烟台市中考数学试题
2023年山东省烟台市中考数学试卷含答案解析
绝密★启用前2023年山东省烟台市中考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. −23的倒数是( )A. 23B. −23C. 32D. −322. 下列二次根式中，与√ 2是同类二次根式的是( )A. √ 4B. √ 6C. √ 8D. √ 123. 下列四种图案中，是中心对称图形的是( )A. B.C. D.4. 下列计算正确的是( )A. a2+a2=2a4B. (2a2)3=6a6C. a2⋅a3=a5D. a8÷a2=a45. 不等式组{3m−2≥12−m>3的解集在同一条数轴上表示正确的是( )A.B.C.D.6. 如图，对正方体进行两次切割，得到如图⑤所示的几何体，则图⑤几何体的俯视图为( )A. B. C. D.7. 长时间观看手机、电脑等电子产品对视力影响非常大.6月6日是“全国爱眼日”，为了解学生的视力情况，某学校从甲、乙两个班级各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法正确的是( )A. 甲班视力值的平均数大于乙班视力值的平均数B. 甲班视力值的中位数大于乙班视力值的中位数C. 甲班视力值的极差小于乙班视力值的极差D. 甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差8. 如图，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶点及其对称中心为圆心，以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形.将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机地停在正方形内的某一点上.若小球停在阴影部分的概率为P1，停在空白部分的概率为P2，则P1与P2的大小关系为( )A. P1<P2B. P1=P2C. P1>P2D. 无法判断9. 如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点A的坐标为(−1,m)，2与x轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①abc>0；②2b+c>0；③若图象经过点(−3,y1)，(3,y2)，则y1>y2；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c−3=0无实数根，则m<3.其中正确结论的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 410. 如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P为位似中心作正方形PA1A2A3，正方形PA4A5A6，…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形PA1A2A3的顶点坐标分别为P(−3,0)，A1(−2,1)，A2(−1,0)，A3(−2,−1)，则顶点A100的坐标为( )A. (31,34)B. (31,−34)C. (32,35)D. (32,0)二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11. “北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统，国内多个导航地图采用北斗优先定位.目前，北斗定位服务日均使用量已超过3600亿次.3600亿用科学记数法表示为______ ．12. 一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知∠1=102°，则∠2的度数为______ ．13. 如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接AB，则∠BAD的度数为______ ．14. 如图，利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：①按键的结果为4；②按键的结果为8；③按键的结果为0.5；④按键的结果为25．以上说法正确的序号是______ ．15. 如图，在直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B，CB为⊙A的直径，点C在函数y=kx(k>0,x>0)的图象上，D为y轴上一点，△ACD的面积为6，则k的值为______ ．16. 如图1，在△ABC中，动点P从点A出发沿折线AB→BC→CA匀速运动至点A后停止.设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲线DE的最低点，则△ABC的高CG的长为______ ．三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。
2023年山东省烟台市数学中考真题(word解析版)
2023年烟台市初中学业水平考试数学试题一、选择题1. 的倒数是（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据乘积是1两个数叫做互为倒数解答．【详解】解：∵，∴的倒数是，故选：D ．【点拨】本题考查倒数的定义，掌握互为倒数的两个数积为1，是解题的关键．2.是同类二次根式的是（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据同类二次根式定义，逐个进行判断即可．【详解】解：A不是同类二次根式，不符合题意；B不是同类二次根式，不符合题意；C是同类二次根式，符合题意；D，与不是同类二次根式，不符合题意；故选：C ．【点拨】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式；最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．3. 下列四种图案中，是中心对称图形的是（ ）的的23-2323-3232-23132⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23-32-2===A. B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据中心对称图形的定义，逐个进行判断即可，中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．【详解】解：根据题意可得：是中心对称图形的只有B ，故选：B ．【点拨】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键是中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．4. 下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法的运算法则逐项排查即可解答．【详解】解：A .，故该选项不正确，不符合题意；B .，故该选项不正确，不符合题意；C .，故该选项正确，符合题意；D .，故该选项不正确，不符合题意．故选：C ．【点拨】本题主要考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法等知识，掌握运算法则是解题的关键．5. 不等式组的解集在同一条数轴上表示正确的是（ ）A. B. C.D.【答案】A180︒180︒2242a a a +=()32626a a =235a a a ⋅=824a a a ÷=2222a a a +=()32628a a =235a a a ⋅=826a a a ÷=321,23m m -≥⎧⎨->⎩【解析】【分析】用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．【详解】解：解不等式①得： 解不等式②得：将不等式的解集表示在数轴上，如图所示，故选：A ．【点拨】本题主要考查数轴上表示不等式的解集，熟练掌握数轴上表示不等式组的解集的方法是解题的关键．6. 如图，对正方体进行两次切割，得到如图⑤所示的几何体，则图⑤几何体的俯视图为（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据俯视图的定义，即可进行解答．【详解】解：根据题意可得：从该几何体正上方看，棱的投影为点E ，棱的投影为线段，棱的投影为线段，棱的投影为正方形的对角线，32123m m -≥⎧⎨->⎩①②m 1≥1m <-AE AB BE AD ED AC BCDE∴该几何体的俯视图为：，故选：A【点拨】本题主要考查了俯视图，解题的关键是熟练掌握俯视图的定义：从物体正上方看到的图形是俯视图．7. 长时间观看手机、电脑等电子产品对视力影响非常大．6月6日是“全国爱眼日”，为了解学生的视力情况，某学校从甲、乙两个班级各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法正确的是（ ）A. 甲班视力值平均数大于乙班视力值的平均数B. 甲班视力值的中位数大于乙班视力值的中位数C. 甲班视力值的极差小于乙班视力值的极差D. 甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差【答案】D 【解析】【分析】根据平均数，中位数，极差，方差的定义分别求解即可．【详解】甲班视力值分别为：；从小到大排列为：；中位数为，平均数为；极差为方差为；乙班视力值分别为：；的 4.7,5.0,4.7,4.8,4.7,4.7,4.6,4.44.4,4.6,4.7,4.7,4.7,4.7,4.8,5.0 4.7 4.7=4.72+()14.4 4.6 4.7 4.7 4.7 4.7 4.85.0=4.78+++++++ 5.0 4.40.6-=()()()()222221=0.30.10.10.3=0.0258S ⎡⎤+++⎣⎦甲 4.8,4.7,4.7,5.0,4.6,4.5,4.9,4.4从小到大排列为：，中位数为平均数为；极差为方差为；甲、乙班视力值的平均数、中位数、极差都相等，甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差，故D 选项正确故选：D ．【点拨】本题考查了折线统计图，求平均数，中位数，极差，方差，熟练掌握平均数，中位数，极差，方差的定义是解题的关键．8. 如图，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶点及其对称中心为圆心，以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形．将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机地停在正方形内的某一点上．若小球停在阴影部分的概率为，停在空白部分的概率为，则与的大小关系为（ ）A. B. C. D. 无法判断【答案】C 【解析】【分析】根据题意可得阴影部分面积等于正方形面积的一半，进而即可求解．【详解】解：如图所示，连接交于O ，由题意得，分别是正方形四条边的中点，∴点O 为正方形的中心，∴，4.4,4.5,4.6,4.7,4.7,4.8,4.9,5.0 4.7 4.7=4.72+()14.4 4.5 4.6 4.7 4.7 4.8 4.95.0=4.78+++++++ 5.0 4.40.6-=()()()()()()22222221=0.30.20.10.10.20.3=0.0358S ⎡⎤+++++⎣⎦甲1P 2P 1P 2P 12P P <12P P =12P P >AE BD ，A B C D ，，，AOBF AODC S S =四边形四边形根据题意，可得扇形的面积等于扇形的面积，∴，∴阴影部分面积等于空白部分面积，即阴影部分面积等于正方形面积的一半∴，故选：C ．【点拨】本题考查了正方形的性质，扇形面积，几何概率，得出阴影部分面积等于正方形面积的一半是解题的关键．9. 如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0合和1之间，则以下结论：①；②；③若图象经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】根据图象，分别得出a 、b 、c 的符号，即可判断①；根据对称轴得出，再根据图象得出当时，，即可判断②；分别计算两点到对称轴的距离，再根据该抛物线开口向下，在抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，即可判断③；将方程移项可得，根据该方程无实数根，得出抛物线与直线没有交点，即可判断④．【详解】解：①∵该抛物线开口向下，∴，∵该抛物线的对称轴在y 轴左侧，∴，∵该抛物线于y轴交于正半轴，OAB CAD AOBF OAB AODC AOC S S S S -=-四边形扇形四边形扇形12P P =2y ax bx c =++A 1,2m ⎛⎫-⎪⎝⎭x 0abc >20b c +>()()123,,3,y y -12y y >x 230ax bx c ++-=3m <a b =1x =0y a b c =++<230ax bx c ++-=23ax bx c ++=2y ax bx c =++3y =a<00b <∴，∴，故①正确，符合题意；②∵，∴该抛物线的对称轴为直线，则，当时，，把得：当时，，由图可知：当时，，∴，故②不正确，不符合题意；③∵该抛物线的对称轴为直线，∴到对称轴的距离为，到对称轴的距离为，∵该抛物线开口向下，∴在抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，∵，∴，故③正确，符合题意；④将方程移项可得，∵无实数根，∴抛物线与直线没有交点，∵，∴．故④正确综上：正确的有：①③④，共三个．故选：C ．【点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握根据二次函数图象判断各系数的方0c >0abc >1,2A m ⎛⎫-⎪⎝⎭122b x a =-=-a b =1x =y a bc =++a b =1x =2y b c =+1x =0y <20b c +<12x =-()13,y -()15322---=()23,y 17322⎛⎫--= ⎪⎝⎭5722<12y y >230ax bx c ++-=23ax bx c ++=230ax bx c ++-=2y ax bx c =++3y =1,2A m ⎛⎫-⎪⎝⎭3m <法，熟练掌握二次函数的图象和性质．10. 如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P 为位似中心作正方形，正方形，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为，，则顶点的坐标为（ ）A B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】根据图象可得移动3次完成一个循环，从而可得出点坐标的规律．【详解】解：∵，，，，，∴，∵，则，∴， 故选：A ．【点拨】本题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律．二、填空题11. “北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统，国内多个导航地图采用北斗优先定位．目前，北斗定位服务日均使用量已超过3600亿次．3600亿用科学记数法表示为________．【答案】【解析】.123PA A A 456,PA A A ⋯123PA A A ()()()123,0,2,1,1,0P A A ---()32,1A --100A ()31.34()31,34-()32,35()32,0()323n A n n --，()121A -，()412A -，()703A ，()1014A ，L ()323n A n n --，1003342=⨯-34n =()1003134A ，113.610⨯【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：3600亿，用科学记数法表示为．故答案为：．【点拨】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n 为整数，正确确定a 的值以及n 的值是解决问题的关键．12. 一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知，则的度数为_____．【答案】##度【解析】【分析】根据两直线平行，内错角相等，即可求解．【详解】解：如图所示，依题意，，∴，∵，，∴∴．故答案为：．【点拨】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．13. 如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A ，B ，C，10n a ⨯110a ≤<360000000000=113.610⨯113.610⨯10n a ⨯110a ≤<1102∠=︒2∠78︒78AB DC ∥2BCD ∠=∠1180BCD ∠+∠=︒1102∠=︒180178BCD ∠=︒-∠=︒278∠=︒78︒D ，连接，则的度数为_______．【答案】【解析】【分析】如图：连接，由题意可得：，，然后再根据等腰三角形的性质求得、，最后根据角的和差即可解答．【详解】解：如图：连接，由题意可得：，,，∴，，∴．故答案为．【点拨】本题主要考查了角的度量、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用等腰三角形的性质是解答本题的关键．14. 如图，利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：①按键的结果为4；②按键的结果为8；AB BAD ∠52.5︒,,,,,OA OB OC OD AD AB OA OB OC OD ===502525AOB ∠=︒-︒=︒65OAB ∠=︒25OAD ∠=︒,,,,,OA OB OC OD AD AB OA OB OC OD ===502525AOB ∠=︒-︒=︒15525130AOD ∠=︒-︒=︒()118077.52OAB AOB ∠=︒-∠=︒()1180252OAD AOB ∠=︒-∠=︒52.5OAB A BAD O D ∠∠-∠==︒52.5︒③按键的结果为；④按键的结果为25．以上说法正确的序号是___________．【答案】①③【解析】【分析】根据计算器按键，写出式子，进行计算即可．【详解】解：①；故①正确，符合题意；②按键的结果为；故②不正确，不符合题意；③按键的结果为；故③正确，符合题意；④按键的结果为；故④不正确，不符合题意；综上：正确的有①③．故答案为：①③．【点拨】本题主要考查了科学计算器是使用，解题的关键是熟练掌握和了解科学计算器各个按键的含义．15. 如图，在直角坐标系中，与轴相切于点为的直径，点在函数的图象上，为轴上一点，的面积为6，则的值为________．【答案】24【解析】【分析】设，则，则，根据三角形的面积公式得出0.54=()3424+-=-()sin 4515sin 300.5︒-︒=︒=2132102⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭A e x ,B CB A eC (0,0)ky k x x=>>D y ACD V k ,k C a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,k OB a AC a ==122kAC BC a==，列出方程求解即可．【详解】解：设，∵与轴相切于点， ∴轴，∴，则点D 到的距离为a ，∵为的直径，∴，∴，解得：，故答案为：．【点拨】本题主要考查了切线的性质，反比例函数的图象和性质，解题的关键掌握切线的定义：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，以及反比例函数图象上点的坐标特征．16. 如图1，在中，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，图2是与的函数关系的大致图象，其中点为曲线的最低点，则的高的长为_______．【解析】【分析】过点作于点，当点与重合时，在图2中点表示当时，点到达点，此时当在上运动时，最小，勾股定理求得，然后等面积法即可求解．【详解】如图过点作于点，当点与重合时，在图2中点表示当时，点到达点，此时当在上运动时，最小，162ACD S AC OB =⋅=V ,k C a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭A e xB BC x ⊥,kOB a AC a==BC CB A e 122k AC BC a ==16224ACDk k S a a =⋅⋅==V 24k =24ABC V P A AB BC CA →→A P x AP y y x F DE ABC V CG A AQ BC ⊥Q P Q F 12AB BQ +=P Q P BC AP AQ A AQ BC ⊥Q P Q F 12AB BQ +=P Q P BC AP∴，在中，∴∵，∴,．【点拨】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短，从函数图象获取信息是解题的关键．三、解答题17. 先化简，再求值：，其中是使不等式成立的正整数．【答案】；【解析】【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后求出不等式的解集，得出正整数a 的值，再代入数据计算即可．