2014理科数学一轮复习学案 导数的应用
2014届高考数学一轮复习方案 第14讲 导数的应用(一)课时作业 新人教B版
课时作业(十四)A [第14讲 导数的应用(一)](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．函数f (x )＝x ＋eln x 的单调递增区间为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0)C ．(－∞，0)和(0，＋∞)D ．R2．[2012·济宁质检] 函数f (x )＝ax 3＋x ＋1有极值的充要条件是( ) A ．a ≥0 B ． a >0 C ．a ≤0 D ．a <03．设a ∈R ，若函数y ＝e x＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则( ) A ．a <－1 B ．a >－1 C ．a ≥－1e D ．a <－1e4．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值． 能力提升5．函数f (x )＝e x＋e －x在(0，＋∞)上( ) A ．有极大值 B ．有极小值 C ．是增函数 D ．是减函数 6．[2012·合肥三检]图K14－1函数f (x )的图象如图K14－1所示，则不等式(x ＋3)f ′(x )<0的解集为( ) A ．(1，＋∞) B ．(－∞，－3)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(－1，1)7．[2012·西安模拟] 若函数f (x )＝x 3－12x 在区间 (k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A ．k ≤－3或－1≤k ≤1或k ≥3B ．－3<k <－1或1<k <3C ．－2<k <2D ．不存在这样的实数8．[2012·阜新高中月考] 已知f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调增函数，则a 的最大值是( )A ．0B ．1C ．2D ．39．[2012·陕西卷] 设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点10．若函数f (x )＝x 3－px 2＋2m 2－m ＋1在区间(－2，0)内单调递减，在区间(－∞，－2)及 (0，＋∞)内单调递增，则p 的取值集合是________．11．已知函数f (x )是R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f ′(x )＞0，若f (－1)＝0，那么关于x 的不等式xf (x )＜0的解集是________________．12．[2012·盐城一模] 函数f (x )＝(x 2＋x ＋1)e x(x ∈R )的单调减区间为________． 13．已知函数f (x )＝13x 3－bx 2＋c (b ，c 为常数)，当x ＝2时，函数f (x )取极值，则b＝________；若函数f (x )存在三个不同零点，则实数c 的取值范围是________．14．(10分)已知函数f (x )＝4x 3＋3tx 2－6t 2x ＋t －1，x ∈R ，其中t ∈R . (1)当t ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)当t >0时，求f (x )的单调区间．15．(13分)已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1时取得极值，且f (1)＝－1. (1)试求常数a ，b ，c 的值；(2)试判断x ＝±1是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由．难点突破16．(12分)[2013·大连期中测试] 已知函数f (x )＝ax －1－ln x (a ∈R )． (1)讨论函数f (x )在定义域内的极值点的个数；(2)若函数f (x )在x ＝1处取得极值，且对∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≥bx －2恒成立，求实数b 的取值范围；(3)当0<x <y <e 2且x ≠e 时，试比较y x 与1－ln y 1－ln x的大小．课时作业(十四)B [第14讲 导数的应用(一)](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1，2)B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞)C ．(－3，6)D ． (－∞，－1)∪(2，＋∞)2．函数y ＝ax 3－x 在R 上是减函数，则( ) A ．a ＝13 B ．a ＝1C ．a ＝2D ．a ≤0 3．函数f (x )＝xln x在区间(0，1)上( ) A ．是减函数 B ．是增函数 C ．有极小值 D ．有极大值4．已知曲线y ＝x 2－1在x ＝x 0处的切线与曲线y ＝1－x 3在x ＝x 0处的切线互相平行，则x 0的值为________．能力提升5．[2012·莱州一中二检] 已知对任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )>0，则x <0时( )A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0C ．f ′(x )<0，g ′(x )>0D ．f ′(x )<0，g ′(x )<06．若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．97．[2012·辽宁卷] 函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(－1，1]B ．(0，1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)8．[2012·自贡三诊] 设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图K14－2所示，则其导函数y ＝f ′(x )的图象可能为( )图K14－2图K14－39．[2013·如皋中学阶段练习] 已知曲线y ＝(a －3)x 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则a 的取值范围为( )A ．a <3B ．a >3C ．a ≤3D ．a ≥3 10．函数f (x )＝x ln x 的单调递增区间是________________________________________________________________________．11．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________．12．直线y ＝a 与函数f (x )＝x 3－3x 的图象有相异的三个公共点，则a 的取值范围是________．图K14－413．如图K14－4是y ＝f (x )的导函数的图象，现有四种说法： ①f (x )在(－3，－1)上是增函数； ②x ＝－1是f (x )的极小值点；③f (x )在(2，4)上是减函数，在(－1，2)上是增函数； ④x ＝2是f (x )的极小值点． 以上正确结论的序号为________．14．(10分)[2012·海淀模拟] 函数f (x )＝x 2＋ax ＋1(a ∈R )．(1)若f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为12，求实数a 的值；(2)若f (x )在x ＝1处取得极值，求函数f (x )的单调区间．15．(13分)已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x(x ∈R ，e 为自然对数的底数)． (1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)是否存在实数a 使函数f (x )在R 上为单调递减函数？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．难点突破16．(12分)[2012·浙江卷] 已知a∈R，函数f(x)＝4x3－2ax＋a.(1) 求f(x)的单调区间；(2)证明：当0≤x≤1时，f(x)＋|2－a|>0.课时作业(十四)A【基础热身】1．A [解析] 因为函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1＋ex>0.故f (x )的递增区间为(0，＋∞)．故选A.2．D [解析] f ′(x )＝3ax 2＋1，若函数有极值，则方程3ax 2＋1＝0必有实数根，显然a ≠0，所以x 2＝－13a>0，解得a <0.故选D.3．A [解析] y ′＝e x ＋a ，由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧e x＋a ＝0，x >0有解，所以a ＝－e x<－1.故选A.4．2 [解析] f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)．当x ＜0时，f ′(x )＞0；当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(x )＞0，故当x ＝2时f (x )取得极小值．【能力提升】5．C [解析] 依题意知，当x ＞0时，f ′(x )＝e x－e －x＞e 0－e 0＝0，因此f (x )在(0，＋∞)上是增函数．6．D [解析] 由不等式(x ＋3)f ′(x )<0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3<0，f ′（x ）>0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>0，f ′（x ）<0，观察图象可知，x <－3或－1<x <1.所以原不等式的解集为(－∞，－3)∪(－1，1)．故选D.7．B [解析] 因为y ′＝3x 2－12，由y ′>0得函数的增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)，由y ′<0得函数的减区间是(－2，2)．由于函数f (x )在(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以有k －1<－2<k ＋1或k －1<2<k ＋1，解得－3<k <－1或1<k <3.故选B.8．D [解析] 依题意f ′(x )＝3x 2－a ≥0在[1，＋∞)上恒成立，所以a ≤(3x 2)min ＝3.所以a 的最大值为3.9．D [解析] 所给的原函数f (x )＝2x ＋ln x 的导函数为f ′(x )＝－2x 2＋1x，令f ′(x )＝0可得x ＝2.当x >2时，f ′(x )>0，函数f (x )为增函数；当0<x <2时，f ′(x )<0，函数f (x )为减函数，所以x ＝2为极小值点，故选D.10．{－3} [解析] 由题意知f ′(－2)＝0，f ′(0)＝0，而f ′(x )＝3x 2－2px ，则有12＋4p ＝0，即p ＝－3.故填{－3}．11．(－∞，－1)∪(0，1) [解析] 在(0，＋∞)上有f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．又函数f (x )是R 上的偶函数，所以f (x )在(－∞，0)上单调递减，又f (1)＝f (－1)＝0.当x ＞0时，xf (x )＜0，所以0＜x ＜1；当x ＜0，xf (x )<0，所以x ＜－1.12．(－2，－1) [解析] 因f ′(x )＝(2x ＋1)e x ＋(x 2＋x ＋1)e x ＝(x 2＋3x ＋2)e x，令f ′(x )<0，则x 2＋3x ＋2<0，解得－2<x <－1.13．1 0＜c ＜43 [解析] 因为f ′(x )＝x 2－2bx ，又x ＝2是f (x )的极值点，则f ′(2)＝22－2b ×2＝0，∴b ＝1.