高中数学学案-导数的概念及计算
学案15 导数的概念(文理)
学案 导数的概念及其运算（文理）一、 目标要求1、了解导数概念的实际背景,理解导数的几何意义。
2、能据导数定义，求函数y=c ，x y xy x y x y x y =====,1,,,32的导数， 3、能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算求简单函数的导数。
二、知识梳理⑴ 函数在点0x x =处的导数及导函数：⑵ 函数在点0x x =处的导数的几何意义，就是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处⑶导数的基本运算① 基本初等函数的导数公式C C (0'=为常数) '()n x = =')(sin x '(cos )x ='()x e = ；'()x a = ；'(ln )x = ；'(log )a x = ② 函数的和、差、积、商的求导法则（4）、（理）复合函数的导数：一般地，设函数()u x ϕ=在x 处有导数''()x u x ϕ=，函数y=f(u)在x 的对应点u 处有导数''()x y f u =，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处也有导数，且三、基础训练1、设()ln ,f x x x =若()'02fx =，则0x =（ ） A 2e B e C ln 22 D ln2 2、若曲线4x y =的一条切线l 与直线084=-+y x 垂直，则l 的方程为（ ）)(A 034=--y x )(B 430x y -+= （C ）450x y +-=（D ）430x y ++=3、半径为r 的圆的面积2)(r r s π=，周长r r c π2)(=，若将r 看作),0(+∞上的变量，则r r ππ2)('2=………………… ①①式可用自然语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长的函数.对于半径为R 的球,若将R 看作),0(+∞上的变量,请你写出类似于①的式子___________,且用自然语言叙述为____________.4、如图，函数f(x)的图像是折线段A,B,C ，其中的坐标分别为(O,4)，(2,0),(6,4),则f(f(0))= , 函数f(x)在x=1处的导数(1)f '= 四、典例精析 例 1 求下列函数的导数： ⑴ ;sin 2x x y = ⑵;ln x xy =(3)1cos x y xe -= (理) （4）y=21x + (理)例2 已知函数f(x)=x 3+x-16 ⑴ 求直线)(x f y =在点)6,2(-处的切线的方程； ⑵ 直线l 为曲线)(x f y =的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； ⑶如果曲线)(x f y =的某一切线与直线341+-=x y 垂直，求切点坐标与切线的方程。
高二数学下第七讲 高二导数概念(学案)
第七讲 导数概念，运算及几何意义一．课时目标1.通过实例分析了解函数平均变化率的意义．.会求函数f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率．2.了解函数的平均变化率及导数间的关系．掌握函数在一点处导数的定义，以及函数f (x )在区间(a ，b )内导函数的概念.3.理解函数y ＝f (x )在点(x 0，y 0)处的导数与函数y ＝f (x )图象在点(x 0，y 0)处的切线的斜率间的关系，掌握导数的几何意义．4.已知函数解析式，会求函数在点(x 0，y 0)处切线的斜率，能求过点(x 0，y 0)的切线的方程.5.掌握基本初等函数的导数公式．.掌握导数的和、差、积、商的求导法则．6.会运用导数的四则运算法则解决一些函数的求导问题.二．重点难点1.理解函数平均变化率的意义．(难点)2.求函数f (x )在 x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率．(重点)3.理解函数在某点处的导数．(难点)4.根据导数的几何意义，求函数在点(x 0，y 0)处的切线的方程．(重点)5.准确理解在某点处与过某点处的切线方程．(易混点) 6导数公式表的记忆．.应用四则运算法则求导(重点) 7.利用导数研究函数性质．(难点)三．知识梳理1．函数)(x f y =从1x 到2x 的平均变化率:函数)(x f y =从1x 到2x 的平均变化率为1212)()(x x x f x f --若12x x x -=∆，12y y y -=∆，则平均变化率可表示为xy ∆∆.2． 函数)(x f y =在0x x =处的导数(1)定义:lim 0→∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00=lim 0→∆x xy ∆∆为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0'x f 或'y |0x x =，即)(0'x f ＝lim 0→∆x xy ∆∆为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0'x f 或'y|0x x =，即)(0'x f ＝lim 0→∆x xy ∆∆＝lim 0→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00(2)几何意义:函数)(x f 在点0x 处的导数)(0'x f 的几何意义是在曲线y ＝)('x f 上点 处的切线的 相应地，切线方程为 . 3．函数f (x )的导函数:称函数)('x f ＝lim→∆xxx f x x f ∆-∆+)()(为)('x f 的导函数，导函数有时也记作y ′.4．5.导数运算法则:(1)[f (x )±g (x )]′＝ ；(2)[f (x )·g (x )]′＝ ；(3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 6．复合函数的导数:复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的 关系为y ′x ＝ ，即y 对x 的导数等于的导数与 的导数的乘积．四．正本清源1．深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系：(1)函数)(x f 在点0x 处的导数)(0'x f 是一个常数；(2)函数y ＝)(x f 的导函数，是针对某一区间内任意点x 而言的．如果函数y ＝)(x f 在区间(b a ,)内每一点x 都可导，是指对于区间(b a ,)内的每一个确定的值0x 都对应着一个确定的导数)(0'x f．这样就在开区间(b a ,)内构成了一个新函数，就是函数)(x f 的导函数)('x f ．在不产生 混淆的情况下，导函数也简称导数．2．曲线)(x f y= “在点),(00y x p 处的切线”“过点),(00y x p 的切线”的区别与联系 (1)曲线)(x f y =在点),(00y x p 处的切线是指P 为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线)(x f y=过点),(00y x p 的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．五．典例分析题型一 利用导数的定义求函数的导数例1 求函数12+=x y在0x 到0x ＋Δx 之间的平均变化率．思维启迪：紧扣定义xf ∆∆＝xx f x x f ∆-∆+)()(00进行计算．探究提高 ： 求函数)(x f 平均变化率的步骤：①求函数值的增量)()(12x f x f f-=∆②计算平均变化率xf ∆∆＝1212x x )f(x )f(x --.解这类题目仅仅是简单套用公式，解答过程相对简单，只要注意运算过程就可以了．变式训练1 过曲线y ＝f (x )＝x 3上两点P (1,1)和Q (1＋Δx,1＋Δy )作曲线的割线，求出当Δx ＝0.1时割线的斜率，并求曲线在点P 处切线的斜率．题型二 导数的运算例2 求下列函数的导数：(1)y ＝x （2311xx x++）；(2)y ＝x －sin2xcos2x ；(3)y ＝(1)1)-. 思维启迪：若式子能化简，可先化简，再利用公式和运算法则求导．探究提高 ①求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；②有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量．变式训练2 求下列函数的导数：(1)y ＝(x －2)2；(2)y ＝cos x2⎝⎛⎭⎫sin x 2－cos x 2； (3)y ＝log 2(ax 3)．例3 求下列复合函数的导数：(1)y ＝(2x －3)5； (2)y ＝3－x ； (3)y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫2x ＋π3； (4)y ＝ln(2x ＋5)． 