第1.2节 微分方程及其解的几何解释
微分方程
微分方程第一节微分方程的基本概念一、引例略。
二、微分方程的基本概念略。
第二节可分离变量的微分方程如果一阶微分方程解出y'后形如dy=M x·N y，（1）dx即右边可以表示为两个单变量因式的乘积，则可称之为可分离变量的微分方程。
在N（y）≠0的情形下，有1dy=M x dx.（2）N y（2）式左边只含一个变量y，而右边只含另一个变量x，称这方程为可分离变量的微分方程。
将式（1）化为式（2）的变形方法叫做分离变量法。
根据积分形式的不变性，对式（2）两边积分1dy=M x dx，设结果为F y=G x+C，得到这个微分方程的通解。
第三节齐次方程一、齐次方程如果一阶微分方程可以化为如下形式：dy dx =φyx，（1）那么称这类方程为齐次方程。
在齐次型方程（1）中，通过引进新的未知函数u=y/x，就可以把它化为可分离变量的微分方程。
因为，由u=y/x，得y=ux，于是有dydx =u+x dudx，代入（1）式，便得到u+x dudx=φu，这是关于新的未知函数u的可分离变量的微分方程。
分离变量后积分du=dx，记Φ（u）为1φu−u的一个原函数，则得通解Φ（u）=ln|x|+C，再将yx回代解中的u，便得到齐次方程（1）的通解。
二、可化为齐次型的微分方程形如dy dx =ax+by+ca1x+b1y+c1,（2）其中a1a ≠b1b的方程。
当c=c1=0时方程（2）是齐次型的，否则不是齐次型的。
在非齐次型的情形下，可用如下的代换把它化为齐次型的。
做代换x=X+h，y=Y+k，其中常数h，k采用如下的方法取定：因为dx=dX， dy=dY，所以方程（2）经代换后成为dY dX =aX+bY+(aℎ+bk+c)a1X+b1Y+(a1ℎ+b1k+c1).令aℎ+bk+c=0a1ℎ+b1k+c1=0在a1a ≠b1b的条件下，右上述方程组可定出h与k.这样方程（2）就化为齐次方程dY dX =aX+bY a1X+b1Y.求得该齐次型方程的通解后，在通解中以x-h代X，y-k代Y，就得到方程（2）的通解。
微分方程笔记总结
微分方程笔记总结
一、微分方程的基本概念
微分方程是描述某一变量关于时间的导数或微分满足一定关系的方程。
它通常用于描述自然现象和社会现象的变化规律，如物理学、工程学、经济学等领域。
微分方程一般形式为：y' = f(x, y) 或 dy/dx = f(x, y)
其中，y 是未知函数，x 是自变量，f(x, y) 是已知函数。
二、微分方程的解
微分方程的解是指满足方程的函数。
对于给定的微分方程，我们需要找到满足该方程的函数，以便描述某一变量的变化规律。
三、微分方程的分类
根据微分方程中变量的个数和方程的形式，微分方程可以分为以下几类：
1. 常微分方程：只含有一个变量的微分方程。
2. 偏微分方程：含有两个或多个变量的微分方程。
3. 线性微分方程：方程中的未知函数和其导数是线性组合的微分方程。
4. 非线性微分方程：方程中的未知函数和其导数不是线性组合的微分方程。
四、微分方程的解法
对于不同类型的微分方程，解法也不同。
以下是一些常见的解法：
1. 分离变量法：将方程中的变量分离，转化为可求解的一阶常微分方程。
2. 积分因子法：通过引入积分因子，将高阶微分方程转化为可求解的一阶微分方程组。
3. 参数式解法：通过引入参数，将微分方程转化为参数方程组，从而求解未知函数。
4. 幂级数解法：将未知函数表示为幂级数形式，然后代入微分方程求解未知系数。
5. 数值解法：对于难以解析求解的微分方程，可以采用数值方法求解，如欧拉法、龙格-库塔法等。
常微分方程几何解释
常微分方程几何解释常微分方程（ordinary differential equation）是数学中的一个重要分支，解决了很多实际问题，从而推动了科学和技术的进步。
而常微分方程的几何解释则是其中的一个具有深刻意义的方面，它可以帮助我们更加深刻地理解微分方程的本质，并在几何意义上进行抽象和推广。
一、微分方程的几何意义微分方程是描述自变量和其导数之间的关系的方程，例如：$\frac{dy}{dx} = f(x,y)$其中，$y$ 是变量，$x$ 是自变量，$f(x,y)$ 是一个规定好的函数。
这个式子的意思是，“$y$ 对 $x$ 的导数等于$f(x,y)$”，也就是说，当我们确定了 $f(x,y)$ 这个函数的形式，这个微分方程就规定了 $y$ 在自变量 $x$ 下的变化规律。
那么，这个微分方程到底有什么几何意义呢？我们可以把 $y$ 看作平面上的点，$y$ 对 $x$ 的导数看作该点处的切线斜率，$f(x,y)$ 看作斜率的函数。
这样，微分方程可以被看作描绘了在平面上一点的动态演化轨迹的微分方程。
例如，对于微分方程：$\frac{dy}{dx} = y$我们可以解得 $y = Ce^{x}$ （$C$ 为常数），这个解表明在$x$ 轴正半轴方向上，$y$ 的值不断地成倍增长。
这个动态演化的轨迹可以形象地理解为一条指数曲线。
二、微分方程的向量场由于微分方程描述了一条轨迹，我们可以把它与向量场联系起来，从而更加深入地理解它。
向量场是一个输出为向量的函数，它可以在每个点上给出一个向量，描述了该点的方向和大小。
对于微分方程 $\frac{dy}{dx} =f(x,y)$，我们可以把 $(x,y)$ 看作平面上的一点，$f(x,y)$ 看作向量场在该点的输出。
例如，对于微分方程 $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$，我们可以把它看作向量场 $F(x,y) = \left \langle -\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}},-1 \right \rangle$。
常微分方程课程总结
常微分方程课程总结第一章 绪论§1.2微分方程的基本概念（1）常微分方程偏微分方程微分方程：凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程。
