解直角三角形的应用模型
模型构建专题：解直角三角形应用中的基本模型之六大类型(解析版)
模型构建专题：解直角三角形应用中的基本模型之六大类型【考点导航】目录【典型例题】【类型一含特殊角(“30°，45°，60°”)的非直角三角形】【类型二不含特殊角的非直角三角形】【类型三“独立”型】【类型四“背靠背”型】【类型五“叠合”型】【类型六“斜截”型】【典型例题】【类型一含特殊角(“30°，45°，60°”)的非直角三角形】1(2023·辽宁葫芦岛·统考二模)如图，小明在游玩时想利用手中的无人机测量一山崖CD(垂直于地面)的高度，小明从A点看向无人机B的仰角为45°．从无人机B处测得看山崖顶端C的仰角为30°，测得看山崖底部D处的俯角为60°，无人机B与山崖的水平距离BE为50米．(图中各点均在同一平面内)．(1)求山崖的高度(结果保留根号)；(2)若点A距离地面2米，求小明到山崖的水平距离(结果取整数)．(参考数据：2≈1.414，3=1.732)【答案】(1)20033米(2)135米【分析】(1)利用锐角三角函数求得CE和ED，根据CD=CE+ED，即可得到答案；(2)过点A作AF⊥AD于点F，过点B作BG⊥AF于点G，得矩形BEFG，进而求得BG，利用锐角三角函数求得AG，即可得到答案．【详解】(1)解：由题意可知：∠CBE=30°，∠DBE=60°，BE=50，在Rt△BEC中，tan∠CBE=CE BE，∴CE=tan30°⋅BE=33×50=5033，在Rt△BED中，tan∠DBE=ED BE，∴ED=tan60°⋅BE=3×50=503，∴CD=CE+ED=5033+503=20033米答：山崖的高度约为20033米；(2)解：如图，过点A作AF⊥AD于点F，过点B作BG⊥AF于点G，得矩形BEFG，则FD=2，GF=BE=50，∴BG=EF=ED-FD=503-2，在Rt△ABG中，∠BAG=45°，∴∠ABG=∠GAB=45°，∴AG=BG=503-2，∴AF=AG+GF=503-2+50=503+48≈135米，答：小明到山崖的距离约为135米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当辅助线是解题的关键．【变式训练】1(2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨德强学校校考阶段练习)为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加强了海洋巡逻力度，如图，一艘海监船位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔Р的北偏东30°方向上的B处．(1)在这段时间内，海监船与灯塔Р的最近距离是多少海里？(2)在这段时间内，海监船航行了多少海里？(结果保留根号)【答案】(1)在这段时间内，海监船与灯塔P的最近距离是502海里．(2)轮船航行的距离AB为502+506海里．【分析】(1)过点P作PC⊥AB于C点，则线段PC的长度即为海监船与灯塔P的最近距离．解等腰直角三角形APC，即可求出PC的长度．(2)海监船航行的路程即为AB的长度．先解Rt△PCB，求出BC的长，再由(1)得出AC=PC，再利用线段的和差可得答案．【详解】(1)解：过点P作PC⊥AB于C点，则线段PC的长度即为海监船与灯塔P的最近距离．由题意，得∠APC=90°-45°=45°，∠BPD=30°，DE∥AB，∴∠B=30°，AP=100海里．在Rt△APC中，∵∠ACP=90°，∠APC=45°，AP=502(海里)．∴PC=AC=22答：在这段时间内，海监船与灯塔P的最近距离是502海里．(2)在Rt△PCB中，∵∠BCP=90°，∠B=30°，PC=502海里，∴BC=PC=3PC=506(海里)．tan30°∴AB=AC+BC=502+506(海里)．答：轮船航行的距离AB为502+506海里．【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，掌握方向角的含义，锐角三角函数的定义是解本题的关键.2(2023·海南·统考中考真题)如图，一艘轮船在A处测得灯塔M位于A的北偏东30°方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达B处，测得灯塔M位于B的北偏东60°方向上，测得港口C位于B的北偏东45°方向上．已知港口C在灯塔M的正北方向上．(1)填空：∠AMB=度，∠BCM=度；(2)求灯塔M到轮船航线AB的距离(结果保留根号)；(3)求港口C与灯塔M的距离(结果保留根号)．【答案】(1)30，45(2)灯塔M到轮船航线AB的距离为103海里(3)港口C与灯塔M的距离为103-1海里【分析】(1)作CD⊥AB交AB于D，作ME⊥AB交AB于E，由三角形外角的定义与性质可得∠AMB= 30°，再由平行线的性质可得∠BCM=45°，即可得解；(2)作CD⊥AB交AB于D，作ME⊥AB交AB于E，由(1)可得：∠A=∠BMA=30°，从而得到BM= AB=20海里，再由EM=BM⋅sin∠EBM进行计算即可；(3)作CD⊥AB交AB于D，作ME⊥AB交AB于E，证明四边形CDEM是矩形，得到CD=EM=103海里，DE=CM，由BE=BM⋅cos∠EBM计算出BE的长度，证明△CDB是等腰直角三角形，得到CD= BD=103海里，即可得到答案．【详解】(1)解：如图，作CD⊥AB交AB于D，作ME⊥AB交AB于E，∵∠DBM=∠A+∠AMB=30°+∠AMB=60°，∴∠AMB=30°，∵AB、CM都是正北方向，∴AB∥CM，∵∠DBC=45°，∴∠BCM=45°，故答案为：30，45；(2)解：如图，作CD⊥AB交AB于D，作ME⊥AB交AB于E，∴BM=AB=20海里，在Rt△BEM中，∠EBM=60°，BM=20海里，=103海里；∴EM=BM⋅sin∠EBM=20×sin60°=20×32∴灯塔M到轮船航线AB的距离为103海里；(3)解：如图，作CD⊥AB交AB于D，作ME⊥AB交AB于E，∵CD⊥AB，ME⊥AB，AB、CM都是正北方向，∴四边形CDEM是矩形，∴CD=EM=103海里，DE=CM，在Rt△BEM中，∠EBM=60°，BM=20海里，=10海里，2∵在Rt△CDB中，∠DBC=45°，∴△CDB是等腰直角三角形，∴CD=BD=103海里，∴CM=DE=BD-BE=103-10=103-1海里，∴港口C与灯塔M的距离为103-1海里．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解题的关键．3(2023春·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期中)无人机在实际生活中应用广泛．如图所示，某人利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中C处测得楼DH楼顶D处的俯角为45°，测得楼EF楼顶E处的俯角为60°．已知楼EF和楼DH之间的距离HF为90米，楼EF的高度为12米，从楼EF的E处测得楼DH的D处的仰角为30°，AB∥HF．(点A、B、C、D、E、F、H在同一平面内)．(参考数据：3≈1.73)(1)求楼DH的高度；(2)求此时无人机距离地面HF的高度．【答案】(1)303+12米(2)57米【分析】(1)过点E作EG⊥DH于点G，则四边形EFHG是矩形，由题意可得EG=FH=90米，HG=EF=12米，在Rt△GED中，利用tan∠DEG=DGEG求出DG，结合DH=DG+GH可得出答案．(2)作CN⊥FH于点N，交EG于点M，先证明CE=DE，在Rt△GED中求出CE的长，在Rt△CEM中求出CM的长，再根据CN=CM+MN可得出答案．【详解】(1)如图，过点E作EG⊥DH于点G，则四边形EFHG是矩形，则EG=FH=90米，HG=EF=12米．在Rt△GED中，∠DGE=90°，∠DEG=30°，∴tan∠DEG=DGEG∴DG =EG ⋅tan ∠DEG=EG ⋅tan30°=90×33=303．∴DH =DG +GH =303+12答：楼CD 高度为303+12 米；(2)如图，作CN ⊥FH 于点N ，交EG 于点M ，则MN =EF =12米．∵∠ACD =45°,∠BCE =60°，∴∠DCE =75°，∵AB ∥EG ，∴∠GEC =∠BCE =60°，∵∠DEG =30°，∴∠CED =30°，∴∠CDE =180°-75°-30°=75°，∴∠CDE =∠DCE ，∴CE =DE ，在Rt △GED 中，∠EGD =90°，∠DEG =30°，∴DE =2DG =603，∴CE =603，在Rt △CEM 中，∠CME =90°，∠CEM =60°，∴sin ∠CEM =CM CE，∴CM =CE ⋅sin ∠CEM =303×sin60°=45，∴CN =CM +MN =45+12=57．∴无人机距离地面BC 的高度为57米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．4(2023秋·海南海口·九年级校考期末)脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活，如图是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB 所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C 点测得尾顶A 的仰角为35°，此时地面上C 点、屋檐上E 点、屋顶上A 点三点恰好共线，继续向房屋方向走6m 到达点D 时，又测得屋檐E 点的仰角为60°，房屋的顶层横梁EF =12m ，EF ∥CB ，AB 交EF 于点G (点C ，D ，B 在同一水平线上)．(参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，3≈1.7)(1)求屋顶到横梁的距离AG ；(2)求房屋的高AB (结果精确到1m )．【答案】(1)4.2m(2)11.3m【分析】(1)依题意AG ⊥EF ，EG =12EF =6，∠AEG =∠ACB =35°，解Rt △AGE ，即可求解；(2)过E 作EH ⊥CB 于H ，设EH =x ，根据tan ∠EDH =EH DH 得出DH =x tan60°，在Rt △ECH 中，得到CH=xtan35°，根据CH-DH=CD=6m列出方程，解方程得出x≈7.14，进而根据AB=AG+BG，即可求解．【详解】(1)解：∵房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，EF∥BC，EF=12m，∴AG⊥EF，EG=12EF=6m，∠AEG=∠ACB=35°，在Rt△AGE中，∠AGE=90°，∠AEG=35°，∵tan∠AEG=tan35°=AGEG，EG=6，∴AG≈6×0.7=4.2(m)；答：屋顶到横梁的距离AG约为5.6m；(2)解：过E作EH⊥CB于H，设EH=x，在Rt△EDH中，∠EHD=90°，∠EDH=60°，∵tan∠EDH=EHDH，∴DH=xtan60°；在Rt△ECH中，∠EHC=90°，∠ECH=35°，∵tan∠ECH=EHCH，∴CH=xtan35°∵CH-DH=CD=6m，∴x tan35°-xtan60°=6，解得：x≈7.14，∴AB=AG+BG=7.14+4.2=11.34≈11.3(m)，答：房屋的高AB约为11.3m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．5(2023·辽宁葫芦岛·统考二模)无人机在实际生活中应用广泛．如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼CD楼顶D处的俯角为45°，测得楼AB楼顶A处的俯角为60°．已知楼AB和楼CD之间的距离BC为1003米，楼AB的高度为10米，从楼AB的A处测得楼CD的D处的仰角为30°(点A、B、C、D、P在同一平面内，参考数据：3≈1.732,2≈1.414)．