第1.2节 微分方程及其解的几何解释
微分方程
微分方程第一节微分方程的基本概念一、引例略。
二、微分方程的基本概念略。
第二节可分离变量的微分方程如果一阶微分方程解出y'后形如dy=M x·N y，（1）dx即右边可以表示为两个单变量因式的乘积，则可称之为可分离变量的微分方程。
在N（y）≠0的情形下，有1dy=M x dx.（2）N y（2）式左边只含一个变量y，而右边只含另一个变量x，称这方程为可分离变量的微分方程。
将式（1）化为式（2）的变形方法叫做分离变量法。
根据积分形式的不变性，对式（2）两边积分1dy=M x dx，设结果为F y=G x+C，得到这个微分方程的通解。
第三节齐次方程一、齐次方程如果一阶微分方程可以化为如下形式：dy dx =φyx，（1）那么称这类方程为齐次方程。
在齐次型方程（1）中，通过引进新的未知函数u=y/x，就可以把它化为可分离变量的微分方程。
因为，由u=y/x，得y=ux，于是有dydx =u+x dudx，代入（1）式，便得到u+x dudx=φu，这是关于新的未知函数u的可分离变量的微分方程。
分离变量后积分du=dx，记Φ（u）为1φu−u的一个原函数，则得通解Φ（u）=ln|x|+C，再将yx回代解中的u，便得到齐次方程（1）的通解。
二、可化为齐次型的微分方程形如dy dx =ax+by+ca1x+b1y+c1,（2）其中a1a ≠b1b的方程。
当c=c1=0时方程（2）是齐次型的，否则不是齐次型的。
在非齐次型的情形下，可用如下的代换把它化为齐次型的。
做代换x=X+h，y=Y+k，其中常数h，k采用如下的方法取定：因为dx=dX， dy=dY，所以方程（2）经代换后成为dY dX =aX+bY+(aℎ+bk+c)a1X+b1Y+(a1ℎ+b1k+c1).令aℎ+bk+c=0a1ℎ+b1k+c1=0在a1a ≠b1b的条件下，右上述方程组可定出h与k.这样方程（2）就化为齐次方程dY dX =aX+bY a1X+b1Y.求得该齐次型方程的通解后，在通解中以x-h代X，y-k代Y，就得到方程（2）的通解。
微分方程笔记总结
微分方程笔记总结
一、微分方程的基本概念
微分方程是描述某一变量关于时间的导数或微分满足一定关系的方程。
它通常用于描述自然现象和社会现象的变化规律，如物理学、工程学、经济学等领域。
微分方程一般形式为：y' = f(x, y) 或 dy/dx = f(x, y)
其中，y 是未知函数，x 是自变量，f(x, y) 是已知函数。
二、微分方程的解
微分方程的解是指满足方程的函数。
对于给定的微分方程，我们需要找到满足该方程的函数，以便描述某一变量的变化规律。
三、微分方程的分类
根据微分方程中变量的个数和方程的形式，微分方程可以分为以下几类：
1. 常微分方程：只含有一个变量的微分方程。
2. 偏微分方程：含有两个或多个变量的微分方程。
3. 线性微分方程：方程中的未知函数和其导数是线性组合的微分方程。
4. 非线性微分方程：方程中的未知函数和其导数不是线性组合的微分方程。
四、微分方程的解法
对于不同类型的微分方程，解法也不同。
以下是一些常见的解法：
1. 分离变量法：将方程中的变量分离，转化为可求解的一阶常微分方程。
2. 积分因子法：通过引入积分因子，将高阶微分方程转化为可求解的一阶微分方程组。
3. 参数式解法：通过引入参数，将微分方程转化为参数方程组，从而求解未知函数。
4. 幂级数解法：将未知函数表示为幂级数形式，然后代入微分方程求解未知系数。
5. 数值解法：对于难以解析求解的微分方程，可以采用数值方法求解，如欧拉法、龙格-库塔法等。
常微分方程几何解释
常微分方程几何解释常微分方程（ordinary differential equation）是数学中的一个重要分支，解决了很多实际问题，从而推动了科学和技术的进步。
而常微分方程的几何解释则是其中的一个具有深刻意义的方面，它可以帮助我们更加深刻地理解微分方程的本质，并在几何意义上进行抽象和推广。
一、微分方程的几何意义微分方程是描述自变量和其导数之间的关系的方程，例如：$\frac{dy}{dx} = f(x,y)$其中，$y$ 是变量，$x$ 是自变量，$f(x,y)$ 是一个规定好的函数。
这个式子的意思是，“$y$ 对 $x$ 的导数等于$f(x,y)$”，也就是说，当我们确定了 $f(x,y)$ 这个函数的形式，这个微分方程就规定了 $y$ 在自变量 $x$ 下的变化规律。
那么，这个微分方程到底有什么几何意义呢？我们可以把 $y$ 看作平面上的点，$y$ 对 $x$ 的导数看作该点处的切线斜率，$f(x,y)$ 看作斜率的函数。
这样，微分方程可以被看作描绘了在平面上一点的动态演化轨迹的微分方程。
例如，对于微分方程：$\frac{dy}{dx} = y$我们可以解得 $y = Ce^{x}$ （$C$ 为常数），这个解表明在$x$ 轴正半轴方向上，$y$ 的值不断地成倍增长。
这个动态演化的轨迹可以形象地理解为一条指数曲线。
二、微分方程的向量场由于微分方程描述了一条轨迹，我们可以把它与向量场联系起来，从而更加深入地理解它。
向量场是一个输出为向量的函数，它可以在每个点上给出一个向量，描述了该点的方向和大小。