常微分方程：未知函数为一元函数的微分方程。
()(),dyaxy a dxdy p x y Q x dx=+=为常数 偏微分方程：未知函数为多元函数，从而出现偏导数的微分方程。
()22,22242u uf x y x y u u y x ∂∂+=∂∂∂∂=∂∂（2）线性与非线性一般n 阶线性微分方程具有形式：（等式左面全是一次有理整式）()(1)11()()()().n n n n y a x y a x y a x y f x --'++++=（3）解和隐式解微分方程的解：代入微分方程能使方程成为恒等式的函数. 隐式解：Φ（x,y ）=0 （4）通解和特解通解：微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数同.） 特解： 确定了通解中任意常数以后的解. 初始条件：用来确定任意常数的条件.初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.（5）积分曲线：微分方程任一特解的图形都是一条曲线,称为微分方程的积曲线。
第二章 一阶微分方程的初等解法§2.1 变量分离方程与变量变换2.1.1、变量分离方程)()(y x f dxdyϕ= ⎰⎰+=c dx x f y dy )()(ϕ 2.1.2、可化为变量分离方程的类型1.形如)(x y g dx dy =，称为齐次微分方程，令u ＝xy ,即y ＝ux ，于是dx dy ＝x dx du ＋u ，代入原方程，变形为x dx du ＋u ＝g （u ），整理得dx du ＝xuu g -)(2.形如222111c x b x a c x b x a dx dy ++++= 的方程也可经变量变换化为变量分离方程（1）常数）(212121k c c b b a a ===，方程化为dxdy ＝k ，有通解c kx y += （2）≠==k b b a a 212121c c 情形，令u ＝y b x a 21+，这时有dx du ＝dx dy b a 22+＝2122c u c ku b a +++是分离变量方程 （3）2121b b a a ≠情形，若21c c 、不全为零，方程右端分子、分母都是x 、y 的一次多项式，因此111c x b x a ++＝0，222c y b x a ++＝0，交点（),βα，令X ＝x －α，Y ＝y －β，化为011=+Y b X a ， 022=+Y b X a 。
微分方程及其解的几何解释
§2 微分方程及其解的几何解释一．[内容简介]本节给出微分方程及其解的几何解释.二．[关键词] 积分曲线，线素场，等斜线三．[目的与要求]弄清方向场和微分方程的积分曲线的几何意义.四．[教学过程]由§1可以看到，给定平面上一个单参数曲线族0),,(=C y x f ，可以通过求微分得方程0=∂∂+∂∂dy yf dx x f 。
从这两个方程消去任意常数C ，即得此曲线族所满足的一阶微分方程。
反过来，当某些一阶微分方程的通解或通积分已经找到后，也可以用平面上的一个曲线族来表示它。
现对一阶微分方程),(y x f dxdy = )1.2( 来讨论求解此方程的几何意义。
设有一平面区域G （可能就是全平面），),(y x f 是G 内给定连续函数。
设)1.2(有一解:Γ )()(I x x y ∈=ϕ )2.2(其中I 是这个解的存在区间。
显然函数)(x y ϕ=在),(y x 平面上的图象是一条光滑曲线，它称为方程)1.2(的一条积分曲线，仍记为Γ。
任取一点Γ∈),(y x P ，即I x ∈，)(x y ϕ=。
由于)(x y ϕ=满足方程)1.2(，所以从导数的几何意义得出，曲线Γ在P 点的切线斜率为 ),())(,()('y x f x x f x ==ϕϕ。
上述等式说明：一阶微分方程)1.2(的积分曲线是这样一条曲线，在它上面的每一点),(y x 的切线斜率等于已知的),(y x f 。
这就是一阶微分方程)1.2(的解的几何意义。
下面介绍线素场的概念。
给了一阶微分方程)1.2(，对于区域G 内每一点),(y x P ，都可以作一斜率为)(P f 的小直线段)(P L ，来标明积分曲线在该点的切线方向，称)(P L 为微分方程)1.2(在P 点的线素。
对于区域G 内每一点都这样作，而称区域G 连同上述全体线素为微分方程)1.2(的线素场（或方向场）。
由此可见，在方程)1.2(的积分曲线上的每一点处，积分曲线与)1.2(的线素场的线素相切；反之，若一条曲线在它上面的每一点与)1.2(的线素场的线素相切，则该曲线就是微分方程)1.2(的积分曲线。
常微分方程的几何解释
(2.2)
a x b, y ,
假设函数 f x, y在给定区域上连续且有界.于是
它在这个区域上确定了一个线素场.下面利用线素场
求出经过 x0, y0 的近似积分曲线.把
x0 ,b n 等分,其分点为:
xk x0 kh, k 0,1, , n
h b x0 , n
xn b
常微分方程
绵阳师范学院
先求出 f x0, y0
用经过 x0, y0 斜率为
y
x1
,
y1
x2
,
y2
f x0, y0 的直线段来近
y0
似积分曲线,其方程为
y y0 f x0, y0 x x0
x0 x1 x2
bx
求出直线上横坐标 x1 处的点的纵坐标
y1 y0 f x0, y0 x1 x0 y0 f x0, y0 h
如果 h 很小 x1, y1 就很接近积分曲线上的点 x1, y x1
因 f x, y 连续.于是由点 x1, y1 出发的斜率为
f x1, y1 的直线段又近似于原积分曲线.它的方程为
了线素场.
y k x
易见在点 x, y 的线素与
过原点与该点的射线重合.
常微分方程
绵阳师范学院
定理2.1 L为(2.1)的积分曲线的充要条件是: 在L 上任一点,L 的切线方向与(2.1)所确定的线 素场在该点的线素方向重合;即L在每间点均与 线素场的线素相切.
证明 必要性 设L为(2.1)的积分曲线,其方程为
20
若初值问题
dy dx
f ( x, y),的解是存在,是否唯一?