(1)填空：∠ADP=度；(2)求楼CD的高度；(3)求此时无人机距离地面BC的高度(结果精确到1米)．【答案】(1)75(2)110米(3)183米【分析】(1)由平角的性质可得∠APD，过点A作AE⊥CD于点E，则∠DAE=30°，根据三角形内角和定理可得∠ADC；(2)由题意可得AE=BC=100米，EC=AB=10米，在Rt△AED中，tan30°=DEAE =DE100=33，解得DE=10033，结合CD=DE+EC可得出答案；(3)过点P作PG⊥BC于点G，交AE于点F，证明△APF≌△DAE，可得PF=AE=100米，再根据PG=PF+FG可得出答案；【详解】(1)解：∵∠MPA=60°,∠NPD=45°,∴∠APD=180°-∠MPA-∠NPD=75°，过点A作AE⊥CD于点E，则∠DAE=30°，∴∠ADC=180°-90°-30°=60°.∵MN∥AE,∴∠PAE=60°,∴∠PAD=30°,∠ADP=180°-∠APD-∠PAD=75°，故答案为：75(2)解：过点A作AE⊥CD于点E，则AE=BC=1003米，EC=AB=10米，在Rt△AED中，∠DAE=30°，∵tan30°=DEAE∴DE=AE×tan30°=1003×33=100∴CD=DE+EC=100+10=110米．答：楼CD的高度为110米．(3)解：过点P作PG⊥BC于点G，交AE于点F，∵∠DAE=30°∵AD=2DE=200∵∠APD=180°-60-°45°=75°,∠ADP=75°∴AP=AD=200在Rt△APF中，∠PAF=∠MPA=60°∵sin60°=PFPA∴PF=PA sin60°=1003∵FG=AB=10∴PG=PF+FG=1003+10≈183(米)答：此时无人机距离地面BC的高度约为183米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用一仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键【类型二不含特殊角的非直角三角形】1(2023秋·全国·九年级专题练习)如图，在2×4的方格中，两条线段的夹角(锐角)为∠1，则tan∠1=．【答案】1【分析】由勾股定理的逆定理可得∠CED =90°，可得∠EDC =∠ECD =45°，由平行线的性质和锐角三角函数可求解．【详解】解：如图，取格点E ，连接CE ,DE ，则CE ∥AB ，∵CE =5，DE =5，CD =10，∴DE =CE ，CE 2+DE 2=10=CD 2，∴∠CED =90°，∴∠EDC =∠ECD =45°，∵CE ∥AB ，∴∠1=∠DCE =45°，∴tan ∠1=1，故答案为：1．【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理的逆定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．【变式训练】1(2023·江苏宿迁·统考中考真题)如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A 、B 、C 三点都在格点上，则sin ∠ABC =．【答案】22【分析】取AB 的中点D ，连接AC ,CD ，先根据勾股定理可得AC =BC =10,CD =5，再根据等腰三角形的三线合一可得CD ⊥AB ，然后根据正弦的定义即可得．【详解】解：如图，取AB 的中点D ，连接AC ,CD ，∵AC =12+32=10,BC =12+32=10,CD =12+22=5，∴AC =BC ，又∵点D 是AB 的中点，∴CD ⊥AB ，∴sin ∠ABC =CD BC =510=22，故答案为：22．【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题、等腰三角形的三线合一、正弦，熟练掌握正弦的求解方法是解题关键．2(2023·全国·九年级专题练习)如图，△ABC 的三个顶点都在边长是1的小正方形的顶点上，则tan ∠BAC =．【答案】43【分析】过C 作CE ⊥AB 于E ，则∠AEC =90°，求出AE 和CE 的长，再解直角三角形求出tan ∠BAC 即可．【详解】解：如图，过C 作CE ⊥AB 于E ，∴∠AEC =90°，∵小正方形的边长为1，∴AE =3，CE =4，∴tan ∠BAC =CE AE =43．故答案为：43．【点睛】本题考查了解直角三角形．理解和掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．3(2023春·浙江杭州·九年级专题练习)在△ABC 中，AC =42，BC =6，∠C 为锐角且tan C =1．(1)求△ABC 的面积；(2)求AB 的值；(3)求cos ∠ABC 的值．【答案】(1)12(2)25(3)55【分析】(1)过点A 作AD ⊥BC ，根据∠C 的正切值确定∠C 的度数，再利用直角三角形的边角间关系求出AD 、CD ，最后利用三角形的面积公式算出△ABC 的面积；(2)先利用线段的和差关系求出BD ，然后在Rt △ABD 中利用勾股定理求出AB ；(3)在Rt △ABD 中利用直角三角形的边角间关系求出∠B 的余弦值．【详解】(1)解：过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，∴∠ADC =∠ADB =90°，∵∠C 为锐角且tan C =1，∴∠C =45°，∴∠DAC =90°-∠C =45°，∴∠DAC =∠C =45°，∴AD =DC ，在Rt △ACD ，∵sin C =AD AC，AC =42，∴DC =AD =AC ∙sin C =42×22=4，∵BC =6，∴S △ABC =12BC ∙AD =12×6×4=12．∴△ABC 的面积为12．(2)∵DC =AD =4，BC =6，∴BD =BC -DC =6-4=2，在Rt △ABD 中，AB =AD 2+BD 2=42+22=25．∴AB 的值为25．(3)在Rt △ABD 中，AB =25，BD =2，∴cos ∠ABC =BD AB =225=55．∴cos ∠ABC 的值为55．【点睛】本题主要考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、特殊角的三角函数值、三角形的面积公式及勾股定理是解题的关键．4(2023秋·重庆·九年级重庆实验外国语学校校考开学考试)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，点D 为BC 的中点，DE ⊥AC 于点E ，连接BE ．已知DE =2.(1)若tan C =12，求AB 的长度；(2)若∠C =30°，求sin ∠BEA ．【答案】(1)25(2)277【分析】(1)根据tan C =12，得到△CDE 中各边长的比值关系，计算出CD 的长度，根据中点的性质得到BC 的长度，最后再用tan C =12计算出AB 即可．(2)过点B 作BH ⊥AC 于点H ，根据∠C =30°，DE =2，算出CD 的长度，根据中点的性质得到BC 的长度，就可以算出BH 和CH 的长度，得到HE 的长度，勾股定理算出BE ，即可得到结论．【详解】(1)∵DE ⊥AC ，∴∠DEC =90°，∵tan C =12，DE =2，∴DE CE=12，∴CE =2DE =4，∴CD =25，∵点D 为BC 的中点，∴BC =2CD =45．在Rt △ABC 中，tan C =12，∴AB BC=12，∴AB =25．(2)过点B 作BH ⊥AC 于点H ，∵∠C =30°，DE =2，∴CD =4，CE =23，∵点D 为BC 的中点，∴BC =2CD =8，在Rt △BHC ，∠C =30°，∴BH =4，CH =43，∴EH =CH -CE =23．由勾股定理得：BE =27，∴sin ∠BEA =BH BE =427=277，【点睛】本题考查了解直角三角形，主要利用锐角三角函数值，勾股定理进行长度计算，理解锐角三角函数的含义，并能运用到题目中是解题关键．5(2023·宁夏吴忠·校考二模)问题呈现：如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D 、N 和E 、C ，DN 和EC 相交于点P ，求cos ∠CPN 的值．方法归纳：求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形.观察发现问题中∠CPN 不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解获此类问题，比如连接格点M 、N ，可得MN ∥EC ，则∠DNM =∠CPN ，连接DM ，那么∠CPN 就变换到Rt △DMN 中，问题解决：(1)求出图1中cos ∠CPN 的值；(2)如图2，在边长为1的正方形网格中，AN 与CM 相交于点P ，求tan ∠CPN 的值．【答案】(1)cos ∠CPN =55(2)tan ∠CPN =1【分析】(1)结合已知可得cos ∠CPN =cos ∠DNM =MNDN，求出结果即可；(2)取格点D ，连接CD ，DM ．由∠DCM =∠D =45°得，tan ∠CPN =tan ∠DCM =1．【详解】(1)解：∵EC ∥MN ，∴∠CPN =∠DNM ，∴cos ∠CPN =cos ∠DNM ，∵∠DMN =90°，MN =12+12=2，DN =32+12=10，∴cos ∠CPN =cos ∠DNM =MN DN =210=55；(2)解：如图2中，取格点D ，连接CD ，DM ，如图所示：∵CD ∥AN ，∴∠CPN =∠DCM ，∵CM =12+22=5，DM =12+22=5，CD =12+32=10，∴CM =DM ，∵CM 2+DM 2=5+5=10=CD 2，∴△DCM 是等腰直角三角形，∴∠DCM =∠CDM =45°，∴tan ∠CPN =tan ∠DCM =tan45°=1．【点睛】本题考查三角形综合题、平行线的性质、勾股定理及勾股定理逆定理，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会用转化的思想思考问题．6(2023秋·全国·九年级专题练习)在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =1，∠A =α，求sin2α(用含sin α，cos α的式子表示)．聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取AB 的中点O ，连接OC ，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则∠COB =2α，然后利用锐角三角函数在Rt △ABC 中表示出AC ，BC ，在Rt △ACD 中表示出CD ，则可以求出sin2α=CD OC=sin α⋅AC 12=sin α⋅cos α12=2sin α⋅cos α．阅读以上内容，回答下列问题：在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =1．(1)如图3，∠ACB =90°，AB =1，若BC =12，则sin α=，sin2α=；(2)请你参考阅读材料中的推导思路，求出tan2α的表达式(用含sin α，cos α的式子表示)．【答案】(1)12，32(2)tan2α=2sin α⋅cos α1-2sin 2α【分析】(1)根据勾股定理求得AC ，再根据三角函数的定义即可求得sin α和cos α，再根据sin2α=2sin α⋅cos α求解即可；(2)取AB 的中点O ，连接OC ，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则∠COB =2α，OC =12AB =12，在Rt △ACD 中表示出CD ，勾股定理求得OD ，即可求解．