初中数学 专题一多解填空题类型1
初中数学中考一轮复习专题1数与式重点、考点知识、方法总结及真题练习
在实数范围内，正数和零统称为非负数.我们已经学习过的非负数有如下三种形式：
（1）仸何一个实数 a 的绝对值是非负数，即| a |≥0； （2）仸何一个实数 a 的平方是非负数，即 a2 ≥0； （3）仸何非负数的算术平方根是非负数，即 a 0 ( a 0 ).
非负数具有以下性质： （1）非负数有最小值零； （2）有限个非负数乊和仍是非负数； （3）几个非负数乊和等于 0，则每个非负数都等于 0. 4.实数的运算
a a (a 0, b 0) bb
②.加减法
将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数丌变，
即合并同类二次根式.
【典例】
1.计算：5 +
﹣×+ ÷．
【答案】 【解析】解：原式= + ﹣
+3 ÷
=2 ﹣1+3
=2 +2．
x xy xy y
2.若 x 0 ，化简
注：单独一个字母戒一个数也是代数式.
2.代数式的分类：
3.代数式的书写规则： （1）数字不字母相乘戒字母不字母相乘，通常把乘号写作“ ”戒省略丌写，字母乊间的
顺序可以交换，但一般按字母表中的先后顺序写.数字应在字母乊前.如： 3b 丌要写成 b3 （2）在代数式中出现除法运算时，一般都变成分数和乘法来计算.如： 2a b 写成 2a
x
2
0
即
x
1 且x 2
2
.
【难度】易
【结束】
2.若
，则 ( )
A. b＞3B. b＜3C. b≥3D. b≤3
【答案】D.
【解析】
3 b = 3 b ,所以 3 b ≥0,即 b 3 .
2021年中考数学专题训练：《数与式》填空题专项培优(一)
2021年中考数学专题训练：《数与式》填空题专项培优（一）1．2020年6月9日，我国全海深自主遥控潜水器“海斗一号”在马里亚纳海沟刷新了我国潜水器下潜深度的纪录，最大下潜深度达10907米．假设以马里亚纳海沟所在海域的海平面为基准，记为0米，高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地的高度记为+100米，根据题意，“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，该处的高度可记为米．2．定义：A＝{b，c，a}，B＝{c}，A∪B＝{a，b，c}，若M＝{﹣1}，N＝{0，1，﹣1}，则M ∪N＝{ }．3．点A在数轴上的位置如图所示，则点A表示的数的相反数是．4．2020的相反数是．5．计算：|﹣5|＝．6．﹣6的倒数是．7．用“＞”或“＜”符号填空：﹣7 ﹣9．8．计算：|﹣2+3|＝．9．计算：﹣2﹣1＝．10．P为正整数，现规定P!＝P（P﹣1）（P﹣2）…×2×1．若m!＝24，则正整数m＝．11．计算：（﹣12）÷3＝．12．计算：23﹣（﹣2）＝．13．定义一种新运算：x*y＝，如2*1＝＝2，则（4*2）*（﹣1）＝．14．今年夏季我国南方多地连降暴雨，引发了严重的洪涝灾害，给国家和人民的财产造成了严重的损失，为支持地方各级政府组织群众进行抗灾自救，国家发展改革委员会下达了211000000元救灾应急资金支持暴雨洪涝灾区用于抗洪救灾，则211000000元用科学记数法表示为元．15．医学家发现了一种病毒，其长度约为0.00000029mm，用科学记数法表示为mm．16．据统计，参加“崇左市2015年初中毕业升学考试”的人数用科学记数法表示为1.47×104人，则原来的人数是人．17．人工智能AlphaGo，因在人机大战中大胜韩国围棋手李世石和我国选手柯洁而声名显赫，它具有自我对弈的学习能力，决战前已做了两千万局的训练（等同于一个近千年的训练量）此处“两千万”用科学记数法表示为（精确到百万位）．18．7的平方根是．19．9的算术平方根是．20．已知a、b满足（a﹣1）2+＝0，则a+b＝．21．计算：＝．22．请写出一个无理数．23．﹣5的绝对值是；的立方根是．24．如图，数轴上点A表示的实数是．25．若a＝（π﹣2020）0，b＝﹣（）﹣1，c＝|﹣3|，则a，b，c的大小关系为．（用“＜”号连接）参考答案1．解：∵规定以马里亚纳海沟所在海域的海平面0米，高于海平面的高度记为正数，∴低于海平面的高度记为负数，∵“海斗一号”下潜至最大深度10907米处，∴该处的高度可记为﹣10907米．故答案为：﹣10907．2．解：∵M＝{﹣1}，N＝{0，1，﹣1}，∴M∪N＝{1，0，﹣1}，故答案为：1，0，﹣1．3．解：∵点A在数轴上表示的数是3，∴点A表示的数的相反数是﹣3．故答案为：﹣3．4．解：2020的相反数是：﹣2020．故答案为：﹣2020．5．解：|﹣5|＝5．故答案为：56．解：因为（﹣6）×（﹣）＝1，所以﹣6的倒数是﹣．7．解：∵|﹣7|＝7，|﹣9|＝9，7＜9，∴﹣7＞﹣9，故答案为：＞．8．解：|﹣2+3|＝1，故答案为：19．解：﹣2﹣1＝﹣3故答案为：﹣310．解：∵P!＝P（P﹣1）（P﹣2）…×2×1＝1×2×3×4×…×（p﹣2）（p﹣1），∴m!＝1×2×3×4×…×（m﹣1）m＝24，∵1×2×3×4＝24，∴m＝4，故答案为：4．11．解：原式＝﹣4．故答案为：﹣412．解：23﹣（﹣2）＝8+2＝10．故答案为：10．13．解：4*2＝＝2，2*（﹣1）＝＝0．故（4*2）*（﹣1）＝0．故答案为：0．14．解：211000000的小数点向左移动8位得到2.11，所以211000000用科学记数法表示为2.11×108，故答案为：2.11×108．15．解：0.00000029＝2.9×10﹣7，故答案为：2.9×10﹣7．16．解：1.47×104是用科学记数法表示的数是14700，故答案为14700．17．解：“两千万”精确到百万位，用科学记数法表示为2.0×107，故答案为：2.0×107．18．解：7的平方根是±．故答案为：±．19．解：∵（±3）2＝9，∴9的算术平方根是3．故答案为：3．20．解：∵（a﹣1）2+＝0，∴a＝1，b＝﹣2，∴a+b＝﹣1．故答案为：﹣1．21．解：∵23＝8∴＝2故答案为：2．22．解：是无理数．故答案为：．23．解：﹣5的绝对值是5；的立方根是．故答案为：5，．24．解：由图形可得：﹣1到A的距离为＝，则数轴上点A表示的实数是：﹣1．故答案为：﹣1．25．解：∵a＝（π﹣2020）0＝1，b＝﹣（）﹣1＝﹣2，c＝|﹣3|＝3，∴b＜a＜c．故答案为：b＜a＜c．。
人教版初中数学-学年九年级上学期期末专题复习 专题1：一元二次方程 解析版
人教版初中数学2019-2020学年九年级上学期期末专题复习专题1：一元二次方程一、单选题1.下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A. x2+2y=1B. ﹣2=0C. ax2+bx+c=0D. x2+2x=12.一元二次方程x2-x-4=0的一次项系数和常数项分别是（）A. 1，-1B. 1，-4C. -1，-4D. -1，43.将一元二次方程化为一般形式，正确的是（）A. B. C. D.4.方程的解是（）A. B. C. ， D.5.关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有实数根,则k的取值范围是( )A. k>-1或k≠0B. k≥-1C. k≤-1或k≠0D. k≥-1且k≠06.一元二次方程x2+4x+2=0的根的判别式的值为（）A. 8B. 24C.D.7.已知x1、x2、是一元二次方程x2+x-2=0的两个根，则x1+x2+x1x2的值为（）A. 1B. -3C. 3D. -2二、填空题8.方程x2-2ax+3=0有一个根是1，a的值是________。
9.若代数式可化为，则=________，=________.10.定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时，min{a，b}=b；当a＜b时，min{a，b}=a，如：min{1，-2）=-2，min{-3，-2）=-3，则方程min{x，-x}=x2-1的解是________.三、计算题11.解下列方程。
（1）x2-5x+6=0（2）(2x＋1)(x－4)＝5.12.（1）先化简，再求值：（x-2y）2-x（x+3y）-4y2，其中x=-4，y= .（2）已知：x+y=6，xy=4，求下列各式的值x2+y213.按要求解一元二次方程（1）4x2﹣8x+1=0（配方法）（2）7x（5x+2）=6（5x+2）（因式分解法）（3）3x2+5（2x+1）=0（公式法）（4）x2﹣2x﹣8=0．（5）(6x－1)2＝25；四、解答题14.如图，在宽为20m，长为27m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为450 ，求道路的宽．15.要组织一次篮球邀请比赛，参赛的队伍每两个队都要比赛一场.赛程安排7天,每天比赛4场,问组织者应该邀请多少个队参赛?五、综合题16.已知关于x的一元二次方程x2+x+m﹣1＝0．（1）当m＝0时，求方程的实数根．（2）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．17.在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且握手1次．（1）若参加聚会的人数为3，则共握手________次；若参加聚会的人数为5，则共握手________次；（2）若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手________次；（3）若参加聚会的人共握手28次，请求出参加聚会的人数．（4）嘉嘉由握手问题想到了一个数学问题：若线段AB上共有m个点（不含端点A，B），线段总数为多少呢？请直接写出结论．答案解析部分一、单选题1. D解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项不符合题意；C、当a=0时不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D、是一元二次方程，故本选项符合题意；故答案为：D．【分析】一元二次方程是指含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程，根据定义判断即可．2. C解：一元二次方程x2-x-4=0的一次项系数时-1，常数项是-4，故C正确。
中考数学 新定义题型专题01 数与式中的新定义问题(老师版)
专题01 数与式中的新定义问题一、考情分析"新定义"型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型。
它一般分为三种类型： (1)定义新运算;(2)定义初、高中知识衔接"新知识"; (3)定义新概念。
这类试题考查考生对"新定义"的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将"新定义"的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题.利用的数学思想：（1）转化的思想，把未知的问题转化为学过的知识解决。
（2）对全新的概念，需要灵活的迁移运用。
二、精选考题1．定义新运算：对于任意实数a 、b ，都有13a b a b =-⊗，则12x x -⊗⊗的值为 1 ． 【解答】解：13a b a b =-⊗， 12131(132)x x x x ∴-=---⊗⊗131132x x =--+1=．故答案为：1．2．定义新运算：对于任意实数a ，b ，都有a ⊕(1)b a b b =+-，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：3⊕23(21)2927=⨯+-=-=． （1）2⊕(3)-= 1- ．（2）若2-⊕x 等于5-，则x = ． 【解答】解：（1）原式2(31)(3)=⨯-+-- 2(2)3=⨯-+ 43=-+1=-．故答案为：1-．（2）由题意可知：2(1)5x x -+-=-， 225x x ∴---=-， 33x ∴-=-， 1x ∴=，故答案为：1．3．对于任意实数a ，b ，定义关于“⊗”的一种运算如下：2a b a b =+⊗．例如3523511=⨯+=⊗；4(3)24(3)5-=⨯+-=⊗．若()2x y -=⊗，且21y x =-⊗，则20202020x y +=20203． 【解答】解：()2x y -=⊗，2()2x y ∴+-=①． 21y x =-⊗，41y x ∴+=-②．①+②得：331x y +=． 13x y ∴+=． 2020202020202020()3x y x y ∴+=+=． 故答案为：20203． 4．对于非零的两个实数m ，n ，定义一种新运算“&”，规定2&m n m n =-，若2&(3)7-=，则(3)&(2)--的值为 11 ． 【解答】解：(3)&(2)--2(3)(2)=--- 92=+11=，故答案为：11．5．有一种用“☆”定义的新运算，对于任意实数a ，b ，都有a ☆221b b a =++．例如7☆24427131=+⨯+=．（1）已知m -☆3的结果是4-，则m = 7 ．（2）将两个实数2n 和2n -用这种新定义“☆”加以运算，结果为9，则n 的值是多少？ 【解答】解：（1）根据题意可得：m -☆233214m =-+=-， 解得：7m =； 故答案为：7；（2）根据题意可得：2n ☆(2)9n -=， 即2(2)419n n -++=， 解得：2n =或2-，(2)n -☆2242(2)19n n n =+-+=，解得：2n =-或32， 则2n =-或32或2． 6．规定：符号[]x 叫做取整符号，它表示不超过x 的最大整数，例如：[5]5=，[2.6]2=，[0.2]0=．现在有一列非负数1a ，2a ，3a ，⋯，已知110a =，当2n 时，11215([][])55n n n n a a ---=+--，则2022a 的值为 11 ． 【解答】解：110a =， 21115([]0)115a a ∴=+--=，322115([][])1255a a =+--=，433215([][])1355a a =+--=，544315([][])1455a a =+--=，65415([1][])105a a =+--=，⋯1a ∴，2a ，3a ，⋯，每5个结果循环一次，202254042÷=⋯，2022211a a ∴==，故答案为：11．7．有一种用“☆”定义的新运算：对于任意实数a ，b 都有a ☆2b b a =+．例如7☆244723=+=．（1）已知m ☆2的结果是6，则m 的值是多少？（2）将两个实数n 和2n +用这种新定义“☆”加以运算，结果为4，则n 的值是多少？ 【解答】解：（1）根据题中的新定义得：m ☆246m =+=， 解得：2m =；（2）根据题意得：n ☆(2)4n +=，即2(2)4n n ++=， 解得：0n =或5n =-； (2)n +☆224n n n =++=，解得：2n =-或1n =， 则0n =或5-或2-或1．8．请你阅读如图框内老师的新定义运算规定，然后解答下列各小题． （1）若x ⊕1y =，x ⊕22y =-，分别求出x 和y 的值； （2）若x 满足x ⊕20，且3x ⊕(8)0->，求x 的取值范围．【解答】解：（1）根据题意得4314322x y x y -=⎧⎨-⨯=-⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩；（2）根据题意得4320433(8)0x x -⨯⎧⎨⨯-⨯->⎩，解得322x-<． 故x 的取值范围是322x-<． 9．用※定义一种新运算：对于任意实数m 和n ，规定m ※23n m n mn n =--，如：1※221212326=⨯-⨯-⨯=-．则(2)-( )A ．B ．-C ．D ．【解答】解：原式2(2)(2)=--==故选：A ．10．定义：如果一个数的平方等于1-，记为21i =-，这个数i 叫做虚数单位，把形如(a bi a +，b 为实数）的数叫做复数，其中a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：(3)(53)(35)(13)82i i i i -++=++-+=+；2(1)(3)1333(13)142i i i i i i i +⨯-=⨯-+⨯-=+-++=+． 