且x ∈(0，2)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，x ∈(－∞，0)，(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，若f (x )＝0有3个不同实根，则⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝c >0，f （2）＝13×23－22＋c <0.解得0＜c ＜43. 14．解：(1)当t ＝1时，f (x )＝4x 3＋3x 2－6x ，f (0)＝0，f ′(x )＝12x 2＋6x －6，f ′(0)＝－6.所以曲线y ＝f (x )在点(0， f (0))处的切线方程为y ＝－6x . (2)f ′(x )＝12x 2＋6tx －6t 2. 令f ′(x )＝0，解得x ＝－t 或x ＝t2.因t >0，则－t ＜t2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以，f (x )的单调递增区间是(－∞，－t )，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，＋∞；f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－t ，t 2.15．解：(1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，因为x ＝±1是函数f (x )的极值点，且f (x )在定义域内任意一点处可导． 所以x ＝±1使方程f ′(x )＝0，即x ＝±1为3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根， 由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧－2b3a＝0，①c3a＝－1，②又f (1)＝－1， 所以a ＋b ＋c ＝－1，③由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)由(1)知f (x )＝12x 3－32x ，所以f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)，当x >1或x <－1时，f ′(x )>0； 当－1<x <1时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上为增函数，在(－1，1)上为减函数， 所以当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1； 当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1. 【难点突破】16．解：(1)f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x.当a ≤0时，f ′(x )≤0在(0，＋∞)上恒成立，函数f (x )在(0，＋∞)单调递减，∴f (x )在(0，＋∞)上没有极值点；当a >0时，由f ′(x )≤0得0<x ≤1a ，由f ′(x )≥0得x ≥1a，∴f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1a 上单调递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递增，即f (x )在x ＝1a处有极小值．∴当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上没有极值点， 当a >0时，f (x )在(0，＋∞)上有一个极值点． (2)∵函数f (x )在x ＝1处取得极值，∴a ＝1， ∴f (x )≥bx －2⇔1＋1x －ln xx≥b .令g (x )＝1＋1x －ln x x，可得g (x )在(0，e 2]上递减，在[e 2，＋∞)上递增，∴g (x )min ＝g (e 2)＝1－1e 2，即b ≤1－1e 2.(3)令h (x )＝1x －ln xx＝g (x )－1，由(2)可知g (x )在(0，e 2)上单调递减，则h (x )在(0，e 2)上单调递减， ∴当0<x <y <e 2且x ≠e 时，h (x )>h (y )，即1－ln x x >1－ln y y.当0<x <e 时，1－ln x >0，∴y x >1－ln y 1－ln x ；当e<x <e 2时，1－ln x <0，∴y x <1－ln y 1－ln x.课时作业(十四)B【基础热身】1．B [解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)，因为函数有极大值和极小值，所以f ′(x )＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4a 2－4×3(a ＋6)＞0，解得a ＜－3或a ＞6.故选B.2．D [解析] y ′＝3ax 2－1，因为函数y ＝ax 3－x 在R 上是减函数，所以3ax 2－1≤0在R 上恒成立，所以a ≤0.故选D.3．A [解析] 因为f ′(x )＝ln x －1ln 2x ，所以x ∈(0，1)和x ∈(1，e)时，f ′(x )<0；x ＝e 时，f ′(x )＝0；x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以在区间(0，1)上f (x )是减函数，x ＝e 时有极小值f (e)＝e.故选A.4．－23或0 [解析] 依题意两曲线在x ＝x 0的导数相等，即2x 0＝－3x 20，解得x 0＝－23或x 0＝0.【能力提升】5．B [解析] 由已知得f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且x >0时，f (x )与g (x )都是增函数，根据奇函数和偶函数的对称性可知，当x <0时，f (x )是增函数，g (x )是减函数，所以f ′(x )>0，g ′(x )<0.故选B.6．D [解析] f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，由函数f (x )在x ＝1处有极值，可知函数f (x )在x ＝1处的导数值为零，即12－2a －2b ＝0，所以a ＋b ＝6.由题意知a ，b 都是正实数，所以ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取到等号．7．B [解析] ∵y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－ln x ′＝x －1x ＝x 2－1x ＝（x －1）（x ＋1）x ，又因为定义域为(0，＋∞)，令y ′<0，得到0<x <1，故而函数的单调递减区间为(0，1]．8．D [解析] 当x <0时，f (x )单调递增，所以f ′(x )>0，排除A ，C ；当x >0时，f (x )的单调性依次是递增、递减、递增，所以f ′(x )在对应的区间上的符号依次为正、负、正．选项D 正确．故选D.9．A [解析] 函数的定义域为(0，＋∞)，依题意y ′＝0有实数根，即3(a －3)x 2＋1x＝0有实数根，整理得x 3＝13（3－a ），所以13（3－a ）>0，得a <3.10.1e ，＋∞ [解析] 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，因为f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x )＞0，得x ＞1e ，所以f (x )的单调递增区间为1e，＋∞.11．3 [解析] 因为f (x )在x ＝1处取极值，所以f ′(1)＝0，又f ′(x )＝2x （x ＋1）－（x 2＋a ）（x ＋1）2， 所以f ′(1)＝2×1×（1＋1）－（1＋a ）（1＋1）2＝0，即2×1×(1＋1)－(1＋a )＝0，故a ＝3.12．(－2，2) [解析] 令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，可得极大值为f (－1)＝2，极小值为f (1)＝－2，所以当－2＜a ＜2时，直线y ＝a 与f (x )恰有三个不同的公共点．13．②③ [解析] 当x ∈(－3，－1)时，f ′(x )<0，即f (x )在(－3，－1)上是减函数，故①错误；对于②，在x ＝－1附近，当x <－1时，f ′(x )<0，当x >－1时，f ′(x )>0，故x ＝－1是f (x )的极小值点，故②正确，同理可知④错误；当x ∈(2，4)时，f ′(x )<0，f (x )是减函数；当x ∈(－1，2)时，f ′(x )>0，f (x )是增函数，故③正确．14．解：(1)f ′(x )＝2x （x ＋1）－x 2－a （x ＋1）2＝x 2＋2x －a（x ＋1）2，若f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为12，则f ′(1)＝12.所以，f ′(1)＝3－a 4＝12，得a ＝1.(2)因为f (x )在x ＝1处取得极值，所以f ′(1)＝0，即1＋2－a ＝0，a ＝3，所以f ′(x )＝x 2＋2x －3（x ＋1）2.因为f (x )的定义域为{x |x ≠－1}，所以有：(－1，1)．15．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )e x，所以f ′(x )＝(－2x ＋2)e x ＋(－x 2＋2x )e x ＝(－x 2＋2)e x. 令f ′(x )＞0，即(－x 2＋2)e x＞0，因为e x ＞0，所以－x 2＋2＞0，解得－2＜x ＜ 2. 所以函数f (x )的单调递增区间是(－2，2)．(2)若函数f (x )在R 上单调递减，则f ′(x )≤0对x ∈R 都成立， 即[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x≤0对x ∈R 都成立． 因为e x ＞0，所以x 2－(a －2)x －a ≥0对x ∈R 都成立． 所以Δ＝(a －2)2＋4a ≤0，即a 2＋4≤0，这是不可能的．故不存在实数a 使函数f (x )在R 上单调递减． 【难点突破】16．解：(1)由题意得f ′(x )＝12x 2－2a .当a ≤0时，f ′(x )≥0恒成立，此时f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)． 当a ＞0 时，f ′(x )＝12⎝⎛⎭⎪⎫x －a 6⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 6，此时函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－a 6和⎣⎢⎡⎭⎪⎫a6，＋∞，单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a6，a 6.(2)由于0≤x ≤1，故当a ≤2时，f (x )＋|a －2|＝4x 3－2ax ＋2≥4x 3－4x ＋2.当a ＞2时，f (x )＋|a －2|＝4x 3＋2a (1－x )－2≥4x 3＋4(1－x )－2＝4x 3－4x ＋2. 设g (x )＝2x 3－2x ＋1，0≤x ≤1，则g ′(x )＝6x 2－2＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －33⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33， 于是所以当0≤x ≤1时，2x 3－2x ＋1＞0. 故f (x )＋|a －2|≥4x 3－4x ＋2＞0.。
2014届高三数学一轮复习 (基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)2.13导数的应用(二)课件 新人教A版
[例1]
已知函数f(x)＝(x－k)ex.