【详解】(1)解：由勾股定理可得：AC =AB 2-BC 2=32，由三角函数的定义可得sin α=BC AB =121=12，cos α=AC AB =321=32，由材料可得：sin2α=2sin α⋅cos α=2×12×32=32，故答案为：12，32(2)解：取AB 的中点O ，连接OC ，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，如下图：则∠COB =2α，OC =OB =12AB =12，2α<90°，α<45°，∴在Rt △ABC 中，AC =cos α，BC =sin α，∴CD =AC ×BCAB=sin α⋅cos α，∵∠DCB =∠A ，∴在Rt △BCD 中，sin ∠BCD =sin α=BD BC=BDsin α，∴BD =sin 2α，∴OD =12-sin 2α，∴tan2α=CD OD =sin α⋅cos α12-sin 2α=2sin α⋅cos α1-2sin 2α．【点睛】此题考查了三角函数定义的应用，解题的关键是是熟练掌握三角函数的定义，作辅助线构造直角三角形．【类型三“独立”型】1(2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习)如图，某校无人机兴趣小组借助无人机测量教学楼的高度AB ，无人机在离教学楼底部B 处16米的C 处垂直上升31米至D 处，测得教学楼顶A 处的俯角为39°，则教学楼的高度AB 约为米．(结果精确到0.1米)【参考数据：sin39°=0.63，cos39°=0.78，tan39°=0.81】【答案】18.0【分析】过A 作AF ⊥CD 于点F ，可得DE ∥AF ，根据题意可知CD =31米，BC =16米，由作图知AB =CF ，AF =BC =16米，在Rt △ADF 中利用三角函数可求出DF 的长，即可求得AB 的长．【详解】过A 作AF ⊥CD 于点F ，∴DE ∥AF ，CD =31米，BC =16米，AB =CF ，AF =BC =16米，在Rt △ADF 中，∠AFD =90°，tan ∠DAF =DFAF，∴DF=AF⋅tan∠DAF=16×0.81=12.96(米)，∴AB=CF=DC-DF=31-12.96=18.04≈18.0(米)，答：教学楼的高度AB约为18.0米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，借助仰角构造出直角三角形，然后利用三角函数进行求解是关键．【变式训练】1(2023春·山东日照·九年级日照市新营中学校考阶段练习)如图，AB是垂直于水平面的建筑物，沿建筑物底端B沿水平方向向左走8米到达点C，沿坡度i=1:2(坡度i=坡面铅直高度与水平宽度的比)斜坡走到点D，再继续沿水平方向向左走40米到达点E(A、B、C、D、E在同一平面内)，在E处测得建筑物顶端A的仰角为34°，已知建筑物底端B与水平面DE的距离为2米，则建筑物AB的高度约是(参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67)()A.27.1米B.30.8米C.32.8米D.49.2米【答案】C【分析】延长AB交ED的延长线于F，作CG⊥EF于G，首先根据坡度求出DG，再根据锐角三角函数构建方程即可解决问题．【详解】解：如图，延长AB交ED的延长线于F，作CG⊥EF于G，由题意得：FG=BC=8米，DE=40米，BF=CG=2米，在Rt△CDG中，i=1：2，∴DG=4米，在Rt△AFE中，∠AFE=90°，FE=FG+GD+DE=52米，∠E=43°，∴AF=FE⋅tan34°≈52×0.67=34.84(米)，∴AB=AF-BF=34.84-2≈32.8(米)；即建筑物AB的高度约为32.8米．故选：C．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角、坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．2(2023春·安徽淮南·九年级校联考阶段练习)如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼楼顶A处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为米；【答案】36-103【分析】在Rt△ADB中，由BD=AD⋅tan∠BAD可求BD，再由CD=BC-BD，即可求解．【详解】解：如图，由题意得：AD=30米，BC=36米，∠BAD=30°，在Rt△ADB中，BD=AD⋅tan∠BAD，=30×3=103，3∴CD=BC-BD=36-103，∴甲楼的高为(36-103)米；故答案：36-103．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握解法是解题的关键．3如图，小明在公园放风筝，拿风筝线的手B离地面高度AB为1.5m，风筝飞到C处时的线长BC为30m，这时测得∠CBD=53°，求此时风筝离地面的高度．(精确到0.1m，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3)【答案】此时风筝离地面的高度为25.5m【分析】根据矩形的判定和性质，直角三角形的性质，三角函数的计算方法即可求解．【详解】解：如图所示，AB=1.5m，BC=30m，由图可知，人垂直于地面，即BA 垂直于地面，点C 到地面的高度为CE ，即CE 垂直于地面，且BD ⊥CE ，∴四边形ABDE 是矩形，∴AB =DE =1.5m ，在Rt △BCD 中，∠BDC =90°，∠CBD =53°，∴sin ∠CBD =CDBC，∴CD =BC ∙sin ∠CBD =30×sin53°=30×0.8=24m ，∴CE =CD +DE =24+1.5=25.5m ，∴此时风筝离地面的高度为25.5m ．【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，矩形的判定和性质，三角函数的计算方法，掌握以上知识的运用是解题的关键．【类型四“背靠背”型】1(2023春·山东青岛·九年级统考开学考试)科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C 游玩，到达A 地后，导航显示车辆应沿北偏西67°方向行驶4千米至B 地，再沿北偏东23°方向行驶一段距离到达古镇C ，小明发现古镇C 恰好在A 地的正北方向，求B ，C 两地的距离(结果保留整数)(参考数据：sin67°≈1213，cos67°≈513，tan67°≈125，sin23°≈513，tan23°≈512)．【答案】B ，C 两地的距离约是10千米．【分析】根据平行线的性质可知∠DBA =∠BAC =67°，推出∠ABC =90°，再根据正切的定义求出BC 的长．【详解】解：如图：∵BD∥AC，∴∠DBA=∠BAC=67°，∴∠ABC=180°-23°-67°=90°，≈10(千米)．∴BC=BA⋅tan67°≈4×125答：B，C两地的距离约是10千米．【点睛】此题考查了方向角问题．此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解．【变式训练】1(2023春·江苏南通·九年级校考阶段练习)如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行302km至B 港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为km．【答案】30+103【分析】根据题意得，∠CAB=65°-20°=45°，∠ACB=40°+20°=60°，AB=302km，过B作BE⏊AC 于E，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：根据题意得，∠CAB=65°-20°=45°，∠ACB=40°+20°=60°，AB=302km，过B作BE⏊AC于E，∴∠AEB=∠CEB=90°，在Rt△ABE中，∵∠CAB=45°，AB=302km，AB=30km，∴AE=BE=22在Rt△CBE中，∵∠ACB=60°，∴∠CBE=30°，×30=103km，tan×BE=3∴CE=∠CEB3∴AC=AE+CE=30+103km，∴A，C两港之间的距离为30+103km，故答案为：30+103．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．2(2023春·海南省直辖县级单位·九年级统考期中)某校举办以“测量”为主题的数学实践活动，该校数学兴趣小组准备借助无人机来测量小区内的一座大楼高度．如图所示，无人机从地面点A处沿着与地面垂直的方向上升，至点B处时，测得大楼底部C的俯角为30°，E测得大楼顶部D的仰角为45°．无人机保持航向不变继续上升50米到达点E处，此时测得大楼顶部D的俯角为60°．已知A、C两点在同一水平线上．(1)填空：∠DBE=度，∠BED=度；(2)求A、C两点间的距离：(结果保留根号)(3)求这座大楼CD的高度．(结果保留根号)【答案】(1)45；30(2)253-25米(3)5033米【分析】(1)根据俯角和仰角的定义求解即可；(2)设AB=x，在Rt△ABC中可得AC=BG=EF=3x，在Rt△BGD中可得DG=BG=3x，在Rt△EFD中可得DF=3EF=3x，最后由FG=DF+DG=50=3x+3x列方程求解即可；(3)由CD=CG+GD=x+3x求解即可．【详解】(1)如图，由题意可得，∠CBG=30°，∠DBG=45°，∠FED=60°，BE=GF=50，AC=BG=EF，AB=CG，∴∠DBE=45°,∠BED=30°，故答案为：45；30；(2)设AB=x，则AB=CG=x，在Rt△ABC中可得AC=BG=EF=3x，在Rt△BGD中可得DG=BG=3x，在Rt△EFD中可得DF=3EF=3x，∴FG=DF+DG=50=3x+3x解得：x=2533-13，∴AC=3x=253-25；(3)由(2)可得，x=2533-13，CD=CG+GD=x+3x∴CD=CG+GD=3+12533-13=5033【点睛】本题考查解直角三角形-仰角俯角问题，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题．3(2023·黑龙江大庆·统考一模)如图，某无人机兴趣小组在操场上展开活动，此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为30°，测得教学楼BC顶端点C处的俯角为45°，又经过人工测量测得操控者A和教学楼BC之间的距离为57米．(点A，B，C，D都在同一平面上，结果保留根号)(1)填空：∠ADC=度，∠BCD=度；(2)求此时无人机与教学楼BC之间的水平距离BE的距离；(3)求教学楼BC的高度．【答案】(1)105，135(2)无人机与教学楼BC之间的水平距离BE的距离为57-303米(3)教学楼BC的高度为303-27米【分析】(1)延长BC交DH于点G，根据题意可得∠HDC=45°，∠MDA=30°，∠BGD=90°，则∠ADC= 180°-∠MDA-∠HDC=105°，再根据三角形的外角定理求出∠BCD=∠HDC+∠BGD即可；(2)过点A作AF⏊DH，垂足为F．根据题意可得DG=BE，FG=AB=57米，AF=BG=DE=30米，则DF =AF30°tan ，再根据DG =FG -DF 即可求解；(3)在Rt △DGC 中，CG =DG ⋅45°tan ，则BC =BG -CG ，即可求解．【详解】(1)解：如图：延长BC 交DH 于点G ，由题意得：∠HDC =45°，∠MDA =30°，∠BGD =90°，∴∠ADC =180°-∠MDA -∠HDC =105°，∵∠BCD 是△CGD 的一个外角，∴∠BCD =∠HDC +∠BGD =135°，故答案为：105，135；(2)解：过点A 作AF ⏊DH ，垂足为F ．