高中数学-导数的计算练习
高中数学导数的运算精选题
导数的运算精选题32道一．选择题（共11小题）1．已知定义在R上的可导函数y＝f（x）的导函数为f′（x），满足f（x）＜f′（x），且f （0）＝2，则不等式的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）2．若函数f（x）＝x2+，则f′（﹣1）＝（）A．﹣1B．1C．﹣3D．33．函数f（x）＝ax2+bx（a＞0，b＞0）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，则的最小值是（）A．10B．9C．8D．4．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′（e）+lnx，则f′（e）＝（）A．1B．﹣1C．﹣e﹣1D．﹣e5．设函数f（x）的导函数是f'（x），若，则＝（）A．﹣B．C．D．﹣6．已知，则＝（）A．B．C．D．7．已知f（x）＝lnx，则f′（e）的值为（）A．1B．﹣1C．e D．8．若f（x）＝2xf′（1）+x2，则f′（0）等于（）A．2B．0C．﹣2D．﹣49．已知函数f（x）＝2x+3f′（0）•e x，则f′（1）＝（）A．e B．3﹣2e C．2﹣3e D．2+3e10．等比数列{a n}中，a1＝2，a8＝4，函数f（x）＝x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），则f′（0）＝（）A．26B．29C．212D．21511．设f（x）＝xlnx，若f′（x0）＝2，则x0＝（）A．e2B．ln2C．D．e二．多选题（共2小题）（多选）12．以下四个式子分别是函数在其定义域内求导，其中正确的是（）A．（）′＝B．（cos2x）'＝﹣2sin2xC．D．（lgx）′＝（多选）13．若函数f（x）的导函数f′（x）的图象关于y轴对称，则f（x）的解析式可能为（）A．f（x）＝3cos x B．f（x）＝x3+x C．D．f（x）＝e x+x 三．填空题（共12小题）14．已知函数f（x）＝（2x+1）e x，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（0）的值为．15．已知函数f（x）＝e x lnx，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的值为．16．已知函数f（x）＝f′（）cos x+sin x，则f（）的值为．17．设函数f（x）＝，若f′（1）＝，则a＝．18．若函数y＝f（x）满足f（x）＝sin x+cos x，则＝．19．若函数，则f'（1）＝．20．已知函数f（x）＝﹣+2xf'（2021）+2021lnx，则f′（2021）＝．21．已知的导函数为f′（x），则f′（﹣1）＝．22．设函数f（x）满足f（x）＝x2+3f′（1）x﹣f（1），则f（4）＝．23．已知：若函数f（x），g（x）在R上可导，f（x）＝g（x），则f′（x）＝g′（x）．又英国数学家泰勒发现了一个恒等式e2x＝a0+a1x+a2x2+…+a n x n+…，则a0＝，＝．24．已知函数f（x）＝3x2﹣f'（）x4，则f'（）＝．25．已知f（x）＝x2+3xf′（2），则f′（2）＝．四．解答题（共7小题）26．求下列函数的导数．（1）y＝3x2+x cos x；（2）f（x）＝．27．求下列函数的导数．（1）y＝（2x2+3）（3x﹣1）；（2）f（x）＝；（3）y＝ln．28．设f（x）＝lnx，g（x）＝f（x）+f′（x）．（1）求g（x）的单调区间和最小值；（2）讨论g（x）与g（）的大小关系．29．求下列函数的导数：（1）y＝（2x2﹣1）（3x+1）；（2）y＝e x cos x；（3）．30．求下列函数的导数（1）f（x）＝lnx+xa x；（2）．31．求下列函数的导数（1）y＝（2x2+3）（3x﹣1）；（2）；（3）y＝（1+cos2x）3．32．求下列函数的导数．（1）y＝（2x2﹣1）（3x+1）；（2）．导数的运算精选题32道参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．已知定义在R上的可导函数y＝f（x）的导函数为f′（x），满足f（x）＜f′（x），且f （0）＝2，则不等式的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）【分析】根据条件构造函数g（x）＝，利用导数求函数的单调性，即可解不等式．【解答】解：设g（x）＝，则g′（x）＝，∵f（x）＜f′（x），∴g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增．∵f（0）＝2，∴g（0）＝，则不等式等价为，即g（x）＞g（0），∵函数g（x）单调递增．∴x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞），故选：B．【点评】本题主要考查导数的应用，根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．2．若函数f（x）＝x2+，则f′（﹣1）＝（）A．﹣1B．1C．﹣3D．3【分析】可先求出导函数，把x换上﹣1即可求出f′（﹣1）的值．【解答】解：；∴f′（﹣1）＝﹣2﹣1＝﹣3．故选：C．【点评】考查基本初等函数的求导，已知函数求值的方法．3．函数f（x）＝ax2+bx（a＞0，b＞0）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，则的最小值是（）A．10B．9C．8D．【分析】求出原函数的导函数，由f′（1）＝2a+b＝2，得，把变形为后整体乘以1，展开后利用基本不等式求最小值．【解答】解：由f（x）＝ax2+bx，得f′（x）＝2ax+b，又f（x）＝ax2+bx（a＞0，b＞0）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，所以f′（1）＝2a+b＝2，即．则＝．当且仅当，即时“＝”成立．所以的最小值是9．故选：B．【点评】本题考查了导数的运算，考查了利用基本不等式求最值，考查了学生灵活变换和处理问题的能力，是中档题．4．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′（e）+lnx，则f′（e）＝（）A．1B．﹣1C．﹣e﹣1D．﹣e【分析】首先对等式两边求导得到关于f'（e）的等式解之．【解答】解：由关系式f（x）＝2xf′（e）+lnx，两边求导得f'（x）＝2f'（e）+，令x ＝e得f'（e）＝2f'（e）+e﹣1，所以f'（e）＝﹣e﹣1；故选：C．【点评】本题考查了求导公式的运用；关键是对已知等式两边求导，得到关于f'（x）的等式，对x取e求值．5．设函数f（x）的导函数是f'（x），若，则＝（）A．﹣B．C．D．﹣【分析】对函数f（x）的解析式求导，得到其导函数，把x＝代入导函数中，列出关于f'（）的方程，进而得到f'（）的值，再求出f′（）即可．【解答】解：，则f′（x）＝﹣f′（）sin x﹣cos x，∴f′（）＝﹣f′（）sin﹣cos，∴f′（）＝0，∴f′（x）＝﹣cos x，∴f′（）＝﹣，故选：A．【点评】本题主要考查了导数的运算，运用求导法则得出函数的导函数，求出常数f'（）的值，从而确定出函数的解析式是解本题的关键，属于基础题．6．已知，则＝（）A．B．C．D．【分析】对f（x）进行求导，再将x＝代入f′（x），进行求解，从而求出；【解答】解：∵，∴f′（x）＝﹣×cos x+，∴f′（）＝﹣×cos+＝﹣，∵f（π）＝＝﹣，∴＝﹣﹣＝﹣，故选：D．【点评】此题主要考查导数的运算，解决此题的关键是能否对f（x）进行求导，是一道基础题；7．已知f（x）＝lnx，则f′（e）的值为（）A．1B．