正弦函数图像变换
三角函数的基本变换
三角函数的基本变换三角函数是数学中的重要内容，在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
而三角函数的基本变换是理解和应用三角函数的基础。
本文将介绍三角函数的基本变换，包括正弦函数、余弦函数和正切函数的平移、伸缩和反射三种变换。
一、正弦函数的基本变换正弦函数的标准公式为：y = A*sin(Bx + C) + D，其中A、B、C、D 为常数，且A不等于0。
对于正弦函数的基本变换，可以通过调整A、B、C、D的值来实现平移、伸缩和反射。
1. 平移平移是指将函数图像沿x轴或y轴方向移动。
当C为正数时，正弦曲线向左平移；当C为负数时，正弦曲线向右平移。
平移的距离由C的绝对值决定，绝对值越大，平移的距离越远。
2. 伸缩伸缩是指将函数图像在x轴或y轴方向进行拉伸或压缩。
当A的绝对值变大时，正弦曲线在y轴方向上的振幅增大，即拉伸；当A的绝对值变小时，正弦曲线的振幅减小，即压缩。
当B的绝对值变大时，正弦曲线在x轴方向上的周期变短，即拉伸；当B的绝对值变小时，正弦曲线的周期变长，即压缩。
3. 反射反射是指将函数图像关于x轴或y轴进行翻转。
当A为负数时，正弦曲线关于x轴进行翻转；当B为负数时，正弦曲线关于y轴进行翻转。
二、余弦函数的基本变换余弦函数的标准公式为：y = A*cos(Bx + C) + D，其中A、B、C、D为常数，且A不等于0。
余弦函数的基本变换与正弦函数类似，分为平移、伸缩和反射三种变换。
1. 平移余弦函数的平移与正弦函数相同，通过调整C的值来实现。
当C为正数时，余弦曲线向左平移；当C为负数时，余弦曲线向右平移。
2. 伸缩余弦函数的伸缩与正弦函数类似，通过调整A和B的值来实现。
当A的绝对值变大时，余弦曲线在y轴方向上的振幅增大，即拉伸；当A 的绝对值变小时，余弦曲线的振幅减小，即压缩。
当B的绝对值变大时，余弦曲线在x轴方向上的周期变短，即拉伸；当B的绝对值变小时，余弦曲线的周期变长，即压缩。
3. 反射余弦函数的反射与正弦函数类似，通过调整A的值来实现。
正弦函数图象与性质
一.正弦函数的图像与性质1.正弦函数的图象画法：五点法：2.正弦函数的性质：（通过图象观察性质）（1）定义域： （2）值域： （3）周期性： （4）奇偶性： （5）单调性：（6）对称轴：（7）对称中心：3.正弦函数性质的应用（一）、值域和有界性以及最值的应用例1、设3sin -=t x ，R x ∈，求t 的取值范围。
例2、已知b x a y +=sin 的最大值为5，最小值为1，求a ，b 的值。
例3、求下列函数的最大值和最小值以及相应的x 的取值范围 （1）x y 2sin =；（2）2sin +=x y ；（3）2)1(sin 2+-=x y例4、求函数y ＝cos 2x －3sin x 的最大值例5、已知｜x ｜≤，求函数y ＝cos 2x ＋sin x 的最小值4π（二）、周期性的应用例1、 求下列函数的周期：(1)y ＝sin2x ，x ∈R ； (2)y ＝2sin(x －)，x ∈R)sin(ϕ+=wx A y 的周期T=练习：求下列函数的周期 （1）x y 3sin =，（2）4sin3x y =，（3）)62sin(2π-=x y （三）、单调性的应用（1）利用单调性比较大小例1、不求三角函数值，指出下列各式大于零还是小于零。
（1）)10sin()18sin(ππ---（2）)417sin()523sin(ππ---(2)求复合函数单调区间 例2、 (1)函数y ＝sin(x ＋)单调增区间? (2)函数y ＝3sin(－2x )单调减区间？ （3）求)214sin(3x y --=π的单调区间。
