八年级数学上册 7 平行线的证明专题训练(十二)三角形内角和与外角的综合运用(选做)(新版)北师大版

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八年级数学上册第七章三角形内角外角关系应用的七种常见题型习题pptx课件新版北师大版

∠ DAE 的度数.(直接写出结论)

解：(3)∠ DAE ＝ (α－β).
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34Biblioteka 567第七章平行线的证明
专项突破19
三角形内角、外角关系应用
的七种常见题型
题型1三角形内角和在叠放中的应用
1. [2024舟山中学月考] 如图，有一块直角三角尺 DEF 放置
在△ ABC 上，三角尺 DEF 的两条直角边 DE ， DF 恰好分
别经过点 B ， C . 请写出∠ BDC 与∠ A ＋∠ ABD ＋
∠ ACD 之间的数量关系，并说明理由.
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解：∠ BDC ＝∠ A ＋∠ ABD ＋∠ ACD . 理由如下：
∵∠ BDC ＋∠ DBC ＋∠ DCB ＝180°，∠ A ＋∠ ABC ＋
∠ ACB ＝∠ A ＋∠ ABD ＋∠ ACD ＋∠ DBC ＋∠ DCB ＝
180°，
∴∠ BDC ＝∠ A ＋∠ ABD ＋∠ ACD .
∴∠ BAC ＝180°－100°＝80°.

∵ AE 平分∠ BAC ，∴∠ BAE ＝ ∠ BAC ＝40°.
∴∠ DAE ＝∠ BAE －∠ BAD ＝40°－20°＝20°.
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7. [教材P185复习题T9变式]如图，在△ ABC 中， AD ⊥
BC ， AE 平分∠ BAC ，∠ B ＝70°，∠ C ＝30°.
∵ AE 平分∠ BAC ，

∴∠ BAE ＝ ∠ BAC ＝ (180°－∠ B －∠ C )

八年级数学上册平行线与三角形内角和的综合应用(习题及答案)(人教版)

）
在△ ACD中，∠ 1=30°，∠ ACB=85°
∴∠ EDP=180°- ∠1- ∠ACB
=180°- 30°- 85°
=65°
（ __________________________）_
∵PE⊥ AD
（ __________________________）_
∴∠ EPD=90°
（ __________________________）_
证自明的“基本事实” ，可以当做已知的大前提来进行使用．而其中的三条，
是我们在几何证明中不经意间多次用到的，下面对它们来进行简单的解释．
当我们证明时，会遇到如下的推理：
∵a=b，b=c
∴a=c
在这个推理过程中，我们很容易就理解它的正确性，但往往不知道它的依据
是什么．其实，它的依据就是欧几里得公理体系中 5 条公理中的第一条：“（1）
∴∠ A+∠ C=90°（等量代换）
这里推理的依据就是第一条公理，我们把它简记为 “等量代换”．“等量代换”
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A
D
B
C
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6. 已知：如图， AB∥CD，∠ BAE=∠DCE=45°．求证：∠ E=90°．
A
B
1 E
Байду номын сангаас
2
C
D
7. 已知：如图， EF⊥BC， DE⊥AB，∠ B=∠ADE．求证： AD∥EF． A
E
B
F
D
C
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思考小结
1. 在证明过程中：（1）由平行可以想 ________相等、 __________相等、 ________互补；
=180°- 30°- 85°

(典型题)初中数学八年级数学上册第七单元《平行线的证明》测试(有答案解析)