常微分方程偏微分方程
初值问题: 求微分方程满足初始条件的特解的问题. 一般初值问题可写为：
F x , y , y' , y" , , y n 0
y x x y 0 , y'
0
x x0
, , y0
y n1
x x0
n1 y0
微分方程的解的图形是一条曲线， 称它为微分方程的积分曲线。 满足初始条件的特解就是通过点 x0 , y0 的一条积分曲线。
n1 n1 y y , y ' y , , y y . x x 当 0 0 0 0 时，
或写作
y x x y 0 , y'
0
x x0
, , y0
y n1
x x0
n1 y0
n1 ,, y0 这里 x0 , y0 , y0 是给定的n+1个常数。
而且一定含有 y n ； y 是未知函数， x 是自变量。 如果函数 y x 代入微分方程后， 能使方程变为恒等式，
则称 y x 为微分方程的解。 通解：解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数等于 微分方程的阶数。 特解：满足初始条件的解。
6
（5）
x2 C
（2）
把条件“x=1，y=2”代入（2）式，得
C 1
于是所求曲线方程为
y x2 1
2
例 2 列车在平直的线路上以 20 米/秒的速度行驶, 2 当制动时列车获得加速度 0.4 米/秒 ,问开始制动 后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内 行驶了多少路程？
解
设制动后t 秒钟行驶 s 米, s s(t )
微分方程问题的解法
电磁学研究
02
在电磁学中，微分方程被用来描述电场、磁场的变化以及电磁
波的传播。
热传导问题
Байду номын сангаас
03
微分方程可以用来描述物体的热量传导过程，例如温度随时间
变化的规律。
在经济中的应用
供需关系
微分方程可以用来描述市场的供需关系，例如商品价格随 时间变化的规律。
01
经济增长模型
微分方程可以用来建立经济增长模型， 例如描述一个国家或地区的GDP随时间 变化的规律。
线性稳定性分析
定义
线性稳定性分析是指通过线性化微分方程，来研究系统的稳定性。
方法
将非线性微分方程线性化，然后利用线性系统的性质来分析系统 的稳定性。
应用
线性稳定性分析广泛应用于物理学、化学、生物学等领域。
非线性稳定性分析
定义
非线性稳定性分析是指通过非线性微分方程的性质， 来研究系统的稳定性。
方法
总结词
通过将微分方程转化为代数方程，简化求解过程。
详细描述
将微分方程中的变量分离到等式的两边，然后对等式两边同时进行积分，从而求解微分方程。
变量代换法
总结词
通过引入新的变量替换原微分方程中的复杂表达式，简化微分方程的形式。
详细描述
通过引入新的变量，将微分方程中的复杂表达式替换为新变量的表达式，从而 简化微分方程的形式，方便求解。
有限元素法
总结词
有限元素法是一种将微分方程转化为线性方程组进行求 解的方法。
详细描述
有限元素法的基本思想是将微分方程的求解区域划分为 一系列小的子区域（或元素），然后在每个子区域上定 义一个近似函数，将微分方程转化为线性方程组进行求 解。这种方法在求解一些复杂的微分方程时非常常用。
微分方程及其解的定义
微分方程ﻫ什么就是微分方程?它就是怎样产生的？这就是首先要回答的问题、300多年前,由牛顿(Newton,1６４２-1727)与莱布尼兹(Ｌｅiｂniz,1６46-17１6)所创立的微积分学,就是人类科学史上划时代的重大发现,而微积分的产生与发展,又与求解微分方程问题密切相关、这就是因为,微积分产生的一个重要动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求、一般地,运动规律很难全靠实验观测认识清楚,因为人们不太可能观察到运动的全过程.然而,运动物体(变量)与它的瞬时变化率(导数)之间,通常在运动过程中按照某种己知定律存在着联系,我们容易捕捉到这种联系,而这种联系,用数学语言表达出来,其结果往往形成一个微分方程、一旦求出这个方程的解,其运动规律将一目了然、下面的例子,将会使您瞧到微分方程就是表达自然规律的一种最为自然的数学语言、ﻫ例１物体下落问题ﻫ设质量为m的物体,在时间t＝0时,在距地面高度为H处以初始速度v(０) =ｖ0垂直地面下落,求此物体下落时距离与时间的关系、ﻫ解如图１-１建立坐标系,设为t时刻物体的位置坐标.于就是物体下落的速度为ﻫ加速度为ﻫ质量为m的物体,在下落的任一时刻所受到的外力有重力mｇ与空气阻力,当速度不太大时,空气阻力可取为与速度成正比、于就是根据牛顿第二定律F= mａ(力=质量×加速度)可以列出方程(·= )(1、1)其中k> 0为阻尼系数,ｇ就是重力加速度.(1、1)式就就是一个微分方程,这里ｔ就是自变量,ｘ就是未知函数,就是未知函数对t导数、现在,我们还不会求解方程(1、1),但就是,如果考虑k=0的情形,即自由落体运动,此时方程(1、1)可化为(１.2)将上式对ｔ积分两次得ﻫ(1、３)ﻫ其中与就是两个独立的任意常数,它就是方程(１.2)的解.一般说来,微分方程就就是联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数之间的关系式、如果其中的未知函数只与一个自变量有关,则称为常微分方程;如果未知函数就是两个或两个以上自变量的函数,并且在方程中出现偏导数,则称为偏微分方程、本书所介绍的都就是常微分方程,有时就简称微分方程或方程、ﻫ例如下面的方程都就是常微分方程(1.4)ﻫ(1、5)(·=) (１、6)ﻫ(′=) (1、7)在一个常微分方程中,未知函数最高阶导数的阶数,称为方程的阶、这样,一阶常微分方程的一般形式可表为ﻫ(１.8) 如果在(1.8)中能将y′解出,则得到方程(1.9)或(1.10)ﻫ(1.8)称为一阶隐式方程,(１、9)称为一阶显式方程,(１、10)称为微分形式的一阶方程.