(1)求f(x)的单调区间； (2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．
[自主解答]
(1)f′(x)＝(x－k＋1)ex.
令f′(x)＝0，得x＝k－1. f(x)与f′(x)的情况如下： x f′(x) f(x) (－∞，k－1) － k－1 0 －ek－1 (k－1，＋∞) ＋
答案：0
5．圆柱形饮料罐容积为V，当底面半径为________时，才 能使所用材料最省．
V 解析：设底面半径为r，则高h＝ 2，表面积设为S， πr V 2V 2 则S＝2πr ＋2πr· 2＝2πr ＋ r ， πr
2
3 V 2V 又S′＝4πr－ 2 ，令S′＝0，得r＝ ， r 2π
当0<r<
(2)若当x∈[－2,2]时，不等式f(x)>m恒成立，求实数m的
取值范围． 解：(1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，
∵f′(x)＝x＋ex－(ex＋xex)＝x(1－ex)， 若x＝0，则f′(x)＝0； 若x<0，则1－ex>0，所以f′(x)<0；
若x>0，则1－ex<0，所以f′(x)<0.
所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增 区间是(k－1，＋∞)．
(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递 增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k； 当0<k－1<1，即1<k<2时， 由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调 递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1； 当k－1≥1时，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递 减，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.
2014届一轮复习数学试题选编33导数的应用(单调性、极值与最值)(学生版)
江苏省2014届一轮复习数学试题选编33：导数的应用（单调性、极值与最值）填空题1 ．（2009高考(江苏)）函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为___★___.2 ．（苏北老四所县中2013届高三新学期调研考试）已知函数f (x )=3(21)34,,a x a x tx x x t -+-≤⎧⎨->⎩，无论t 取何值，函数f (x )在区间(-∞，+∞)总是不单调．则a 的取值范围是__▲___．3 ．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）分别在曲线xy e =与直线1y ex =-上各取一点M 与N ,则MN 的最小值为_____.4 ．（南京市、淮安市2013届高三第二次模拟考试数学试卷）关于x 的不等式(21)ln 0ax x -≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立,则实数a 的值为_____.5 ．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）已知函数xmx x f -=ln )((R m ∈)在区间],1[e 上取得最小值4,则=m ____. 6 ．（苏北老四所县中2013届高三新学期调研考试）已知f (x )＝x 3，g (x )＝－x 2＋x －29a ，若存在x 0∈[－1，a3](a ＞0)，使得f (x 0)＜g (x 0)，则实数a 的取值范围是 ．解答题7 ．（2010年高考（江苏））设)(x f 使定义在区间),1(+∞上的函数,其导函数为)('x f .如果存在实数a 和函数)(x h ,其中)(x h 对任意的),1(+∞∈x 都有)(x h >0,使得)1)(()('2+-=ax x x h x f ,则称函数)(x f 具有性质)(a P .(1)设函数)(x f )1(12)(>+++=x x b x h ,其中b 为实数 ①求证:函数)(x f 具有性质)(b P ②求函数)(x f 的单调区间(2)已知函数)(x g 具有性质)2(P ,给定为实数，设m x x x x ,),,1(,2121<+∞∈21)1(x m mx -+=α,21)1(mx x m +-=β,且1,1>>βα,若|)()(βαg g -|<|)()(21x g x g -|,求m 的取值范围8 ．（江苏省姜堰市2012—2013学年度第一学期高三数学期中调研(附答案) ）已知常数0>a,函数()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥+=,2,449,2,3243a x x a ax x a x x f (Ⅰ)求()x f 的单调递增区间;(Ⅱ)若20≤<a ,求()x f 在区间[]2,1上的最小值()a g ; (Ⅲ)是否存在常数t ,使对于任意⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫⎝⎛-∈222,2a t a t ax 时,()()()()()[]()t f x t f x f t fx t f x f -+≥+-222恒成立,若存在,求出t 的值;若不存在,说明理由.9 ．（江苏海门市2013届高三上学期期中考试模拟数学试卷）已知x=12是()2ln bf x x x x=-+的一个极值点(Ⅰ)求b 的值;(Ⅱ)求函数()f x 的单调增区间; (Ⅲ)设1()()g x f x x=-,试问过点(2,5)可作多少条曲线y=g(x )的切线?为什么?10．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）已知实数a ,b ,c R ∈,函数32()f x ax bx cx =++满足(1)0f =,设()f x 的导函数为()f x ',满足(0)(1)0f f ''>.(1)求ca的取值范围; (2)设a 为常数,且0a >,已知函数()f x 的两个极值点为1x ,2x ,11(,())A x f x ,22(,())B x f x ,求证:直线AB 的斜率2,96a a k ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦.11．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）已知函数2()ln f x x ax x =--,a ∈R .⑴若函数()y f x =在其定义域内是单调增函数,求a 的取值范围;⑵设函数()y f x =的图象被点(2,(2))P f 分成的两部分为12,c c (点P 除外),该函数图象在点P 处的切线为l ,且12,c c 分别完全位于直线l 的两侧,试求所有满足条件的a 的值.12．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）已知函数22()1x f x x x =-+,对一切正整数n ,数列{}n a 定义如下:112a =, 且1()n n a f a +=,前n 项和为n S . (1)求函数()f x 的单调区间,并求值域; (2)证明{}{}()(())x f x x x f f x x ===; (3)对一切正整数n ,证明:○1 1n n a a +<;○21n S <.13．（2013江苏高考数学）本小题满分16分.设函数ax x x f -=ln )(,ax e x g x-=)(,其中a 为实数.(1)若)(x f 在),1(+∞上是单调减函数,且)(x g 在),1(+∞上有最小值,求a 的取值范围; (2)若)(x g 在),1(+∞-上是单调增函数,试求)(x f 的零点个数,并证明你的结论.14．（江苏省苏州市五市三区2013届高三期中考试数学试题 ）已知函数||ln )(2x x x f =,(1)判断函数)(x f 的奇偶性; (2)求函数)(x f 的单调区间;(3)若关于x 的方程1)(-=kx x f 有实数解,求实数k 的取值范围.15．（江苏省南京市四校2013届高三上学期期中联考数学试题）已知函数2()(1)x f x e x ax =++.(Ⅰ)若曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线与x 轴平行,求a 的值; (Ⅱ)求函数()f x 的极值.16．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修物理））设函数()1,()(1)2(x f x e g x e x e =+=-+是自然对数的底数).