第一章第二节简单逻辑联结词

解：(1)p∨q：平行四边形的对角线相等或互相垂直．假命 题． p∧q：平行四边形的对角线相等且互相垂直．假命题． 綈 p：有些平行四边形的对角线不相等．真命题． (2)p∨q：方程 x2＋x－1＝0 的两实根符号相同或绝对值相 等．假命题． p∧q：方程 x2＋x－1＝0 的两实根符号相同且绝对值相 等．假命题． 綈 p：方程 x2＋x－1＝0 的两实根符号不相同．真命题．
(2)此命题是“p∨q”的形式，其中 p：－1 是偶数， q：－1 是奇数，因为命题 p 为假命题，命题 q 为真 命题，所以“p∨q”为真命题，故原命题为真命题．
4． 写出由下列各组命题构成的“p∨q”、 “p∧q”、 “綈 p”
形式的复合命题，并判断真假． (1)p：平行四边形的对角线相等；q：平行四边形的对角线 互相垂直； (2)p：方程 x2＋x－1＝0 的两实根符号相同；q：方程 x2＋x －1＝0 的两实根的绝对值相等．
3．(2010· 新课标全国卷)已知命题 p1：函数 y＝2x－2 x 在 R 上为增函数．p2：函数 y＝2x＋2 x 在 R 上为减函数．则 在命题 q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈 p1)∨p2 和 q4：
特称命题，且为真命题．
4．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假． (1)a>0，且 a≠1，则对任意实数 x，ax>0； (2)对任意实数 x1，x2，若 x1<x2，则 tanx1<tanx2； (3)∃T0∈R，使|sin(x＋T0)|＝|sinx|； (4)∃x0∈R，使 x2＋1<0. 0
)
C．对任意x∈Z使x2＋2x＋m≤0
D．对任意x∈Z使x2＋2x＋m>0 解析： 存在性命题的否定是全称命题． 答案： D
3．写出下列命题的否定，并判断命题的否定的真假，指出 命题的否定属全称命题还是特称命题． (1)所有的有理数是实数； (2)有的三角形是直角三角形．
解：(1)綈 p：存在一个有理数不是实数．假命题，属特称 命题． (2)綈 p：所有的三角形都不是直角三角形．假命题，属全 称命题．
2．(2009· 海南、宁夏高考)有四个关于三角函数的命题： 1 p1：∃x∈R，sin ＋cos ＝ ； 2 2 2 p2：∃x，y∈R，sin(x－y)＝sinx－siny； p3：∀x∈[0，π], 1－cos2x ＝sinx； 2
2x 2x
π p4：sinx＝cosy⇒x＋y＝ . 2
其中的假命题是
假判断为主要考点，重点考查学生的逻辑推理能力．
二、考题诊断 1．(2009· 天津高考)命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是( )
A．不存在x0∈R,2 x 0 >0
C．对任意的x∈R,2x≤0
B．存在x0∈R,2 x 0 ≥0
D．对任意的x∈R,2x>0
解析：特称命题的否定是全称命题，故命题的否定是 “对任意的x∈R,2x>0”． 答案：D
2x
2x
又 x∈[0，π]时，sinx≥0，∴对任意 x∈[0，π]，均有 1－cos2x ＝sinx，因此 p3 是真命题． 2 π π 当 sinx＝cosy，即 sinx＝sin( －y)时，x＝2kπ＋ －y， 2 2 π 即 x＋y＝2kπ＋ (k∈Z)，故 p4 为假命题． 2
答案：A
)
解析：命题 为假，綈 p 为假．
答案：D
3．指出下列命题的真假：
(1)命题：“不等式|x＋2|≤0没有实数解”；
(2)命题：“－1是偶数或奇数”．
解：(1)此命题是“綈 p”的形式，其中 p：不等式|x＋2|≤0 有实数解．因为 x＝－2 是该不等式的一个解，所以命题 p 为真命题，即綈 p 为假命题．所以原命题为假命题．
(
)
解析：由 x2＋2x>4x－3 推得 x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0 恒成 立，故①正确；根据基本不等式可知要使不等式 log2x＋ 1 1 logx2≥2 成立需要 x>1，故②正确；由 a>b>0 得 0<a<b，又 c c c<0，可得a>b，则可知其逆否命题为真命题，故③正确；命 题 p 是真命题，命题 q 是真命题，所以 p∧綈 q 为假命题．
[归纳领悟] 1．要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素x，验证p(x)成立． 2．要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中 的一个x＝x0，使p(x0)不成立即可． 3．要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M 中，至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这 一特称命题就是假命题.
