高中数学导数的计算
人教A版高中数学选修2-2课件1.2导数的计算(3).pptx
例4 求下列函数的导数
(1) y (2x 3)2
解：(1)函数y (2x 3)2可以看作 函数y u2和u 2x 3的复合函数。 根据复合函数求导法则有
yx ' yu '• ux ' (u 2 ) '• (2x 3) '
2ug2 4u 8x 12.
(2) y e0.05x1
x, 则f
'( x)
1 (a x ln a
0, 且a
1);
公式8.若f (x) ln x,则f '(x) 1 ; x
导数运算法则
1. f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
2 . f ( x ) • g ( x ) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x )
例设 y ln x x2 a2 a 0 求 y
解
y ln x
x2 a2
1
1
2x
1
x x2 a2 2 x2 a2 x2 a2
例设 y求 ln tan 2 x
y
解 y ln tan 2x 1 tan 2x
tan 2x
1 tan 2x
1 cos2
2x
2 x
解 (1) y 2u ,u x 1. (2) y sin u,u v 1, v ln x.
3.复合函数的求导法则 (1) y f [g(x)] y f (u),u g(x). 那么
yx yu ux .
(2) y f (u),u g(v), v h(x). 那么
yx yu uv vx' .
2. c f (x) c f (x)
3.
f g
(x) (x)
高中数学 导数的运算
y =
lim
x0
f
(x x) x
f
(x)
=
lim
x0
4(
x
x) x
4
x
= lim 4 = 4. x0
(2x)=2. (3x)=3. (4x)=4.
y y=4x y=3x
4 y=2x 3 2
o1 x
练习: (课本13, 14页 “探究”)
1. 在同一平面直角坐标系中, 画出函数 y=2x,
y=3x, y=4x 的图象, 并根据导数定义, 求它们的导数.
导数的运算法则(第二课时)
几个常用函数的导数
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1. 常数函数, 正比例函数, 反比例函数, 幂函数等的导数各是多少?
2. 以上函数的导数与图象、函数性质各 有什么关系?
问题1. 上一课时我们学习了导函数, 你能求出以
下函数的导函数吗? 其几何意义和物理意义如何?
(1) y=c (c为常数);
y=x2y o
(3) y=x2;
(4)
y
=
1 x
;
(5) y = x.
(3) y=x2,
y
x
= = =
lim
x0
lim
x0
lim
x0
y x
= lim x0
f
(x x) x
f
(
(x x)2 x2
x x2 2x(x) (x)2 x2
x
x)
几何意义: 当 x<0 时, 切线的斜率为 负, 且逐渐增大;
4. 若 f(x)=cos x, 则 f (x)= sin x;
5. 若 f(x)=ax, 则 f (x)=ax lna;
导数的几种解法
导数的几种解法摘要：导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
通过熟练掌握这些方法，我们可以计算各种函数的导数，并应用导数来分析函数的性质和解决实际问题。
求导在数学和科学的各个领域都有广泛应用，为我们理解变化规律、优化问题和建模提供了强大的工具。
持续学习和探索微积分的知识，将帮助我们更好地理解和应用求导技术。
为了求解导数，我们可以采用多种不同的方法和技巧，本文将介绍导数的几种常见解法。
关键词：高中数学；导数；常见解法引言：高中数学中，导数是一个重要的概念和计算方法。
对于函数的导数，有多种解法可以应用。
每种解法都有其独特的适用场景和计算方式，能够帮助我们更好地理解和运用导数的概念。
通过熟练掌握和灵活运用这些解法，我们可以更精确地求解函数的导数，进而应用到各种实际问题中，提高数学问题的解决能力。
一、基本求导方法导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某一点处的变化率。