(1)判断函数()()()H x f x g x =-零点的个数,并说明理由; (2)设数列{}n a 满足:11(0,1),()(),n n a f a g a n N ++∈=∈且; ①求证:01n a <<;②比较a 与1(1)n e a +-的大小,17．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修历史））已知函数322()39(0)f x x ax a x a =--≠.(1)当a=l 时,解不等式()0f x >;(2)若方程2()12169f x nx ax a a =---在【l,2】恰好有两个相异的实根,求实数a 的取值范围(注:1n2≈0.69):(3)当a>0时,若()f x 在【0,2】的最大值为h(a),求h(a)的表达式.18．（江苏海门市2013届高三上学期期中考试模拟数学试卷）设函数2()ln f x ax b x =+,其中0ab ≠.证明:当0ab >时,函数()f x 没有极值点;当0ab <时,函数()f x 有且只有一个极值点,并求出极值.19．（南京市四星级高级中学2013届高三联考调研考试（详细解答）2013年3月 ）已知函数2233()[(log )(log )](log )(log )a x a x f x k x a x a =+--,2()(3)(log log )a x g x k x a =-+,(其中1a >),设log log a x t x a =+.(Ⅰ)当(1,)(,)x a a ∈⋃+∞时,试将()f x 表示成t 的函数()h t ,并探究函数()h t 是否有极值;(Ⅱ)当(1,)x ∈+∞时,若存在0(1,)x ∈+∞,使00()()f x g x >成立,试求k 的范围.20．（江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）(本小题满分16分)已知函数()ln a f x x x =+,21()222g x bx x =-+,,a b ∈R . ⑴求函数()f x 的单调区间;⑵记函数()()()h x f x g x =+,当0a =时,()h x 在(0,1)上有且只有一个极值点,求实 数b 的取值范围;⑶记函数()()F x f x =,证明:存在一条过原点的直线l 与()y F x =的图象有两个切点.21．（江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学（理）试题）已知函数()ln f x x x =-, ()ln ag x x x=+,(0a >). (1)求函数()g x 的极值;(2)已知10x >,函数11()()()f x f x h x x x -=-, 1(,)x x ∈+∞,判断并证明()h x 的单调性;(3)设120x x <<,试比较12()2x x f +与121[()()]2f x f x +,并加以证明.22．（江苏省泰州市2012-2013学年度第一学期期末考试高三数学试题）已知函数f(x)=(x-a)2()x b -,a,b 为常数,(1)若a b ≠,求证:函数f(x)存在极大值和极小值(2)设(1)中 f(x) 取得极大值、极小值时自变量的分别为12,x x ,令点 A11(,()x f x ),B 22(,()x f x ),如果直线AB 的斜率为12-,求函数f(x)和/()f x 的公共递减区间的长度(3)若/()()f x mf x ≥对于一切x R ∈ 恒成立,求实数m,a,b 满足的条件2012~2013学年度第一学期期末考23．（连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）已知函数3211()33f x x mx x m =--+,其中m ∈R.(1)求函数y =f (x )的单调区间;(2)若对任意的x 1,x 2∈[-1,1],都有12|()()|4f x f x ''-≤,求实数m 的取值范围; (3)求函数()f x 的零点个数.24．（南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）已知函数f (x )=12m (x -1)2-2x +3+ln x ,m ∈R.(1)当m =0时,求函数f (x )的单调增区间;(2)当m >0时,若曲线y =f (x )在点P (1,1)处的切线l 与曲线y =f (x )有且只有一个公共点,求实数m 的值.25 ．（江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届高三第三次调研测试数学试卷）设()f x 是定义在(0 )+∞，的可导函数,且不恒为0,记()()()n n f x g x n x=∈*N .若对定义域内的每 一个x ,总有()0n g x <,则称()f x 为“n 阶负函数”;若对定义域内的每一个x ,总有[]()0n g x '≥,则称()f x 为“n 阶不减函数”([]()n g x '为函数()n g x 的导函数).(1)若31()(0)a f x x x x x =-->既是“1阶负函数”,又是“1阶不减函数”,求实数a 的取值范围;(2)对任给的“2阶不减函数”()f x ,如果存在常数c ,使得()f x c <恒成立,试判断()f x 是否为“2阶负函数”?并说明理由.26 ．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）已知函数).1,0(ln )(2≠>-+=a a a x x a x f x(1) 求函数)(x f 在点))0(,0(f 处的切线方程;(2) 求函数)(x f 单调区间;(3) 若存在]1,1[,21-∈x x ,使得e e x f x f (1)()(21-≥-是自然对数的底数),求实数a 的取值范围.27 ．（江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学（理）试题）某地区注重生态环境建设,每年用于改造生态环境总费用为x 亿元,其中用于风景区改造为y 亿元.该市决定建立生态环境改造投资方案,该方案要求同时具备下列三个条件:①每年用于风景区改造费用随每年改造生态环境总费用增加而增加;②每年改造生态环境总费用至少a 亿元,至多b 亿元;③每年用于风景区改造费用不得低于每年改造生态环境总费用的15%,但不得每年改造生态环境总费用的22%. (1)若2a =, 2.5b =,请你分析能否采用函数模型y =31(416)100x x ++作为生态环境改造投资方案;(2)若a 、b 取正整数,并用函数模型y =31(416)100x x ++作为生态环境改造投资方案,请你求出a 、b 的取值.28 ．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）记函数()()*1,n n f x a x a R n =⋅-∈∈N 的导函数为()n f x ',已知()3212f '=.(Ⅰ)求a 的值.(Ⅱ)设函数2()()ln n n g x f x n x =-,试问:是否存在正整数n 使得函数()n g x 有且只有一个零点?若存在,请求出所有n 的值;若不存在,请说明理由.(Ⅲ)若实数0x 和m (0m >,且1m ≠)满足:()()()()0101n n n n f x f m f x f m ++'=',试比较0x 与m 的大小,并加以证明.第二部分(加试部分)29 ．（江苏省苏南四校2013届高三12月月考试数学试题）已知函数()()f x ax bx x a b ∈323R ＝＋－，在点()(11)f ，处的切线方程为20.y ＋＝(1)求函数()f x 的解析式;(2)若对于区间[-2,2]上任意两个自变量的值x x 12，，都有()()||f x f x c ≤12－，求实数c 的最小值.30 ．（江苏省南通市、泰州市、扬州市、宿迁市2013届高三第二次调研（3月）测试数学试题）设b >0，函数2111()(1)ln 2f x ax x bx ab b b =+-+，记()()F x f x '=（()f x '是函数()f x 的导函数），且当x = 1时，()F x 取得极小值2． （1）求函数()F x 的单调增区间；（2）证明[]()*()()22nn n F x F x n --∈N ≥．31 ．（2011年高考（江苏卷））已知a ,b 是实数,函数32(),(),f x x ax g x x bx =+=+ )(x f '和)(x g '是()f x 和()g x 的导函数,若0)()(≥''x g x f 在区间I 上恒成立,则称)(x f 和)(x g 在区间I 上单调性一致.(1)设0>a ,若函数)(x f 和)(x g 在区间),1[+∞-上单调性一致,求实数b 的取值范围;(2)设,0<a 且b a ≠,若函数)(x f 和)(x g 在以a ,b 为端点的开区间上单调性一致,求||a b -的最大值32 ．