由题意得：DG =BE ，FG =AB =57米，AF =BG =DE =30米，在Rt △ADF 中，∠ADF =30°，DF =AF 30°tan =3033=303(米)，∴DG =FG -DF =57-303 米，∴BE =DG =57-303 米，∴此时无人机与教学楼BC 之间的水平距离BE 的距离为57-303 米；(3)解：在Rt △DGC 中，∠GDC =45°，DG =57-303 米，∴CG =DG ⋅45°tan =57-303 米，∴BC =BG -CG =30-57-303 =303-27 米，∴教学楼BC 的高度为303-27 米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤．【类型五“叠合”型】1(2023春·河南驻马店·九年级统考阶段练习)文峰塔位于河南省安阳市古城内西北隅，因塔建于天宁寺内，又名天宁寺塔；文峰塔建于五代后周广顺二年，已有一千余年历史，风格独特，具有上大下小的特点．由下往上一层大于一层，逐渐宽敞，是伞状形式，这种平台、莲座、辽式塔身、藏式塔刹的形制世所罕见．活动课上，数学社团的学生计划测量文峰塔的高度．如图所示，先在点C处用高1.6m的测角仪测得塔尖A的仰角为37°，向塔的方向前进12m到达F处，在F处测得塔尖A的仰角为45°，请你相关数据求出文峰塔的高度．(结果精确到1m，参考数据：，，，．)【答案】文峰塔的高度约为38米【分析】延长交于点G，设米，在中，求出的长，进而得出的长，中，利用，进行求解即可．【详解】解：延长交于点G．由题意得：米，米，．设米．在中，，∴(米)．∴米．在中，，∴，解得．经检验：是原方程的根．∴(米)．答：文峰塔的高度约为38米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是构造直角三角形，熟记锐角三角函数的定义．【变式训练】1(2023秋·山东聊城·九年级聊城市实验中学校考阶段练习)如图，小明为了测量小河对岸大树BC 的高度，他在点A 测得大树顶端B 的仰角为45°，沿斜坡走352米到达斜坡上点D ，在此处测得树顶端点B的仰角为31°，且斜坡AF 的坡比为1:2，E ，A ，C 在同一水平线上．(1)求小明从点A 到点D 的过程中，他上升的高度．(2)大树BC 的高度约为多少米?(参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60)【答案】(1)小明从点A 到点D 的过程中，他上升的高度为32米(2)大树BC 的高度约为334米【分析】(1)作DH ⊥AE 于H ，在Rt △ADH 中，DH AH=12，则AH =2DH ．由勾股定理得AH 2+DH 2=AD 2,即可求出答案；(2)延长BD 交AE 于点G .设BC =x 米．求出GA =GH +AH =2.5+3=5.5(米).在Rt △BGC 中，tan ∠DGH =BC GC ，则CG =BC tan ∠DGH≈x 0.60=53x 米.在Rt △BAC 中，∠BAC =45°，则AC =BC =x米．由GC -AC =AG 得到53x -x =5.5，即可求得答案．【详解】(1)作DH ⊥AE 于H ，如图所示，在Rt △ADH 中，∵DH AH=12，∴AH =2DH ．∵AH 2+DH 2=AD 2，∴(2DH )2+DH 2=325 2，∴DH =32米.答：小明从点A 到点D 的过程中，他上升的高度为32米.(2)如图，延长BD 交AE 于点G .设BC =x 米．由题意，得∠DGH =31°，∴GH =DH tan ∠DGH≈52=2.5米．∵AH =2DH =3米，∴GA =GH +AH =2.5+3=5.5(米).在Rt △BGC 中，tan ∠DGH =BCGC，∴CG =BC tan ∠DGH≈x 0.60=53x 米.在Rt △BAC 中，∵∠BAC =45°，∴AC =BC =x 米．∵GC -AC =AG ，∴53x -x =5.5，解得x =334．答：大树BC 的高度约为334米.【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握坡角、仰角、三角函数的概念等知识是解题的关键．2(2023·江苏苏州·校考二模)如图，某中学数学课题学习小组在“测量物体高度”的活动中，欲测量一棵古树的高度，他们在这棵古树的正前方一平房顶点处测得古树顶端的仰角为，在这棵古树的正前方处，测得古树顶端的仰角为，在点处测得点的俯角为，已知为米，且、、三点在同一条直线上．(1)求平房的高度；(2)请求出古树的高度．(根据以上条件求解时测角器的高度忽略不计)【答案】(1)(2)【分析】()在中，已知，，利用角的正切可得出结果()在中，由正切函数的定义求出的长，最后解，即可求出的长，即古树的高度．【详解】(1)由题意知，，，(2)，，。
(完整版)解直角三角形总结
解直角三角形总结解直角三角形与直角三角形的概念、性质、判定和作图有着密切的联系,是在深入研究几何图形性质的基础上,根据已知条件，计算直角三角形未知的边长、角度和面积，以及与之相关的几何图形的数量。
1、明确解直角三角形的依据和思路在直角三角形中，我们是用三条边的比来表述锐角三角函数定义的.因此，锐角三角函数的定义本质揭示了直角三角形中边角之间的关系，是解直角三角形的基础。
如图1,在Rt△ABC中，∠C＝90°，设三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c（以下字母同），则解直角三角形的主要依据是（1）边角之间的关系:sinA＝cosB＝ac， cosA＝sinB＝bc,tanA＝cotB＝ab，cotA＝tanB＝ba。
（2）两锐角之间的关系：A＋B＝90°。
(3）三条边之间的关系：。
以上每个边角关系式都可看作方程,解直角三角形的思路，就是根据已知条件,正确地选择直角三角形中边角间的关系式，通过解一元方程来求解。
2、解直角三角形的基本类型和方法我们知道，由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程叫作解直角三角形,而在直角三角形中，除直角以外还有三条边及两个锐角共五个元素，那么什么样的直角三角形才可解呢？如果已知两个锐角能否解直角三角形呢？事实上,解直角三角形跟直角三角形的判定与作图有着本质的联系，因为已知两个元素（至少有一个是边）可以判定直角三角形全等，也可以作出直角三角形,即此时直角三角形是确定的，所以这样的直角三角形是可解的。
由于已知两个锐角的直角三角形是不确定的，它们是无数多个相似的直角三角形，因此求不出各边的长。
所以，要解直角三角形，给出的除直角外的两个元素中，必须至少有一个是边。
这样，解直角三角形就分为两大类，即已知一条边及一个锐角或已知两条边解直角三角形。
四种基本类型和解法列表如下：已知条件解法一边及一锐角直角边a及锐角A B＝90°-A，b＝a·tanA，c=sinaA斜边c及锐角A B＝90°—A，a＝c·sinA，b＝c·cosA两边两条直角边a和b ，B＝90°—A,直角边a和斜边c sinA=ac，B＝90°-A，例1、如图2，若图中所有的三角形都是直角三角形，且∠A＝α，AE＝1,求AB的长。
专题15 难点探究专题：解直角三角形应用与特殊几何图形的综合压轴题三种模型全攻略(原卷版)
专题15难点探究专题：解直角三角形应用与特殊几何图形的综合压轴题三种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【类型一解直角三角形应用与特殊三角形的综合】 (1)【类型二解直角三角形应用与特殊四边形的综合】 (3)【类型三解直角三角形应用与其他知识的综合】 (5)【典型例题】【类型一解直角三角形应用与特殊三角形的综合】例题：（2023春·吉林长春·九年级统考开学考试）如图①是一种常用于危险区域提示的告示牌，其主体由两片长度相等的支撑板组成，通过改变两片支撑板的夹角的度数可以调整告示牌的高度，图②是告示牌打开后的侧面示意图，经测量支撑板的长度62cm AB AC ==，支撑板与地面的夹角70α=︒，求点A 处到地面的距离AD ．（结果精确到0.1cm ，参考数据：sin 700.94,cos 700.34,tan 70 2.75︒=︒=︒=）【变式训练】(1)求AB 的长．(2)当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D 沿着伞柄向下滑动的距离．2．（2023·河南周口·校联考二模）“工欲善其事，必先利其器”，如图所示的是钓鱼爱好者的神器(1)天晴时打开“晴雨伞，若60α∠=︒，求遮阳宽度(2)下雨时收拢“晴雨伞，使BAC ∠由120︒减少到106sin530.80︒≈，cos530.60︒≈，tan53 1.33︒≈，3≈【类型二解直角三角形应用与特殊四边形的综合】例题：（2023春·江西南昌·九年级南昌市第二十八中学校联考阶段练习）某景区草地上竖立着一个如图（1）所示的雕塑，现将其中两个近似大小相同的矩形框架抽象成如图（2）所示的图形，矩形FECG 可由矩形ABCD 绕点C 旋转得到，点E 在AD 上，延长ED 交FG 于点H ．连接BE CH ，．(1)判断四边形BEHC 的形状并给予证明；(2)若点G 在水平地面上，AB 与水平地面平行，483cm 4cm BCE AB BC ∠=︒==，，，求点A 到水平地面的距离．（结果精确到0.1m ．）参考数据：sin480.75cos480.67tan48 1.11cos240.91tan240.45︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈，，，，【变式训练】1．（2023春·江西九江·九年级统考期中）图1是某校教学楼墙壁上文化长廊中的两幅图案，现将这两个正方形转化为平面图形得到图2，并测得正方形ABCD 与正方形EFGH 的面积相等，且100cm AB =，CD EF ∥，14025CDE CGF ∠=︒∠=︒，(1)判断四边形EFGH 的形状，并说明理由．(2)求CG 的长．（参考数据：sin250.42cos250.91tan250.47︒≈︒≈︒≈，，）(1)求BAF∠的度数；(2)求AF的长．（结果精确到0.1cm．参考数据：sin(1)若移动滑块使90∠=︒，求棚宽BC的长（精确到0.01m）．AFE(2)在遮阳棚内安装如图4所示的红外线测温门（门高1.8m），门的顶端应与E点持平或低于∠最大为多少度？AFE【类型三解直角三角形应用与其他知识的综合】(1)AB的长为米；ON=米，求M、N两点间的距离(精确到(2)若0.7【变式训练】(1)若30α=︒，求该系统正好能识别该汽车车牌的距离；(2)若AOD ∠的最大值为80︒，求系统能识别该汽车车牌的最大距离．3．（2023·湖北随州·统考模拟预测）某县消防大队到某小区进行消防演习(1)当起重臂AC 长度为20m ，张角127CAE ∠=︒，求云梯消防车最高点(2)已知该小区层高为2.7m ，若某居民家突发险情，请问该消防车有效救援能达到几层？请说明理由．果精确到0.1，参考数据：sin370.60︒≈，cos370.80︒≈4．（2022秋·山东威海·九年级校联考期中）如图1是超市的手推车，如图2是其侧面示意图，已知前后车轮半径均为5cm ，两个车轮的圆心的连线AB 与地面平行，测得支架40cm AC BC ==，AC 、CD 所在直线与地面的夹角分别为30︒、60︒，30cm CD =．(1)求扶手前端D 到地面的距离；(2)手推车内装有简易宝宝椅，EF 为小坐板，打开后，椅子的支点H 到点C 的距离为6cm ，14cm DF =，EF AB ∥，45EHD ∠=︒，求坐板EF 的宽度．（本题答案均保留根号）。
解直角三角形及其应用说课稿
解直角三角形及其应用说课稿解直角三角形及其应用说课稿1一、教材分析（一）、教材的地位与作用本节是在掌握了勾股定理，直角三角形中两锐角互余，锐角三角函数等有关知识的基础上，能利用直角三角形中的这些关系解直角三角形。
通过本小节的学习，主要应让学生学会用直角三角形的有关知识去解决某些简单的实际问题。
从而进一步把形和数结合起来，提高分析和解决问题的能力。
它既是前面所学知识的运用，也是高中继续解斜三角形的重要预备知识。
它的学习还蕴涵着深刻的数学思想方法（数学建模、转化化归），在本节教学中有针对性的对学生进行这方面的能力培养。
（二）教学目标：1、知识与技能：使学生了解解直角三角形的概念，能运用直角三角形的角与角（直角三角形两锐角互余），边与边（勾股定理），边与角（三角函数）的关系，完成解直角三角形。
