第二章X射线运动学衍射理论

*
■
倒易点阵基本性质
两个基本性质 ： 1) r*垂直于正点阵中的HKL晶面 g HKL (HKL) 2) r*长度等于HKL晶面的晶面间距dHKL的倒数
g HKL
1 d HKL
从性质可看出，如果正点阵与倒易点阵具有 同一坐标原点，则正点阵中的一个晶面在倒易点 阵中只须一个阵点就可以表示，倒易阵点用它所 代表的晶面指数标定，正点阵中晶面取向和面间 距只须倒易矢量一个参量就能表示
■
推导过程：
假设该晶胞由n种原子组成，在某一 相同散射方向，各原子的散射因子为： f1 、f2 、f3 .fn（原子种类不同）； 那么散射振幅为：f1 Ae 、f2 Ae 、f3 Ae ...fn Ae ； 各原子与入射波的位相差为：Φ1 、 Φ2 、Φ3 ... Φn ；
晶胞顶点为坐标原点O,则任意一点A坐 标矢量为
FHKL
2
FHKL FHKL
n
*
= FHKL [ f j cos 2 ( HX j KY j LZ j )]2
4 2
-----偏振因数
■
1.
推导过程：
强度为I0且偏振化了的X射线作用于 一个电荷为e、质量为m的自由电子 上，那么在与电场方向为Φ的偏振方 向、距电子R处，散射强度Ie为：
e 2 sin Ie I0 2 4 mRC 0
2
2
2.
根据Φ与2间关系。则有：
即Aa＝f Ae 。
sin
其中f 是原子序数 Z和
散射强度：

的函数 。
I a Aa f I e
2 2
入射方向 f =Z,其它散射方向f <Z
三、一个单胞对X射线的散射
■
讨论对象及主要结论：
I FHKL I e
2
这里引入了FHKL ■ ■
――结构因子
推导过程 结构因子FHKL的讨论
bc ac ab a ;b ;c V V V

■ 倒易点阵参数
g HKL Ha * Kb Lc *
*
倒易矢量表示法： g HKL Ha Kb Lc
*
*
*
a b, c
*
平面 ，
b c bc sin a V V
*
b a,c平面
2a

正空间的一个晶面对应倒易空间的一个矢量 正空间中平行于同一晶带轴的一组晶面 对应倒易空间中同一倒易面内一组矢量 正点阵与倒易点阵互为倒易，即正点阵 的倒易是倒易点阵，倒易点阵的倒易点阵是 正点阵

§2.3 X射线衍射强度
引言 单位晶胞对X射线的散射与结构因数 洛伦兹因数 影响衍射强度的其他因数 多晶体衍射积分强度公式
d
1 (h 2 k 2 ) / a 2 (l / c) 2
d
d
a h2 k 2 l 2
1 4 2 (h hk k 2 ) / a 2 (l / c) 2 3
◆衍射方向和晶体结构的关系
从布拉格方程可以看出，在波长一定的情况 下，衍射线的方向是晶面间距d的函数。如果将 各晶系的d值代入布拉格方程，可得：
一、一个电子对X射线的散射

讨论对象及结论： 一束X射线沿OX方向传播，O点碰到电 子发生散射，那么距O点距离OP＝R、 OX与OP夹2角的P点的散射强度为：
2 2
1 cos2 2 e ----汤姆逊公式 Ie I0 2 4 mRC 2 0
公式讨论 推导过程
OA r j X j a Y j b Z j c 波程差为 j r j k 'r j k r j (k 'k )
相差为
i 2 ( HX i KYi LZ i )
则该晶胞的散射振幅为这n种原子叠加：
Ab Ae f j e
j 1
n
i j
立方晶系：
Sin2
2
2
2
4a 2
( H 2 K 2 L2）
2 2 2
正方晶系：
斜方晶系：
H K L Sin ( 2） 2 4 a c 2 H 2 K 2 L2 Sin2 ( 2 2 2 ） 4 a b c

由此可见，布拉格方程可以反映出晶体结构 中晶胞大小及形状的变化，但是并未反映出晶胞 中原子的品种和位置。
晶体可看成由平行的原子面组成,晶体的 衍射线看成是各原子面的散射线相互干涉而 成, 结果大部分方向被抵消,一些方向得到加 强成为晶体衍射线.每一衍射方向相当于某 对应晶面的反射方向. 单一原子面的反射方向(上述H、K=0)光 程差为零,各原子散射线相互加强.一组平行 晶面构成晶体的衍射线则是各原子面的反射 线干涉加强的结果.以相邻原子面散射线为 例.
引入结构参数 ：
FHKL
n Ab i j f j e Ae j 1
可知晶胞中（H K L）晶面的衍射强度
I a FHKL
2
Ie
■
结构因子FHKL 的讨论
1. 结构因子计算式 2. 衍射的充分条件 3. 系统消光 点阵消光 结构消光 4. 点阵消光规律
1. 结构因子计算式
a1 (a 2 a3 ) a
1 b2 y a
可推得倒晶格之原始平移向量
1 b1 x a
1 b3 z a
所以简单立方晶体的倒晶格原始平移向量同 样为简单立方晶体，但是晶格常数为 1 。
a
面心立方晶体 面心立方晶体的原始平移向量可以写成下列 三项