思维启迪：先正确地分析函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成；求导时，可设出中间变量，注意要逐层求导不能遗漏，每一步对谁求导，不能混淆．探究提高 由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程． 变式训练3 求下列函数的导数：(1)y ＝(2x ＋1)n (n ∈N *)； (2)y ＝⎝⎛⎭⎫x 1＋x 5.题型三 导数的几何意义例4 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点P (1,1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a 、b 、c 的值．思维启迪：函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在点Q (2，－1)处的导数值等于切线斜率为1，且点Q (2，－1)、点P (1,1)都在抛物线上．探究提高 利用导数求切线斜率是行之有效的方法，它适用于任何可导函数，解题时要充分运用这一条件，才能使问题迎刃而解．解答本题常见的失误是不注意运用点Q (2，－1)在曲线上这一关键的隐含条件．变式训练4 设函数f (x )＝ax ＋1x ＋b(a ，b ∈Z)，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝3.求y ＝f (x )的解析式．题型四 求切点坐标例5 在曲线y ＝x 2上哪一点处的切线，满足下列条件：(1)平行于直线y ＝4x －5；(2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0；(3)与x 轴成135°的倾斜角．分别求出该点的坐标．[题后感悟] 解决此类问题，关键是利用导数的几何意义求出过切点的切线的斜率，结合题意列方程，求出切点的坐标．求解过程应认真领会数学的转化思想、待定系数法．变式训练5 已知抛物线y ＝2x 2＋1，求(1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°？(2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0?(3)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x ＋8y －3＝0?[特别提醒] (1)若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的导数f ′(x 0)不存在，就是切线与y 轴平行．f ′(x 0)＞0，切线与x 轴正向夹角为锐角，f ′(x 0)＜0，切线与x 轴正向夹角为钝角；f ′(x 0)＝0，切线与x 轴平行．(2)若题中所给的点(x 0，y 0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而可求出切线方程．六 易错警示：分不清“曲线在点P 处的切线”与“曲线过点P 的切线”的区别致误例6 已知曲线y ＝13x 3＋43. (1)求曲线在(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点(2,4)的切线方程．批阅笔记(1)解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”的问法．(2)解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标为P(x0，y0)，然后求其切线斜率k＝f′(x0)，写出其切线方程．而“在某点处的切线”就是指“某点”为切点．(3)易错点是：在第(2)问中，多数学生误以为点(2,4)就是切点，从而导致错误．(4)错因分析：一般情况下，受思维定势的影响，有些人认为直线与曲线相切时，有且只有一个公共点，这是错误的．依据切线斜率的导数定义可知，切线可以和曲线有除切点外的其他公共点．思想方法感悟提高．七课后小结1．在对导数的概念进行理解时，特别要注意f (x0)与(f (x0))′是不一样的，f′(x0)代表函数f (x)在x＝x0处的导数值，不一定为0；而(f (x0))′是函数值f (x0)的导数，而函数值f (x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f (x0))′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．失误与防范1．利用导数定义求导数时，要注意到x与Δx 的区别，这里的x是常量，Δx是变量．2．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．3．求曲线切线时，要分清点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．4．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．八家庭作业1，（2011全国高考4）曲线2y21x x=-+在点（1,0）处的切线方程为（A）1y x=-（B）1y x=-+（C）22y x=-（D）22y x=-+2，（2011年山东高考4）曲线311y x=+在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是（A）-9 （B）-3 （C）9 （D）15,3，（2011年江西考4）曲线xy e=在点A（0,1）处的切线斜率为（）A.1B.2C.eD.1 e4，（2011年重庆高考文3)曲线在点,处的切线方程为(A)(B)(C) (D)5,（2011年江西高考理4）设xxxxf ln42)(2--=，则0)('>xf的解集为A.),0(+∞ B. ),2()0,1(+∞- C. ),2(+∞ D.)0,1(-6，(2011年全国高考理8）曲线21xy e-=+在点（0,2）处的切线与直线0y=和y x=围成的三角形的面积为(A)13 (B)12 (C)23 (D)17，（2011年湖南高考7）曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为（ ）A ．12-B ．12 C．2-D．28，(2011年辽宁文高考题20）设函数)(x f =x+ax2+blnx ，曲线y=)(x f 过P （1,0），且在P 点处的切斜线率为2． （I ）求a ，b 的值；（II ）证明：)(x f ≤2x -2．9，（2011年全国Ⅰ理高考题21）已知函数ln ()1a x bf x x x =++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。
导数的概念教案及说明
导数的概念教案及说明一、教学目标1. 让学生理解导数的定义和几何意义。
2. 掌握导数的计算方法。
3. 能够应用导数解决实际问题，如速度、加速度等。
二、教学内容1. 导数的定义2. 导数的几何意义3. 导数的计算方法4. 导数在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 重点：导数的定义、几何意义和计算方法。
2. 难点：导数的计算方法和在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用讲解、演示、练习、讨论相结合的方法。
2. 使用多媒体课件辅助教学。
五、教学过程1. 导入：回顾函数的斜率概念，引导学生思考函数在某一点的瞬时变化率。
2. 导数的定义：介绍导数的定义，强调极限的思想，引导学生理解导数的含义。
3. 导数的几何意义：通过图形演示，让学生直观地理解导数表示曲线在某一点的切线斜率。
4. 导数的计算方法：讲解导数的计算方法，包括基本导数公式、导数的四则运算等。
5. 应用导数解决实际问题：举例说明导数在实际问题中的应用，如速度、加速度等。
6. 练习：布置练习题，让学生巩固导数的概念和计算方法。
7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调导数的重要性和应用价值。
8. 作业：布置作业，巩固所学内容。
六、教学反思在教学过程中，注意观察学生的反应，根据学生的实际情况调整教学节奏和难度。
针对学生的薄弱环节，加强讲解和练习。
七、教学评价通过课堂表现、作业和练习，评价学生对导数的理解和应用能力。
鼓励学生积极参与讨论，提高解决问题的能力。
八、课时安排本节课安排2课时，共计45分钟。
九、教学资源1. 多媒体课件2. 练习题3. 相关参考资料十、教学拓展1. 导数的进一步应用，如函数的单调性、极值等。
2. 导数在其他学科中的应用，如物理、化学等。
六、教学策略1. 案例分析：通过分析具体的函数实例，让学生理解导数的计算过程和应用场景。
2. 小组讨论：鼓励学生分组讨论导数问题，培养合作解决问题的能力。
3. 实际操作：让学生利用计算器求解导数，增强实践操作能力。
5.2.2导数的四则运算法则学案-高二下学期数学人教A版选择性