（四）、对称轴及对称中心的应用 例1、函数y ＝sin （2x ＋）图象的一条对称轴方程是( ) A x ＝－B x ＝－C x ＝D x ＝例2、函数)62sin(4π-=x y 的一个对称中心是（ ）A )0,12(πB )0,3(πC )0,6(π-D )0,6(π(五)．函数y ＝sinx 的对称性与周期性的关系．⑴ 若相邻两条对称轴为x ＝a 和x ＝b ，则T ＝ ． ⑵ 若相邻两对称点(a ，0)和(b ，0) ，则T ＝ ．⑶ 若有一个对称点(a ，0)和它相邻的一条对称轴x ＝b ，则T ＝ ．二.正弦型函数+b（一）1.周期： 2.频率： 3. 初相： 4.最值：例1、求函数的振幅、周期、初相和单调区间。
三角函数的图像变换
cosθ = 邻边/斜边，在单位圆中表示为x坐标。
正切函数（tangent）
三角函数的周期性
tanθ = 对边/邻边，表示为正弦与余弦之比。
正弦、余弦函数周期为2π，正切函数周期为 π。
三角函数在各象限表现
第一象限
所有三角函数值均为正。
第三象限
正弦、余弦函数值为负，正切函数值为正。
第二象限
正弦函数值为正，余弦、正切函数值为负。
伸缩变换对正弦函数影响
横向伸缩
改变正弦函数图像的周期长度。缩小周期使得函数图像更加紧密，扩大周期则 使得函数图像更加稀疏。
纵向伸缩
改变正弦函数图像的振幅大小。增大振幅使得函数图像波动范围更大，减小振 幅则使得函数图像波动范围更小。
周期性与相位调整方法
周期性调整
通过改变正弦函数的周期来调整图像的疏密程度。可以通过调整函数中的系数来 实现周期的变化。
相位调整
通过改变正弦函数的相位来调整图像出现的位置。可以通过在函数中添加常数项 来实现相位的调整。同时，利用三角函数的和差化积公式，也可以实现相位的调 整。
03 余弦函数图像变换分析
余弦函数基本图像特征
波形图像
余弦函数图像呈现周期性波动，具有典型的波形 特征。
振幅和周期
余弦函数的振幅和周期是确定其图像形状和尺寸 的关键参数。
拓展：其他类型周期函数图像变换
锯齿波和方波
除了正弦波和余弦波外，还有其 他类型的周期函数如锯齿波和方 波等，它们的图像变换同样具有 实际应用价值。
周期函数的合成与分解
通过三角函数的线性组合可以合 成其他类型的周期函数；反之， 其他类型的周期函数也可以通过 傅里叶级数展开成三角函数的线 性组合。
高中正弦型函数图像变换 优秀教学设计
高中正弦型函数图像变换优秀教学设计高中正弦型函数图像变换优秀教学设计【课题】 1.5 函数y =A sin(ωx +ϕ) 的图像【教材】高中数学人教版必修4第49页至55页. 【课时安排】 1个课时. 【教学对象】高一（上）学生. 【授课教师】【教学目标】✧知识与技能（1）理解A 、ω、ϕ的变化对函数图像的形状及位置的影响；（2）掌握由y =sin x 的图像到y =A sin(ωx +ϕ) 的图像的变换规律. ✧过程与方法（1）使学生经历图像变换的过程，培养学生的实践能力和分析问题、解决问题的能力；（2）锻炼学生归纳总结和逻辑思维的能力. ✧情感态度价值观经历图像变换的实际操作过程，培养学生“由简单到复杂、由特殊到一般”的化归思想和辩证思想.【教学重点】 1. 考查参数A 、ω、ϕ对函数图像变换的综合影响；2.理解如何由y =sin x 图像变换到y =A sin(ωx +ϕ) 图像的过程. 【教学难点】ω对y =A sin(ωx +ϕ) 的图像的影响规律的概括.【教学方法】讲练结合、讨论交流、合作探究。
【教学手段】计算机、flash 。