2、过程与方法：从复习直角三角形相关性质和锐角三角函数入手，让学生对直角三角形的必备知识做一个必要的回顾，然后通过实例引出利用勾股定理和锐角三角函数解直角三角形。
3、情感态度与价值观：让学生经历从实际问题中提炼出数学问题的过程，培养学生在生活中应用数学的习惯及数学的兴趣。
（三）教学重难点：1、重点：会利用已知条件解直角三角形。
2、难点：根据题目要求正确选用适当的三角关系式解直角三角形。
二、教法设计与学法指导（一）、教法分析本节课采用的是“探究式”教法。
在以最简洁的方式回顾原有知识的基础上，创设问题情境，引导学生从实际应用中建立数学模型，引出解直角三角形的定义和方法。
接着通过例题，让学生主动探索解直角三角形所需的最简条件。
学生在过程中克服困难，发展了自己的观察力、想象力和思维力，培养团结协作的精神，可以使他们的智慧潜能得到充分的开发，使其以一个研究者的方式学习，突出了学生在学习中的主体地位。
教法设计思路：通过例题讲解，使学生熟悉解直角三角形的一般方法，通过对题目中隐含条件的挖掘，培养学生分析、解决问题能力。
（二）、学法分析通过直角三角形边角之间关系的复习和例题的实践应用，归纳出“解直角三角形”的含义和两种解题情况。
初中数学培优专题四 三角函数应用解题模型
专题四三角函数应用解题模型解题模型一“独立”型图形关系式针对训练1．（2018•台州）图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m．当起重臂AC长度为9m，张角∠HAC为118°时，求操作平台C离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）解题模型二“背靠背”型图形关系式针对训练2．（2018•临沂）如图，有一个三角形的钢架ABC，∠A=30°，∠C=45°，AC=2（+1）m．请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1m的圆形门？3．（2018•长沙）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°．（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）4．（2018•陇南）随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起．高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式．如图，A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需要绕行C地，若打通穿山隧道，建成A，B两地的直达高铁，可以缩短从A地到B地的路程．已知：∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=640公里，求隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短多少公里？（参考数据：≈1.7，≈1.4）5．（2018•常州）京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽（岸沿是平行的），如图，在岸边分别选定了点A、B和点C、D，先用卷尺量得AB=160m，CD=40m，再用测角仪测得∠CAB=30°，∠DBA=60°，求该段运河的河宽（即CH的长）．6．（2017•岳阳）某太阳能热水器的横截面示意图如图所示，已知真空热水管AB与支架CD所在直线相交于点O，且OB=OD，支架CD与水平线AE垂直，∠BAC=∠CDE=30°，DE=80cm，AC=165cm．（1）求支架CD的长；（2）求真空热水管AB的长．（结果保留根号）7．（2017•赤峰）王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图所示．已知AC=20cm，BC=18cm，∠ACB=50°，王浩的手机长度为17cm，宽为8cm，王浩同学能否将手机放入卡槽AB 内？请说明你的理由．（提示：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2）解题模型三“母抱子”型图形关系式针对训练8．（2017•白银）美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一．数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A，B两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量．如图，测得∠DAC=45°，∠DBC=65°．若AB=132米，求观景亭D到南滨河路AC的距离约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）9．（2017•宜宾）如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边取两点B、C测得∠α=30°，∠β=45°，量得BC长为100米．求河的宽度（结果保留根号）．10．（2016•青海）如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）．（1）求办公楼AB的高度；（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．（参考数据：sin22°≈，cos22°，tan22）11．（2016•六盘水）据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以下情境中的速度不得超过15m/s，在一条笔直公路BD的上方A处有一探测仪，如平面几何图，AD=24m，∠D=90°，第一次探测到一辆轿车从B点匀速向D点行驶，测得∠ABD=31°，2秒后到达C点，测得∠ACD=50°（tan31°≈0.6，tan50°≈1.2，结果精确到1m）（1）求B，C的距离．（2）通过计算，判断此轿车是否超速．12．（2016•兰州）如图，一垂直于地面的灯柱AB被一钢线CD固定，CD与地面成45°夹角（∠CDB=45°），在C点上方2米处加固另一条钢线ED，ED与地面成53°夹角（∠EDB=53°），那么钢线ED的长度约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）13．（2017•张家界）位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体AD和底座CD两部分组成．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=70.5°，在Rt△DBC中，∠DBC=45°，且CD=2.3米，求像体AD的高度（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824）14．（2017•呼和浩特）如图，地面上小山的两侧有A，B两地，为了测量A，B两地的距离，让一热气球从小山西侧A地出发沿与AB成30°角的方向，以每分钟40m的速度直线飞行，10分钟后到达C处，此时热气球上的人测得CB与AB成70°角，请你用测得的数据求A，B两地的距离AB长．（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）15．（2018•烟台）汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速．如图，学校附近有一条笔直的公路l，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米/小时．数学实践活动小组设计了如下活动：在l上确定A，B两点，并在AB路段进行区间测速．在l外取一点P，作PC⊥l，垂足为点C．测得PC=30米，∠APC=71°，∠BPC=35°．上午9时测得一汽车从点A到点B用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.90）16．（2017•铁岭）如图，某市文化节期间，在景观湖中央搭建了一个舞台C，在岸边搭建了三个看台A，B，D，其中A，C，D三点在同一条直线上，看台A，B到舞台C的距离相等，测得∠A=30°，∠D=45°，AB=60m，小明、小丽分别在B，D看台观看演出，请分别求出小明、小丽与舞台C的距离．（结果保留根号）17．（2017•广元）如图，某煤矿因不按规定操作发生瓦斯爆炸，救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A，B两个探测点探测到地下C处有生命迹象．已知A，B两点相距8米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度（结果保留根号）．18．（2017•贵阳）贵阳市某消防支队在一幢居民楼前进行消防演习，如图所示，消防官兵利用云梯成功救出在C处的求救者后，发现在C处正上方17米的B处又有一名求救者，消防官兵立刻升高云梯将其救出，已知点A与居民楼的水平距离是15米，且在A点测得第一次施救时云梯与水平线的夹角∠CAD=60°，求第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD的度数（结果精确到1°）．19．（2017•西宁）如图，建设“幸福西宁”，打造“绿色发展样板城市”．美丽的湟水河宛如一条玉带穿城而过，已形成“水清、流畅、岸绿、景美”的生态环境新格局．在数学课外实践活动中，小亮在海湖新区自行车绿道北段AC上的A，B两点分别对南岸的体育中心D进行测量，分别测得∠DAC=30°，∠DBC=60°，AB=200米，求体育中心D到湟水河北岸AC的距离约为多少米（精确到1米，≈1.732）？解题模型四“斜截”型图示：辅助线作法——延长四边形对边法针对训练20．（2016•娄底）芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD 为20米，请求出立柱BH的长．（结果精确到0.1米，≈1.732）21．（2018•随州）随州市新㵐水一桥（如图1）设计灵感来源于市花﹣﹣兰花，采用蝴蝶兰斜拉桥方案，设计长度为258米，宽32米，为双向六车道，2018年4月3日通车．斜拉桥又称斜张桥，主要由索塔、主梁、斜拉索组成．某座斜拉桥的部分截面图如图2所示，索塔AB和斜拉索（图中只画出最短的斜拉索DE和最长的斜拉索AC）均在同一水平面内，BC在水平桥面上．已知∠ABC=∠DEB=45°，∠ACB=30°，BE=6米，AB=5BD．（1）求最短的斜拉索DE的长；（2）求最长的斜拉索AC的长．22．（2017•凉山州）如图，若要在宽AD为20米的城南大道两边安装路灯，路灯的灯臂BC长2米，且与灯柱AB成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线CO与灯臂BC垂直，当灯罩的轴线CO通过公路路面的中心线时照明效果最好，此时，路灯的灯柱AB高应该设计为多少米（结果保留根号）？解题模型五其他类型23．（2018•徐州）如图，1号楼在2号楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB．冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，1号楼在2号楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，1号楼在2号楼墙面上的影高为DA．已知CD=42m．（1）求楼间距AB；（2）若2号楼共30层，层高均为3m，则点C位于第几层？（参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）24．（2018•资阳）如图是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在A处时的风筝线（整个过程中风筝线近似地看作直线）与水平线构成30°角，线段AA1表示小红身高1.5米．