5.2.2导数的四则运算法则【学习内容】函数求导数【课标要求】能利用导数四则运算法则求简单函数的导数；【学习目标】2.3能推导导数的四则运算法则，并能进行简单应用；2.4能灵活运用导数的运算法则解决综合问题；【学习重点】利用导数的四则运算法则求函数的导数【学习难点】能灵活运用导数的运算法则解决函数求导一、利用运算法则求函数的导数任务一：独立计算并试着猜想.问题1：设f (x )=x 2 ，g (x )=x ，计算[f (x )+g (x )]′与[f (x )−g (x )]′，它们与f ’(x)和g ‘(x)有什么关系？再取几组函数试试，上述关系仍然成立吗？由此你能想到什么？ 问题2：计算[()()]f x g x '与()()f x g x ''，它们是否相等？()f x 与()g x 商的导数是否等于它们导数的商呢？总结：两个函数()f x 和()g x 的和（或差）的导数法则：[()()]f x g x '±= . 两个函数()f x 和()g x 的乘积(或商)的导数法则：[()()]f x g x '= .()[]()f x g x '= .任务二：完成例1, 要求：认真审题，规范作答（8min ）例1求下列函数的导数（1）32234y x x =--；（2）y =2sinx +3x ；（3）3x y x e =；（4）22sin xy x =.练习运用1（1）ln x y e x = （2）2(2y x x =+； （3）tan y x =二、综合运用求导法则任务一：完成例2, 要求：认真审题，规范作答（7min ）例2日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将1 t 水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为 5284()(80100)100c x x x =<<-. 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率： （1）90%；（2）98%. 任务二：完成例3, 要求：认真审题，规范作答 例3 求曲线23y x x =+在点()1,4处的切线方程． 练习运用2已知函数()x f x ax be =+图象上的点()1,2P -处的切线与直线3y x =-平行，则a = ，。
学案7：§3.1 导数的概念及运算
§3.1 导数的概念及运算高考·导航1．导数的概念及几何意义(1)了解导数概念的实际背景．(2)理解导数的几何意义． 2．导数的运算(1)能根据导数的定义求函数y ＝C (C 为常数)，y ＝x ，y ＝1x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 的导数．(2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．主干知识 自主排查1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 ΔyΔx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或0|x x y ＝，即f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx＝lim Δx →0.(2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点 处的 相应地，切线方程为 . 2．函数y ＝f (x )的导函数如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，这个函数称为函数y ＝f (x )在开区间内的导函数．记作f ′(x )或y ′. 3．基本初等函数的导数公式若f ′(x )，g ′(x )存在，则有 (1)[f (x )±g (x )]′＝ ； (2)[f (x )·g (x )]′＝ ；(3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝ (g (x )≠0)．[小题诊断]1．下列求导运算正确的是( ) A.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3x log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2sin x2．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( ) A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)3．曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程是( ) A ．x －3y ＋3＝0 B ．x －2y ＋2＝0 C ．2x －y ＋1＝0D ．3x －y ＋1＝04．已知直线y ＝2x ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点(1,3)，则实数b 的值为________． 5．已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________．易错通关1．利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(x α)′＝αx α－1与指数函数的求导公式(a x )′＝a x ln a 混淆．2．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．[小题纠偏]1．函数y ＝ln xex 的导函数为______________．2．已知直线y ＝－x ＋1是函数f (x )＝－1a·e x 图象的切线，则实数a ＝________.核心考点 互动探究考点一 导数的运算 1．求y ＝x 2sin x 的导数．2．求y ＝－sin x2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4的导数．3．求y ＝11－x ＋11＋x 的导数．4．求y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)的导数．思维升华导数运算的技巧考点二 导数的几何意义[锁定考向] 导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题、填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中、低档题．常见的命题角度有：(1)求切线方程；(2)求切点坐标；(3)根据参数切线的性质求参数． 角度一 求切线方程1．(1)经过原点(0,0)作函数f (x )＝x 3＋3x 2的图象的切线，则切线方程为________． (2)已知函数f (x )＝(－x 2＋x －1)e x ，其中e 是自然对数的底数，求曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线．方法技巧与切线有关问题的处理策略(1)已知切点A (x 0，y 0)求斜率k ，即求该点处的导数值，k ＝f ′(x 0)． (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)求过某点M (x 1，y 1)的切线方程时，需设出切点A (x 0，f (x 0))，则切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，再把点M (x 1，y 1)代入切线方程，求x 0. 角度二 求切点坐标 2．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．角度三 根据切线的性质求参数3．(1)若点P 是函数y ＝e x －e －x －3x ⎝⎛⎭⎫－12≤x ≤12图象上任意一点，且在点P 处切线的倾斜角为α，则α的最小值是( ) A.5π6 B.3π4C.π4D.π6(2)已知函数f (x )＝(x ＋a )ln x ，若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y ＝0平行，求a 的值．方法技巧一般已知曲线上一点P (x 0，y 0)的切线与已知直线的关系(平行或垂直)，确定该切线的斜率k ，再求出函数的导函数，然后利用导数的几何意义得到k ＝f ′(x 0)＝tan α，其中倾斜角α∈[0，π)，根据范围进一步求得角度α或有关参数的值．即时应用1．若幂函数f (x )＝mx a 的图象经过点A ⎝⎛⎭⎫14，12，则它在点A 处的切线方程是( ) A ．2x －y ＝0 B ．2x ＋y ＝0 C ．4x －4y ＋1＝0D ．4x ＋4y ＋1＝02．已知曲线y ＝x 2－1在x ＝x 0处的切线与曲线y ＝1－x 3在x ＝x 0处的切线互相平行，则x 0的值为( )A ．0B ．23C ．0或－23D ．－233．曲线y ＝x 2＋1x在点(1,2)处的切线方程为____________．4．曲线f (x )＝ln x ＋12x 2＋ax 存在与直线3x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是________．5．