﹣1C．e D．【分析】利用导数的运算法则即可得出．【解答】解：∵，∴．故选：D．【点评】熟练掌握导数的运算法则是解题的关键．8．若f（x）＝2xf′（1）+x2，则f′（0）等于（）A．2B．0C．﹣2D．﹣4【分析】利用导数的运算法则求出f′（x），令x＝1得到关于f′（1）的方程，解方程求出f′（1），求出f′（x）；令x＝0求出f′（0）．【解答】解：∵f′（x）＝2f′（1）+2x∴f′（1）＝2f′（1）+2∴f′（1）＝﹣2∴f′（x）＝﹣4+2x∴f′（0）＝﹣4故选：D．【点评】在求导函数值时，应该先利用导数的运算法则求出导函数，再求导函数值．9．已知函数f（x）＝2x+3f′（0）•e x，则f′（1）＝（）A．e B．3﹣2e C．2﹣3e D．2+3e【分析】可求出导函数f′（x）＝2+3f′（0）•e x，然后即可求出f′（0）＝﹣1，从而得出f′（x）＝2﹣3e x，然后即可求出f′（1）的值．【解答】解：f′（x）＝2+3f′（0）•e x，∴f′（0）＝2+3f′（0），解得f′（0）＝﹣1，∴f′（x）＝2﹣3e x，∴f′（1）＝2﹣3e．故选：C．【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．10．等比数列{a n}中，a1＝2，a8＝4，函数f（x）＝x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），则f′（0）＝（）A．26B．29C．212D．215【分析】对函数进行求导发现f′（0）在含有x项均取0，再利用等比数列的性质求解即可．【解答】解：考虑到求导中f′（0），含有x项均取0，得：f′（0）＝a1a2a3…a8＝（a1a8）4＝212．故选：C．【点评】本题考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法．11．设f（x）＝xlnx，若f′（x0）＝2，则x0＝（）A．e2B．ln2C．D．e【分析】由题意求导f′（x）＝lnx+1，从而得lnx0+1＝2；从而解得．【解答】解：∵f′（x）＝lnx+1；故f′（x0）＝2可化为lnx0+1＝2；故x0＝e；故选：D．【点评】本题考查了导数的求法及应用，属于基础题．二．多选题（共2小题）（多选）12．以下四个式子分别是函数在其定义域内求导，其中正确的是（）A．（）′＝B．（cos2x）'＝﹣2sin2xC．D．（lgx）′＝【分析】根据基本初等函数和复合函数的求导公式对每个选项函数进行求导即可．【解答】解：，（cos2x）′＝﹣2sin2x，，．故选：BC．【点评】本题考查了基本初等函数和复合函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．（多选）13．若函数f（x）的导函数f′（x）的图象关于y轴对称，则f（x）的解析式可能为（）A．f（x）＝3cos x B．f（x）＝x3+x C．D．f（x）＝e x+x 【分析】根据题意，依次求出选项中函数的导数，分析其导函数的奇偶性，据此分析可得的答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）＝3cos x，其导数f′（x）＝﹣3sin x，其导函数为奇函数，图象不关于y 轴对称，不符合题意；对于B，f（x）＝x3+x，其导数f′（x）＝3x2+1，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；对于C，f（x）＝x+，其导数f′（x）＝1﹣，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；对于D，f（x）＝e x+x，其导数f′（x）＝e x+1，其导函数不是偶函数，图象不关于y轴对称，不符合题意；故选：BC．【点评】本题考查导数的计算，涉及函数奇偶性的分析，属于基础题．三．填空题（共12小题）14．已知函数f（x）＝（2x+1）e x，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（0）的值为3．【分析】先求导，再带值计算．【解答】解：∵f（x）＝（2x+1）e x，∴f′（x）＝2e x+（2x+1）e x，∴f′（0）＝2e0+（2×0+1）e0＝2+1＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了导数的运算法则，属于基础题．15．已知函数f（x）＝e x lnx，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的值为e．【分析】根据导数的运算法则求出函数f（x）的导函数，再计算f′（1）的值．【解答】解：函数f（x）＝e x lnx，则f′（x）＝e x lnx+•e x；∴f′（1）＝e•ln1+1•e＝e．故答案为：e．【点评】本题考查了导数的运算公式与应用问题，是基础题．16．已知函数f（x）＝f′（）cos x+sin x，则f（）的值为1．【分析】利用求导法则：（sin x）′＝cos x及（cos x）′＝﹣sin x，求出f′（x），然后把x 等于代入到f′（x）中，利用特殊角的三角函数值即可求出f′（）的值，把f′（）的值代入到f（x）后，把x＝代入到f（x）中，利用特殊角的三角函数值即可求出f（）的值．【解答】解：因为f′（x）＝﹣f′（）•sin x+cos x所以f′（）＝﹣f′（）•sin+cos解得f′（）＝﹣1故f（）＝f′（）cos+sin＝（﹣1）+＝1故答案为1．【点评】此题考查学生灵活运用求导法则及特殊角的三角函数值化简求值，会根据函数解析式求自变量所对应的函数值，是一道中档题．17．设函数f（x）＝，若f′（1）＝，则a＝1．【分析】先求出函数的导数，再根据f′（1）＝，求得a的值．【解答】解：∵f（x）＝，∴f′（x）＝，f′（1）＝＝，∴＝，则a＝1，故答案为：1．【点评】本题主要考查求函数的导数，属于基础题．18．若函数y＝f（x）满足f（x）＝sin x+cos x，则＝．【分析】由f（x）＝sin x+cos x，利用导数的运算法则，再令x＝，即可得出．【解答】解：∵f（x）＝sin x+cos x，∴f′（x）＝cos x﹣sin x，令x＝，则＝cos﹣sin，解得：＝．故答案为：．【点评】本题考查了导数的运算法则、方程的解法、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．19．若函数，则f'（1）＝．【分析】根据基本初等函数和商的导数的求导公式进行求导得出f′（x），然后即可求出f′（1）的值．【解答】解：∵，∴．故答案为：．【点评】本题考查了基本初等函数和商的导数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．20．已知函数f（x）＝﹣+2xf'（2021）+2021lnx，则f′（2021）＝2020．【分析】先求出导函数f'（x），再令x＝2021求解即可．【解答】解：∵，∴，∴f'（2021）＝﹣2021+2f'（2021）+1，∴f'（2021）＝2020．故答案为：2020．【点评】本题考查了导数的运算，主要考查了常见导数的求导公式的应用以及导数的四则运算的应用，属于基础题．21．已知的导函数为f′（x），则f′（﹣1）＝﹣4．【分析】先根据导数的运算法则求出f′（x），再求f'（﹣1）．【解答】解：∵，∴，∴f'（﹣1）＝﹣3﹣1＝﹣4，故答案为：﹣4．【点评】本题主要考查导数的基本运算，属于基础题．22．设函数f（x）满足f（x）＝x2+3f′（1）x﹣f（1），则f（4）＝5．【分析】求函数的导数，先求出f′（1），f（1）的值，求出函数的解析式，即可得到结论．