一、选择题1．下列四个命题中为真命题的是（）A ．两条直线被第三条直线所截，内错角相等B ．若1∠和2∠是对顶角，则12∠=∠C ．三角形的一个外角大于任何一个内角D ．22a b =，则a b =2．如图，△ABC 中，∠BAC ＝58°，∠C ＝82°，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，点E 是AC 上一点，且∠ADE ＝∠B ，则∠CDE 的度数是（）A ．29°B ．39°C ．42°D ．52° 3．如图，直线AB ､CD 被BC 所截，若//AB CD ，150∠=︒，240∠=︒，则3∠的大小是（）A ．80︒B ．70︒C ．90︒D ．100︒ 4．下列四个命题中，假命题有（）（1）两条直线被第三条直线所截，内错角相等．（2）如果1∠和2∠是对顶角，那么12∠=∠．（3）一个锐角的余角一定小于这个锐角的补角．（4）如果1∠和3∠互余，2∠与3∠的余角互补，那么1∠和2∠互补．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．下列命题是假命题的是（）A ．同旁内角互补，两直线平行B ．直角三角形的两个锐角互余C ．三角形的一个外角等于它的两个内角之和D ．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形6．如图，在△ABC 中，D 为BC 上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC ＝105°，则∠DAC 的度数为（）A ．80°B ．82°C ．84°D ．86°7．如图，AD 平分∠BAC ，AE ⊥BC ，∠B=45°，∠C=73°，则∠DAE 的度数是（）．A ．22°B ．16°C ．14°D ．23° 8．命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是（） A ．垂直B ．两条直线互相平行C ．同一条直线D ．两条直线垂直于同一条直线 9．如图，下列能判定//AB CD 的条件有（）个（1）∠1＝∠2；（2）∠3＝∠4；（3）∠B ＝∠5；（4）∠B +∠BCD ＝180°；（5）∠5＝∠DA ．1B ．2C ．3D ．410．如图，下列条件中，不能判断AD ∥BC 的是（）A ．∠1=∠3B ．∠2=∠4C ．∠EAD=∠BD ．∠D=∠DCF 11．如图，AB ∥DE ，80,45B D ︒︒∠=∠=则C ∠的度数为（）A ．50︒B ．55︒C ．60︒D ．65︒12．在统一平面内有三条直线a 、b 、c ，下列说法：①若//a b ，//b c ，则//a c ；②若a b ⊥，b c ⊥，则a c ⊥，其中正确的是（）A ．只有①B ．只有②C ．①②都正确D ．①②都不正确二、填空题13．如图，已知CD ⊥DA ，DA ⊥AB ，∠1=∠4．试说明DF ∥AE ．请你完成下列填空，把证明过程补充完整．证明：∵_________（___________）∴∠CDA=90°，∠DAB=90°（_________）．∴∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°．又∵∠1=∠4，∴_____（_____），∴DF ∥AE （______）．14．如图，在Rt ACB ∆中，90ACB ∠=︒，25A ∠=︒，D 是AB 上一点，将Rt ABC ∆沿CD 折叠，使点B 落在AC 边上的B '处，则ADB '∠等于_______．15．如图，点D 是△ABC 的边BC 的延长线上的一点，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A 1，∠A 1BC 的平分线与∠A 1CD 的平分线交于点A 2，依此类推…，已知∠A ＝α，则∠A 2020的度数为_____．（用含α的代数式表示）．16．如图，不添加辅助线，请写出一个能判定DE ∥BC 的条件___________.17．如图，△ABC 中,∠B=60°，∠C=80°，点D,E 分别在线段AB ，BC 上，将△BDE 沿直线DE 翻折，使B 落在B′ 处, B′ D, B′E 分别交AC 于F,G. 若∠ADF=70°，则∠CGE 的度数为______.18．以下四个命题：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；③数轴上的每一个点都表示一个实数；④如果点()P x,y 的坐标满足xy 0<，那么点 P 一定在第二象限．其中正确命题的序号为 ___．19．如图，已知△ABC ，∠B 的角平分线与∠C 的外角角平分线交于点 D ，∠B 的外角角平分线与∠C 的外角角平分线交于点 E ，则∠E+∠D=_____．20．如图，C 是线段AB 上一点，∠DAC ＝∠D ，∠EBC ＝∠E ，AO 平分∠DAC ，BO 平分∠EBC ．若∠DCE ＝40°，则∠O ＝______°．三、解答题21．如图，在ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点P ，根据下列条件，求BPC ∠的度数．（1）若40ABC ∠=︒，60ACB ∠=︒，则BPC ∠=______；（2）若110ABC ACB ∠+∠=︒，则BPC ∠=______；（3）若90A ∠=︒，则BPC ∠=______；（4）从以上的计算中，你能发现已知A ∠，求BPC ∠的公式是：BPC ∠=______（提示：用A ∠表示）．22．如图，将△ABC 沿着平行于BC 的直线DE 折叠，点A 落到点A ′，若∠C ＝125°，∠A ＝20°，求∠BD A ′的度数.23．如图，在ABC 中，D 是AB 上一点，E 是AC 上一点，BE 、CD 相交于点F ，62A ∠=︒，35ACD ∠=︒，20ABE ∠=︒．求：（1）BDC ∠的度数；（2）BFD ∠的度数．对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学公式）解：（1）∵BDC A ACD ∠=∠+∠（）∴623597BDC ∠=︒+︒=︒（等量代换）（2）∵BFD BDC ABE ∠+∠+∠=______（）∴180BFD BDC ABE ∠=︒-∠-∠（等式的性质）1809720=︒-︒-︒（等量代换）63=︒24．如图，在△ABC 中，AD 是高，AE 、BF 是角平分线，它们相交于点O ，∠BAC=50°，∠C=70°，求:∠DAC 和∠BOA 的度数．25．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是CD 、AB 延长线上的点，连接EF ，分别交AD 、BC 于点G 、H ．若12∠=∠，A C ∠=∠，试判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由．补全解答过程．猜想：AB 与CD 的位置关系是 ① ．证明：∵12∠=∠（已知），1AGH ∠=∠（②），∴2AGH ∠=∠（③）．∴ ④ （同位角相等，两直线平行）．∴ADE C ∠=∠（⑤），∵A C ∠=∠（已知），∴ ⑥ （等量代换）．∴ ⑦ （⑧）．26．如图，在ABC 中，EF AB ⊥，CD AB ⊥，G 在AC 边上，AGD ACB ∠=∠．求证：（1）12∠=∠；（2）90BCD ADG ∠+∠=︒．