设曲线y ＝1x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝e x 在点P 处的切线垂直，则点P 的坐标为________．考点三 导数的几何意义与函数性质的交汇考查导数的几何意义是课标卷命题考查的重点，常考查求切线方程及利用切线性质解决有关问题等，还与函数的图象与性质交汇考查，具有一定的综合性.(1)设函数y ＝x sin x ＋cos x ，且在图象上点(x 0，y 0)处的切线的斜率为k ，若k ＝g (x 0)，则函数k ＝g (x 0)的图象大致为( )(2)已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________．方法技巧求解导数的几何意义与函数性质交汇问题的2个注意点： 1．要注意函数相关性质在本课题中的作用．2．抓住导数的几何意义，利用函数性质或图象求解问题．即时应用1．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋1)x 是奇函数，则曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为( ) A ．y ＝xB ．y ＝x ＋1C ．y ＝1D ．y ＝02．已知函数f (x )的图象如图所示，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列正确的是( )A ．0＜f ′(2)＜f ′(3)＜f (3)－f (2)B ．0＜f ′(3)＜f ′(2)＜f (3)－f (2)C ．0＜f ′(3)＜f (3)－f (2)＜f ′(2)D ．0＜f (3)－f (2)＜f ′(2)＜f ′(3)【参考答案】主干知识 自主排查1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx(2) (x 0，f (x 0)) 切线的斜率 y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0) 3．基本初等函数的导数公式 0αx α－1cos x －sin x e xa x ln a1x1x ln a4.导数的运算法则 (1) f ′(x )±g ′(x )(2) f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )(3)f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2[小题诊断]1．B【解析】⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1－1x 2；(3x )′＝3x ln 3；(x 2cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，故选B. 2．C【解析】∵f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2＝x 3－3a 2x ＋2a 3， ∴f ′(x )＝3(x 2－a 2)． 3．C【解析】∵y ＝sin x ＋e x ，∴y ′＝cos x ＋e x ，∴y ′| x ＝0＝cos 0＋e 0＝2， ∴曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程为y －1＝2(x －0)， 即2x －y ＋1＝0.故选C. 4．3【解析】因为函数y ＝x 3＋ax ＋b 的导函数为y ′＝3x 2＋a ， 所以此函数的图象在点(1,3)处的切线斜率为3＋a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋a ＝2，3＝1＋a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.5．3【解析】因为f (x )＝(2x ＋1)e x ， 所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x ， 所以f ′(0)＝3e 0＝3.[小题纠偏]1．y ′＝1－x ln xx e x2．e 2【解析】设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝－1a ·0e x＝－1，∴0e x＝a ，又－1a·0e x ＝－x 0＋1，∴x 0＝2，a ＝e 2.核心考点 互动探究考点一 导数的运算1．解：y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x .2．解：∵y ＝－sin x 2⎝⎛⎭⎫－cos x 2＝12sin x ，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫12sin x ′＝12(sin x )′＝12cos x . 3．解：∵y ＝11－x ＋11＋x ＝21－x ，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫21－x ′＝－2(1－x )′(1－x )2＝2(1－x )2. 4．解：∵y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝3x 2＋12x ＋11. 考点二 导数的几何意义 角度一 求切线方程 1．(1)y ＝0或9x ＋4y ＝0【解析】当(0,0)为切点时，f ′(0)＝0，故切线方程为y ＝0.当(0,0)不为切点时，设切点为P (x 0，x 30＋3x 20)(x 0≠0)，则切线方程为y －(x 30＋3x 20)＝(x －x 0)·(3x 20＋6x 0)，切线过原点，所以x 30＋3x 20＝3x 30＋6x 20，所以x 0＝－32，此时切线方程为9x ＋4y ＝0. (2)解：因为f (x )＝(－x 2＋x －1)e x ，所以f ′(x )＝(－2x ＋1)e x ＋(－x 2＋x －1)e x ＝(－x 2－x )e x . 所以曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为k ＝f ′(1)＝－2e.又f (1)＝－e ，所以所求切线方程为y ＋e ＝－2e(x －1)，即2e x ＋y －e ＝0. 角度二 求切点坐标2．解：(1)根据题意，得f ′(x )＝3x 2＋1.所以曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝13， 所以要求的切线的方程为y ＝13x －32.(2)设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，所以直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16. 又直线l 过点(0,0)，则(3x 20＋1)(0－x 0)＋x 30＋x 0－16＝0，整理得x 30＝－8，解得x 0＝－2，所以y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，l 的斜率k ＝13， 所以直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． 角度三 根据切线的性质求参数 3．(1)B【解析】由导数的几何意义，k ＝y ′＝e x ＋e －x －3≥2e x ·e －x －3＝－1，当且仅当x ＝0时等号成立．即tan α≥－1，α∈[0，π)．又－12≤x ≤12，tan α＝k ＜0，所以α的最小值是3π4，故选B.(2)解：由题意知，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为2，所以f ′(1)＝2. 因为f ′(x )＝ln x ＋ax＋1，所以f ′(1)＝ln 1＋a ＋1＝a ＋1＝2，a ＝1.即时应用1．C【解析】由f (x )＝mx a 为幂函数，得m ＝1.因为点A ⎝⎛⎭⎫14，12在幂函数f (x )的图象上，代入可得a ＝12.则f ′(x )＝12x ，故f (x )的图象在点A ⎝⎛⎭⎫14，12处的切线的斜率为f ′⎝⎛⎭⎫14＝1.根据直线的点斜式方程可知要求的切线方程为y －12＝x －14，化简可得4x －4y ＋1＝0.故选C.2．C【解析】曲线y ＝x 2－1在x ＝x 0处的切线的斜率为0|x x y '＝＝2x 0，曲线y ＝1－x 3在x ＝x 0处的切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝－3x 20.由题意，得2x 0＝－3x 20，解得x 0＝0或－23.故选C. 3．x －y ＋1＝0【解析】因为y ′＝2x －1x 2，所以在点(1,2)处的切线方程的斜率为y ′|x ＝1＝2×1－112＝1，所以切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0. 4．(－∞，1]【解析】由题意，得f ′(x )＝1x ＋x ＋a ，故存在切点P (t ，f (t ))，使得1t ＋t ＋a ＝3，所以3－a ＝1t ＋t 有解．