【解答】解：∵f（x）＝x2+3f′（1）x﹣f（1），∴f′（x）＝2x+3f′（1），令x＝1，则f′（1）＝2+3f′（1），即f′（1）＝﹣1，则f（x）＝x2﹣3x﹣f（1），令x＝1，则f（1）＝1﹣3﹣f（1），则f（1）＝﹣1，即f（x）＝x2﹣3x+1，则f（4）＝42﹣3×4+1＝16﹣12+1＝5，故答案为：5．【点评】本题主要考查函数值的计算，根据导数的公式求出f（1），f′（1）的值以及函数的解析式是解决本题的关键．23．已知：若函数f（x），g（x）在R上可导，f（x）＝g（x），则f′（x）＝g′（x）．又英国数学家泰勒发现了一个恒等式e2x＝a0+a1x+a2x2+…+a n x n+…，则a0＝1，＝．【分析】令x＝0，可得到a0＝1，先求导数对比得到2a n＝（n+1）a n+1，再把数列裂项求和即可．【解答】解：令x＝0，则a0＝e0＝1，∵e2x＝a0+a1x+a2x2+…+a n x n+…，∴（e2x）′＝2e2x＝a1+2a2x+…+na n x n﹣1+（n+1）a n+1x n+…，∴2a n＝（n+1）a n+1，∴＝，∴＝＝2（﹣），∴＝2（1﹣++•+﹣）＝．故答案为：1；．【点评】本题主要考查导数的基本运算，数列裂项求和的应用，属于中档题．24．已知函数f（x）＝3x2﹣f'（）x4，则f'（）＝2．【分析】先求出f′（x），然后将代入解出即可．【解答】解：，所以，解得：．故答案为：2．【点评】本题主要是考查了导数的计算以及利用方程思想解决问题的能力．属于较易题．25．已知f（x）＝x2+3xf′（2），则f′（2）＝﹣2．【分析】把给出的函数求导，在其导函数中取x＝2，则f′（2）可求．【解答】解：由f（x）＝x2+3xf′（2），得：f′（x）＝2x+3f′（2），所以，f′（2）＝2×2+3f′（2），所以，f′（2）＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了导数的加法与乘法法则，考查了求导函数的值，解答此题的关键是正确理解原函数中的f′（2），f′（2）就是一个具体数，此题是基础题．四．解答题（共7小题）26．求下列函数的导数．（1）y＝3x2+x cos x；（2）f（x）＝．【分析】根据导数的公式即可得到结论．【解答】（1）f′（x）＝6x+cos x﹣x sin x；（2）∵∴．【点评】本题主要考查导数的基本运算，比较基础．27．求下列函数的导数．（1）y＝（2x2+3）（3x﹣1）；（2）f（x）＝；（3）y＝ln．【分析】利用常见函数的导数公式以及和、差、积、商的求导公式、复合函数的求导公式求解即可．【解答】解：（1）函数y＝（2x2+3）（3x﹣1），所以y'＝（2x2+3）′（3x﹣1）+（2x2+3）（3x﹣1）′＝4x•（3x﹣1）+3（2x2+3）＝18x2﹣4x+9；（2）函数f（x）＝，所以；（3）函数y＝ln，所以．【点评】本题考查了导数的运算，主要考查了常见函数的导数，和、差、积、商的求导公式以及复合函数的求导公式的应用，解题的关键是熟练掌握公式，属于基础题．28．设f（x）＝lnx，g（x）＝f（x）+f′（x）．（1）求g（x）的单调区间和最小值；（2）讨论g（x）与g（）的大小关系．【分析】（1）利用导数研究函数g（x）的单调性极值最值即可得出．（2）令h（x）＝g（x）﹣＝2lnx+﹣x（x＞0）．可得h′（x）＝≤0，函数h（x）在（0，+∞）上单调递减．由于h（1）＝0，即可得出大小关系．【解答】解：（1）（x＞0）．∴g（x）＝lnx+（x＞0）．∴＝，令g′（x）＝0，解得x＝1．当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；当1＜x时，g′（x）＞0，函数g （x）单调递增．∴当x＝1时，函数g（x）取得极小值即最小值，g（1）＝1．综上可得：函数g（x）单调递减区间为（0，1）；函数g（x）单调递增区间为[1，+∞），最小值为1．（2）g（x）＝lnx+（x＞0），＝﹣lnx+x．令h（x）＝g（x）﹣＝2lnx+﹣x（x＞0）．∴h′（x）＝﹣﹣1＝≤0，∴函数h（x）在（0，+∞）上单调递减．当x＝1时，h（1）＝0，此时g（x）＝．当0＜x＜1时，h（x）＞0，此时g（x）＞．当1＜x时，h（x）＜0，此时g（x）＜．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论的思想方法、构造函数法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．29．求下列函数的导数：（1）y＝（2x2﹣1）（3x+1）；（2）y＝e x cos x；（3）．【分析】利用常见函数的导数公式以及和、差、积、商的求导公式、复合函数的求导公式求解即可．【解答】解：（1）因为y＝（2x2﹣1）（3x+1）＝6x3+2x2﹣3x﹣1，所以y′＝18x2+4x﹣3；（2）y′＝（e x cos x）′＝（e x）′cos x+e x（cos x）′＝e x cos x﹣e x sin x＝e x（cos x﹣sin x）；（3）y′＝＝＝．【点评】本题考查了导数的运算，主要考查了常见函数的导数，和、差、积、商的求导公式以及复合函数的求导公式的应用，解题的关键是熟练掌握公式，属于基础题．30．求下列函数的导数（1）f（x）＝lnx+xa x；（2）．【分析】（1）直接利用常见导数的求导公式以及导数的运算法则进行求解即可；（2）利用常见函数的求导公式结合复合函数的求导法则进行求解即可．【解答】解：（1）因为f（x）＝lnx+xa x，所以；（2）因为，所以．【点评】本题考查了导数的运算，涉及了常见函数的求导公式的运用、导数的求导法则的运用、复合函数求导法则的应用，属于基础题．31．求下列函数的导数（1）y＝（2x2+3）（3x﹣1）；（2）；（3）y＝（1+cos2x）3．【分析】（1）（2）（3）根据导数的运算法则求导即可．【解答】解：（1）方法一：y'＝（2x2+3）′（3x﹣1）+（2x2+3）（3x﹣1）′＝4x（3x﹣1）+3（2x2+3）＝18x2﹣4x+9，方法二：∵y＝（2x2+3）（3x﹣1）＝6x3﹣2x2+9x﹣3，∴y'＝18x2﹣4x+9．（2）＝，（3）y′＝3（1+cos 2x）2•（1+cos 2x）′＝3（1+cos 2x）2•（﹣sin 2x）•（2x）′＝﹣6sin 2x•（1+cos 2x）2＝﹣6sin 2x•（2cos2x）2＝﹣6sin 2x•4cos4x＝﹣48sin x cos5x．【点评】本题考查了导数的运算，熟练掌握导数的运算法则是解题的关键，是基础题．32．求下列函数的导数．（1）y＝（2x2﹣1）（3x+1）；（2）．【分析】（1）直接利用常见函数的导数公式以及导数的运算律求解即可；（2）直接利用常见函数的导数公式以及导数的运算律求解即可．【解答】解：（1）因为y＝（2x2﹣1）（3x+1）＝6x3+2x2﹣3x﹣1，所以y'＝18x2+4x﹣3；（2）＝．【点评】本题考查了导数的运算，解题的关键是掌握常见函数的导数公式以及导数的运算律，属于基础题．。
高中数学导数练习题
高中数学导数练习题一、基础题1. 求函数 $f(x) = x^3 3x$ 的导数。
2. 求函数 $f(x) = \sqrt{1+x^2}$ 的导数。
3. 求函数 $f(x) = \frac{1}{x^2}$ 的导数。
4. 求函数 $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ 的导数。
5. 求函数 $f(x) = e^{2x}$ 的导数。
二、应用题1. 已知函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$，求 $f'(x)$ 并说明其几何意义。
2. 某物体做直线运动，其位移 $s$ 与时间 $t$ 的关系为 $s =t^2 2t + 1$，求物体在 $t=2$ 时的瞬时速度。
3. 已知函数 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$，求曲线在$x=4$ 处的切线方程。