对于微分方程 $\frac{dy}{dx} =f(x,y)$，我们可以把 $(x,y)$ 看作平面上的一点，$f(x,y)$ 看作向量场在该点的输出。
例如，对于微分方程 $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$，我们可以把它看作向量场 $F(x,y) = \left \langle -\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}},-1 \right \rangle$。
常微分方程课程总结
常微分方程课程总结第一章 绪论§1.2微分方程的基本概念（1）常微分方程偏微分方程微分方程：凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程。
常微分方程：未知函数为一元函数的微分方程。
()(),dyaxy a dxdy p x y Q x dx=+=为常数 偏微分方程：未知函数为多元函数，从而出现偏导数的微分方程。
()22,22242u uf x y x y u u y x ∂∂+=∂∂∂∂=∂∂（2）线性与非线性一般n 阶线性微分方程具有形式：（等式左面全是一次有理整式）()(1)11()()()().n n n n y a x y a x y a x y f x --'++++=（3）解和隐式解微分方程的解：代入微分方程能使方程成为恒等式的函数. 隐式解：Φ（x,y ）=0 （4）通解和特解通解：微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数同.） 特解： 确定了通解中任意常数以后的解. 初始条件：用来确定任意常数的条件.初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.（5）积分曲线：微分方程任一特解的图形都是一条曲线,称为微分方程的积曲线。
第二章 一阶微分方程的初等解法§2.1 变量分离方程与变量变换2.1.1、变量分离方程)()(y x f dxdyϕ= ⎰⎰+=c dx x f y dy )()(ϕ 2.1.2、可化为变量分离方程的类型1.形如)(x y g dx dy =，称为齐次微分方程，令u ＝xy ,即y ＝ux ，于是dx dy ＝x dx du ＋u ，代入原方程，变形为x dx du ＋u ＝g （u ），整理得dx du ＝xuu g -)(2.形如222111c x b x a c x b x a dx dy ++++= 的方程也可经变量变换化为变量分离方程（1）常数）(212121k c c b b a a ===，方程化为dxdy ＝k ，有通解c kx y += （2）≠==k b b a a 212121c c 情形，令u ＝y b x a 21+，这时有dx du ＝dx dy b a 22+＝2122c u c ku b a +++是分离变量方程 （3）2121b b a a ≠情形，若21c c 、不全为零，方程右端分子、分母都是x 、y 的一次多项式，因此111c x b x a ++＝0，222c y b x a ++＝0，交点（),βα，令X ＝x －α，Y ＝y －β，化为011=+Y b X a ， 022=+Y b X a 。
微分方程及其解的几何解释
§2 微分方程及其解的几何解释一．[内容简介]本节给出微分方程及其解的几何解释.二．[关键词] 积分曲线，线素场，等斜线三．[目的与要求]弄清方向场和微分方程的积分曲线的几何意义.四．[教学过程]由§1可以看到，给定平面上一个单参数曲线族0),,(=C y x f ，可以通过求微分得方程0=∂∂+∂∂dy yf dx x f 。
从这两个方程消去任意常数C ，即得此曲线族所满足的一阶微分方程。
反过来，当某些一阶微分方程的通解或通积分已经找到后，也可以用平面上的一个曲线族来表示它。
现对一阶微分方程),(y x f dxdy = )1.2( 来讨论求解此方程的几何意义。
设有一平面区域G （可能就是全平面），),(y x f 是G 内给定连续函数。
设)1.2(有一解:Γ )()(I x x y ∈=ϕ )2.2(其中I 是这个解的存在区间。
显然函数)(x y ϕ=在),(y x 平面上的图象是一条光滑曲线，它称为方程)1.2(的一条积分曲线，仍记为Γ。
任取一点Γ∈),(y x P ，即I x ∈，)(x y ϕ=。
由于)(x y ϕ=满足方程)1.2(，所以从导数的几何意义得出，曲线Γ在P 点的切线斜率为 ),())(,()('y x f x x f x ==ϕϕ。
上述等式说明：一阶微分方程)1.2(的积分曲线是这样一条曲线，在它上面的每一点),(y x 的切线斜率等于已知的),(y x f 。
这就是一阶微分方程)1.2(的解的几何意义。
下面介绍线素场的概念。
给了一阶微分方程)1.2(，对于区域G 内每一点),(y x P ，都可以作一斜率为)(P f 的小直线段)(P L ，来标明积分曲线在该点的切线方向，称)(P L 为微分方程)1.2(在P 点的线素。
对于区域G 内每一点都这样作，而称区域G 连同上述全体线素为微分方程)1.2(的线素场（或方向场）。