ﻫｎ阶隐式方程的一般形式为ﻫ(1、11)n阶显式方程的一般形式为(1、１２)ﻫ在方程(1、1１)中,如果左端函数F对未知函数y与它的各阶导数y′,ｙ″,…,y(n)的全体而言就是一次的,则称为线性常微分方程,否则称它为非线性常微分方程.这样,一个以y为未知函数,以ｘ为自变量的n阶线性微分方程具有如下形式:(1、1３)显然,方程(１、４)就是一阶线性方程;方程(1.５)就是一阶非线性方程;方程(1.6)就是二阶线性方程;方程(１、７)就是二阶非线性方程、通解与特解ﻫ微分方程的解就就是满足方程的函数,可定义如下、ﻫ定义１.１设函数在区间I上连续,且有直到n阶的导数、如果把代入方程(1、1１),得到在区间I上关于x的恒等式,ﻫ则称为方程(1、１1)在区间I上的一个解、这样,从定义1、1可以直接验证:1. 函数y=ｘ2＋Ｃ就是方程(1、4)在区间(-∞,+∞)上的解,其中C就是任意的常数、ﻫ２、函数就是方程(１、５)在区间(-1,+1)上的解,其中Ｃ就是任意常数、又方程(1.5)有两个明显的常数解y =±１,这两个解不包含在上述解中、ﻫ 3. 函数就是方程(1、6)在区间(-∞,+∞)上的解,其中与就是独立的任意常数、ﻫ４. 函数就是方程(1、7)在区间(-∞,+∞)上的解,其中与就是独立的任意常数.这里,我们仅验证３,其余留给读者完成、事实上,在(-∞,+∞)上有所以在(-∞,+∞)上有从而该函数就是方程(1、6)的解、ﻫ从上面的讨论中,可以瞧到一个重要事实,那就就是微分方程的解中可以包含任意常数,其中任意常数的个数可以多到与方程的阶数相等,也可以不含任意常数、我们把ｎ阶常微分方程(１.11)的含有n个独立的任意常数C1,C2,…,Cｎ的解,称为该方程的通解,如果方程(１、11)的解不包含任意常数,则称它为特解、由隐式表出的通解称为通积分,而由隐式表出的特解称为特积分、ﻫ由上面的定义,不难瞧出,函数与分别就是方程(１、4),(1.５)与(1.6)的通解,函数就是方程(1、7)的通积分,而函数y=±１就是方程(1、７)的特解.通常方程的特解可对通解中的任意常数以定值确定,这种确定过程,需要下面介绍的初始值条件,或简称初值条件、初值问题例1中的函数(１、3)显然就是方程(１、２)的通解,由于与就是两个任意常数,这表明方程(1、２)有无数个解,解的图像见下面的图a与图b所示、ﻫ图a(C1>固定,C2＞０)图b(C1＝0,Ｃ2>０)而实际经验表明,一个自由落体运动仅能有一条运动轨迹、产生这种多解性的原因就是因为方程(1、2)所表达的就是任何一个自由落体,在任意瞬时t所满足的关系式,并未考虑运动的初始状态,因此,通过积分求得的其通解(1、３)所描述的就是任何一个自由落体的运动规律、显然,在同一初始时刻,从不同的高度或以不同初速度自由下落的物体, 应有不同的运动轨迹、为了求解满足初值条件的解,我们可以把例1中给出的两个初始值条件,即初始位置x(０)= Ｈ初始速度ﻫ代入到通解中,推得于就是,得到满足上述初值条件的特解为ﻫ(1、１4)它描述了初始高度为H,初始速度为ｖ0的自由落体运动规律、求微分方程满足初值条件的解的问题称为初值问题.于就是我们称(1、１４)就是初值问题ﻫﻫ的解.对于一个ｎ阶方程,初值条件的一般提法就是(1、15)ﻫ其中就是自变量的某个取定值,而就是相应的未知函数及导数的给定值、方程(1、12)的初值问题常记为(1.1６) ﻫ初值问题也常称为柯希(Caｕchｙ)问题、ﻫ对于一阶方程,若已求出通解,只要把初值条件ﻫ代入通解中,得到方程从中解出Ｃ,设为,代入通解,即得满足初值条件的解、ﻫ对于ｎ阶方程,若已求出通解后,代入初值条件(１.１5),得到n个方程式(1、１7)ﻫ如果能从(1、1７)式中确定出,代回通解,即得所求初值问题的、例2 求方程ﻫ的满足初值条件的解、ﻫ解方程通解为求导数后得将初值条件代入,得到方程组ﻫ解出与得ﻫﻫ故所求特解为积分曲线ﻫ为了便于研究方程解的性质,我们常常考虑解的图象、一阶方程(1、9)的一个特解的图象就是xｏｙ平面上的一条曲线,称为方程(1.９)的积分曲线,而通解的图象就是平面上的一族曲线,称为积分曲线族.例如,方程(1、4)的通解+C就是xoy平面上的一族抛物曲线、而就是过点(０,0)的一条积分曲线、以后,为了叙述简便,我们对解与积分曲线这两个名词一般不加以区别、对于二阶与二阶以上的方程,也有积分曲线与积分曲线族的概念,只不过此时积分曲线所在的空间维数不同,我们将在第４章详细讨论、ﻫ最后,我们要指出,本书中按习惯用ﻫ分别代表,ﻫ而ﻫ分别代表1、常微分程的定义,方程的阶,隐式方程,显式方程,线性方程,非线性方程. 本节要点:ﻫ2、常微分方程解的定义,通解,特解,通积分,特积分.ﻫ3、初值问题及初值问题解的求法、４、解的几何意义,积分曲线.。
微分方程及其解的定义
微分方程什么是微分方程？它是怎样产生的？这是首先要回答的问题.300多年前，由牛顿(Newton,1642-1727)和莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)所创立的微积分学，是人类科学史上划时代的重大发现，而微积分的产生和发展，又与求解微分方程问题密切相关.这是因为，微积分产生的一个重要动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求.一般地，运动规律很难全靠实验观测认识清楚，因为人们不太可能观察到运动的全过程.然而，运动物体(变量)与它的瞬时变化率(导数)之间，通常在运动过程中按照某种己知定律存在着联系，我们容易捕捉到这种联系，而这种联系，用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程.一旦求出这个方程的解，其运动规律将一目了然.下面的例子，将会使你看到微分方程是表达自然规律的一种最为自然的数学语言.