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】根据平行线的性质、对顶角相等、三角形外角定理、乘方的性质逐项判断即可求解．【详解】解：A. “两条直线被第三条直线所截，内错角相等”，缺少两直线平行这一条件，判断错误，是假命题，不合题意；B. “若1∠和2∠是对顶角，则12∠=∠”，是真命题，符合题意；C. “三角形的一个外角大于任何一个内角”，应为“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”，判断错误，是假命题，不合题意；D. “22a b =，则a b =，”是假命题，a 和b 也可以互为相反数，不合题意．故选：B【点睛】本题考查了平行线的性质、对顶角相等、三角形外角定理、乘方的性质、真假命题等知识，熟知相关知识是解题关键．2．A解析：A【分析】根据三角形的内角和得到∠B ＝180︒-∠BAC -∠C ＝40︒，根据角平分线的定义得到∠BAD=12∠BAC=29︒，根据三角形的外角的性质即可得到结论．【详解】解：∵在△ABC 中，∠BAC ＝58︒，∠C ＝82︒，∴∠B ＝180︒-∠BAC -∠C ＝180︒-58︒-82︒＝40︒，∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝12∠BAC ＝29︒， ∴∠ADC ＝∠B +∠BAD ＝69︒，∵∠ADE ＝∠B ＝40︒，∴∠CDE ＝29︒，故选：A ．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 3．C解析：C【分析】先根据平行线的性质求出C ∠，再由三角形外角性质即可得解；【详解】∵//AB CD ，150∠=︒，∴150∠=∠=︒C ，∵240∠=︒，∴3290C ∠=∠+∠=︒；故答案选C ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和三角形的外角性质，准确计算是解题的关键． 4．A解析：A【分析】按照命题的条件，结论，进行推理计算，或与定理，定义，法则对照，进行判断即可.【详解】∵两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，∴（1）是假命题；∵对顶角相等，∴（2）是真命题；设锐角为x ，则其余角为90°-x ，补角为180°-x ，∴（90-x ）-（180-x ）=90°-x-180°+x=-90＜0，∴（3）是真命题；∵1∠和3∠互余，2∠与3∠的余角互补，∴1∠+3∠=90，2∠+（90-3∠）=180，∴2∠+1∠=180，∴（4）是真命题；故选A.【点睛】本题考查了对命题的真伪的甄别，解答时，熟练掌握数学的基本概念，基本定理，基本法则，基本性质是解题的关键.5．C解析：C【分析】根据平行线的判定定理，直角三角形互余性质，三角形的外角性质，等边三角形的判定去分别判断即可.【详解】解：∵同旁内角互补，两直线平行，∴选项A 选项为真命题，不符合题意；根据三角形内角和定理，得直角三角形的两个锐角互余，∴选项B选项为真命题，不符合题意；∵三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，∴选项C选项为假命题，符合题意；根据等角对等边，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，∴选项D选项为真命题，不符合题意；故选C.【点睛】本题考查了对数学基础知识的掌握，全面规范掌握数学基础知识是解题的关键.6．A解析：A【分析】根据三角形的内角和定理和三角形的外角性质即可解决．【详解】解：∵∠BAC＝105°，∴∠2＋∠3＝75°①∵∠1＝∠2，∴∠4＝∠3＝∠1＋∠2＝2∠2②把②代入①得：3∠2＝75°，∴∠2＝25°．∴∠DAC＝105°−25°＝80°．故选A．【点睛】此题主要考查了三角形的外角性质以及三角形内角和定理，熟记三角形的内角和定理，三角形的外角性质是解题的关键．7．C解析：C【分析】根据∠DAE=∠DAC-∠CAE，只要求出∠DAC，∠CAE即可．【详解】解：∵∠BAC=180°-∠B-∠C，∠B=45°，∠C=73°，∴∠BAC=62°，∵AD平分∠BAC，∠BAC=31°，∴∠DAC=12∵AE⊥BC，∴∠AEC=90°，∴∠CAE=90°-73°=17°，∴∠DAE=31°-17°=14°，故选：C ．【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 8．D解析：D【分析】命题有条件和结论两部分组成，条件是已知的部分，结论是由条件得出的推论．【详解】“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是“两条直线垂直于同一条直线”，结论是“两条直线互相平行”．故选：D ．【点睛】本题考查了对命题的题设和结论的理解，解题的关键在于利用直线垂直的定义进行判断． 9．C解析：C【分析】根据平行线的判定定理分别进行判断即可得出结论．【详解】解：当12∠=∠时，//AD BC ，不符合题意；当34∠=∠时，//AB CD ，符合题意；当5B ∠=∠时，//AB CD ，符合题意；当180B BCD ∠+∠=︒时，//AB CD ；符合题意；当5D ∠=∠时，//AD BC ；不符合题意；综上所述，能判定//AB CD 的条件有（2）∠3＝∠4；（3）∠B ＝∠5；（4）∠B +∠BCD ＝180°；共3个．故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．10．B解析：B【分析】根据各选项中各角的关系及利用平行线的判定定理，分别分析判断AD 、BC 是否平行即可．【详解】解：A 、∵∠1=∠3，∴AD ∥BC （内错角相等，两直线平行）；B 、∵∠2=∠4，∴AB ∥CD （内错角相等，两直线平行），但不能判定AD ∥BC ； C 、∵∠EAD=∠B ，∴AD ∥BC （同位角相等，两直线平行）；D、∵∠D=∠DCF，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）；故选：B．【点睛】本题考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．11．B解析：B【分析】延长DE交BC于F，利用平行线的性质求出∠DFC=∠B=80°，再利用三角形的内角和定理求的度数.出C【详解】延长DE交BC于F，如图，∵AB∥DE，∴∠DFC=∠B=80°，∵∠C+∠D+∠DFC=180°，∴∠C= =180°-∠D-∠DFC=55°，故选：B.【点睛】此题考查平行线的性质：两直线平行，同位角相等；三角形的内角和定理.12．A解析：A【分析】根据如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行可得①正确；根据应为同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行可得②错误．【详解】解：①若a∥b，b∥c，则a∥c，说法正确；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c，说法错误，应为同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a∥c；故选：A．