4. 求函数 $f(x) = \sin(x)$ 在区间 $[0, \pi]$ 上的最大值和最小值。
5. 已知函数 $f(x) = \ln(x 1)$，求 $f(x)$ 的单调区间。
三、综合题1. 设函数 $f(x) = (x^2 1)^3$，求 $f'(x)$。
2. 已知函数 $f(x) = \frac{2x + 3}{x 1}$，求 $f'(x)$。
3. 求函数 $f(x) = \sqrt{1 + \sqrt{1 + x^2}}$ 的导数。
4. 已知函数 $f(x) = e^{x^2}$，求曲线在 $x=0$ 处的切线方程。
5. 设函数 $f(x) = \ln(\sin^2 x)$，求 $f'(x)$。
四、拓展题1. 已知函数 $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$，求 $f''(x)$。
2. 设函数 $f(x) = (x^3 + 1)^4$，求 $f'''(x)$。
3. 已知函数 $f(x) = \arctan(x)$，求 $f'(x)$。
【高中数学】新人教A版高二5.2.2 导数的四则运算法则(练习题)
新人教A版高二5.2.2 导数的四则运算法则(1212) 1.下列运算正确的是（）A.(3x)′=3x lnxB.(sinxx )′=xcosx+sinxx2C.(x−1x )′=1−1x2D.(log2x)′=1xln22.已知函数f(x)=x·lnx的导函数为f′(x)，若f′(x0)=1，则x0的值为（）A.1B.2C.eD.03.函数f(x)=e x cosx的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为（）A.0B.π4C.1 D.π24.设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0等于（）A.e2B.eC.ln22D.ln25.已知函数f(x)=x2+2x−2的图象在点M处的切线与x轴平行，则点M的坐标是（）A.(−1,3)B.(−1,−3)C.(−2,−3)D.(−2,3)6.已知函数f(x)的导数为f′(x)，若f(x)=x2+2f′(0)x+sinx，则f′(0)=（）A.−2B.−1C.1D.27.已知f(x)=xlnx+2017x，若f′(x0)=2019，则x0=（）A.e2B.eC.1D.ln28.已知函数f(x)=alnx+2，若f′(e)=2，则a的值为（）A.−1B.1C.2eD.e29.曲线y=3ln x＋x＋2在点P0处的切线方程为4x−y−1=0，则点P0的坐标是.10.已知函数f(x)=e x cos x−x，则f′(x)=.11.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)=3xf′(2)+lnx，则f(1)的值为.12.已知f(x)为偶函数，且当x>0时，f(x)=lnx−3x，则f′(−1)=.13.求下列函数的导数：(1)f(x)=(1+sin x)(1−4x)；(2)f(x)=xx+1−2x.14.设函数f(x)=ax−bx，曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x−4y−12=0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值.x−9都相切，则15.若存在过点(1，0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+154a=.16.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，定义：设f″(x)是函数f(x)的导函数f′(x)的导数，若f″(x)=0有实数解x0，则称点(x0,f(x0))为函数f(x)的“拐点”.现已知f(x)=x3−3x2+2x−2，请解答下列问题：(1)求函数f(x)的“拐点”A的坐标；(2)证明：f(x)的图像关于“拐点”A对称参考答案1.【答案】:D【解析】:(3x)′=3x ln3，(sinxx )′=xcosx−sinxx2，(x−1x)′=1+1x2，(log2x)′=1xln2.故选 D.2.【答案】:A【解析】:f′(x)=ln x+1，∴f′(x0)=ln x0+1=1，∴ln x0=0，得x0=1.故选A.3.【答案】:B【解析】:对函数求导得f′(x)=e x(cos x−sin x)，∴f′(0)=1，∴函数f(x)=e x cos x的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为π4.4.【答案】:B【解析】:【分析】本题主要考查导数的计算，属于基础题．求函数的导数，解导数方程即可．【解答】解：∵f（x）=xlnx，∴f′（x）=lnx+1，由f′（x0）=2，得lnx0+1=2，即lnx0=1，则x0=e，故选：B．5.【答案】:B【解析】:设M(x0，f(x0))，∵f′(x0)=2x0+2=0，∴x0=−1,∴f(−1)=(−1)2+2×(−1)−2=−3，∴M(−1,−3).6.【答案】:B【解析】:根据题意得f′(x)=2x+2f′(0)+cosx，令x=0，可得f′(0)=2f′(0)+1，解得f′(0)=−1，故选B.7.【答案】:B【解析】:∵f′(x)=lnx+1+2017，∴f′(x0)=ln x0+2018=2019，∴ln x0=1，解得x0=e.故选B.8.【答案】:C【解析】:函数f(x)=alnx+2，则f′(x)=ax ，若f′(e)=ae=2，则a=2e，故选C.9.【答案】:(1,3)【解析】:由题意知y′=3x＋1=4，解得x=1，此时4×1−y−1=0，解得y=3，所以点P0的坐标是(1,3).10.【答案】:e x(cos x−sin x)−1【解析】:f′(x)=e x cosx+e x(−sinx)−1=e x(cosx−sinx)−1.11.【答案】:−34【解析】:因为f(x)=3xf′(2)+lnx,所以f′(x)=3f′(2)+1x，令x=2，可得f′(2)=3f′(2)+1 2，解得f′(2)=−14，故f(x)=−34x+lnx，则f(1)=−34.12.【答案】:2【解析】:根据题意，设x<0，则−x>0，则f(−x)=ln(−x)−3×(−x)=ln(−x)+3x，又f(x)为偶函数，所以f(x)=f(−x)=ln(−x)+3x，则f′(x)=1x +3，所以f′(−1)=1−1+3=2.13(1)【答案】f′(x)=(1+sin x)′(1−4x)+(1+sin x)(1−4x)′=cos x(1−4x)−4(1+sin x)= cos x−4xcos x−4−4sin x.(2)【答案】f(x)=xx+1−2x=1−1x+1−2x，则f′(x)=1(x+1)2−2x ln2.14(1)【答案】由7x−4y−12=0，得y=74x−3.当x=2时，y=12，∴f(2)=12.①又f ′(x)=a +b x 2，∴f ′(2)=74.②由①②得{2a −b2=12，a +b 4=74，解得{a =1，b =3， 故f(x)=x −3x .(2)【答案】证明：设P(x 0，y 0)为曲线上任一点，由f ′(x)=1+3x 2知，曲线y =f(x)在点P(x 0，y 0)处的切线方程为y −y 0=(1+3x 02)(x −x 0)，即y −(x 0−3x 0)=(1+3x 02)(x −x 0). 令x =0，得y =−6x 0，从而得切线与直线x =0的交点坐标为(0，−6x 0). 令y =x ，得y =x =2x 0，从而得切线与直线y =x 的交点坐标为(2x 0，2x 0). 故曲线y =f(x)在点P(x 0，y 0)处的切线与直线x =0，y =x 所围成的三角形面积为12×|−6x 0|×|2x 0|=6，故曲线y =f(x)上任一点处的切线与直线x =0，y =x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.15.