根据以上信息，完成下列问题： （1）填空：3i = i - ，4i = ； （2）计算：(2)(34)i i +⨯-； （3）计算：2342022i i i i i ++++⋯+．【解答】解：（1）321i i i i i =⋅=-⋅=-，4221(1)1i i i =⋅=-⋅-=， 故答案为：i -，1； （2）(2)(34)i i +⨯-； 6834i i =-++105i =-；（3）2342022i i i i i ++++⋯+ 111i i i =--++⋯+-1i =-．11．阅读理解：定义：如果一个数的平方等于1-，记为21i =-，这个数i 叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为(a bi a +，b 为实数），a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如计算：2(1)(23)13234i i i i i i +⨯-=-+-=-． （1）填空：3i = i - ，4i = ； （2）(7)(7)i i +-； （3）计算：2(2)i +；（4化简成a bi +的形式． 【解答】解：（1）21i =-，32(1)i i i i i ∴=⋅=-⋅=-， 4222()(1)1i i ==-=， 3i i ∴=-，41i =，故答案为：i -，1； （2）(7)(7)i i +- 249i =- 49(1)=-- 50=；（3）2(2)i + 244i i =++ 34i =+；（4=====∴= 12．先阅读下列材料，再解答后面的问题：材料：一般地，若(0n a b a =>且1a ≠，0)b >，则n 叫做以a 为底b 的对数，记为log a b （即log )a b n =．如4381=，则4叫做以3为底81的对数，记为3log 81（即3log 814)=．问题：（1）计算：2log 16= 4 ，2331(log 9)813log += ．（2）5log 5、5log 25、5log 125之间满足怎样的关系式，请说明理由． （3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？ log log a a M N += (0a >，且1a ≠，0M >，0)N >．根据幂的运算法则：n m n m a a a +⋅=以及对数的含义证明上述结论． 【解答】解：（1）4216=， 2log 164∴=，239=，4381=， 3log 92∴=，8143log =，2331(log 9)813log ∴+21243=+⨯443=+ 163=， 故答案为：4；163； （2）555log 5log 25log 125+=，理由如下： 根据题意，5log 51=，5log 252=，5log 1253=， 555log 5log 25log 125∴+=；（3）log log log ()a a a M N MN +=，证明如下：设1log a M b =，2log a N b = 则1b a M =，2b a N =，∴1212b b b b MN a a a +=⋅=，又n m n m a a a +⋅=，∴1212b b b b a a a +⋅=，即log log log ()a a a M N MN +=， 故答案为：log ()a MN ．13．定义：如果4(0,1)a N a a =>≠，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =．例如：因为2749=，所以7log 492=；因为3125s =，所以log 1253S =．则下列说法中正确的有()个．①6log 636=；②3log 814=；③若4log (14)4a +=，则50a =；④222log 128log 16log 8=+； A ．4B ．3C ．2D ．1【解答】解：166=， 6log 61∴=，故①不符合题意；4381=，3log 814∴=，故②符合题意；44256=， 14256a ∴+=，242a ∴=，故③不符合题意；72128=， 2log 1287∴=，4216=， 2log 164∴=，328=， 2log 83∴=，743=+，222log 128log 16log 8∴=+，故④符合题意；综上所述，符合题意的有2个， 故选：C ．14．对a ，b ，c ，d 定义一种新运算：a c ad bcb d =-，如232413514=⨯-⨯=，计算2x yx x y=+ 22x xy + ．【解答】解：原式2()x x y xy =+-222x xy xy =+- 22x xy =+，故答案为：22x xy +．15．阅读材料：对于任何有理数，我们规定符号a b c d 的意义是：a bad bc c d=-．例如：14232=⨯-⨯=-．按照这个规定，解决下列问题： （1）请你计算3574-的值． （2）求当3x =，1y =-时，2222332x xy yx xy y+--+的值．（3）如果2157353x x -=--，求x 的值．【解答】解：（1）原式345(7)=⨯-⨯- 1235=+47=；（2）原式222(32)3(2)x xy y x xy y =-+-+-22642633x xy y x xy y =-+--+ 75xy y =-+；当3x =，1y =-时， 原式73(1)5(1)=-⨯⨯-+⨯- 216=-16=；（3）(3)(21)5(35)7x x ----=， 6315257x x -+-+=， 6257153x x -+=+-， 1919x =， 1x =．16．材料1：对于一个四位自然数M ，如果M 满足各数位上的数字均不为0，它的百位上的数字比千位上的数字大1，个位上的数字比十位上的数字大1，则称M 为“满天星数”．对于一个“满天星数” M ，同时将M 的个位数字交换到十位、十位数字交换到百位、百位数字交换到个位，得到一个新的四位数N ，规定：()9M NF M -=． 例如：2378M =，因为321-=，871-=，所以2378是“满天星数”；将M 的个位数字8交换到十位，将十位数字7交换到百位，将百位数字3交换到个位，得到2783N =，23782783(2378)459F -==-．材料2：对于任意四位自然数100010010(abcd a b c d a =+++、b 、c 、d 是整数且19a ，0b ，c ，9)d ，规定：()G abcd c d a b =⋅-⋅．根据以上材料，解决下列问题：（1）请判断2467、3489是不是“满天星数”，请说明理由；如果是，请求出对应的()F M 的值；（2）已知P 、Q 是“满天星数”，其中P 的千位数字为(m m 是整数且17)m ，个位数字为7；Q 的百位数字为5，十位数字为(s s 是整数且28)s ．若()()G P G Q +能被11整除且s m >，求()F P 的值．【解答】解：（1）2467不是“满天星数”，3489是“满天星数”，理由如下： 2467的百位数字为4，千位数字为2，4221∴-=≠，2467∴不是“满天星数”．3489的千位数字为3，百位数字为4，十位数字为8，个位数字为9，431∴-=，981-=，3489M ∴=是“满天星数”， 3894N ∴=，34893894(3489)459F -∴==-． （2）由题意可得：(1)67P m m =+，45(1)Q s s =+，则1000100(1)6071100167P m m m =++++=+，4000500101450111Q s s s =++++=+． 2()67(1)42G P m m m m ∴=⨯-+=--，2()(1)2020G Q s s s s =+-=+-，2222()()422022G P G Q m m s s s s m m ∴+=--++-=+--+．()()G P G Q +能被11整除且s m >，∴只要22()()()(1)s s m m s m s m s m s m s m +--=+-+-=-++能被11整除．28s ，17m ，s 、m 均为整数，s m >，4116s m ∴++，111s m ∴++=即10s m +=．∴876234s s s m m m ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩或或． 2367P ∴=或3467或4567．23672673(2367)349F -∴==-，34673674(3467)239F -==-，45674675(4567)129F -==-． 17．在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数-- “好数”．定义：对于三位自然数n ，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n 为“好数”．例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且426+=，6能被6整除；643不是“好数”，因为6410+=，10不能被3整除．问百位数字比十位数字大5的所有“好数”有 7 个．【解答】解：611，617，721，723，729，831，941共7个，理由：设十位数数字为a ，则百位数字为5(04a a +<的整数），525a a a ∴++=+，当1a =时，257a +=，7∴能被1，7整除，∴满足条件的三位数有611，617，当2a =时，259a +=，9∴能被1，3，9整除，∴满足条件的三位数有721，723，729，当3a =时，2511a +=，11∴能被1整除，∴满足条件的三位数有831，当4a =时，2513a +=，13∴能被1整除，∴满足条件的三位数有941，即满足条件的三位自然数为611，617，721，723，729，831，941共7个．故答案为：7．18．阅读下列材料，解决问题．【材料1】对于任意一个多位数，如果它的各位数字之和除以一个正整数n 所得的余数与它自身除以这个正整数n 所得的余数相同，我们就称这个多位数是n 的“余同数”．例如：对于多位数2714，271439042÷=⋯，且(2714)342+++÷=⋯，则2714是3的“余同数”．【材料2】对于任意两个多位数A ，B ，若A 除以正整数n 所得的余数与B 除以正整数n 所得的余数相同，则A 与B 的差一定能被n 整除．（1）判断3142是否是5的“余同数”，并说明理由；（2）若一个三位数是7的“余同数”，它的百位数字与十位数字之和小于9，个位数字比百位数字大1，求所有符合条件的三位数．【解答】解：（1）不是，理由如下：31425628......2÷=，(3142)52+++÷=，3142∴不是5的同余数；（2）设这个三位数为10010a b c ++，则9a b +<，1c a =+，这个三位数是7的“余同数”，10010()a b c a b c ∴++-++能被7整除，10010()7a b c a b c ++-++ 100107a b c a b c ++---= 9997a b += 2147a b a b +=++， ∴27a b +是整数， 又18a ，09b ，9a b +<，1218a b ∴+<，27a b ∴+=或214a b +=，∴708a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或516a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或324a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或132a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或263a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，综上，这个三位数为708或516或324或132或263．19．新定义题：小明在课外阅读中对有关“自定义型题”有了一定的了解，他也尝试着自定义了“颠倒数”的概念：从左到右写下一个自然数，再把它按从右到左的顺序写一遍，如果两数位数相同，这样就得到了这个数的“颠倒数”，如286的颠倒数是682．请你探究，解决下列问题：（1）请直接写出2022的“颠倒数”为 2202 ．（2）能否找到一个数字填入空格，使由“颠倒数”构成的等式126⨯□=□621⨯成立？ 请你用下列步骤探究“□”所表示的数字．①设这个数字为x ，将自然数“6□”和“□6”转化为用含x 的代数式表示分别为 和 ；②列出关于x 的满足条件的方程，并求出x 的值；③经检验，所求x 的值符合题意吗？ （填“符合”或“不符合” )【解答】解：（1）由“颠倒数”的定义可得：2022的“颠倒数”为2202，故答案为：2202，；（2）①设这个数字为x ，自然数“6□”用含x 的代数式表示为：61060x x ⨯+=+，自然数“□6”用含x 的代数式表示为：106x +，故答案为：60x +，106x +；②由题意得：12(60)21(106)x x +=+，解得：3x =，x ∴的值为3；③检验：1263756⨯=，3621756⨯=，12633621∴⨯=⨯，3x ∴=符合题意，故答案为：符合．20．我们规定用(,)a b 表示一对数对，给出如下定义：记m=0,0)n a b =>>，将(,)m n 与(,)n m 称为数对(,)a b 的一对“对称数对”．例如：(4,1)的一对“对称数对”为1(2，1)与1(1,)2． （1）数对(25,4)的一对“对称数对”是 1(,2)5 和 ； （2）若数对(3,)y 的一对“对称数对”的两个数对相同，求y 的值；（3）若数对(,2)x 的一对“对称数对”的一个数对是1)，求x 的值；（4）若数对(,)a b 的一对“对称数对”的一个数对是，求ab 的值．【解答】解：（1）由题意知：1,25m n ====， ∴数对(25,4)的一对“对称数对”是1(,2)5和1(2,)5， 故答案为：1(,2)5；1(2,)5．（2）数对(3,)y 的一对“对称数对”的两个数对相同，∴=，∴= ∴13y =．（3）数对(,2)x的一对“对称数对”是和，∴=，∴1=，1x∴=．（4）数对(,)a b的一对“对称数对”是和，∴====或，∴11327273a ab b⎧⎧==⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎩⎩或，∴199ab=或．21．若一个三位正整数m abc=（各个数位上的数字均不为0)满足9a b c++=，则称这个三位正整数为“长久数”．对于一个“长久数”m，将它的百位数字和个位数字交换以后得到新数n，记()9m nF m+=．如：216m=满足2169++=，则216为“长久数”，那么612n=，所以216612(216)929F+==．（1）求(234)F、(522)F的值；（2）对于任意一个“长久数”m，若()F m能被5整除，求所有满足条件的“长久数”．【解答】解：（1）当234m=时，2349++=，m是长久数，432n∴=，234432(234)749F+∴==．当522m=时，5229++=，m是长久数，225n∴=，522225(522)839F+∴==．（2）由题意得：10010m a b c=++，10010n c b a=++．1001010010()9a b c c b aF m+++++∴=101101209a c b ++= 101()209a cb ++=． 9a bc ++=，101(9)20()9b b F m -+∴= 901819b -= 1019b =-．又a 、b 、c 均为不为0的正整数，1b ∴=，2，3，⋯⋯，7． ∴当1b =时，()1019192F m =-⨯=，不能被5整除，舍去；当2b =时，()1019283F m =-⨯=，不能被5整除，舍去；当3b =时，()1019374F m =-⨯=，不能被5整除，舍去；当4b =时，()1019465F m =-⨯=，能被5整除，此时5a c +=，∴12344321a a a a c c c c ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩或或或． 144m ∴=或243或342或441．当5b =时，()1019556F m =-⨯=，不能被5整除，舍去；当6b =时，()1019647F m =-⨯=，不能被5整除，舍去；当7b =时，()1019738F m =-⨯=，不能被5整除，舍去．综上所述，所有满足条件的“长久数”有144或243或342或441．22．