第十三章综合法与分析法、反证法

(2)框图表示：P⇒Q1 → Q1⇒Q2 → Q2⇒Q3 →…→ Qn⇒Q (其中 P 表示已 知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示要证明的结论).
答案
2.分析法
(1)定义：从 求证的结论 出发，一步一步地探索保证前一个结论成
立的 充分条件 ，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公
理、定理等.我们把这样的思维方法称为分析法 .
cd＝p.
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解析答案
2.(2014· 山东)用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3 ＋ax＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( A ) A.方程x3＋ax＋b＝0没有实根 B.方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实数 C.方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根 D.方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根 解析 方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没 有实根，故应选A.
代入椭圆方程求得点A的坐标，后求AC的长；
思维点拨
规范解答
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(2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形.
思维点拨
将直线方程代入椭圆方程求出 AC的中点坐标(即OB的中点
坐标)，判断直线AC与OB是否垂直.
思维点拨
规范解答
温馨提醒
思想方法 感悟提高
方法与技巧
1.分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知. 2.综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知. 3.分析法和综合法各有优缺点.分析法思考起来比较自然，容易寻找到 解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出 结论，较简捷地解决问题，但不便于思考.实际证题时常常两法兼用， 先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来.
解析答案
跟踪训练1
设 a、b、c 均为正数，且 a＋b＋c＝1，证明： 1 (1)ab＋bc＋ac≤3；
证明
由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac得
a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
由题设知(a＋b＋c)2＝1，
即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.
1 所以 3(ab＋bc＋ca)≤1，即 ab＋bc＋ca≤3.
解析答案
跟踪训练2
已知 a>0，求证
1 1 a ＋a2－ 2≥a＋a－2.
2
解析答案
题型三
反证法的应用
命题点1 证明否定性命题
例3 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2. (1)求数列{an}的通项公式； 解 当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1＝1. 又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，
(1)若函数f(x)为理想函数，证明：f(0)＝0；
证明 取x1＝x2＝0，则x1＋x2＝0≤1，
∴f(0＋0)≥f(0)＋f(0)，∴f(0)≤0.
又对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0，∴f(0)≥0.于是f(0)＝0.
解析答案
(2)试判断函数 f(x)＝2x(x∈[0,1] )，f(x)＝x2(x∈[0,1] )，f(x)＝ x(x∈[0,1] ) 是不是理想函数.
1 解 假设函数 h(x)＝ 在区间[a，b] (a>－2)上是“四维光军”函数， x＋2 1 因为 h(x)＝ 在区间(－2，＋∞)上单调递减， x＋2 1 ＝b， a＋2 ha＝b， 所以有 即 1 hb＝a， b＋2＝a，
解得a＝b，这与已知矛盾.故不存在.
解析答案
思想与方法系列
思想与方法系列
24.反证法在证明题中的应用
2
典例
x (12 分)直线 y＝kx＋m(m≠0)与椭圆 W：4 ＋y2＝1 相交于 A、C 两
点，O 是坐标原点. (1)当点 B 的坐标为(0,1)，且四边形 OABC 为菱形时，求 AC 的长；
思维点拨
根据菱形对角线互相垂直平分及点 B的坐标设出点 A的坐标，
(2)框图表示：Q⇐P1 → P1⇐P2 → P2⇐P3 →…→ 得到一个明显成立的条件 .
答案
3.反证法
我们可以先假定命题结论的 反面成立 ，在这个前提下，若推出的
结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，
或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定
命题的结论成立.这种证明方法叫作反证法.
1 3 1 1 ②f′(x)＝2＋4cos x，所以 f′(x)∈4，4，满足条件 0<f′(x)<1.
x sin x 由①②可得，函数 f(x)＝2＋ 4 是集合 M 中的元素.
解析答案
(2) 集合 M 中的元素 f(x) 具有下面的性质：若 f(x) 的定义域为 D ，则对于 任意[m，n]⊆D，都存在x0∈(m，n)，使得等式f(n)－f(m)＝(n－m)f′(x0) 成立.试用这一性质证明：方程f(x)－x＝0有且只有一个实数根.
