第十三讲 反比例函数
2014中考总复习第13讲反比例函数
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5 1. (2013·兰州)当 x>0 时, 函数 y=- x 的图象在(
)
A. 第四象限 C. 第二象限
B. 第三象限 D. 第一象限
5 【解析】 ∵函数 y=- x 中 k=-5<0, ∴其图象位于第二、四象限, 当 x>0 时, 其图
象位于第四象限. 【答案】 A
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∵O E =2, ∴C E =3, ∴点 C 的坐标是( -2, 3) .
6 ∴k=-2× 3=-6, ∴y=- x .
( 2) 设直线 AB 的解析式为 y=kx+b( k≠0) .
1 k b 2 2 则 4k b 0 , 解得 . b 2
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一、反比例函数的有关概念 1. 反比例函数的定义: 形如 y= 量, y是 x的函数. 2. 反比例函数的解析式的三种形式: ( 1) y= 0, k为常数) . ( k≠0, k为常数) ; ( 2) y= ( k≠0, k为常数) ; ( 3) xy=k( k≠ ( k≠0, k为常数) 的函数叫做反比例函数, 其中 x是自变
BD 1 1 1 ∴ OD = 3 , BD = 4 BO . 又∵S△AB O =1, ∴ 2 B D ·B A=1, 8 ∴B O ·B A=8. 设 A 点坐标为 A ( x, y) , 由 xy=8, 得 y= x . 8 【答案】y= x ( x>0)
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k
.
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第13讲反比例函数
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第13讲 反比例函数
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考点一反比例函数的定义
一般地，函数 y＝
k x
(或写成 y＝kx－1)(k 是常数，k≠0)叫做反比例函数．
反比例函数解析式可以写成 xy＝k(k≠0)，它表明在反比例函数中自变量 x 与其对应
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2．反比例函数的图象和性质 反比例函数 y＝kx(k≠0)的图象总是关于原点对称的，它的位置和性质受 k 的符号的影响.
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考点三反比例函数解析式的确定 由于反比例函数的关系式中只有一个待定系数，因此只需已知一组对应值就可以． 待定系数法求解析式的步骤： (1)设出含有待定系数的函数解析式； (2)把已知条件代入解析式，得到关于待定系数的方程； (3)解方程求出待定系数，从而确定解析式．
(2)D 将(－1，－2)代入反比例函数的解析式得－2＝k－－11，解得 k＝3，故选 D. (3)A 由函数关系式可知－(k2＋1)<0，即图象位于第二、四象限，且在每个象限内，y 随 x 的增大而增大，而(2，y1)，( 5，y2)都位于第四象限，2< 5，所以 y1<y2，故选 A. (4)(2，－1) 反比例函数及正比例函数图象都是关于原点对称的中心对称图象，故其交 点也关于原点中心对称，所以点 B 的坐标为(2，－1)．
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例 2 (2012·河南)如图，点 A，B 在反比例函数 y＝kx(k>0，x>0)的图象上，过点 A，B 作 x 轴的垂线，垂足分别为 M，N，延长线段 AB 交 x 轴于点 C，若 OM＝MN＝NC，△AOC 的 面积为 6，则 k 的值为____________．
第十三讲反比例函数详解
第十三讲 反比例函数第一部分 知识梳理一、反比例函数的解析式1．反比例函数的概念一般地，函数xky =（k 是常数，k ≠0）叫做反比例函数。
反比例函数的解析式也可以写成1-=kx y 的形式。
自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。
2．反比例函数解析式的确定 由于在反比例函数xky =中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式。
二、反比例函数的图像及性质1．反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线，有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。
由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