对于一个四位自然数N ，如果N 满足各数位上的数字不全相同且均不为0，它的千位数字减去个位数字之差等于百位数字减去十位数字之差，那么称这个数N 为“差同数”．对于一个“差同数” N ，将它的千位和个位构成的两位数减去百位和十位构成的两位数所得差记为s ，将它的千位和十位构成的两位数减去百位和个位构成的两位数所得差记为t ，规定：2()29s t F N +=．例如：7513N =，因为7351-=-，故：7513是一个“差同数”．所以：735122715318s t =-==-=，则：2236(7513)229F +==． （1）请判断2586、8734是否是“差同数”．如果是，请求出()F N 的值；（2）若自然数P ，Q 都是“差同数”，其中100010616P x y =++，1003042(19Q m n x =++，08y ，19m ，07n ，x ，y ，m ，n 都是整数），规定：()()F P k F Q =，当3()()F P F Q -能被11整除时，求k 的最小值．【解答】解：（1）对于2586，其各数位上的数字不全相同且均不为0，2658-≠-， 2586∴不是“差同数”， 对于8734，其各数位上的数字不全相同且均不为0，8473-=-，8734∴是“差同数”， 847311s ∴=-=，83749t =-=，1129(8734)129F +⨯∴==， 2586∴不是“差同数”，8734是“差同数”， (8734)1F =； （2）100010616100060010(1)6P x y x y =++=++++，P ∴的千位数字为x ，百位数字为6，十位数字为(1)y +，个位数字为6， 又自然数P 是差同数，66(1)x y ∴-=-+即11x y +=，(106)(61)1055p S x y x y ∴=+-+=--，(101)661065p t x y x y =++-=+-，10552(1065)()629y x y F P x --++-∴==-， 10030423000100402Q m n m n =++=++++，Q ∴的千位数字为3，百位数字为m ，十位数字为4，个位数字为(2)n +， 又自然数Q 是差同数，3(2)4n m ∴-+=-，即5m n +=，302(104)1028Q s n m n m ∴=++-+=-+，34(102)3210Q t m n m n =-++=--，10282(3210)()329n m m n F Q m -++--∴==-， 3()()3(6)(3)321F P F Q x m x m ∴-=---=+-，19x ，08y ，且11x y +=，39x ∴，19m ，07n ，且5m n +=，15m ∴，1132111x m ∴-+-，又321x m +-能被11整除，32111x m ∴+-=±或0，①当32111x m +-=-时，3x =，1m =，8y =，4n =， 此时，()363()312F P k F Q -===--； ②当32111x m +-=时，9x =，5m =，2y =，0n =， 此时，()963()352F P k F Q -===--； ③当3210x m +-=时，6x =，3m =，此时，()0F Q =，k ∴值不存在，综上，k 的最小值为32-．23．对于实数P ，我们规定：用的最小整数．2=，2=，现在对72进行如下操作： {}{}{}727299332===第一次第二次第三次，即对72只需进行3次操作后变为2．类比上述操作：对36只需进行 3 次操作后变为2；如果只需进行3次操作后变为2的所有正整数中最大的数为 ．【解答】解：由题意得：现在对36进行如下操作： {}{}{}363666332===第一次第二次第三次，∴对36只需进行3次操作后变为2；现在对256进行如下操作： {}{}{}2562561616442===第一次第二次第三次，如果只需进行3次操作后变为2的所有正整数中最大的数为：256；故答案为：3，256．24．如果一个三位数满足各数位上的数字都不为0，且百位数字比十位数字大1，则称这个数为“阶梯数”．若s ，t 都是“阶梯数”，将组成s 的各数位上的数字中最大数字作为十位数字，组成t 的各数位上的数字中最小数字作为个位数字，得到一个新两位数m 叫做s ，t 的“萌数”，将组成s 的各数位上的数字中最小数字作为十位数字，组成t 的各数位上的数字中最大数字作为个位数字，得到一个新两位数n 叫做s ，t 的“曲数”，记(,)2F s t m n =+．例如：因为211-=，615-=，所以211和654都是“阶梯数”；211和654的“萌数” 24m =，“曲数” 16n =，(211,654)2241664F =⨯+=．（1）判断435 是 （填“是”或“否” )为“阶梯数”；（2）若(1)6s a a =-，(1)5t b b =+（其中25a <，69b <，且a ，b 都是整数），且(,)167F s t =，求满足条件的s 、t 的值；（3）若p 、q 都是“阶梯数”，其中100103p x y =++，20010q a b =++（其中23x ，18y ，28b 且a ，b ，x ，y 都是整数），当(F p ，132)(F q +，824)157=时，求(,)F p q 的值． 【解答】解：（1）435中，百位4比十位3大1，符号阶梯数定义．故答案为：是．（2）s 和t 的萌数为65，曲数为(1)(1)a b -+，(F s ∴，)265(1)(1)167t a b =⨯+-+=，解得4a =，6b =．436s ∴=，765b =．（3）p 、q 都是阶梯数，1y x ∴=-，1a =，又23x ，28b ，10010(1)3213p x x ∴=+-+=或323，212q =、213、214、215、216、217、218． (F p ∴、132)31210(1)3x =⨯+-+，(F q ，824)(102)218b =+⨯+，由(F p 、132)(F q +，824)157=，得102080x b +=，其中x 为偶数，2x ∴=，3b =，即213p =，213q =．(F p 、)2311375q =⨯+=．25．一个多位自然数分解为末三位与末三位以前的数，让末三位数减去末三位以前的数，所得的差能被13整除，则原多位数一定能被13整除．（1）判断266357 能 （选填“能”或“不能” )被13整除；（2）证明：任意一个多位自然数都满足上述规律；（3）将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数，若让个位之前的数加上个位数的k 倍(k 为正整数），所得之和能被13整除，且原多位自然数也能被13整除，求当150k 时，所有满足条件的k 的值．【解答】（1）解：266357能被13整除；理由如下：266357的末三位数为357，末三位以前的数为266，35726691∴-=，91137÷=，266357∴能被13整除，故答案为：能；（2）证明：设这个多位数的末三位数为a ，末三位以前的数为b ，则这个多位数可表示为1000b a +，根据题意得：13(a b n n -=为整数），13a n b ∴=+，则1000100013100113b a b n b b n +=++=+，100113b n +可以被13整除，1000b a ∴+可以被13整除，∴任意一个三位以上的自然数都满足这个规律，即任意一个多位自然数都满足上述规律；（3）解：设个位之前及个位数分别为m 、n （出现的字母均为自然数），依题意不妨设13m kn t +=，则原多位数为10m n +，依题意不妨设1013m n s +=， 联立可得：3110(101)101313n k s t k t kn +=--=-+， 则31k +为13倍数，分别将1k =、2、3、4、550⋯代入可知，4k ∴=或17k =或30k =或43k =．26．一个三位自然数a ，满足各数位上的数字之和不超过10，并且个位数字与百位数字不同，我们称这个数为“完美数”．将a 的个位数字与百位数字交换得到一个新数a '，记G （a ）11a a '-=．例如，当125a =时，521a '=，125521(125)3611G -==-；当370a =时，73a '=，37073(370)2711G -==． （1）判断236 不是 （选填“是”或“不是” )完美数，计算(321)G = ；（2）已知两个“完美数” m ，n ，满足10010m a b =++，100(09n c d b a =+<，09c ，09d ，a ，b ，c ，d 为整数），若()G m 能被7整除，且()()9(2)G m G n d +=+，求m n -的最小值．【解答】解：（1）2361110++=>，236∴不是完美数， 根据题意，321123(321)1811G -==； 故答案为：不是；18．（2）10010m a b =++，10010m b a '∴=++，100n c d =+，100n d c '∴=+，()()9(2)112m m n n G m G n d -'-'∴+=+=+， 22a b c d ∴-+=+，设()7G m x =，x 为整数， ∴9999711a b x -=，即9()7a b x -=， 09b a <，∴满足条件的a 只有7或8或9，当9a =时，m 不是完美数，故舍去，当8a =时，1b =，这个数是811，是完美数，此时，8122c d -+=+，即25c d =-，09c ，09d ，3d ∴=，1c =时，301n =，则510m n -=；4d =，3c =时，403n =，则811403408m n -=-=；5d =，5c =时，505n =，则811505306m n -=-=；6d =，7c =（舍去）， ∴共有三种情况，最小的为306；当7a =时，0b =，这个数是710，是完美数，此时，7022c d -+=+，即25c d =-，09c ，09d ，3d ∴=，1c =时，301n =，则710301409m n -=-=；4d =，3c =时，403n =，则710403302m n -=-=；5d =，5c =时，505n =，则710505205m n -=-=；6d =，7c =（舍去）， ∴共有三种情况，最小的为205；综上，m n -的最小值为205．27．阅读材料：我们知道，任意一个正整数k 都可以进行这样的分解：(k m n m =⨯，n 是正整数，且)m n ，在k 的所有这种分解中，如果m ，n 两因数之差的绝对值最小，我们就称m n⨯是k 的最佳分解，并规定：()m f k n=．例如：18可以分解成118⨯，29⨯或36⨯，因为1819263->->-，所以36⨯是18的最佳分解，所以31(18)62f ==． （1）计算：f （6）=23 ，f （4）= ，2()f x = ．（其中x 为正整数） （2）若21010(2)1011f x x +=，其中x 是正整数，求x 的值． （3）若2(9)1f x -=，其中x 是正整数，求x 的值．【解答】解：（1）6的最佳分解为23⨯，所以f （6）23=；4的最佳分解为22⨯，所以f （4）1=；2x 的最佳分解为x x ⋅，所以2()1f x =． 故答案为：23；1；1． （2）22x x +的最佳分解为：(2)x x +， ∴2(2)2x f x x x +=+， 又21010(2)1011f x x +=， 所以101021011x x =+， 解得2020x =，经检验，2020x =符合题意．（3）由2(9)1f x -=，可设229(x t t -=为正整数），即2(3)(3)x x t +-=，33x t x ∴-<<+，有以下几种情况：①当2t x =-时，229(2)x x -=-，解得134x =（舍去）； ②当1t x =-时，229(1)x x -=-，解得5x =；③当t x =时，229x x -=，无解；④当1t x =+时，229(1)x x -=+，解得5x =-；⑤当2t x =+时，229(2)x x -=+，解得134x =-； 综上所述，5x =．28．阅读下列材料：材料一：对于一个百位数字不为0的四位自然数M ，以它的百位数字作为十位，十位数字作为个位，得到一个两位数m ，若m 等于M 的千位数字与个位数字的平方差，则称数M 为“平方差数”．例如：7136是“平方差数”，因为227613-=，所以7136是“平方差数”；又如：4251不是“平方差数”，因为22411525-=≠，所以4251不是“平方差数”．材料二：我们有时可以利用分解因数的方法解决求整数解的问题，例如：若p ，q 为两个正整数()18p q pq >=，则p ，q 为18的正因数，又因为18可以分解为181⨯或92⨯或63⨯，所以方程18pq =的正整数解为181p q =⎧⎨=⎩或92p q =⎧⎨=⎩或63p q =⎧⎨=⎩． 根据上述材料解决问题：（1）判断9810，6361是否是“平方差数”？并说明理由；（2）若一个四位“平方差数” M ，将它的千位数字、个位数字及m 相加，其和为30，求所有满足条件的“平方差数” M ．【解答】解：（1）9810是“平方差数”，229081-=，9810∴是“平方差数”； 6361不是“平方差数”，22613536-=≠，6361∴不是“平方差数”． （2）设M 的千位数字为a ，个位数字为b ，则22m a b =-，由题意得2230a b a b ++-=，即()(1)30a b a b +-+=．a b +>，11a b -+>且均为30的正因数，∴将30分解为215⨯或310⨯或56⨯．①()(1)215a b a b +-+=⨯，解得87a b =⎧⎨=⎩，即8157M =； ②()(1)310a b a b +-+=⨯，解得64a b =⎧⎨=⎩，即6204M =； ③()(1)56a b a b +-+=⨯，解得50a b =⎧⎨=⎩，即5250M =； 解得51a b =⎧⎨=⎩，即5241M =．8157∴=或6204或5250或5241．M29．【阅读】在数轴上，若点A表示数a，点B表示数b，则点A与点B之间的距离为AB a b=-．||例如：两点A，B表示的数分别为3，1AB=--=．-，那么|3(1)|4（1）若|3|2x-=，则x的值为1或5．（2）当x=(x是整数）时，式子|1||2|3-++=成立．x x（3）在数轴上，点A表示数a，点P表示数p．我们定义：当||1-=时，点P叫点A的1倍伴随点，p a当||2-=时，点P叫点A的2倍伴随点，p a⋯当||-=时，点P叫点A的n倍伴随点．p a n试探究下列问题：若点M是点A的1倍伴随点，点N是点B的2倍伴随点，是否存在这样的点A和点B，使得点M恰与点N重合，若存在，求出线段AB的长；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）|3|2x-=，表示到表示数x的点到表示数3的点的距离为2，当表示数x的点在表示数3的点的左侧时，321x=-=；当表示数x的点在表示数3的点的右侧时，325x=+=；故答案为：1或5；（2）|1||2|3-++=表示的是表示数x的点到表示数1的点的距离和表示数2x x-的点的距离之和，分下列三种情况：①当表示数x的点在2-到1之间时，如图1，此时|1||2|3-++=成立；x x满足条件的x的整数为2-，1-，0，1；②当表示数x的点在2-左侧时，如图2，此时|1||2|3-++>，不存在这样的点；x x③表示数x的点在1右侧时，如图3，此时|1||2|3-++>，不存在这样的点；x x故答案为：2-或1-或0或1；（3）存在，理由如下：设点M 所表示的数位m ，点A 所表示的数为a ，点B 所表示的数为b ，点M 和N 重合，∴点N 所表示的数为n ，点M 是点A 的1倍伴随点，点N 是点B 的2倍伴随点，||1m a ∴-=，||2m b -=，12m a b ∴=±=±，当12a b +=+时，1a b -=，此时1AB =；当12a b +=-时，3a b -=-，此时3AB =；当12a b -=+时，3a b -=，此时3AB =；当12a b -=-时，1a b -=-，此时1AB =；综上，存在，此时AB 的长为1或3．30．如果一个自然数M 能分解成A B ⨯，其中A 和B 都是两位数，且A 与B 的十位数字之和为10，个位数字之和为9，则称M 为“十全九美数”，把M 分解成A B ⨯的过程称为“全美分解”，例如：28384366=⨯，4610+=，369+=，2838∴是“十全九美数“；3912317=⨯，2110+≠，391∴不是“十全九美数”． （1）判断2100和168是否是“十全九美数”？