【点睛】此题主要考查了平行公理和垂线，关键是注意同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行．二、填空题13．CD ⊥DADA ⊥AB ；已知；垂直定义；∠2=∠3；等角的余角相等；内错角相等两直线平行【分析】先根据垂直的定义得到再根据等角的余角相等得出最后根据内错角相等两直线平行进行判定即可【详解】证明：∵CD解析：CD ⊥DA ，DA ⊥AB ；已知；垂直定义；∠2=∠3；等角的余角相等；内错角相等，两直线平行【分析】先根据垂直的定义，得到1290∠+∠=︒，3490∠+∠=°，再根据等角的余角相等，得出23∠∠=，最后根据内错角相等，两直线平行进行判定即可．【详解】证明：∵ CD ⊥DA ，DA ⊥AB （已知）∴∠CDA=90°，∠DAB=90° ( 垂直定义 )．∴∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°．又∵∠1=∠4，∴∠2=∠3 ( 等角的余角相等 )，∴DF ∥AE ( 内错角相等，两直线平行 )．故答案为：．CD ⊥DA ，DA ⊥AB ，已知；垂直定义；∠2=∠3 ，等角的余角相等；内错角相等，两直线平行．【点睛】本题主要考查了平行线的判定以及垂直的定义，解题时注意：内错角相等，两直线平行． 14．【分析】根据翻折变换的性质得出∠ACD=∠BCD ∠CDB=∠CDB′进而利用三角形内角和定理得出∠BDC=∠B′DC 再利用平角的定义即可得出答案【详解】解：∵将Rt △ABC 沿CD 折叠使点B 落在AC 边解析：40︒【分析】根据翻折变换的性质得出∠ACD=∠BCD ，∠CDB=∠CDB′，进而利用三角形内角和定理得出∠BDC=∠B′DC ，再利用平角的定义，即可得出答案．【详解】解：∵将Rt △ABC 沿CD 折叠，使点B 落在AC 边上的B′处，∴∠ACD=∠BCD ，∠CDB=∠CDB′，∵∠ACB=90°，∠A=25°，∴∠ACD=∠BCD=45°，∠B=90°-25°=65°，∴∠BDC=∠B′DC=180°-45°-65°=70°，∴∠ADB′=180°-70°-70°=40°．故答案为：40°．【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质以及三角形内角和定理，得出∠BDC 和∠B′DC 的度数是解题关键．15．【分析】根据角平分线的定义及三角形的内角和的及外角的性质可得∠A1＝∠A2＝∠A3＝据此找规律可求解【详解】解：在△ABC 中∠A ＝∠ACD ﹣∠ABC ＝α∵∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A1 解析：202012α【分析】根据角平分线的定义及三角形的内角和的及外角的性质可得∠A 1＝12α，∠A 2＝212α，∠A 3＝312α，据此找规律可求解．【详解】解：在△ABC 中，∠A ＝∠ACD ﹣∠ABC ＝α，∵∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A 1，∴∠A 1＝∠A 1CD ﹣∠A 1BC ＝12（∠ACD ﹣∠ABC ）＝12∠A ＝12α，同理可得∠A 2＝12∠A 1＝212α， ∠A 3＝12∠A 2＝312α， …以此类推，∠A 2020＝202012α，故答案为：202012α．【点睛】考查三角形内角和定理以及三角形外角的性质，熟练掌握和运用三角形外角的性质是解题的关键． 16．【分析】根据平行线的判定进行分析可以从同位角相等或同旁内角互补的方面写出结论【详解】∵DE 和BC 被AB 所截∴当时AD ∥BC （内错角相等两直线平行）故答案为【点睛】此题考查平行线的性质难度不大解析：DAB B ∠=∠【分析】根据平行线的判定进行分析，可以从同位角相等或同旁内角互补的方面写出结论．∵DE和BC被AB所截，∠=∠时,AD∥BC（内错角相等，两直线平行）.∴当DAB B∠=∠故答案为DAB B【点睛】此题考查平行线的性质，难度不大17．500【分析】连接BB由翻折变换的性质得：∠ABC=∠DBE=60°再根据三角形外角性质即可得到∠ADF+∠CEG=60°+60°=120°进而得出∠CEG=50°再根据三角形内角和定理即可得到△C解析：500【分析】连接BB'，由翻折变换的性质得：∠ABC=∠DB'E=60°，再根据三角形外角性质，即可得到∠ADF+∠CEG=60°+60°=120°，进而得出∠CEG=50°，再根据三角形内角和定理，即可得到△CEG中，∠CGE=180°-50°-80°=50°．【详解】如图，连接BB'，由翻折变换的性质得：∠ABC=∠DB'E=60°，∵∠ADF是△BDB'的外角，∠CEG是△BEB'的外角，∴∠ADF+∠CEG=60°+60°=120°，又∵∠ADF=70°，∴∠CEG=50°，又∵∠C=80°，∴△CEG中，∠CGE=180°-50°-80°=50°，故答案为50°．【点睛】本题考查了翻折变换的性质、三角形外角的性质以及三角形内角和定理的运用；熟练掌握翻折变换的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．18．①③【分析】依次分析判断即可得到答案【详解】①在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直故该项正确；②两条平行线被第三条直线所截同旁内角互补故该项错误；③数轴上的每一个点都表示一个实数故该项正解析：①③【分析】依次分析判断即可得到答案.①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故该项正确；②两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，故该项错误；③数轴上的每一个点都表示一个实数，故该项正确；④如果点()P x,y 的坐标满足xy 0<，则x 与y 异号，那么点P 在第二或第四象限，故该项错误；故答案为：①③.【点睛】此题考查命题的正确与否，正确掌握各知识点并熟练运用解题是关键.19．90°【分析】利用角平分线的性质和三角形的内角和定理解答即可【详解】解：∵BDBE 分别是∠B 的角平分线和外角平分线∴∠DBE=×180°=90°∴∠D+∠E=180°-∠DBE=180°-90°=9解析：90°．【分析】利用角平分线的性质和三角形的内角和定理解答即可．【详解】解：∵BD ，BE 分别是∠B 的角平分线和外角平分线，∴∠DBE=12×180°=90°， ∴∠D+∠E=180°-∠DBE=180°-90°=90°．故答案为：90°．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握定理是解答此题的关键．20．125【分析】利用平角的定义可得由角平分线的性质易得由三角形的内角和定理可得结果【详解】解：平分平分故答案为：125【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和三角形的内角和定理熟练运用定理是解答此题的关键解析：125【分析】利用平角的定义可得180********ACDBCE DCE ，由角平分线的性质易得11()1105522OABOBA DAC CBE ，由三角形的内角和定理可得结果．【详解】解：40DCE ， 180********ACDBCE DCE ， DACD ，EBCE ∠=∠， 221802140220DACCBE ， 110DAC CBE ，AO平分DAC∠，BO平分EBC∠，∴11()1105522OAB OBA DAC CBE，180()18055125O OAB OBA，故答案为：125．