2．反比例函数的性质3．反比例函数中反比例系数的几何意义(如图)面积为k 。
连接该点和原点，所得三三角形（如图）的面积m 的值D ．21-〖选题意图〗对于反比例函数)0(≠=k xky 。
由于11-=x x ，所以反比例函数也可以写成1-=x y （k 是常数，k ≠0）的形式，有时也以xy=k （k 是常数，k ≠0）的形式出现。
（1）k ＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k ＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．本题需要理解好反比例函数定义中的系数和指数，同时需要掌握反比例函数的性质，这样才能防止漏解或多解。
〖解题思路〗根据反比例函数的定义m 2﹣5=﹣1，又图象在第二、四象限，所以m+1＜0，两式联立方程组求解即可．〖参考答案〗解：∵函数()521-+=m xm y 是反比例函数，且图象在第二、四象限内，∴⎩⎨⎧+-=-01152＜m m ，解得m =±2且m ＜﹣1，∴m =﹣2．故选B ．【课堂训练题】1．已知y=y 1+y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x ﹣2成反比例，且当x =1时，y =﹣1；当x=3时，y=5．求y 与x 的函数关系式． 〖难度分级〗A 类〖参考答案〗解：设y 1=k 1x （k 1≠0），y 2=错误！未找到引用源。
第十三讲 反比例函数 一元二次方程知识回顾
第十三讲反比例函数【基础知识回顾】一、反比例函数的概念：一般地：函数y （k是常数，k≠0）叫做反比例函数【名师提醒：1、在反比例函数关系式中：k≠0、x≠0、y≠02、反比例函数的另一种表达式为y=（k是常数，k≠0）3、反比例函数解析式可写成xy= k（k≠0）它表明反比例函数中自变量x与其对应函数值y之积，总等于】二、反比例函数的图象和性质：1、反比例函数y=kx（k≠0）的图象是，它有两个分支，关于对称2、反比例函数y=kx（k≠0）当k>0时它的图象位于象限，在每一个象限内y随x的增大而当k<0时，它的图象位于象限，在每一个象限内，y随x的增大而【名师提醒：1、在反比例函数y=kx中，因为x≠0，y≠0所以双曲线与坐标轴无限接近，但永不与x轴y轴2、在反比例函数y随x的变化情况中一定注明在每一个象限内】3、反比例函数中比例系数k的几何意义：双曲线y=kx（k≠0）上任意一点向两坐标轴作垂线两垂线与坐标轴围成的矩形面积为，即如图：S矩形ABOC=S△AOB=【名师提醒：k的几何意义往常与前边提示中所谈到的xy=k联系起来理解和应用】三、反比例函数解析式的确定因为反比例函数y=kx（k≠0）中只有一个待定系数所以求反比例函数关系式只需知道一组对应的x、y值或一个点的坐标即可，步骤同一次函数解析式的求法一、反比例函数的应用解反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，这里要特别注意自变量的一元二次方程总复习考点1：一元二次方程的概念一、一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方程．二、一般形式：ax2＋bx+c=0(a ≠0）。
注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。
考点2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a ）²=b （b ≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。
中考总复习数学13-第一部分 第13讲 反比例函数及其应用
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第13讲 反比例函数及其应用— 考点梳理
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续表
在每个象限内,y随x的增大
增减性
而⑤ 减小
对称性
是轴对称图形,对称轴为直线y=⑦
⑧ 原点O
在每个象限内,y随x的增大
而⑥增大
±x
; 是中心对称图形,对称中心是
图象由分别位于两个象限的双曲线组成,图象无限接近坐标轴,但不与
图象特征
坐标轴相交.
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考点 4 反比例函数的应用
1.判断同一坐标系中反比例函数图象和一次函数图象的方法
(假设法)假设反比例函数正确,即可确定 k的取值范围,再根据 k 的取值范围
确定一次函数图象,无矛盾,则正确.
2.已知两个函数图象,求交点坐标
(1)求一次函数图象与反比例函数图象的交点,将两个函数解析式联立方程组
位置关系,依据图象在上方的函数值总比图象在下方的函数值大 ,在各区域
内找对应的x的取值范围.
4.求图形面积
(1)当图形有一边在坐标轴上时,通常将坐标
轴上的边作为底边,再利用点的坐标求出底边上的高,最后用面积公式求解.
(2)当图形三边都不在坐标轴上时,一般用“割补法”.