【教学过程设计】教学流程设计函数y =A sin(ωx +ϕ) 的图像探究一参数ϕ对探究二 y =sin 2x 如何平移得到（探究三参数ω(ω>0究四参数A (A >0对y =sin(x +ϕ)y =sin (ωx +ϕ)y =A sin (ωx +ϕ)图解答学生思考讨论并归纳规律学生思考讨论并归纳规律学生思考讨论并归纳规律学生思考讨论并归纳规律寻找解题方法总结规律二、教学过程设计【板书设计】函数y =A sin(ωx +ϕ) 的图像一、引入三、总结五、练习二、探究四、例题六、小结与作业附录1：本教学设计的创新之处1. 目标创新培养学生动手实践能力以及问题解决能力和数学探究能力；2. 教法创新亚里士多德说：“思维从问题惊讶开始”. 这些惊讶不会直接从抽象的符号或晦涩难懂的说教中来，它可以来源于直观感知，也可以总结自磨砺探索. 通过问题驱动, 师生共同发现问题并进而分析、解决问题.3. 数学创新在坚持课程标准总原则上，应立足于本质，抓住教学过程中出现的主要矛盾，合理调整教学环节，选择合理的设计方案，以体现现代数学教育的价值取向.。
1.5正弦型函数图象的平移和伸缩变换
向右平移 个单位
y sin x
3
y
sin(x
3
)
纵坐标不变 横坐ห้องสมุดไป่ตู้变为原来的1
倍
y sin(2x )
3
2
横坐标不变 总坐标变为原来的3倍
y 3sin(2x ) 向上平移1个单位
3
y 3sin(2x ) 1
3
法二：先伸缩（ 变换）后平移（ 变换）：
纵坐标不变
y sin x 横坐标变为原来的1 倍 y sin 2x 2
函数y Asin(x ) b的图象
A是振幅：A变换也叫振幅变换；
T为周期：T 2 ，变换也叫周期变换；
f是频率：f 1 ; T
x 是相位：变换也叫相位变换； 是初相：x 0时的相位.
要得到y 3sin(2x ) 1的图象,需将y sin x的图象作怎样的变换？
3
法一：先平移（ 变换）后伸缩（ 变换）：
向右平移 个单位 6
y sin(2x )
3
横坐标不变 总坐标变为原来的3倍
y 3sin(2x ) 向上平移1个单位
3
y 3sin(2x ) 1
3
总结：1.箭头图：起始→终止；
2. 四个数据，四个变换：先：， 后：A，b
三角函数的图像及其变换
振幅变换
振幅变换
通过将三角函数中的系数乘以一 个常数，可以改变函数图像的形 状和大小。例如，将正弦函数 y=sin(x)变为y=2sin(x)，图像的 高度变为原来的两倍。
总结词
振幅变换可以改变函数图像的大 小和形状，但不影响位置。
详细描述
振幅变换通常通过乘以一个常数来实 现。例如，对于正弦函数y=sin(x)，乘 以2得到y=2sin(x)，图像的高度变为 原来的两倍。同样地，对于余弦函数 y=cos(x)，乘以2得到y=2cos(x)，图 像的高度也变为原来的两倍。
与复数的联系
三角函数与复数之间有着密切的联系。例如，复数的三角形式就是由三角函数来表示的，这使得复数 的一些性质和运算可以通过三角函数来理解和实现。
此外，在复分析中，三角函数也起着重要的作用，如在求解某些复数域上的微分方程时，经常需要用 到三角函数。
谢谢
THANKS
应用
正切函数在解决实际问题和数学 问题中也有应用，例如在几何学 和三角学中的角度和长度计算。
02 三角函数的图像
CHAPTER
正弦函数的图像
01
正弦函数图像是周期函数，其基本周期为$2pi$，在$[0, 2pi]$ 区间内呈现波形。
02
正弦函数图像在$x$轴上的交点是$(frac{pi}{2} + kpi, 0)$，其
周期变换
总结词
详细描述
通过改变三角函数的周期，可以改变
函数图像的形状和位置。例如，将正 弦函数和余弦函数的周期从2π变为4π， 图像将变为原来的两倍长，但形状和
周期变换可以改变函数图像的长度， 但不影响形状和位置。
位置保持不变。
周期变换通常通过乘以一个常数来实现。例 如，将函数y=sin(x)变为y=sin(2x)，周期 从2π变为π，图像长度减半。同样地，对于 余弦函数，将y=cos(x)变为y=cos(2x)，周 期从2π变为π，图像长度也减半。
三角函数左右平移规律
三角函数左右平移规律
三角函数左右平移规律是指，在三角函数函数图像的横轴上做一定的移动，函
数图像也能实现左右平移的效果。
这种方式要求首先要理解三角函数的基本特征，以及相关定义域、值域等概念，并根据定义原理建立函数图像，然后再根据它规定的规律把它向左右移动。