因为t ＞0，所以3－a ≥2(当且仅当t ＝1时取等号)，即a ≤1. 5．(0,1)【解析】由y ＝1x 得y ′＝－1x 2，所以曲线y ＝1x 在点(1,1)处的切线的斜率k ＝－1，所以曲线y＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率为1.由y ＝e x ，得y ′＝e x ，所以0e x＝1，解得x 0＝0，y 0＝1，即点P (0,1)．考点三 导数的几何意义与函数性质的交汇考查 (1)A (2)y ＝－2x －1【解析】(1)y ′＝x cos x ，k ＝g (x 0)＝x 0cos x 0，由于它是奇函数，排除B ，C ； 当0＜x ＜π4时，k ＞0，排除D ，故选A.(2)令x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝ln x －3x ，又f (－x )＝f (x )，∴f (x )＝ln x －3x (x ＞0)，则f ′(x )＝1x－3(x ＞0)，∴f ′(1)＝－2，∴在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即y ＝－2x －1.即时应用1．A【解析】函数f (x )是奇函数，可得f (－x )＝－f (x )， 即有－x 3＋ax 2－(a ＋1)x ＝－x 3－ax 2－(a ＋1)x ，可得a ＝0，即f (x )＝x 3＋x ，f ′(x )＝3x 2＋1，可得曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线斜率为k ＝1，切点为(0,0)，即曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为y ＝x .故选A. 2．C【解析】由题意知，(2，f (2))，(3，f (3))两点连线的斜率为f (3)－f (2)3－2＝f (3)－f (2)，而f ′(2)，f ′(3)分别表示函数f (x )的图象在点(2，f (2))，(3，f (3))处切线的斜率，由图象可知0＜f ′(3)＜f (3)－f (2)3－2＜f ′(2)，即0＜f ′(3)＜f (3)－f (2)＜f ′(2)．。
高中数学《导数的计算》学案1 新人教A版选修
高中数学《导数的计算》学案1 新人教A版选修3、2 导数的计算【成功细节】张玥谈导数的计算的方法（xx年，北京文9)已知是的导函数，则的值是＿＿＿＿、本节内容公式和法则比较多，以公式的推导、记忆以及应用为主，重点是基本初等函数导数公式以及导数的四则运算法则的灵活运用，公式的形式多样，容易引起混淆，并且公式中往往会有一些条件容易忽略，导致遗漏错误、所以在学习时，我认为应注意以下几个方面：（1）要牢记常数函数和幂函数的求导公式，能用定义法求这些函数的导数的方法，注意四种常见函数实际上就是四种特殊的幂函数；（2）要熟记基本初等函数的导数公式，特别是对数函数和指数函数的导函数的形式，；（3）熟练掌握导数的四则运算法则，注意公式的形式以及前提条件，两个函数的和与差的导数与两个函数积的导数的形式是不同的；（4）和（或差）、积的函数的导数运算法则可以推广到两个以上函数的和（差）、积的求导；（5）在求函数的导数时，一定要先化简函数的表达式，尽量不使用积的函数的导数的法则；（6）若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导。
如，这个题主要考查基本初等函数的导数公式以及函数和的导数的计算法则，是一个简单的小题，但计算时要细心，可先求出导函数，然后再求导数值，显然有公式可得，，所以、【高效预习】（核心栏目）“要养成学生阅读书籍的习惯就非教他们预习不可”。
叶圣陶【关注、思考】1、阅读课本第8182页，总结四个常用函数的导数公式，认真阅读导数公式的推导过程，这四个常用函数有什么共同的特征，其导数有什么意义？细节提示：利用导数的定义求解四种函数的导数，对照函数图象，把握住导数的物理意义和几何意义；四种常用函数实际上都是幂函数，探讨规律时，应把导函数的系数与幂指数与原函数进行对比、【领会、感悟】1、这四种函数实质上都是特殊的幂函数，它们的导函数的系数为幂函数的指数，指数为幂函数的指数减去1所的数值；函数的导数的几何意义是函数图象在该点处的切线的斜率【领会感悟】2、基本初等函数的导数公式是我们求解函数导数的基础，要记准确，记牢，才可能在运算过程中不出现错误。
导数的概念教案及说明
导数的概念教案及说明一、教学目标1. 理解导数的定义和物理意义；2. 掌握导数的计算方法；3. 能够应用导数解决实际问题。
二、教学内容1. 导数的定义：引入极限的概念，讲解导数的定义及求导法则；2. 导数的计算：讲解基本函数的导数公式，四则运算法则，复合函数的链式法则；3. 导数的应用：讲解导数在实际问题中的应用，如运动物体的瞬时速度、加速度，函数的单调性、极值等。
三、教学重点与难点1. 导数的定义及求导法则；2. 导数的计算方法；3. 导数在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解导数的定义、求导法则及应用；2. 利用例题，演示导数的计算过程；3. 引导学生运用导数解决实际问题。
五、教学过程1. 引入极限的概念，讲解导数的定义：导数表示函数在某一点的瞬时变化率，通过极限的概念来理解导数；2. 讲解基本函数的导数公式，四则运算法则，复合函数的链式法则：引导学生掌握导数的计算方法；3. 利用例题，演示导数的计算过程：让学生通过例题，加深对导数计算方法的理解；4. 讲解导数在实际问题中的应用：如运动物体的瞬时速度、加速度，函数的单调性、极值等，培养学生运用导数解决实际问题的能力；5. 课堂练习：布置相关练习题，巩固所学知识。
教学评价：通过课堂讲解、例题演示、练习题等方式，评价学生对导数的概念、计算方法及应用的掌握程度。
六、教学拓展1. 导数的几何意义：讲解导数表示曲线在某一点的切线斜率，引导学生理解导数的几何interpretation；2. 导数与函数的单调性：讲解导数与函数单调性的关系，引导学生理解如何利用导数判断函数的单调性；3. 导数与函数的极值：讲解导数与函数极值的关系，引导学生如何利用导数求函数的极值。
七、教学案例分析1. 分析实际问题，引导学生运用导数求解：如物体运动的速度、加速度问题，函数的单调性问题等；2. 分析复杂函数的导数求解过程：引导学生理解并掌握复杂函数导数的求解方法。
导数的概念及运算--附答案
3.1导数的概念及运算(学案） 姓名【一.导数的意义】1.函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率 0000()()limlimx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆ 称为函数()y f x =在0x x =处的导数.其几何意义为：【二.导数的运算公式】①()c '= ；②()nx '= ；③(sin )x '= ；④(cos )x '= ；⑤()xa '= ；⑥()x e '= ;⑦(log )a x '= ；⑧(ln )x '= ；⑨1()x'=；⑩'= ； 【三.导数的运算法则】①.和差的导数：[()()]f x g x '±= ；②.[()]C f x '⋅= ；其中C 为常数。
③.积的导数：[()()]f x g x '= ；④.商的导数：()()f x g x '⎛⎫ ⎪⎝⎭=(()0)g x ≠。
【四.复合函数的导数】设函数()u g x =在点x 处有导数x u '，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导数u y '，则复合函数(())y f g x =在点x 处也有导数，且x y '＝__ ______， 【五.求导】1.求导：①)5'⋅xa x （=5x 4·a x ＋x 5·a x ln a；② sin(2)3x π'⎛⎫+ ⎪⎝⎭=③2ln 1x x '⎛⎫ ⎪+⎝⎭=2．已知 f (x )＝x 2＋3x (2)f '，则(2)f '＝__-2___.3.求函数y ＝(x －1)(x －2)·…·(x －100) (x >100)的导数.解析：两边取对数得ln y ＝ln(x －1)＋ln(x －2)＋…＋ln(x －100)．两边对x 求导：y ′y ＝1x －1＋1x －2＋…＋1x －100.∴y ′＝⎝⎛⎭⎫1x －1＋1x －2＋…＋1x －100·(x －1)(x －2)·…·(x －100)．【六.导数的几何意义】4.已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点(2,4)的切线方程．解 (1)∵y ＝13x 3＋43，∴y ′＝x 2，∴曲线在点(2,4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4 由y －4＝4(x －2)，得4x －y －4＝0.