第13讲 反比例函数及其应用— 考点梳理
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2.与反比例函数中k的几何意义有关的面积计算
S△AOP=⑩
S△APP‘=
|k|
2|k|
S△OBP= |k|
S△ABC=
|k|
S矩形OAPB=|k|
S▱ABCD=
|k|
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第十三讲反比例函数详解
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
反比例函数定义
形如$y = frac{k}{x}$（$k$为常 数且$k neq 0$）的函数称为反
比例函数。
反比例函数图象
反比例函数的图象是双曲线，当 $k > 0$时，图象位于第一、三 象限；当$k < 0$时，图象位于
解得$x$无实数解，说明一元反比例函数在其定义域内无极值。 • 例题二：求二元反比例函数$f(x,y) = \frac{1}{xy}$在条件$x+y=1$下的
极小值。 • 解题思路：引入拉格朗日乘数$\lambda$，构造拉格朗日函数
$L(x,y,\lambda) = \frac{1}{xy} + \lambda(x+y-1)$，然后分别求偏导 数并令偏导数等于零，解得可能的极值点。最后结合约束条件和函数的 性质判断极值点的真假及极小值的大小。
分析
同样根据反比例函数的性质，我们知 道在$(-infty, 0)$区间内，函数是单调 减少的。因此，在子区间$(-2, -1)$内 ，函数也是单调减少的。
04
反比例函数极值问题求解策 略
极值存在条件及求解方法
极值存在条件
对于一元反比例函数，其极值存在的条件是一阶导数等于零且二阶导数不为零；对于多元反比例函数，极值存在 的条件是其偏导数等于零且二阶偏导数矩阵（Hessian矩阵）正定或负定。
判断反比例函数$f(x)
=
frac{1}{x}$在区间$(1, 2)$内的单
调性。
分析
根据反比例函数的性质，我们知 道在$(0, +infty)$区间内，函数 是单调减少的。因此，在子区间 $(1, 2)$内，函数同样单调减少。
第十三讲 反比例函数
第十三讲 反比例函数考点综述：反比例函数也是中考重点考查的内容之一，它要求考生能结合具体情境体会反比例函数的意义，根据已知条件确定反比例函数的关系式；会画反比例函数的图象，并能根据图象和关系式探索其性质；能用反比例函数解决实际问题。
中考课标要求考点精析考点1 反比例函数（1）反比例函数的概念：一般地，形如xk y =（k 为常数，0≠k ）的函数叫做反比例函数，其中x 是自变量，y 是x 的函数，k 是比例系数。
注意：反比例函数也可以写成1-=kx y 和k xy =的形式。
（2）反比例函数的特征①自变量x 位于分母上，且其次数是1； ②常量0≠k ；③自变量x 的取值范围是0≠x 的一切实数； ④函数值y 的取值范围是非0实数。
考点2 反比例函数的图像与性质 （1）反比例函数的图像：反比例函数xk y =（k 为常数，0≠k ）的图像由两个分支组成，叫做双曲线；它的两个分支分别在第一、三或第二、四象限，这两个分支关于坐标原点成中心对称。
（2）反比例函数的性质①当0>k 时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内，y 随x 的增大而减小； ②当0<k 时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内，y 随x 的增大而增大。
注意：①由于双曲线在0=x 处是断开的，因此其性质强调在每一个象限内y 随x 的变化而变化的情况，整个图像没有这样的性质，使用时，必须分别在每一个象限内来研究函数值y 随x 的变化情况；②根据图像说出性质、根据性质大致画出图像及求解析式是一个难点，要逐步理解和掌握。
考点3 反比例函数解析式的确定：因为反比例函数的解析式xk y =中，只有一个待定系数k ，确定了k 的值，也就确定了反比例函数，因而一般只需要给出一组x 、y 的对应值或图像上一点的坐标，代入xk y =中即可求出k 的值，从而确定反比例函数的解析式。
考点4 反比例函数的应用在实际生活中，如何应用反比例函数只是解题，关键是建立反比例函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后再根据反比例函数的性质，综合方程、不等式、几何知识和图像求解。