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和三角形的内角和定理，熟练运用定理是解答此题的关键．三、解答题21．（1）130°；（2）125°；（3）135°；（4）1902A ︒+∠．【分析】（1）依据∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，可得∠2+∠4的度数，依据三角形内角和定理，即可得到∠BPC的度数；（2）依据∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，可得∠2+∠4的度数，依据三角形内角和定理，即可得到∠BPC的度数；（3）依据∠A=90°，可得∠ABC+∠ACB的度数，依据∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，可得∠2+∠4的度数，依据三角形内角和定理，即可得到∠BPC的度数；（4）根据三角形的内角和定理可得∠ABC+∠ACB的度数，依据∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，可得∠2+∠4的度数，依据三角形内角和定理，即可得到∠BPC=90°+12∠A．【详解】解：如下图所示，（1）∵∠ABC=40°，∠ACB=60°，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，∴∠2+∠4=20°+30°=50°，∴△BCP中，∠P=180°-50°=130°，故答案为：130°；（2）∵∠ABC+∠ACB=110°，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，∴∠2+∠4=12×110°=55°，∴△BCP中，∠P=180°-55°=125°，故答案为：125°；（3）∵∠A=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点P ，∴∠2+∠4=12×90°=45°， ∴△BCP 中，∠P=180°-45°=135°，故答案为：135°；（4）∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A ，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点P ， ∴124(180)2A ∠+∠=⨯︒-∠， ∴△BCP 中，11180(180)9022P A A =︒-⨯︒-∠=︒+∠∠．故答案为：1902A ︒+∠．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义的运用，解题时注意：三角形内角和是180°．22．110°【分析】利用翻折变换的性质以及三角形内角和定理求出∠BDE ，∠A′DE ，即可解决问题．【详解】∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∠A ＝20°，∠C ＝125°，∴∠B ＝35°，∵DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠B ＝35°，∠BDE ＋∠B ＝180°，∴∠BDE ＝180−∠B ＝180°−35°＝145°，∵△ADE 沿DE 折叠成△A′DE ，∴∠A′DE ＝∠ADE ＝35°，∴∠BDA′＝∠BDE−∠A′DE ＝145°−35°＝110°．【点睛】本题考查三角形内角和定理，翻折变换的性质以及平行线的性质，解题的关键是熟练掌握翻折变换的性质，属于中考常考题型．23．（1）三角形的外角性质；（2）180，三角形内角和定理【分析】（1）在△ACD 中，利用三角形的外角性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和计算即可；（2）在△BFD 中，利用三角形的内角和定理计算即可．【详解】（1）∵∠BDC=∠A+∠ACD （三角形的外角性质），∴∠BDC=62°+35°=97°（等量代换），故答案为：三角形的外角性质；（2）∵∠BFD+∠BDC+∠ABE=180°（三角形内角和定理），∴∠BFD=180°-∠BDC-∠ABE （等式的性质），=180°-97°-20°（等量代换）=63°；故答案为：180°，三角形内角和定理．【点睛】本题主要考查了三角形的外角性质与三角形的内角和定理，熟记性质与定理是解题的关键．24．∠DAC =20°，∠BOA =125°．【分析】在Rt △ACD 中，根据两锐角互余得出∠DAC 度数；△ABC 中由内角和定理得出∠ABC 度数，继而根据AE ，BF 是角平分线可得∠BAO 、∠ABO ，最后在△ABO 中根据内角和定理可得答案．【详解】∵AD 是BC 上的高，∴∠ADC =90°，又∵∠C =70°，∴∠DAC =90°﹣∠C =20°，∵∠BAC =50°，AE 平分∠BAC ，∴∠ABC =180°﹣∠BAC ﹣∠C =60°，∠BAO =12∠BAC =25°， ∵BF 平分∠ABC ，∴∠ABO =12∠ABC =30°， ∴∠AOB =180°﹣∠ABO ﹣∠BAO =180°﹣30°﹣25°=125°．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和是180°和三角形高线、角平分线的定义是解题的关键．25．①//AB CD ；②对顶角相等；③等量代换；④//AD BC ；⑤两直线平行，同位角相等；⑥ADE ∠A =∠；⑦//AB CD ；⑧内错角相等，两直线平行【分析】先根据同位角相等，两直线平行，判定AD ∥BC ，进而得到∠ADE=∠C ，再根据内错角相等，两直线平行，即可得到AB ∥CD ．【详解】猜想：AB 与CD 的位置关系是AB ∥CD ．证明：∵∠1=∠2（已知）∠1=∠AGH （对顶角相等）∴∠2=∠AGH （等量代换）∴AD ∥BC （同位角相等，两直线平行）∴∠ADE=∠C （两直线平行，同位角相等）∵∠A=∠C （已知）∴∠ADE=∠A （等量代换）∴AB ∥CD （内错角相等，两直线平行）故答案为：①//AB CD ；②对顶角相等；③等量代换；④//AD BC ；⑤两直线平行，同位角相等；⑥ADE ∠A =∠；⑦//AB CD ；⑧内错角相等，两直线平行．【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．26．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据同位角相等证得//DG BC ，根据垂直得到同位角相等进而得到//FE DC ，然后根据平行线的性质，利用等量代换即可证明；（2）根据90CDB ∠=︒，得到190ADG ∠+∠=︒，结合（1）中结论12∠=∠和1DCB ∠=∠，利用等量代换即可证明．【详解】（1）∵AGD ACB ∠=∠∴//DG BC∴1DCB ∠=∠∵EF AB ⊥，CD AB ⊥∴//FE DC∴2DCB =∠∠∴12∠=∠（2）由（1）得1DCB ∠=∠∵CD AB ⊥∴90CDB ∠=︒∴190ADG ∠+∠=︒又∵1DCB ∠=∠∴90BCD ADG ∠+∠=︒【点睛】本题考查了平行的判定和性质，等量代换，熟练掌握平行线的判定和性质是本题的关键．。