【详解】解：7BC =4,3BQ QC ==Rt ABQ V 8,4AB BQ ==AQ ===1122ABC S AB CG AQ BC =⨯=⨯V BC AQ CG AB ⨯===2695222a a a a a -+⎛⎫÷++ ⎪--⎝⎭a 112a -≤33a a -+12-2695222a a a a a -+⎛⎫÷++ ⎪--⎝⎭()()()23225222a a a a a a -+-⎡⎤=÷+⎢⎥---⎣⎦()2234522a a a a--+=÷--()()()232233a aa a a --=⋅-+-，解不等式得：，∵a 为正整数，∴，，，∵要使分式有意义，∴，∵当时，，∴，∴把代入得：原式．【点拨】本题主要考查了分式化简求作，分式有意义的条件，解不等式，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．18. “基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知，，，，五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．（1）请将条形统计图补充完整；（2）在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为_________；若该市有中学生参加本次活动，则选择大学的大约有_________人；（3）甲、乙两位同学计划从，，三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率．【答案】（1）见解析 （2）；．（3）33a a -=+112a -≤3a ≤1a =2320a -≠2a ≠3a =552320223a a ++=++=--3a ≠1a =131132-==-+A B C D E D 1000名A A B C 14.4︒20013【解析】【分析】（1）根据的人数除以占比得到总人数，进而求得的人数，补全统计图即可求解；（2）根据的占比乘以得到圆心角的度数，根据乘以选择的人数的占比即可求解；（3）根据列表法求概率即可求解．【小问1详解】解：总人数为（人）∴选择大学的人数为，补全统计图如图所示，【小问2详解】在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为，选择A 大学的大约有（人）故答案为：；．【小问3详解】列表如下，甲乙共有9种等可能结果，其中有3种符合题意，∴甲、乙两人恰好选取同一所大学的概率为．【点拨】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，列表法求概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．C BD 360︒1000A 1428%50÷=B 5010142816----=D 236014.450︒⨯=︒101000=20050⨯14.4︒200ABC AAA AB AC BBABBBC C CA CBCC1319. 风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡长16米，在地面点处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方53米的点处测得点的俯角为，求该风力发电机塔杆的高度．（参考数据：，，）【答案】该风力发电机塔杆的高度为32米【解析】【分析】过点P 作于点F ，延长交延长线于点E ，先根据含角直角三角形的性质得出，设米，则米，进而得出米，证明四边形为矩形，则米，米，根据线段之间的和差关系得出米，最后根据，列出方程求解即可．【详解】解：过点P 作于点F ，延长交延长线于点E ，根据题意可得：、垂直于水平面，，，，∴，∵米， ∴（米），设米，则米，∵，，∴米，∵，，，∴四边形为矩形，∴米，米，30︒CD A P 45︒A B P 18︒PD sin180.309≈︒cos180.951≈︒tan180.325≈︒PD PF AB ⊥PD AC 30︒8DE =PD x =()8PE PD DE x =+=+()8AE x =+FAEP ()8PF AE x ==+()8AF PE x ==+()45BF AB AF s x =-=-tan18BFPF=︒PF AB ⊥PD AC AB PD 30DCE ∠=︒45PAC ∠=︒18GBP ∠=︒PE AE ⊥16CD =1116822DE CD ==⨯=PD x =()8PE PD DE x =+=+45PAC ∠=︒PE AE ⊥()8tan 45PEAE x ==+︒AB AE ⊥PE AE ⊥PF AB ⊥FAEP ()8PF AE x ==+()8AF PE x ==+∵米，∴米，∵，∴，∴，即，解得：，答：该风力发电机塔杆的高度为32米．【点拨】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤．20. 【问题背景】如图1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形进行如下操作：①分别以点为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，连接；②将沿翻折，点的对应点落在点处，作射线交于点．【问题提出】在矩形中，，求线段的长．【问题解决】经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：53AB =()()53845BF AB AF x x =-=-+=-18GBP ∠=︒18BPF ∠=︒tan18BF PF =︒450.3258xx-≈+32x ≈PD ABCD ,B C12BC E F EF BC O AO ABO V AO B P AP CD Q ABCD 53AD AB ==，CQ方案一：连接，如图2．经过推理、计算可求出线段的长；方案二：将绕点旋转至处，如图3．经过推理、计算可求出线段的长．请你任选其中一种方案求线段的长．【答案】线段的长为．【解析】【分析】方案一：连接，由翻折的不变性，知，，证明，推出，设，在中，利用勾股定理列式计算求解即可；方案二：将绕点旋转至处，证明，推出，设，同方案一即可求解．【详解】解：方案一：连接，如图2．∵四边形矩形，∴，，由作图知，由翻折的不变性，知，，，∴，，又，∴，∴，设，则，，在中，，即，解得，是OQ CQ ABO V O 180︒RCO △CQ CQ CQ 2512OQ 3AP AB == 2.5OP OB ==()HL QPO QCO ≌△△PQ CQ =PQ CQ x ==Rt ADQ △ABO V O 180︒RCO △OAQ R ∠=∠QA QR =CQ x =OQ ABCD 3AB CD ==5AD BC ==12.52BO OC BC ===3AP AB == 2.5OP OB ==90APO B ∠=∠=︒2.5OP OC ==90QPO C ∠=∠=︒OQ OQ =()HL QPO QCO ≌△△PQ CQ =PQ CQ x ==3AQ x =+3DQ x =-Rt ADQ △222AD QD AQ +=()()222533x x +-=+2512x =∴线段的长为；方案二：将绕点旋转至处，如图3．∵四边形是矩形，∴，，由作图知，由旋转的不变性，知，，，则，∴共线，由翻折的不变性，知，∴，∴，设，则，，在中，，即，解得，∴线段的长为．【点拨】本题考查了作线段的垂直平分线，翻折的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．21. 中华优秀传统文化源远流长、是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书、许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本．（1）求两种图书的单价分别为多少元？CQ 2512ABO V O 180︒RCO △ABCD 3AB CD ==5AD BC ==12.52BO OC BC ===3CR AB ==BAO R ∠=∠90B OCR ∠=∠=︒9090180OCR OCD ∠+∠=︒+︒=︒D C R 、、BAO OAQ ∠=∠OAQ R ∠=∠QA QR =CQ x =3QA QR x ==+3DQ x =-Rt ADQ △222AD QD AQ +=()()222533x x +-=+2512x =CQ 251234（2）为等备“3．14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售．求两种图书分别购买多少本时费用最少？【答案】（1）《周髀算经》单价为40元，则《孙子算经》单价是30元；（2）当购买《周髀算经》27本，《孙子算经》53本时，购买两类图书总费用最少，最少总费用为2316元．【解析】【分析】（1）设《周髀算经》单价为x 元，则《孙子算经》单价是元，根据“用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本”列分式方程，解之即可求解；（2）根据购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半列出不等式求出m 的取值范围，根据m 的取值范围结合函数解析式解答即可．【小问1详解】解：设《周髀算经》单价为x 元，则《孙子算经》单价是元，依题意得，，解得，经检验，是原方程的解，且符合题意，，答：《周髀算经》单价为40元，则《孙子算经》单价是30元；【小问2详解】解：设购买的《周髀算经》数量m 本，则购买的《孙子算经》数量为本，依题意得，，解得，设购买《周髀算经》和《孙子算经》的总费用为y （元），依题意得，，∵，∴y 随m 的增大而增大，∴当时，有最小值，此时（元），34x 34x 600600534x x=+40x =40x =340304⨯=()80m -()1802m m ≥-2263m ≥()400.8300.88081920y m m m =⨯+⨯-=+80k =>27m =82719202316y =⨯+=（本）答：当购买《周髀算经》27本，《孙子算经》53本时，购买两类图书总费用最少，最少总费用为2316元．【点拨】本题主要考查分式方程的实际应用，一次函数的实际应用以及一元一次不等式的实际应用，根据题意表示出y 与x 之间的函数关系式以及列出不等式是解题的关键．22. 如图，在菱形中，对角线相交于点经过两点，交对角线于点，连接交于点，且．（1）求证：是的切线；（2）已知的半径与菱形的边长之比为，求的值．【答案】（1）见解析（2）．【解析】【分析】（1）利用垂径定理得，利用菱形的性质得，利用半径相等得，即可证明，据此即可证明结论成立；（2）设，由题意得，求得，由勾股定理得到，求得，利用菱形的性质求得，据此求解即可．【小问1详解】证明：连接，∵，由垂径定理知，∴，∵四边形是菱形，∴，∴，802753-=ABCD ,AC BD ,E O e ,A D AC F OF AD G AG GD =AB O e O e 5:8tan ADB ∠tan 2ADB ∠=OF AD ⊥GAF BAF ∠=∠OAF OFA ∠=∠90OAF BAF ∠+∠=︒4AG GD a ==:5:4OA AG =5OA a =3OG a =2FG a =ADB AFG ∠=∠OA AG GD =OF AD ⊥90OGA FGA ∠=∠=︒ABCD GAF BAF ∠=∠90GAF AFG BAF AFG ∠+∠=︒=∠+∠∵，∴，∴，又∵为的半径，∴是的切线；【小问2详解】解：∵四边形是菱形，，∴设，∵的半径与菱形的边长之比为，∴在中，，∴，，∴，∵四边形是菱形，∴，即，∴，∴．【点拨】本题考查了菱形的性质，垂径定理，切线的判定，求角的正切值，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．23. 如图，点为线段上一点，分别以为等腰三角形的底边，在的同侧作等腰和等腰，且．在线段上取一点，使，连接．（1）如图1，求证：；（2）如图2，若的延长线恰好经过的中点，求的长．【答案】（1）见解析（2）．【解析】OA OF =OAF OFA ∠=∠90OAF BAF OAB ∠+∠=∠=︒OA O e AB O e ABCD AG GD =4AG GD a ==O e 5:8Rt OAG △:5:4OA AG =5OA a=3OG a ==2FG OF OG a =-=ABCD BD AC ⊥90DEA FGA ∠=︒=∠ADB AFG ∠=∠4tan tan 22AG a ADB AFG FG a∠=∠===C AB ,AC BC AB ACD V BCE V A CBE ∠=∠EC F EF AD =,BF DE DE BF =2AD BF =，DE GBE 2BE =+【分析】（1）证明，推出，利用证明即可证明结论成立；（2）取的中点H ，连接，证明是的中位线，设，则，证明，得到，即，解方程即可求解．【小问1详解】证明：∵等腰和等腰，∴，，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴；【小问2详解】解：取的中点H ，连接，∵点是的中点，∴是的中位线，∴，，设，则，∵，CD BE ∥DCE BEF ∠=∠SAS DCE FEB ≌△△CF GH GH FCD V BE a =122FH a =-FGH FBE ∽△△GH FH BE EF=2440a a --=ACD V BCE V AD CD =EC EB =A DCA ∠=∠A CBE ∠=∠DCA CBE ∠=∠CD BE ∥DCE BEF ∠=∠EF AD =EF CD =DCE △FEB V CD EF DCE FEB EC EB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS DCE FEB ≌△△DE BF =CF GH G DE GH FCD V 11122GH CD AD ===GH CD ∥BE a =111222CH EH CE BE a ====2EF AD ==∴，∵，∴，∴，∴，即，整理得，解得（负值已舍），经检验是所列方程的解，且符合题意，∴【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．24. 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点．（1）求直线及抛物线的表达式；（2）在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）以点为圆心，画半径为2的圆，点为上一个动点，请求出的最小值．【答案】（1）直线的解析式为；抛物线解析式为 （2）存在，点M 的坐标为或 或（3122FH a =-CD BE ∥GH BE ∥FGH FBE ∽△△GH FH BE EF =12122a a -=2440a a --=2a =+2a =+2BE =+25y ax bx =++x ,A B y ,4C AB =3x =A 1y kx =-D x E AD M ADM △AD M B P B e 12+PC PA AD 1y x =-265y x x =-+()4,3-()0,5()5,0【分析】（1）根据对称轴，，得到点A 及B 的坐标，再利用待定系数法求解析式即可；（2）先求出点D 的坐标，再分两种情况：①当时，求出直线的解析式为，解方程组，即可得到点M 的坐标；②当时，求出直线的解析式为，解方程组，即可得到点M 的坐标；（3）在上取点，使，连接，证得，又，得到，推出，进而得到当点C 、P 、F 三点共线时，的值最小，即为线段的长，利用勾股定理求出即可．【小问1详解】解：∵抛物线的对称轴，，∴，将代入直线，得，解得，∴直线的解析式为；将代入，得，解得，∴抛物线的解析式为；【小问2详解】存在点，∵直线的解析式为，抛物线对称轴与轴交于点．∴当时，，∴，①当时，设直线的解析式为，将点A 坐标代入，得，3x =4AB =90DAM ∠=︒AM 1y x =-+2165y x y x x =-+⎧⎨=-+⎩90ADM ∠=︒DM 5y x =-+2565y x y x x =-+⎧⎨=-+⎩AB F 1BF =CF BF PB PB AB=PBF ABP ∠=∠PBF ABP V V ∽12PF PA =12+PC PA CF CF 3x =4AB =()()1,0,5,0A B ()1,0A 1y kx =-10k -=1k =AD 1y x =-()()1,0,5,0A B 25y ax bx =++5025550a b a b ++=⎧⎨++=⎩16a b =⎧⎨=-⎩265y x x =-+M AD 1y x =-3x =x E 3x =12y x =-=()3,2D 90DAM ∠=︒AM y x c =-+10c -+=∴直线的解析式为，解方程组，得或，∴点M 的坐标为；②当时，设直线的解析式为，将代入，得，解得，∴直线的解析式为，解方程组，解得或，∴点M 的坐标为 或综上，点M 的坐标为或 或；【小问3详解】如图，在上取点，使，连接，∵，∴，∵，、∴，又∵，∴，∴，即，AM 1y x =-+2165y x y x x =-+⎧⎨=-+⎩10x y =⎧⎨=⎩43x y =⎧⎨=-⎩()4,3-90ADM ∠=︒DM y x d =-+()3,2D 32d -+=5d =DM 5y x =-+2565y x y x x =-+⎧⎨=-+⎩05x y =⎧⎨=⎩50x y =⎧⎨=⎩()0,5()5,0()4,3-()0,5()5,0AB F 1BF =CF 2PB =12BF PB =2142PB AB ==BF PB PB AB=PBF ABP ∠=∠PBF ABP V V ∽12PF BF PA PB ==12PF PA =∴，∴当点C 、P 、F 三点共线时，的值最小，即为线段的长，∵，∴∴的最小值为．【点拨】此题是一次函数，二次函数及圆的综合题，掌握待定系数法求函数解析式，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求两图象的交点坐标，正确掌握各知识点是解题的关键．12PC PA PC PF CF +=+≥12+PCPA CF 5,1514OC OF OB ==-=-=CF ===12+PC PA。
最新山东省烟台市中考数学试卷(含答案解析)
山东省烟台市中考数学试卷一、选择题：本大题共12小题,每小题3分,共36分1．下列实数中,有理数是（）A．B． C．D．0.101001001【考点】实数．【分析】实数分为有理数,无理数,有理数有分数、整数,无理数有根式下不能开方地,π等,很容易选择．【解答】解：A、不能正好开方,即为无理数,故本选项错误；B、不能正好开方,即为无理数,故本选项错误；C、π为无理数,所以为无理数,故本选项错误；D、小数为有理数,符合．故选D．2．下列商标图案中,既不是轴对称图形又不是中心对称图形地是（）A．B． C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形地概念逐项分析即可．【解答】解：A、是轴对称图形,不是中心对称图形；B、是轴对称图形,不是中心对称图形；C、既不是轴对称图形,也不是中心对称图形；D、不是轴对称图形,是中心对称图形,故选C．3．下列计算正确地是（）A．3a2﹣6a2=﹣3 B．（﹣2a）?（﹣a）=2a2C．10a10÷2a2=5a5D．﹣（a3）2=a6【考点】整式地除法；合并同类项；幂地乘方与积地乘方；单项式乘单项式．【分析】根据整式地加减法可得出A选项结论不正确；根据单项式乘单项式地运算可得出B选项不正确；根据整式地除法可得出C选项正确；根据幂地乘方可得出D选项不正确．由此即可得出结论．【解答】解：A、3a2﹣6a2=﹣3a2,﹣3a2≠﹣3,∴A中算式计算不正确；B、（﹣2a）?（﹣a）=2a2,2a2=2a2,∴B中算式计算正确；C、10a10÷2a2=5a8,5a8≠5a5（特殊情况除外）,∴C中算式计算不正确；D、﹣（a3）2=﹣a6,﹣a6≠a6（特殊情况除外）,∴D中算式计算不正确．故选B．4．如图,圆柱体中挖去一个小圆柱,那么这个几何体地主视图和俯视图分别为（）A．B．C．D．【考点】简单组合体地三视图．【分析】直接利用组合体结合主视图以及俯视图地观察角度得出答案．【解答】解：由几何体所示,可得主视图和俯视图分别为：和．故选：B．5．如图,是我们数学课本上采用地科学计算器面板,利用该型号计算器计算cos55°,按键顺序正确地是（）A．B．C． D．【考点】计算器—三角函数；计算器—数地开方．【分析】简单地电子计算器工作顺序是先输入者先算,其中R﹣CM表示存储、读出键,M+为存储加键,M﹣为存储减键,根据按键顺序写出式子,再根据开方运算即可求出显示地结果．【解答】解：利用该型号计算器计算cos55°,按键顺序正确地是．故选：C．6．某射击队要从甲、乙、丙、丁四人中选拔一名选手参赛,在选拔赛中,每人射击10次,然后从他们地成绩平均数（环）及方差两个因素进行分析,甲、乙、丙地成绩分析如表所示,丁地成绩如图所示．甲乙丙平均数7.9 7.9 8.0方差 3.29 0.49 1.8根据以上图表信息,参赛选手应选（）A．甲B．乙C．丙D．丁【考点】方差；算术平均数．【分析】根据方差地计算公式求出丁地成绩地方差,根据方差地性质解答即可．【解答】解：由图可知丁射击10次地成绩为：8、8、9、7、8、8、9、7、8、8,则丁地成绩地平均数为：×（8+8+9+7+8+8+9+7+8+8）=8,丁地成绩地方差为：×[（8﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣9）2+（8﹣7）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣9）2+（8﹣7）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2]=0.4,∵丁地成绩地方差最小,∴丁地成绩最稳定,∴参赛选手应选丁,故选：D．7．如图,在平面直角坐标中,正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心地位似图形,且相似比为,点A,B,E在x轴上,若正方形BEFG地边长为6,则C点坐标为（）A．（3,2）B．（3,1）C．（2,2）D．（4,2）【考点】位似变换；坐标与图形性质；正方形地性质．