三角函数左右平移规律可以总结为如下几条：
（1）正弦函数向右平移A，它的函数图像就会右移A，函数表达式也会相应地变
换为sin（x+A）。
（2）余弦函数向右平移A，它的函数图像就会右移A，函数表达式也会相应地变
换为cos（x+A）。
（3）正切函数向右平移A，它的函数图像就会右移A，函数表达式也会相应地变
换为tan（x+A）。
三角函数左右平移规律是理解和应用复杂函数的基础，对于理解复杂函数的定
义区间、值域等概念、掌握其图象的变幻规律性，乃至改变函数的一定性质均非常有帮助。
掌握三角函数的左右平移规律，并能够巧妙运用于实际应用尤为重要。
因此，研究三角函数的左右平移规律，既让我们能够熟练掌握三角函数的知识，对我们日常所学理论或应用中三角函数的使用也会变得更加熟练。
同时，三角函数还以它独特的规律性，与许多其他函数组合，为我们提供了十分有用的函数数学工具，能够清楚理解多边形、椭圆、曲线、几何体等各种实体，且特别是研究计算机图形学和机器人尤为重要。
总之，三角函数的左右平移规律是一种重要的数学知识，理解它的基本特征以
及平移的规律，有助于我们掌握更多的函数知识，并且运用三角函数的定义与规律，使得数学运算也变得更加简单。
三角函数图形的变换
三角函数图形的变换1、正弦与余弦函数图象的变换2、由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。
利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换):先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换:先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。
作y =sin x （长度为2π的某闭区间）的图象 得y =sin(x +φ) 的图象得y =sin ωx 的图象 得y =sin(ωx +φ) 的图象 得y =sin(ωx +φ) 的图象 得y =Asin(ωx +φ)的图象，先在一个周期闭区间上再扩充到R 上沿x 轴平 移|φ|个单位 横坐标 伸长或缩短 横坐标伸 长或缩短沿x 轴平 移|ωϕ|个单位 纵坐标伸 长或缩短纵坐标伸 长或缩短【经典例题】图像变换一：左右平移1、把函数R x x y ∈=,sin 图像上所有的点向左平移4π个单位，所得函数的解析式为 _________2、把函数R x x y ∈=,cos 图像上所有的点向右平移5π个单位，所得函数的解析式为 _________图像变换二：纵向伸缩3、对于函数R x x y ∈=,s i n 3的图像是将R x x y ∈=,sin 的图像上所有点的______(“横”或”纵”)坐标______（伸长或缩短）为原来的______而得到的图像。
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长到原来的2倍 3
D、向左平移 p 个单位，再将图象上各点的横坐标伸 长到原来的2倍 6
7、函数y=sin(2x+θ)的图象关于y轴对称，则 B
A 、 =2kp+p,kZ B、 =kp+p,kZ
2
2
C 、 =2kp+p,kZ D 、 =kp+p,kZ
8、要得到函数y= 2 cosx的图象，只需将函数
正弦型函数的图象和性质2
教学目标 1、“五点法”画y=Asin(ωx+φ)的图象。 2、会用图象变化的方法画y=Asin(ωx+φ)的图象。
例 1、作y=2sinx2+p3的图象
解：周期T=4π， x 振幅A=2，
- 2p 3
p 3
4p 3
x+p 23
0
p 2
p
描点作图
y
02
0
7p 10p
3
3
3p
1) y=12sin2x+p6+45
xx|x=kp+p6,kZ
时y取得最大值 7
4
.