（1）当风筝的水平距离AC=18米时，求此时风筝线AD的长度；（2）当她从点A跑动9米到达点B处时，风筝线与水平线构成45°角，此时风筝到达点E处，风筝的水平移动距离CF=10米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度C1D．25．（2018•常德）图1是一商场的推拉门，已知门的宽度AD=2米，且两扇门的大小相同（即AB=CD），将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转37°，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图2，求此时B与C之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，≈1.4）26．（2018•岳阳）图1是某小区入口实景图，图2是该入口抽象成的平面示意图．已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM长为1.2米（灯罩长度忽略不计），∠AOM=60°．（1）求点M到地面的距离；（2）某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参考数据：≈1.73，结果精确到0.01米）27．（2017•桂林）“C919”大型客机首飞成功，激发了同学们对航空科技的兴趣，如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中AB∥CD，AM∥BN∥ED，AE⊥DE，请根据图中数据，求出线段BE和CD的长．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，结果保留小数点后一位）28．（2017•常德）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC=0.60米，底座BC 与支架AC所成的角∠ACB=75°，支架AF的长为2.50米，篮板顶端F点到篮框D的距离FD=1.35米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE=60°，求篮框D到地面的距离（精确到0.01米）（参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，≈1.732，≈1.414）专题四三角函数应用解题模型解题模型一“独立”型图形关系式针对训练1．（2018•台州）图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m．当起重臂AC长度为9m，张角∠HAC为118°时，求操作平台C离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）【小结】本题考查了解直角三角形的应用：先将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题），然后利用勾股定理和三角函数的定义进行几何计算解题模型二“背靠背”型图形关系式针对训练2．（2018•临沂）如图，有一个三角形的钢架ABC，∠A=30°，∠C=45°，AC=2（+1）m．请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1m的圆形门？【小结】本题考查了解直角三角形的应用，解一元一次方程等知识点，能正确求出BD的长是解此题的关键．3．（2018•长沙）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°．（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）（2）∵cos30°=，BC=80（千米），∴BD=BC•cos30°=80×（千米）.∵tan45°=，CD=40（千米），∴AD=（千米）.∴AB=AD+BD=40+40≈40+40×1.73=109.2（千米）.∴汽车从A地到B地比原来少走多少路程为：AC+BC﹣AB=136.4﹣109.2=27.2（千米）．【小结】本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．4．（2018•陇南）随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起．高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式．如图，A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需要绕行C地，若打通穿山隧道，建成A，B两地的直达高铁，可以缩短从A地到B地的路程．已知：∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=640公里，求隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短多少公里？（参考数据：≈1.7，≈1.4）答：隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短224公里．【小结】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，需要熟记锐角三角函数的定义．5．（2018•常州）京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽（岸沿是平行的），如图，在岸边分别选定了点A、B和点C、D，先用卷尺量得AB=160m，CD=40m，再用测角仪测得∠CAB=30°，∠DBA=60°，求该段运河的河宽（即CH的长）．【小结】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．6．（2017•岳阳）某太阳能热水器的横截面示意图如图所示，已知真空热水管AB与支架CD所在直线相交于点O，且OB=OD，支架CD与水平线AE垂直，∠BAC=∠CDE=30°，DE=80cm，AC=165cm．（1）求支架CD的长；（2）求真空热水管AB的长．（结果保留根号）【小结】此题主要考查了解直角三角形的应用，要熟练掌握，注意将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．7．（2017•赤峰）王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图所示．已知AC=20cm，BC=18cm，∠ACB=50°，王浩的手机长度为17cm，宽为8cm，王浩同学能否将手机放入卡槽AB 内？请说明你的理由．（提示：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2）【解析】根据题意作出合适的辅助线，可以求得AD和CD的长，进而可以求得DB的长，然后根据勾股定理即可得到AB的长，然后与17比较大小，即可解答本题．【小结】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用直角三角形的相关知识解答解题模型三“母抱子”型图形关系式针对训练8．（2017•白银）美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一．数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A，B两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量．如图，测得∠DAC=45°，∠DBC=65°．若AB=132米，求观景亭D到南滨河路AC的距离约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）【小结】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型9．（2017•宜宾）如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边取两点B、C测得∠α=30°，∠β=45°，量得BC长为100米．求河的宽度（结果保留根号）．【小结】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出AD=CD是解题关键．10．（2016•青海）如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）．（1）求办公楼AB的高度；（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．（参考数据：sin22°≈，cos22°，tan22）【小结】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知得出tan22°=是解题关键.11．（2016•六盘水）据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以下情境中的速度不得超过15m/s，在一条笔直公路BD的上方A处有一探测仪，如平面几何图，AD=24m，∠D=90°，第一次探测到一辆轿车从B点匀速向D点行驶，测得∠ABD=31°，2秒后到达C点，测得∠ACD=50°（tan31°≈0.6，tan50°≈1.2，结果精确到1m）（1）求B，C的距离．（2）通过计算，判断此轿车是否超速．【解析】（1）在直角三角形ABD与直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出BD与CD的长，由BD﹣CD求出BC的长即可；（2）根据路程除以时间求出该轿车的速度，即可作出判断．解：（1）在Rt△ABD中，AD=24m，∠B=31°，∴tan31°=，即BD==40m.在Rt△ACD中，AD=24m，∠ACD=50°，∴tan50°=，即CD==20m.∴BC=BD﹣CD=40﹣20=20m.则BC的距离为20m.（2）根据题意，得20÷2=10m/s＜15m/s，则此轿车没有超速．【小结】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．12．（2016•兰州）如图，一垂直于地面的灯柱AB被一钢线CD固定，CD与地面成45°夹角（∠CDB=45°），在C点上方2米处加固另一条钢线ED，ED与地面成53°夹角（∠EDB=53°），那么钢线ED的长度约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【小结】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用三角函数值求出相应的边的长度．13．（2017•张家界）位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体AD和底座CD两部分组成．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=70.5°，在Rt△DBC中，∠DBC=45°，且CD=2.3米，求像体AD的高度（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824）【小结】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键14．（2017•呼和浩特）如图，地面上小山的两侧有A，B两地，为了测量A，B两地的距离，让一热气球从小山西侧A地出发沿与AB成30°角的方向，以每分钟40m的速度直线飞行，10分钟后到达C处，此时热气球上的人测得CB与AB成70°角，请你用测得的数据求A，B两地的距离AB长．