并说明理由；（2）若自然数M 是“十全九美数“，“全美分解”为A B ⨯，将A 的十位数字与个位数字的差，与B 的十位数字与个位数字的和求和记为()S M ；将A 的十位数字与个位数字的和，与B 的十位数字与个位数字的差求差记为()T M ．当()()S M T M 能被5整除时，求出所有满足条件的自然数M ． 【解答】解：（1）2100是“十全九美数”，168不是“十全九美数”，理由如下： 21002584=⨯，2810+=，549+=，2100∴是“十全九美数”；1681412=⨯，10l l +≠，168∴不是“十全九美数“；（2）设A 的十位数字为m ，个位数字为n ，则10A m n =+， M 是“十全九美数”， M A B =⨯， B ∴的十位数字为10m -，个位数字为9n -，则10(10)910910B m n m n =-+-=--， 由题知：()109192S M m n m n n =-+-+-=-，()[10(9)]21T M m n m n m =+----=-， 根据题意，令()1925(()21S M n k k T M m -==-为整数）， 由题意知：19m ，09n ，且都为整数，119219n ∴-，12117m -，当k l =时，192521n m -=-， ∴1925211n m -=⎧⎨-=⎩或19210212n m -=⎧⎨-=⎩或19215213n m -=⎧⎨-=⎩， 解得17m n =⎧⎨=⎩或3292m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍去）或22m n =⎧⎨=⎩； 17921564M A B ∴=⨯=⨯=或22871914M A B =⨯=⨯=；当2k =时，1921021n m -=-， ∴19210211n m -=⎧⎨-=⎩， 解得192m n =⎧⎪⎨=⎪⎩（舍去）； 当3k =时，1921521n m -=-， ∴19215211n m -=⎧⎨-=⎩， 解得12m n =⎧⎨=⎩； 12971164M A B ∴=⨯=⨯=，综上，满足“十全九美数”条件的M 有：1564或1914或1164．31．一个自然数能分解成A B ⨯，其中A ，B 均为两位数，A 的十位数字比B 的十位数字大1，且A ，B 的个位数字之和为10，则称这个自然数为“分解数”．例如：48197961=⨯，7比6大1，1910+=，4819∴是“分解数”；又如：14964434=⨯，4比3大1，4410+≠，1496∴不是“分解数”．（1）判断325，851是否是“分解数”，并说明理由；（2）自然数M A B =⨯为“分解数”，若A 的十位数字与B 的个位数字的和为()P M ，A 的个位数字与B 的十位数字的和()F M ，令()()()P M G M F M =，当()G M 为整数时，则称M 为“整分解数”．若B 的十位数字能被2整除，求所有满足条件的“整分解数” M ．【解答】解：（1）3252513=⨯，2比1大1，5310+≠，325∴不是“分解数”； 68513723=⨯，3比2大l ，7310+=，851∴是“分解数”． （2）令10B x y =+，10(1)10A x y =++-，(8l x <<，19y ，且x ，y 为整数）， ()1P M x y =++，()10F m x y =-+，1()10x y G M x y ++∴=-+，2x 为整数， 2x ∴=，4，6，8，当2x =时，315()11212y G M y y +==-+-+-+，为整数， 12y ∴-+的值为3或5，解得9y =或7，13129899M ∴=⨯=，23327891M =⨯=；当4x =或6x =时，不存在()G M 为整数，∴舍去；当8x =时，927()11818y G M y y +==-+-+-+为整数， 189y ∴-+=，解得9y =，391898099M ∴=⨯=．综上所述，M 的值为899，891，8099．32．对于任意一个四位数N ，如果N 满足各个位上的数字互不相同，且个位数字不为0，N的百位上的数字与十位上的数字之差是千位上的数字与个位上的数字之差的2倍，则称这个四位数N 为“双减数”．对于一个“双减数” N abcd =，将它的千位和百位构成的两位数为ab ，个位和十位构成的两位数为dc ，规定；()12ab dc F N -=． 例如：7028N =．因为2(78)02⨯-=-，故7028是一个“双减数”，则7082(7028)112F -==-． （1）判断9527，6713是否是“双减数”，并说明理由，如果是，并求出()F N 的值；（2）若自然数A 为“双减数”， F （A ）是3的倍数，且A 各个数位上的数字之和能被13整除，求A 的值．【解答】解：（1）9527:523-=，972-=，不满足“双减数”的定义，故9527不是双减数；6713:716-=，633-=，满足623=⨯，且满足各个位上的数字互不相同，且个位数字不为0，故6713是双减数；6731(6713)312F -==． 9527∴不是双减数，6713是双减数，(6713)3F =．（2）设A abcd =，由题意可知，F （A ）是3的倍数，且A 各个数位上的数字之和能被13整除且百位数与十位数之差是千位数与个位数之差的两倍．()312ab dc F A k -∴==． 13a b c d n +++=②(n 为正整数，能被13整除说明是13的倍数）， 2()b c a d -=-③，由③式可得知，ab dc -的结果中，个位数是十位数的两倍，而且()312ab dc F A k -==①． ∴36ab dc k -=，（说明ab dc -是36的倍数）， 根据“双减数“各位数不重复与0d ≠的性质，ab 最大为98，dc 最小为10，ab dc ∴-最大为88， ∴36ab dc -=或36-或72（舍去）或72-（舍去），（根据“双减数“百位上的数字与十位上的数字之差是千位上的数字与个位上的数字之差的2倍排除），3a d ∴-=，6b c -=或3a d -=-，6b c -=-，即3a d =+④，6b c =+⑤或3a d =-⑥，6b c =-⑦，将④⑤代入②可得，(3)(6)13d c c d n ++-++=， 将⑥⑦代入②可得，(3)(6)13d c c d n -+-++=， 同理，根据“双减数“的性质可得a b c d +++的最大值为987630+++=，最小值为01236+++=，630a b c d ∴+++，a b c d ∴+++是13的倍数，a b c d ∴+++只能取13或26．Ⅰ、当13a b c d +++=时，可得2d c +=或11d c +=；当2d c +=时，d 与c 的值可能为20d c =⎧⎨=⎩，02d c =⎧⎨=⎩（舍去），11d c =⎧⎨=⎩（舍去），（根据双减数个位数不能为0，且每位数不相等排除）， 即20d c =⎧⎨=⎩； 当11d c +=时，2a b +=，则20a b =⎧⎨=⎩，02a b =⎧⎨=⎩（舍去），11a b =⎧⎨=⎩（舍去）， 即20a b =⎧⎨=⎩，此时，6c =，5d =． Ⅱ、当26a b c d +++=时，可得2()17d c +=，2()35d c +=． 172d c +=（舍去）或352d c +=（由于d ，c 不为整数，与题意不符，故舍去）， 3235a d ∴=+=+=，66b c =+=5602A ∴=或2065．33．对于一个四位自然数(R abcd a =，b ，c ，d 不全相同且均不为0)，如果a d b c -=-，那么称这个数R 为“天平数”，对于一个“天平数” R ，将它的千位和个位构成的两位数减去百位和十位构成的两位数所得差记为s ，将它的千位和十位构成的两位数减去百位和个位构成的两位数所得差记为t ，规定：()10s t f R +=；例如：8734R =，因为8473-=-，故：8734是一个“天平数”．所以：847311s =-=，83749t =-=，则：119()210f R +==． （1）请判断7513是否是“天平数”，如果是，请求出()f R 的值；如果不是，请说明理由；（2）若自然数M ，N 都是“天平数”，其中1007051M x y =++，100010512(19N m n x =++，08y ，19m ，08n ，x ，y ，m ，n 都是整数），规定：()()f M k f N =，当()()4f N f M -=时，求k 的值． 【解答】解：（1）是，且(7513)4f =，理由如下：7351-=-，7513∴是一个“天平数”． 735122s ∴=-=，715318t =-=，2218(7513)410f +∴==； （2）1007051700010050(1)M x y x y =++=++++，M ∴的前位数字是7，百位数字是x ，十位数字是5，个位数字是1y +， M 是“天平数”， 7(1)5y x ∴-+=-，即11x y +=，(701)(105)6610Ms y x x y ∴=++-+=-+，75(101)7410Mt x y x y =-++=--，66107410()1421010s t x y x y f M x +-++--∴===-， 100010512100050010(1)2N m n m n =++=++++，N ∴的前位数字是m ，百位数字是5，十位数字是(1)n +，个位数字是2， N 是“天平数”， 25(1)m n ∴-=+，即6m n +=，(102)(501)1049Ns m n m n ∴=+-++=--，(101)521051Nt m n m n =++-=+-，10491051()2101010s t m n m n f N m +--++-∴===-， 19x ，08y 且11x y +=，39x ∴，19m ，08n ，且6m n +=，16m ∴，()()(210)(142)22244f N f M m x x m -=---=+-=，14x m ∴+=，14x m ∴=-，56m ∴， 此时，()142721()21055f M x m k f N m m m --====----， 当5m =时，k 值不存在；当6m =时，1k =-，综上，k 的值为1-．34．如果一个自然数M 的个位数字不为0，且能分解成A B ⨯，其中A 与B 都是两位数，A 与B 的十位数字相同，个位数字之和为8，则称数M 为“团圆数”，并把数M 分解成M A B =⨯的过程，称为“欢乐分解”．例如：5722226=⨯，22和26的十位数字相同，个位数字之和为8，572∴是“团圆数”． 又如：2341813=⨯，18和13的十位数字相同，但个位数字之和不等于8，234∴不是“团圆数”．（1）最小的“团圆数”是 187 ；（2）判断195，621是否是“团圆数”？并说明理由；（3）把一个“团圆数” M 进行“欢乐分解”，即M A B =⨯，A 与B 之和记为()P M ，A 与B 差的绝对值记为()Q M ，令()()()P M G M Q M =，当()G M 能被8整除时，求出所有满足条件的M 的值． 【解答】解：（1）由题意可知，最小的“团圆数”十位数字是1，个位数字分别为1和7， ∴最小的“团圆数”是1117187⨯=，故答案为：187；（2）1951315=⨯，且358+=，195∴是“团圆数”， 6212327=⨯，378+≠，621∴不是“团圆数”； （3）设10A a b =+，则108B a b =+-，208A B a ∴+=+，|||28|A B b -=-，()()()||P M A B G M Q M A B +==-能被8整除， ∴2088|28|a kb +=-，k 为整数， 52(|4|)4a b k ∴+=-，52a ∴+是4的倍数，∴满足条件的a 有2，6，若2a =，则488|28|k b =-，k 为整数， ∴3|4|k b =-， |4|b ∴-是3的因数，43b ∴-=-，1-，1，3，∴满足条件的b 有1，3，5，7，21A ∴=，27B =或23A =，25B =或25A =，23B =或27A =，21B =，567A B ∴⨯=或575，若6a =，则1288|28|k b =-，k 为整数， ∴8|4|k b =-， |4|b ∴-是8的因数，48b ∴-=-，4-，2-，1-，1，2，4，8，∴满足条件的b 有2，3，5，6，62A ∴=，66B =或63A =，65B =或65A =，63B =或66A =，62B =，62664092A B ∴⨯=⨯=或4095，综上，M 的值为567或575或4092或4095．35．对于任意一个四位数m ，若m 满足各数位上的数字都不为0，且千位与百位上的数字不相等，十位与个位上的数字不相等，那么称这个数为“智慧数”．将一个“智慧数” m 的任意一个数位上的数字去掉后可以得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为()F m ．例如“智慧数” 1234m =，去掉千位上的数字得到234，去掉百位上的数字得到134，去掉十位上的数字得到124，去掉个位上的数字得到123．这四个新三位数的和为234134124123615+++=，6153205÷=，所以(1234)205F =．（1）计算：(2131)F = 262 ；(5876)F = ；（2）若“智想数” 780010(15n x y x =++，19y ，x ，y 都是正整数），()F n 也是“智慧数”，且()F n 能被12整除，求满足条件的n 的值．【解答】解：（1）(2131)(213211231131)3262F =+++÷=；(5876)(587586576876)3875F =+++÷=；故答案为：262；875；（2） “智慧树” 78001071000810010n x y x y =++=⨯+⨯++， ∴数n 的千位上的数为7，百位上的数为8，十位上的数为x ，个位上的数为y ， ()(7807807001080010)310207F n x y x y x y x y ∴=+++++++++÷=++， 15x ，19y ，()F n 也是“智慧数”，且()F n 能被12整除， ∴可设()1020712F n x y k =++=，即()F n 是3的倍数，也是4的倍数， ()743403402333F n x y x y k x ++∴==+=++，且()3F n 是4的倍数， 当1x =时，y 可取2，5，8，此时()3433F n =（舍)或344或345（舍)，此时()1032F n =，符合定义，7815n =；当2x =时，y 可取1，4，7，此时()3453F n =（舍)或346（舍)或347（舍)，无符合题意的n ；当3x =时，()340733F n y =++，y 可取3，6，9，此时()3483F n =或349（舍)或350（舍)，此时()7833F n =，不符合题意；当4x =时，y 可取2，5，8，此时()3503F n =（舍)或351（舍)或352，此时()1056F n =，7848n =， 当5x =时，y 可取1，4，7，此时()3523F n =或353（舍)或354（舍)，此时()1056F n =，7851n =， 综上，符合题意的点n 值为7815或7848或7851．。
江苏省苏州市中考数学专题训练(一)数与式的运算与求值-人教版初中九年级全册数学试题