中考数学专题复习第十三讲 反比例函数
中考数学专题复习第十三讲反比例函数【基础知识回顾】一、反比例函数的概念：一般地：互数y （k是常数，k≠0）叫做反比例函数【名师提醒：1、在反比例函数关系式中：k≠0、x≠0、y≠02、反比例函数的另一种表达式为y= （k是常数，k≠0）3、反比例函数解析式可写成xy= k（k≠0）它表明反比例函数中自变量x与其对应函数值y之积，总等于】二、反比例函数的同象和性质：1、反比例函数y=kx（k≠0）的同象是它有两个分支，关于对称2、反比例函数y=kx（k≠0）当k>0时它的同象位于象限，在每一个象限内y随x的增大而当k<0时，它的同象位于象限，在每一个象限内，y随x的增大而【名师提醒：1、在反比例函数y=kx中，因为x≠0，y≠0所以双曲线与坐标轴无限接近，但永不与x轴y轴2、在反比例函数y随x的变化情况中一定注明在每一个象限内】3、反比例函数中比例系数k的几何意义：反曲线y=kx（k≠0）上任意一点向两坐标轴作垂线→两线与坐标轴围成的形面积，即如图：AOBP=S△AOP=【名师提醒：k的几何意义往常与前边提示中所谈到的xy=k联系起来理解和应用】三、反比例函数解析式的确定因为反比例函数y=kx（k≠0）中只有一个被定系数所以求反比例函数关系式只需知道一组对应的x、y值或一个点的坐标即可，步骤同一次函数解析式的求法一、反比例函数的应用二、解反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用同象找出解决问题的方案，这里要特别注意自变量的【重点考点例析】考点一：反比例函数的同象和性质例1 （2012•张家界）当a≠0时，函数y=ax+1与函数ayx=在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．思路分析：分a＞0和a＜0两种情况讨论，分析出两函数图象所在象限，再在四个选项中找到正确图象．解：当a＞0时，y=ax+1过一、二、三象限，y=ayx=过一、三象限；当a＜0时，y=ax+1过一、二、四象限，y=ayx=过二、四象限；故选C．点评：本题考查了一次函数与二次函数的图象和性质，解题的关键是明确在同一a值的前提下图象能共存．例2 （2012•佳木斯）在平面直角坐标系中，反比例函数22a ayx-+ =图象的两个分支分别在（）A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、二象限D．第三、四象限思路分析：把a2-a+2配方并根据非负数的性质判断出是恒大于0的代数式，再根据反比例函数的性质解答．解：a2-a+2，=a2-a+14-14+2，=（a-12）2+7 4 ，∵（a-12）2≥0，∴（a-12）2+7 4 ＞0， ∴反比例函数图象的两个分支分别位于第一、三象限． 故选A ．点评：本题考查了反比例函数图象的性质，先判断出a 2-a+2的正负情况是解题的关键，对于反比例函数ky x=（k ≠0）：（1）k ＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k ＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．例3 （2012•台州）点（-1，y 1），（2，y 2），（3，y 3）均在函数6y x=的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A ．y 3＜y 2＜y 1B ．y 2＜y 3＜y 1C ．y 1＜y 2＜y 3D ．y 1＜y 3＜y 2 思路分析：先根据反比例函数的解析式判断出此函数图象所在的象限，再根据各点的坐标判断出各点所在的象限，根据函数图象在各象限内点的坐标特点解答． 解：∵函数6y x=中k=6＞0， ∴此函数的图象在一、三象限，且在每一象限内y 随x 的增大而减小， ∵-1＜0，∴点（-1，y 1）在第三象限， ∴y 1＜0， ∵0＜2＜3， ∴（2，y 2），（3，y 3）在第一象限， ∴y 2＞y 3＞0， ∴y 2＞y 3＞y 1． 故选D ． 点评：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，根据题意判断出函数图象所在象限是解答此题的关键．