北师八年级上册数学第7章平行线的证明集训课堂练素养三角形角的关系的八种常见题型

好三角尺XYZ的两条直角边XY，XZ分别经过点B，
C.△ABC 中， ∠ A ＝ 30° ，则 ∠ ABC ＋ ∠ ACB ＝
________，∠XBC＋∠XCB＝________.
150°
90°
(2)如图②，改变直角三角尺XYZ的位置，使三角尺XYZ 的两条直角边XY，XZ仍然分别经过点B，C，那么 ∠ABX＋∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出
3 【教材P187复习题T16(1)变式】如图，在△ABC中，点P是∠ABC，∠ACB的平分线的交点．
(1)若∠A＝60°，求∠BPC的度数．
解：∵BP，CP 分别为∠ABC，∠ACB 的平分线， ∴∠PBC＋∠PCB＝12(∠ABC＋∠ACB)＝12(180°－∠A)＝12× (180°－60°)＝60°. ∴∠BPC＝180°－(∠PBC＋∠PCB)＝180°－60°＝120°.
7 如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA. (1)求证∠EAC＝∠B.
证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD. 又∵∠EAD＝∠EDA， ∴∠EAC＝∠EAD－∠CAD＝∠EDA－∠BAD＝∠B.
(2)若∠B＝50°，∠CAD：∠E＝1：3，求∠E的度数．
解：设∠CAD＝x，则∠E＝3x. 由(1)知∠EAC＝∠B＝50°， ∴∠EAD＝∠EDA＝x＋50°. 在△EAD中，∵∠E＋∠EAD＋∠EDA＝180°， ∴3x＋2(x＋50°)＝180°，解得x＝16°. ∴3x＝48°，即∠E＝48°.
8 如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，D是外角∠ACH与内角∠ABC平分线的交点，∠BOC＝120°.
(1)求∠A的度数；
解：∵∠BOC＝120°，∴∠OBC＋∠OCB＝60°. ∵∠ABC，∠ACB的平分线交于点O， ∴∠ ABC＋ ∠ ACB＝2∠ OBC＋ 2∠ OCB＝2(∠OBC＋ ∠OCB)＝120°.∴∠A＝60°.

2018年秋八年级数学上册第七章平行线的证明7.5三角形内角和定理2三角形的外角同步练习课件新版北师

B
第2课时三角形的外角
A
第2课时三角形的外角
76
第2课时三角形的外角
75
第2课时三角形的外角
第2课时三角形的外角
第2课时三角形的外角
知识点2 三角形的外角定理2 D
第2课时三角形的外角
D
C 拓广探究创新练
76 6
第2课时三角形的外角
第七章平行线的证明
5 三角形内角和定理
第七章平行线的证明
第2课时三角形的外角
A 知识要点分类练 B 规律方法综合练 C 拓广探究创新练
第2课时三角形的外角
A 知识要点分类练
知识点1 三角形的外角定理1 50° 130° ∠BCE
第2课时三角形的外角
第2课时三角形的外角
第2课时三角形的外角
第2课时三角形的外角
B 规律方法综合练
C
第2课时三角形的外角Fra bibliotek第2课时三角形的外角
第2课时三角形的外角
第2课时三角形的外角
第2课时三角形的外角