∴曲线在点(2,4)处的切线方程为 4x －y －4＝0(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43 则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20. ∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20x －23x 30＋43∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0， ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0， ∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝05.在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数f (x )＝e x (x >0)的图象上的动点，该图象在点P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是___max 11()2t e e=+_____． 解析：设00(,),xP x e 则00000:(),(0,(1))x x x l y ee x x M x e -=-∴-，过点P 作l 的垂线000000(),(0,)x x x x y e e x x N e x e ---=--+，00000000011[(1)]()22x x x x x x t x e e x e e x e e --=-++=+-00'01()(1)2x x t e e x -=+-，所以，t 在(0,1)上单调增，在(1,)+∞单调减，max 11()2t e e=+。
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高中数学学案导数及其应用第1讲导数的概念及计算考点导数的概念及其几何意义知识点1 导数的有关概念(1)导数：如果当Δx→0时，ΔyΔx有极限，就说函数y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个极限叫做f(x)在x＝x0处的导数(或瞬时变化率)．记作f′(x0)或y′|x＝x，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f x0＋Δx－f x0Δx.(2)导函数：如果函数f(x)在开区间(a，b)内每一点都可导，那么其导数值在(a，b)内构成一个新的函数，我们把这个函数叫做f(x)在开区间(a，b)内的导函数．记作f′(x)或y′.注意点如果函数f(x)在x＝x0处可导，那么函数y＝f(x)在x＝x0处连续.2 导数的几何意义函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．3 几种常见函数的导数原函数导数y＝C(C为常数)y′＝0y＝x n(n∈Q*)y′＝nx n－1y＝sin x y′＝cos xy＝cos x y′＝－sin xy＝e x y′＝e xy＝ln x y′＝1 xy＝a x(a>0，且a≠1)y′＝a x ln_ay ＝log a x (a >0，且a ≠1)y ′＝1x ln a4 导数的四则运算法则若y ＝f (x )，y ＝g (x )的导数存在，则 ①[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； ②[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； ③⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x [g x ]2(g (x )≠0)． 注意点 “过某点”和“在某点”的区别曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点.入门测1．思维辨析(1)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( ) (2)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( ) (4)若f (x )＝f ′(a )x 2＋ln x (a >0)，则f ′(x )＝2xf ′(a )＋1x.( )答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√2．(1)设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为( ) A ．e 2 B ．e C.ln 22D ．ln 2(2)若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( ) A ．－1 B ．－2 C ．2D ．0答案 (1)B (2)B解析 (1)由f (x )＝x ln x 得f ′(x )＝ln x ＋1.根据题意知ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，因此x 0＝e. (2)f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，∵f ′(x )为奇函数且f ′(1)＝2，∴f ′(－1)＝－2.3．曲线y ＝sin x＋e x在点(0,1)处的切线方程是( )A．x－3y＋3＝0 B．x－2y＋2＝0C．2x－y＋1＝0 D．3x－y＋1＝0答案 C解析y′＝cos x＋e x，故在点(0,1)处的切线斜率为2，切线方程为y＝2x＋1，即2x－y ＋1＝0.[考法综述] 导数的运算是所有导数问题的基础，高考中凡是涉及导数的问题必然会用到运算法则．导数的几何意义也是常考内容，主要有两种命题角度：①知切点求切线方程(斜率)；②知切线方程(或斜率)求切点参数值或曲线方程等．一般难度不大，选择、填空、解答题的形式都有．命题法导数的概念和几何意义典例(1)已知函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，且x0∈(a，b)，则limh→0 f x0＋h－f x0－hh等于( )A．f(x0) B．－2f′(x0)C．2f′(x0) D．0(2)已知函数f(x)的导函数f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝( )A．－e B．－1C．1 D．e(3)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.[解析] (1)limh→0f x0＋h－f x0－hh＝limh→0f x0＋h－f x0－[f x0－h－f x0]h＝limh→0f x0＋h－f x0h＋limh→0f x0－h－f x0－h＝2f′(x0)．(2)∵f(x)＝2xf′(1)＋ln x，∴f′(x)＝[2xf′(1)]′＋(ln x)′＝2f′(1)＋1 x，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，即f′(1)＝－1.(3)f′(x)＝3ax2＋1，f′(1)＝3a＋1，f(1)＝a＋2，故f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y －(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)，代入点(2,7)得，a＝1.[答案] (1)C (2)B (3)1【解题法】导数运算的原则和方法以及导数几何意义问题的解题策略(1)①原则：先化简解析式，再求导．②方法：a．连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；b．分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；c．对数形式：先化为和、差的形式，再求导；d．根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；e．三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．(2)①已知切点求切线方程．解决此类问题的步骤为：a．求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率；b．由点斜式求得切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．②已知斜率求切点：已知斜率k，求切点(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.③求切线倾斜角的取值范围：先求导数的取值范围，即确定切线斜率的取值范围，然后利用正切函数的单调性解决．1．函数f(x)＝e x cos x的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为( )A.π4B．0C.3π4D．1答案 A解析由f′(x)＝e x(cos x－sin x)，则在点(0，f(0))处的切线的斜率k＝f′(0)＝1，故倾斜角为π4，选A.2.下列四个图象中，有一个是函数f(x)＝13x3＋ax2＋(a2－4)x＋1(a∈R，a≠0)的导函数y＝f′(x)的图象，则f(1)＝( )A.103B.43C．