【答案】:−1或−2564【解析】:设过点(1，0)的直线与曲线y =x 3相切于点(x 0,x 03)，则切线方程为y −x 03=3x 02(x −x 0)，即y =3x 02x −2x ，30又点(1，0)在切线上，所以x 0=0或x 0=32.当x 0=0时，由直线y =0与曲线y =ax 2+154x −9相切，可得a =−2564；当x 0=32时，由直线y =274x −274与曲线y =ax 2+154x −9相切，可得a =−1. 综上可知，a =−1或−2564.16(1)【答案】由题易得f ′(x)=3x 2−6x +2，f″(x)=6x −6. 令f ″(x)=6x −6=0，得x =1，因为f(1)=1−3+2−2=−2， 所以“拐点”A 的坐标为(1,−2).(2)【答案】设P(x 0,y 0)是f(x)图像上任意一点，则y 0=x 03−3x 02+2x 0−2， P(x 0,y 0)关于“拐点”A(1,−2)的对称点为 P ′(2−x 0,−4−y 0). 因为−4−y 0=−x 03+3x 02−2x 0−2， (2−x 0)3−3(2−x 0)2+2(2−x 0)−2 =−x 03+3x 02−2x 0−2，所以点P ′(2−x 0,−4−y 0)在f(x)的图像上， 所以f(x)的图像关于“拐点”A 对称.。
高中数学导数练习题
高中数学导数练习题高中数学导数练习题在高中数学学习中，导数是一个重要的概念和工具。
它不仅在微积分中起着重要的作用，也在其他数学领域中有广泛的应用。
为了加深对导数的理解和掌握，我们可以通过练习题来提高自己的能力。
一、基础练习题1. 求函数f(x) = 3x² + 2x的导数。
解答：根据导数的定义，我们可以通过求函数的斜率来求导数。
对于f(x) = 3x²+ 2x，我们可以使用求导法则来求导数。
根据常数乘法法则和幂函数求导法则，我们可以得到f'(x) = 6x + 2。
2. 求函数g(x) = sin(x) + cos(x)的导数。
解答：对于g(x) = sin(x) + cos(x)，我们可以使用三角函数的求导法则来求导数。
根据三角函数的导数公式，我们可以得到g'(x) = cos(x) - sin(x)。
3. 求函数h(x) = e^x的导数。
解答：对于h(x) = e^x，我们可以使用指数函数的求导法则来求导数。
根据指数函数的导数公式，我们可以得到h'(x) = e^x。
二、应用练习题1. 求函数y = x³ - 2x² + 3x的极值点。
解答：对于函数y = x³ - 2x² + 3x，我们需要先求导数，然后令导数等于零来求得极值点。
求导得到y' = 3x² - 4x + 3。
令y' = 0，我们可以解方程得到x = 1和x = 3/2。
将这两个x值代入原函数，我们可以得到对应的y值。
所以，极值点为(1, 2)和(3/2, 9/8)。
2. 求函数y = x² - 4x的拐点。
解答：对于函数y = x² - 4x，我们需要求二阶导数，然后令二阶导数等于零来求得拐点。
求二阶导数得到y'' = 2。
由于二阶导数恒大于零，所以该函数没有拐点。
3. 求函数y = ln(x)的渐近线。
求导练习题高中
求导练习题高中1. 求下列函数的导数：a) f(x) = 3x^2 - 4x + 2解析：对于多项式函数，求导时可以将指数乘到系数上，并将指数减1。
f'(x) = 2 * 3x^(2-1) - 1 * 4x^(1-1) + 0= 6x - 4b) g(x) = (2x + 1)^3解析：使用链式法则，先对内部函数求导再乘以外部函数的导数。
g'(x) = 3(2x + 1)^2 * 2= 6(2x + 1)^2c) h(x) = cos(x^2)解析：对于三角函数，使用复合函数求导法则，先对内部函数求导再乘以外部函数的导数。
h'(x) = -sin(x^2) * 2x= -2x*sin(x^2)2. 求下列函数的高阶导数：a) f(x) = 5x^3 - 2x^2 + 3x - 1解析：对于多项式函数，求高阶导数时可以重复使用求导公式。
f'(x) = 3 * 5x^(3-1) - 2 * 2x^(2-1) + 1 * 3x^(1-1)= 15x^2 - 4x + 3f''(x) = 2 * 15x^(2-1) - 1 * 4x^(1-1)= 30x - 4f'''(x) = 1 * 30x^(1-1)= 30b) g(x) = e^x解析：对于指数函数，高阶导数仍为指数函数。
g'(x) = e^xg''(x) = e^xg'''(x) = e^x由此可见，指数函数的高阶导数始终等于自身。
3. 求下列函数的导数并求其在给定点的导数值：a) f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 4x + 1，求f'(2)解析：先求导再代入给定点进行计算。
f'(x) = 3 * 2x^(3-1) + 2 * 3x^(2-1) - 1 * 4x^(1-1)= 6x^2 + 6x - 4f'(2) = 6 * 2^2 + 6 * 2 - 4= 24 + 12 - 4= 32b) g(x) = sin(x) + cos(x)，求g'(π/4)解析：先求导再代入给定点进行计算。
高二数学导数练习题及答案
高二数学导数练习题及答案导数是高中数学中的重要概念之一，它在数学和实际问题中具有广泛的应用。
为了帮助高二学生巩固导数的知识和提高解题能力，本文为大家准备了一些高二数学导数练习题及答案。
希望通过这些练习题的训练，同学们能够更好地理解导数的概念和运用。
练习题一：1. 求函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1 在点 x = 2 处的导数。
2. 已知函数 f(x) = x^2 + 3x，求函数 f(x) = x^2 + 3x 的导函数。
3. 求函数 f(x) = (x + 1)(x - 2)(x + 3) 在点 x = -1 处的导数。
答案一：1. 函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1 的导数为：f'(x) = 6x^2 - 6x + 4。
2. 函数 f(x) = x^2 + 3x 的导函数为：f'(x) = 2x + 3。
3. 函数 f(x) = (x + 1)(x - 2)(x + 3) 在点 x = -1 处的导数为：f'(-1) = 0。
练习题二：1. 求函数 f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 1 的极值点及极值。
2. 已知函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2，求函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x+ 2 的拐点。
3. 求函数 f(x) = x^3 - 3x 在其定义域内的极值点。
答案二：1. 函数 f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 1 的极值点为 x = 1/2，极值为 f(1/2) = 47/16。
2. 函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2 的拐点为 x = 2。
3. 函数 f(x) = x^3 - 3x 在其定义域内的极值点为 x = 1。
练习题三：1. 求函数 f(x) = e^x 的导数。
2. 已知函数 f(x) = ln(x)，求函数 f(x) = ln(x) 的导函数。
高中 导数 练习题
高中导数练习题1. 求函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 的导数。