例1 物体下落问题设质量为m的物体，在时间t=0时，在距地面高度为H处以初始速度v(0) = v0垂直地面下落，求此物体下落时距离与时间的关系.解如图1-1建立坐标系，设为t时刻物体的位置坐标.于是物体下落的速度为加速度为质量为m的物体，在下落的任一时刻所受到的外力有重力mg和空气阻力，当速度不太大时，空气阻力可取为与速度成正比.于是根据牛顿第二定律F = ma (力=质量×加速度)可以列出方程(·= ）(1.1) 其中k ＞0为阻尼系数，g是重力加速度.(1.1)式就是一个微分方程，这里t是自变量，x是未知函数，是未知函数对t导数.现在，我们还不会求解方程(1.1)，但是，如果考虑k=0的情形，即自由落体运动，此时方程(1.1)可化为(1.2)将上式对t积分两次得(1.3)其中和是两个独立的任意常数，它是方程(1.2)的解.一般说来，微分方程就是联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数之间的关系式.如果其中的未知函数只与一个自变量有关，则称为常微分方程；如果未知函数是两个或两个以上自变量的函数，并且在方程中出现偏导数，则称为偏微分方程.本书所介绍的都是常微分方程，有时就简称微分方程或方程.例如下面的方程都是常微分方程（1.4）（1.5）(·=)（1.6）(′=)（1.7）在一个常微分方程中，未知函数最高阶导数的阶数，称为方程的阶.这样，一阶常微分方程的一般形式可表为（1.8）如果在(1.8)中能将y′解出，则得到方程（1.9）或（1.10）(1.8)称为一阶隐式方程,(1.9)称为一阶显式方程，(1.10)称为微分形式的一阶方程.n 阶隐式方程的一般形式为（1.11）n 阶显式方程的一般形式为(1.12)在方程(1.11)中，如果左端函数F对未知函数y和它的各阶导数y′,y″,…,y(n)的全体而言是一次的，则称为线性常微分方程，否则称它为非线性常微分方程.这样，一个以y 为未知函数，以x为自变量的n阶线性微分方程具有如下形式：（1.13）显然，方程(1.4)是一阶线性方程；方程(1.5)是一阶非线性方程；方程(1.6)是二阶线性方程；方程(1.7)是二阶非线性方程.通解与特解微分方程的解就是满足方程的函数，可定义如下.定义1.１设函数在区间I上连续，且有直到n阶的导数.如果把代入方程(1.11)，得到在区间I上关于x的恒等式，则称为方程(1.11)在区间I上的一个解.这样，从定义1.1可以直接验证：1. 函数y = x2＋Ｃ是方程(1.4)在区间(-∞，+∞)上的解，其中C是任意的常数.2. 函数是方程(1.5)在区间（-1,+1）上的解，其中C是任意常数.又方程(1.5)有两个明显的常数解y =±１，这两个解不包含在上述解中.3. 函数是方程(1.6)在区间(-∞，+∞)上的解，其中和是独立的任意常数.4. 函数是方程(１.７)在区间(-∞，+∞)上的解，其中和是独立的任意常数.这里，我们仅验证3，其余留给读者完成.事实上，在(-∞，+∞)上有所以在（－∞，＋∞）上有从而该函数是方程(1.6)的解.从上面的讨论中，可以看到一个重要事实，那就是微分方程的解中可以包含任意常数，其中任意常数的个数可以多到与方程的阶数相等，也可以不含任意常数.我们把n 阶常微分方程(1.11)的含有n个独立的任意常数C1，C2，…，Cn的解，称为该方程的通解，如果方程(1.11)的解不包含任意常数，则称它为特解.由隐式表出的通解称为通积分，而由隐式表出的特解称为特积分.由上面的定义，不难看出，函数和分别是方程(1.4)，(1.5)和(1.6)的通解，函数是方程(1.7)的通积分，而函数y =±１是方程(1.7)的特解.通常方程的特解可对通解中的任意常数以定值确定，这种确定过程，需要下面介绍的初始值条件，或简称初值条件.初值问题例1中的函数(1.3)显然是方程(1.2)的通解，由于和是两个任意常数，这表明方程(1.2)有无数个解，解的图像见下面的图a和图b所示.图a（C1＞固定，C2＞0）图b（C1=0,C2＞0）而实际经验表明，一个自由落体运动仅能有一条运动轨迹.产生这种多解性的原因是因为方程(1.2)所表达的是任何一个自由落体，在任意瞬时t所满足的关系式，并未考虑运动的初始状态，因此，通过积分求得的其通解(1.3)所描述的是任何一个自由落体的运动规律.显然，在同一初始时刻，从不同的高度或以不同初速度自由下落的物体，应有不同的运动轨迹.为了求解满足初值条件的解，我们可以把例1中给出的两个初始值条件，即初始位置x(0)= H 初始速度代入到通解中，推得于是，得到满足上述初值条件的特解为(1.14)它描述了初始高度为H，初始速度为v0的自由落体运动规律.求微分方程满足初值条件的解的问题称为初值问题.于是我们称(1.14)是初值问题的解.对于一个n 阶方程，初值条件的一般提法是(1.15)其中是自变量的某个取定值，而是相应的未知函数及导数的给定值.方程(1.12)的初值问题常记为(1.16)初值问题也常称为柯希（Cauchy）问题.对于一阶方程，若已求出通解，只要把初值条件代入通解中，得到方程从中解出C，设为，代入通解，即得满足初值条件的解.对于n 阶方程，若已求出通解后，代入初值条件(1.15)，得到n个方程式(1.17)如果能从(1.17)式中确定出，代回通解，即得所求初值问题的.例2 求方程的满足初值条件的解.解方程通解为求导数后得将初值条件代入，得到方程组解出和得故所求特解为积分曲线为了便于研究方程解的性质，我们常常考虑解的图象.一阶方程(1.9)的一个特解的图象是xoy平面上的一条曲线，称为方程(1.9)的积分曲线，而通解的图象是平面上的一族曲线，称为积分曲线族.例如，方程(1.4)的通解+C是xoy平面上的一族抛物曲线.而是过点(0，0)的一条积分曲线.以后，为了叙述简便，我们对解和积分曲线这两个名词一般不加以区别.对于二阶和二阶以上的方程，也有积分曲线和积分曲线族的概念，只不过此时积分曲线所在的空间维数不同，我们将在第4章详细讨论.最后，我们要指出，本书中按习惯用分别代表，而分别代表本节要点：1．常微分程的定义，方程的阶，隐式方程，显式方程，线性方程，非线性方程.2．常微分方程解的定义，通解，特解，通积分，特积分.3．初值问题及初值问题解的求法.4．解的几何意义，积分曲线.。