由此可见，在方程)1.2(的积分曲线上的每一点处，积分曲线与)1.2(的线素场的线素相切；反之，若一条曲线在它上面的每一点与)1.2(的线素场的线素相切，则该曲线就是微分方程)1.2(的积分曲线。
常微分方程的几何解释
(2.2)
a x b, y ,
假设函数 f x, y在给定区域上连续且有界.于是
它在这个区域上确定了一个线素场.下面利用线素场
求出经过 x0, y0 的近似积分曲线.把
x0 ,b n 等分,其分点为:
xk x0 kh, k 0,1, , n
h b x0 , n
xn b
常微分方程
绵阳师范学院
先求出 f x0, y0
用经过 x0, y0 斜率为
y
x1
,
y1
x2
,
y2
f x0, y0 的直线段来近
y0
似积分曲线,其方程为
y y0 f x0, y0 x x0
x0 x1 x2
bx
求出直线上横坐标 x1 处的点的纵坐标
y1 y0 f x0, y0 x1 x0 y0 f x0, y0 h
如果 h 很小 x1, y1 就很接近积分曲线上的点 x1, y x1
因 f x, y 连续.于是由点 x1, y1 出发的斜率为
f x1, y1 的直线段又近似于原积分曲线.它的方程为
了线素场.
y k x
易见在点 x, y 的线素与
过原点与该点的射线重合.
常微分方程
绵阳师范学院
定理2.1 L为(2.1)的积分曲线的充要条件是: 在L 上任一点,L 的切线方向与(2.1)所确定的线 素场在该点的线素方向重合;即L在每间点均与 线素场的线素相切.
证明 必要性 设L为(2.1)的积分曲线,其方程为
20
若初值问题
dy dx
f ( x, y),的解是存在,是否唯一?
常微分方程偏微分方程
初值问题: 求微分方程满足初始条件的特解的问题. 一般初值问题可写为：
F x , y , y' , y" , , y n 0
y x x y 0 , y'
0
x x0
, , y0
y n1
x x0
n1 y0
微分方程的解的图形是一条曲线， 称它为微分方程的积分曲线。 满足初始条件的特解就是通过点 x0 , y0 的一条积分曲线。
n1 n1 y y , y ' y , , y y . x x 当 0 0 0 0 时，
或写作
y x x y 0 , y'
0
x x0
, , y0
y n1
x x0
n1 y0
n1 ,, y0 这里 x0 , y0 , y0 是给定的n+1个常数。
而且一定含有 y n ； y 是未知函数， x 是自变量。 如果函数 y x 代入微分方程后， 能使方程变为恒等式，
则称 y x 为微分方程的解。 通解：解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数等于 微分方程的阶数。 特解：满足初始条件的解。
6
（5）
x2 C
（2）
把条件“x=1，y=2”代入（2）式，得
C 1
于是所求曲线方程为
y x2 1
2
例 2 列车在平直的线路上以 20 米/秒的速度行驶, 2 当制动时列车获得加速度 0.4 米/秒 ,问开始制动 后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内 行驶了多少路程？
解
设制动后t 秒钟行驶 s 米, s s(t )
微分方程问题的解法
电磁学研究
02
在电磁学中，微分方程被用来描述电场、磁场的变化以及电磁
波的传播。
热传导问题
Байду номын сангаас
03
微分方程可以用来描述物体的热量传导过程，例如温度随时间
变化的规律。
在经济中的应用
供需关系
微分方程可以用来描述市场的供需关系，例如商品价格随 时间变化的规律。
01
经济增长模型
微分方程可以用来建立经济增长模型， 例如描述一个国家或地区的GDP随时间 变化的规律。
线性稳定性分析
定义
线性稳定性分析是指通过线性化微分方程，来研究系统的稳定性。
方法
将非线性微分方程线性化，然后利用线性系统的性质来分析系统 的稳定性。
应用
线性稳定性分析广泛应用于物理学、化学、生物学等领域。
非线性稳定性分析
定义
非线性稳定性分析是指通过非线性微分方程的性质， 来研究系统的稳定性。
方法
总结词
通过将微分方程转化为代数方程，简化求解过程。
详细描述
将微分方程中的变量分离到等式的两边，然后对等式两边同时进行积分，从而求解微分方程。
变量代换法
总结词
通过引入新的变量替换原微分方程中的复杂表达式，简化微分方程的形式。
详细描述
通过引入新的变量，将微分方程中的复杂表达式替换为新变量的表达式，从而 简化微分方程的形式，方便求解。
有限元素法
总结词
有限元素法是一种将微分方程转化为线性方程组进行求 解的方法。
详细描述
有限元素法的基本思想是将微分方程的求解区域划分为 一系列小的子区域（或元素），然后在每个子区域上定 义一个近似函数，将微分方程转化为线性方程组进行求 解。这种方法在求解一些复杂的微分方程时非常常用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
奇奇这 ( x y ) : 使使 Q( x y ) = 0 = P( x y )的这，
0, 0 0, 0 0, 0
这这的这这这这这这这
确给 .