2017中考数学专题训练(一)数与式的运算与求值本专题主要考查实数的运算、整式与分式的化简与求值，纵观5年中考往往以计算题、化简求值题的形式出现，属基础题．复习时要熟练掌握实数的各种运算，并注意混合运算中的符号与运算顺序；在整式化简时要灵活运用乘法公式及运算律；在分式的化简时要灵活运用因式分解知识，分式的化简求值，还应注意整体思想和各种解题技巧．类型1 实数的运算【例1】计算：|－3|＋2sin 45°＋tan 60°－(－13)－1－12＋(π－3)0.【解析】先理清和熟悉每项小单元的运算方法，把握运算的符号技巧． 【学生解答】原式＝3＋2×22＋3－(－3)－23＋1＝3＋1＋3＋3－23＋1＝5. 针对练习1．(2016某某中考)计算：|2－3|－16＋⎝ ⎛⎭⎪⎫130. 解：原式＝3－2－4＋1＝－ 2.2．(2016某某中考)计算：4sin 60°＋|3－12|－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋(π－2 016)0.解：原式＝4×32＋ (23－3)－2＋1 ＝23＋23－3－2＋1 ＝43－4.3．(2016某某中考)计算：(－1)2 016＋8－|－2|－(π－3.14)0.解：原式＝1＋22－2－1 ＝22－ 2 ＝ 2.4．(2016某某中考)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－12＋2tan 60°－(2－3)0.解：原式＝3－23＋23－1＝2.类型2 整式的运算与求法【例2】先化简，再求值：(x ＋y )(x －y )－(4x 3y －8xy 3)÷2xy ，其中x ＝－1，y ＝33. 【解析】认真观察式子特点，灵活运用乘法公式化简，再考虑代入求值． 【学生解答】原式＝x 2－y 2－2x 2＋4y 2＝－x 2＋3y 2，当x ＝－1，y ＝33时，原式＝－1＋1＝0. 针对练习5．(2016某某中考)先化简，再求值：x (x －2)＋(x ＋1)2，其中x ＝1. 解：原式＝x 2－2x ＋x 2＋2x ＋1＝2x 2x ＝1时，原式＝2×12＋1＝3.6．(2016某某中考)先化简，再求值(x ＋2)(x －2)＋x (4－x )，其中x ＝14.解：原式＝x 2－4＋4x －x 2＝4xx ＝14时，原式＝4×14－4＝－3.7．已知x 2－4x －1＝0，求代数式(2x －3)2－(x ＋y )(x －y )－y 2的值．解：原式＝4x 2－12x ＋9－x 2＋y 2－y 2＝3x 2－12x ＋9＝3(x 2－4x ＋3)，∵x 2－4x －1＝0，即x 2－4x ＝1，∴原式＝12.8．已知多项式A ＝(x ＋2)2＋(1－x )(2＋x )－3. (1)化简多项式A ；(2)若(x ＋1)2＝6，求A 的值．解：(1)A ＝x 2＋4x ＋4＋2－2x ＋x －x 2－3＝3x ＋3；(2)(x ＋1)2＝6，则x ＋1＝±6，∴A ＝3x ＋3＝3(x ＋1)＝±3 6.类型3 分式的化简求值【例3】已知x 2－4x ＋1＝0，求2（x －1）x －4－x ＋6x的值．【解析】先化简所求式子，再看其结果与已知条件之间的联系，能否整体代入．【学生解答】原式＝2x （x －1）－（x －4）（x ＋6）x （x －4）＝x 2－4x ＋24x 2－4x，∵x 2－4x ＋1＝0，∴x 2－4x ＝－1.原式＝－1＋24－1＝－23. 针对练习9．(2016随州中考)先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1－x ＋1÷x 2＋4x ＋4x ＋1，其中x ＝2－2.解：原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋1－（x ＋1）（x －1）x ＋1·x ＋1（x ＋2）2＝－（x ＋2）（x －2）x ＋1·x ＋1（x ＋2）2＝2－x x ＋2，当x ＝2－2时，原式＝2－2＋22－2＋2＝4－22＝22－1.10．先化简代数式 (3a a －2－a a ＋2)÷aa 2－4，再从0，1，2三个数中选择适当的数作为a 的值代入求值．解：原式＝3a （a ＋2）－a （a －2）（a ＋2）（a －2）·（a ＋2）（a －2）a ＝2a 2＋8a （a ＋2）（a －2）·（a ＋2）（a －2）a ＝2a （a ＋4）a＝2aa ＝1时，2a ＋8＝10.11.先化简，再求值：(a ＋1a ＋2)÷(a －2＋3a ＋2)，其中a 满足a －2＝0.解：原式＝a （a ＋2）＋1a ＋2÷a 2－4＋3a ＋2＝（a ＋1）2a ＋2·a ＋2（a ＋1）（a －1）＝a ＋1a －1，当a －2＝0，即a ＝2时，原式＝312．(2016某某中考)先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－y x －x －1÷x 2－y 2x 2－2xy ＋y 2，其中x ＝2，y ＝ 6. 解：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－y x －x 2x －x x ×（x －y ）2（x ＋y ）（x －y ）＝－y －x x ×x －y x ＋y ＝－x －y x ，把x ＝2，y ＝6代入得：原式＝－2－62＝－1＋ 3.13．(2016某某中考)先化简，后求值：⎝⎛⎭⎪⎫x x －2－4x 2－2x ÷x ＋2x 2－x，其中x 满足x 2－x －2＝0.解：原式＝x 2－4x （x －2）·x （x －1）x ＋2＝（x ＋2）（x －2）x （x －2）·x （x －1）x ＋2＝x －1，解方程x 2－x －2＝0，得x 1＝－1，x 2＝2，当x ＝2时，原分式无意义，所以当x ＝－1时，原式＝－1－1＝－2.14．(2016某某中考)先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫x x 2＋x －1÷x 2－1x 2＋2x ＋1，其中x 的值从不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－x≤1，2x －1<4的整数解中选取．解：原式＝x －x 2－x x （x ＋1）·x ＋1x －1＝－x x ＋1·x ＋1x －1＝x 1－x ，解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－x≤1，2x －1<4得－1≤x <52，当x ＝2时，原式＝21－2＝－2.。
数学初中竞赛函数最值专题训练(含答案) (1)
数学初中竞赛函数最值专题训练一．选择题1．当三个非负实数x、y、z满足关系式x+3y+2z＝3与3x+3y+z＝4时，M＝3x﹣2y+4z的最小值和最大值分别是（）A．B．C．D．2．正实数a，b，c，d满足a+b+c+d＝1，设p＝+++，则（）A．p＞5 B．p＝5C．p＜5 D．p与5的大小关系不确定3．已知y＝+（x，y均为实数），则y的最大值与最小值的差为（）A．2﹣1 B．4﹣2C．3﹣2D．2﹣2 4．设x≥0，y≥0，2x+y＝6，则u＝4x2+3xy+y2﹣6x﹣3y的最小值是（）A．B．18 C．20 D．不存在5．代数式的最小值是（）A．0 B．C．D．6．设x是实数，y＝|x﹣1|+|x+1|．下列四个结论：Ⅰ．y没有最小值；Ⅱ．只有一个x使y取到最小值；Ⅲ．有有限多个x（不止一个）使y取到最大值；Ⅳ．有无穷多个x使y取到最小值．其中正确的是（）A．ⅠB．ⅡC．ⅢD．Ⅳ7．方程|x﹣1|+|y﹣1|＝1确定的曲线所围成的图形面积为（）A．4 B．3 C．2 D．18．如果a，b，c是正实数且满足abc＝1，则代数式（a+1）（b+1）（c+1）的最小值是（）A．64 B．8C．8 D．二．填空题9．代数式的最小值为．10．a，b是正数，并且抛物线y＝x2+ax+2b和y＝x2+2bx+a都与x轴有公共点，则a2+b2的最小值是．11．当|x|≤4时，函数y＝|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最大值减去最小值的差是：．12．若a，c，d都是整数，b是正整数，且a+b＝c，b+c＝d，c+d＝a，则a+b+c+d的最大值是．13．函数f（x）＝λx2+（λ﹣3）x+1对于任意实数x都有f（x）≤f（λ），则函数f（x）的最大值是．14．代数式的最小值是．15．函数y＝|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣10|，当x在实数范围内取值时，y的最小值是．16．a、b、c是非负实数，并且满足3a+2b+c＝5，2a+b﹣3c＝1．设m＝3a+b﹣7c，记x为m的最小值，y为m的最大值．则xy＝．三．解答题17．当﹣1≤x≤2时，函数y＝2x2﹣4ax+a2+2a+2有最小值2．求a所有可能取的值．18．已知非负实数x，y，z满足，记W＝3x+4y+5z．求W的最大值与最小值．19．附加题：某城镇沿环形路有五所小学，依次为一小、二小、三小、四小、五小，它们分别有电脑15，7，11，3，14台，现在为使各校电脑台数相等，各调几台给邻校：一小给二小，二小给三小，三小给四小，四小给五小，五小给一小．若甲小给乙小﹣3台，则乙小给甲小3台，要使电脑移动的总台数最小，应做怎样安排？20．阅读材料：若a，b都是非负实数，则a+b≥．当且仅当a＝b时，“＝”成立．证明：∵（）2≥0，∴a﹣+b≥0．∴a+b≥．当且仅当a＝b时，“＝”成立．举例应用：已知x＞0，求函数y＝2x+的最小值．解：y＝2x+≥＝4．当且仅当2x＝，即x＝1时，“＝”成立．当x＝1时，函数取得最小值，y最小＝4．问题解决：汽车的经济时速是指汽车最省油的行驶速度．某种汽车在每小时70～110公里之间行驶时（含70公里和110公里），每公里耗油（+）升．若该汽车以每小时x公里的速度匀速行驶，1小时的耗油量为y升．（1）求y关于x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；（2）求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量（结果保留小数点后一位）．21．设x1、x2、x3、x4、x5均为正整数，且x1+x2+x3+x4+x5≤x1x2x3x4x5．试求x5的最大值．22．某环形道路上顺时针排列着4所中学：A1，A2，A3，A4，它们顺次有彩电15台，8台，5台，12台．为使各校的彩电数相同，允许一些中学向相邻中学调出彩电．问怎样调配才能使调出的彩电台数最小？并求调出彩电的最小总台数．23．已知：实数x，y，z满足：x+y+z＝0，xy+yz+zx＝﹣3，求z的最大值．参考答案一．选择题1．解：由得：，代入M的表达式中得，M＝3x﹣2y+4z＝3x﹣（1﹣x）+4（2x﹣1）＝﹣，又因x、y、z均为非负实数，所以，即≤x≤1，当x＝时，M有最小值为﹣，当x＝1时，M有最大值为7．故选：B．2．解：∵a，b，c，d均为正数，且a+b+c+d＝1，∴必有0＜a，b，c，d＜1∵p＝+++，事实上我们在xOy坐标系中作出函数f（x）＝的图象，显然可以发现其图象一定在点（0，1）和（1，2）这两点连线的上方，而这两点连线的方程为y＝x+1，∴可以发现在（0，1）上恒有＞x+1，当然这样只是画图所得，未必准确，∴还要严格证明，证之如下：上式两边平方得：3x+1＞x2+2x+1，∴x2﹣x≤x（x﹣1）＜0，而此时x∈（0，1），可见上式显然成立．所以我们有：＞a+1，＞b+1，＞c+1，＞d+1，以上四式相加得p＝+++＞a+b+c+d+4＝5，即有P＞5．故选：A．3．解：∵y＝+，∴y2＝4+2＝4+2×，∵1≤x≤5，当x＝3时，y的最大值为2，当x＝1或5时，y的最小值为2，故当x＝1或5时，y取得最小值2，当x取1与5中间值3时，y取得最大值2，故y的最大值与最小值的差为2﹣2，故选：D．4．解：由已知得：y＝6﹣2x，代入u＝4x2+3xy+y2﹣6x﹣3y，整理得：u＝2x2﹣6x+18，而x≥0，y＝6﹣2x≥0，则0≤x≤3，u＝2（x﹣）2+，当x＝0或x＝3时，u取得最大值，u max＝18，当x＝时，u取得最小值，u min＝．故选：A．5．解：由题意得：，解得x≥0，又∵、、都是随x的增大而增大，∴当x＝0时，代数式取得最小值，此时式（）min＝+＝1+．故选：B．6．解：从数轴上可知，区间[﹣1，1]上的任一点x到点1与点﹣1的距离之和均为2；区间[﹣1，1]之外的点x到点1与点﹣1的距离之和均大于2．所以函数y＝|x﹣1|+|x+1|当﹣1≤x≤1时，取得最小值2．Ⅰ、y在区间[﹣1，1]上取得最小值2；故本选项错误；Ⅱ、y在区间[﹣1，1]上的任一点x到点1与点﹣1的距离之和均为2；故本选项错误；Ⅲ、y在区间[﹣1，1]之外的点x到点1与点﹣1的距离之和均大于2，且无限大，所以y在区间[﹣1，1]之外的点没有最大值；故本选项错误；Ⅳ、y在区间[﹣1，1]上的任一点x到点1与点﹣1的距离之和均为最小值2，所以有无穷多个x使y取到最小值．故本选项正确；故选：D．7．解：先考虑简单的情况：当|x|+|y|＝1时：当x＞0，y＞0时，x+y＝1，当x＞0，y＜0时，x﹣y＝1，当x＜0，y＞0时，y﹣x＝1，当x＜0，y＜0时，x+y＝﹣1，∴四条直线与坐标轴的交点分别为（0，1），（1，0），（﹣1，0），（0，﹣1），∴正方形边长为：＝，∴正方形面积为：×＝2．∵|x﹣1|+|y﹣1|＝1的在坐标系内的图象只不过是将|x|+|y|＝1的图象向右又向上移动了一个单位，图象的形状并未改变，∴其面积依然为2．故选：C．8．解：要使（a+1）（b+1）（c+1）取得最小值，则三个因式都应取得最小值，∵m+n≥2，当且仅当m＝n时取得最小值，故可得①当a＝1时，a+1取得最小值2；②当b＝1时，b+1取得最小值2；③当c＝1时，c+1取得最小值2；又∵a＝1，b＝1，c＝1可能满足条件abc＝1，∴代数式（a+1）（b+1）（c+1）的最小值＝2×2×2＝8．故选：C．二．填空题（共8小题）9．解：求代数式，即+的最小值，实际上就是求x轴上一点到（0，﹣2）以及（12，3）两点的和的最小值，而两点间的距离是线段最短，所以，点到（0，﹣2）到点（12，3）的距离即为所求，即＝13．故答案为：13．10．解：由题设知a2﹣8b≥0，4b2﹣4a≥0．则a4≥64b2≥64a，∵a，b是正数，∴a3≥64，∴a≥4，b2≥a≥4．∴a2+b2≥20．又∵当a＝4，b＝2时，抛物线y＝x2+ax+2b和y＝x2+2bx+a都与x 轴有公共点，∴a2+b2的最小值是20．故答案为：20．11．解：∵|x|≤4，∴，∴当x＝﹣4时，y取最大值18，当x＝2时，y取最小值2．则最大值与最小值的差是18﹣2＝16．故答案为：16．12．解：∵a+b＝c，①b+c＝d，②c+d＝a，③由①+③，得（a+b）+（c+d）＝a+c，∴b+d＝0，④b+c＝d；⑤由④+⑤，得∴2b+c＝b+d＝0，∴c＝﹣2b；⑥由①⑥，得∴a＝c﹣b＝﹣3b，⑦由④⑥⑦，得∴a+b+c+d＝（a+c）+（b+d）＝a+c＝﹣5b；∵b是正整数，∴b≥1，∴a+b+c+d≤﹣5，∴a+b+c+d的最大值是﹣5．故答案为：﹣5．13．解：由题意得，f（x）有最大值，则可得λ＜0，又∵f（x）＝λ（x+）2+1﹣，∴f（x）的最大值为1﹣，又∵f（x）≤f（λ），∴f（λ）＝λ3+（λ﹣3）λ+1＝1﹣，解得：λ＝1（舍去）或λ＝﹣，将λ＝﹣，代入可得f（x）的最大值为．故答案为：．14．解：若代数式有意义，则，解得：x≥2，∵，，是增函数，∴当x＝2时，代数式的值最小，即＝2+1+0＝3．故答案为3．15．解：设y1＝|x﹣1|+|x﹣10|，则y1可以看作数轴上点x到点1与10的距离和，即可得当x＝＝5.5时，y1取最小值，同理：设y2＝|x﹣2|+|x﹣9|，y3＝|x﹣3|+|x﹣8|，y4＝|x﹣4|+|x﹣7|，y5＝|x﹣5|+|x﹣6|，∴当x＝5.5时，y2，y3，y4，y5取最小值，∴当x＝5.5时，函数y＝|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣10|取最小值，最小值为：y＝|5.5﹣1|+|5.5﹣2|+…+|5.5﹣10|＝4.5+3.5+2.5+1.5+…+0.5+0.5+1.5+2.5+3.5+4.5＝25．故答案为：25．16．解：由3a+2b+c＝5，2a+b﹣3c＝1得⇒，∴可得a＝7c﹣3，b＝7﹣11c，由a、b、c是非负数得：⇒≤c≤，又m＝3a+b﹣7c＝3c﹣2，故﹣≤m≤﹣，于是可得x＝﹣，y＝﹣，故xy＝﹣×（﹣）＝．三．解答题（共7小题）17．解：y＝2x2﹣4ax+a2+2a+2图象的对称轴为：x＝a，①当﹣1≤a≤2时，函数在x＝a处取得最小值2，故﹣a2+2a+2＝2，即a2﹣2a＝0，解得：a＝0或2，②当a＜﹣1时，函数在x＝﹣1处取得最小值2，代入函数式得2+4a+a2+2a+2＝2，即：a2﹣6a+2＝0，解得：a＝﹣3±，取a＝﹣3﹣，③当a＞2时，函数在x＝2处取得最小值2，代入函数式得：8﹣8a+a2+2a+2＝2，即a2﹣6a+8＝0，解得：a＝2或4，取a＝4．故a所有可能的值为：﹣3﹣，0，2，4．18．解：设＝k，则x＝2k+1，y＝﹣3k+2，z＝4k+3，∵x，y，z均为非负实数，∴，解得﹣≤k≤，于是W＝3x+4y+5z＝3（2k+1）﹣4（3k﹣2）+5（4k+3）＝14k+26，∴﹣×14+26≤14k+26≤×14+26，即19≤W≤．∴W的最大值是35，最小值是19．19．