对应训练1．（2012•毕节地区）一次函数y=x+m （m ≠0）与反比例函数my x=的图象在同一平面直角坐标系中是（ ）A ．B ．C ．D ．1．C2．（2012•内江）函数1y x=的图象在（ ） A ．第一象限 B ．第一、三象限 C ．第二象限 D ．第二、四象限 2．A2x≥0，1x中x≠0，故x＞0，此时y＞0，则函数在第一象限．故选A．3．（2012•佛山）若A（x1，y1）和B（x2，y2）在反比例函数2yx=的图象上，且0＜x1＜x2，则y1与y2的大小关系是y1 y2．3．＞考点二：反比例函数解析式的确定例4 （2012•哈尔滨）如果反比例函数1kyx-=的图象经过点（-1，-2），则k的值是（）A．2 B．-2 C．-3 D．3思路分析：根据反比例函数图象上点的坐标特征，将（-1，-2）代入已知反比例函数的解析式，列出关于系数k的方程，通过解方程即可求得k的值．解答：解：根据题意，得-2=11k--，即2=k-1，解得k=3．故选D．点评：此题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．解答此题时，借用了“反比例函数图象上点的坐标特征”这一知识点．对应训练4．（2012•广元）已知关于x的方程（x+1）2+（x-b）2=2有唯一的实数解，且反比例函数1b yx+ =的图象在每个象限内y随x的增大而增大，那么反比例函数的关系式为（）A．3yx=-B．1yx=C．2yx=D．2yx=-4．D4．分析：关于x的方程（x+1）2+（x-b）2=2有唯一的实数解，则判别式等于0，据此即可求得b的值，然后根据反比例函数1byx+=的图象在每个象限内y随x的增大而增大，则比例系数1+b＜0，则b的值可以确定，从而确定函数的解析式．解：关于x的方程（x+1）2+（x-b）2=2化成一般形式是：2x2+（2-2b）x+（b2-1）=0，△=（2-2b）2-8（b2-1）=-4（b+3）（b-1）=0，解得：b=-3或1．∵反比例函数1byx+=的图象在每个象限内y随x的增大而增大，∴1+b＜0 ∴b＜-1，∴b=-3．则反比例函数的解析式是：y=13y x -=，即2y x=-． 故选D ．考点三：反比例函数k 的几何意义例5 （2012•铁岭）如图，点A 在双曲线4y x=上， 点B 在双曲线ky x=（k ≠0）上，AB ∥x 轴， 分别过点A 、B 向x 轴作垂线，垂足分别为D 、C ，若矩形ABCD 的面积是8，则k 的值为（ ） A ．12 B ．10 C ．8 D ．6思路分析：先根据反比例函数的图象在第一象限判断出k 的符号，再延长线段BA ，交y 轴于点E ，由于AB ∥x 轴，所以AE ⊥y 轴，故四边形AEOD 是矩形，由于点A 在双曲线4y x=上，所以S 矩形AEOD=4，同理可得S矩形OCBE=k ，由S矩形ABCD=S矩形OCBE-S矩形AEOD即可得出k的值．解：∵双曲线ky x=（k ≠0）上在第一象限， ∴k ＞0，延长线段BA ，交y 轴于点E ， ∵AB ∥x 轴， ∴AE ⊥y 轴，∴四边形AEOD 是矩形， ∵点A 在双曲线4y x=上， ∴S 矩形AEOD =4， 同理S 矩形OCBE =k ，∵S 矩形ABCD =S 矩形OCBE -S 矩形AEOD =k-4=8， ∴k=12． 故选A ．点评：本题考查的是反比例函数系数k 的几何意义，即反比例函数ky x=图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．对应训练5．（2012•株洲）如图，直线x=t（t＞0）与反比例函数21,y yx x-==的图象分别交于B、C两点，A为y轴上的任意一点，则△ABC的面积为（）A．3 B．3 2 tC．32D．不能确定5．C5．解：把x=t分别代入21,y yx x-==，得21,y yt t==-，所以B（t，2t）、C（t，1t-），所以BC=2t-（1t-）=3t．∵A为y轴上的任意一点，∴点A到直线BC的距离为t，∴△ABC的面积=133 22tt⨯⨯=．故选C．考点四：反比例函数与一次函数的综合运用例6 （2012•岳阳）如图，一次函数y1=x+1的图象与反比例函数22yx=的图象交于A、B 两点，过点作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AO、BO，下列说法正确的是（）A．