K K K L K A k A L L A AL AL AL AL L AL A sY K nk gk ALsf k k nk gk sf k k n g δδδ•••••••=-+=---=--=---=-++ 它表示单位有效劳动的资本存量的变化率（k •）为如下两项的差：第一项()sf k 为每单位有效劳动的实际投资；第二项()k n g δ++为持平投资，即为使k 保持在现有水平上所必须进行的投资量。
理由是现有资本正在折旧及有效劳动量正在以（n g +）的速率增长。
（1）实际与持平投资图：（稻田条件保证了上图的实际投资曲线先陡峭，后下降，且只有相交一个点） （2）相位图：用相位图说明作为k 的函数的k •的变化：如果k 初始小于*k ，实际投资大于持平投资，因而k •为正，反之，如果k 大于*k ，实际投资小于持平投资，因而k •为负，如果k 等于*k ，则k •为零。
因此，无论k 在哪里开始，它总会收敛于*k 。
索洛模型中k 的相图（3）平衡增长路径：当k 收敛于*k ，则劳动与知识正分别以速率n 与g 增加。
资本存量K 等于ALk ，由于k 在*k 处不变，那么，K 正以速度n g +增长，在资本与有效劳动正以速率n g +增长的条件下，规模报酬不变的假设意味着产出Y 正以该速率增长。
人均资本（K/L ）及人均产出(Y/L)正以速率g 增长。
即意味着，无论其起点在何处，经济总会收敛于一个平衡增长路径，模型的每个变量正以一个不变的速率增长，人均产出增长率只由技术进步惟一地决定。
四、储蓄率变化的影响政策最有可能影响索洛模型有参数是储蓄率。
1、对产出的影响。
s 的增加把实际投资线向上移动，因而*k 上升，如图：用于投资的储蓄率增加的效应k 不会立即跳跃到*k的新值上。
当k 初始等于*k 的旧值，实际投资大于持平投资，k•为正。
因此，k 开始上升，且持续上升，直到达到*k 的新值才保持不变。
如下图所示：k在这里，0t 表示储蓄率增加的时刻，依据假设，s 在0t 时刻跳跃，并且在此后保持不变。
由于s 的跳跃使实际投资以一个正的数量大于持平投资，k •由0跳跃到一个严格的正的数量上。
k 逐渐由*k 的旧值上升到其新值上，并且k •逐渐地返回到零。
此外，每个工人的平均产出Y/L 等于()Af k 。
当k 不变时，Y/L 以A 的增长率（g ）增长。
当k 正在增加时，Y/L 的增长起因于A 在增长，也起因于k 在增加。
因而Y/L 的增长率大于g 。
然而，当k 达到*k新值时，只有A 的增长对Y/L 的增长产生作用。
Y/L 的增长率恢复到g 。
因此，储蓄率的永久性增加产生了每个工人的平均产出增长率的暂时性增加。
此时k 的上升，最终会增加至新增储蓄率被用于维持k 的高水平。
每个工人的产出增长率初始为g ，在0t 时刻向上跳跃，然后返回到其初始水平。
因而每个工人的平均产出开始上升并且高于其处在平衡路径上时的水平，并且接着逐渐返回到一个较高的路径上，后者同第一个路径平行。
储蓄率的变化具备水平效应，但不具备增长效应，它改变了经济的平衡增长路径，因而也改变了任何时点上每个工人的产出水平。
但这并不影响平衡路径上每个工人的平均产出增长率。
在索洛模型中，只有技术进步的增长率的变化具有增长效应，所有其他变化只会产生水平效应。
2、对消费的影响每单位有效劳动的消费等于每单位有效劳动的产出乘以该产出用于消费的份额1s -。
(1)()s f k -。
s 在0t 时刻处呈非连续的变化每单位有效劳动的消费初始发生向下跳跃。
随着k 的上升与s 仍处在较高水平上，消费逐渐地上升。
储蓄对消费的影响分析：假设*c 表示均衡增长路径上单位有效劳动的消费。
即***()()c f k sf k =-。
在平衡增长路径上，实际投资等于持平投资*()n g k δ++。
因此， ***()()c f k n g k δ=-++，其中，*k 是由s 、n 、g 与δ决定的。
因此，可将*k 表示为：**(,,,)k k s n g δ=。
对上式求关于s 的导数，得：**'*(,,,)[((,,,))()]c k s n g f k s n g n g s sδδδ∂∂=-++∂∂ 由于s 的增加会提高*k ，即*(,,,)0k s n g sδ∂>∂，那么，s 的增加是否在长期内提高或降低消费，这取决于资本边际产品'*()f k 是否大于或小于()n g δ++。
当k 的上升，每单位有效劳动的投资的增加必定会等于()n g δ++与k 的乘积，以便使增加可被维持。
如果'*()f k 是小于()n g δ++，那么，由增加的资本所获得的产出的增加并不足以把资本存量维持在较高水平上，消费必定下降以便保持较高的资本存量。
如果'*()f k 是大于()n g δ++，那么，由必存在相当高的产出去保持k 处在较高水平上，消费上升。
（s 的上升是否提高或降低消费取决于*k 是处在()f k 的斜率的大小，如果'*()f k 大于持平投资的斜率()n g δ++，则s 的上升提高消费；'*()f k 小于持平投资的斜率()n g δ++，则s 的上升降低消费，'*()f k 等于持平投资的斜率()n g δ++－平行，则s 的的边际变动不会对消费产生影响，且在各种平衡增长路径上，消费处在其最大的可能水平上。
此时的*k 值就是著名的资本存量的黄金律水平。
3、储蓄在长期内对产出的影响（定量分析）：**'*(,,,)()y k s n g f k s sδ∂∂=∂∂ （1） 为求出*y s∂∂，需先求出*k s ∂∂，我们知道，*k 是由k •＝0的条件界定的，因此，*k 满足：**((,,,))()(,,,)sf k s n g n g k s n g δδδ=++对上式求关于s 的导数，则得出：**'**()()()k k sf k f k n g s sδ∂∂+=++∂∂**'*()()()k f k s n g sf k δ∂⇒=∂++- （2）把（2）式代入（1）式得到：*'**'*()()()()y f k f k s n g sf k δ∂=∂++- （3） 将（3）两边同乘以*/s y 转变为弹性，另利用**()()sf k n g k δ=++去替换s ，得到：*'****'**'**'**'***'***'***'**()()()()()()()()()()()()()()()()/()()()(1()/())s y s f k f k y s f k n g sf k n g k f k f k n g sf k n g k f k f k n g n g k f k f k k f k f k k f k f k δδδδδδ∂=∂++-++=++-++=++-++=-由于*'**()/()k f k f k 是在*k k =处的产出关于资本的弹性。
用*()K k α表示这个弹性，即可获得：****()1()K K k s y y s k αα∂=∂- 如果市场是竞争性的，并且不存在外部性，资本获得其边际产品，那么，在平衡增长路径上的每单位有效劳动的资本获得的总产出量是*'*()k f k 。