解：如图，用A、B、C、D、E分别表示这五所小学的位置，并设A向B调x1台电脑，B向C调x2台电脑，…，E向A调x5台电脑，依题意有：7+x1﹣x2＝11+x2﹣x3＝3+x3﹣x4＝14+x4﹣x5＝15+x5﹣x1＝50÷5＝10，所以，x2＝x1﹣3，x3＝x1﹣2，x4＝x1﹣9，x5＝x1﹣5，设调动的电脑的总台数为y，则y＝|x1|+|x1﹣3|+|x1﹣2|+|x1﹣9|+|x1﹣5|，这样，这个实际问题就转化为求y的最小值问题，并由上面所得结论知：当x1＝＝3时，y的最小值为|3|+|3﹣3|+|3﹣2|+|3﹣9|+|3﹣5|＝12，即调动的总台数为12．因为x1＝3时，x2＝0，x3＝1，x4＝﹣6，x5＝﹣2，故一小就向二小调3台电脑，二小不调出，三小向四小调一台电脑，五小向四小调6台电脑，一小向五小调2台电脑．20．解：（1）∵汽车在每小时70～110公里之间行驶时（含70公里和110公里），每公里耗油（+）升．∴y＝x×（+）＝（70≤x≤110）；（2）根据材料得：当时有最小值，解得：x＝90∴该汽车的经济时速为90千米/小时；当x＝90时百公里耗油量为100×（+）≈11.1升．21．解：由于x1、x2、x3、x4、x5在式中对称，故不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5，并令S＝x1+x2+x3+x4+x5≤x1x2x3x4x5．则S≤5x5，即t＝x1x2x3x4≤5；那么t为1或2或3或4或5，而a，b，c，d则为t的约数．①当t＝5时，由于t＝1×5，故令x1＝x2＝x3＝1，x4＝5，代入S 可得x5＝2，与x4≤x5相矛盾，故x5＝2不合题意；②同理，当t＝1或4时均不合题意．当t＝3时，x5＝3，符合题意；③当t＝2时，由于t＝1×2，令x1＝x2＝x3＝1，x4＝2，代入S可得x5＝5，符合题意；综上所述，故x5的最大值为5．22．解：设A1中学调给A2彩电x1台（若x1＜0，则认为是A2，向A1调出|x1|台），A2中学调给A3彩电x2台，A3调给A4x3台，A4调给A1x4台．∵共有40台彩电，平均每校10台，∴15﹣x1+x4＝10，8﹣x2+x1＝10，5﹣x3+x2＝10，12﹣x4+x3＝10，∴x4＝x1﹣5，x1＝x2+2，x2＝x3+5，x3＝x4﹣2，x3＝（x1﹣5）﹣2＝x1﹣7，x2＝（x1﹣7）+5＝x1﹣2．本题即求y＝|x1|+|x2|+|x3|+|x4|＝|x1|+|x1﹣2|+|x1﹣7|+|x1﹣5|的最小值，其中x1是满足﹣8≤x1≤15的整数．设x1＝x，并考虑定义在﹣8≤x≤15上的函数：y＝|x|+|x﹣2|+|x ﹣7|+|x﹣5|，当2≤x≤5时，y取最小值10，即当x1＝2，3，4，5时，|x1|+|x1﹣2|+|x1﹣7|+|x1﹣5|取到最小值10．从而调出彩电的最小台数为10，调配方案有如下4种：23．解：∵x+y+z＝0，∴x+y＝﹣z，①∵xy+yz+zx＝﹣3，∴xy＝﹣3﹣（yz+zx）＝﹣3﹣z（x+y）＝﹣3﹣z（﹣z），即xy＝﹣3+z2，②由①②及韦达定理知：xy是一元二次方程w2+zw+（﹣3+z2）＝0的两实根，则判别式△＝z2﹣4（﹣3+z2）≥0，化简得：z2≤4，∴﹣2≤z≤2，∴z的最大值是2．。
初中数学专题复习一元二次方程的根与系数的关系(B)及解答
一元二次方程的根与系数的关系(B)一、 填空：1．一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 如果方程ax 2+bx+c=0(a ≠0，Δ≥0)有两个实数根x 1和x 2，那么x 1+x 2=______，x 1x 2=_____．2．韦达定理只能在一元二次方程有实数根的条件下使用，因此等式 x 1+x 2 = -a b ，x 1x 2= ac 成立的条件是：a________，Δ________．3．根据乘法公式填空:(1)x 12+x 22=(x 1+x 2)2－______；(2)(x 1－x 2)2=(x 1+x 2)2－_______； （3）221212222121222221)(2)(11x x x x x x x x x x -=+=+；(4)． 丨x 1-x 2丨=a∆． 4．设方程3x 2-9x-1=0的两个根是x 1和x 2，则下列各式的值是:(1)x 1+x 2 =_____；(2)x 1x 2 =____； (3)x 1x 22+x 12x 2=_____；(4)(x 1－3)(x 2－3) =_____；（5）x 12+x 22=____；（6）(x 1－x 2)2=____；(7)2111x x +=____; (8) + =_____；(9)丨x 1－x 2丨=_____。
5． 已知方程2x 2-mx+n=0的两个根是－3和4， 那么由韦达定理得：－3+4=____，－3×4=____， 所以m=____，n=____．6．已知方程x 2-13x+m=0的两根满足 x 1-4x 2+2=0，那么由韦达定理得 ⎩⎨⎧=+-=+024___2121x x x x ，所以m=___．7． 方程5x 2+kx －10=0的一根x 1=－5,另一根是x 2,那么⎩⎨⎧=-=+-___5___522x x ，所以另一个根是____，k=___．8． 若方程4x 2-12x+n=0的两个根之比是2∶3，设两根为2k 和3k ，则⎩⎨⎧=⨯=+__32__32k k k k ，所以n=____．9．若方程x 2-ax －2a=0的两个根之和是4a －3，则由韦达定理得4a －3=___，a=___，两个根之积是___． 10．已知方程x 2－6x+m-3=0的两个根互为倒数，则x 1x 2=______=1， 所以m=_______，此时Δ=_____． 11． 以两个数x 1和x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是________________________． 12．若x 1+x 2=7，x 1x 2=5，则以x 1和2为根的一元二次方程是________________________________． 13．以3+2和3-2为根的一元二次方程是___________________________________。
中考复习三角形专题一(含答案)
2018年02月28日刘笑天的初中数学组卷一．选择题（共12小题）1．如图，两个三角形的面积分别是9，6，对应阴影部分的面积分别是m，n，则m﹣n等于（）A．2 B．3 C．4 D．无法确定2．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S△PAB=S△PCD，则满足此条件的点P（）A．有且只有1个B．有且只有2个C．组成∠E的角平分线D．组成∠E的角平分线所在的直线（E点除外）3．如图，AD是△ABC的角平分线，则AB：AC等于（）A．BD：CD B．AD：CD C．BC：AD D．BC：AC4．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB 上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个5．平面直角坐标系中，已知A（2，2）、B（4，0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）A．5 B．6 C．7 D．86．如图，已知△ABC的面积为12，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则△ADC 的面积是（）A．10 B．8 C．6 D．47．如图，在下列三角形中，若AB=AC，则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（）A．B．C． D．8．如图，P为边长为2的正三角形内任意一点，过P点分别作三边的垂线，垂足分别为D，E，F，则PD+PE+PF的值为（）A．B．C．2 D．29．如图，△ABC 的面积为20，点D 是BC 边上一点，且BD=BC ，点G 是AB 上一点，点H 在△ABC 内部，且四边形BDHG 是平行四边形，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．5B ．10C ．15D ．2010．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=90°，AB=BC=2，E 、F 分别是AD 、CD 的中点，连接BE 、BF 、EF ．若四边形ABCD 的面积为6，则△BEF 的面积为（ ）A ．2B ．C ．D ．3二．填空题（共14小题）11．如图，在△ABC 中，已知∠1=∠2，BE=CD ，AB=5，AE=2，则CE= ．12．如图，△ABC 的三边AB 、BC 、CA 长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O ，则S △ABO ：S △BCO ：S △CAO = ．13．如图，在△ABC中，∠B=40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=．14．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的长为．15．在三角形纸片ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D（不与B，C重合）是BC上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若EF的长度为a，则△DEF的周长为（用含a的式子表示）．16．如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点，则CD的长为．17．如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，点M在线段AB上，∠GMB=∠A，BG ⊥MG，垂足为G，MG与BC相交于点H．若MH=8cm，则BG=cm．18．如图1～4，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S1，S2，S3，…，S10，则S1+S2+S3+…+S10=．19．如图，在△ABC中，CD是高，CE是中线，CE=CB，点A、D关于点F对称，过点F作FG∥CD，交AC边于点G，连接GE．若AC=18，BC=12，则△CEG的周长为．20．如图，等边三角形的顶点A（1，1）、B（3，1），规定把等边△ABC“先沿x 轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如果这样连续经过2017次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为．21．如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为．22．如图，在一张长为7cm，宽为5cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为4cm 的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积为．23．在△ABC中，AB=13，AC=20，BC边上的高为12，则△ABC的面积为．24．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=10，DA=5，则四边形ABCD的面积为=，BD的长为．三．解答题（共4小题）25．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°．（1）若AD=2，求AB；（2）若AB+CD=2+2，求AB．26．如图：在矩形ABCD中，AD=60cm，CD=120cm，E、F为AB边的三等分点，以EF为边在矩形内作等边三角形MEF，N为AB边上一点，EN=10cm；请在矩形内找一点P，使△PMN为等边三角形（画出图形，并直接写出△PMF 的面积）．27．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE ⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH．（1）求sinB的值；（2）如果CD=，求BE的值．28．如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．（1）如图1，若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°①求证：AD=BE；②求∠AEB的度数．（2）如图2，若∠ACB=∠DCE=120°，CM为△DCE中DE边上的高，BN为△ABE 中AE边上的高，试证明：AE=2CM+BN．2018年02月28日刘笑天的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．如图，两个三角形的面积分别是9，6，对应阴影部分的面积分别是m，n，则m﹣n等于（）A．2 B．3 C．4 D．无法确定【分析】设空白出的面积为x，根据题意列出关系式，相减即可求出m﹣n的值．【解答】解：设空白出图形的面积为x，根据题意得：m+x=9，n+x=6，则m﹣n=9﹣6=3．故选B．【点评】本题考查了三角形的面积；设出未知数，根据三角形的面积得出关系式是解决问题的关键．2．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S△PAB=S△PCD，则满足此条件的点P（）A．有且只有1个B．有且只有2个C．组成∠E的角平分线D．组成∠E的角平分线所在的直线（E点除外）【分析】根据角平分线的性质分析，作∠E 的平分线，点P 到AB 和CD 的距离相等，即可得到S △PAB =S △PCD ．【解答】解：作∠E 的平分线，可得点P 到AB 和CD 的距离相等，因为AB=CD ，所以此时点P 满足S △PAB =S △PCD ．故选D ．【点评】此题考查角平分线的性质，关键是根据AB=CD 和三角形等底作出等高即可．3．如图，AD 是△ABC 的角平分线，则AB ：AC 等于（ ）A ．BD ：CDB ．AD ：CDC ．BC ：AD D ．BC ：AC【分析】先过点B 作BE ∥AC 交AD 延长线于点E ，由于BE ∥AC ，利用平行线分线段成比例定理的推论、平行线的性质，可得∴△BDE ∽△CDA ，∠E=∠DAC ，再利用相似三角形的性质可有=，而利用AD 时角平分线又知∠E=∠DAC=∠BAD ，于是BE=AB ，等量代换即可证．【解答】解：如图过点B作BE∥AC交AD延长线于点E，∵BE∥AC，∴∠DBE=∠C，∠E=∠CAD，∴△BDE∽△CDA，∴=，又∵AD是角平分线，∴∠E=∠DAC=∠BAD，∴BE=AB，∴=，∴AB：AC=BD：CD．故选：A．【点评】此题考查了角平分线的定义、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的推论．关键是作平行线．4．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB 上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】根据已知条件分别求出图中三角形的内角度数，再根据等腰三角形的判定即可找出图中的等腰三角形．【解答】解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°，∴∠A=∠ABD=36°，∴BD=AD，∴△ABD是等腰三角形；在△BCD中，∵∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=180°﹣36°﹣72°=72°，∴∠C=∠BDC=72°，∴BD=BC，∴△BCD是等腰三角形；∵BE=BC，∴BD=BE，∴△BDE是等腰三角形；∴∠BED=（180°﹣36°）÷2=72°，∴∠ADE=∠BED﹣∠A=72°﹣36°=36°，∴∠A=∠ADE，∴DE=AE，∴△ADE是等腰三角形；∴图中的等腰三角形有5个．故选D．【点评】此题考查了等腰三角形的判定，用到的知识点是等腰三角形的判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的角平分线定义等，解题时要找出所有的等腰三角形，不要遗漏．5．