（江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学） ）已知函数f (x )=x 3+x 2-ax (a ∈R).(1)当a =0时,求与直线x -y -10=0平行,且与曲线y =f (x )相切的直线的方程; (2)求函数g (x )=f (x )x-a ln x (x >1)的单调递增区间; (3)如果存在a ∈[3,9],使函数h (x )=f (x )+f '(x )(x ∈[-3,b ])在x =-3处取得最大值,试求b 的最大值.33 ．（江苏省南京市2013届高三9月学情调研试题（数学）WORD 版）经观察,人们发现鲑鱼在河中逆流匀速行进时所消耗的能量为E =kv 3t ,其中v 为鲑鱼在静水中的速度,t 为行进的时间(单位:h),k 为大于零的常数.如果水流的速度为3 km/h,鲑鱼在河中逆流行进100 km.(1)将鲑鱼消耗的能量E 表示为v 的函数; (2)v 为何值时,鲑鱼消耗的能量最少?34．（2013届江苏省高考压轴卷数学试题）已知函数32()2f x x ax x =--+.(a R ∈).(1)当1=a 时,求函数)(x f 的极值;(2)若对x R ∀∈,有4'()||3f x x ≥-成立,求实数a 的取值范围.(满分40分,答卷时间30分钟)35．（江苏省南京市2013届高三9月学情调研试题（数学）WORD 版）设t >0,已知函数f(x )=x 2(x -t )的图象与x 轴交于A ､B 两点. (1)求函数f (x )的单调区间;(2)设函数y =f (x )在点P (x 0,y 0)处的切线的斜率为k ,当x 0∈(0,1]时,k ≥-12恒成立,求t的最大值;(3)有一条平行于x 轴的直线l 恰好．．与函数y =f (x )的图象有两个不同的交点C ,D ,若四边形ABCD 为菱形,求t 的值.36．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）已知函数()(0ln x f x ax x x=->且x ≠1).(1)若函数()f x 在(1,)+∞上为减函数,求实数a 的最小值;(2)若212,[e,e ]x x ∃∈,使f (x 1)≤2()f x a '+成立,求实数a 的取值范围.37．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）已知函数f (x )=(m -3)x3+ 9x .(1)若函数f (x )在区间(-∞,+∞)上是单调函数,求m 的取值范围; (2)若函数f (x )在区间[1,2]上的最大值为4,求m 的值.38．（江苏省无锡市2013届高三上学期期末考试数学试卷）已知函数f(x)=ax 2+1,g(x)=x 3+bx,其中a>0,b>0.(Ⅰ)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点P(2,c)处有相同的切线(P 为切点), 求a,b 的值;(Ⅱ)令h(x)=f(x)+g(x),若函数h(x)的单调递减区间为[,23a b --],求: (1)函数h(x)在区间(一∞,-1]上的最大值M(a);(2)若|h(x)|≤3,在x∈[-2,0]上恒成立,求a 的取值范围.39．（江苏省徐州市2013届高三期中模拟数学试题）已知()()x x x g e x x ax x f )ln()(),0,(,ln --=-∈--=,其中e 是自然常数,.a R ∈(1)讨论1a =-时, ()f x 的单调性.极值; (2)求证:在(1)的条件下,21)(|)(|+>x g x f ;(3)是否存在实数a ,使()f x 的最小值是3,如果存在,求出a 的值;如果不存在,说明理由.40．（江苏省泰兴市2013届高三上学期期中调研考试数学试题）已知函数2()21(),()()f x x ax a f x f x '=++∈R 是的导函数.(1)若[2,1]x ∈--,不等式()()f x f x '≤恒成立,求a 的取值范围; (2)解关于x 的方程()|()|f x f x '=;(3)设函数(),()()()(),()()f x f x f x g x f x f x f x ''⎧=⎨'<⎩≥,求()[2,4]g x x ∈在时的最小值41．（苏北老四所县中2013届高三新学期调研考试）设0>a ，函数|1ln |)(2-+=x a x x f .(1) 当1=a 时,求曲线)(xf y =在1=x 处的切线方程; (2) 当),1[+∞∈x 时,求函数)(x f 的最小值.42．（江苏省无锡市2013届高三上学期期末考试数学试卷）已知函数f(x)=12x 2+1nx. (Ⅰ)求函数f(x)在区间[1,e]上的最大值、最小值; (Ⅱ)设g(x)=f(x),求证:[()]()22()nnng x g x n N +-≥-∈.43．（江苏省无锡市2013届高三上学期期中考试数学试题）为了保护环境,某化工厂在政府部门的支持下,进行技术改造:每天把工业废气转化为某种化工产品和符合排放要求的气体,经测算,该工厂每天处理废气的成本y (元)与处理废气量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为:[)[]⎪⎩⎪⎨⎧∈+-∈+=70,40,5000130240,10,100016123x x x x x y ,且每处理1吨工业废气可得价值为50元的某种化工产品.(1)当工厂日处理废气量[]70,40∈x 时,判断该技术改进能否获利?如果能获利,求出最大利润;如果不能获利,为了保证工厂在生产中没有亏损现象出现,国家至少每天财政补贴多少元?(2)若国家给予企业处理废气阶梯式财政补贴,当日废气处理量不足40吨时,给予每顿80元补贴,废气处理量不少于40吨时,超过40吨的部分再增加每顿55元的补贴,当工厂的日处理量为多少吨时,工厂处理每顿废气的平均收益最大?44．（江苏省淮安市2013届高三上学期第一次调研测试数学试题）已知函数()ln ()ln ,xf x x x h x x =-=.(1)求()h x 的最大值;(2)若关于x 的不等式2()212xf x x ax ≥-+-对一切()0,x ∈+∞恒成立,求实数a 的取值范围;(3)若关于x 的方程()3220f x x ex bx -+-=恰有一解,其中e 为自然对数的底数,求实数b 的值.45．（江苏省徐州市2013届高三期中模拟数学试题）某商店经销一种奥运会纪念品,每件产品的成本为30元,并且每卖出一件产品需向税务部门上交a 元(a 为常数,2≤a≤5 )的税收.设每件产品的售价为x 元(35≤x≤41),根据市场调查,日销售量与xe (e 为自然对数的底数)成反比例.已知每件产品的日售价为40元时,日销售量为10件.(1)求该商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x 元的函数关系式;(2)当每件产品的日售价为多少元时,该商品的日利润L(x)最大,并求出L(x)的最大值.46．（苏州市第一中学2013届高三“三模”数学试卷及解答）已知函数f (x )=13x 3+1－a2x 2-ax -a ,x ∈R,其中a >0. (1)求函数f (x )的单调区间;(2)若函数f (x )在区间(-2,0)内恰有两个零点,求a 的取值范围;(3)当a =1时,设函数f (x )在区间[t ,t +3]上的最大值为M (t ),最小值为m (t ),记g (t )=M (t )-m (t ),求函数g (t )在区间[-3,-1]上的最小值.47．（江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）设函数b ax x x f n n ++-=3)((*N n ∈,R b a ∈,).⑴若1==b a ,求)(3x f 在[]2,0上的最大值和最小值;⑵若对任意]1,1[,21-∈x x ,都有1)()(2313≤-x f x f ,求a 的取值范围; ⑶若)(4x f 在]1,1[-上的最大值为21,求b a ,的值.48．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）已知a 为正的常数,函数2()ln f x ax x x =-+.(1)若2a =,求函数()f x 的单调增区间; (2)设()()f x g x x=,求函数()g x 在区间[]1,e 上的最小值.49．（江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学（理）试题）(1)设1x >-,试比较ln(1)x +与x 的大小;(2)是否存在常数N a ∈,使得111(1)1n kk a a n k=<+<+∑对任意大于1的自然数n 都成立?若存在,试求出a 的值并证明你的结论;若不存在,请说明理由.50．