（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）【解析】过点C作CM⊥AB交AB延长线于点M，通过解直角△ACM得到AM的长度，通过解直角△BCM得到BM的长度，则AB=AM﹣BM．【小结】本题考查解直角三角形的应用、三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住三角函数的定义，以及特殊三角形的边角关系，属于中考常考题型．15．（2018•烟台）汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速．如图，学校附近有一条笔直的公路l，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米/小时．数学实践活动小组设计了如下活动：在l上确定A，B两点，并在AB路段进行区间测速．在l外取一点P，作PC⊥l，垂足为点C．测得PC=30米，∠APC=71°，∠BPC=35°．上午9时测得一汽车从点A到点B用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.90）【解析】先求得AC=PCtan∠APC=87、BC=PCtan∠BPC=21，据此得出AB=AC﹣BC=87﹣21=66，从而求得该车通过AB段的车速，比较大小即可得．解：在Rt△APC中，AC=PCtan∠APC=30tan71°≈30×2.90=87，在Rt△BPC中，BC=PCtan∠BPC=30tan35°≈30×0.70=21，则AB=AC﹣BC=87﹣21=66，∴该汽车的实际速度为=11m/s.又∵40km/h≈11.1m/s，∴该车没有超速．【小结】此题考查了解直角三角形的应用，涉及的知识有：锐角三角函数定义，熟练掌握三角函数的定义是解本题的关键．16．（2017•铁岭）如图，某市文化节期间，在景观湖中央搭建了一个舞台C，在岸边搭建了三个看台A，B，D，其中A，C，D三点在同一条直线上，看台A，B到舞台C的距离相等，测得∠A=30°，∠D=45°，AB=60m，小明、小丽分别在B，D看台观看演出，请分别求出小明、小丽与舞台C的距离．（结果保留根号）【解析】如图作BH⊥AD于H．，CE⊥AB于E．解直角三角形，分别求出BC、CD即可解决问题．解：如图，作BH⊥AD于点H，CE⊥AB于点E．∴BH=DH=30.∴DC=DH+CH=30+10.答：小明、小丽与舞台C的距离分别为20m和（30+10）m．【小结】本题考查解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．17．（2017•广元）如图，某煤矿因不按规定操作发生瓦斯爆炸，救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A，B两个探测点探测到地下C处有生命迹象．已知A，B两点相距8米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度（结果保留根号）．【小结】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用特殊角的三角函数值解答．18．（2017•贵阳）贵阳市某消防支队在一幢居民楼前进行消防演习，如图所示，消防官兵利用云梯成功救出在C处的求救者后，发现在C处正上方17米的B处又有一名求救者，消防官兵立刻升高云梯将其救出，已知点A与居民楼的水平距离是15米，且在A点测得第一次施救时云梯与水平线的夹角∠CAD=60°，求第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD的度数（结果精确到1°）．【小结】本题考查了解直角三角形的应用，首先构造直角三角形，再运用三角函数的定义解题，构造出直角三角形是解题的关键．19．（2017•西宁）如图，建设“幸福西宁”，打造“绿色发展样板城市”．美丽的湟水河宛如一条玉带穿城而过，已形成“水清、流畅、岸绿、景美”的生态环境新格局．在数学课外实践活动中，小亮在海湖新区自行车绿道北段AC上的A，B两点分别对南岸的体育中心D进行测量，分别测得∠DAC=30°，∠DBC=60°，AB=200米，求体育中心D到湟水河北岸AC的距离约为多少米（精确到1米，≈1.732）？【小结】本题考查了解直角三角形的应用．主要是正切概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算解题模型四“斜截”型图示：辅助线作法——延长四边形对边法针对训练20．（2016•娄底）芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD 为20米，请求出立柱BH的长．（结果精确到0.1米，≈1.732）解得x=10﹣，∴BH=2+（10﹣）=10﹣1≈16.3（米）．答：立柱BH的长约为16.3米．【小结】本题考查了解直角三角形的应用；由三角函数求出CH和AH是解决问题的关键．21．（2018•随州）随州市新㵐水一桥（如图1）设计灵感来源于市花﹣﹣兰花，采用蝴蝶兰斜拉桥方案，设计长度为258米，宽32米，为双向六车道，2018年4月3日通车．斜拉桥又称斜张桥，主要由索塔、主梁、斜拉索组成．某座斜拉桥的部分截面图如图2所示，索塔AB和斜拉索（图中只画出最短的斜拉索DE和最长的斜拉索AC）均在同一水平面内，BC在水平桥面上．已知∠ABC=∠DEB=45°，∠ACB=30°，BE=6米，AB=5BD．（1）求最短的斜拉索DE的长；（2）求最长的斜拉索AC的长．∴AB=3BD=5×3=15.在Rt△ABH中，∵∠B=45°，∴BH=AH=AB=×15=15.在Rt△ACH中，∵∠C=30°，∴AC=2AH=30．答：最长的斜拉索AC的长为30m．【小结】本题考查了解直角三角形的应用：将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．22．（2017•凉山州）如图，若要在宽AD为20米的城南大道两边安装路灯，路灯的灯臂BC长2米，且与灯柱AB成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线CO与灯臂BC垂直，当灯罩的轴线CO通过公路路面的中心线时照明效果最好，此时，路灯的灯柱AB高应该设计为多少米（结果保留根号）？【解析】延长OC，AB交于点P，△PCB∽△PAO，根据相似三角形对应边比例相等的性质即可解题．解：如图，延长OC，AB交于点P．∵∠ABC=120°，∴∠PBC=60°.【小结】本题考查了通过作辅助线构建直角三角形的能力，考查了相似三角形的判定和性质，本题中求证△PCB∽△PAO是解题的关键．解题模型五其他类型23．（2018•徐州）如图，1号楼在2号楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB．冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，1号楼在2号楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，1号楼在2号楼墙面上的影高为DA．已知CD=42m．（1）求楼间距AB；（2）若2号楼共30层，层高均为3m，则点C位于第几层？（参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）【解析】（1）构造出两个直角三角形，利用两个角的正切值即可求出答案．24．（2018•资阳）如图是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在A处时的风筝线（整个过程中风筝线近似地看作直线）与水平线构成30°角，线段AA1表示小红身高1.5米．（1）当风筝的水平距离AC=18米时，求此时风筝线AD的长度；（2）当她从点A跑动9米到达点B处时，风筝线与水平线构成45°角，此时风筝到达点E处，风筝的水平移动距离CF=10米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度C1D．答：此时风筝线AD的长度为12米.。
青岛版-数学-九年级上册-教案2.5 解直角三角形的应用 (1)
二、课内探究（2）解答过程的思路：实际问题解直角三角形问题1、创设问题情景，引出新知：上海东方明珠塔于1994 年10 月1 日建成，出示图片，在各国广播电视塔的排名榜中，当时其高度列亚洲第一、世界第三．与外滩的“万国建筑博览群”隔江相望．在塔顶俯瞰上海风景，美不胜收．运用本章所学过的知识，能测出东方明珠塔的高度来吗？思考回答转化问题答案求出有关的边或角AB ECDA CDB四、思维扩展，举一反三五、巩固提高３、根据已知条件和所学知识，这种形状的图形能不能解？仿照例１根据下图和图中的已知，编写一道应用“解直角三角形”知识的题。
（要求叙述完整）例2、如图，河对岸有水塔AB 。
在C 处测得塔顶A的仰角为30°,向塔前进12m 到达D ，在D 处测得A 的仰角为45°， 求塔高。
通过编写题目来加深学生对解直角三角形应用的理解与掌握，达到扩散思维的作用1、积极思考，踊跃回答，并计算结果。
2、四人小组讨论，给出结果。
450 3006米（自主探究，合作学习，采用小组合作的方法）教学程序教师活动学生活动一、学前准备二、自学探究1.指南或指北的方向与目标方向线构成小于900的角，叫做__ ____,如图：点A在点O的___________,点B在点O的南偏西45º或方向.2阅读课本80页中有关坡度的内容，说一说什么是坡角，什么是坡度或坡比，坡度与坡角的正切有什么关系? 请把重点知识写在下面.______________________________________________________________________________1、某地计划在河流的上游修建一条拦水大坝，大坝的横断面ABCD是梯形（如图），坝顶宽BC=6米，坝高25米，应水坡AB的坡度i=1：3，被水坡CD的坡度i=1：2.5.（1）.求斜坡AB和CD的长（精确到0.01米）；（2）.求拦水大坝的底面AD的宽.做一做，看谁做得快组内探索，交流推荐学生回答BC10米A D E5.6米i=1:2.5α β三、练习自测1.一名滑雪运动员从坡度为1：5的山坡上滑下，如果这名运动员滑行的距离为150米，那么他下降的高度是多少（精确到0.1米）？2.如上图，拦水坝的横断面为梯形ABCD ，根据图中数据，求：（1）.角α和β的大小（精确到1 ） （2）、坝底宽AD 和斜坡AB 的长（精确到0.1米） 3.入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，达到历史最低水位，一条船在松花江某水段自西向东沿直线航行，在A 处测得航标C 在北偏东60°方向上，前进100米到达B 处，又测得航标C 在北偏东45°方向上，如图9，在以航标C 为圆心，120米长为半径的圆形区域内有浅滩，如果这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？A 、B 两市相距100公里，在A 市东偏北30º方向，B 市的西北方向是一森林公园C ，方圆30公里.若在思考回答、推举同学讲解先独立解答，不会的相互帮助 所思所想四、拓展延伸五、归纳小结A、B两市间修一条笔直的高速公路.它会不会穿过森林公园.1.这节课我的收获和疑问：___________________________我将____________________________________________________ ______解决我的困惑。
解直角三角形的应用模型初中数学模型
地面的点E处测得灯管支架底部D的仰角为60°,在点F处测得灯管支架顶
部C的仰角为30°,测得AE=3 m,EF=8 m(点A,E,F在同一条直线上).根据
以上数据,解答下列问题:
(1)求灯管支架底部距地面高度AD的长;(结果保留根号)
∵AB⊥BF,EF⊥BF,∴∠ABF=∠EFB=90°,
∴∠ABF=∠EFB=∠BHE=90°,
∴四边形BFEH为矩形,
∴EH=BF=3m,在Rt△AHE中,tanα= ,∴AH=
,
当∠α=65°时,AH=
≈ ≈1.40(m).
