14.1.3反证法

与定理，定义， 公理矛盾
假设不 成立
直接证法 证明真命题 的方法 间接证法 反证法
万事开头难，让我们走好第一步！
写出下列各结论的反面： （1）a//b； （2）a≥0；
（3）b是正数； （4）a⊥b a∥b a<0 b是0或负数 a不垂直于b
做一做
学习是件很愉快的事
A D E C
已知：如图△ABC中，D、E两 点分别 在AB和AC上 求证：CD、BE不能互相平分 证明：假设CD、BE互相平分 连结DE，故四边形BCED是 B 平行四边形 ∴BD∥CE （平行四边形对边平行） 这与BD、CE交于点A矛盾 假设错误， ∴CD、BE不能互相平分
(2)由90°＜∠B＜180°， 90°＜∠C＜180°， 则 ∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形内角和定理矛盾
.∴两个底角都是钝角这个假设也不成立． 故原命题正确 ∴等腰三角形的底角必定是锐角. 说明：本例中“是锐角(小于90°)”的反面有两种情况， 这时，必须分别证明命题结论反面的每一种情况都不可能 成立，最后才能肯定命题的结论一定正确.此题是对反证 法的进一步理解.
四、巩固新知
1、试说出下列命题的反面： （1）a是实数。 a不是实数 （2)a大于2。a小于或等于２ 没有两个 a大于或等于２ （3）a小于2。 （4）至少有 2个 （5）最多有一个 一个也没有 （6）两条直线平行。 两直线相交 2、用反证法证明“若a2≠ b2,则a ≠ b”的第一步是 假设a=b。 3、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么 这个三角形不是等腰三角形”的第一步 假设这个三角形是等腰三角形 。
（1）以否定性判断作为结论的命题；
（2）以“至多”、“至少”或“不多于”等形 式陈述的命题； （3）关于“唯一性”结论的命题；
（4）一些不等量命题的证明； （5）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段 等等.(如平行线的传递性的证明）
注意:用反证法证题时,应注意的事项 :
（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止 否定不当或有所遗漏； （2）推理过程必须完整，否则不能说明命题 的真伪性； （3）在推理过程中，要充分使用已知条件， 否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是 错误的。
甲：在五一长 假里，我和爸 爸、妈妈去新 加坡玩了整整6 天，真是太高 兴了.
丙：是啊,5 月4号我确实 和甲在“步 行街”逛街！
乙：这不可能，5月4 号上午还看见你和丙 在“步行街”逛街呢！
乙：甲没有去新加坡玩了6天.
假设甲去新加坡玩了6天，
那么甲从5月1号至6号或是2号至7号在 新加坡， 即5月4号甲在新加坡， 这与“5月4号甲在桂阳的“步行街””矛 盾, 所以假设“甲去新加坡玩了6天”不正确, 于是“甲没有去新加坡玩了6天”正确.
b
c
C
a
C
二、探究
若将上面的条件改为“在 △ABC中，AB=c，BC=a， AC=b,∠C≠90°”，请问结论a2 +b2 ≠ c2 成立吗？请说明理由。
问题：
A
b
C
c
a
C
探究：假设a2 +b2 ＝c2，由勾股定理
可知三角形ABC是直角三角形，且 ∠C=90°，这与已知条件∠C≠90°矛 盾。假设不成立，从而说明原结论a2 +b2 ≠ c2 成立。
P l1 l2
例6、用反证法证明：等腰三角形的底 角必定是锐角．
分析：解题的关键是反证法的第一步否定结 论，需要分类讨论. 已知：在△ABC中，AB=AC. 求证：∠B、∠C为锐角. 证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，那 么只有两种情况： (1)两个底角都是直角； (2)两个底角都是钝角；
（1)由∠A=∠B=90° 则∠A+∠B+∠C=∠A+90°+90°>180°， 这与三角形内角和定理矛盾， ∴∠A=∠B=90°这个假设不成立.
A
P C
华盛顿抓小偷
美国总统华盛顿从小非常聪明,小偷翻进 鲍克家偷走了许多东西,根据迹象表明小偷就 是本村人,华盛顿灵机一动,对全村人讲起了 故事:“黄蜂是上帝的使者,能辨别人间的真 假.”忽然华盛顿大声喊道:“小偷就是他，黄 蜂正在他的帽子上兜圈子，要落下来了！” 大家回头张望，看着那个想把帽子上的黄蜂 赶走的人，其实哪有什么黄蜂？华盛顿大喝 一声：“小偷就是他！”
E
3提示：证明：如图所示，假设两弦AB与CD互相平分
连接AC、CB、BD、DA，则四边形ACBD为平行四边形 所以∠ACB= ∠ ADB，因为四边形ACBD内接与圆，所以 ∠ ACB+ ∠ ADB=180°,所以∠ACB=90°，即 AB是直径，这与题设的“两条不是直径的弦”矛盾。 所以两弦AB和CD不能互相平分。
六、全课总结
1、知识小结： 反证法证明的思路：假设命题不成立→正确的推 理,得出矛盾→肯定待定命题的结论
2、难点提示: 利用反证法证明命题时,一定要准确而全面的找出 命题结论的反面。至少的反面是没有，最多的反面是不 止。
大家议一议！
通过本节内容的学习，你 们觉得哪些题型宜用反证法 ？
我来告诉你（经验之谈）
小华的理由：
假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是干的，这与 早晨地上全湿了相矛盾，所以说昨晚下雨是正确的。 我们可以把这种说理方法应用到数学问题上。
一、复习引入
A
如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b, 如果∠C=90°，a、b、c三边有何关系？为 什么？
解析： 由∠C=90°可知是直角三角 形，根据勾股定理可知 a2 +b2 ＝c2 .