解：(1)、(2)是全称命题，(3)、(4)是特称命题． (1)∵ax＞0(a＞0， a≠1)恒成立， ∴命题(1)是真命题． (2)存在 x1＝0，x2＝π，x1＜x2，但 tan0＝tanπ， ∴命题(2)是假命题． (3)y＝|sinx|是周期函数，π 就是它的一个周期， ∴命题(3)为真命题． (4)对任意 x∈R，x2＋1>0.∴命题(4)是假命题．
3．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其
真假． (1)对数函数都是单调函数； (2)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除． 解：(1)本题隐含了全称量词“任意的”，其原命 题应为：“任意的对数函数都是单调函数”，是全 称命题，且为真命题；
(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是
A．命题“非p”与命题“非q”的真值不同
B．命题p与命题“非q”的真值相同 C．命题q与命题“非p”的真值相同 D．命题“非p且非q”是真命题
答案：D
2． 已知命题 p： 3≥3； 3＞4， q： 则下列选项正确的是( A．p∨q 为假，p∧q 为假，綈 p 为真 B．p∨q 为真，p∧q 为假，綈 p 为真 C．p∨q 为假，p∧q 为假，綈 p 为假 D．p∨q 为真，p∧q 为假，綈 p 为假
(
)
A．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数 B．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数 C．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数
D．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数
解析：由于当m＝0时，函数f(x)＝x2＋mx＝x2为偶函数， 故“∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)为偶函 数”是真命题． 答案： A
下列命题： ①∀x∈R，不等式 x2＋2x>4x－3 均成立； ②若 log2x＋logx2≥2，则 x>1； c c ③“若 a>b>0 且 c<0，则a>b”的逆否命题是真命题； ④若命题 p：∀x∈R，x2＋1≥1，命题 q：∃x∈R，x2－x－1 ≤0，则命题 p∧綈 q 是真命题．
其中真命题为 A．①②③ C．①③④ B．①②④ D．②③④
[题组自测] 1．若命题p：∀x∈R,2x2－1>0，则该命题的否定是 ( A．∀x∈R,2x2－1<0 B．∀x∈R,2x2－1≤0 )
C．∃x∈R,2x2－1≤0
D．∃x∈R,2x2－1>0
解析：全称命题的否定为特称命题．命题p的否定为存 在一个实数x,2x2－1≤0，故选C.
答案： C
2．命题“存在x∈Z使x2＋2x＋m≤0”的否定是( A．存在x∈Z使x2＋2x＋m>0 B．不存在x∈Z使x2＋2x＋m>0
三、含有一个量词的命题的否定 命题 ∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，p(x0) 命题的否定
∃x0∈M， p(x0)
∀x∈M， p(x)
[究 疑 点]
全称命题、存在性命题的否定仍然是全称命题、存在性命 题吗？ 提示：不是．全称命题的否定是存在性命题，存在性命题 的否定是全称命题．
[题组自测]
1．如果命题“p且q”与命题“p或q”都是假命题，那么( )
[归纳领悟]
正确理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义是解题
的关键，应根据组成各个复合命题的语句中所出现的逻辑 联结词进行命题结构与真假的判断．其步骤为： (1)确定命题的构成形式； (2)判断其中命题p、q的真假；
(3)确定“p∨q”、“p∧q”、“綈 p”形式命题的真假.
[题组自测]
1．(2010· 湖南高考)下列命题中的假命题是 ( )
答案：A
[归纳领悟] 1．弄清命题是全称命题还是特称命题，是正确写出命题 否定的前提． 2．注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义
加上量词，再进行否定．
3．要判断“綈 p”命题的真假，可以直接判断，也可以判 断“p”的真假，因为 p 与綈 p 的真假相反．
4．常见词语的否定形式有 至少 至多 原语句 是 都是 > 有一 有一 个 个 对任意 x∈A使 p(x)真 存在 x0∈A使 p(x0)假
4．命题p∧q，p∨q，綈 p 的真假判断． p∧q中p、q有一假为 假 ，p∨q有一真为 真 ，p与非p 必定是 一真一假 ．
二、全称量词与存在量词
1．全称量词与全称命题
所有 ”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常 (1) 短语“ 叫 ∀ 全称量词 做全称量词，并用符号“ (2)含有 ”表示．
A．∃x∈R，lgx＝0
C．∀x∈R，x3＞0
B．∃x∈R，tanx＝1
D．∀x∈R,2x＞0
π 解析：选项 A，lgx＝0⇒x＝1；选项 B，tanx＝1⇒x＝ ＋ 4 kπ(k∈Z)；选项 C，x3＞0⇒x＞0；选项 D,2x＞0⇒x∈R， 故选 C.
答案： C
2．(2010· 天津高考)下列命题中，真命题是
(
)
A．p1，p4
C．p1，p3
B．p2，p4
D．p2，p3
1 解析：∵对任意 x∈R，均有 sin ＋cos ＝1 而不是 ，故 p1 2 2 2 为假命题．当 x，y，x－y 有一个为 2kπ(k∈Z)时，sinx－siny ＝sin(x－y)成立，故 p2 是真命题． ∵cos2x＝1－2sin2x， 1－cos2x 1－1＋2sin2x ∴ ＝ ＝sin2x. 2 2