（2011年高考（江苏卷））请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60cm 的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A B C D 、、、四个点重合于图 中的点P ,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E F 、在AB 上,是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点, 设AE FB x cm ==(1)某广告商要求包装盒侧面积2()S cm 最大,试问x 应取何值?x 60x E F AB CD P⇒(2)某广告商要求包装盒容积3()V cm 最大,试问x 应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.51．（江苏省南京市四校2013届高三上学期期中联考数学试题）已知函数x x x x x f 2)1ln()1(2)(2--++=,[)+∞∈,0x ,求)(x f 的最大值.52．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）已知函数32()2f x x ax x =--+.(a R ∈).(1)当1=a 时,求函数)(x f 的极值;(2)若对x R ∀∈,有4'()||3f x x ≥-成立,求实数a 的取值范围.53．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）必做题, 本小题10分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.设b >0,函数2111()(1)ln 2f x ax x bx ab b b =+-+,记()()F x f x '=(()f x '是函数()f x 的导函数),且当x = 1时,()F x 取得极小值2. (1)求函数()F x 的单调增区间;(2)证明[]()*()()22nn n F x F x n --∈N ≥.54．（苏北老四所县中2013届高三新学期调研考试）某商场对A 品牌的商品进行了市场调查，预计2012年从1月起前x 个月顾客对A 品牌的商品的需求总量)(x P 件与月份x 的近似关系是：1()(1)(412)(12)2P x x x x x x N *=+-≤∈且(1) 写出第x 月的需求量()f x 的表达式；(2)若第x 月的销售量22()21,17,()1(1096),712,3x f x x x x N g x x x x x x N e **⎧-≤<∈⎪=⎨-+≤≤∈⎪⎩且且 （单位：件），每件利润()q x 元与月份x 的近似关系为：10()x eq x x= ，问：该商场销售A 品牌商品，预计第几月的月利润达到最大值？月利润最大值是多少？（6403e ≈）55．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）已知函数()ln f x x x a x =--.(1)若a =1,求函数()f x 在区间[1,]e 的最大值; (2)求函数()f x 的单调区间;(3)若()0f x >恒成立,求a 的取值范围.56．（江苏省南京市四区县2013届高三12月联考数学试题 ）某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线2()1(0)f x ax a =->的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点M 、N ,交曲线于点P ,设(,())P t f t (1)将OMN ∆(O 为坐标原点)的面积S 表示成t 的函数()S t ; (2)若在12t =处,()S t 取得最小值,求此时a 的值及()S t 的最小值.57．（江苏省海门市四校2013届高三11月联考数学试卷 ）设函数f (x )= e x-ax -2(Ⅰ)求f (x )的单调区间(Ⅱ)若a =1,k 为整数,且当x >0时,(x -k ) f´(x )+x +1>0,求k 的最大值OxyMNP58．（江苏省徐州市2013届高三上学期模底考试数学试题）已知函数22()ln ()a f x x a x a x=+-∈R .(1)讨论函数()y f x =的单调区间;(2)设2()24ln 2g x x bx =-+-,当a =1时,若对任意的x 1,x 2∈[1,e](e 是自然对数的底数),12()()f x g x ≥,求实数b 的取值范围.59．（南京市、淮安市2013届高三第二次模拟考试数学试卷）设函数2()(2)ln f x x a x a x =---.(1)求函数()f x 的单调区间;(2)若函数有两个零点,求满足条件的最小正整数a 的值; (3)若方程()f x c =有两个不相等的实数根12,x x ,求证:12()02x x f +'>.60．（江苏省无锡市2013届高三上学期期中考试数学试题）已知函数x a x x f ln )()(-=,(0≥a ).(1)当0=a 时,若直线m x y +=2与函数)(x f y =的图象相切,求m 的值; (2)若)(x f 在[]2,1上是单调减函数,求a 的最小值;(3)当[]e x 2,1∈时,e x f ≤)(恒成立,求实数a 的取值范围.(e 为自然对数的底).61．（江苏省南京市四区县2013届高三12月联考数学试题 ）已知函数f (x )=a x +x 2-x ln a (a >0,a ≠1).(1)当a >1时,求证:函数f (x )在(0,+∞)上单调递增; (2)若函数y =|f (x )-t |-1有三个零点,求t 的值;(3)若存在x 1,x 2∈[-1,1],使得|f (x 1)-f (x 2)|≥e -1,试求a 的取值范围.62．（江苏省南京市四校2013届高三上学期期中联考数学试题）已知函数()ln f x x x =.(I)求函数()f x 的单调递减区间;(II)若2()6f x x ax ≥-+-在(0,)+∞上恒成立,求实数a 的取值范围; (III)过点2(,0)A e --作函数()y f x =图像的切线,求切线方程.江苏省2014届一轮复习数学试题选编33：导数的应用（单调性、极值与最值）参考答案 填空题1. 【答案】(1,11)-；【解析】2()330333(11)(1)f x x x x x '=--=-+，由(11)(1)0x x -+<得单调减区间为(1,11)-。
2014届高考数学一轮复习讲义：3[1].2-导数在研究函数中的应用
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[难点正本 疑点清源] 1．可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函
数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况， 是对函数在整个区间上的函数值的比较． 2．可导函数的极值点导数为零，但导数为零的点未必是极值点， 如函数 y＝x3 在 x＝0 处导数为零，但 x＝0 不是极值点． 3．函数的极值不一定是最值，需对极值和区间端点的函数值进 行比较，或者考查函数在区间内的单调性．
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①若－3＋32c＝1，即 c＝－3，f′(x)＝3(x－1)2≥0. f(x)在(－∞，＋∞)上递增不合题意，c＝－3 应舍去． ②若－3＋32c<1，即 c>－3 时， f(x)的递减区间为－3＋32c，1； ③若－3＋32c>1，即 c<－3 时， f(x)的递减区间为1，－3＋32c.
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综上，当 m>0 时，函数 f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2， ＋∞)； 当 m<0 时，函数 f(x)的单调增区间是(0,2)．
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探究提高
利用导数求函数 f(x)的单调区间的一般步骤： (1)确定函数 f(x)的定义域； (2)求导数 f′(x)； (3)在函数 f(x)的定义域内解不等式 f′(x)>0 和 f′(x)<0； (4)根据(3)的结果确定函数 f(x)的单调区间．
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变式训练 1
已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c 在 x＝1 处取得极值－2. (1)试用 c 表示 a，b； (2)求 f(x)的单调递减区间.