2. 求函数 g(x) = e^x + ln(x) 的导数。
3. 求函数 h(x) = sin(x) + cos(x) 的导数。
4. 求函数 i(x) = (3x^2 + 2x + 1) / (x - 1) 的导数。
5. 求函数 j(x) = sqrt(x) / x 的导数。
解答：1. 对于函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5，使用幂函数的求导法则，可得到导数 f'(x) = 6x^2 - 6x + 4。
2. 对于函数 g(x) = e^x + ln(x)，使用指数函数和对数函数的求导法则，可得到导数 g'(x) = e^x + 1/x。
3. 对于函数 h(x) = sin(x) + cos(x)，使用三角函数的求导法则，可得到导数 h'(x) = cos(x) - sin(x)。
4. 对于函数 i(x) = (3x^2 + 2x + 1) / (x - 1)，使用除法的求导法则，可得到导数 i'(x) = (8x - 1) / (x - 1)^2。
5. 对于函数 j(x) = sqrt(x) / x，使用根式函数和倒数的求导法则，可得到导数 j'(x) = (1 - sqrt(x)) / (2x^2 * sqrt(x))。
通过解答以上导数练习题，可以帮助我们熟悉和掌握导数的求法。
在高中数学中，导数是一个重要的概念，它代表了函数在某一点的瞬时变化率。
对于一个函数而言，如果我们知道了它的导数，就可以利用导数来研究函数的性质，如函数的增减性、极值点以及函数图像的形状等。
在求导的过程中，我们需要掌握一些基本的求导方法和公式。
常见的求导法则包括常数法则、幂函数法则、指数函数法则、对数函数法则、三角函数法则、求导法则的运算性质等。
对于复杂的函数，我们可以利用这些基本的求导法则，通过逐步求导的方法来求得它们的导数。
高中数学导数的计算精选题目(附答案)
高中数学导数的计算精选题目（附答案）(1)基本初等函数的导数公式(2)导数运算法则①[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；②[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； 当g (x )＝c 时，[cf (x )]′＝cf ′(x )．③⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．（3）复合导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．1．求下列函数的导数： (1)y ＝10x ； (2)y ＝lg x ； (3)y ＝log 12x ；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2＋cos x 22－1.2．求下列函数的导数： (1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ；(3)y ＝lg 5； (4)y ＝3lg 3x ； (5)y ＝2co S 2x2－1. 3.(1)y ＝x 3·e x ； (2)y ＝x －S i n x 2co S x2； (3)y ＝x 2＋log 3x; (4)y ＝e x ＋1e x －1.4．求下列函数的导数： (1)y ＝cos x x ； (2)y ＝xS i n x ＋x ； (3)y ＝1＋x 1－x ＋1－x1＋x； (4)y ＝lg x －1x 2.5．点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离． 6．求过曲线y ＝co S x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12且与曲线在这点处的切线垂直的直线方程．7．求下列函数的导数． (1)y ＝1－2x 2； (2)y ＝e S i n x ；(3)y ＝S i n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(4)y ＝5log 2(2x ＋1) 8．求下列函数的导数． (1)f (x )＝(－2x ＋1)2； (2)f (x )＝l n (4x －1)； (3)f (x )＝23x ＋2； (4)f (x )＝5x ＋4； (5)f (x )＝S i n ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6；(6)f (x )＝co S 2x .9．求下列函数的导数． (1)y ＝x 1＋x 2；(2)y ＝x co S ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2S i n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2.10．求下列函数的导数． (1)y ＝S i n 2x3； (2)y ＝S i n 3x ＋S i n x 3； (3)y ＝11－x 2； (4)y ＝x l n (1＋x )．11. 设f (x )＝l n (x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R ，a ，b 为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在(0,0)点相切．求a ，b 的值．12．曲线y ＝e －2x ＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( )A.13B.12C.23 D ．1参考答案：1.解： (1)y ′＝(10x )′＝10x l n 10. (2)y ′＝(lg x )′＝1x ln 10.(3)y ′＝(log 12x )′＝1x ln 12＝－1x ln 2.(4)y ′＝(4x 3)′＝(x 34)′＝34x －14＝344x.(5)∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2＋cos x 22－1＝S i n 2x2＋2S i n x 2co S x 2＋co S 2x 2－1 ＝S i n x ，∴y ′＝(S i n x )′＝co S x .2.解：(1)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x l n 1e ＝－1e x ＝－e －x .(2)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x l n 110＝－ln 1010x＝－10－x l n 10.(3)∵y ＝lg 5是常数函数，∴y ′＝(lg 5)′＝0. (4)∵y ＝3 lg 3x ＝lg x ，∴y ′＝(lg x )′＝1x ln 10.(5)∵y ＝2co S 2x2－1＝co S x ，∴y ′＝(co S x )′＝－S i n x . 3.解： (1)y ′＝(x 3)′e x ＋x 3(e x )′＝3x 2e x ＋x 3e x ＝x 2(3＋x )e x . (2)∵y ＝x －12S i n x ，∴y ′＝x ′－12(S i n x )′＝1－12co S x . (3)y ′＝(x 2＋log 3x )′＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln 3. (4)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x (e x －1)2＝－2e x (e x －1)2.4.解：(1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝(cos x )′·x －cos x ·(x )′x 2＝－x ·sin x －cos x x 2＝－x sin x ＋cos xx 2.