在数学上，导数可以通过极限的概念来定义，表示函数在某一点附近的斜率。
几何上，导数可以解释为函数图像在某一点处的切线斜率。
物理上，导数可以表示物体在某一时刻的速度或加速度。
导数的计算可以采用多种方法，以下是几种基本的求导方法。
一种常见的方法是使用定义法求导。
根据导数的定义，导数可以通过极限的方式来计算。
具体来说，对于一个函数f(x)，它在某个点x=a处的导数可以通过计算极限lim(h→0) [f(a+h) - f(a)] / h 来求得。
这种方法需要对极限的概念和计算方法有一定的了解，并且在具体计算时需要进行一系列的代数运算。
例如，对于函数f(x) = x^2，在x=2处的导数可以通过计算lim(h→0) [(2+h)^2 -2^2] / h来得到。
另一种常用的方法是利用常见的导数规则来求导。
导数规则是一些已知的函数导数的性质和规律，可以帮助我们快速计算复杂函数的导数。
常见的导数规则包括幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导数等。
高中求导公式运算法则
高中求导公式运算法则
在高中求导过程中，常用的公式和运算法则包括：
1. 基本导数公式：
-常数导数：常数的导数为零。
-幂函数导数：对于函数y = x^n，其中n是实数常数，其导数为dy/dx = nx^(n-1)。
-指数函数导数：对于函数y = e^x，其导数为dy/dx = e^x。
-对数函数导数：对于函数y = ln(x)，其中x > 0，其导数为dy/dx = 1/x。
2. 基本运算法则：
-和差法则：对于函数y = u(x) ± v(x)，其导数为dy/dx = u'(x) ± v'(x)，其中u'(x)和v'(x)分别表示u(x)和v(x)的导数。
-常数倍法则：对于函数y = ku(x)，其中k为常数，其导数为dy/dx = k * u'(x)。
-乘积法则：对于函数y = u(x) * v(x)，其导数为dy/dx = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x)。
-商法则：对于函数y = u(x) / v(x)，其导数为dy/dx = (u'(x) * v(x) - u(x) * v'(x)) / v(x)^2，其中v(x) ≠ 0。
3. 链式法则：对于复合函数y = f(g(x))，其导数为dy/dx = f'(g(x)) * g'(x)。
这些是高中求导过程中常用的公式和运算法则。
当然，导数的计算还涉及到其他公式和技巧，具体问题具体分析。
对于更高级的求导
技巧和运算法则，可能需要在大学或高等数学课程中学习。
高中数学《导数的计算》学案1 新人教A版选修
高中数学《导数的计算》学案1 新人教A版选修3、2 导数的计算【成功细节】张玥谈导数的计算的方法（xx年，北京文9)已知是的导函数，则的值是＿＿＿＿、本节内容公式和法则比较多，以公式的推导、记忆以及应用为主，重点是基本初等函数导数公式以及导数的四则运算法则的灵活运用，公式的形式多样，容易引起混淆，并且公式中往往会有一些条件容易忽略，导致遗漏错误、所以在学习时，我认为应注意以下几个方面：（1）要牢记常数函数和幂函数的求导公式，能用定义法求这些函数的导数的方法，注意四种常见函数实际上就是四种特殊的幂函数；（2）要熟记基本初等函数的导数公式，特别是对数函数和指数函数的导函数的形式，；（3）熟练掌握导数的四则运算法则，注意公式的形式以及前提条件，两个函数的和与差的导数与两个函数积的导数的形式是不同的；（4）和（或差）、积的函数的导数运算法则可以推广到两个以上函数的和（差）、积的求导；（5）在求函数的导数时，一定要先化简函数的表达式，尽量不使用积的函数的导数的法则；（6）若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导。
如，这个题主要考查基本初等函数的导数公式以及函数和的导数的计算法则，是一个简单的小题，但计算时要细心，可先求出导函数，然后再求导数值，显然有公式可得，，所以、【高效预习】（核心栏目）“要养成学生阅读书籍的习惯就非教他们预习不可”。