【分析】直接利用位似图形地性质结合相似比得出AD地长,进而得出△OAD∽△OBG,进而得出AO地长,即可得出答案．【解答】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心地位似图形,且相似比为,∴=,∵BG=6,∴AD=BC=2,∵AD∥BG,∴△OAD∽△OBG,∴=,∴=,解得：OA=1,∴OB=3,∴C点坐标为：（3,2）,故选：A．8．反比例函数y=地图象与直线y=﹣x+2有两个交点,且两交点横坐标地积为负数,则t地取值范围是（）A．t＜B．t＞C．t≤ D．t≥【考点】反比例函数与一次函数地交点问题．【分析】将一次函数解析式代入到反比例函数解析式中,整理得出关于x地一元二次方程,由两函数图象有两个交点,且两交点横坐标地积为负数,结合根地判别式以及根与系数地关系即可得出关于k地一元一次不等式组,解不等式组即可得出结论．【解答】解：将y=﹣x+2代入到反比例函数y=中,得：﹣x+2=,整理,得：x2﹣2x+1﹣6t=0．∵反比例函数y=地图象与直线y=﹣x+2有两个交点,且两交点横坐标地积为负数, ∴,解得：t＞．故选B．9．若x1,x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0地两个根,则x12﹣x1+x2地值为（）A．﹣1 B．0 C．2 D．3【考点】根与系数地关系．【分析】由根与系数地关系得出“x1+x2=2,x1?x2=﹣1”,将代数式x12﹣x1+x2变形为x12﹣2x1﹣1+x1+1+x2,套入数据即可得出结论．【解答】解：∵x1,x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0地两个根,∴x1+x2=﹣=2,x1?x2==﹣1．x12﹣x1+x2=x12﹣2x1﹣1+x1+1+x2=1+x1+x2=1+2=3．故选D．10．如图,Rt△ABC地斜边AB与量角器地直径恰好重合,B点与0刻度线地一端重合,∠ABC=40°,射线CD绕点C转动,与量角器外沿交于点D,若射线CD将△ABC分割出以BC为边地等腰三角形,则点D在量角器上对应地度数是（）A．40°B．70°C．70°或80°D．80°或140°【考点】角地计算．【分析】如图,点O是AB中点,连接DO,易知点D在量角器上对应地度数=∠DOB=2∠BCD,只要求出∠BCD地度数即可解决问题．【解答】解：如图,点O是AB中点,连接DO．∵点D在量角器上对应地度数=∠DOB=2∠BCD,∵当射线CD将△ABC分割出以BC为边地等腰三角形时,∠BCD=40°或70°,∴点D在量角器上对应地度数=∠DOB=2∠BCD=80°或140°,故选D．11．二次函数y=ax2+bx+c地图象如图所示,下列结论：①4ac＜b2；②a+c＞b；③2a+b＞0．其中正确地有（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【考点】二次函数图象与系数地关系．【分析】根据抛物线与x轴有两个交点即可判断①正确,根据x=﹣1,y＜0,即可判断②错误,根据对称轴x＞1,即可判断③正确,由此可以作出判断．【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点,∴△＞0,∴b2﹣4ac＞0,∴4ac＜b2,故①正确,∵x=﹣1时,y＜0,∴a﹣b+c＜0,∴a+c＜b,故②错误,∴对称轴x＞1,a＜0,∴﹣＞1,∴﹣b＜2a,∴2a+b＞0,故③正确．故选B．12．如图,○O地半径为1,AD,BC是⊙O地两条互相垂直地直径,点P从点O出发（P点与O 点不重合）,沿O→C→D地路线运动,设AP=x,sin∠APB=y,那么y与x之间地关系图象大致是（）A．B．C．D．【考点】动点问题地函数图象．【分析】根据题意确定出y与x地关系式,即可确定出图象．【解答】解：根据题意得：sin∠APB=,∵OA=1,AP=x,sin∠APB=y,∴xy=1,即y=（1＜x＜2）,图象为：,故选B．二、填空题：本大题共6个小题,每小题3分,共18分13．已知|x﹣y+2|﹣=0,则x2﹣y2地值为﹣4 ．【考点】因式分解-运用公式法；非负数地性质：绝对值；非负数地性质：算术平方根．【分析】由|x﹣y+2|﹣=0,根据非负数地性质,可求得x﹣y与x+y地值,继而由x2﹣y2=（x﹣y）（x+y）求得答案．【解答】解：∵|x﹣y+2|﹣=0,∴x﹣y+2=0,x+y﹣2=0,∴x﹣y=﹣2,x+y=2,∴x2﹣y2=（x﹣y）（x+y）=﹣4．故答案为：﹣4．14．如图,O为数轴原点,A,B两点分别对应﹣3,3,作腰长为4地等腰△ABC,连接OC,以O为圆心,CO长为半径画弧交数轴于点M,则点M对应地实数为．【考点】勾股定理；实数与数轴；等腰三角形地性质．【分析】先利用等腰三角形地性质得到OC⊥AB,则利用勾股定理可计算出OC=,然后利用画法可得到OM=OC=,于是可确定点M对应地数．【解答】解：∵△ABC为等腰三角形,OA=OB=3,∴OC⊥AB,在Rt△OBC中,OC===,∵以O为圆心,CO长为半径画弧交数轴于点M,∴OM=OC=,∴点M对应地数为．故答案为．15．已知不等式组,在同一条数轴上表示不等式①,②地解集如图所示,则b﹣a地值为．【考点】解一元一次不等式组；负整数指数幂；在数轴上表示不等式地解集．【分析】根据不等式组,和数轴可以得到a、b地值,从而可以得到b﹣a地值．【解答】解：,由①得,x≥﹣a﹣1,由②得,x≤b,由数轴可得,原不等式地解集是：﹣2≤x≤3,∴,解得,,∴,故答案为：．16．如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC地面积为12,点B在y轴上,点C在反比例函数y=地图象上,则k地值为﹣6 ．【考点】反比例函数系数k地几何意义；菱形地性质．【分析】连接AC,交y轴于点D,由四边形ABCO为菱形,得到对角线垂直且互相平分,得到三角形CDO面积为菱形面积地四分之一,根据菱形面积求出三角形CDO面积,利用反比例函数k地几何意义确定出k地值即可．【解答】解：连接AC,交y轴于点D,∵四边形ABCO为菱形,∴AC⊥OB,且CD=AD,BD=OD,∵菱形OABC地面积为12,∴△CDO地面积为3,∴|k|=6,∵反比例函数图象位于第二象限,∴k＜0,则k=﹣6．故答案为：﹣6．17．如图,C为半圆内一点,O为圆心,直径AB长为2cm,∠BOC=60°,∠BCO=90°,将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′,点C′在OA上,则边BC扫过区域（图中阴影部分）地面积为πcm2．【考点】扇形面积地计算；旋转地性质．【分析】根据已知条件和旋转地性质得出两个扇形地圆心角地度数,再根据扇形地面积公式进行计算即可得出答案．【解答】解：∵∠BOC=60°,△B′OC′是△BOC绕圆心O逆时针旋转得到地,∴∠B′OC′=60°,△BCO=△B′C′O,∴∠B′OC=60°,∠C′B′O=30°,∴∠B′OB=120°,∵AB=2cm,∴OB=1cm,OC′=,∴B′C′=,∴S扇形B′OB==π,S扇形C′OC==,∵∴阴影部分面积=S扇形B′OB+S△B′C′O﹣S△BCO﹣S扇形C′OC=S扇形B′OB﹣S扇形C′OC=π﹣=π；故答案为：π．18．如图,在正方形纸片ABCD中,EF∥AD,M,N是线段EF地六等分点,若把该正方形纸片卷成一个圆柱,使点A与点D重合,此时,底面圆地直径为10cm,则圆柱上M,N两点间地距离是cm．【考点】圆柱地计算．由卷成圆柱后底面直径求出周长,除以6得到EM 【分析】根据题意得到EF=AD=BC,MN=2EM,地长,进而确定出MN地长即可．【解答】解：根据题意得：EF=AD=BC,MN=2EM=EF,∵把该正方形纸片卷成一个圆柱,使点A与点D重合,底面圆地直径为10cm,∴底面周长为10πcm,即EF=10πcm,则MN=cm,故答案为：．三、解答题：本大题共7个小题,满分66分19．先化简,再求值：（﹣x﹣1）÷,其中x=,y=．【考点】分式地化简求值．【分析】首先将括号里面进行通分,进而将能分解因式地分解因式,再化简求出答案．【解答】解：（﹣x﹣1）÷,=（﹣﹣）×=×=﹣,把x=,y=代入得：原式=﹣=﹣1+．20．网上购物已经成为人们常用地一种购物方式,售后评价特别引人关注,消费者在网店购买某种商品后,对其有“好评”、“中评”、“差评”三种评价,假设这三种评价是等可能地．（1）小明对一家网店销售某种商品显示地评价信息进行了统计,并列出了两幅不完整地统计图．利用图中所提供地信息解决以下问题：①小明一共统计了150 个评价；②请将图1补充完整；③图2中“差评”所占地百分比是13.3% ；（2）若甲、乙两名消费者在该网店购买了同一商品,请你用列表格或画树状图地方法帮助店主求一下两人中至少有一个给“好评”地概率．【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．【分析】（1）①用“中评”、“差评”地人数除以二者地百分比之和可得总人数；②用总人数减去“中评”、“差评”地人数可得“好评”地人数,补全条形图即可；③根据×100%可得；（2）可通过列表表示出甲、乙对商品评价地所有可能结果数,通过概率公式计算可得．【解答】解：（1）①小明统计地评价一共有： =150（个）；②“好评”一共有150×60%=90（个）,补全条形图如图1：③图2中“差评”所占地百分比是：×100%=13.3%；（2）列表如下：好中差好好,好好,中好,差中中,好中,中中,差差差,好差,中差,差由表可知,一共有9种等可能结果,其中至少有一个给“好评”地有5种,∴两人中至少有一个给“好评”地概率是．故答案为：（1）①150；③13.3%．21．由于雾霾天气频发,市场上防护口罩出现热销,某医药公司每月固定生产甲、乙两种型号地防雾霾口罩共20万只,且所有产品当月全部售出,原料成本、销售单价及工人生产提成如表：甲乙原料成本12 8销售单价18 12生产提成 1 0.8（1）若该公司五月份地销售收入为300万元,求甲、乙两种型号地产品分别是多少万只？（2）公司实行计件工资制,即工人每生产一只口罩获得一定金额地提成,如果公司六月份投入总成本（原料总成本+生产提成总额）不超过239万元,应怎样安排甲、乙两种型号地产量,可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润（利润=销售收入﹣投入总成本）【考点】一元二次方程地应用．【分析】（1）设甲型号地产品有x万只,则乙型号地产品有（20﹣x）万只,根据销售收入为300万元列出方程,求出方程地解即可得到结果；（2）设安排甲型号产品生产y万只,则乙型号产品生产（20﹣y）万只,根据公司六月份投入总成本（原料总成本+生产提成总额）不超过239万元列出不等式,求出不等式地解集确定出y地范围,再根据利润=售价﹣成本列出W与y地一次函数,根据y地范围确定出W地最大值即可．【解答】解：（1）设甲型号地产品有x万只,则乙型号地产品有（20﹣x）万只,根据题意得：18x+12（20﹣x）=300,解得：x=10,则20﹣x=20﹣10=10,则甲、乙两种型号地产品分别为10万只,10万只；（2）设安排甲型号产品生产y万只,则乙型号产品生产（20﹣y）万只,根据题意得：13y+8.8（20﹣y）≤239,解得：y≤15,根据题意得：利润W=（18﹣12﹣1）y+（12﹣8﹣0.8）（20﹣y）=1.8y+64,当y=15时,W最大,最大值为91万元．22．某中学广场上有旗杆如图1所示,在学习解直角三角形以后,数学兴趣小组测量了旗杆地高度．如图2,某一时刻,旗杆AB地影子一部分落在平台上,另一部分落在斜坡上,测得落在平台上地影长BC为4米,落在斜坡上地影长CD为3米,AB⊥BC,同一时刻,光线与水平面地夹角为72°,1米地竖立标杆PQ在斜坡上地影长QR为2米,求旗杆地高度（结果精确到3.08）0.1米）．（参考数据：sin72°≈0.95,cos72°≈0.31,tan72°≈【考点】解直角三角形地应用．【分析】如图作CM∥AB交AD于M,MN⊥AB于N,根据=,求出CM,在RT△AMN中利用tan72°=,求出AN即可解决问题．【解答】解：如图作CM∥AB交AD于M,MN⊥AB于N．由题意=,即=,CM=,在RT△AMN中,∵∠ANM=90°,MN=BC=4,∠AMN=72°,∴tan72°=,∴AN≈12.3,∵MN∥BC,AB∥CM,∴四边形MNBC是平行四边形,∴BN=CM=,∴AB=AN+BN=13.8米．23．如图,△ABC内接于⊙O,AC为⊙O地直径,PB是⊙O地切线,B为切点,OP⊥BC,垂足为E,交⊙O于D,连接BD．（1）求证：BD平分∠PBC；（2）若⊙O地半径为1,PD=3DE,求OE及AB地长．【考点】切线地性质；三角形地外接圆与外心．【分析】（1）由∠PBD+∠OBD=90°,∠DBE+∠BDO=90°利用等角地余角相等即可解决问题．（2）利用面积法首先证明==,再证明△BEO∽△PEB,得=,即==,由此即可解决问题．【解答】（1）证明：连接OB．∵PB是⊙O切线,∴OB⊥PB,∴∠PBO=90°,∴∠PBD+∠OBD=90°,∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB,∵OP⊥BC,∴∠BED=90°,∴∠DBE+∠BDE=90°,∴∠PBD=∠EBD,∴BD平分∠PBC．（2）解：作DK⊥PB于K,∵==,∵BD平分∠PBE,DE⊥BE,DK⊥PB,∴DK=DE,∴==,∵∠OBE+∠PBE=90°,∠PBE+∠P=90°, ∴∠OBE=∠P,∵∠OEB=∠BEP=90°, ∴△BEO∽△PEB,∴=,∴==,∵BO=1,∴OE=,∵OE⊥BC,∴BE=EC,∵AO=OC,∴AB=2OE=．24．【探究证明】（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直地线段与矩形两邻边地数量关系进行探究,提出下列问题,请你给出证明．如图1,矩形ABCD中,EF⊥GH,EF分别交AB,CD于点E,F,GH分别交AD,BC于点G,H．求证： =；【结论应用】（2）如图2,在满足（1）地条件下,又AM⊥BN,点M,N分别在边BC,CD上,若=,则地值为；【联系拓展】（3）如图3,四边形ABCD中,∠ABC=90°,AB=AD=10,BC=CD=5,AM⊥DN,点M,N分别在边BC,AB 上,求地值．【考点】相似形综合题．【分析】（1）过点A作AP∥EF,交CD于P,过点B作BQ∥GH,交AD于Q,如图1,易证AP=EF,GH=BQ,△PDA∽△QAB,然后运用相似三角形地性质就可解决问题；（2）只需运用（1）中地结论,就可得到==,就可解决问题；（3）过点D作平行于AB地直线,交过点A平行于BC地直线于R,交BC地延长线于S,如图3,易证四边形ABSR是矩形,由（1）中地结论可得=．设SC=x,DS=y,则AR=BS=5+x,RD=10﹣y,在Rt△CSD中根据勾股定理可得x2+y2=25①,在Rt△ARD中根据勾股定理可得（5+x）2+（10﹣y）2=100②,解①②就可求出x,即可得到AR,问题得以解决．【解答】解：（1）过点A作AP∥EF,交CD于P,过点B作BQ∥GH,交AD于Q,如图1,∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥DC,AD∥BC．∴四边形AEFP、四边形BHGQ都是平行四边形,∴AP=EF,GH=BQ．又∵GH⊥EF,∴AP⊥BQ,∴∠QAT+∠AQT=90°．∵四边形ABCD是矩形,∴∠DAB=∠D=90°,∴∠DAP+∠DPA=90°,∴∠AQT=∠DPA．∴△PDA∽△QAB,∴=,∴=；（2）如图2,∵EF⊥GH,AM⊥BN,∴由（1）中地结论可得=, =,∴==．故答案为；（2）过点D作平行于AB地直线,交过点A平行于BC地直线于R,交BC地延长线于S,如图3,则四边形ABSR是平行四边形．∵∠ABC=90°,∴?ABSR是矩形,∴∠R=∠S=90°,RS=AB=10,AR=BS．∵AM⊥DN,∴由（1）中地结论可得=．设SC=x,DS=y,则AR=BS=5+x,RD=10﹣y,∴在Rt△CSD中,x2+y2=25①,在Rt△ARD中,（5+x）2+（10﹣y）2=100②,由②﹣①得x=2y﹣5③,解方程组,得（舍去）,或,∴AR=5+x=8,∴===．25．如图1,已知平行四边形ABCD顶点A地坐标为（2,6）,点B在y轴上,且AD∥BC∥x轴,过B,C,D三点地抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）地顶点坐标为（2,2）,点F（m,6）是线段AD上一动点,直线OF交BC于点E．（1）求抛物线地表达式；（2）设四边形ABEF地面积为S,请求出S与m地函数关系式,并写出自变量m地取值范围；（3）如图2,过点F作FM⊥x轴,垂足为M,交直线AC于P,过点P作PN⊥y轴,垂足为N,连接MN,直线AC分别交x轴,y轴于点H,G,试求线段MN地最小值,并直接写出此时m地值．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据平行四边形地性质和抛物线地特点确定出点D,然而用待定系数法确定出抛物线地解析式．（2）根据AD∥BC∥x轴,且AD,BC间地距离为3,BC,x轴地距离也为3,F（m,6）,确定出E （,3）,从而求出梯形地面积．（3）先求出直线AC解析式,然后根据FM⊥x轴,表示出点P（m,﹣ m+9）,最后根据勾股定理求出MN=,从而确定出MN最大值和m地值．【解答】解：（1）∵过B,C,D三点地抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）地顶点坐标为（2,2）,∴点C地横坐标为4,BC=4,∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD=BC=4,∵A（2,6）,∴D（6,6）,设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+2,∵点D在此抛物线上,∴6=a（6﹣2）2+2,∴a=,∴抛物线解析式为y=（x﹣2）2+2=x2﹣x+3,（2）∵AD∥BC∥x轴,且AD,BC间地距离为3,BC,x轴地距离也为3,F（m,6）∴E（,3）,∴BE=,∴S=（AF+BE）×3=（m﹣2+）×3=m﹣3∵点F（m,6）是线段AD上,∴2≤m≤6,即：S=m﹣3．（2≤m≤6）（3）∵抛物线解析式为y=x2﹣x+3,∴B（0,3）,C（4,3）,∵A（2,6）,∴直线AC解析式为y=﹣x+9,∵FM⊥x轴,垂足为M,交直线AC于P∴P（m,﹣ m+9）,（2≤m≤6）∴PN=m,PM=﹣m+9,∵FM⊥x轴,垂足为M,交直线AC于P,过点P作PN⊥y轴, ∴∠MPN=90°,∴MN===∵2≤m≤6,∴当m=时,MN最大==．。
烟台中考数学试题及答案
烟台中考数学试题及答案一、选择题1. 设a，b，c是正数，且a+b+c=1。
下列四个比较结果中，错误的是:A. a^2 + b^2 + c^2 > 1B. ab + bc + ca < 1/3C. a + b > cD. a/b + b/c + c/a > 3答案：D2. 若两边和一角均相等，那么下面等式成立的是：A. 2sinA = sin2AB. 2tanA = tan2AC. 2cosA = cos2AD. 2cotA = cot2A答案：C3. 若函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称，那么f(x)的解析式一定是：A. f(x) = xB. f(x) = -xC. f(x) = x^2D. f(x) = -x^2答案：A二、填空题1. 已知函数f(x)=x^3-3x^2-10x+24，根据韦达定理，f(x)的一个根是____，另一个根是____。
答案：-3，42. 在等差数列{an}中，已知a1=2，d=3，且an=20，则n的值是____。
答案：7三、解答题1. 计算下列各式的值：(1) 2.4 ÷ (0.08 - 0.02)(2) 3^(-2) × 4^(-3)答案：(1) 30(2) 1/1442. 如图，ABCD为一个长方体，其中AB=2，AD=1。
点E、F和G 分别为线段AC、AB和AF的中点，连线AE。
求线段AE和平面BCDG的交点H到点B的距离。
（此处插入长方体AEFG的示意图）答案：设线段AE和平面BCDG的交点为H，则AH与HG平行且等长，因此BE与GH平行且等长。
根据平行四边形的性质，可得BEHG为一个平行四边形，且所求距离等于线段BE的长度。
由题意可知BE = 1/2 AD = 1/2。
因此，线段AE和平面BCDG的交点H到点B 的距离为1/2。
4. 下列三组数是否成比例？若成比例，求出k的值；若不成比例，说明理由。
(1) 2，4，6(2) 1，3，5(3) 3，6，9答案：(1) 成比例，k = 2(2) 不成比例(3) 成比例，k = 3总结：本文提供了烟台中考数学试题及答案，试题包括选择题、填空题和解答题。
(中考精品卷)山东省烟台市中考数学真题(解析版)