微分方程及其解几何意义分离变量方法
微分方程及其解几何意义分离变量方法微分方程是描述物理、工程和数学问题中变量之间关系的数学方程。
它在科学和工程领域中具有广泛的应用。
微分方程的解具有重要的几何意义，可以帮助我们理解和研究问题的性质和行为。
微分方程的解几何意义可以通过以下几个方面来解释：1.几何形状描述：微分方程的解可以用来描述几何形状。
例如，二阶微分方程可以描述曲线的形状、三维曲面的曲率等。
通过求解微分方程，我们可以获得形状和曲线的各种性质，如切线、切面、曲率等。
几何形状的描述对于理解和研究问题的本质非常重要。
2.动力学行为：微分方程的解可以描述物体或系统的动力学行为。
例如，质点的运动、电路中电流的变化等。
通过求解微分方程，我们可以获得物体或系统的位置、速度、加速度等关键信息。
这对于研究运动和相互作用等动力学现象非常有用。
3.稳定性分析：微分方程的解可以用来分析和评估系统的稳定性。
例如，稳定性方程可以用微分方程描述，通过求解稳定性方程的解可以判断系统的稳定性。
这对于分析工程系统、控制系统等的稳定性非常重要。
4.相空间分析：微分方程的解可以用来描述系统在相空间中的行为。
例如，相图可以用微分方程描述，通过求解相图的解可以研究系统在相空间中的运动轨迹、稳定点、周期等。
相空间分析对于理解系统的动力学行为有着重要的意义。
分离变量方法是求解一阶常微分方程的常用方法之一、它的基本思想是将方程中的所有变量分离，然后对两边分别积分。
分离变量方法适用于形如dy/dx = f(x)g(y)的方程。
分离变量方法的步骤如下：1. 将变量分离：将方程中的dy和dx分离为两个单独的项。
通常可以将方程重写为dy/g(y) = f(x)dx。
2. 对两边积分：对方程两边进行积分，即∫(1/g(y))dy = ∫f(x)dx。
这样就可以求出g(y)和f(x)的积分。
3.求解常数：在进行积分过程中，可能会产生一个或多个常数。
根据已知条件或边界条件，解出这些常数。
4.得到解：将求得的积分结果代入方程中，得到方程的解。
微分方程初步及其解法
微分方程初步及其解法什么是微分方程微分方程（differential equation）是描述数学关系的一个重要工具。
它是一个包含未知函数及其导数的方程，通常用于描述物理、经济、工程等领域的变化规律。
微分方程可以分为常微分方程（ordinary differential equations, ODEs）和偏微分方程（partial differential equations, PDEs）两种。
常微分方程是只涉及一个自变量的微分方程，而偏微分方程涉及多个自变量。
在本文中，我们将主要关注常微分方程。
常微分方程的分类常微分方程可以按照方程中出现的导数的阶数进行分类。
最常见的分类方式有以下几种：1.一阶常微分方程：仅包含一阶导数的微分方程。
2.二阶常微分方程：包含二阶导数（和一阶导数）的微分方程。
3.高阶常微分方程：包含高于二阶的导数的微分方程。
此外，还可以根据方程中的函数类型进行分类，例如线性微分方程、非线性微分方程等。
常见解法方法求解常微分方程的方法有很多种，我们在这里简要介绍一些常用的解法方法。
可分离变量法可分离变量法是一种常用的解一阶常微分方程的方法。
它的基本思想是将方程中的变量分离，然后分别对两边积分得到方程的解。
例如，考虑一阶常微分方程：$\\frac{dy}{dx} = g(x)f(y)$，其中g(x)和f(y)是已知函数。
我们可以将该方程改写为 $\\frac{dy}{f(y)} = g(x)dx$，然后对两边同时积分，得到 $\\int\\frac{dy}{f(y)} = \\int g(x)dx$。
最后通过求解得到的积分方程，得到原方程的解。
齐次方程法对于一阶常微分方程$y' = f\\left(\\frac{y}{x}\\right)$，如果存在一个常数k，使得替换变量y=kx后，原方程变成一个关于k的代数方程，那么该微分方程称为齐次方程。
齐次方程的解可以通过导出关于k的代数方程，并求解该代数方程得到。
初中数学知识归纳微分方程的基本概念和解法
初中数学知识归纳微分方程的基本概念和解法微分方程是数学中重要的分支之一，它在很多领域都有广泛的应用。
本文将介绍初中数学中微分方程的基本概念和解法。
一、微分方程的基本概念微分方程是含有一个或多个未知函数的方程，其中未知函数与其导数之间存在一定的关系。
微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两大类。
在初中数学中，我们主要学习常微分方程。
1.1 一阶微分方程一阶微分方程是指只含有未知函数的一阶导数的微分方程。
一阶微分方程的一般形式可以表示为dy/dx=f(x)，其中y是未知函数，x是自变量，f(x)是已知函数。
1.2 高阶微分方程高阶微分方程是指含有未知函数的高阶导数的微分方程。
高阶微分方程的一般形式可以表示为d^n y/dx^n=f(x)，其中y是未知函数，x是自变量，f(x)是已知函数，n为正整数。
二、微分方程的解法解微分方程的关键是确定未知函数的表达式，常用的解法有分离变量法、齐次法、一阶线性微分方程和二阶齐次线性微分方程等。
2.1 分离变量法对于一阶微分方程dy/dx=f(x)，如果可以将方程两边的变量分离到方程两侧，则可以通过积分的方式解得未知函数y的表达式。
具体步骤如下：- 将方程化为dy=f(x)dx的形式；- 将dy和dx分离到方程两侧；- 对方程两边同时积分，得到y的表达式；- 添加常数C，得到通解。