解 (1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b， 由已知条件ff′(1)(＝1)＝－02 ，即31＋＋2aa＋＋bb＋＝c＝0 －2 ， 解得 a＝c，b＝－3－2c. (2)f′(x)＝3x2＋2cx－3－2c ＝(3x＋3＋2c)(x－1) ＝3x＋3＋32c(x－1)
2014高考数学(理)一轮复习总教案：3.3 导数的应用 (二)
3.3导数的应用(二）典例精析题型一利用导数证明不等式【例1】已知函数f（x）＝错误!x2＋ln x.(1）求函数f(x)在区间［1，e］上的值域;（2）求证：x＞1时，f（x)＜错误!x3.【解析】（1）由已知f′（x）＝x＋错误!，当x∈[1，e］时，f′（x）＞0，因此f（x）在［1，e］上为增函数.故f(x）max＝f(e）＝错误!＋1，f（x)min＝f(1)＝错误!，因而f（x）在区间[1，e］上的值域为［12，错误!＋1］。
(2)证明：令F(x）＝f(x)－错误!x3＝－错误!x3＋错误!x2＋ln x,则F′(x）＝x ＋错误!－2x2＝错误!，因为x＞1，所以F′(x)＜0，故F（x)在（1，＋∞)上为减函数.又F(1）＝－错误!＜0，故x＞1时，F（x)＜0恒成立，即f(x)＜错误!x3.【点拨】有关“超越性不等式”的证明，构造函数,应用导数确定所构造函数的单调性是常用的证明方法.【变式训练1】已知对任意实数x，有f（－x)＝－f(x），g(－x)＝g（x），且x＞0时，f′（x)＞0，g′（x）＞0，则x＜0时( ）A.f′(x)＞0，g′(x)＞0 B。
f′(x)＞0，g′(x)＜0C.f′(x)＜0，g′（x)＞0D.f′（x）＜0，g′（x)＜0【解析】选B。
题型二优化问题【例2】（2012湖南模拟)某地建一座桥,两端的桥墩已建好，这两个桥墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为（2＋x）x万元。
假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素.记余下工程的费用为y万元。
（1)试写出y关于x的函数关系式；（2）当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小?【解析】(1）设需新建n个桥墩,则（n＋1）x＝m，即n＝错误!－1。
所以y＝f（x)＝256n＋（n＋1)(2＋错误!）x＝256（错误!－1）＋错误!（2＋错误!)x＝错误!＋m错误!＋2m－256。
2014届高考创新方案一轮复习教案(新课标版)(数学理)第三篇--导数及其应用-第2讲-导数的应用(
2014届高考创新方案一轮复习教案(新课标版)(数学理)第三篇--导数及其应用-第2讲-导数的应用(一)第2讲导数的应用(一)【2013年高考会这样考】1．利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间．2．由函数单调性和导数的关系，求参数的范围．基础梳理1．导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线l的斜率，切线l的方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．导数的物理意义若物体位移随时间变化的关系为s＝f(t)，则f′(t0)是物体运动在t＝t0时刻的瞬时速度．3．函数的单调性在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0⇔函数f(x)在(a，b)上单调递增；f′(x)≤0⇔函数f(x)在(a，b)上单调递减．易误警示直线与曲线有且只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线；反之直线是曲线的切线，但直线不一定与曲线有且只有一个公共点．两个条件(1)f′(x)＞0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分条件．(2)对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．三个步骤求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)由f′(x)＞0(f′(x)＜0)解出相应的x的范围．当f′(x)＞0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)＜0时，f(x)在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间．由f′(x)＞0解得x＜0，或x＞2.答案(－∞，0)，(2，＋∞)考向一求曲线切线的方程【例1】►已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲线f(x)在x＝2处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．[审题视点] 由导数几何意义先求斜率，再求方程，注意点是否在曲线上，是否为切点．解(1)f′(x)＝3x2－8x＋5f′(2)＝1，又f(2)＝－2∴曲线f(x)在x＝2处的切线方程为y－(－2)＝x－2，即x－y－4＝0.(2)设切点坐标为(x0，x30－4x20＋5x0－4)f′(x0)＝3x20－8x0＋5则切线方程为y－(－2)＝(3x20－8x0＋5)(x－2)，又切线过(x0，x30－4x20＋5x0－4)点，则x30－4x20＋5x0－2＝(3x20－8x0＋5)(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2，或x0＝1，因此经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0，或y＋2＝0.首先要分清是求曲线y＝f(x)在某处的切线还是求过某点曲线的切线．(1)求曲线y ＝f(x)在x＝x0处的切线方程可先求f′(x0)，利用点斜式写出所求切线方程；(2)求过某点的曲线的切线方程要先设切点坐标，求出切点坐标后再写切线方程．【训练1】若直线y＝kx与曲线y＝x3－3x2＋2x相切，试求k的值．解设y＝kx与y＝x3－3x2＋2x相切于P(x0，y0)则y0＝kx0，①y0＝x30－3x20＋2x0，②又y′＝3x2－6x＋2，∴k＝y′|x＝x0＝3x20－6x0＋2，③由①②③得：(3x 20－6x 0＋2)x 0＝x 30－3x 20＋2x 0，即(2x 0－3)x 20＝0.∴x 0＝0或x 0＝32，∴k ＝2或k ＝－14.考向二 函数的单调性与导数【例2】►已知函数f (x )＝x 3－ax 2－3x .(1)若f (x )在[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围； (2)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )的单调区间．[审题视点] 函数单调的充要条件是f ′(x )≥0或f ′(x )≤0且不恒等于0. 解 (1)对f (x )求导，得f ′(x )＝3x 2－2ax －3. 由f ′(x )≥0，得a ≤32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x .记t (x )＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ，当x ≥1时，t (x )是增函数，∴t (x )min ＝32(1－1)＝0.∴a ≤0.(2)由题意，得f ′(3)＝0，即27－6a －3＝0， ∴a ＝4.∴f (x )＝x 3－4x 2－3x ，f ′(x )＝3x 2－8x －3. 令f ′(x )＝0，得x 1＝－13，x 2＝3.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13 －13 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，3 3 (3，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )极大值极小值∴当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13，[3，＋∞)时，f (x )单调递增，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，3时，f (x )单调递减．函数在指定区间上单调递增(减)，函数在这个区间上的导数大于或等于0(小于或等于0)，只要不在一段连续区间上恒等于0即可，求函数的单调区间解f ′(x )＞0(或f ′(x )＜0)即可．【训练2】 已知函数f (x )＝e x －ax －1. (1)求f (x )的单调增区间；(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．解f′(x)＝e x－a，(1)若a≤0，则f′(x)＝e x－a≥0，即f(x)在R上递增，若a>0，e x－a≥0，∴e x≥a，x≥ln a.因此f(x)的递增区间是[ln a，＋∞)．(2)由f′(x)＝e x－a≤0在(－2,3)上恒成立．∴a≥e x在x∈(－2,3)上恒成立．又∵－2<x<3，∴e－2<e x<e3，只需a≥e3.当a＝e3时f′(x)＝e x－e3在x∈(－2,3)上，f′(x)<0，即f(x)在(－2,3)上为减函数，∴a≥e3.故存在实数a≥e3，使f(x)在(－2,3)上单调递减．考向三利用导数解决不等式问题【例3】►设a为实数，函数f(x)＝e x－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a＞ln 2－1且x＞0时，e x＞x2－2ax＋1.[审题视点] 第(2)问构造函数h(x)＝e x－x2＋2ax－1，利用函数的单调性解决．