－23D．1答案 C解析f′(x)＝x2＋2ax＋(a2－4)，由a≠0，结合导函数y＝f′(x)的图象，知导函数图象为③，从而可知a2－4＝0，解得a＝－2或a＝2，再结合－2a2>0知a<0，所以a＝－2，代入可得函数f(x)＝13x3－2x2＋1，可得f(1)＝－23，故选C.3．已知t为实数，f(x)＝(x2－4)·(x－t)且f′(－1)＝0，则t等于( ) A．0 B．－1C.12D．2答案 C解析依题意得，f′(x)＝2x(x－t)＋(x2－4)＝3x2－2tx－4，∴f′(－1)＝3＋2t－4＝0，即t＝1 2 .4.设曲线y＝e x在点(0,1)处的切线与曲线y＝1x(x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________．答案(1,1)解析y′＝e x，则y＝e x在点(0,1)处的切线的斜率k切＝1，又曲线y＝1x(x>0)上点P处的切线与y＝e x在点(0,1)处的切线垂直，所以y＝1x(x>0)在点P处的切线的斜率为－1，设P(a，b)，则曲线y＝1x(x>0)上点P处的切线的斜率为y′|x＝a＝－a－2＝－1，可得a＝1，又P(a，b)在y ＝1x上，所以b ＝1，故P (1,1)．5．若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________． 答案 (e ，e)解析 由题意得y ′＝ln x ＋x ·1x＝1＋ln x ，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2.设P (m ，n )，则1＋ln m ＝2，解得m ＝e, 所以n ＝eln e ＝e ，即点P 的坐标为(e ，e)．6．若对于曲线f (x )＝－e x －x (e 为自然对数的底数)的任意切线l 1，总存在曲线g (x )＝ax ＋2cos x 的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围为________．答案 [－1,2]解析 易知函数f (x )＝－e x －x 的导数为f ′(x )＝－e x －1，设l 1与曲线f (x )＝－e x －x 的切点为(x 1，f (x 1))，则l 1的斜率k 1＝－e x 1－1.易知函数g (x )＝ax ＋2cos x 的导数为g ′(x )＝a －2sin x ，设l 2与曲线g (x )＝ax ＋2cos x的切点为(x 2，g (x 2))，则l 2的斜率k 2＝a －2sin x 2.由题设可知k 1·k 2＝－1，从而有(－e x 1－1)(a －2sin x 2)＝－1，∴a －2sin x 2＝1e x 1＋1，故由题意知对任意x 1，总存在x 2使得上述等式成立，则有y 1＝1e x 1＋1的值域是y 2＝a －2sin x 2值域的子集，则(0,1)⊆[a －2，a ＋2]，则⎩⎨⎧a －2≤0，a ＋2≥1，∴－1≤a ≤2. 7．已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在实数k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．解 (1)由已知得f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ， ∵f ′(－1)＝0，∴3a －6－6a ＝0，∴a ＝－2.(2)存在．由已知得，直线m 恒过定点(0,9)，若直线m 是曲线y ＝g (x )的切线，则设切点为(x 0,3x 20＋6x 0＋12)．∵g ′(x 0)＝6x 0＋6，∴切线方程为y －(3x 20＋6x 0＋12)＝(6x 0＋6)(x －x 0)， 将(0,9)代入切线方程，解得x 0＝±1.当x0＝－1时，切线方程为y＝9；当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9，∴y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10；∴y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.微型专题导数几何意义应用的创新题型创新考向导数几何意义的应用中的创新问题是近几年高考命题的一个增长点，此类问题以新定义、新情境为依托，考查学生理解问题、解决创新问题的能力．命题形式：常见的有新概念、新情境、新法则等．创新例题如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则函数的解析式为( )A．y＝1125x3－35x B．y＝2125x3－45xC．y＝3125x3－x D．y＝－3125x3＋15x解析根据题意知，所求函数在(－5,5)上单调递减．对于A，y＝1125x3－35x，∴y′＝3125x2－35＝3125(x2－25)，∴∀x∈(－5,5)，y′<0，∴y＝1125x3－35x在(－5,5)内为减函数，同理可验证B、C、D均不满足此条件，故选A.创新练习若直线l与曲线C满足下列两个条件：(1)直线l在点P(x0，y0)处与曲线C相切．(2)曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C.下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①直线l：y＝0在点P(0,0)处“切过”曲线C：y＝x3；②直线l：x＝－1在点P(－1,0)处“切过”曲线C：y＝(x＋1)2；③直线l：y＝x在点P(0,0)处“切过”曲线C：y＝sin x；④直线l：y＝x在点P(0,0)处“切过”曲线C：y＝tan x；⑤直线l：y＝x－1在点P(1,0)处“切过”曲线C：y＝ln x.答案①③④解析对于①，y′＝3x2，y′|x＝0＝0，所以l：y＝0是曲线C：y＝x3在点P(0,0)处的切线，画图可知曲线C：y＝x3在点P(0,0)附近位于直线l的两侧，①正确；对于②，因为y′＝2(x＋1)，y′|x＝－1＝0，所以l：x＝－1不是曲线C：y＝(x＋1)2在点P(－1,0)处的切线，②错误；对于③，y′＝cos x，y′|x＝0＝1，所以l：y＝x是曲线C：y＝sin x在点P(0,0)处的切线，画图可知曲线C：y＝sin x在点P(0,0)附近位于直线l的两侧，③正确；对于④，y′＝1cos2x，y′|x＝0＝1cos20＝1，所以l：y＝x是曲线C：y＝tan x在点P(0,0)处的切线，画图可知曲线C：y＝tan x在点P(0,0)附近位于直线l的两侧，④正确；对于⑤，y′＝1x，y′|x＝1＝1，所以l：y＝x－1是曲线C：y＝ln x在点P(1,0)处的切线，令h(x)＝x－1－ln x(x>0)，可得h′(x)＝1－1x＝x－1x，所以h(x)min＝h(1)＝0，故x－1≥ln x，可知曲线C：y＝ln x在点P(1,0)附近位于直线l的下方，⑤错误．1．准确转化：解决此类问题时，一定要读懂题目的本质含义，紧扣题目所给条件，结合题目要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．2．方法选取：对于导数几何意义的应用中的创新问题，可恰当选用图象法、特例法、一般逻辑推理等方法，同时结合导数的几何意义求解，以此培养学生领悟新信息、运用新信息的能力．若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，则a的值是( )A．1 B.1 64C．1或164D．1或－164[错解][错因分析] (1)片面理解“过点O(0,0)的直线与曲线f(x)＝x3－3x2＋2x相切”．这里有两种可能：一是点O是切点；二是点O不是切点，但曲线经过点O，解析中忽视后面情况．(2)本题还易出现以下错误：一是当点O(0,0)不是切点，无法与导数的几何意义沟通起来；二是盲目设直线l的方程，导致解题复杂化，求解受阻．[正解] 易知点O(0,0)在曲线f(x)＝x3－3x2＋2x上，(1)当O(0,0)是切点时，同上面解法．(2)当O(0,0)不是切点时，设切点为P(x0，y0)，则y0＝x30－3x20＋2x0，且k＝f′(x0)＝3x20－6x0＋2.①又k＝y0x0＝x20－3x0＋2，②由①，②联立，得x0＝32(x0＝0舍)，所以k＝－14，∴所求切线l的方程为y＝－14x.由⎩⎪⎨⎪⎧y＝－14x，y＝x2＋a，得x2＋14x＋a＝0.依题意，Δ＝116－4a＝0，∴a＝164.综上，a＝1或a＝164.[答案] C[心得体会]课时练基础组1.[武邑中学模拟]已知奇函数f(x)满足f′(－1)＝1，则limΔx→0fΔx－1＋f1Δx＝( ) A．1 B．－1C．2 D．－2答案 A解析由f(x)为奇函数，得f(1)＝－f(－1)，所以limΔx→0fΔx－1＋f1Δx＝limΔx→0 f－1＋Δx－f－1Δx＝f′(－1)＝1，故选A.2．[枣强中学一轮检测]已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x(e为自然对数的底数)，则f′(e)＝( )A.1eB．