2.2 齐次法对于一阶微分方程dy/dx=f(x,y)，如果可以将方程通过变量代换化为dy/dx=g(x/y)的形式，则可以通过变量代换和分离变量的方式解得未知函数y的表达式。
具体步骤如下：- 令y=ux，其中u是关于x的函数；- 对x求导并代入方程，化简得到关于u和x的方程；- 将方程分离变量并积分，得到u的表达式；- 将u代回方程，得到y的表达式。
2.3 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的一般形式是dy/dx+p(x)y=q(x)，其中p(x)和q(x)是已知函数。
解一阶线性微分方程的关键是构造一个积分因子，使得方程变为可积的形式。
高中数学知识点总结微分方程的应用与求解技巧
高中数学知识点总结微分方程的应用与求解技巧高中数学知识点总结：微分方程的应用与求解技巧微分方程是数学中的重要分支，其在许多领域中都有广泛的应用。
本文将总结高中数学中微分方程的应用以及求解技巧，帮助读者更好地理解和掌握相关知识。
一、微分方程的基本概念微分方程是描述变量之间关系的数学方程，其中包含了未知函数的导数。
通常表示为dy/dx=f(x)或者dy/dx=g(x,y)。
微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程。
二、微分方程的应用领域1.物理学中的应用微分方程广泛应用于物理学中的运动学、电磁学、热力学等领域。
例如，在运动学中，利用微分方程可以描述物体的运动状态以及其变化规律。
2.生物学中的应用微分方程在生物学领域中有着重要的应用，可以描述生物体的生长、衰变、传播等现象。
通过建立适当的微分方程模型，可以研究动态系统的行为。
3.经济学中的应用微分方程在经济学中的应用较为常见，可以描述经济变量之间的关系，研究经济系统的演化过程。
例如，通过建立供需关系方程组，可以分析市场上物品供求的平衡情况。
三、微分方程的求解技巧1.分离变量法分离变量法是常用的微分方程求解方法之一，适用于可以将微分方程化为两个变量的乘积形式。
具体步骤为将方程两边分别积分，将两个变量分离开来。
2.齐次微分方程的求解对于形式为dy/dx=f(x,y)的齐次微分方程，可以通过引入新的变量进行求解。
将y=xu代入方程，化简后可得到一个容易求解的变量分离的方程。
3.常微分方程的特殊解常微分方程中可能存在特殊解，如平凡解和周期解。
平凡解是指对于某些特定的初始条件，方程的解为常数。
周期解是指解具有周期性，对于给定的初始条件，解在不同的时间点重复出现。
四、实例分析以一个简单的物理学问题为例，探讨微分方程的应用与求解技巧：问题描述：假设一个物体在无空气阻力的情况下自由下落，考虑重力对其产生的加速度。
求物体的位移随时间的变化关系。
解法分析：根据牛顿第二定律可以得到物体的运动微分方程为d²y/dt²=-g，其中y为位移，t为时间，g为重力加速度。
第二节微分方程的基本概念一阶微分方程共31页文档
解得 tanu()xc
24
从而 tan x(y1)xc.
24
1 1 sinu
du
1sinu cos2 u du
注
1 sinu
1
sinu
( c
o2suc
o2su)d
u
c o2u sd u
c o2u sd u
s e2u c duc1 o2u sdcoustanuco1us c
1
1 s inu
第九章 微分方程
第一节 第二节 第三节 第四节
微分方程的基本概念 一阶微分方程 高阶微分方程 微分方程在经济学中的应用
第一节 微分方程的基本概念
一.微分方程的定义
1.微分方程 含有自变量、未知函数以及未
知函数的导数或微分的方程,称为微分方程.
2.阶 未知函数最高阶导数(或微分)的阶数.
y
yxyx2ysix n (xex y)dxxdy
四.一阶线性齐次微分方程
一般形式: yP(x)y0
解
分离变量 1 dy P(x)dx
y
两边积分 1ydyP(x)dx
整理得
lnyP(x)dxl nc
yceP(x)dx.
补充 微分方程 xyy0,y(1 )1 , 求方程的特解 y . (08年考研真题4分)
1 u
v
令 u z 则 uvz du z v dz
v
dv
dv
代入上式得 z v dz 1 z
dv 1 z
即
dz 1 12zz2
dv v 1z
亦
1z
1
12zz2
dz dv v
积分得 1ln1(2zz2) lnv 1 ln c
常微分方程的基本知识
由n个未知函数构成的一阶微分方程组的一般形式为
dx1 ..., xn ) dt f1 ( t , x1 , x2， dx2 f ( t , x , x ， ， 2 1 2 ..., x n ) dt ............ dxn f ( t , x , x , ..., x ). n 1 2 n dt
总可以引进n-1个新的未知函数，把它化为由n个一 阶微分方程组成的方程组。事实上，
令
dx d2x d n-1 x x1 = x, x2 = , x3 = 2 , ..., xn n1 . dt dt dt
于是方程（1.4）化为下面的一阶方程组：
dx1 dt x2， dx2 x ， 3 dt ............ dx n1 xn dt dxn f ( t , x1 , x2 , ..., xn ). dt
n
(1.6)
其中fi为定义在G (a, b) D, D为R 中的一个区域.
如果引入向量
x1 x2 x= xn ..., xn ) f1 ( t , x1 , x 2， f ( t , x , x ， ..., x ) 1 2 n f (t,x)= 2 f n ( t , x1 , x2 , ..., xn ) dx1 dt dx2 dx dt dt dxn dt
这就组成微分方程组。若设开始时刻t t0 , 两种群个体 的数量分别为x0与y0。
于是要了解此两种种群个体变化的规律，就需要 在条件x |t t0 x0 , y |t t0 y0下求解微分方程组(1.3).