2022年山东省烟台市中考数学真题一、选择题1. ﹣8的绝对值是（ ）A. 18B. 8C. ﹣8D. ±8【答案】B【解析】【分析】正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数．【详解】解：∵﹣8是负数，﹣8的相反数是8∴﹣8的绝对值是8．故选B．【点睛】本题考查绝对值的定义，理解绝对值的意义是解题的关键．2. 下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．【详解】A.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A符合题意；B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意；C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故C不符合题意；D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．3. 下列计算正确的是（ ）A. 2a+a＝3a2B. a3•a2＝a6C. a5﹣a3＝a2D. a3÷a2＝a【解析】【分析】根据同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法法则，进行计算逐一即可解答．【详解】解：A、2a+a＝3a，故A不符合题意；B、a3•a2＝a5，故B不符合题意；C、a5与a3不能合并，故C不符合题意；D、a3÷a2＝a，故D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．4. 如图，是一个正方体截去一个角后得到的几何体，则该几何体的左视图是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据左视图是从左面看到的图形判定则可．【详解】解：从左边看，可得如下图形：故选：A．【点睛】本题考查三视图、熟练掌握三视图的定义是解决问题的关键．5. 一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1，则这个正多边形是（ ）A. 正方形B. 正六边形C. 正八边形D. 正十边形【解析】【分析】设这个外角是x °，则内角是3x °，根据内角与它相邻的外角互补列出方程求出外角的度数，根据多边形的外角和是360°即可求解．【详解】解：∵一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1， ∴设这个外角是x °，则内角是3x °， 根据题意得：x +3x ＝180°， 解得：x ＝45°， 360°÷45°＝8（边）， 故选：C ．【点睛】本题考查了多边形的内角和外角，根据内角与它相邻的外角互补列出方程是解题的关键．6. 如图所示电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是（ ）A.13B.23C. 12D. 1【答案】B 【解析】【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有4种，再由概率公式求解即可．【详解】解：把S 1、S 2、S 3分别记为A 、B 、C ， 画树状图如下：的共有6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有4种，即AB 、AC 、BA 、CA ，∴同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率为4263． 故选：B ．【点睛】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比，列出树状图是解题的关键．7. 如图，某海域中有A ，B ，C 三个小岛，其中A 在B 南偏西40°方向，C 在B 的南偏东35°方向，且B ，C 到A 的距离相等，则小岛C 相对于小岛A 的方向是（ ）A. 北偏东70°B. 北偏东75°C. 南偏西70°D. 南偏西20° 【答案】A 【解析】【分析】根据题意可得∠ABC ＝75°，AD ∥BE ，AB ＝AC ，再根据等腰三角形的性质可得∠ABC ＝∠C ＝75°，从而求出∠BAC 的度数，然后利用平行线的性质可得∠DAB ＝∠ABE ＝40°，从而求出∠DAC 的度数，即可解答． 【详解】解：如图：由题意得：∠ABC ＝∠ABE +∠CBE ＝40°+35°＝75°，AD ∥BE ，AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠C ＝75°，的∴∠BAC ＝180°﹣∠ABC ﹣∠C ＝30°， ∵AD ∥BE ，∴∠DAB ＝∠ABE ＝40°，∴∠DAC ＝∠DAB +∠BAC ＝40°+30°＝70°， ∴小岛C 相对于小岛A 的方向是北偏东70°， 故选：A ．．【点睛】本题考查了方向角，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．8. 如图，正方形ABCD 边长为1，以AC 为边作第2个正方形ACEF ，再以CF 为边作第3个正方形FCGH ，…，按照这样的规律作下去，第6个正方形的边长为（ ）A. （）5B. （）6C. ）5D.）6 【答案】C 【解析】，第1个正方形的边长为1，其；第2，其对角线长为2；第3个正方形的边长为2，其对角线长为3；•••；第n 个正方形的边长为1n -．所以，第6个正方形的边长5．【详解】解：由题知，第1个正方形的边长1AB =，根据勾股定理得，第2个正方形的边长AC =，根据勾股定理得，第3个正方形的边长2CF =，根据勾股定理得，第4个正方形的边长3GF =，根据勾股定理得，第5个正方形的边长4GN =，根据勾股定理得，第6个正方形的边长5=．故选：C ．倍关系是解题的关键．9. 二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x ＝﹣12，且与x 轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc ＞0；②a ＝b ；③2a +c ＝0；④关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（ ）A. ①③B. ②④C. ③④D. ②③【答案】D 【解析】【分析】根据对称轴、开口方向、与y 轴交点位置即可判断a 、b 、c 与0的大小关系，然后将由对称可知a ＝b ，从而可判断答案． 【详解】解：①由图可知：a ＞0，c ＜0，2ba-＜0， ∴b ＞0，∴abc ＜0，故①不符合题意． ②由题意可知：2ba -＝12-， ∴b ＝a ，故②符合题意．③将（﹣2，0）代入y ＝ax 2+bx +c ， ∴4a ﹣2b +c ＝0，的∵a ＝b ，∴2a +c ＝0，故③符合题意．④由图象可知：二次函数y ＝ax 2+bx +c 的最小值小于0， 令y ＝1代入y ＝ax 2+bx +c ，∴ax 2+bx +c ＝1有两个不相同的解，故④不符合题意． 故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的图像与系数的关系，解题的关键是正确地由图象得出a 、b 、c 的数量关系，本题属于基础题型．10. 周末，父子二人在一段笔直的跑道上练习竞走，两人分别从跑道两端开始往返练习．在同一直角坐标系中，父子二人离同一端的距离s （米）与时间t （秒）的关系图像如图所示．若不计转向时间，按照这一速度练习20分钟，迎面相遇的次数为（ ）A. 12B. 16C. 20D. 24【答案】B 【解析】【分析】先求出二人速度，即可得20分钟二人所跑路程之和，再总结出第n 次迎面相遇时，两人所跑路程之和（400n ﹣200）米，列方程求出n 的值，即可得答案． 【详解】解：由图可知，父子速度分别为：200×2÷120103=（米/秒）和200÷100＝2（米/秒），∴20分钟父子所走路程和为102060264003⎛⎫⨯⨯+=⎪⎝⎭（米）， 父子二人第一次迎面相遇时，两人所跑路程之和为200米，父子二人第二次迎面相遇时，两人所跑路程之和为200×2+200＝600（米）， 父子二人第三次迎面相遇时，两人所跑路程之和为400×2+200＝1000（米）， 父子二人第四次迎面相遇时，两人所跑路程之和为600×2+200＝1400（米）， …父子二人第n 次迎面相遇时，两人所跑路程之和为200（n ﹣1）×2+200＝（400n ﹣200）米，令400n ﹣200＝6400， 解得n ＝16.5，∴父子二人迎面相遇的次数为16． 故选：B ．【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是求出父子二人第n 次迎面相遇时，两人所跑路程之和()400200n -米．二、填空题11. 将24x -因式分解为________． 【答案】()()22x x +- 【解析】【分析】利用平方差公式可进行因式分解． 【详解】解：()()2422x x x -=+-，故答案为：()()22x x +-．【点睛】本题考查了公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提． 12. 观察如图所示的象棋棋盘，若“兵”所在的位置用（1，3）表示，“炮”所在的位置用（6，4）表示，那么“帅”所在的位置可表示为 _____．【答案】（4，1） 【解析】【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置进而得出答案． 【详解】解：如图所示：“帅”所在的位置：（4，1）， 故答案为：（4，1）．【点睛】本题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题的关键．13. 如图，是一个“数值转换机”的示意图．若x ＝﹣5，y ＝3，则输出结果为 _____．【答案】13 【解析】【分析】根据题意可得，把5x =-，3y =代入()2012x y +进行计算即可解答． 【详解】解：当5x =-，3y =时，()()2200111532613222x y ⎡⎤+=-+=⨯=⎣⎦． 故答案为：13．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．14. 小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌上的数字只能用一次），使得运算结果等于24．小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式 _____．【答案】（5-3+2）×6（答案不唯一） 【解析】【分析】根据有理数的加、减、乘、除、乘方运算法则，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： （5-3+2）×6＝24，故答案为：（5-3+2）×6（答案不唯一）．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的加、减、乘、除、乘方运算法则是解题的关键．15. 如图，A ，B 是双曲线y ＝kx（x ＞0）上的两点，连接OA ，O B ．过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，交OB 于点D ．若D 为AC 的中点，△AOD 的面积为3，点B 的坐标为（m ，2），则m 的值为 _____．【答案】6 【解析】【分析】应用k 的几何意义及中线的性质求解． 【详解】解： D 为AC 的中点，AOD ∆的面积为3，∴AOC ∆的面积为6，所以122k m ==， 解得：m ＝6． 故答案为：6．【点睛】本题考查了反比例函数中k 的几何意义，关键是利用AOB ∆的面积转化为三角形AOC 的面积．16. 如图1，△ABC 中，∠ABC ＝60°，D 是BC 边上的一个动点（不与点B ，C 重合），DE ∥AB ，交AC 于点E ，EF ∥BC ，交AB 于点F ．设BD 的长为x ，四边形BDEF 的面积为y ，y 与x 的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P 的坐标为（2，3），则AB 的长为 _____．【答案】【解析】【分析】根据抛物线的对称性知，BC＝4，作FH⊥BC于H，当BD＝2时，▱BDEF的面积为3，则此时BF，AB＝2BF，即可解决问题．【详解】解：∵抛物线的顶点为（2，3），过点（0，0），∴x＝4时，y＝0，∴BC＝4，作FH⊥BC于H，当BD＝2时，▱BDEF的面积为3，∵3＝2FH，∴FH＝32，∵∠ABC＝60°，∴BF＝3 2 sin60︒∵DE∥AB，∴AB＝2BF＝，故答案为：【点睛】本题主要考查了动点的函数图象问题，抛物线的对称性，平行四边形的性质，特殊角的三角函数值等知识，求出BC＝4是解题的关键．三、解答题17. 求不等式组231,13(1)2(1)x xx x≤-⎧⎨+-<+⎩的解集，并把它的解集表示在数轴上．【答案】1≤x＜4，数轴见解析【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，再求出其公共部分即可．【详解】解：23113(1)2(1)x xx x≤-⎧⎨+-<+⎩①②，由①得：1≥x ，由②得：4x <，∴不等式组的解集为：14x ≤<，将不等式组的解集表示在数轴上如下：【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，掌握“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键． 18. 如图，在▱ABCD 中，DF 平分∠ADC ，交AB 于点F ，BE ∥DF ，交AD 的延长线于点E ．若∠A ＝40°，求∠ABE 的度数．【答案】70°【解析】【分析】根据平行四边形的性质和平行线的性质即可得到结论．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠A +∠ADC ＝180°，∵∠A ＝40°，∴∠ADC ＝140°，∵DF 平分∠ADC ，∴∠CDF ＝12∠ADC ＝70°， ∴∠AFD ＝∠CDF ＝70°，∵DF ∥BE ，∴∠ABE ＝∠AFD ＝70°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．19. 2021年4月，教育部办公厅在《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》中明确要求保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间．某校为了解本校学生校外体育活动情况，随机对本校100名学生某天的校外体育活动时间进行了调查，并按照体育活动时间分A，B，C，D四组整理如下：组别体育活动时间/分钟人数A 0≤x＜30 10B 30≤x＜60 20C 60≤x＜90 60D x≥90 10根据以上信息解答下列问题：（1）制作一个适当的统计图，表示各组人数占所调查人数的百分比；（2）小明记录了自己一周内每天的校外体育活动时间，制作了如下折线统计图．请计算小明本周内平均每天的校外体育活动时间；（3）若该校共有1400名学生，请估计该校每天校外体育活动时间不少于1小时的学生人数．【答案】（1）见解析（2）64分钟（3）980名【解析】【分析】（1）用扇形统计图表示各组人数占所调查人数的百分比；（2）根据平均数计算方法进行计算即可；的（3）样本估计总体，求出样本中每天校外体育活动时间不少于1小时的学生所占的百分比即可．【小问1详解】解：由于各组人数占所调查人数的百分比，因此可以采用扇形统计图；【小问2详解】 解：556563577075637++++++＝64（分）， 答：小明本周内平均每天的校外体育活动时间为64分钟；【小问3详解】1400×6010100+＝980（名）， 答：该校1400名学生中，每天校外体育活动时间不少于1小时的大约有980名．【点睛】本题考查统计图的选择，频数分布表以及平均数，掌握各种统计图的特点以及加权平均数的计算方法是正确解答的前提．20. 如图，某超市计划将门前的部分楼梯改造成无障碍通道．已知楼梯共有五级均匀分布的台阶，高AB ＝0.75m ，斜坡AC 的坡比为1：2，将要铺设的通道前方有一井盖，井盖边缘离楼梯底部的最短距离ED ＝2.55m ．为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于多少度？（结果精确到1）（参考数据表） 计算器按键顺序 计算结果（已精确到0.001）11.3100.00314.7440.005【答案】不得小于11度【解析】【分析】根据题意可得DF＝15AB＝0.15米，然后根据斜坡AC坡比为1：2，可求出BC，CD的长，从而求出EB的长，最后在Rt△AEB中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【详解】解：如图：由题意得：DF＝15AB＝0.15（米），∵斜坡AC的坡比为1：2，∴A BB C＝12，DFCD＝12，∴BC＝2AB＝1.5（米），CD＝2DF＝0.3（米），∵ED＝2.55米，∴EB＝ED+BC﹣CD＝2.55+1.5﹣0.3＝3.75（米），在Rt△AEB中，tan∠AEB＝ABEB＝0.753.75＝15，查表可得，∠AEB≈11.310°≈11°，∴为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于11度．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟练掌握坡比是解题的关键．的21. 扫地机器人具备敏捷的转弯、制动能力和强大的自主感知、规划能力，深受人们喜爱．某商场根据市场需求，采购了A，B两种型号扫地机器人．已知B型每个进价比A型的2倍少400元．采购相同数量的A，B两种型号扫地机器人，分别用了96000元和168000元．请问A，B两种型号扫地机器人每个进价分别为多少元？【答案】每个A型扫地机器人的进价为1600元，每个B型扫地机器人的进价为2800元【解析】【分析】设每个A型扫地机器人的进价为x元，则每个B型扫地机器人的进价为（2x﹣400）元，利用数量＝总价÷单价，结合用96000元购进A型扫地机器人的数量等于用168000元购进B型扫地机器人的数量，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可求出每个A型扫地机器人的进价，再将其代入（2x﹣400）中即可求出每个B型扫地机器人的进价．【详解】设每个A型扫地机器人的进价为x元，则每个B型扫地机器人的进价为（2x﹣400）元，依题意得：960001680002400x x=-，解得：x＝1600，经检验，x＝1600是原方程的解，且符合题意，∴2x﹣400＝2×1600﹣400＝2800．答：每个A型扫地机器人的进价为1600元，每个B型扫地机器人的进价为2800元．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．22. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°．（1）请用尺规作出⊙O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）连接OA,过点A作AD⊥AO即可；（2）连接OB，OC．先证明∠ACB＝75°，再利用三角形内角和定理求出∠CAB，推出∠BOC＝120°，求出CH可得结论．【小问1详解】解：如图，切线AD即为所求；【小问2详解】如图：连接OB，OC．∵AD是切线，∴OA⊥AD，∴∠OAD＝90°，∵∠DAB＝75°，∴∠OAB＝15°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝15°，∴∠BOA＝150°，∠AOB＝75°，∴∠BCA＝12∵∠ABC＝45°，∴∠BAC＝180°﹣45°﹣75°＝60°，∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，∵OB＝OC＝2，∴∠BCO＝∠CBO＝30°，∵OH⊥BC，∴CH＝BH＝OC•cos30°∴BC＝【点睛】本题主要考查了作圆的 、三角形的外接圆、切线的判定和性质、解直角三角形等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．23.（1）【问题呈现】如图1，△ABC 和△ADE 都是等边三角形，连接BD ，CE ．求证：BD ＝CE ．（2）【类比探究】如图2，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ABC ＝∠ADE ＝90°．连接BD ，CE ．请直接写出BD CE的值． （3）【拓展提升】如图3，△ABC 和△ADE 都是直角三角形，∠ABC ＝∠ADE ＝90°，且A B B C ＝AD DE ＝34．连接BD ，CE ． ①求BD CE的值； ②延长CE 交BD 于点F ，交AB 于点G ．求sin ∠BFC 的值．【答案】（1）见解析 （2 （3）①35；②45 【解析】【分析】（1）证明△BAD ≌△CAE ，从而得出结论；（2）证明△BAD ∽△CAE ，进而得出结果；（3）①先证明△ABC ∽△ADE ，再证得△CAE ∽△BAD ，进而得出结果；②在①的基础上得出∠ACE ＝∠ABD ，进而∠BFC ＝∠BAC ，进一步得出结果．【小问1详解】证明：∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形，∴AD ＝AE ，AB ＝AC ，∠DAE ＝∠BAC ＝60°，∴∠DAE ﹣∠BAE ＝∠BAC ﹣∠BAE ，∴∠BAD ＝∠CAE ，∴△BAD ≌△CAE （S A S ），∴BD ＝CE ；【小问2详解】解：∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，AB AB AE AC ∴==，∠DAE ＝∠BAC ＝45°， ∴∠DAE ﹣∠BAE ＝∠BAC ﹣∠BAE ，∴∠BAD ＝∠CAE ，∴△BAD ∽△CAE ，BD AB CE AC ∴===； 【小问3详解】 解：①34AB AD AC DE ==，∠ABC ＝∠ADE ＝90°， ∴△ABC ∽△ADE ， ∴∠BAC ＝∠DAE ，35AB AD AC AE ==， ∴∠CAE ＝∠BAD ，∴△CAE ∽△BAD ，35BD AD CE AE ∴== ； ②由①得：△CAE ∽△BAD ，∴∠ACE ＝∠ABD ，∵∠AGC ＝∠BGF ，∴∠BFC ＝∠BAC ，∴sin ∠BFC 45BC AC ==． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形．24. 如图，已知直线y＝43x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．（1）求抛物线的表达式；（2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；（3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣43x2﹣83x+4（2）S最大＝334，D（﹣32，5）（3）存在，Q（﹣2，19 8）【解析】【分析】（1）先求得A，C，B三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果；（2）作DF⊥AB于F，交AC于E，根据点D和点E坐标可表示出DE的长，进而表示出三角形ADC的面积，进而表示出S的函数关系式，进一步求得结果；（3）根据菱形性质可得PA＝PC，进而求得点P的坐标，根据菱形性质，进一步求得点Q坐标．【小问1详解】解：当x＝0时，y＝4，∴C（0，4），当y＝0时，43x+4＝0，∴x ＝﹣3，∴A （﹣3，0），∵对称轴为直线x ＝﹣1，∴B （1，0），∴设抛物线的表达式：y ＝a （x ﹣1）•（x +3），∴4＝﹣3a ，∴a ＝﹣43， ∴抛物线的表达式为：y ＝﹣43（x ﹣1）•（x +3）＝﹣43x 2﹣83x +4； 【小问2详解】如图1，作DF ⊥AB 于F ，交AC 于E ，∴D （m ，﹣243m ﹣83m +4），E （m ，﹣43m +4）， ∴DE ＝﹣243m ﹣83m +4﹣（43m +4）＝﹣43m 2﹣4m ， ∴S △ADC ＝12DE ⋅OA ＝32•（﹣43m 2﹣4m ）＝﹣2m 2﹣6m ， ∵S △ABC ＝12AB OC ⋅＝1432⨯⨯＝6， ∴S ＝﹣2m 2﹣6m +6＝﹣2（m +32）2+334， ∴当m ＝﹣32时，S 最大＝334，当m＝﹣32时，y＝﹣433(1)(3)322⨯--⨯-+＝5，∴D（﹣32，5）；【小问3详解】设P（﹣1，n），∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，∴PA＝PC，即：PA2＝PC2，∴（﹣1+3）2+n2＝1+（n﹣4）2，∴n＝13 8，∴P（﹣1，138），∵x P+x Q＝x A+x C，y P+y Q＝y A+y C∴x Q＝﹣3﹣（﹣1）＝﹣2，y Q＝4﹣138＝198，∴Q（﹣2，198）．【点睛】本题考查了二次函数及其图象性质，勾股定理，菱形性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握相关二次函数和菱形性质。