点A和点B关于原点对称B．当x＜1时，y1＞y2C．S△AOC=S△BODD．当x＞0时，y1、y2都随x的增大而增大思路分析：求出两函数式组成的方程组的解，即可得出A、B的坐标，即可判断A；根据图象的特点即可判断B；根据A、B的坐标和三角形的面积公式求出另三角形的面积，即可判断C；根据图形的特点即可判断D．解：A、12y xyx=+⎧⎪⎨=⎪⎩①②，∵把①代入②得：x+1=2x，解得：x1=-2，x2=1，代入①得：y1=-1，y2=2，∴B（-2，-1），A（1，2），∴A、B不关于原点对称，故本选项错误；B、当-2＜x＜0或x＞1时，y1＞y2，故本选项错误；C、∵S△AOC=12×1×2=1，S△BOD=12×|-2|×|-1|=1，∴S△BOD=S△AOC，故本选项正确；D、当x＞0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小，故本选项错误；故选C．点评：本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题的应用，主要考查学生观察图象的能力，能把图象的特点和语言有机结合起来是解此题的关键，题目比较典型，是一道具有一定代表性的题目．对应训练6．（2012•达州）一次函数y1=kx+b（k≠0）与反比例函数y2=mx(m≠0)，在同一直角坐标系中的图象如图所示，若y1＞y2，则x的取值范围是（）A．-2＜x＜0或x＞1 B．x＜-2或0＜x＜1C．x＞1 D．-2＜x＜16．A6．解：由函数图象可知一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=mx(m≠0)的交点坐标为（1，4），（-2，-2），由函数图象可知，当-2＜x＜0或x＞1时，y1在y2的上方，∴当y1＞y2时x的取值范围是-2＜x＜0或x＞1．故选A．【聚焦山东中考】1．（2012•青岛）点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都是反比例函数3yx-=的图象上，若x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y2＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y31．A1．解：∵反比例函数y=-3 x 中，k=-3＜0，∴此函数图象在二四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，∵x1＜x2＜0＜x3，∴y3＜0，y3＜0＜y1＜y2，∴y3＜y1＜y2．故选A．2．（2012•菏泽）反比例函数2yx=的两个点（x1，y1）、（x2，y2），且x1＞x2，则下式关系成立的是（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1=y2D．不能确定2．D3．（2012•滨州）下列函数：①y=2x-1；②y=5x-；③y=x2+8x-2；④y=22x；⑤y=12x；⑥y=ax中，y是x的反比例函数的有（填序号）。
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第十三讲 反比例函数
【教材链接： 八（下）第十七章反比例函数】
【基础知识回顾】
一、 反比例函数的概念：
一般地：函数y （k 是常数，k≠0）叫做反比例函数 【名师提醒：1、在反比例函数关系式中：k≠0、x≠0、y≠0
2、反比例函数的另一种表达式为y= （k 是常数，k≠0）
3、反比例函数解析式可写成xy= k （k≠0）它表明反比例函数中自变量x 与其对应函数值y 之积，总等于 】 二、反比例函数的图象和性质：
1、反比例函数y=
k
x
（k≠0）的图象是 ，它有两个分支，关于 对称
2、反比例函数y=k
x
（k≠0）当k>0时它的图象位于 象限，在每一个象限内y 随x
的增大而 当k<0时，它的图象位于 象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而
【名师提醒：1、在反比例函数y=
k
x
中，因为x≠0，y≠0所以双曲线与坐标轴无限接近，但
永不与x 轴y 轴
2、在反比例函数y 随x 的变化情况中一定注明在每一个象限内】
3、反比例函数中比例系数k 的几何意义：
双曲线y=