a a1 ( y z ) 2

2.3.1 引言
一.衍射方向-----布拉格方程
单晶(HKL)晶面的衍射线为晶面反射线.底片记 录为一黑斑点. 单晶体衍射花样为参加衍射的晶 面衍射线的集合 多晶(HKL)晶面衍射线构成以入射线为轴线,4θ 为顶角的圆锥表面. 在垂直于入射线的平底片上 所记录的衍射花样为一组同心圆 布拉格方程反映了晶体衍射方向特征,即晶体结 构特征.但不能反映晶体内原子的排列及原子的 种类等 .

晶体中各 原子散射波之间的干涉结果。只是由于衍射线 的方向恰好相当于某原子面对入射线的反射， 所以借用镜面反射规律来描述衍射几何。 但是X射线的原子面反射和可见光的镜面 反射不同。一束可见光以任意角度投射到镜面 上都可以产生反射，而原子面对X射线的反射 并不是任意的，只有当、、d三者之间满足 布拉格方程时才能发生反射，所以把X射线这 种反射称为选择反射。
*
c a, b 平面
*
*
a b ab sin c V V
*
c a ca sin b V V
*
cos cos cos cos sin sin
cos cos cos cos sin sin
*
cos cos cos cos sin sin

■ 公式讨论：
可见一束X射线经电子散射后，其散 射强度在各个方向上是不同的：沿原X射 线方向上散射强度（2＝0或2＝π时）比 垂直原入射方向的强度（2＝π/2时）大 一倍。 Ie随2变化，各方向强度不等，称之 为偏振性。 入射方向（2＝0），散射强 度最大。
e 1 cos 2 I p I0 2 4 mC 2
◆干涉面和干涉指数
将布拉格方程中的n隐含在d中得到简化的 布拉格方程：
d hkl d hkl 2 Sin , 令d HKL n n 则有： HKL Sin 2d
把（hkl）晶面的n级反射看成为与（hkl） 晶面平行、面间距为(nh,nk,nl) 的晶面的一级 反射。面间距为dHKL的晶面并不一定是晶体中 的原子面，而是为了简化布拉格方程所引入的 反射面，我们把这样的反射面称为干涉面。干 涉面的面指数称为干涉指数HKL。
根据图示，干涉加强的条 件是：
2dSin n
式中：n为整数，称为反射 级数； 为入射线或反射线 与反射面的夹角，称为 掠射角，由于它等于入 射线与衍射线夹角的一 半，故又称为半衍射角， 把2 称为衍射角。
线反 射 面 法


§2.1.2 布拉格方程的讨论
选择反射 产生衍射的极限 条件 干涉面和干涉指 数 衍射花样和晶体 结构的关系
§2.1.3布拉格方程的应用
布拉格 2d Sin 方程的两种 用途：
1）结构分析：已知波长的特征X 射线，通过测量 角,计算晶面间 距d
2）X射线光谱学：已知晶面间距d 的晶体，通过测量 角,计算未知 X射线的波长
§2.2 倒易点阵
倒易点阵：在晶体点阵的基础上按一定对应
关系建立起来的空间几何图形，是晶体点阵 的另一种表达形式。
把面间距为d’的（hkl）晶面的n级反射看成 为面间距为 d d’ 的 (nh,nk,nl) 晶面的 n 一级反射。
简单点阵的晶面间距公式
晶系
正交晶系 四方晶系 立方晶系 六方晶系
公式
cos2 cos2 cos2 1
d2 d2 d2 1 (a / h) 2 (b / k ) 2 (c / l ) 2 1 d 2 (h / a) (k / b) 2 (l / c) 2
第一篇 X射线衍射
第二章 X射线运动学衍射理论
◆布拉格方程 ◆倒易点阵 ◆X射线衍射强度
◆单位点阵(单胞):
反映空间点阵中阵点周期性排列规律的最小
§2.1 布拉格方程

布拉格方程的导出

布拉格方程的讨论
布拉格方程的应用

§2.1.1布拉格方程的导出
■ X射线在单原子面上的镜面反射
■ 晶体中平行原子面对X射线的衍射

二.衍射强度-----衍射线特征 晶面衍射线强度取决于晶体内原子数量、 种类、排列位置.反过来, 测出衍射线强 度可分析原子种类(物相定性分析)、原子 排列分布(物相定量分析)以及内应力等。