叶圣陶【关注、思考】1、阅读课本第8182页，总结四个常用函数的导数公式，认真阅读导数公式的推导过程，这四个常用函数有什么共同的特征，其导数有什么意义？细节提示：利用导数的定义求解四种函数的导数，对照函数图象，把握住导数的物理意义和几何意义；四种常用函数实际上都是幂函数，探讨规律时，应把导函数的系数与幂指数与原函数进行对比、【领会、感悟】1、这四种函数实质上都是特殊的幂函数，它们的导函数的系数为幂函数的指数，指数为幂函数的指数减去1所的数值；函数的导数的几何意义是函数图象在该点处的切线的斜率【领会感悟】2、基本初等函数的导数公式是我们求解函数导数的基础，要记准确，记牢，才可能在运算过程中不出现错误。
高中数学导数的计算
高中数学导数的计算导数是微积分中的一项重要概念，用于描述函数在其中一点的变化率。
在高中数学中，我们主要学习了常见函数的导数计算方法，包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
下面我们将通过一些例子详细介绍这些函数的导数计算方法。
一、多项式函数的导数计算多项式函数的一般形式为f(x)=aₙxⁿ+aₙ₋₁xⁿ⁻¹+...+a₁x+a₀，其中aₙ、aₙ₋₁、..、a₁、a₀为常数，n为正整数。
多项式函数的导数计算可通过幂次降低的方法来进行。
具体来说，对于f(x)=aₙxⁿ+aₙ₋₁xⁿ⁻¹+...+a₁x+a₀，如果n≥1，则有f’(x)=naₙxⁿ⁻¹+(n-1)aₙ₋₁xⁿ⁻²+...+a₁。
如果n=0，则f’(x)=0。
例题1：求函数f(x)=4x⁴+2x³-3x²+5的导数。
解：f’(x)=4*4x³+3*2x²-2*3x¹+0=16x³+6x²-6x二、指数函数的导数计算指数函数的一般形式为f(x)=aᵏx，其中a为常数，k为指数。
指数函数的导数计算可以通过应用导数的基本性质和指数函数的特点来求解。
具体来说，对于函数f(x)=aᵏx，根据导数的基本性质，有f’(x)=k*aᵏ⁻¹x。
同样地，对于指数函数f(x)=a，它的导数为f’(x)=0。
例题2：求函数f(x)=3e²ˣ的导数。
解：f’(x)=3*2e²ˣ=6e²ˣ三、对数函数的导数计算对数函数的一般形式为f(x)=logₐx，其中a为底数。
对数函数的导数计算同样可以通过应用导数的基本性质和对数函数的特点来求解。
具体来说，对于函数f(x)=logₐx，根据导数的基本性质，有f’(x)=1/(xlna)。
例题3：求函数f(x)=ln(4x)的导数。
解：f’(x)=1/(4x)四、三角函数的导数计算三角函数是高中数学中常见的函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
高中数学导数公式及运算法则
高中数学导数公式及运算法则1.y=cc为常数 y'=02.y=x^n y'=nx^n-13.y=a^x y'=a^xlnay=e^x y'=e^x4.y=logax y'=logae/xy=lnx y'=1/x5.y=sinx y'=cosx6.y=cosx y'=-sinx7.y=tanx y'=1/cos^2x8.y=cotx y'=-1/sin^2x加（减）法则：[fx+gx]'=fx'+gx'乘法法则：[fx*gx]'=fx'*gx+gx'*fx除法法则：[fx/gx]'=[fx'*gx-gx'*fx]/gx^2由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。
基本的求导法则如下：1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）。
2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即②式）。
3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方（即③式）。
4、如果有复合函数，则用链式法则求导。
函数y=f（x）在x0点的导数f'（x0）的几何意义：表示函数曲线在点P0（x0,f（x0））处的切线的斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。