_八级数学上册第七章平行线的证明7.5三角形内角和定理第2课时同步练习新版北师大版1224282

7.5三角形内角和定理第二课时知能操练提高ZHINENG YANLIAN TISHENG能力提高1.如图 , a∥b, ∠ 1=65°, ∠ 2=140°, 则∠ 3 等于 ()A. 100°B. 105°C.110°D. 115°2.将一副直角三角尺如图搁置, 使含 30°角的三角尺的直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合,则∠1的度数为 ()A. 60°B. 75°C. 65°D. 70°3.一副三角尺有两个直角三角形, 如图叠放在一同 , 则∠α的度数是 ()A. 165°B. 120°C. 150°D. 135°(第 3题图)(第 4题图)4. 如图,平面上直线 a, b 分别过线段 OK两头点(数据如图),则 a, b 订交所成的锐角是()A. 20°B. 30°C. 70°D. 80°5. 如图,在△ ABC中,∠ A=30°,∠ B=50°,延伸 BC到点 D,则∠ ACD=.(第 5题图)(第 6题图)6.如图 , ∠ 1=30°, ∠B=60°, ∠C=20°, 则∠ 2=,∠A=.7 .如图 , 已知∠AOB=α, 在射线, 上分别取点1, 1,使11,连结 1 1,在11,1上分别取点OAOB A B OA=OB A B BA BB2,2,使12 1 2,连结 2 2按此规律下去, 记∠ 2 1 21,∠ 3232,, ∠n+1 n n+1n,则A BBB=BA A B A BB =θ A B B =θ A BB =θ(1) θ1=;(2)θn=.8.如图 , ∠BAF, ∠CBD,∠ACE是△ABC的三个外角.你能猜想这三个角的和等于多少度吗?并证明你的结论 .9.已知 , 如图 , ∠ACE是△ABC的一个外角 , ∠ABC的均分线与∠ACE的均分线交于点D, 若∠A=80°, 求∠D的度数 .创新应用10.阅读理解如图①, △中, 沿∠的均分线AB折叠 , 剪掉重叠部分 ; 将余下部分沿∠BA C的均分线111A1B2折叠,剪掉重叠部分将余下部分沿∠B n A n C的均分线A nB n+1折叠 , 点B n与点C重合.不论折叠多少次 , 只需最后一次恰巧重合, 我们就称∠BAC是△ABC的好角.小丽展现了确立∠ BAC是△ ABC的好角的两种情况 . 情况一:如图②,沿等腰三角形 ABC顶角∠BAC的均分线 AB1折叠,点 B 与点 C重合;情况二:如图③,沿△ ABC的∠ BAC的均分线 AB1折叠,剪掉重叠部分 ; 将余下的部分沿∠B1A1C的均分线A1B2折叠 , 此时点B1与点C重合.研究发现(1) △ABC中 , ∠B=2∠C, 经过两次折叠, ∠BAC是否是△ABC的好角 ?( 填“是”或“不是”).(2)小丽经过三次折叠发现了∠ BAC是△ ABC的好角,请研究∠ B 与∠ C(不如设∠ B>∠ C)之间的等量关系 .依据以上内容猜想: 若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角 , 则∠B与∠C( 不如设∠B>∠C) 之间的等量关系为.应用提高(3) 小丽找到一个三角形, 三个角分别为15°,60 °,105 °, 发现60°和 105°的两个角都是此三角形的好角 .请你达成 , 假如一个三角形的最小角是 4°, 试求出三角形此外两个角的度数 , 使该三角形的三个角均是此三角形的好角 .答案：能力提高1. B把图中的线适合延伸, 如图.∵∠ 1=65°, ∠ 2=140°( 已知 ),∴∠ 4=75°( 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和) .又 a∥b(已知),∴∠ 3=180° - ∠4=180° - 75° =105°( 两直线平行, 同旁内角互补 ) .2. B3. A 如图 , ∵∠ 2=90° - 30° =60°( 余角的定义 ),∴∠ 1=∠ 2- 45° =15°( 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和) .∴∠ α=180° - ∠ 1=165°( 补角的定义 ) .4. B 设 a , b 订交所成的锐角为 α, 则∠ α=100° - 70° =30° .5. 80°∵∠ A=30°, ∠ B=50°( 已知 ),∴∠ ACD=∠ A+∠B=30° +50° =80°( 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 ) .6. 50° 70°∠ 2=∠ FEC+∠ C=∠ 1+∠ C=30° +20° =50° . ∴∠ A=180° - ∠ B-∠ 2=180° - 50° -60° =70° .180° + ??(2??- 1) ·180° + ??180° - ??7. (1)2(2)2??由等腰三角形的性质 , 可解得∠ OA 1B 1=2 , 再依据三角形外角180° + ??3×180° + ??7×180° + ??(2??- 1) ·180° + ??和定理 , 得 θ1=2. 同理 , 可推得 θ 2=22, θ 3=23, ,θn =2??.8. 解 ∠ BAF+∠ CBD+∠ACE=360° . 证明以下 :∵∠ BAF=∠ 2+∠3, ∠ CBD=∠ 1+∠ 3, ∠ACE=∠ 1+∠ 2( 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 ),∴∠ BAF+∠ CBD+∠ ACE=2( ∠ 1+∠ 2+∠3)( 等式的性质 ) .∵∠ 1+∠ 2+∠ 3=180°( 三角形内角和定理 ),∴∠ BAF+∠ CBD+∠ ACE=2×180° =360°( 等量代换 ) .9. 解 ∵BD 是∠ ABC 的均分线 ( 已知 ),1∴∠ DBC=∠ABC (角均分线的定义) .2∵CD 是∠ ACE 的均分线 ( 已知 ),1∴∠ DCE=∠ACE (角均分线的定义) .2∵∠ ACE 是△ ABC 的外角 , ∠ DCE 是△ BCD 的外角 ( 外角的定义 ),1 1 1 1 1 ∴∠ D=∠ DCE-∠DBC=∠ ACE- ∠ ABC=( ∠ ACE-∠ ABC ) = ∠ A= ×80° =40°( 三角形的一个外角等22222于和它不相邻的两个内角的和 ) .创新应用10. 解 (1)是(2) ∵经过三次折叠∠ BAC 是△ ABC 的好角 ,∴第三次折叠的∠ A 2B 2C=∠ C.以下图 .∵∠ ABB 1=∠ AA 1B 1, ∠ AA 1B 1=∠ A 1B 1C+∠ C ( 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 ),又∠ A 1B 1C=∠ A 1A 2B 2, ∠ A 1A 2B 2=∠ A 2 B 2C+∠ C ( 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 ),∴∠ ABB 1=∠ A 1B 1C+∠ C=∠ A 2B 2C+∠C+∠ C=3∠C ( 等量代换 ) .∠ ∠ C 由上边的研究发现 , 若∠ 是△的好角 , 折叠一次重合 , 有∠ ∠ ; 折叠二次 B=n BAC ABC B= C重合,有∠ 2∠ ; 折叠三次重合 , 有∠ 3∠ 由此可猜想若经过 n 次折叠∠ 是△ 的好B= CB= CBAC ABC角, 则∠ B=n ∠ C.(3) ∵最小角 4°是△ ABC 的好角 , ∴依据好角定义 , 则可设此外两角的度数分别为 4m °,4 mn °( 此中 m , n 都是正整数 ) .由题意 , 得 4m+4mn+4=180,∴m ( n+1) =44.∵m , n 都是正整数 , ∴m 与 n+1 是 44 的整数因子 , 所以有 m=1, n+1=44; m=2, n+1=22; m=4, n+1=11; m=11, n+1=4; m=22, n+1=2.∴m=1, n=43; m=2, n=21; m=4, n=10; m=11, n=3; m=22, n=1.∴4m=4,4 mn=172;4 m=8,4 mn=168;4 m=16,4 mn=160;4 m=44,4 mn=132;4 m=88,4 mn=88.∴该三角形的此外两个角的度数分别为4°,172 °;8 °,168 °;16 °,160 °;44 °,132 °;88 °,88 °.。