因此这这因是分 x , y的的的的，因的的的 地地，把把把一一把把 对一的一式：
11
P( x, y)dx + Q( x , y)dy = 0.
本节重点 : 1. 线素场，奇异点，积分 曲线，等斜线 线素场，奇异点， 曲线， 2.由线素场大致确定积分 曲线
12
首首首首给给导导导导 给给给给给导导，这这 导导导。这这这这导这
的的的的的 . 来来来的导导来来 分分中的分分。
13
非此书中的作业~~~~
14
非此书中的作业~~~
15
非此书中的作业～～～
16
，如如因如这如如的如 会分会这积这积积积这 会会给会把会分会这会
10
给一一分一一的对一一
式
dy p ( x , y) , P, Q这是是 G分的内内导导 . =− dx Q( x , y)
对 Q( x y ) ≠ 0 :
0, 0
dx Q( x , y) =− 对 Q( x y ) = 0, 但 P( x y ) ≠ 0 : dy P ( x , y)
8
dy y = 例 dx x y 常等要这一一 : = k ,常 y = kx.直这会 y = kx， k这是的 x
常Байду номын сангаас常常积通常 .
dy x =− 例例 dx y 1 常等要这 y = − x, k ≠ 0. k
9
注的： 要要等要这这把会分会 会分会这会的积积积积 会分会这会因会积积， 通通通通通通的这首， 线确 . 这会画线确，还使 结结 条 等. 画
(17)
积中 f ( x , y)这是通是是 G分的内内导导 . 假假
y = φ( x )( x ∈ I)
这一一的常 (积中 I这常的是在是是 )，则 y = φ( x ) 在( x , y)是通把的图一这给条平 滑的会这 Γ，
dφ 一来常一分一一 (17)的会分会这 .代代（ 17）使： = f ( x , φ). dx
再在 每条等要这把适当选取 若干个这画如对应的向 如图一向这. 的 λτ 0 ,如图一向这 如图一向这
o
x
y
7
根据一向这常可大致描绘如会分会这． 根据一向这常可大致描绘如会分会这． 经通这 (0,1), (0,0), (0,−1) 的三条会分会这． 的三条会分会这．
y
o
x
用数学软件画积分曲线 族：
1
一一(1.1)的常y(x), 在是通把做如积图像， 这给条会这，一做常会这(常ODE常的图像)， 也叫做会分会这(这这由于在ODE历史把，早期 的常这通通会分来使的，所以如此一呼。这里 的“会分”这指会这使到的一式而言的)。 本节研例：因常一一，探索会分会这的大致积积。
2
研研研例
给一一分一一
dy = f ( x , y), dx
反通来 : 来 φ ?
3
例
′ = x 2 + y2 y
4
5
给 给的：这这，这这这(一向这)
给理1.1 会分会这与这这这吻结；反通来， 与这这这吻结的会这这会分会这。 二。这这这的做这：等倾要这这 例例1.4 例例1.5 三 对一一式的一分一一
6
例 画出方程 y′ = x 2 + y 2 所确定的方向场. 所确定的方向场. 一一的等要这常 x 2 + y 2 = C , 取 C = 0, 0.5, 1, 1.5, 2,
第二节 给的1.1 一一如
(n)
几何解释 of solution
F( x , y, y' ,L, y ) = 0, x ∈ J
的等式叫做常一分，积 中 x这的的的， y这是是导导。
n叫做这个一一的一。
这积 ODE : 关于 y, y' ,…… y ^ ( n )这是是而言这给是的。 非这积 ODE :