微分方程的认识与解法
解题步骤
02
05
注意事项
将方程改写为$frac{dy}{g(y)} = f(x)dx$
03
06
需确保$g(y) neq 0$，否则会出现分母为 零的情况
齐次方程法
适用于形如$frac{dy}{dx} = frac{f(x,y)}{g(x,y)}$，且 $f(x,y)$和$g(x,y)$是x和y的齐次函数的方程 通过变量替换将方程转化为可分离变量的形式
02
工程学中的应用
在工程学中，偏微分方程被用于描述 各种实际问题，如结构力学中的弹性 力学方程、流体力学中的纳维-斯托克 斯方程等。
03
生物学和医学中的应 用
偏微分方程也被广泛应用于生物学和 医学领域，如描述神经元活动的霍奇 金-赫胥黎方程、描述肿瘤生长的偏微 分方程等。
05
数值解法在微分方程中的应用
偏微分方程的阶数
偏微分方程的阶数是指方程中未知函数偏导数的最 高阶数。
线性与非线性偏微分方程
线性偏微分方程是指方程中未知函数及其偏导数均 为一次的方程，非线性偏微分方程则不是。
二阶偏微分方程分类及解法
椭圆型方程
01
如拉普拉斯方程，用于描述稳态物理现象，如热传导、电磁场
等。解法包括分离变量法、格林函数法等。
欧拉法与改进欧拉法
欧拉法
一种最基本的数值解法，通 过迭代的方式逐步逼近微分 方程的解。具体步骤包括选 择步长、计算斜率、更新函
数值等。
改进欧拉法
在欧拉法的基础上，采用预 测-校正的思想，先用欧拉法 预测下一个点的位置，再根 据预测点和实际点的斜率进
行校正，从而提高精度。
优缺点
欧拉法简单易行但精度较低 ，改进欧拉法提高了精度但 计算量增加。
精品课件-常微分方程(王素云)-第1章
第1章 基 本 概 念
除了初值条件外，另外一种常见的定解条件是边值条件. 最后，我们对n阶微分方程的通解关于n个任意常数的独立 性作一点说明. 一个n阶微分方程的通解包含n个独立的任意常数. 反 之，设y=g(x,C1,C2,…,Cn)是充分光滑的函数族，其中x是自 变量，而C1,C2,…,Cn是n个独立的参数(任意常数),则存在一 个形如式(1.1)的n阶微分方程，使得它的通解恰好是上面的 函数族y=g(x,C1,C2,…,Cn). 我们把这个一般结论的证明留给读者(习题1.1的第4题)， 它的证明方法与例1.8的讨论是类似的.
b f 2 (x) d x 1 [b2 f (b) f (a)]
a
3
第1章 基 本 概 念
上式对于每点b(b>a)都成立，两边对b求导得
f (b) 3 f 2 (b) 2 f (b)
b2
b
改用惯用的符号:
f
( x)
3
f
2 (x) x2
2
f
(x) x
这就是所要建立的微分方程.
第1章 基 本 概 念
v0t
y0
（1.8）
因此它描述了具有初始高度y0和初始速度v0的自由落体运动.
我们称式(1.8)是初值问题式(1.4)与(1.7)的解，亦即初
值问题:
y" g ,
y(0)
y0
,
y'(0) v0
（1.9）
的解.初值问题又叫柯西问题.
第1章 基 本 概 念
再看一例，一曲线通过点(1,2)
M(x,y) 处的切线斜率为2x，求该曲线的方程.
(3) yy ( y)2 1 0,
(4)
d2
dt2
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奇奇这 ( x y ) : 使使 Q( x y ) = 0 = P( x y )的这，
0, 0 0, 0 0, 0
这这的这这这这这这这
确给 .
因此这这因是分 x , y的的的的，因的的的 地地，把把把一一把把 对一的一式：
11
P( x, y)dx + Q( x , y)dy = 0.
本节重点 : 1. 线素场，奇异点，积分 曲线，等斜线 线素场，奇异点， 曲线， 2.由线素场大致确定积分 曲线
12
首首首首给给导导导导 给给给给给导导，这这 导导导。这这这这导这
的的的的的 . 来来来的导导来来 分分中的分分。
13
非此书中的作业~~~~
14
非此书中的作业~~~
15
非此书中的作业～～～
16
，如如因如这如如的如 会分会这积这积积积这 会会给会把会分会这会
10
给一一分一一的对一一
式
dy p ( x , y) , P, Q这是是 G分的内内导导 . =− dx Q( x , y)
对 Q( x y ) ≠ 0 :
0, 0
dx Q( x , y) =− 对 Q( x y ) = 0, 但 P( x y ) ≠ 0 : dy P ( x , y)
8
dy y = 例 dx x y 常等要这一一 : = k ,常 y = kx.直这会 y = kx， k这是的 x
常Байду номын сангаас常常积通常 .
dy x =− 例例 dx y 1 常等要这 y = − x, k ≠ 0. k
9
注的： 要要等要这这把会分会 会分会这会的积积积积 会分会这会因会积积， 通通通通通通的这首， 线确 . 这会画线确，还使 结结 条 等. 画
(17)
积中 f ( x , y)这是通是是 G分的内内导导 . 假假
y = φ( x )( x ∈ I)
这一一的常 (积中 I这常的是在是是 )，则 y = φ( x ) 在( x , y)是通把的图一这给条平 滑的会这 Γ，
dφ 一来常一分一一 (17)的会分会这 .代代（ 17）使： = f ( x , φ). dx
再在 每条等要这把适当选取 若干个这画如对应的向 如图一向这. 的 λτ 0 ,如图一向这 如图一向这
o
x
y
7
根据一向这常可大致描绘如会分会这． 根据一向这常可大致描绘如会分会这． 经通这 (0,1), (0,0), (0,−1) 的三条会分会这． 的三条会分会这．
y
o
x
用数学软件画积分曲线 族：
1
一一(1.1)的常y(x), 在是通把做如积图像， 这给条会这，一做常会这(常ODE常的图像)， 也叫做会分会这(这这由于在ODE历史把，早期 的常这通通会分来使的，所以如此一呼。这里 的“会分”这指会这使到的一式而言的)。 本节研例：因常一一，探索会分会这的大致积积。
2
研研研例
给一一分一一
dy = f ( x , y), dx
反通来 : 来 φ ?
3
例
′ = x 2 + y2 y
4
5
给 给的：这这，这这这(一向这)
给理1.1 会分会这与这这这吻结；反通来， 与这这这吻结的会这这会分会这。 二。这这这的做这：等倾要这这 例例1.4 例例1.5 三 对一一式的一分一一
6
例 画出方程 y′ = x 2 + y 2 所确定的方向场. 所确定的方向场. 一一的等要这常 x 2 + y 2 = C , 取 C = 0, 0.5, 1, 1.5, 2,
第二节 给的1.1 一一如
(n)
几何解释 of solution
F( x , y, y' ,L, y ) = 0, x ∈ J
的等式叫做常一分，积 中 x这的的的， y这是是导导。
n叫做这个一一的一。
这积 ODE : 关于 y, y' ,…… y ^ ( n )这是是而言这给是的。 非这积 ODE :