计算已知函数的导函数可以按照导数的定义运用变化比值的极限来计算。
在实际计算中，大部分常见的解析函数都可以看作是一些简单的函数的和、差、积、商或相互复合的结果。
只要知道了这些简单函数的导函数，那么根据导数的求导法则，就可以推算出较为复杂的函数的导函数。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
高中数学导数运算公式
高中数学导数运算公式高中数学的导数运算公式，嘿，听起来好像有点吓人，其实没那么复杂。
咱们就像在爬山一样，开始可能觉得陡峭，后来慢慢就能找到窍门。
导数，其实就是看函数在某个点的变化率，像是观察一辆车在某一时刻的速度。
你想啊，开车的时候，突然加速，哇，那速度一下子就上来了，对吧？这就是导数的感觉，瞬间的变化，刺激又有趣。
咱们来聊聊最基本的那些公式。
你可能听过，常数的导数是零，嘿，简单吧。
就像你在沙发上看电视，根本没动，变化率当然是零啦。
然后再看一次方程，比如说 (f(x) = x^n)，它的导数是 (f'(x) = nx^{n1)。
这就是个简单的规律，越往上乘的那个数越大，减一就是了，轻松搞定！咱们说说和其他函数结合的情况。
比如乘法法则，别紧张，听着就好。
假设你有两个函数 (u(x)) 和 (v(x))，那么它们的乘积的导数就是 (u'v + uv')。
就像你和朋友一起合作搞事情，你干一点，他干一点，合力就出来了。
这一套，真的是让人觉得妙不可言，简直就是数学界的黄金搭档。
然后，别忘了链式法则，太重要了。
想象一下你在玩打怪游戏，里面有个 Boss，要打败它需要先打小怪。
链式法则就像是这个过程，(f(g(x)))的导数是 (f'(g(x)) cdot g'(x))。
简单来说，就是先看外面，再看里面，越深入越有趣，最终你就能搞定整个函数，真的是一步一个脚印，稳扎稳打。
再来聊聊一些奇妙的公式，比如指数函数和对数函数。
你可能知道，(e^x)的导数是它自己，哇，这个听起来就很酷，跟个永动机一样，无限循环。
而自然对数的导数是(1/x)，就像一个倒立的钟，越往后走，分数越来越小。
数学里的这些规律，真的是让人眼前一亮，忍不住想深入了解。
别忘了，咱们还有三角函数，真是充满了变化和乐趣。
比如说，(sin(x))的导数是(cos(x))，而(cos(x))的导数是(sin(x))。
这就是个完美的循环，让人感觉到数学的和谐美。
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1.求下列函数的导数： (1)y＝x x；(2)y＝log31x；(3)y＝2－x； (4)y＝log2x2－log2x；(5)y＝－2sin2x(1－2cos24x)．
高中数学导数的计算
求下列函数的导数． (1)f(x)＝13ax3＋bx2＋c； (2)f(x)＝xln x＋2x； (3)f(x)＝xx＋－11； (4)f(x)＝x2·ex.
高中数学导数的计算
• [题后感悟] 求曲线在点P(x0，y0)处的切线方程，关键是 确定切线的斜率，即函数在x＝x0处的导数值，然后用点斜式 写出切线方程，研究其有关性质．
高中数学导数的计算
• 本节总结 • 1．求导数的方法 • (1)定义法：运用导数的定义来求函数的导数． • (2)公式法：运用已知函数的导数公式及导数的四则运算法 则求导数．
高中数学导数的计算
• 作业布置 • 课本课后习题
高中数学导数的计算
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y′＝ y′＝μxμ－1 y′＝axln_a
y＝ex
y′＝ex
高中数学导数的计算
原函数
导函数
y＝logax(a>0，a≠1，x>0) y＝ln x
y′＝xln1 a y′＝1x
y＝sin x
y′＝cos x
y＝cos x
y′＝－sin x
高中数学导数的计算
• 3.导数的四则运算法则 • 设f(x)、公g式(x)是可导的.Leabharlann • A．－9B．－3
• C．9
D．15
• 解析： y′＝3x2，故曲线在点P(1,12)处的切线斜率是3， 故切线方程是y－12＝3(x－1)，令x＝0得y＝9.