平面直角坐标系中，已知A（2，2）、B（4，0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】由点A、B的坐标可得到AB=2，然后分类讨论：若AC=AB；若BC=AB；若CA=CB，确定C点的个数．【解答】解：∵点A、B的坐标分别为（2，2）、B（4，0）．∴AB=2，①若AC=AB，以A为圆心，AB为半径画弧与坐标轴有3个交点（含B点），即（0，0）、（4，0）、（0，4），∵点（0，4）与直线AB共线，∴满足△ABC是等腰三角形的C点有1个；②若BC=AB，以B为圆心，BA为半径画弧与坐标轴有2个交点（A点除外），即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个；③若CA=CB，作AB的垂直平分线与坐标轴有两个交点，即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个；综上所述：点C在坐标轴上，△ABC是等腰三角形，符合条件的点C共有5个．故选A【点评】本题考查了等腰三角形的判定，也考查了通过坐标确定图形的性质以及分类讨论思想的运用．6．如图，已知△ABC的面积为12，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则△ADC 的面积是（）A．10 B．8 C．6 D．4【分析】延长BD交AC于点E，则可知△ABE为等腰三角形，则S△ABD =S△ADE，S△BDC=S△CDE，可得出S△ADC=S△ABC．【解答】解：如图，延长BD交AC于点E，∵AD平分∠BAE，AD⊥BD，∴∠BAD=∠EAD ，∠ADB=∠ADE ，在△ABD 和△AED 中，，∴△ABD ≌△AED （ASA ），∴BD=DE ，∴S △ABD =S △ADE ，S △BDC =S △CDE ，∴S △ABD +S △BDC =S △ADE +S △CDE =S △ADC ，∴S △ADC ═S △ABC =×12=6，故选C ．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定的应用，由BD=DE 得到S △ABD =S △ADE ，S △BDC =S △CDE 是解题的关键．7．如图，在下列三角形中，若AB=AC ，则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】A 、D 是黄金三角形，C 、过A 点作BC 的垂线即可；只有B 选项不能被一条直线分成两个小等腰三角形．【解答】解：A 、中作∠B 的角平分线即可；C 、过A 点作BC 的垂线即可；D 、中以A 为顶点AB 为一边在三角形内部作一个72度的角即可；只有B选项不能被一条直线分成两个小等腰三角形．故选B．【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题的4个选项中只有D选项有点难度，所以此题属于中档题．8．如图，P为边长为2的正三角形内任意一点，过P点分别作三边的垂线，垂足分别为D，E，F，则PD+PE+PF的值为（）A．B．C．2 D．2【分析】首先连接PA、PB、PC，再根据正三角形的面积的求法，求出边长为2的正三角形的面积是多少；然后判断出S ABC=S APB+S APC+S BPC=PD+PE+PF，据此求出PD+PE+PF的值为多少即可．【解答】解：如图，连接PA、PB、PC，，∵△ABC是边长为2的正三角形，∴△ABC的面积为：；∵S ABC=S APB+S APC+S BPC=×2×PD+×2×PF+×2×PE=PD+PE+PF∴PD+PE+PF=，即PD+PE+PF的值为．故选：B．【点评】（1）此题主要考查了等边三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．②等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；③它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．（2）此题还考查了等边三角形的面积的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：边长是a的等边三角形的面积是a2．9．如图，△ABC的面积为20，点D是BC边上一点，且BD=BC，点G是AB上一点，点H在△ABC内部，且四边形BDHG是平行四边形，则图中阴影部分的面积是（）A．5 B．10 C．15 D．20【分析】设△ABC底边BC上的高为h，△AGH底边GH上的高为h1，△CGH底边GH上的高为h2，根据图形可知h=h1+h2．利用三角形的面积公式结合平行四边形的性质即可得出S阴影=S△ABC，由此即可得出结论．【解答】解：设△ABC底边BC上的高为h，△AGH底边GH上的高为h1，△CGH 底边GH上的高为h2，则有h=h1+h2，S△ABC=BC•h=2，∴S阴影=S△AGH+S△CGH=GH•h1+GH•h2=GH•（h1+h2）=GH•h．∵四边形BDHG是平行四边形，且BD=BC，∴GH=BD=BC，∴S阴影=×（BC•h）=S△ABC=5．故选A．【点评】本题考查了三角形的面积公式以及平行四边形的性质，解题的关键是找出S阴影=S△ABC．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据三角形的面积公式找出阴影部分的面积与△ABC的面积之间的关系是关键．10．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=2，E、F分别是AD、CD 的中点，连接BE、BF、EF．若四边形ABCD的面积为6，则△BEF的面积为（）A．2 B．C．D．3【分析】连接AC，过B作EF的垂线，利用勾股定理可得AC，易得△ABC的面积，可得BG和△ADC的面积，三角形ABC与三角形ACD同底，利用面积比可得它们高的比，而GH又是△ACD以AC为底的高的一半，可得GH，易得BH，由中位线的性质可得EF的长，利用三角形的面积公式可得结果．【解答】解：连接AC，过B作EF的垂线交AC于点G，交EF于点H，∵∠ABC=90°，AB=BC=2，∴AC===4，∵△ABC为等腰三角形，BH⊥AC，∴△ABG，△BCG为等腰直角三角形，∴AG=BG=2∵S△ABC=•AB•BC=×2×2=4，∴S△ADC=2，∵=2，∵△DEF∽△DAC，∴GH=BG=，∴BH=，又∵EF=AC=2，∴S△BEF=•EF•BH=×2×=，故选C．方法二：S△BEF =S四边形ABCD﹣S△ABE﹣S△BCF﹣S△FED，易知S△ABE +S△BCF=S四边形ABCD=3，S△EDF=，∴S△BEF =S四边形ABCD﹣S△ABE﹣S△BCF﹣S△FED=6﹣3﹣=．故选C．【点评】此题主要考查了三角形面积的运算，作出恰当的辅助线得到三角形的底和高是解答此题的关键．二．填空题（共14小题）11．如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE=3．【分析】由已知条件易证△ABE≌△ACD，再根据全等三角形的性质得出结论．【解答】解：△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（AAS），∴AD=AE=2，AC=AB=5，∴CE=BD=AB﹣AD=3，故答案为3．【点评】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，熟记定理是解题的关键．12．如图，△ABC 的三边AB 、BC 、CA 长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O ，则S △ABO ：S △BCO ：S △CAO = 4：5：6 ．【分析】首先过点O 作OD ⊥AB 于点D ，作OE ⊥AC 于点E ，作OF ⊥BC 于点F ，由OA ，OB ，OC 是△ABC 的三条角平分线，根据角平分线的性质，可得OD=OE=OF ，又由△ABC 的三边AB 、BC 、CA 长分别为40、50、60，即可求得S △ABO ：S △BCO ：S △CAO 的值．【解答】解：过点O 作OD ⊥AB 于点D ，作OE ⊥AC 于点E ，作OF ⊥BC 于点F ， ∵OA ，OB ，OC 是△ABC 的三条角平分线，∴OD=OE=OF ，∵△ABC 的三边AB 、BC 、CA 长分别为40、50、60，∴S △ABO ：S △BCO ：S △CAO =（AB•OD ）：（BC•OF ）：（AC•OE ）=AB ：BC ：AC=40：50：60=4：5：6．故答案为：4：5：6．【点评】此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．13．如图，在△ABC 中，∠B=40°，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ，则∠AEC= 70° ．【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角定理求得∠DAC+∠ACF=（∠B+∠B+∠1+∠2）；最后在△AEC中利用三角形内角和定理可以求得∠AEC的度数．【解答】解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF；又∵∠B=40°（已知），∠B+∠1+∠2=180°（三角形内角和定理），∴∠DAC+∠ACF=（∠B+∠2）+（∠B+∠1）=（∠B+∠B+∠1+∠2）=110°（外角定理），∴∠AEC=180°﹣（∠DAC+∠ACF）=70°．故答案为：70°．【点评】此题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质，熟练应用角平分线的性质是解题关键．14．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的长为．【分析】设EH=3x，表示出EF，由AD﹣EF表示出三角形AEH的边EH上的高，根据三角形AEH与三角形ABC相似，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出x的值，即为EH的长．【解答】解：如图所示：∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥BC，∴△AEH∽△ABC，∵AM⊥EH，AD⊥BC，∴，设EH=3x，则有EF=2x，AM=AD﹣EF=2﹣2x，∴，解得：x=，则EH=．故答案为：．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．15．在三角形纸片ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D（不与B，C重合）是BC上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若EF的长度为a，则△DEF的周长为3a（用含a的式子表示）．【分析】由折叠的性质得出BE=EF=a，DE=BE，则BF=2a，由含30°角的直角三角形的性质得出DF=BF=a，即可得出△DEF的周长．【解答】解：由折叠的性质得：B点和D点是对称关系，DE=BE，则BE=EF=a，∴BF=2a，∵∠B=30°，∴DF=BF=a，∴△DEF的周长=DE+EF+DF=BF+DF=2a+a=3a；故答案为：3a．【点评】本题考查了翻折变换的性质、含30°角的直角三角形的性质、三角形周长的计算；熟练掌握翻折变换的性质，由含30°角的直角三角形的性质得出DF=a 是解决问题的关键．16．如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点，则CD的长为．【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出CD=AD，故AB=BD+AD=BD+CD，设CD=x，则BD=4﹣x，在Rt△BCD中根据勾股定理求出x的值即可．【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴CD=AD，∴AB=BD+AD=BD+CD，设CD=x，则BD=4﹣x，在Rt△BCD中，CD2=BC2+BD2，即x2=32+（4﹣x）2，解得x=．故答案为：．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．17．如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，点M在线段AB上，∠GMB=∠A，BG ⊥MG，垂足为G，MG与BC相交于点H．若MH=8cm，则BG=4cm．【分析】如图，作MD⊥BC于D，延长DE交BG的延长线于E，构建等腰△BDM、全等三角形△BED和△MHD，利用等腰三角形的性质和全等三角形的对应边相等得到：BE=MH，所以BG=MH=4．【解答】解：如图，作MD⊥BC于D，延长MD交BG的延长线于E，∵△ABC中，∠C=90°，CA=CB，∴∠ABC=∠A=45°，∵∠GMB=∠A，∴∠GMB=∠A=22.5°，∵BG⊥MG，∴∠BGM=90°，∴∠GBM=90°﹣22.5°=67.5°，∴∠GBH=∠EBM﹣∠ABC=22.5°．∵MD∥AC，∴∠BMD=∠A=45°，∴△BDM为等腰直角三角形∴BD=DM，而∠GBH=22.5°，∴GM平分∠BMD，而BG⊥MG，∴BG=EG，即BG=BE，∵∠MHD+∠HMD=∠E+∠HMD=90°，∴∠MHD=∠E，∵∠GBD=90°﹣∠E，∠HMD=90°﹣∠E，∴∠GBD=∠HMD，∴在△BED和△MHD中，，∴△BED≌△MHD（AAS），∴BE=MH，∴BG=MH=4．故答案是：4．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的性质．18．如图1～4，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S1，S2，S3，…，S10，则S1+S2+S3+…+S10=π．【分析】（1）图1，作辅助线构建正方形OECF，设圆O的半径为r，根据切线长定理表示出AD和BD的长，利用AD+BD=5列方程求出半径r=（a、b是直角边，c为斜边），运用圆面积公式=πr2求出面积=π；（2）图2，先求斜边上的高CD的长，再由勾股定理求出AD和BD，利用半径r=（a、b是直角边，c为斜边）求两个圆的半径，从而求出两圆的面积和=π；（3）图3，继续求高DM和CM、BM，利用半径r=（a、b是直角边，c 为斜边）求三个圆的半径，从而求出三个圆的面积和=π；综上所述：发现S1+S2+S3+…+S10=π．【解答】解：（1）图1，过点O做OE⊥AC，OF⊥BC，垂足为E、F，则∠OEC=∠OFC=90°∵∠C=90°∴四边形OECF为矩形∵OE=OF∴矩形OECF为正方形设圆O的半径为r，则OE=OF=r，AD=AE=3﹣r，BD=4﹣r∴3﹣r+4﹣r=5，r==1∴S1=π×12=π（2）图2，由S=×3×4=×5×CD△ABC∴CD=由勾股定理得：AD==，BD=5﹣=由（1）得：⊙O的半径==，⊙E的半径==∴S1+S2=π×+π×=π=××=×4×MD（3）图3，由S△CDB∴MD=由勾股定理得：CM==，MB=4﹣=由（1）得：⊙O的半径=，：⊙E的半径==，：⊙F的半径==∴S1+S2+S3=π×+π×+π×=π∴图4中的S1+S2+S3+S4=π则S1+S2+S3+…+S10=π故答案为：π．【点评】本题考查了直角三角形的内切圆，这是一个图形变化类的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解；解决此题的思路为：①先找出计算直角三角形内切圆半径的规律：半径r=（a、b是直角边，c为斜边）；②利用面积相等计算斜边上的高；③运用勾股定理计算直角三角形的边长．19．如图，在△ABC中，CD是高，CE是中线，CE=CB，点A、D关于点F对称，过点F作FG∥CD，交AC边于点G，连接GE．若AC=18，BC=12，则△CEG的周长为27．【分析】先根据点A、D关于点F对称可知点F是AD的中点，再由CD⊥AB，FG ∥CD可知FG是△ACD的中位线，故可得出CG的长，再根据点E是AB的中点可知GE是△ABC的中位线，故可得出GE的长，由此可得出结论．【解答】解：∵点A、D关于点F对称，∴点F是AD的中点．∵CD⊥AB，FG∥CD，∴FG是△ACD的中位线，AC=18，BC=12，∴CG=AC=9．