° .
当∠α=45°时,AH=
=3,
°
答:遮阳宽度CD约为3.6m.
模型4
6
7
微专题8 解直角三角形的应用模型
返回类型清单
(2)下雨时收拢“天幕”,∠α从65°减少到45°,求点E下降的高度(结果
精确到0.1 m).
(参考数据:sin65°≈0.90,cos65°≈0.42,tan65°≈2.14, ≈1.41)
解：如图,过点E作EH⊥AB于点H, ∴∠BHE=90°.
返回类型清单
对应练习
5.(2022·铜仁一模)如图,某商家想在商场大楼上悬挂一块广告牌,广告牌高AB=2 m.根据商
场规定广告牌最高点不得高于地面20 m.经测量,测角仪支架高GH=CE=DF=1 m,在F处测得
广告牌底部点B的仰角为30°,在E处测得广告牌顶部点A的仰角为45°,EF=12 m.请计算说
如下结论:①AB≈18.8m;②CD≈8.4m;③若直
【小初高学习】九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系专题训练(二)解直角三角形应用中的六种基本模型
专题训练(二) 解直角三角形应用中的六种基本模型►模型一“独立”型1．如图2－ZT－1，一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行.20分钟后，救援船在海岛C处恰好遇见渔船，那么救援船航行的速度为( )图2－ZT－1A．10 3海里/时B．30海里/时C．20 3海里/时D．30 3海里/时2．2017·台州如图2－ZT－2是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度∠AOB 为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由．(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)图2－ZT－2►模型二“背靠背”型3．如图2－ZT－3，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120 m，则这栋楼的高度为( )图2－ZT－3A．160 3 m B．120 3 mC．300 m D．160 2 m4．如图2－ZT－4，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部有一点A，某人在岸边的点B处测得点A在点B的北偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4千米到达点C处，再次测得点A在点C的北偏西45°的方向上(其中点A，B，C在同一平面上)．求这个标志性建筑物底部上的点A到岸边BC的最短距离．图2－ZT－4►模型三“母抱子”型5．如图2－ZT－5，某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度．他们在点C 处仰望建筑物顶端A处，测得仰角为48°，再往建筑物的方向前进6米到达点D处，测得建筑物顶端A的仰角为64°，求建筑物的高度．(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：sin48°≈710，tan48°≈1110，sin64°≈910，tan64°≈2)图2－ZT－56．2017·内江如图2－ZT－6，某人为了测量小山顶上的塔ED的高，他在山下的点A 处测得塔尖点D的仰角为45°，再沿AC方向前进60 m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°，求塔ED的高度．(结果保留根号)图2－ZT－6►模型四“拥抱”型7．如图2－ZT－7，梯子斜靠在与地面垂直(垂足为O)的墙上，当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO＝60°；当梯子底端向右滑动1 m(即BD＝1 m)到达CD位置时，它与地面所成的角∠CDO＝51°18′，求梯子的长．(参考数据：sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，tan51°18′≈1.248)图2－ZT－7►模型五梯形类8．如图2－ZT－8，梯形ABCD是拦水坝的横断面示意图，图中i＝1∶3是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比，∠B＝60°，AB＝6，AD＝4，求拦水坝的横断面ABCD的面积．(结果精确到0.1.参考数据：3≈►模型六“斜截”型9．“蘑菇石”是贵州省著名自然保护区梵净山的标志，小明从山脚点B处先乘坐缆车到达与BC平行的观景平台DE处观景，然后再沿着坡角为29°的斜坡由点E步行到达“蘑菇石”点A处，“蘑菇石”点A到水平面BC的垂直距离为1790 m．如图2－ZT－9，DE∥BC，BD＝1700 m，∠DBC＝80°，求斜坡AE的长度．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin80°≈0.9848，sin29°≈0.4848)详解详析1．[解析] D 由“B 在海岛A 的南偏东20°方向”和“海岛C 在海岛A 的南偏西10°方向”得∠BAC ＝30°，同理得∠ABC ＝60°，∴∠ACB ＝90°.∵AB ＝20海里，∴BC ＝10海里，AC ＝10 3海里，再由“救援船由海岛A 开往海岛C 用时20分钟”可求得救援船航行的速度为30 3海里/时．故选D.2．解：车门不会碰到墙．理由如下：如图，过点A 作AC ⊥OB ，垂足为C .在Rt △ACO 中，∵∠AOC ＝40°，AO ∴AC ＝AO ·sin∠AOC ≈1.2×0.64＝0.768(米)．∵汽车靠墙一侧OB 与墙MN 平行且距离为0.8米，0.8>0.768， ∴车门不会碰到墙．3．[解析] A 过点A 作AD ⊥BC 于点D ， 则∠BAD ＝30°，∠CAD ＝60°，AD ＝120 m. 在Rt △ABD 中，BD ＝AD ·tan30°＝120×33＝40 3(m)． 在Rt △ACD 中，CD ＝AD ·tan60°＝120×3＝120 3(m)， ∴BC ＝BD ＋CD ＝40 3＋120 3＝160 3(m)．4．解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则AD 的长度就是点A 到岸边BC 的最短距离．在Rt △ACD 中，∠ACD ＝45°，设AD ＝x 千米，则CD ＝AD ＝x 千米． 在Rt △ABD 中，∠ABD ＝60°， 因为tan ∠ABD ＝AD BD ，即tan60°＝x BD，所以BD ＝x tan60°＝33x 千米．又因为BC ＝4千米， 所以BD ＋CD ＝4千米，即33x ＋x ＝4， 解得x ＝6－2 3，所以这个标志性建筑物底部上的点A 到岸边BC 的最短距离为(6－2 3)千米． 5．解：根据题意，得∠ADB ＝64°，∠ACB ＝48°. 在Rt △ADB 中，tan64°＝AB BD ，则BD ＝AB tan64°≈12AB ，在Rt △ACB 中，tan48°＝AB CB，则CB ＝ABtan48°≈1011AB ，∴CD ＝CB －BD ，即6＝1011AB －12AB ，解得AB ＝1329≈14.7(米)，∴建筑物的高度约为14.7米．6．[解析] 先求出∠DBE ＝30°，∠BDE ＝30°，得出BE ＝DE ，设EC ＝x ，则BE ＝2x ，DE ＝2x ，DC ＝3x ，BC ＝3x ，再根据∠DAC ＝45°，可得AC ＝DC ，列出方程求出x 的值，即可求出塔DE 的高度．解：由题意知，∠DBC ＝60°，∠EBC ＝30°， ∴∠DBE ＝∠DBC －∠EBC ＝60°－30°＝30°. 又∵∠BCD ＝90°，∴∠BDC ＝90°－∠DBC ＝90°－60°＝30°， ∴∠DBE ＝∠BDE ，∴BE ＝DE .设EC ＝x m ，则DE ＝BE ＝2EC ＝2x m ，DC ＝EC ＋DE ＝3x m ， BC ＝BE 2－EC 2＝3x m.由题意可知，∠DAC ＝45°，∠DCA ＝90°，AB ＝60 m ， ∴△ACD 为等腰直角三角形，∴AC ＝DC ， ∴3x ＋60＝3x . 解得x ＝30＋10 3.答：塔ED 的高度为(30＋10 3)m. 7．解：设梯子的长为x m.在Rt △ABO 中，cos ∠ABO ＝OBAB，∴OB ＝AB ·cos∠ABO ＝x ·cos60°＝12x m.在Rt △CDO 中，cos ∠CDO ＝OD CD， ∴OD ＝CD ·cos∠CDO ＝x ·cos51°18′≈0.625x m. ∵BD ＝OD －OB ，∴0.625x －12x ＝1，解得x ＝8.答：梯子的长约为8 m.8．解：过点A 作AF ⊥BC ，垂足为F . 在Rt △ABF 中，∠B ＝60°，AB ＝6， ∴AF ＝AB sin B ＝6sin60°＝3 3， BF ＝AB cos B ＝6cos60°＝3. ∵AD ∥BC ，AF ⊥BC ，DE ⊥BC ， ∴四边形AFED 是矩形，∴DE ＝AF ＝3 3，FE ＝AD ＝4.在Rt △CDE 中，i ＝DE CE ＝13，∴CE ＝3DE ＝3×3 3＝9，∴BC ＝BF ＋FE ＋CE ＝3＋4＋9＝16， ∴S 梯形ABCD ＝12(AD ＋BC )·DE＝12×(4＋16)×3 3 ≈52.0.答：拦水坝的横断面ABCD 的面积约为52.0.9．解：过点D 作DF ⊥BC 于点F ，延长DE 交AC 于点M ，由题意，得EM ⊥AC ， ∴四边形DMCF 为矩形， ∴DF ＝MC .在Rt △DFB 中，sin80°＝DF BD ，则DF ＝BD ·sin80°＝1700×sin80°(m)， ∴AM ＝AC －MC ＝AC －DF ＝(1790－1700×sin80°)m. 在Rt △AME 中，sin29°＝AM AE， 则AE ＝AMsin29°＝1790－1700×sin80°sin29°≈238.9(m)．答：斜坡AE 的长度约为238.9 m.。