(1)解由f(x)＝e x－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝e x－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln 2，于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表.单调递减单调递增故f(x)f(x)在x＝ln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a＝2(1－ln 2＋a)．(2)证明设g(x)＝e x－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝e x－2x＋2a，x∈R.由(1)知当a＞ln 2－1时，g′(x)的最小值为g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)＞0.于是对任意x∈R，都有g′(x)＞0，所以g(x)在R内单调递增．于是当a＞ln 2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)＞g(0)．而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)＞0.即e x－x2＋2ax－1＞0，故e x＞x2－2ax＋1.利用导数证明不等式要考虑构造新的函数，利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明问题．比如要证明对∀x∈[a，b]都有f(x)≥g(x)，可设h(x)＝f(x)－g(x)只要利用导数说明h(x)在[a，b]上的最小值为0即可．【训练3】已知m∈R，函数f(x)＝(x2＋mx＋m)e x(1)若函数没有零点，求实数m的取值范围；(2)当m＝0时，求证f(x)≥x2＋x3.(1)解由已知条件f(x)＝0无解，即x2＋mx＋m＝0无实根，则Δ＝m2－4m<0，解得0<m<4，实数m的取值范围是(0,4)(2)证明当m＝0时，f(x)＝x2e x设g(x)＝e x－x－1，∴g′(x)＝e x－1，g(x)，g′(x)随x变化情况如下：x (－∞，0)0(0，＋∞)g′(x)－0＋g(x)0由此可知对于x∈R，即e x－x－1≥0，因此x2(e x－x－1)≥0，整理得x2e x≥x3＋x2，即f(x)≥x3＋x2.阅卷报告2——书写不规范失分【问题诊断】利用导数求解函数的单调区间是高考的热点内容，这类问题求解并不难，即只需由f′(x)＞0或f′(x)＜0，求其解即得.但在求解时会因书写不规范而导致失分.【防范措施】对于含有两个或两个以上的单调增区间(或单调减区间)，中间用“，”或“和”连接，而不能用符号“∪”连接.【示例】►设函数f(x)＝x(e x－1)－12x2，求函数f(x)的单调增区间．错因结论书写不正确，也就是说不能用符号“∪”连接，应为(－∞，－1)和(0，＋∞)实录f′(x)＝e x－1＋x e x－x＝(e x－1)·(x＋1)，令f′(x)＞0得，x＜－1或x＞0.所以函数f(x)的单调增区间为(－∞，－1)∪(0，＋∞)．正解因为f(x)＝x(e x－1)－12x 2，所以f′(x)＝e x－1＋x e x－x＝(e x－1)·(x＋1)．令f′(x)＞0，即(e x－1)(x＋1)＞0，得x＜－1或x＞0.所以函数f(x)的单调增区间为(－∞，－1)和(0，＋∞)．【试一试】设函数f(x)＝ax3－3x2，(a∈R)，且x＝2是y＝f(x)的极值点，求函数g(x)＝e x·f(x)的单调区间．[尝试解答]f′(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2)．因为x＝2是函数y＝f(x)的极值点．所以f′(2)＝0，即6(2a－2)＝0，因此a＝1，经验证，当a＝1时，x＝2是函数f(x)的极值点，所以g(x)＝e x(x3－3x2)，g′(x)＝e x(x3－3x2＋3x2－6x) ＝e x(x3－6x)＝x(x＋6)(x－6)e x. 因为e x＞0，所以y＝g(x)的单调增区间是(－6，0)和(6，＋∞)；单调减区间是(－∞，－6)和(0，6)．。
2014届高考江苏专用(理)一轮复习第三章第4讲导数的综合应用
③若－e<a<－1，令f′(x)＝0得x＝－a， 当1<x<－a时，f′(x)<0，
∴f(x)在(1，－a)上为减函数；
当－a<x<e时，f′(x)>0，∴f(x)在(－a，e)上为增函数，
答案 2 2
考向一
运用导数解决恒成立及求参数范围
a 【例 1】 (理)已知函数 f(x)＝ln x－x.
(1)若a＞0，试判断f(x)在定义域内的单调性； 3 (2)若 f(x)在[1，e]上的最小值为 ，求 a 的值； 2 (3)若f(x)＜x2在(1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围．
审题视点
解析 大． 答案
y′＝－x2＋81，令y′＝0解得x＝9(－9舍去)．当0＜x
＜9时，y′＞0；当x＞9时，y′＜0，则当x＝9时，y取得最
9
2．从边长为10 cm×16 cm的矩形纸板的四角截去四个相 同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的 最大值为________cm3.
解析 设盒子容积为 y cm3，盒子的高为 x cm.
则 y＝(10－2x)(16－2x)x(0＜x＜5)＝4x3－52x2＋160 x， 20 ∴y′＝12x －104x＋160.令 y′＝0，得 x＝2 或 (舍去)， 3
2
∴ymax＝6×12×2＝144 (cm)3.
答案
144
2 ，x≥2， 3．(2011· 北京)已知函数 f(x)＝x 若关于 x 的 x－13，x＜2. 方程 f(x)＝k 有两个不同的实根，则实数 k 的取值范围是 ________．
【志鸿优化设计】2014届高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.1导数、导数的计算教学案理新人教A版
斜率．相应地，切线方 程为 ______________．
4．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f ( x) ＝ c( c 为常数 ) f ( x) ＝ xn( n∈Q* )
f ′（x) ＝0 f ′（x) ＝________
f ( x) ＝ sin x
f ′（x) ＝________
f ( x ) ＝ cos x f ( x) ＝ ax f ( x) ＝ ex
3＋
4 3
.
(1) 求曲线在点 P(2,4) 处的切线方程；
(2) 求曲线过点 P(2,4) 的切线方程；
(3) 求斜率为 1 的曲线的切线方程．
方法提炼
2
1．求曲线 y＝f ( x) 在 x＝x0 处的切线方程 (1) 求出函数 y＝f ( x) 在 x＝ x0处的导数 f ′（x0) 即为曲线 y＝f ( x) 在 x＝x0处的切线斜率； (2) 由切点 ( x0，f ( x0)) 和斜率 f ′（x0) ，用点斜式写出切线方程 y－f ( x0) ＝ f ′（x0)( x－
2
x＋1
＝
x2
＋
2x
＋
. 5
【例 3】
解： (1) ∵ P(2,4)
在曲线
y＝1x3 3Fra bibliotek＋4 3上，且
y′＝ x2，
∴在点 P(2,4) 处的切线的斜率为： y′｜x＝2＝ 4.
∴曲线在点 P(2,4) 处的切线方程为： y－ 4＝ 4( x－ 2) ，即 4x－ y－ 4＝0.
(2) 设曲线
y
＝
1 x
第三章 导数及其应用
3.1 导数、导数的计算
考纲要求 1．了解导数概念的实际背景．
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2014理科数学一轮复习学案 乌审旗高级中学 2014理科数学一轮复习学案 乌审旗高级中学
导数的应用
年级：高三 主备人：余洁娜 审核人：曹丽荣 编号：15
一．学习目标：
1. 了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间
2. 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极值；会求闭区间上函数的最值.
1.《东方骄子》阅读P 38例1，完成小试身手1，高频考点2，课时作业十五10(1)
2. 求函数1421)(2
3
+-+
=x x x x f 的极值点和极值. 3.《东方骄子》完成考点自测3，高频考点4，课时作业十五12(1) 4.《东方骄子》阅读P 38例2(1)(2)，课时作业十四7、6，高频考点3
5.《东方骄子》阅读P 39例3，课时作业十四3、11，小试身手3，考点自测5，P 40小试身手(1) 四．技能提升
1.《东方骄子》阅读P 39例4，小试身手4，考点自测4，课时作业十四8，高频考点5
2.《东方骄子》考点自测2，课时作业十四1、9，高频考点1 (选做)
3.《东方骄子》阅读P 38例2(3)，完成小试身手2
导数的应用
年级：高三 主备人：余洁娜 审核人：曹丽荣 编号：15
一．学习目标：
1. 了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间
2. 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极值；会求闭区间上函数的最值.
1.《东方骄子》阅读P 38例1，完成小试身手1，高频考点2，课时作业十五10(1)
2. 求函数142
1)(2
3
+-+
=x x x x f 的极值点和极值. 3.《东方骄子》完成考点自测3，高频考点4，课时作业十五12(1) 4.《东方骄子》阅读P 38例2(1)(2)，课时作业十四7、6，高频考点3
5.《东方骄子》阅读P 39例3，课时作业十四3、11，小试身手3，考点自测5，P 40小试身手(1)
四．技能提升
1.《东方骄子》阅读P 39例4，小试身手4，考点自测4，课时作业十四8，高频考点5
2.《东方骄子》考点自测2，课时作业十四1、9，高频考点1 (选做)
3.《东方骄子》阅读P 38例2(3)，完成小试身手2。