年山东省烟台市中考数学试卷含答案解析版
年山东省烟台市中考数学试卷含答案解析版It was last revised on January 2, 20212017年山东省烟台市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）（2017?烟台）下列实数中的无理数是（）A．√9B．πC．0 D．1 3【考点】26：无理数．【分析】根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．【解答】解：√9，0，13是有理数，π是无理数，故选：B．【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，√62．（3分）（2017?烟台）下列国旗图案是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意．故选：A．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3．（3分）（2017?烟台）我国推行“一带一路”政策以来，已确定沿线有65个国家加入，共涉及总人口约达46亿人，用科学记数法表示该总人口为（）A．×109B．46×108C．×1010D．×1010【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：46亿=4600 000 000=×109，故选：A．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（3分）（2017?烟台）如图所示的工件，其俯视图是（）A．B．C．D．【考点】U2：简单组合体的三视图．【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：从上边看是一个同心圆，外圆是实线，内圆是虚线，故选：B．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．5．（3分）（2017?烟台）某城市几条道路的位置关系如图所示，已知AB ∥CD ，AE 与AB 的夹角为48°，若CF 与EF 的长度相等，则∠C 的度数为（ ）A ．48°B ．40°C ．30°D ．24°【考点】KH ：等腰三角形的性质；JA ：平行线的性质．【分析】先根据平行线的性质，由AB ∥CD 得到∠1=∠BAE=45°，然后根据三角形外角性质计算∠C 的度数．【解答】解：∵AB ∥CD ，∴∠1=∠BAE=48°，∵∠1=∠C +∠E ，∵CF=EF ，∴∠C=∠E ，∴∠C=12∠1=12×48°=24°． 故选D ．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．6．（3分）（2017?烟台）如图，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下：则输出结果应为（ ）A ．12B ．132C ．172D ．252【考点】25：计算器—数的开方．【分析】根据2ndf 键是功能转换键列式算式，然后解答即可．【解答】解：依题意得：√64+(−3)22=172．故选：C．【点评】本题考查了利用计算器进行数的开方，是基础题，要注意2ndf键的功能．7．（3分）（2017?烟台）用棋子摆出下列一组图形：按照这种规律摆下去，第n个图形用的棋子个数为（）A．3n B．6n C．3n+6 D．3n+3【考点】38：规律型：图形的变化类．【分析】解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．【解答】解：∵第一个图需棋子3+3=6；第二个图需棋子3×2+3=9；第三个图需棋子3×3+3=12；…∴第n个图需棋子3n+3枚．故选：D．【点评】本题考查了规律型：图形的变化类：首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．8．（3分）（2017?烟台）甲、乙两地去年12月前5天的日平均气温如图所示，下列描述错误的是（）A．两地气温的平均数相同 B．甲地气温的中位数是6℃C．乙地气温的众数是4℃D．乙地气温相对比较稳定【考点】W7：方差；W1：算术平均数；W4：中位数；W5：众数．【分析】分别计算出甲乙两地的平均数、中位数、众数和方差，然后对各选项进行判断．【解答】解：甲乙两地的平均数都为6℃；甲地的中位数为6℃；乙地的众数为4℃和8℃；乙地气温的波动小，相对比较稳定．故选C ．【点评】本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数、众数和中位数．9．（3分）（2017烟台）如图，ABCD 中，∠B=70°，BC=6，以AD 为直径的⊙O 交CD 于点E ，则DÊ的长为（ ） A ．13π B ．23π C ．76π D ．43π 【考点】MN ：弧长的计算；L5：平行四边形的性质；M5：圆周角定理．【分析】连接OE ，由平行四边形的性质得出∠D=∠B=70°，AD=BC=6，得出OA=OD=3，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DOE=40°，再由弧长公式即可得出答案．【解答】解：连接OE ，如图所示：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠D=∠B=70°，AD=BC=6，∴OA=OD=3，∵OD=OE ，∴∠OED=∠D=70°，∴∠DOE=180°﹣2×70°=40°，∴DE ̂的长=40π×3180=23π； 故选：B ．【点评】本题考查了弧长公式、平行四边形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，求出∠DOE 的度数是解决问题的关键．10．（3分）（2017?烟台）若x 1，x 2是方程x 2﹣2mx +m 2﹣m ﹣1=0的两个根，且x 1+x 2=1﹣x 1x 2，则m 的值为（ ）A ．﹣1或2B ．1或﹣2C ．﹣2D ．1【考点】AB ：根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系结合x 1+x 2=1﹣x 1x 2，即可得出关于m 的一元二次方程，解之即可得出m 的值，再根据方程有实数根结合根的判别式，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围，从而可确定m 的值．【解答】解：∵x 1，x 2是方程x 2﹣2mx +m 2﹣m ﹣1=0的两个根，∴x 1+x 2=2m ，x 1x 2=m 2﹣m ﹣1．∵x 1+x 2=1﹣x 1x 2，∴2m=1﹣（m 2﹣m ﹣1），即m 2+m ﹣2=（m +2）（m ﹣1）=0，解得：m 1=﹣2，m 2=1．∵方程x 2﹣2mx +m 2﹣m ﹣1=0有实数根，∴△=（﹣2m ）2﹣4（m 2﹣m ﹣1）=4m +4≥0，解得：m ≥﹣1．∴m=1．故选D ．【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，根据根与系数的关系以及x 1+x 2=1﹣x 1x 2，找出关于m 的一元二次方程是解题的关键．11．（3分）（2017?烟台）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac；③a+b+2c＜0；④3a+c＜0．其中正确的是（）A．①④B．②④C．①②③D．①②③④【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．【专题】31 ：数形结合．【分析】由抛物线开口方向得到a＞0，然后利用抛物线抛物线的对称轴得到b的符合，则可对①进行判断；利用判别式的意义和抛物线与x轴有2个交点可对②进行判断；利用x=1时，y＜0和c＜0可对③进行判断；利用抛物线的对称轴方程得到b=﹣2a，加上x=﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，则可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣b2a=1，∴b=﹣2a＜0，∴ab＜0，所以①正确；∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，所以②正确；∵x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，而c＜0，∴a+b+2c＜0，所以③正确；∵抛物线的对称轴为直线x=﹣b2a=1，∴b=﹣2a，而x=﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，∴a+2a+c＞0，所以④错误．故选C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a 与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数有△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．12．（3分）（2017?烟台）如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，向前走20米到达A′处，测得点D的仰角为°，已知测倾器AB的高度为米，则楼房CD的高度约为（结果精确到米，√2≈）（）A．米 B．米 C．米 D．米【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】过B作BF⊥CD于F，于是得到AB=A′B′=CF=米，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：过B作BF⊥CD于F，∴AB=A′B′=CF=米，在Rt △DFB′中，B′F=DF tan67.5°， 在Rt △DFB 中，BF=DF ，∵BB′=AA′=20，∴BF ﹣B′F=DF ﹣DF tan67.5°=20， ∴DF ≈米，∴CD=DF +CF=米，答：楼房CD 的高度约为米，故选C ．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）（2017?烟台）30×（12）﹣2+|﹣2|= 6 ． 【考点】2C ：实数的运算；6E ：零指数幂；6F ：负整数指数幂．【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、绝对值3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：30×（12）﹣2+|﹣2| =1×4+2=4+2=6．故答案为：6．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、绝对值等考点的运算．14．（3分）（2017?烟台）在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=2，BC=√3，则sin A 2= 12． 【考点】T5：特殊角的三角函数值．【分析】根据∠A 的正弦求出∠A=60°，再根据30°的正弦值求解即可．【解答】解：∵sinA=BC AB =√32， ∴∠A=60°，∴sin A 2=sin30°=12． 故答案为：12． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是解题的关键．15．（3分）（2017?烟台）运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否＜18”为一次程序操作，若输入x 后程序操作仅进行了一次就停止，则x 的取值范围是 x ＜8 ．【考点】C9：一元一次不等式的应用．【分析】根据运算程序，列出算式：3x ﹣6，由于运行了一次就停止，所以列出不等式3x ﹣6＜18，通过解该不等式得到x 的取值范围．【解答】解：依题意得：3x ﹣6＜18，解得x ＜8．故答案是：x ＜8．【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是通过程序表达式，将程序转化问题化为不等式组，难度一般．16．（3分）（2017?烟台）如图，在直角坐标系中，每个小方格的边长均为1，△AOB 与△A′OB′是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为3：2，点A ，B 都在格点上，则点B′的坐标是 （﹣3，43） ． 【考点】SC ：位似变换；D5：坐标与图形性质．【分析】把B 的横纵坐标分别乘以﹣32得到B′的坐标． 【解答】解：由题意得：△A′OB′与△AOB 的相似比为2：3，又∵B （3，﹣2）∴B′的坐标是[3×(−23)，﹣2×(−23)]，即B′的坐标是（﹣2，43）； 故答案为：（﹣2，43）． 【点评】本题考查了位似变换：先确定点的坐标，及相似比，再分别把横纵坐标与相似比相乘即可，注意原图形与位似图形是同侧还是异侧，来确定所乘以的相似比的正负．17．（3分）（2017?烟台）如图，直线y=x +2与反比例函数y=k x的图象在第一象限交于点P ，若OP=√10，则k 的值为 3 ．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】可设点P （m ，m +2），由OP=√10根据勾股定理得到m 的值，进一步得到P 点坐标，再根据待定系数法可求k 的值．【解答】解：设点P （m ，m +2），∵OP=√10，∴√m 2+(m +2)2√10，解得m 1=1，m 2=﹣3（不合题意舍去），∴点P （1，3），∴3=k 1， 解得k=3．故答案为：3．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，解题的关键是仔细审题，能够求得点P 的坐标，难度不大．18．（3分）（2017?烟台）如图1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形AOB ．已知OA=6，取OA 的中点C ，过点C 作CD ⊥OA 交AB̂于点D ，点F 是AB̂上一点．若将扇形BOD 沿OD 翻折，点B 恰好与点F 重合，用剪刀沿着线段BD ，DF ，FA 依次剪下，则剪下的纸片（形状同阴影图形）面积之和为 36π﹣108 ．【考点】MO ：扇形面积的计算；P9：剪纸问题．【分析】先求出∠ODC=∠BOD=30°，作DE ⊥OB 可得DE=12OD=3，先根据S 弓形BD =S 扇形BOD ﹣S △BOD 求得弓形的面积，再利用折叠的性质求得所有阴影部分面积．【解答】解：如图，∵CD ⊥OA ，∴∠DCO=∠AOB=90°，∵OA=OD=OB=6，OC=12OA=12OD ， ∴∠ODC=∠BOD=30°，作DE ⊥OB 于点E ，则DE=12OD=3， ∴S 弓形BD =S 扇形BOD ﹣S △BOD =30π62360﹣12×6×3=3π﹣9， 则剪下的纸片面积之和为12×（3π﹣9）=36π﹣108，故答案为：36π﹣108．【点评】本题主要考查扇形面积的计算，熟练掌握扇形的面积计算公式及折叠的性质是解题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共66分）19．（6分）（2017?烟台）先化简，再求值：（x ﹣2xy−y 2x ）÷x 2−y 2x +xy，其中x=√2，y=√2﹣1．【考点】6D ：分式的化简求值．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x 、y 的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：（x ﹣2xy−y 2x ）÷x 2−y 2x 2+xy=x 2−2xy+y 2x x(x+y)(x+y)(x−y)=(x−y)2x x(x+y)(x+y)(x−y)=x ﹣y ，当x=√2，y=√2﹣1时，原式=√2−(√2−1)=√2−√2+1=1．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．20．（8分）（2017?烟台）主题班会课上，王老师出示了如图所示的一幅漫画，经过同学们的一番热议，达成以下四个观点：A ．放下自我，彼此尊重；B ．放下利益，彼此平衡；C ．放下性格，彼此成就；D ．合理竞争，合作双赢．要求每人选取其中一个观点写出自己的感悟，根据同学们的选择情况，小明绘制了下面两幅不完整的图表，请根据图表中提供的信息，解答下列问题：观点 频数 频率Aa B12 C8 b D 20（1）参加本次讨论的学生共有 50 人；（2）表中a= 10 ，b= ；（3）将条形统计图补充完整；（4）现准备从A ，B ，C ，D 四个观点中任选两个作为演讲主题，请用列表或画树状图的方法求选中观点D （合理竞争，合作双赢）的概率．【考点】X6：列表法与树状图法；V7：频数（率）分布表；VC ：条形统计图．【分析】（1）由B 观点的人数和所占的频率即可求出总人数；（2）由总人数即可求出a 、b 的值，（3）由（2）中的数据即可将条形统计图补充完整；（4）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．【解答】解：（1）总人数=12÷=50（人），故答案为：50；（2）a=50×=10，b=850=， 故答案为：（3）条形统计图补充完整如图所示：（4）根据题意画出树状图如下：由树形图可知：共有12中可能情况，选中观点D （合理竞争，合作双赢）的概率有4种，所以选中观点D （合理竞争，合作双赢）的概率=412=13．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21．（9分）（2017?烟台）今年，我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动，现需要购进100个某品牌的足球供学生使用，经调查，该品牌足球2015年单价为200元，2017年单价为162元．（1）求2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；（2）选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案：试问去哪个商场购买足球更优惠？【考点】AD：一元二次方程的应用．【分析】（1）设2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x，根据2015年及2017年该品牌足球的单价，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；（2）根据两商城的促销方案，分别求出在两商城购买100个该品牌足球的总费用，比较后即可得出结论．【解答】解：（1）设2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x，根据题意得：200×（1﹣x）2=162，解得：x==10%或x=﹣（舍去）．答：2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为10%．（2）100×1011=100011≈（个），在A商城需要的费用为162×91=14742（元），在B商城需要的费用为162×100×910=14580（元）．14742＞14580．答：去B商场购买足球更优惠．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据2015年及2017年该品牌足球的单价，列出关于x的一元二次方程；（2）根据两商城的促销方案，分别求出在两商城购买100个该品牌足球的总费用．