反证法的证题步骤是：(1)作出否定结论的假设；(2)进行推理，导出 矛盾 ；(3)否定假设，肯定 结论 .
答案
思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明.( × )
(2) 分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条
件.( × )
(3)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a<b”.( × ) (4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾.( × ) (5)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合 法展现解决问题的过程.( √ )
1 两式相减得 an＋1＝2an，
1 所以{an}是首项为 1，公比为2的等比数列， 1 所以 an＝ n－1. 2
解析答案
(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列. 证明 反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap＋1，aq＋1， ar＋1(p<q<r，且p，q，r∈N＋)，
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac， ∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c，
π ∴A＝C，∴A＝B＝C＝3，
∴△ABC为等边三角形.
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题型分类 深度剖析
题型一
综合法的应用
例1 对于定义域为[0,1]的函数f(x)，如果同时满足： ①对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0； ②f(1)＝1； ③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，则称函 数f(x)为理想函数.
解析答案
命题点3 证明唯一性命题
例5 已知 M 是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意 f(x)∈M ，
(ⅰ)方程f(x)－x＝0有实数根；
(ⅱ)函数f(x)的导数f′(x)满足0<f′(x)<1.
x sin x (1)判断函数 f(x)＝2＋ 4 是不是集合 M 中的元素，并说明理由；
解
①当x＝0时，f(0)＝0，所以方程f(x)－x＝0有实数根为0；
∴当 a≥0，b≥0 且 a≠b 时，( a－ b)2( a＋ b)>0.
∴a a＋b b>a b＋b a成立的条件是 a≥0，b≥0 且 a≠b.
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解析答案
5.(教材改编) 在△ABC中，三个内角 A，B，C的对边分别为 a ，b ，c，
且 A ， B ， C 成等差数列， a ， b ， c 成等比数列，则△ABC 的形状为 等边 三角形. ________ 解析 由题意2B＝A＋C， π 又 A＋B＋C＝π，∴B＝3，又 b2＝ac，
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解析答案
3.要证a2＋b2－1－a2b2≤0只要证明( D )
A.2ab－1－a2b2≤0
4 4 a ＋ b B.a2＋b2－1－ 2 ≤0
a＋b2 C. 2 －1－a2b2≤0 D.(a2－1)(b2－1)≥0
解析 a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0.
(6)证明不等式 2＋ 7< 3＋ 6最合适的方法是分析法.( √ )
答案
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考点自测
b d 1.已知 p＝ ab＋ cd，q＝ ma＋nc· m＋n(m，n，a，b，c，d 均为正数)，则 p，q 的大小为( B ) A.p≥q
解析 q＝
B.p≤q
C.p>q
D.不确定
mad nbc ab＋ n ＋ m ＋cd ≥ ab＋2 abcd＋cd ＝ ab ＋
第十三章 推理与证明、算法、复数
§13.2 综合法与分析法、反证法
内容 索引
基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 思想与方法系列 思想方法 感悟提高 练出高分
基础知识 自主学习
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1.综合法
知识梳理
(1)定义：从 命题的条件 出发，利用定义、公理、定理及运算法则， 通过 演绎推理 ，一步一步地接近要证明的 结论 ，直到完成命题的 证明.我们把这样的思维方法称为 综合法 .
1 1 1 r－q r－p 则 2· ＝ ＋ ，所以 2· 2 ＝ 2 ＋ 1.(*) q p r 2 2 2
又因为p<q<r，且p，q，r∈N＋，所以r－q，r－p∈N＋. 所以(*)式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立. 所以假设不成立，原命题得证.
解析答案
命题点2 证明存在性问题
例4 若f(x)的定义域为[a，b]，值域为[a，b](a<b)，则称函数f(x)是[a，b] 上的“四维光军”函数. 1 2 3 (1)设 g(x)＝2x －x＋2是[1， b] 上的“四维光军”函数， 求常数 b 的值； 1 解 由题设得 g(x)＝2(x－1)2＋1，其图像的对称轴为 x＝1，区间[1，