eC．－1eD．－e答案 C解析由f(x)＝2xf′(e)＋ln x，得f′(x)＝2f′(e)＋1x，则f′(e)＝2f′(e)＋1e⇒f′(e)＝－1e，故选C.3．[衡水中学周测]若曲线f(x)＝a cos x与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，则a＋b＝( )A．－1 B．0C．1 D．2答案 C解析依题意得，f′(x)＝－a sin x，g′(x)＝2x＋b，于是有f′(0)＝g′(0)，即－a sin0＝2×0＋b，故b＝0，又有m＝f(0)＝g(0)，则m＝a＝1，因此a＋b＝1，选C.4．[冀州中学月考]曲线y＝x3－2x＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( )A．45°B．60°C．120°D．135°答案 A解析由y＝x3－2x＋4，得y′＝3x2－2，得y′|x＝1＝1，故切线的倾斜角为45°.5．[武邑中学周测]已知f(x)＝x3－92x2＋6x－a，若对任意实数x，f′(x)≥m恒成立，则m的最大值为( )A．3 B．2C．1 D．－3 4答案 D解析f′(x)＝3x2－9x＋6，因为对任意实数x，f′(x)≥m恒成立，即3x2－9x＋(6－m)≥0恒成立，所以81－12(6－m)≤0，解得m≤－34，即m的最大值为－34，故选D.6．[衡水中学月考]函数f(x)＝x sin x的导函数f′(x)在区间[－π，π]上的图象大致为( )答案 C解析 ∵f (x )＝x sin x ，∴f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，∴f ′(－x )＝－sin x －x cos x ＝－f ′(x )，∴f ′(x )为奇函数，由此可排除A ，B ，D ，故选C.7．[枣强中学猜题]若点P 在曲线f (x )＝ln x ＋ax 上，且在点P 处的切线与直线2x －y ＝0平行，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，2)C ．(2，＋∞)D ．(0，＋∞)答案 B解析 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为f ′(x )＝1x ＋a ，故f ′(x 0)＝1x 0＋a ＝2，得a ＝2－1x 0，由题意，知x 0>0，所以a ＝2－1x 0<2，故选B.8．[衡水中学期中]抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )A.316 B.38 C.233D.433答案 D解析 设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，12p x 20，y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12p x 2′＝x p ，故在M 点处的切线的斜率为x 0p ＝33，故M ⎝⎛⎭⎪⎫33p ，16p .由题意又可知抛物线的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，双曲线右焦点为(2,0)，且⎝ ⎛⎭⎪⎫33p ，16p ，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，(2,0)三点共线，16p －033p －2＝p2－00－2，可求得p ＝433，故选D. 9．[武邑中学期中]曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程为________． 答案 5x ＋y ＋2＝0解析 由y ＝－5e x ＋3得，y ′＝－5e x ，所以切线的斜率k ＝y ′|x ＝0＝－5，所以切线方程为y ＋2＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.10．[衡水中学期末]若f ′(x 0)＝2，则lim k →0f x 0－k －f x 02k＝________.答案 －1 解析 f ′(x 0)＝lim k →0f [x 0＋－k ]－f x 0－k(这里Δx ＝－k )，所以，lim k →0f x 0－k －f x 02k＝lim k →0⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12·f [x 0＋－k ]－f x 0－k＝－12f ′(x 0)＝－12×2＝－1.11．[冀州中学期末]已知函数y ＝2cos x ＋3的导函数为G (x )，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π上，随机取一个值a ，则G (a )<1的概率P 为________．答案78解析 由题意，知G (x )＝y ′＝－2sin x ，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π上，由G (a )＝－2sin a <1，得a∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－π6，π，故概率P ＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6π－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝78. 12. [衡水中学预测]过函数y ＝x 12(0<x <1)图象上一点M 作切线l 与y 轴和直线y ＝1分别交于点P 、Q ，点N (0,1)，则△PQN 面积的最大值为________．答案827解析 设切点为M (t 2，t )，0<t <1，因为y ′＝12x，所以切线斜率为k ＝12t，切线方程为y －t ＝12t (x －t 2)，即y ＝12t x ＋t 2，分别令x ＝0、y ＝1得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，t 2、Q (2t －t 2,1)，所以△PQN的面积S ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 2·(2t －t 2)＝14t 3－t 2＋t ，S ′＝34t 2－2t ＋1＝14(t －2)(3t －2)，注意到0<t <1，所以当t ＝23时，△PQN 的面积取到最大值14×⎝ ⎛⎭⎪⎫233－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋23＝827.能力组13.[枣强中学热身]曲线y ＝x ＋13x 3在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43处的切线和坐标轴围成的三角形的面积为( )A ．3B ．2 C.13 D.19答案 D解析 由题意，知y ′＝1＋x 2，∴曲线在点⎝⎛⎭⎪⎫1，43处的切线的斜率k ＝y ′| x ＝1＝2，又切线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43，∴切线方程为y －43＝2(x －1)，即y ＝2x －23.∴切线与x 轴和y 轴的交点分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－23.∴所求三角形的面积为12×13×23＝19，故选D. 14．[衡水中学猜题]已知f (x )＝x 3＋ax －2b ，如果f (x )的图象在切点P (1，－2)处的切线与圆(x －2)2＋(y ＋4)2＝5相切，那么3a ＋2b ＝________.答案 －7解析 由题意得f (1)＝－2⇒a －2b ＝－3，又∵f ′(x )＝3x 2＋a ，∴f (x )的图象在点(1，－2)处的切线方程为y ＋2＝(3＋a )(x －1)，即(3＋a )x －y －a －5＝0，∴|3＋a ×2＋4－a －5|3＋a2＋1＝5⇒a ＝－52，∴b ＝14，∴3a ＋2b ＝－7.15．[衡水中学一轮检测]设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．答案－2解析∵y′| x＝1＝n＋1(n∈N*)，∴曲线在点(1,1)处的切线为y－1＝(n＋1)(x－1)(n∈N*)，令y＝0，得x＝x n＝nn＋1(n∈N*)，∴a n＝lgnn＋1(n∈N*)，∴a1＋a2＋…＋a99＝lg12＋lg2 3＋…＋lg99100＝lg⎝⎛12×23×…×⎭⎪⎫99100＝lg1100＝－2.16. [冀州中学模拟]已知点P在曲线y＝4e x＋1(其中e为自然对数的底数)上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则tanα的取值范围是________．答案[－1,0)解析易知y′＝－4e xe x＋12，显然y′<0，又－4e x e x＋12＝－4e x＋1e x＋2≥－42 e x·1e x＋2＝－1(当且仅当e x＝1e x时取“＝”)，∴tanα的取值范围是[－1,0)．。