k
x
（k≠0）上任意一点向两坐标轴作垂线
两垂线与坐标轴围成的矩形面积为 ，即如图：S 矩形ABOC = S △AOB =
【名师提醒：k 的几何意义往常与前边提示中所谈到的xy=k 联系起来理解和应用】 三、反比例函数解析式的确定
因为反比例函数y=k
x
（k≠0）中只有一个待定系数 所以求反比例函数关系式只需
知道一组对应的x 、y 值或一个点的坐标即可，步骤同一次函数解析式的求法 一、 反比例函数的应用
解反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，这里要特别注意自变量的
【重点考点例析】
是（）
A．B．C． D．
3
A．图象经过点（1，-3）
B．图象在第二、四象限
C．x＞0时，y随x的增大而增大
D．x＜0时，y随x增大而减小
对应训练
中的图象可能是（）
A． B． C．D．
m
A．①②B．②③C．③④D．①④
考点二：反比例函数解析式的确定
例4 （2015•哈尔滨）如果反比例函数
1
k
y
x
-
=的图象经过点（-1，-2），则k的值是（）
A．2 B．-2 C．-3 D．3 对应训练
4．（2015•广元）已知关于x的方程（x+1）2+（x-b）2=2有唯一的实数解，且反比例函数
1b y
x
+ =
的图象在每个象限内y随x的增大而增大，那么反比例函数的关系式为（）
A．
3
y
x
=-B．
1
y
x
=C．
2
y
x
=D．
2
y
x
=-
A．1 B．2 C．3 D．4
又∵M为矩形ABCO对角线的交点，
∴S矩形ABCO=4S□ONMG=4|k|，
对应训练
A．-2 B．2 C．4 D．-4
5．A
考点四：反比例函数与一次函数的综合运用
例6 （2015•岳阳）如图，一次函数y1=x+1的图象与反比例函数
22
y
x
=的图象交于A、B
两点，过点作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，
连接AO、BO，下列说法正确的是（）
A．点A和点B关于原点对称
B．当x＜1时，y1＞y2
C．S△AOC=S△BOD
D．当x＞0时，y1、y2都随x的增大而增大
思路分析：求出两函数式组成的方程组的解，即可得出A、B的坐标，即可判断A；根据图
象的特点即可判断
B；根据A、B的坐标和三角形的面积公式求出另三角形的面积，即可判断C；根据图形的特点即可判断D．
解：A、
1
2
y x
y
x
=+
⎧
⎪
⎨
=
⎪⎩
①
②
，
∵把①代入②得：x+1=2
x
，
解得：x1=-2，x2=1，
代入①得：y1=-1，y2=2，
∴B（-2，-1），A（1，2），
∴A、B不关于原点对称，故本选项错误；
B、当-2＜x＜0或x＞1时，y1＞y2，故本选项错误；
C、∵S△AOC=1
2
×1×2=1，S△BOD=
1
2
×|-2|×|-1|=1，
∴S△BOD=S△AOC，故本选项正确；
D、当x＞0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小，故本选项错误；
故选C．
点评：本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题的应用，主要考查学生观察图象的能力，能把图象的特点和语言有机结合起来是解此题的关键，题目比较典型，是一道具有一定代表性的题目．
对应训练
6．（2015•达州）一次函数y1=kx+b（k≠0）与反比例函数y2=m
x
(m≠0)，在同一直角坐标
系中的图象如图所示，若y1＞y2，则x的取值范围是（）A．-2＜x＜0或x＞1 B．x＜-2或0＜x＜1
C．x＞1 D．-2＜x＜1
【聚焦山东中考】
A．y=
x B．y=
x
C．y=
x
D．y=
2x
【备考真题过关】
x
A．B．C．D．
k
x
A．B．C．D．
A．m＜-2 B．m＜0 C．m＞-2 D．m＞0
A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限
A．y=
2x B．y=
x
C．y=
x
D．y=
4x
5．（2015•六盘水）下列图形中，阴影部分面积最小的是（）
A．B．C．D．二、填空题
AOB= ．
3k
15．（2015•张家界）如图，直线x=2与反比例函数y=2
x
和y=-
1
x
的图象分别交于A、B两点，若点P是
y轴上任意一点，则△PAB的面积是．。