他运用了怎样的推理方法？ • 在古希腊时,有三个哲学家，由于争论和 天气的炎热感到疲倦，于是就在花园里的 一棵大树下躺下休息睡着了。这时一个爱 开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额,当他 们醒过来后，彼此相看时都笑了。一会儿 其中有一个人却突然不笑了，他是觉察到 什么了？
各抒己见
自己的前额也被涂黑了.
五、拓展应用
1、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC。 求证：PB≠PC 证明：假设PB=PC。 在△ABP与△ACP中 AB=AC(已知） AP=AP（公共边） PB=PC（已知） ∴△ABP≌△ACP（S.S.S) ∴∠APB=∠APC(全等三角形对应 B 边相等） 这与已知条件∠APB≠∠APC矛盾， 假设不成立. ∴PB≠PC
发现知识：
这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论 的反面成立，然后经过正确的；逻辑推理得出与已知、定理、 公理矛盾的结论，从而得到原结论的正确。象这样的证明方法 叫做反证法。
三、应用新知
例１在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B
≠∠
尝试解决问题
C
A
感 受 反 证 法:
证明：假设 ∠B ＝ ∠ C， 则 这与 AB＝AC （ 等角对等边 已知AB≠AC 矛盾． ）
回顾与归纳
公 假 得理 设 结 出、 论 推理论证 矛 定 的 盾理 反 （等 面 ） 已 正 知 确 命 假题 设成 得出结论 不 立 成 立 ， 原
.
反设
、
归谬
结论
反证法的一般步骤:
假设命题结 论反面成立 什么时候运用反证法呢？ 所证命题 成立 与已知条 件矛盾
假设
假设命题结 论不成立
推理得出 的结论
你知道华盛顿是如何推理的吗？
警察局里有５名嫌疑犯，他们分别做了如下口供： Ａ说：这里有１个人说谎． Ｂ说：这里有２个人说谎． Ｃ说：这里有３个人说谎． Ｄ说：这里有４个人说谎． Ｅ说：这里有５个人说谎． 聪明的同学们，假如你是警察，你觉得谁说了真话？ 你会释放谁？ 请与大家分享你的判断！
课外延伸
课时作业设计
• • • • • 用反证法证明下列命题： 1.求证：三角形内角中至多有一个内角是钝角。 2.已知：如图，AB∥CD，AB ∥EF。 求证：CD ∥EF。 3.求证：圆内两条不是直径的弦不能互相平分。 4.证明“在同一平面内,垂直于同一条直线的两 条直线互相平行.”
A C B D F 第2题图
14.1.3反证法
小故事
路边苦李
王戎7岁时,与小 伙伴们外出游玩,看 到路边的李树上结满 了果子.小伙伴们纷 纷去摘取果子,只有 王戎站在原地不动.
王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.” 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.
王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样 的推理方法?
假设李子不是苦的，即李子是甜的， 那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被 过路人摘去解渴呢？ 那么，树上的李子还会这么多吗？ 这与事实矛盾。说明 李子是甜的这个假设是错 的还是对的？ 所以，李子是苦的
D
.
B
C
A
4提示：证明：假设在同一平面内，垂直与同一直线的两条直线不平行，
那么它们的同旁内角不互补，又因为两条直线垂直于同一直线，
它们的同旁内角和等于180°，因此它们相互矛盾。 所以在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行
点拨：至少的反面是没有！
例5
求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平 行线中的一条相交,那么和另一条也相交.
已知: 直线l1, l2, l3在同一平面内,且l1∥l2, l3与l1相 交于点P. 求证: l3与l2相交. l3 l3与l2 不相交. 证明: 假设____________, l3∥l2 那么_________. l1∥l2 因为已知_________, 所以过直线l2外一点P,有两条直线和l2平行, 经过直线外一点,有且只有一条直 这与“_______________________ 线平行于已知直线 _____________”矛盾. 所以假设不成立,即求证的命题正确.
古希腊哲学家亚里士多德有一个著名论点: 轻重不同的两个物体从同一高度自由下落时,一 定是重的物体先落地.在意大利物理学家伽利略 提出反对观点以前的一千多年里人们对亚里士 多德的说法深信不疑.伽利略为了证明自己的观 点是正确的,在意大利的比萨斜塔上,让一个中1 磅和重100磅的两个铁球同时从高空自由下落,果 然是同时着地.这是科学史上一个极其有名的实 验,它否定了亚里士多德的错误观点.你能用今天 所学的知识来否定亚里士多德的错误观点吗?试 一试.