22．（9分）（2017?烟台）数学兴趣小组研究某型号冷柜温度的变化情况，发现该冷柜的工作过程是：当温度达到设定温度﹣20℃时，制冷停止，此后冷柜中的温度开始逐渐上升，当上升到﹣4℃时，制冷开始，温度开始逐渐下降，当冷柜自动制冷至﹣20℃时，制冷再次停止，…，按照以上方式循环进行．同学们记录了44min内15个时间点冷柜中的温度y（℃）随时间x（min）的变化情况，制成下表：时间x/min… 4 8 10 16 20 21 22 23 24 28 30 36 40 42 44 …温度y/℃…﹣20﹣10﹣8﹣5﹣4﹣8﹣12﹣16﹣20﹣10﹣8﹣5﹣4a ﹣20…（1）通过分析发现，冷柜中的温度y是时间x的函数．①当4≤x＜20时，写出一个符合表中数据的函数解析式y=﹣80x；②当20≤x＜24时，写出一个符合表中数据的函数解析式y=﹣4x+76；（2）a的值为﹣12；（3）如图，在直角坐标系中，已描出了上表中部分数据对应的点，请描出剩余数据对应的点，并画出当4≤x≤44时温度y随时间x变化的函数图象．【考点】FH ：一次函数的应用．【分析】（1）①由x?y=﹣80，即可得出当4≤x ＜20时，y 关于x 的函数解析式； ②根据点（20，﹣4）、（21，﹣8），利用待定系数法求出y 关于x 的函数解析式，再代入其它点的坐标验证即可；（2）根据表格数据，找出冷柜的工作周期为20分钟，由此即可得出a 值；（3）描点、连线，画出函数图象即可．【解答】解：（1）①∵4×（﹣20）=﹣80，8×（﹣10）=﹣80，10×（﹣8）=﹣80，16×（﹣5）=﹣80，20×（﹣4）=﹣80，∴当4≤x ＜20时，y=﹣80x ．故答案为：y=﹣80x ．②当20≤x ＜24时，设y 关于x 的函数解析式为y=kx +b ，将（20，﹣4）、（21，﹣8）代入y=kx +b 中，{20k +b =−421k +b =−8，解得：{k =−4b =76，∴此时y=﹣4x +76．当x=22时，y=﹣4x +76=﹣12，当x=23时，y=﹣4x +76=﹣16，当x=24时，y=﹣4x +76=﹣20．∴当20≤x ＜24时，y=﹣4x +76．故答案为：y=﹣4x +76．（2）观察表格，可知该冷柜的工作周期为20分钟，∴当x=42时，与x=22时，y 值相同，∴a=﹣12．故答案为：﹣12．（3）描点、连线，画出函数图象，如图所示．【点评】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式、一次（反比例）函数图象上点的坐标特征以及一次（反比例）函数图象，解题的关键是：（1）①根据x、y成反比例，找出函数解析式；②利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）根据表格数据找出冷柜的工作周期；（3）描点、连线，画出函数图象．23．（10分）（2017?烟台）【操作发现】（1）如图1，△ABC为等边三角形，现将三角板中的60°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于30°），旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板斜边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使∠DCE=30°，连接AF，EF．①求∠EAF的度数；②DE与EF相等吗？请说明理由；【类比探究】（2）如图2，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，先将三角板的90°角与∠ACB 重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于45°），旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板另一直角边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使∠DCE=45°，连接AF，EF，请直接写出探究结果：①求∠EAF的度数；②线段AE，ED，DB之间的数量关系．【考点】RB：几何变换综合题．【分析】（1）①由等边三角形的性质得出AC=BC，∠BAC=∠B=60°，求出∠ACF=∠BCD，证明△ACF≌△BCD，得出∠CAF=∠B=60°，求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°；②证出∠DCE=∠FCE，由SAS证明△DCE≌△FCE，得出DE=EF即可；（2）①由等腰直角三角形的性质得出AC=BC，∠BAC=∠B=45°，证出∠ACF=∠BCD，由SAS证明△ACF≌△BCD，得出∠CAF=∠B=45°，AF=DB，求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°；②证出∠DCE=∠FCE，由SAS证明△DCE≌△FCE，得出DE=EF；在Rt△AEF中，由勾股定理得出AE2+AF2=EF2，即可得出结论．【解答】解：（1）①∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠BAC=∠B=60°，∵∠DCF=60°，∴∠ACF=∠BCD，在△ACF和△BCD中，{AC=BC∠ACF=∠BCDCF=CD，∴△ACF≌△BCD（SAS），∴∠CAF=∠B=60°，∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°；②DE=EF；理由如下：∵∠DCF=60°，∠DCE=30°，∴∠FCE=60°﹣30°=30°，∴∠DCE=∠FCE，在△DCE和△FCE中，{CD=CF∠DCE=∠FCECE=CE，∴△DCE≌△FCE（SAS），∴DE=EF；（2）①∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AC=BC，∠BAC=∠B=45°，∵∠DCF=90°，∴∠ACF=∠BCD，在△ACF和△BCD中，{AC=BC∠ACF=∠BCDCF=CD，∴△ACF≌△BCD（SAS），∴∠CAF=∠B=45°，AF=DB，∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°；②AE2+DB2=DE2，理由如下：∵∠DCF=90°，∠DCE=45°，∴∠FCE=90°﹣45°=45°，∴∠DCE=∠FCE，在△DCE和△FCE中，{CD=CF∠DCE=∠FCECE=CE，∴△DCE≌△FCE（SAS），∴DE=EF，在Rt△AEF中，AE2+AF2=EF2，又∵AF=DB，∴AE2+DB2=DE2．【点评】本题是几何变换综合题目，考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．24．（11分）（2017?烟台）如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AC=12cm ，BD=16cm ，动点N 从点D 出发，沿线段DB 以2cm/s 的速度向点B 运动，同时动点M 从点B 出发，沿线段BA 以1cm/s 的速度向点A 运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随之停止，设运动时间为t （s ）（t ＞0），以点M 为圆心，MB 长为半径的⊙M 与射线BA ，线段BD 分别交于点E ，F ，连接EN ．（1）求BF 的长（用含有t 的代数式表示），并求出t 的取值范围；（2）当t 为何值时，线段EN 与⊙M 相切？（3）若⊙M 与线段EN 只有一个公共点，求t 的取值范围．【考点】MR ：圆的综合题．【分析】（1）连接MF ．只要证明MF ∥AD ，可得BM BA =BF BD ，即t 10=BF 16，解方程即可；（2）当线段EN 与⊙M 相切时，易知△BEN ∽△BOA ，可得BE OB =BN AB ，即2t 8=16−2t 10，解方程即可；（3）①由题意可知：当0＜t ≤327时，⊙M 与线段EN 只有一个公共点．②当F 与N 重合时，则有85t +2t=16，解得t=409，观察图象即可解决问题； 【解答】解：（1）连接MF ．∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=AD ，AC ⊥BD ，OA=OC=6，OB=OD=8，在Rt △AOB 中，AB=√62+82=10，∵MB=MF ，AB=AD ，∴∠ABD=∠ADB=∠MFB ，∴MF ∥AD ，∴BM BA =BF BD， ∴t 10=BF 16， ∴BF=85t （0＜t ≤8）． （2）当线段EN 与⊙M 相切时，易知△BEN ∽△BOA ，∴BE OB =BN AB， ∴2t 8=16−2t 10， ∴t=327． ∴t=327s 时，线段EN 与⊙M 相切． （3）①由题意可知：当0＜t ≤327时，⊙M 与线段EN 只有一个公共点． ②当F 与N 重合时，则有85t +2t=16，解得t=409， 关系图象可知，409＜t ＜8时，⊙M 与线段EN 只有一个公共点． 综上所述，当0＜t ≤327或409＜t ＜8时，⊙M 与线段EN 只有一个公共点． 【点评】本题考查圆综合题、菱形的性质、切线的性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．学会用构建方程的思想思考问题．属于中考压轴题．25．（13分）（2017?烟台）如图1，抛物线y=ax 2+bx +2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，AB=4，矩形OBDC 的边CD=1，延长DC 交抛物线于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P 是直线EO 上方抛物线上的一个动点，过点P 作y 轴的平行线交直线EO 于点G ，作PH ⊥EO ，垂足为H ．设PH 的长为l ，点P 的横坐标为m ，求l 与m 的函数关系式（不必写出m 的取值范围），并求出l 的最大值；（3）如果点N 是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M ，使得以M ，A ，C ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】HF ：二次函数综合题．【分析】（1）由条件可求得A 、B 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）可先求得E 点坐标，从而可求得直线OE 解析式，可知∠PGH=45°，用m 可表示出PG 的长，从而可表示出l 的长，再利用二次函数的性质可求得其最大值；（3）分AC 为边和AC 为对角线，当AC 为边时，过M 作对称轴的垂线，垂足为F ，则可证得△MFN ≌△AOC ，可求得M 到对称轴的距离，从而可求得M 点的横坐标，可求得M 点的坐标；当AC 为对角线时，设AC 的中点为K ，可求得K 的横坐标，从而可求得M 的横坐标，代入抛物线解析式可求得M 点坐标．【解答】解：（1）∵矩形OBDC 的边CD=1，∴OB=1，∵AB=4，∴OA=3，∴A （﹣3，0），B （1，0），把A 、B 两点坐标代入抛物线解析式可得{a +b +2=09a −3b +2=0，解得{a =−23b =−43，∴抛物线解析式为y=﹣23x 2﹣43x +2； （2）在y=﹣23x 2﹣43x +2中，令y=2可得2=﹣23x 2﹣43x +2，解得x=0或x=﹣2， ∴E （﹣2，2），∴直线OE 解析式为y=﹣x ，由题意可得P （m ，﹣23m 2﹣43m +2），∵PG ∥y 轴，∴G （m ，﹣m ），∵P 在直线OE 的上方，∴PG=﹣23m 2﹣43m +2﹣（﹣m ）=﹣23m 2﹣13m +2=﹣23（m +14）2+4924，∵直线OE 解析式为y=﹣x ，∴∠PGH=∠COE=45°，∴l=√22PG=√22[﹣23（m +14）2+4924]=﹣√23（m +14）2+49√248，∴当m=﹣14时，l 有最大值，最大值为49√248；（3）①当AC 为平行四边形的边时，则有MN ∥AC ，且MN=AC ，如图，过M 作对称轴的垂线，垂足为F ，设AC 交对称轴于点L ，则∠ALF=∠ACO=∠FNM ，在△MFN 和△AOC 中{∠MFN =∠AOC ∠FNM =∠ACO MN =AC∴△MFN ≌△AOC （AAS ），∴MF=AO=3，∴点M 到对称轴的距离为3，又y=﹣23x 2﹣43x +2，∴抛物线对称轴为x=﹣1，设M 点坐标为（x ，y ），则|x +1|=3，解得x=2或x=﹣4，当x=2时，y=﹣103，当x=﹣4时，y=103， ∴M 点坐标为（2，﹣103）或（﹣4，﹣103）； ②当AC 为对角线时，设AC 的中点为K ，∵A （﹣3，0），C （0，2），∴K （﹣32，1）， ∵点N 在对称轴上，∴点N 的横坐标为﹣1，设M 点横坐标为x ，∴x +（﹣1）=2×（﹣32）=﹣3，解得x=﹣2，此时y=2， ∴M （﹣2，2）；综上可知点M 的坐标为（2，﹣103）或（﹣4，﹣103）或（﹣2，2）． 【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中求得A 、B 的坐标是解题的关键，在（2）中确定出PG 与l 的关系是解题的关键，在（3）中确定出M 的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．。
2023年山东省烟台市中考数学真题(解析版)
2023年烟台市初中学业水平考试数学试题一、选择题1.23 的倒数是（）A.23 B.23 C.32 D.32【答案】D【解析】【分析】根据乘积是1的两个数叫做互为倒数解答．【详解】解：∵23132，∴23的倒数是32 ，故选：D ．【点睛】本题考查倒数的定义，掌握互为倒数的两个数积为1，是解题的关键．2.是同类二次根式的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据同类二次根式的定义，逐个进行判断即可．【详解】解：A2不是同类二次根式，不符合题意；B不是同类二次根式，不符合题意；C是同类二次根式，符合题意；D不是同类二次根式，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式；最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．3.下列四种图案中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据中心对称图形的定义，逐个进行判断即可，中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180 ，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．【详解】解：根据题意可得：是中心对称图形的只有B ，故选：B ．【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键是中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180 ，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．4.下列计算正确的是（）A.2242a a a B. 32626a a C.235a a a D.824a a a 【答案】C【解析】【分析】根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法的运算法则逐项排查即可解答．【详解】解：A .2222a a a ，故该选项不正确，不符合题意；B . 32628a a ，故该选项不正确，不符合题意；C .235a a a ，故该选项正确，符合题意；D .826a a a ，故该选项不正确，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题主要考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法等知识，掌握运算法则是解题的关键．5.不等式组321,23m m的解集在同一条数轴上表示正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．【详解】解：321 23 mm①②解不等式①得：m1解不等式②得：1m将不等式的解集表示在数轴上，如图所示，故选：A．【点睛】本题主要考查数轴上表示不等式的解集，熟练掌握数轴上表示不等式组的解集的方法是解题的关键．6.如图，对正方体进行两次切割，得到如图⑤所示的几何体，则图⑤几何体的俯视图为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据俯视图的定义，即可进行解答．【详解】解：根据题意可得：从该几何体正上方看，棱AE的投影为点E，棱AB的投影为线段BE，棱AD 的投影为线段ED，棱AC的投影为正方形BCDE的对角线，∴该几何体的俯视图为：，故选：A【点睛】本题主要考查了俯视图，解题的关键是熟练掌握俯视图的定义：从物体正上方看到的图形是俯视图．7.长时间观看手机、电脑等电子产品对视力影响非常大．6月6日是“全国爱眼日”，为了解学生的视力情况，某学校从甲、乙两个班级各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法正确的是（）A.甲班视力值的平均数大于乙班视力值的平均数B.甲班视力值的中位数大于乙班视力值的中位数C.甲班视力值的极差小于乙班视力值的极差D.甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差【答案】D【解析】【分析】根据平均数，中位数，极差，方差的定义分别求解即可．【详解】甲班视力值分别为：4.7,5.0,4.7,4.8,4.7,4.7,4.6,4.4；从小到大排列为：4.4,4.6,4.7,4.7,4.7,4.7,4.8,5.0；中位数为4.7 4.7=4.72 ，平均数为 14.4 4.6 4.7 4.7 4.7 4.7 4.85.0=4.78 ；极差为5.0 4.40.6 方差为 222221=0.30.10.10.3=0.0258S甲；乙班视力值分别为：4.8,4.7,4.7,5.0,4.6,4.5,4.9,4.4；从小到大排列为：4.4,4.5,4.6,4.7,4.7,4.8,4.9,5.0，中位数为4.7 4.7=4.72平均数为14.4 4.5 4.6 4.7 4.7 4.8 4.9 5.0=4.78 ；极差为5.0 4.40.6 方差为 22222221=0.30.20.10.10.20.3=0.0358S 甲；甲、乙班视力值的平均数、中位数、极差都相等，甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差，故D 选项正确故选：D ．【点睛】本题考查了折线统计图，求平均数，中位数，极差，方差，熟练掌握平均数，中位数，极差，方差的定义是解题的关键．8.如图，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶点及其对称中心为圆心，以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形．将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机地停在正方形内的某一点上．若小球停在阴影部分的概率为1P ，停在空白部分的概率为2P ，则1P 与2P 的大小关系为（）A.12P P B.12P P C.12P P D.无法判断【答案】B【解析】【分析】根据题意可得阴影部分面积等于正方形面积的一半，进而即可求解．【详解】解：如图所示，连接AE BD ，交于O ，由题意得，A B C D ，，，分别是正方形四条边的中点，∴点O 为正方形的中心，∴AOBF AODC S S 四边形四边形，根据题意，可得扇形OAB 的面积等于扇形CAD 的面积，∴AOBF OAB AODC AOC S S S S 四边形扇形四边形扇形，∴阴影部分面积等于空白部分面积，即阴影部分面积等于正方形面积的一半∴12P P ，故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的性质，扇形面积，几何概率，得出阴影部分面积等于正方形面积的一半是解题的关键．9.如图，抛物线2y ax bx c 的顶点A 的坐标为1,2m，与x 轴的一个交点位于0合和1之间，则以下结论：①0abc ；②20b c ；③若图象经过点 123,,3,y y ，则12y y ；④若关于x 的一元二次方程230ax bx c 无实数根，则3m ．其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】根据图象，分别得出a 、b 、c 的符号，即可判断①；根据对称轴得出a b ，再根据图象得出当1x 时，0y a b c ，即可判断②；分别计算两点到对称轴的距离，再根据该抛物线开口向下，在抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，即可判断③；将方程230ax bx c 移项可得23ax bx c ，根据该方程无实数根，得出抛物线2y ax bx c 与直线3y 没有交点，即可判断④．