∵点E是AB的中点，∴GE是△ABC的中位线，∵CE=CB=12，∴GE=BC=6，∴△CEG的周长=CG+GE+CE=9+6+12=27．故答案为：27．【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键．20．如图，等边三角形的顶点A（1，1）、B（3，1），规定把等边△ABC“先沿x 轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如果这样连续经过2017次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为（﹣2015，﹣﹣1）．【分析】据轴对称判断出点A变换后在x轴下方，然后求出点A纵坐标，再根据平移的距离求出点A变换后的横坐标，最后写出即可．【解答】解：∵△ABC是等边三角形AB=3﹣1=2，∴点C到x轴的距离为1+2×=+1，横坐标为2，∴C（2，+1），第2017次变换后的三角形在x轴下方，点C的纵坐标为﹣﹣1，横坐标为2﹣2017×1=﹣2015，所以，点C的对应点C′的坐标是（﹣2015，﹣﹣1），故答案为：（﹣2015，﹣﹣1）．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，等边三角形的性质，读懂题目信息，确定出连续2016次这样的变换得到三角形在x轴上方是解题的关键．21．如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为2或2或2．【分析】利用分类讨论，当∠ABP=90°时，如图2，由对顶角的性质可得∠AOC=∠BOP=60°，易得∠BPO=30°，易得BP的长，利用勾股定理可得AP的长；当∠APB=90°时，分两种情况讨论，情况一：如图1，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出PO=BO，易得△BOP为等边三角形，利用锐角三角函数可得AP的长；易得BP，利用勾股定理可得AP的长；情况二：如图3，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得结论．【解答】解：当∠APB=90°时（如图1），∵AO=BO，∴PO=BO，∵∠AOC=60°，∴∠BOP=60°，∴△BOP为等边三角形，∵AB=BC=4，∴AP=AB•sin60°=4×=2；当∠ABP=90°时（如图2），∵∠AOC=∠BOP=60°，∴∠BPO=30°，∴BP===2，在直角三角形ABP中，AP==2，情况二：如图3，∵AO=BO，∠APB=90°，∴PO=AO，∵∠AOC=60°，∴△AOP为等边三角形，∴AP=AO=2，故答案为：2或2或2．【点评】本题主要考查了勾股定理，含30°直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线，分类讨论，数形结合是解答此题的关键．22．如图，在一张长为7cm，宽为5cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为4cm 的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积为8cm2或2cm2或2cm2．【分析】因为等腰三角形腰的位置不明确，所以分三种情况进行讨论：（1）△AEF为等腰直角三角形，直接利用面积公式求解即可；（2）先利用勾股定理求出AE边上的高BF，再代入面积公式求解；（3）先求出AE边上的高DF，再代入面积公式求解．【解答】解：分三种情况计算：（1）当AE=AF=4时，如图：∴S=AE•AF=×4×4=8（cm2）；△AEF（2）当AE=EF=4时，如图：则BE=5﹣4=1，BF===，∴S=•AE•BF=×4×=2（cm2）；△AEF（3）当AE=EF=4时，如图：则DE=7﹣4=3，DF===，=AE•DF=×4×=2（cm2）；∴S△AEF故答案为：8或2或2．【点评】本题主要考查矩形的角是直角的性质和勾股定理的运用，要根据三角形的腰长的不确定分情况讨论，有一定的难度．23．在△ABC中，AB=13，AC=20，BC边上的高为12，则△ABC的面积为126或66．【分析】分两种情况：①∠B为锐角；②∠B为钝角；利用勾股定理求出BD、CD，即可求出BC的长．【解答】解：分两种情况：①当∠B为锐角时，如图1所示，在Rt△ABD中，BD===5，在Rt△ADC中，CD===16，∴BC=BD+CD=21，∴△ABC的面积为×21×12=126；②当∠B为钝角时，如图2所示，在Rt△ABD中，BC=CD﹣BD=16﹣5=11，所以△ABC的面积为×11×12=66；故答案为：126或66．【点评】本题主要考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，画出图形，分类讨论是解答此题的关键．24．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=10，DA=5，则四边形ABCD的面积为=31，BD的长为2．【分析】连接AC ，在Rt △ABC 中，根据勾股定理求出AC 的长，利用勾股定理的逆定理，说明△ACD 是直角三角形．利用Rt △ABC 和Rt △ACD 的面积和求出四边形ABCD 的面积．过点D 作DE ⊥BC ，交BC 的延长线与点E ．易证明△ABC ∽△CED ，求出DE 、CE 的长，再利用勾股定理求出BD 的长，【解答】解：连接AC ，过点D 作DE ⊥BC ，交BC 的延长线与点E ．因为∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴AC==5，由于AC 2+CD 2=25+100=125，AD 2=（5）2=125， ∴AC 2+CD 2=AD 2．所以∠ACD=90°．所以S 四边形ABCD =S △ABD +S △ACD = =×3×4+×5×10=6+25=31．∵∠DEC=90°，∴∠DCE +∠CDE=90°，所以∠DCE +∠ACB=90°，∴∠CDE=∠ACB ，又∵∠ABC=90°，∴△ABC ∽△CED∴CE=6，DE=8．∴BE=BC +CE=10，在Rt △DEB 中， DB===2故答案为：31，2【点评】本题考查了直角三角形的勾股定理和逆定理及相似三角形的判定．解决本题的关键是连接AC利用直角三角形的面积求出四边形的面积．三．解答题（共4小题）25．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°．（1）若AD=2，求AB；（2）若AB+CD=2+2，求AB．【分析】（1）在四边形ABCD中，由∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°，得∠BDF=∠ADC﹣∠ADB=165°﹣105°=60°，△ADE与△BCF为等腰直角三角形，求得AE，利用锐角三角函数得BE，得AB；（2）设DE=x，利用（1）的某些结论，特殊角的三角函数和勾股定理，表示AB，CD，得结果．【解答】解：（1）过D点作DE⊥AB，过点B作BF⊥CD，∵∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°，∴∠ADC=360°﹣∠A﹣∠C﹣∠ABC=360°﹣45°﹣45°﹣105°=165°，∴∠BDF=∠ADC﹣∠ADB=165°﹣105°=60°，△ADE与△BCF为等腰直角三角形，∵AD=2，∴AE=DE==，∵∠ABC=105°，∴∠ABD=105°﹣45°﹣30°=30°，∴BE===，∴AB=；（2）设DE=x，则AE=x，BE===，∴BD==2x，∵∠BDF=60°，∴∠DBF=30°，∴DF==x，∴BF===，∴CF=，∵AB=AE+BE=，CD=DF+CF=x，AB+CD=2+2，∴AB=+1【点评】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质、含有30°角的直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线DE、BF，构造直角三角形，求出相应角的度数．26．如图：在矩形ABCD中，AD=60cm，CD=120cm，E、F为AB边的三等分点，以EF为边在矩形内作等边三角形MEF，N为AB边上一点，EN=10cm；请在矩形内找一点P，使△PMN为等边三角形（画出图形，并直接写出△PMF 的面积）．【分析】如图，以MN为边容易作出等边三角形，结合等边三角形的性质，连接PE，可证明△MPE≌△MNF，可证明PE∥MF，容易求得S△PMF=S△MEF，可求得答案．【解答】解：如图，以MN为边，可作等边三角形PMN；△PMF的面积为400．（求解过程如下）．连接PE，∵△MEF和△PMN为等边三角形，∴∠PMN=∠EMF=∠MFE=60°，MN=MP，ME=MF，∴∠PME=∠NMF，在△MPE和△MNF中，，∴△MPE≌△MNF（SAS），∴∠MEP=∠MFE=60°，∴∠PEN=60°，∴PE∥MF，∴S△PMF =S△MEF=EF2=400．【点评】本题主要考查等边三角形的性质及全等三角形的性质和判定，利用全等证得PE∥MF，得到S△PMF =S△MEF是解题的关键．27．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE ⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH．（1）求sinB的值；（2）如果CD=，求BE的值．【分析】（1）根据∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，可得出CD=BD，则∠B=∠BCD，再由AE⊥CD，可证明∠B=∠CAH，由AH=2CH，可得出CH：AC=1：，即可得出sinB的值；（2）根据sinB的值，可得出AC：AB=1：，再由AB=2，得AC=2，则CE=1，从而得出BE．【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，∴CD=BD，∴∠B=∠BCD，∵AE⊥CD，∴∠CAH+∠ACH=90°，又∠ACB=90°∴∠BCD+∠ACH=90°∴∠B=∠BCD=∠CAH，即∠B=∠CAH，∵AH=2CH，∴由勾股定理得AC=CH，∴CH：AC=1：，∴sinB=；（2）∵sinB=，∴AC：AB=1：，∴AC=2．∵∠CAH=∠B，∴sin∠CAH=sinB==，设CE=x（x＞0），则AE=x，则x2+22=（x）2，∴CE=x=1，AC=2，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，∵AB=2CD=2，∴BC=4，∴BE=BC﹣CE=3．【点评】本题考查了解直角三角形，以及直角三角形斜边上的中线，注意性质的应用，难度不大．28．如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．（1）如图1，若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°①求证：AD=BE；②求∠AEB的度数．（2）如图2，若∠ACB=∠DCE=120°，CM为△DCE中DE边上的高，BN为△ABE 中AE边上的高，试证明：AE=2CM+BN．【分析】（1）①通过角的计算找出∠ACD=∠BCE，再结合△ACB和△DCE均为等腰三角形可得出“AC=BC，DC=EC”，利用全等三角形的判定（SAS）即可证出△ACD ≌△BCE，由此即可得出结论AD=BE；②结合①中的△ACD≌△BCE可得出∠ADC=∠BEC，再通过角的计算即可算出∠AEB的度数；（2）根据等腰三角形的性质结合顶角的度数，即可得出底角的度数，利用（1）的结论，通过解直角三角形即可求出线段AD、DE的长度，二者相加即可证出结论．【解答】（1）①证明：∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°，∴∠ACB=∠DCE=180°﹣2×50°=80°．∵∠ACB=∠ACD+∠DCB，∠DCE=∠DCB+∠BCE，∴∠ACD=∠BCE．∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，∴AC=BC，DC=EC．在△ACD和△BCE中，有，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE．②解：∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC．∵点A，D，E在同一直线上，且∠CDE=50°，∴∠ADC=180°﹣∠CDE=130°，∴∠BEC=130°．∵∠BEC=∠CED+∠AEB，且∠CED=50°，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=130°﹣50°=80°．（2）证明：∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=120°，∴∠CDM=∠CEM=×（180°﹣120°）=30°．∵CM⊥DE，∴∠CMD=90°，DM=EM．在Rt△CMD中，∠CMD=90°，∠CDM=30°，∴DE=2DM=2×=2CM．∵∠BEC=∠ADC=180°﹣30°=150°，∠BEC=∠CEM+∠AEB，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CEM=150°﹣30°=120°，∴∠BEN=180°﹣120°=60°．在Rt△BNE中，∠BNE=90°，∠BEN=60°，∴BE==BN．∵AD=BE，AE=AD+DE，∴AE=BE+DE=BN+2CM．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定及性质、解直角三角形以及角的计算，解题的关键是：（1）通过角的计算结合等腰三角形的性质证出△ACD≌△BCE；（2）找出线段AD、DE的长．本题属于中档题，难度不大，但稍显繁琐，解决该题型题目时，利用角的计算找出相等的角，再利用等腰三角形的性质找出相等的边或角，最后根据全等三角形的判定定理证出三角形全是关键．。
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第二部分 专题一 类型一 1．(2018·安徽)矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，点P 在矩形ABCD 的内部，点E 在边BC
上，满足△PBE ∽△DBC ，若△APD 是等腰三角形，则PE 的长为3或65
. 2．(2019·原创)正方形ABCD 的边长为4，E 是AD 的中点，点P 是直线BC 边上的动点，若CP ＝6，则EP 长为45或4 2.
3．(2018·江西名校联盟二)△ABC 中，∠A ＝30°，AC ＝8，∠B ＝90°，点D 在AB 上，BD ＝3，点P 在△ABC 上，则当AP ＝2PD 时，PD 的长为3，3或15.
4．(2018·牡丹江)矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，点M 在对角线AC 上，且AM ∶MC ＝2∶3，过点M 作EF ⊥AC 交AD 于点E ，交BC 于点F .在AC 上取一点P ，使∠MEP ＝∠EAC ，则AP
的长为74或254
. 5．(2018·景德镇三模)如图，在菱形ABCD 中，其对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是线段BO 上的一个动点，点F 为射线DC 上一点，若∠ABC ＝60°，∠AEF ＝120°，AB ＝4，则EF 可能的整数值是2,3,4.
6．(2018·上饶模拟)如图，一次函数y ＝kx ＋1的图象过点A (1,2)，且与x 轴相交于点B .若点P 是坐标轴上的一点，且满足∠APB ＝90°，则点P 的坐标是P 1(1,0)，P 2(0,1＋2)，P 3(0,1－2).
7．(2019·原创)如图，已知点A 为⊙O 上一点，射线AM 与⊙O 的另一交点为B ，且AB
＝8，⊙O 的半径为5.若P 为射线AM 上的一点，BP ＝2，则tan ∠OPA 的值为12或32
.。