(2)y ′＝(xS i n x )′＋(x )′＝S i n x ＋x co S x ＋12x.(3)∵y ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x ＝2＋2x 1－x ＝41－x －2，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2.(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg x －1x 2′＝(lg x )′－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝1x ln 10＋2x 3. 5.解：如图，当曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线与直线y ＝x 平行时，点P 到直线y ＝x 的距离最近．则曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线斜率为1，又y ′＝(e x )′＝e x ，∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1)．利用点到直线的距离公式得最小距离为22.6.解：∵y ＝co S x ，∴y ′＝(co S x )′＝－S i n x ，∴曲线在点P π3，12处的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝π3＝－S i n π3＝－32，∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为233，∴满足题意的直线方程为y －12＝233⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，即233x －y ＋12－239π＝0. 7.解： (1)设y ＝u 12，u ＝1－2x 2， 则y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫u 12′(1－2x 2)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u －12·(－4x ) ＝12(1－2x 2)－12(－4x )＝－2x 1－2x 2 .(2)设y ＝e u ，u ＝S i n x ，则y x ′＝y u ′·u x ′＝e u ·co S x ＝e S i n x co S x . (3)设y ＝S i n u ，u ＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′·u x ′＝co S u ·2＝2co S ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(4)设y ＝5log 2u ，u ＝2x ＋1， 则y ′＝5(log 2u )′(2x ＋1)′＝10u ln 2＝10(2x ＋1)ln 2.8.解：(1)设y ＝u 2，u ＝－2x ＋1，则y ′＝y u ′·u x ′＝2u ·(－2)＝－4(－2x ＋1)＝8x －4. (2)设y ＝l n u ，u ＝4x －1， 则y ′＝y u ′·u x ′＝1u ·4＝44x －1.(3)设y ＝2u ，u ＝3x ＋2，则y ′＝y u ′·u x ′＝2u l n 2·3＝3l n 2·23x ＋2. (4)设y ＝u ，u ＝5x ＋4， 则y ′＝y u ′·u x ′＝12u·5＝525x ＋4.(5)设y ＝S i n u ，u ＝3x ＋π6，则y ′＝y u ′·u x ′＝co S u ·3＝3co S ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6.(6)法一：设y ＝u 2，u ＝co S x ， 则y ′＝y u ′·u x ′＝2u ·(－S i n x ) ＝－2co S x ·S i n x ＝－S i n 2x ； 法二：∵f (x )＝co S 2x ＝1＋cos 2x 2＝12＋12co S 2x ， 所以f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12cos 2x ′＝0＋12·(－S i n 2x )·2＝－S i n 2x . 9.解： (1)y ′＝(x 1＋x 2)′ ＝x ′1＋x 2＋x (1＋x 2)′ ＝1＋x 2＋x 21＋x 2＝(1＋2x 2)1＋x 21＋x 2.(2)∵y ＝x co S ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2S i n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝x (－S i n 2x )co S 2x ＝－12xS i n 4x ，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x sin 4x ′＝－12S i n 4x －x2co S 4x ·4 ＝－12S i n 4x －2x co S 4x .10.解：(1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x 3′＝2S i n x 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 3′ ＝2S i n x 3·co S x 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3′＝13S i n 2x3.(2)y ′＝(S i n 3x ＋S i n x 3)′＝(S i n 3x )′＋(S i n x 3)′ ＝3S i n 2x co Sx ＋co S x 3·3x 2＝3S i n 2x co S x ＋3x 2co S x 3. (3)y ′＝0－(1－x 2)′1－x 2＝－12(1－x 2)－12(1－x 2)′1－x 2＝x (1－x 2)－121－x 2＝x(1－x 2) 1－x 2.(4)y ′＝x ′l n (1＋x )＋x []ln (1＋x )′ ＝l n (1＋x )＋x 1＋x. 11.解： 由曲线y ＝f (x )过(0,0)点，可得l n 1＋1＋b ＝0，故b ＝－1.由f (x )＝l n (x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b ，得f ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1＋a ，则f ′(0)＝1＋12＋a ＝32＋a ，此即为曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线的斜率．由题意，得32＋a ＝32，故a ＝0.12.解析：选A 依题意得y ′＝e －2x ·(－2)＝－2e －2x ，y ′|x ＝0＝－2e－2×0＝－2.曲线y ＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线方程是y －2＝－2x ，即y ＝－2x ＋2.在坐标系中作出直线y ＝－2x ＋2、y ＝0与y ＝x 的图象，因为直线y ＝－2x ＋2与y ＝x的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，直线y ＝－2x ＋2与x 轴的交点坐标是(1,0)，结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积等于12×1×23＝13.。