向左平移 p
2) 将y=sinx 横坐标缩短为原来的 1
2
纵坐标缩短为原来的 1
2
6
y=
sin
x+
p
6
y=
sin
2x+
p
6
y=
1 2
sin
2x+
p
6
向上平移 5
4
得 图 象
随堂练习
1、要得到y=sin(2x- p )的图象,只要将y=sin2x的图象
又将y=sin2x的图象沿x轴向左平移 p 个单位，则得到
12
y=sin2x+1 p2,y=sin2x+p6 的图象。
y=sin
y=2sin
22x+x+p6p6
各点纵坐标伸长到原来的2倍，得 最后将整个图象沿x轴翻折后再向上
移动2单位得 y=-2sin2x+p6+2 的图象。
配套练习3、函数y=12sin2x-p6 - 14 的图象经过怎样的 变换可得到y=sinx的图象。
p 个单位，得到曲线y= 1 sinx的图象相同，则y=f(x)的函
数2 表达式为
2
A、 y#43;p2
D
C、 y=12sin12x+p2
D、 y=12sin2x-p2
5、将y=sin2x的图象向左平移p 个单位，得到曲线对
应的解析式为 C
3
A、y=sin2x+p3
C、y=4sinx2+p3 D、y=4sin2x+p3
3、函数y=sin(x+ p )的对称轴方程为 B
A、 x=kp+p,kZ4 B、x=kp+p,kZ
2
4
C、 x=kp-p,kZ D、x=kp-p,kZ
4
2
4、将函数y=f(x)图象上每个点的纵坐标保持不变，横
坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x轴向左平移
10、把y=cos2x+p3 的图象上各点向右平移 p2 个单位,
再把横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的5倍
最后把整个图象向下平移4个单位，则所得图象的函数
解析式是__y=_5_c_o_s__4_x-_2_3p__-_4__
初11相、是y=_12_s_- i_np9 __2x-p9
1
1
的振幅是__2 __，频率是____p __，
2 y=sin2x
向左平移 p 个单位
6
y=sin2x+p6=sin2x+p3
向左平移 p 个单位
方法2：y=sinx
3
y=
sin
x+
p
3
横坐标缩短为原来的 1
2
y=
sin
2x+
p
3
例5:已知 y=12sin2x+p6+45 1)当函数y取得最大值时，求自变量x的集合。
2)该函数的图象可由y=sinx的图象经过怎样变换得到。
解：
将此图象左移 p 个单位 ，再向上移 1 个单位得y=1 sin2x
12
4
2
再将此图象上所有的点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐
标伸长到原来的2倍就得到y=sinx的图象。
例4、指出将函数y=sinx的图象变换成
y=
sin
2x+
p
3
的图象的两种方法。
横坐标缩短为原来的 1
方法1：y=sinx
2p
2
-2
0
Y 2
- 2p 3
O -2
p 3
7p 10p
3
3
4p
X
3
配套练习1、用描点法作出
y=
2
sin
x+
p
4
的图象
知函数的周期T=2π，振幅A= 2
Y
2
5p 7p
44
p -
0
p
3p
X
444
-2
例2、在同一坐标系中,作函数y=sinx,y=sin2x,y=2sinx,
y=
sin
x+
p
4
的图象，并比较与y=sinx的变换关系。
y=
2sin
2x+p
4
的图象上所1 有的点的
C
A、横坐标缩小到原来的 ，再向左平移
p
个单位
2 1
B、横坐标缩小到原来的
8 ，再向右平移 p
个单位
2
4
C、横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移 p 个单位
4
D、横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移 p 个单位 8
9、y=5sin2x+p3的对称中心坐标为___k_2p_-_p_6_,0__kZ
左移p3得y=sinx+p3
横坐标缩短为原来的 1
2
得y=sin
2x+p
3
纵坐标伸长到原 O
X
来的3倍
得y=3sin2x+p3
例3、试说明函数 y=-2sin2x+p6+2 图象与函数
y=sinx的图象的变换关系。
解：将y=sinx的图象上各点的横坐标缩短为原来的 1 2
纵坐标不变，则得到y=sin2x的图象。
B、y=sin2x-p3
C、y=sin2x+23p
D、y=sin2x-23p
6、要得到y=sinx2+p6
的图象，可将y=sinx的图象 D
A、各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移 p
个单位
6
B、各点的横坐标缩小到原来的 1 ，再向左平移 p 个
单位
2
3
C、向左平移 p 个单位，再将图象上各点的横坐标伸
3
A、向左平移 p 个单位 B、向右平移 p 个单位 D
C、向左平移 p3 个单位 D、向右平移 p3 个单位
6
6
2、把y=sinx的图象上各点向右平移 p 个单位，再把横坐 标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原3 来的4倍，则所得
的图象的解析式是 B A、y=4sinx2-p3 B、y=4sin2x-p3
Y y=sinx y=2sinx y=sin2x
y=
sin
x+
p 4
0
X
y=sinx
纵坐标伸长2倍得y=2sinx
横坐标缩短为原来的1 得y=sin2x
2
左移p4得y=sinx+p4
配套练习2、作出函数 y=3sin2x+p3,xZ的简图，
说明它与y=sinx图象之间的关系。
Y
y=sinx的图象