八年级数学上册第七章平行线的证明题型特训三角形内外角关系应用的六种常见题型新版

4．如图，点E在AC上，点F在AB上，BE，CF交于点O，且 ∠C＝2∠B，∠BFC比∠BEC大20°.求∠C的度数．
解：由三角形外角的性质，得∠BFC＝∠A＋∠C， ∠BEC＝∠A＋∠B. ∵∠BFC比∠BEC大20°， ∴(∠A＋∠C)－(∠A＋∠B)＝20°，即∠C－∠B＝20°. ∵∠C＝2∠B，∴∠B＝20°.∴∠C＝40°.
所以∠BAC＝180°－∠B－∠C.
因为AE平分∠BAC，
所以∠BAE＝ 1 ∠BAC＝－ 1(∠B＋∠C2)．
1 2
(180°－∠B－∠C)＝90°
2
因为 AD⊥BC，所以∠ADE＝90°.
所以∠BAD＝90°－∠B，所以∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝90°－12(∠B＋∠C)－(90°－∠B) ＝12(∠B－∠C)．因为∠B－∠C＝40°，所以∠DAE＝12×40°＝20°.
因为AE平分∠BAC，所以∠BAE＝
1 2
∠BAC＝40°，
所以∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝40°－20°＝20°.
(2)探究：小明认为如果条件∠B＝70°，∠C＝30°改成
∠B－∠C＝40°，也能得出∠DAE的度数，你认为能吗？
若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．解：能．因为∠B＋∠C＋∠BAC＝180°.
(2)若∠B＝50°，∠CAD∶∠E＝1∶3，求∠E的度数．
解：设∠CAD＝x，则∠E＝3x. 由(1)知∠EAC＝∠B＝50°， ∴∠EDA＝∠EAD＝x＋50°. 在△EAD中，∵∠E＋∠EAD＋∠EDA＝180°， ∴3x＋2(x＋50°)＝180°，解得x＝16°. ∴3x＝48°，即∠E＝48°.
(3)设∠B＝α，∠C＝β(α>β)，请用含α，β的式子表示∠DAE 的度数(直接写出结论)．

八年级数学第七章平行线的证明 7.5 三角形内角和定理 1 三角形内角和定理的证明同步练习

第七章平行线的证明
三角形内角和定理 5
(nèi jiǎo)
12/10/2021
第一页，共二十三页。
第七章
平行线的证明(zhèngmíng)
第1课时三角形内角和定理(dìnglǐ)
的证明
A 知识要点分类练
B 规律方法综合练
12/10/2021
C 拓广探究创新练
第二页，共二十三页。
第1课时(kèshí) 三角形内角和定理的证明
直角三角形．故选 B.
12/10/2021
第三页，共二十三页。
第1课时(kèshí) 三角形内角和定理的证明
2．2017·株洲如图 7－5－1，在△ABC 中，∠BAC＝x，∠B＝2x，∠
C＝3x，则∠BAD＝( B )
A．145°
B．150°
C．155°
D．160°
图 7－5－1
[解析] 在△ABC 中，因为∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，∠BAC＝x，∠B ＝2x，∠C＝3x，所以 6x＝180°，所以 x＝30°，所以∠BAC＝30°，所以 ∠BAD＝180°－30°＝150°.故选 B.
12/10/2021 所以∠G＝180°－(∠GEF＋∠EFG)＝180°－90°＝90°，即 EG⊥FG.
第十四页，共二十三页。
第1课时(kèshí) 三角形内角和定理的证明
12．如图 7－5－8 所示，在△ABC 中，已知∠C>∠B，AD⊥BC 于
1
点
D，AE
平分∠BAC，判断∠EAD
1
与2(∠C－∠B)的关系，并说明理由．
5．2016·宁波如图 7－5－4，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD∥
AB，∠ACD＝40°，则∠B 的度数为( B )

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专题训练(十二) 三角形内角和与外角的综合运用
(本专题的部分习题有难度，请根据实际情况选做)
1．如图是一块三角形木板的残余部分，量得∠A＝100°，∠B＝40°，这块三角形木板另外一个角∠C的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°
2．(广西中考)如图，△AB C中，∠A＝40°，点D为AB延长线上一点，且∠CBD＝120°，则∠C＝（）A．40°B．60°C．80°D．100°
3．(威海中考)直线l1∥l2，一块含45°角的直角三角板如图放置，∠1＝85°，则∠2＝________.
4．如图，已知AE∥BD，∠1＝130°，∠2＝30°，则∠C＝________度．
5．如图所示．平面上六个点A、B、C、D、E、F构成一个封闭折线图形．求：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F.
6．如图所示，已知AB∥CD，DE与BF相交于点E，试探究∠3与∠1、∠2之间的等量关系，并证明你的结论．
7．如图，△ABC中，延长BC到D，∠ABC和∠ACD的平分线相交于点P，爱动脑筋的晓敏同学在写作业时，发现如下规律：
(1)若∠A＝50°，则∠P＝25°；
(2)若∠A＝60°，则∠P＝30°；
(3)若∠A＝70°，则∠P＝35°；
(4)根据上述规律，若∠A ＝100°，则∠P ＝________；
(5)请你用数学表达式归纳出∠P 与∠A 的关系：________________；
(6)请说明你的结论正确的理由．
参考答案
1．B 2.C 3.40° 4.20
5.根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴∠A ＋∠B ＝∠3，∠C ＋∠D ＝∠1，∠E ＋∠F ＝∠2.
又∵∠1、∠2、∠3是一个三角形的三个外角，
∴(180°－∠1)＋(180°－∠2)＋(180°－∠3)＝180°. ∴∠1＋∠2＋∠3＝360°.
∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝360°.
6.∠1＋∠2＝∠3＋180°. 证明：连接BD ，∵∠3是△BDE 的外角，
∴∠3＝∠BDE ＋∠D BE.
∵AB ∥CD ，
∴∠ABD ＋∠CDB ＝180°.
∴∠1＋∠2＝∠ABD ＋∠DBE ＋∠CDB ＋∠BDE ＝180°＋∠3.
7.(4)50° (5)∠P ＝12
∠A (6)∵∠ACD ＝∠ACP ＋∠PCD ＝∠A ＋∠ABC ，又∵∠ACP ＝∠PCD ，∠ABP ＝∠PBC ，∴2∠PCD ＝∠A ＋2∠PBC.∵∠PCD ＝∠P ＋∠PBC ，∴2(∠P ＋∠PBC)＝∠A ＋2∠PBC.∴∠P ＝12
∠A.。