• 答案： C
高中数学导数的计算
求曲线 y＝x＋ x在点(1,2)处的切线在 x 轴上的截距．
解答本题可先运用求导法则求出 y′，进而求出 y′|x＝1， 再用点斜式写出切线方程，令 y＝0，求出 x 的值，即为切线 在 x 轴上的截距．
是否有更简便的求导数的方法呢？
高中数学导数的计算
带着问题看课本： 1，基本初等函数的导数公式是什么？ 2，导数的运算法则是什么？ 3，如何利用公式和法则进行简单的计算
。
高中数学导数的计算
• 2.基本初等函数的导数公式 原函数
导函数
y＝C
y′＝0
y＝xn(n为自然数) y＝xμ(x>0，μ≠0，μ为有理 数) y＝ax(a>0，a≠1)
高中数学导数的计算
2.求下列函数的导数．
(1)y＝x·tan x；(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；
(3)y＝xx2＋＋33；(4)y＝xsin x－co2s x；
(5)y＝
x5＋
x7＋ x
x9；
(6)y＝x－sin2xcos2x.
高中数学导数的计算
• (2011·山东高考)曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴 交点的纵坐标是( )
高中数学导数的计算
高铁是目前一个非常受欢迎的交通工具，既低碳又快 捷．设一高铁走过的路程 s(单位：m)关于时间 t(单位：s)的 函数 s＝f(t)＝2t2，求它的瞬时速度，即求 f(t)的导数．根据 导数的定义，就是求当 Δt→0 时，ΔΔst所趋近的那个定值，运 算比较复杂，而且，有的函数如 y＝sin x，y＝ln x 等很难运 用定义求导数．
语言叙述
常数与函数积的导数， 等于常数乘以函数的导数
gfxx′＝gxf′xg－2xfxg′x (g(x)≠0)
两个函数商的导数等于 分母上的函数乘上分子的导 数，减去分子乘以分母的导 数所得的差除以分母的平方
高中数学导数的计算
求下列函数的导函数： (1)y＝x12；(2)y＝x14；(3)y＝5 x3； (4)y＝2sin2xcos2x；(5)y＝log12x；(6)y＝3x.
高中数学导数的计算
注意导数公式和导数法则的应用，先化简再求导数．
高中数学导数的计算
• [题后感悟] (1)应用基本初等函数的导数公式和导数的四 则运算法则可迅速解决一些简单的求导问题．要透彻理解函 数求导法则的结构特点，准确记忆公式，还要注意挖掘知识 的内在联系及其规律． • (2)在求较复杂函数的导数时，首先利用代数或三角恒等变 形对已知函数解析式进行化简变形．如，把乘积的形式展开 ，分式形式变为和或差的形式，根式化为分数指数幂，然后 再求导，这样可减少计算量．
高中数学导数的计算
高中数学导数的计算
• [总结] (1)应用导数的定义求导，是求导数的基本方法， 但运算较繁琐，而利用导数公式求导数，可以简化求导过程 ，降低运算难度，是常用的求导方法． • (2)利用导数公式求导，应根据所给问题的特征，恰当地选 择求导公式，有时还要先对函数解析式进行化简整理，这样 能够简化运算过程．
语言叙述
[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x)
[f(x)g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
两个函数的和(或差)的导数， 等于这两个函数的导数的 和(差)
两个函数的积的导数，等于 第一个函数的导数乘上第二个函 数，加上第一个函数乘上第二个 函数的导数
高中数学导数的计算
公式 [Cf(x)]′＝C f′(x)
高中数学导数的计算
• 3.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点(1,1)，且在(2，－1)处 的切线方程为y＝x－3，求a，b，c的值．
解析：
由题意知a4＋a＋b＋2bc＋＝c1＝－1
① ②
又∵y′＝(ax2＋bx＋c)′＝2ax＋b，
∴y′|x＝2＝4a＋b＝1.
③
由①②③解得 a＝3，b＝－11，c＝9.
• 导数的计算
高中数学导数的计算
• 1.掌握基本初等函数的导数公式． • 2.掌握导数的和、差、积、商的求导法则． • 3.会运用导数的四则运算法则解决一些函数的求导问题.
高中数学导数的计算
• 1.导数公式表的记忆．(重点) • 2.应用四则运算法则求导．(重点) • 3.利用导数研究函数性质．(难点)