【详解】解：①∵该抛物线开口向下，∴a<0，∵该抛物线的对称轴在y 轴左侧，∴0b ，∵该抛物线于y 轴交于正半轴，∴0c ，∴0abc ，故①正确，符合题意；②∵1,2A m，∴该抛物线的对称轴为直线122b x a =-=-，则a b ，当1x 时，y a b c ，把a b 得：当1x 时，2y b c ，由图可知：当1x 时，0y ，∴20b c ，故②不正确，不符合题意；③∵该抛物线的对称轴为直线12x，∴ 13,y 到对称轴的距离为 15322， 23,y 到对称轴的距离为17322 ，∵该抛物线开口向下，∴在抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，∵5722，∴12y y ，故③正确，符合题意；④将方程230ax bx c 移项可得23ax bx c ，∵230ax bx c 无实数根，∴抛物线2y ax bx c 与直线3y 没有交点，∵1,2A m，∴3m ．故④正确综上：正确的有：①③④，共三个．故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握根据二次函数图象判断各系数的方法，熟练掌握二次函数的图象和性质．10.如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P 为位似中心作正方形123PA A A ，正方形456,PA A A ，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形123PA A A 的顶点坐标分别为 123,0,2,1,1,0P A A ， 32,1A ，则顶点100A 的坐标为（）A. 31.34B. 31,34C. 32,35D.32,0【答案】A【解析】【分析】根据图象可得移动3次完成一个循环，从而可得出点坐标的规律 323n A n n ，．【详解】解：∵ 121A ，， 412A ，， 703A ，， 1014A ，，L ，∴ 323n A n n ，，∵1003342 ，则34n ，∴ 1003134A ，，故选：A ．【点睛】本题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律．二、填空题11.“北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统，国内多个导航地图采用北斗优先定位．目前，北斗定位服务日均使用量已超过3600亿次．3600亿用科学记数法表示为________．【答案】113.610【解析】【分析】科学记数法的表示形式为10n a 的形式，其中110a ，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：3600亿360000000000 ，用科学记数法表示为113.610 ．故答案为：113.610 ．【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a 的形式，其中110a ，n 为整数，正确确定a 的值以及n 的值是解决问题的关键．12.一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知1102 ，则2 的度数为_____．【答案】78 ##78度【解析】【分析】根据两直线平行，内错角相等，即可求解．【详解】解：如图所示，依题意，AB DC ∥，∴2BCD ，∵1180BCD ，1102 ，∴180178BCD∴278 ．故答案为：78 ．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．13.如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A ，B ，C ，D ，连接AB ，则BAD 的度数为_______．【答案】52.5【解析】【分析】方法一∶如图：连接,,,,,OA OB OC OD AD AB ，由题意可得：OA OB OC OD ，502525AOB ，然后再根据等腰三角形的性质求得65OAB 、25OAD ，最后根据角的和差即可解答．方法二∶连接,OB OD ，由题意可得：105BAD ，然后根据圆周角定理即可求解．【详解】方法一∶解：如图：连接,,,,,OA OB OC OD AD AB ，由题意可得：OA OB OC OD ，502525AOB ，15525130AOD ，∴ 118077.52OAB AOB ， 1180252OAD AOB ，∴52.5OAB A BAD O D ．故答案为52.5 ．方法二∶解∶连接,OB OD ，由题意可得：15550105BAD ，根据圆周角定理，知1110552.522BAD BOD．故答案为52.5 ．【点睛】本题主要考查了角的度量、圆周角定理等知识点，掌握圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半是解答本题的关键．14.如图，利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：①按键的结果为4；②按键的结果为8；③按键的结果为0.5；④按键的结果为25．以上说法正确的序号是___________．【答案】①③【解析】【分析】根据计算器按键，写出式子，进行计算即可．【详解】解：①按键的结果为3644 ；故①正确，符合题意；②按键的结果为 3424 ；故②不正确，不符合题意；③按键的结果为 sin 4515sin 300.5 ；故③正确，符合题意；④按键的结果为2132102；故④不正确，不符合题意；综上：正确的有①③．故答案为：①③．【点睛】本题主要考查了科学计算器是使用，解题的关键是熟练掌握和了解科学计算器各个按键的含义．15.如图，在直角坐标系中，A 与x 轴相切于点,B CB 为A 的直径，点C 在函数(0,0)ky k x x的图象上，D 为y 轴上一点，ACD 的面积为6，则k 的值为________．【答案】24【解析】【分析】设,k C a a，则,k OB a AC a ，则122k AC BC a，根据三角形的面积公式得出162ACD S AC OB，列出方程求解即可．【详解】解：设,k C a a，∵A 与x 轴相切于点B ，∴BC x 轴，∴,kOB a AC a，则点D 到BC 的距离为a ，∵CB 为A 的直径，∴122kAC BC a，∴16224ACDk k S a a ，解得：24k ，故答案为：24．【点睛】本题主要考查了切线的性质，反比例函数的图象和性质，解题的关键掌握切线的定义：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，以及反比例函数图象上点的坐标特征．16.如图1，在ABC 中，动点P 从点A 出发沿折线AB BC CA 匀速运动至点A 后停止．设点P 的运动路程为x ，线段AP 的长度为y ，图2是y 与x 的函数关系的大致图象，其中点F 为曲线DE 的最低点，则ABC 的高CG 的长为_______．【答案】73732【解析】【分析】过点A 作AQ BC 于点Q ，当点P 与Q 重合时，在图2中F 点表示当12AB BQ 时，点P 到达点Q ，此时当P 在BC 上运动时，AP 最小，勾股定理求得AQ ，然后等面积法即可求解．【详解】如图过点A 作AQ BC 于点Q ，当点P 与Q 重合时，在图2中F 点表示当12AB BQ 时，点P 到达点Q ，此时当P 在BC 上运动时，AP 最小，∴7BC ，4,3BQ QC 在Rt ABQ 中，8,4AB BQ ∴22228443AQ AB BQ ∵1122ABC S AB CG AQ BC ，∴73382BC AQ CG AB,．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短，从函数图象获取信息是解题的关键．三、解答题17.先化简，再求值：2695222a a a a a，其中a 是使不等式112a 成立的正整数．【答案】33a a ；12【解析】【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后求出不等式的解集，得出正整数a 的值，再代入数据计算即可．【详解】解：2695222a a a a a23225222a a a a a a2234522a a a a232233a aa a a33a a，解不等式112a 得：3a ，∵a 为正整数，∴1a ，2，3，∵要使分式有意义20a ，∴2a ，∵当3a 时，552320223a a ，∴3a ，∴把1a 代入得：原式131132．【点睛】本题主要考查了分式化简求作，分式有意义的条件，解不等式，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．18.“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知A，B，C，D，E五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．（1）请将条形统计图补充完整；（2）在扇形统计图中，D所在的扇形的圆心角的度数为_________；若该市有1000名中学生参加本次活动，则选择A大学的大约有_________人；（3）甲、乙两位同学计划从A，B，C三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率．【答案】（1）见解析（2）14.4 ；200．（3）1 3【解析】【分析】（1）根据C的人数除以占比得到总人数，进而求得B的人数，补全统计图即可求解；（2）根据D的占比乘以360 得到圆心角的度数，根据1000乘以选择A的人数的占比即可求解；（3）根据列表法求概率即可求解．【小问1详解】解：总人数为1428%50（人）∴选择B大学的人数为5010142816，补全统计图如图所示，【小问2详解】在扇形统计图中，D 所在的扇形的圆心角的度数为236014.450，选择A 大学的大约有101000=20050（人）故答案为：14.4 ；200．【小问3详解】列表如下，甲乙A BC AAA AB AC BBABBBC C CA CBCC共有9种等可能结果，其中有3种符合题意，∴甲、乙两人恰好选取同一所大学的概率为13．【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，列表法求概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．19.风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为30 的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡CD 长16米，在地面点A 处测得风力发电机塔杆顶端P 点的仰角为45 ，利用无人机在点A 的正上方53米的点B 处测得P 点的俯角为18 ，求该风力发电机塔杆PD 的高度．（参考数据：sin180.309 ，cos180.951 ，tan180.325 ）【答案】该风力发电机塔杆PD 的高度为32米【解析】【分析】过点P 作PF AB 于点F ，延长PD 交AC 延长线于点E ，先根据含30 角直角三角形的性质得出8DE ，设PD x 米，则 8PE PD DE x 米，进而得出 8AE x 米，证明四边形FAEP 为矩形，则 8PF AE x 米， 8AF PE x 米，根据线段之间的和差关系得出45BF AB AF s x 米，最后根据tan18BFPF，列出方程求解即可．【详解】解：过点P 作PF AB 于点F ，延长PD 交AC 延长线于点E ，根据题意可得：AB 、PD 垂直于水平面，30DCE ，45PAC ，18GBP ，∴PEAE ，∵16CD 米，∴1116822DE CD（米），设PD x 米，则 8PE PD DE x 米，∵45PAC ，PE AE ，∴ 8tan 45PEAE x米，∵AB AE ，PE AE ，PF AB ，∴四边形FAEP 为矩形，∴ 8PF AE x 米， 8AF PE x 米，∵53AB 米，∴ 53845BF AB AF x x 米，∵18GBP ，∴18BPF ，∴tan18BF PF ，即450.3258xx，解得：32x ，答：该风力发电机塔杆PD 的高度为32米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤．20.【问题背景】如图1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形ABCD 进行如下操作：①分别以点,B C 为圆心，以大于12BC 的长度为半径作弧，两弧相交于点E ，F ，作直线EF 交BC 于点O ，连接AO ；②将ABO 沿AO 翻折，点B 的对应点落在点P 处，作射线AP 交CD 于点Q ．【问题提出】在矩形ABCD 中，53AD AB ，，求线段CQ 的长．【问题解决】经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：方案一：连接OQ ，如图2．经过推理、计算可求出线段CQ 的长；方案二：将ABO 绕点O 旋转180 至RCO △处，如图3．经过推理、计算可求出线段CQ 的长．请你任选其中一种方案求线段CQ 的长．【答案】线段CQ 的长为2512．【解析】【分析】方案一：连接OQ ，由翻折的不变性，知3AP AB ， 2.5OP OB ，证明HL QPO QCO ≌△△，推出PQ CQ ，设PQ CQ x ，在Rt ADQ △中，利用勾股定理列式计算求解即可；方案二：将ABO 绕点O 旋转180 至RCO △处，证明OAQ R ，推出QA QR ，设CQ x ，同方案一即可求解．【详解】解：方案一：连接OQ ，如图2．∵四边形ABCD 是矩形，∴3AB CD ，5AD BC ，由作图知12.52BO OC BC，由翻折的不变性，知3AP AB ， 2.5OP OB ，90APO B ，∴ 2.5OP OC ，90QPO C ，又OQ OQ ，∴ HL QPO QCO ≌△△，∴PQ CQ ，设PQ CQ x ，则3AQ x ，3DQ x ，在Rt ADQ △中，222AD QD AQ ，即 222533x x ，解得2512x，∴线段CQ 的长为2512；方案二：将ABO 绕点O 旋转180 至RCO △处，如图3．∵四边形ABCD 是矩形，∴3AB CD ，5AD BC ，由作图知12.52BO OC BC，由旋转的不变性，知3CR AB ，BAO R ，90B OCR ，则9090180OCR OCD ，∴D C R 、、共线，由翻折的不变性，知BAO OAQ ，∴OAQ R ，∴QA QR ，设CQ x ，则3QA QR x ，3DQ x ，在Rt ADQ △中，222AD QD AQ ，即 222533x x ，解得2512x，∴线段CQ 的长为2512．【点睛】本题考查了作线段的垂直平分线，翻折的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．21.中华优秀传统文化源远流长、是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书、许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的34，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本．（1）求两种图书的单价分别为多少元？（2）为等备“3．14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售．求两种图书分别购买多少本时费用最少？【答案】（1）《周髀算经》单价为40元，则《孙子算经》单价是30元；（2）当购买《周髀算经》27本，《孙子算经》53本时，购买两类图书总费用最少，最少总费用为2316元．【解析】【分析】（1）设《周髀算经》单价为x 元，则《孙子算经》单价是34x 元，根据“用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本”列分式方程，解之即可求解；（2）根据购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半列出不等式求出m 的取值范围，根据m 的取值范围结合函数解析式解答即可．【小问1详解】解：设《周髀算经》单价为x 元，则《孙子算经》单价是34x 元，依题意得，600600534x x ，解得40x ，经检验，40x 是原方程的解，且符合题意，340304，答：《周髀算经》单价为40元，则《孙子算经》单价是30元；【小问2详解】解：设购买的《周髀算经》数量m 本，则购买的《孙子算经》数量为 80m 本，依题意得， 1802m m，解得2263m ，设购买《周髀算经》和《孙子算经》的总费用为y （元），依题意得， 400.8300.88081920y m m m ，∵80k ，∴y 随m 的增大而增大，∴当27m 时，有最小值，此时82719202316y （元），802753 （本）答：当购买《周髀算经》27本，《孙子算经》53本时，购买两类图书总费用最少，最少总费用为2316元．【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，一次函数的实际应用以及一元一次不等式的实际应用，根据题意表示出y 与x 之间的函数关系式以及列出不等式是解题的关键．22.如图，在菱形ABCD 中，对角线,AC BD 相交于点,E O 经过,A D 两点，交对角线AC 于点F ，连接OF 交AD 于点G ，且AG GD ．（1）求证：AB 是O 的切线；（2）已知O 的半径与菱形的边长之比为5:8，求tan ADB 的值．【答案】（1）见解析（2）tan 2ADB ．【解析】【分析】（1）利用垂径定理得OF AD ，利用菱形的性质得GAF BAF ，利用半径相等得OAF OFA ，即可证明90OAF BAF ，据此即可证明结论成立；（2）设4AG GD a ，由题意得:5:4OA AG ，求得5OA a ，由勾股定理得到3OG a ，求得2FG a ，利用菱形的性质求得ADB AFG ，据此求解即可．【小问1详解】证明：连接OA ，∵AG GD ，由垂径定理知OF AD ，∴90OGA FGA ，∵四边形ABCD 是菱形，∴GAF BAF ，∴90GAF AFG BAF AFG ，∵OA OF ，∴OAF OFA ，∴90OAF BAF OAB ，又∵OA 为O 的半径，∴AB 是O 的切线；【小问2详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，AG GD ，∴设4AG GD a ，∵O 的半径与菱形的边长之比为5:8，∴在Rt OAG △中，:5:4OA AG ，∴5OA a ，3OG a ，∴2FG OF OG a ，∵四边形ABCD 是菱形，∴BD AC ，即90DEA FGA ，∴ADB AFG ，∴4tan tan 22AG a ADB AFG FG a．【点睛】本题考查了菱形的性质，垂径定理，切线的判定，求角的正切值，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．23.如图，点C 为线段AB 上一点，分别以,AC BC 为等腰三角形的底边，在AB 的同侧作等腰ACD 和等腰BCE ，且A CBE ．在线段EC 上取一点F ，使EF AD ，连接,BF DE ．（1）如图1，求证：DE BF ；（2）如图2，若2AD BF ，的延长线恰好经过DE 的中点G ，求BE 的长．【答案】（1）见解析（2）2BE ．【解析】【分析】（1）证明CD BE ∥，推出DCE BEF ，利用SAS 证明DCE FEB ≌△△即可证明结论成立；（2）取CF 的中点H ，连接GH ，证明GH 是FCD 的中位线，设BE a ，则122FH a ，证明FGH FBE ∽△△，得到GH FH BE EF ，即2440a a ，解方程即可求解．【小问1详解】证明：∵等腰ACD 和等腰BCE ，∴AD CD ，EC EB ，A DCA ，∵A CBE ，∴DCA CBE ，∴CD BE ∥，∴DCE BEF ，∵EF AD ，∴EF CD ，在DCE △和FEB 中，CD EF DCE FEB EC EB，∴ SAS DCE FEB ≌△△，∴DE BF ；【小问2详解】解：取CF 的中点H ，连接GH，∵点G 是DE 的中点，∴GH 是FCD 的中位线，∴11122GH CD AD，GH CD ∥，设BE a ，则111222CH EH CE BE a ，∵2EF AD ，∴122FH a ，∵CD BE ∥，∴GH BE ∥，∴FGH FBE ∽△△，∴GH FH BE EF ，即12122a a ，整理得2440a a ，解得2a （负值已舍），经检验2a 是所列方程的解，且符合题意，∴2BE 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．24.如图，抛物线25y ax bx 与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于点,4C AB ．抛物线的对称轴3x 与经过点A 的直线1y kx 交于点D ，与x 轴交于点E ．（1）求直线AD 及抛物线的表达式；（2）在抛物线上是否存在点M ，使得ADM △是以AD 为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）以点B 为圆心，画半径为2的圆，点P 为B 上一个动点，请求出12PC PA 的最小值．【答案】（1）直线AD 的解析式为1y x ；抛物线解析式为265y x x （2）存在，点M 的坐标为 4,3 或 0,5或5,0（3【解析】【分析】（1）根据对称轴3x ，4AB ，得到点A 及B 的坐标，再利用待定系数法求解析式即可；（2）先求出点D 的坐标，再分两种情况：①当90DAM 时，求出直线AM 的解析式为1y x ，解方程组2165y x y x x，即可得到点M 的坐标；②当90ADM 时，求出直线DM 的解析式为5y x ，解方程组2565y x y x x，即可得到点M 的坐标；（3）在AB 上取点F ，使1BF ，连接CF ，证得BF PB PB AB ，又PBF ABP ，得到PBF ABP ∽，推出12PF PA ，进而得到当点C 、P 、F 三点共线时，12 PC PA 的值最小，即为线段CF 的长，利用勾股定理求出CF 即可．【小问1详解】解：∵抛物线的对称轴3x ，4AB ，∴ 1,0,5,0A B ，将()1,0A 代入直线1y kx ，得10k ，解得1k ，∴直线AD 的解析式为1y x ；将 1,0,5,0A B 代入25y ax bx ，得5025550a b a b ，解得16a b ，∴抛物线的解析式为265y x x ；【小问2详解】存在点M ，∵直线AD 的解析式为1y x ，抛物线对称轴3x 与x 轴交于点E ．∴当3x 时，12y x ，∴ 3,2D ，①当90DAM 时，设直线AM 的解析式为y x c ，将点A 坐标代入，得10c ，解得1c ，∴直线AM 的解析式为1y x ，解方程组2165y x y x x ，得10x y 或43x y ，∴点M 的坐标为 4,3 ；②当90ADM 时，设直线DM 的解析式为y x d ，将 3,2D 代入，得32d ，解得5d ，∴直线DM 的解析式为5y x ，解方程组2565y x y x x ，解得05x y 或50x y，∴点M 的坐标为 0,5或5,0综上，点M 的坐标为 4,3 或 0,5或 5,0；【小问3详解】如图，在AB 上取点F ，使1BF ，连接CF ，∵2PB ，∴12BF PB ，∵2142PB AB ，、∴BF PB PB AB，又∵PBF ABP ，∴PBF ABP ∽，∴12PF BF PA PB ，即12PF PA ，∴12PC PA PC PF CF ，∴当点C 、P 、F 三点共线时，12PC PA 的值最小，即为线段CF 的长，∵5,1514OC OF OB ，∴CF∴12PC PA ．【点睛】此题是一次函数，二次函数及圆的综合题，掌握待定系数法求函数解析式，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求两图象的交点坐标，正确掌握各知识点是解题的关键．。