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高中数学-导数的计算练习
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列求导运算正确的是 A ．211()1x x x
'+=+
B ．21
(log )ln 2
x x '=
C ．3(3)3log x x
x '=
D ．2
(cos )2sin x x x x '=-
【答案】B
【解析】因为211()x x '=-
，所以A 项应为2
11x -；由1(log )ln a x x a
'=知B 项正确；由()ln x x
a a a '=可知C 项错误；D 项中，2
2
(cos )2cos sin x x x x x x '=-，所以D 项是错误的，综上所述，正确选项为B ． 2．已知函数3
()f x x =在点P 处的导数值为3，则P 点的坐标为 A ．(2,8)--
B ．(1,1)--
C ．(2,8)--或(2,8)
D ．(1,1)--或(1,1)
【答案】D
3．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()(1)2ln xf f x x ='+，则(1)f '等于 A ．e - B ． 1- C ．1
D ．e
【答案】B
【解析】∵函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()(1)2ln (0)f x x xf x ='+>， ∴1
()1()2f x f x
'='+
，把1x =代入()f x '可得(1)2(1)1f f '='+，解得(1)1f '=-．故选B ． 4．曲线e x
y =在点2
(2,e )处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为
A ．2e 2
B ．23e
C ．26e
D ．29e
【答案】A
【解析】因为e x y '=，所以切线的斜率为2
e k =，切线方程为22
e e (2)y x -=-，令0=x 得2
e y =-；
令0y =得1x =，故围成的三角形的面积为22
1e 1|e |22
S =⨯⨯-=，故选A ．
5．已知函数π
()()cos sin 4f x f x x '=+，则π()4
f = A ．2 B ．21- C ．1
D ．0
【答案】C
6．已知1()1x
f x x
=
+，则(1)f '等于 A ．2 B ．12- C ．14
-
D ．14
【答案】C
【解析】令1t x =，则1x t =，1
1()111t f t t t
=
=++，因此1()1x x f =+，
则根据求导公式有21()=(1)x x f '-
+，所以1
()14
f '=-．故选C ．
7．已知e 为自然对数的底数，曲线e x
y a x =+在点(1,e 1)a +处的切线与直线2e 10x y --=平行，则实数
a =
A ．e 1
e - B ．
2e 1
e - C ．e 12e
-
D ．2e 12e
-
【答案】B
8．若2
()24ln f x x x x =--，则不等式()0f x '>的解集为
A ．(0,)+∞
B ．(1,0)(2,)-+∞U
C ．(2,)+∞
D ．(1,0)-
【答案】C
【解析】要使函数有意义，则0>x ，∵2
()24ln f x x x x =--，∴24224
()22x x f x x x x
--'=--=，
若()0f x '>，则04
222
>--x
x x ，
即022>--x x ，解得2>x 或1-<x （舍去），故不等式()0f x '>的解集为(2,)+∞，故选C ．
二、填空题：请将答案填在题中横线上． 9．函数2
sin y x x =的导函数为______________． 【答案】22sin cos x x x x +
【解析】2sin y x x =，则222
()sin (sin )2sin cos y x x x x x x x x '''=+=+．
10．设函数()ln f x x x =，若0()2f x '=，则0x =______________．
【答案】e
【解析】由题意得()ln 1f x x '=+，又00()ln 12f x x '=+=，解得0e x =．
11．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足1
3
1()()e 1(0)3
x f x f 'f x x -=-+
，则()x =______________． 【答案】31e 3
x
x x -+
【解析】∵1
31
()()e
1(0)3
x f x f 'f x x -=-+，∴12()(1)e (0)x f x f f x -''=-+，
令1x =，则(1)(1)(0)1f f f '='-+，∴(0)1f =；令0x =，则1
(0)(1)e f f -='，
∴(1)e f '=，∴3
1()e 3
x
f x x x =-+
． 12．设曲线1
()n y x
n +*=∈N 在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，令lg n n a x =，则
1299a a a ++⋅⋅⋅+的值为______________．
【答案】2-
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 13．求下列函数的导数：
（1）2
311
()y x x x x
=++； （2）cos x
y x
=
； （3）3e 2e x
x
x
y =-+；
（4）2
sin
cos 22
x x y x =-． 【答案】（1）2323y x x '=-；（2）2
sin cos x x x y'x
+=-；（3）ln 31(3e)2)ln 2(x x
y'=+⋅-；（4）y '= 1
2cos 2
x x -．
【解析】（1）因为2332111()1y x x x x x x =++=++，所以2
323y x x
'=-．
（2）222cos (cos )cos sin cos sin cos ()x x x x x x x x x x x
y x x x x
'''⋅-⋅-⋅-+'====-． （3）(3e )(2)e (3e 3e )((2))x x x x x x x x
y''''''=-+=+-'
3ln 3e 3e 2ln 2ln 31(3e)2ln 2()x x x x x x x =⋅+-=+⋅-．
（4）因为2
21sin cos sin 222x x y x x x =-=-，所以1
2cos 2
y x x '=-． 14．设函数()b
f x ax x
=-
，曲线()y f x =在点(2,)(2)f 处的切线方程为74120x y --=． （1）求()f x 的解析式；
（2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．
【答案】（1）3
()f x x x
=-
；（2）证明见解析，该定值为6．
（2）设00(),P x y 为曲线上任一点， 由2
31y x '=+
，知曲线在点00(),P x y 处的切线方程为00203(1)()y y x x x -=+-， 即00200
33
()(1)()y x x x x x --
=+-． 令0x =得06y x =-
，从而得切线与直线0x =的交点坐标为
6
(0)x -，； 令y x =得02y x x ==，从而得切线与直线y x =的交点坐标为00)2(2x x ，
， 所以点00(),P x y 处的切线与直线0x =，y x =所围成的三角形的面积为
00
16
|||2|62x x -⋅=． 故曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形的面积为定值， 此定值为6．。