山东省烟台市中考数学真题及答案
山东省烟台市中考数学真题及答案一、选择题（本题共12个小题,每小题3分,满分36分）1．4的平方根是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．2．下列关于数字变换的图案中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．实数a,b,c在数轴上的对应点的位置如图所示,那么这三个数中绝对值最大的是（）A．a B．b C．c D．无法确定4．如图,是一个几何体的三视图,则这个几何体是（）A．B．C．D．5．如果将一组数据中的每个数都减去5,那么所得的一组新数据（）A．众数改变,方差改变B．众数不变,平均数改变C．中位数改变,方差不变D．中位数不变,平均数不变6．利用如图所示的计算器进行计算,按键操作不正确的是（）A．按键即可进入统计计算状态B．计算的值,按键顺序为：C．计算结果以“度”为单位,按键可显示以“度”“分”“秒”为单位的结果D．计算器显示结果为时,若按键,则结果切换为小数格式0.3333333337．如图,△OA1A2为等腰直角三角形,OA1＝1,以斜边OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3,再以OA3为直角边作等腰直角三角形OA3A4,…,按此规律作下去,则OA n的长度为（）A．（）n B．（）n﹣1C．（）n D．（）n﹣18．量角器测角度时摆放的位置如图所示,在△AOB中,射线OC交边AB于点D,则∠ADC的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．85°9．七巧板是我们祖先的一项创造,被誉为“东方魔板”．在一次数学活动课上,小明用边长为4cm的正方形纸片制作了如图所示的七巧板,并设计了下列四幅作品﹣﹣“奔跑者”,其中阴影部分的面积为5cm2的是（）A．B．C．D．10．如图,点G为△ABC的重心,连接CG,AG并延长分别交AB,BC于点E,F,连接EF,若AB＝4.4,AC＝3.4,BC＝3.6,则EF的长度为（）A．1.7 B．1.8 C．2.2 D．2.411．如图,在矩形ABCD中,点E在DC上,将矩形沿AE折叠,使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3,BC＝5,则tan∠DAE的值为（）A．B．C．D．12．如图,正比例函数y1＝mx,一次函数y2＝ax+b和反比例函数y3＝的图象在同一直角坐标系中,若y3＞y1＞y2,则自变量x的取值范围是（）A．x＜﹣1 B．﹣0.5＜x＜0或x＞1C．0＜x＜1 D．x＜﹣1或0＜x＜1二、填空题（本大题共6个小题,每小题3分,满分18分）13．5G是第五代移动通信技术,其网络下载速度可以达到每秒1300000KB以上,正常下载一部高清电影约需1秒．将1300000用科学记数法表示为．14．已知正多边形的一个外角等于40°,则这个正多边形的内角和的度数为．15．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是．16．按如图所示的程序计算函数y的值,若输入的x值为﹣3,则输出y的结果为．17．如图,已知点A（2,0）,B（0,4）,C（2,4）,D（6,6）,连接AB,CD,将线段AB绕着某一点旋转一定角度,使其与线段CD重合（点A与点C重合,点B与点D重合）,则这个旋转中心的坐标为．18.二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示,下列结论：①ab＞0；②a+b﹣1＝0；③a＞1；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为1,另一个根为﹣．其中正确结论的序号是．三、解答题（本大题共7个小题,满分66分）19.先化简,再求值：（﹣）÷,其中x＝+1,y＝﹣1．20.奥体中心为满足暑期学生对运动的需求,欲开设球类课程,该中心随机抽取部分学生进行问卷调查,被调查学生须从“羽毛球”、“篮球”、“足球”、“排球”、“乒乓球”中选择自己最喜欢的一项．根据调查结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图,请根据图中信息,解答下列问题：（1）此次共调查了多少名学生？（2）将条形统计图补充完整；（3）我们把“羽毛球”“篮球”,“足球”、“排球”、“乒乓球”分别用A,B,C,D,E表示．小明和小亮分别从这些项目中任选一项进行训练,利用树状图或表格求出他俩选择不同项目的概率．21.新冠疫情期间,口罩成为了人们出行必备的防护工具．某药店三月份共销售A,B两种型号的口罩9000只,共获利润5000元,其中A,B两种型号口罩所获利润之比为2：3．已知每只B型口罩的销售利润是A型口罩的1.2倍．（1）求每只A型口罩和B型口罩的销售利润；（2）该药店四月份计划一次性购进两种型号的口罩共10000只,其中B型口罩的进货量不超过A型口罩的1.5倍,设购进A型口罩m只,这1000只口罩的销售总利润为W元．该药店如何进货,才能使销售总利润最大？22.如图,在▱ABCD中,∠D＝60°,对角线AC⊥BC,⊙O经过点A,B,与AC交于点M,连接AO并延长与⊙O交于点F,与CB的延长线交于点E,AB＝EB．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若AD＝2,求的长（结果保留π）．23.今年疫情期间,针对各种入口处人工测量体温存在的感染风险高、效率低等问题,清华大学牵头研制一款“测温机器人”,如图1,机器人工作时,行人抬手在测温头处测量手腕温度,体温合格则机器人抬起臂杆行人可通行,不合格时机器人不抬臂杆并报警,从而有效阻隔病原体．（1）为了设计“测温机器人”的高度,科研团队采集了大量数据．下表是抽样采集某一地区居民的身高数据：测量对象男性（18～60岁）女性（18～55岁）抽样人数（人）2000 5000 20000 2000 5000 20000平均身高（厘米）173 175 176 164 165 164根据你所学的知识,若要更准确的表示这一地区男、女的平均身高,男性应采用176 厘米,女性应采用厘米；（2）如图2,一般的,人抬手的高度与身高之比为黄金比时给人的感觉最舒适,由此利用（1）中的数据得出测温头点P距地面105厘米．指示牌挂在两臂杆AB,AC的连接点A 处,A点距地面110厘米．臂杆落下时两端点B,C在同一水平线上,BC＝100厘米,点C在点P的正下方5厘米处．若两臂杆长度相等,求两臂杆的夹角．（参考数据表）#DLQZ计算器按键顺序计算结果（近似计算器按键顺序计算结果（近似值）值）0.1 78.70.2 84.31.7 5.73.5 11.3 24.如图,在等边三角形ABC中,点E是边AC上一定点,点D是直线BC上一动点,以DE为一边作等边三角形DEF,连接CF．【问题解决】如图1,若点D在边BC上,求证：CE+CF＝CD；【类比探究】如图2,若点D在边BC的延长线上,请探究线段CE,CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．25.如图,抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A,B两点,且OA＝2OB,与y轴交于点C,连接BC,抛物线对称轴为直线x＝,D为第一象限内抛物线上一动点,过点D作DE⊥OA于点E,与AC交于点F,设点D的横坐标为m．（1）求抛物线的表达式；（2）当线段DF的长度最大时,求D点的坐标；（3）抛物线上是否存在点D,使得以点O,D,E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在,求出m的值；若不存在,请说明理由．2020年山东省烟台市中考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．4的平方根是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．【分析】根据平方根的定义,求数4的平方根即可．【解答】解：4的平方根是±2．故选：C．2．下列关于数字变换的图案中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．【解答】解：A、是中心对称图形,不是轴对称图形,故此选项符合题意；B、不是中心对称图形,是轴对称图形,故此选项不符合题意；C、不是中心对称图形,也不是轴对称图形,故此选项不符合题意；D、是轴对称图形,也是中心对称图形,故此选项不符合题意．故选：A．3．实数a,b,c在数轴上的对应点的位置如图所示,那么这三个数中绝对值最大的是（）A．a B．b C．c D．无法确定【分析】根据有理数大小比较方法,越靠近原点其绝对值越小,进而分析得出答案．【解答】解：有理数a,b,c在数轴上的对应点的位置如图所示,这三个数中,实数a离原点最远,所以绝对值最大的是：a．故选：A．4．如图,是一个几何体的三视图,则这个几何体是（）A．B．C．D．【分析】结合三视图确定各图形的位置后即可确定正确的选项．【解答】解：结合三个视图发现,这个几何体是长方体和圆锥的组合图形．故选：B．5．如果将一组数据中的每个数都减去5,那么所得的一组新数据（）A．众数改变,方差改变B．众数不变,平均数改变C．中位数改变,方差不变D．中位数不变,平均数不变【分析】由每个数都减去5,那么所得的一组新数据的众数、中位数、平均数都减少5,方差不变,据此可得答案．【解答】解：如果将一组数据中的每个数都减去5,那么所得的一组新数据的众数、中位数、平均数都减少5,方差不变,故选：C．6．利用如图所示的计算器进行计算,按键操作不正确的是（）A．按键即可进入统计计算状态B．计算的值,按键顺序为：C．计算结果以“度”为单位,按键可显示以“度”“分”“秒”为单位的结果D．计算器显示结果为时,若按键,则结果切换为小数格式0.333333333【分析】根据计算器的按键写出计算的式子．然后求值．【解答】解：A、按键即可进入统计计算状态是正确的,故选项A不符合题意；B、计算的值,按键顺序为：,故选项B符合题意；C、计算结果以“度”为单位,按键可显示以“度”“分”“秒”为单位的结果是正确的,故选项C不符合题意；D、计算器显示结果为时,若按键,则结果切换为小数格式0.333333333是正确的,故选项D不符合题意；故选：B．7．如图,△OA1A2为等腰直角三角形,OA1＝1,以斜边OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3,再以OA3为直角边作等腰直角三角形OA3A4,…,按此规律作下去,则OA n的长度为（）A．（）n B．（）n﹣1C．（）n D．（）n﹣1【分析】利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长,依据规律即可得出答案．【解答】解：∵△OA1A2为等腰直角三角形,OA1＝1,∴OA2＝；∵△OA2A3为等腰直角三角形,∴OA3＝2＝；∵△OA3A4为等腰直角三角形,∴OA4＝2＝．∵△OA4A5为等腰直角三角形,∴OA5＝4＝,……∴OA n的长度为（）n﹣1．故选：B．8．量角器测角度时摆放的位置如图所示,在△AOB中,射线OC交边AB于点D,则∠ADC的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．85°【分析】根据等腰三角形的性质,三角形的外角的性质即可得到结论．【解答】解：∵OA＝OB,∠AOB＝140°,∴∠A＝∠B＝（180°﹣140°）＝20°,∵∠AOC＝60°,∴∠ADC＝∠A+∠AOC＝20°+60°＝80°,故选：C．9．七巧板是我们祖先的一项创造,被誉为“东方魔板”．在一次数学活动课上,小明用边长为4cm的正方形纸片制作了如图所示的七巧板,并设计了下列四幅作品﹣﹣“奔跑者”,其中阴影部分的面积为5cm2的是（）A．B．C．D．【分析】先求出最小的等腰直角三角形的面积＝××42＝1cm2,可得平行四边形面积为2cm2,中等的等腰直角三角形的面积为2cm2,最大的等腰直角三角形的面积为4cm2,再根据阴影部分的组成求出相应的面积即可求解．【解答】解：最小的等腰直角三角形的面积＝××42＝1（cm2）,平行四边形面积为2cm2,中等的等腰直角三角形的面积为2cm2,最大的等腰直角三角形的面积为4cm2,则A、阴影部分的面积为2+2＝4（cm2）,不符合题意；B、阴影部分的面积为1+2＝3（cm2）,不符合题意；C、阴影部分的面积为4+2＝6（cm2）,不符合题意；D、阴影部分的面积为4+1＝5（cm2）,符合题意．故选：D．10．如图,点G为△ABC的重心,连接CG,AG并延长分别交AB,BC于点E,F,连接EF,若AB＝4.4,AC＝3.4,BC＝3.6,则EF的长度为（）A．1.7 B．1.8 C．2.2 D．2.4【分析】由已知条件得EF是三角形的中位线,进而根据三角形中位线定理求得EF的长度．【解答】解：∵点G为△ABC的重心,∴AE＝BE,BF＝CF,∴EF＝＝1.7,故选：A．11．如图,在矩形ABCD中,点E在DC上,将矩形沿AE折叠,使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3,BC＝5,则tan∠DAE的值为（）A．B．C．D．【分析】先根据矩形的性质得AD＝BC＝5,AB＝CD＝3,再根据折叠的性质得AF＝AD＝5,EF ＝DE,在Rt△ABF中,利用勾股定理计算出BF＝4,则CF＝BC﹣BF＝1,设CE＝x,则DE＝EF ＝3﹣x,然后在Rt△ECF中根据勾股定理得到x2+12＝（3﹣x）2,解方程即可得到x,进一步得到EF的长,再根据余弦函数的定义即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形,∴AD＝BC＝5,AB＝CD＝3,∵矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上的F处,∴AF＝AD＝5,EF＝DE,在Rt△ABF中,BF＝＝＝4,∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1,设CE＝x,则DE＝EF＝3﹣x在Rt△ECF中,∵CE2+FC2＝EF2,∴x2+12＝（3﹣x）2,解得x＝,∴DE＝EF＝3﹣x＝,∴tan∠DAE＝＝＝,故选：D．12．如图,正比例函数y1＝mx,一次函数y2＝ax+b和反比例函数y3＝的图象在同一直角坐标系中,若y3＞y1＞y2,则自变量x的取值范围是（）A．x＜﹣1 B．﹣0.5＜x＜0或x＞1C．0＜x＜1 D．x＜﹣1或0＜x＜1【分析】根据图象,找出双曲线y3落在直线y1上方,且直线y1落在直线y2上方的部分对应的自变量x的取值范围即可．【解答】解：由图象可知,当x＜﹣1或0＜x＜1时,双曲线y3落在直线y1上方,且直线y1落在直线y2上方,即y3＞y1＞y2,所以若y3＞y1＞y2,则自变量x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜1．故选：D．二．填空题13．5G是第五代移动通信技术,其网络下载速度可以达到每秒1300000KB以上,正常下载一部高清电影约需1秒．将1300000用科学记数法表示为 1.3×106．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|＜10,n为整数．确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同．【解答】解：将数据1300000用科学记数法可表示为：1.3×106．故答案为：1.3×106．14．已知正多边形的一个外角等于40°,则这个正多边形的内角和的度数为1260°．【分析】利用任意多边形的外角和均为360°,正多边形的每个外角相等即可求出它的边数,再根据多边形的内角和公式计算即可．【解答】解：正n边形的每个外角相等,且其和为360°,据此可得＝40°,解得n＝9．（9﹣2）×180°＝1260°,即这个正多边形的内角和为1260°．故答案为：1260°．15．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是m＞0且m≠1 ．【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m﹣1≠0且△＝22﹣4（m﹣1）×（﹣1）＞0,然后求出两个不等式的公共部分即可．【解答】解：根据题意得m﹣1≠0且△＝22﹣4（m﹣1）×（﹣1）＞0,解得m＞0且m≠1．故答案为：m＞0且m≠1．16．按如图所示的程序计算函数y的值,若输入的x值为﹣3,则输出y的结果为18 ．【分析】根据﹣3＜﹣1确定出应代入y＝2x2中计算出y的值．【解答】解：∵﹣3＜﹣1,∴x＝﹣3代入y＝2x2,得y＝2×9＝18,故答案为：18．17．如图,已知点A（2,0）,B（0,4）,C（2,4）,D（6,6）,连接AB,CD,将线段AB绕着某一点旋转一定角度,使其与线段CD重合（点A与点C重合,点B与点D重合）,则这个旋转中心的坐标为（4,2）．【分析】画出平面直角坐标系,作出新的AC,BD的垂直平分线的交点P,点P即为旋转中心．【解答】解：平面直角坐标系如图所示,旋转中心是P点,P（4,2）．故答案为（4,2）．18.二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示,下列结论：①ab＞0；②a+b﹣1＝0；③a＞1；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为1,另一个根为﹣．其中正确结论的序号是．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点得出c的值,然后根据抛物线与x轴交点的个数及x＝1时二次函数的值的情况进行推理,进而对所得结论进行判断．【解答】解：①由二次函数的图象开口向上可得a＞0,对称轴在y轴的右侧,b＜0, ∴ab＜0,故①错误；②由图象可知抛物线与x轴的交点为（1,0）,与y轴的交点为（0,﹣1）,∴c＝﹣1,∴a+b﹣1＝0,故②正确；③∵a+b﹣1＝0,∴a﹣1＝﹣b,∵b＜0,∴a﹣1＞0,∴a＞1,故③正确；④∵抛物线与与y轴的交点为（0,﹣1）,∴抛物线为y＝ax2+bx﹣1,∵抛物线与x轴的交点为（1,0）,∴ax2+bx﹣1＝0的一个根为1,根据根与系数的关系,另一个根为﹣,故④正确；故答案为②③④．三.解答题19.先化简,再求值：（﹣）÷,其中x＝+1,y＝﹣1．【分析】根据分式四则运算的顺序和法则进行计算,最后代入求值即可．【解答】解：（﹣）÷,＝[﹣]÷,＝×,＝,当x＝+1,y＝﹣1时,原式＝＝2﹣．20.奥体中心为满足暑期学生对运动的需求,欲开设球类课程,该中心随机抽取部分学生进行问卷调查,被调查学生须从“羽毛球”、“篮球”、“足球”、“排球”、“乒乓球”中选择自己最喜欢的一项．根据调查结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图,请根据图中信息,解答下列问题：（1）此次共调查了多少名学生？（2）将条形统计图补充完整；（3）我们把“羽毛球”“篮球”,“足球”、“排球”、“乒乓球”分别用A,B,C,D,E表示．小明和小亮分别从这些项目中任选一项进行训练,利用树状图或表格求出他俩选择不同项目的概率．【分析】（1）用羽毛球的人数除以所占的百分比即可得出答案；（2）用总人数减去其他项目的人数求出足球的人数,从而补全统计图；（3）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数和他俩选择不同项目的情况数,然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）此次共调查的学生有：40÷＝200（名）；（2）足球的人数有：200﹣40﹣60﹣20﹣30＝50（人）,补全统计图如下：（3）根据题意画树状图如下：共用25种等可能的情况数,其中他俩选择不同项目的有20种,则他俩选择不同项目的概率是＝．21.新冠疫情期间,口罩成为了人们出行必备的防护工具．某药店三月份共销售A,B两种型号的口罩9000只,共获利润5000元,其中A,B两种型号口罩所获利润之比为2：3．已知每只B型口罩的销售利润是A型口罩的1.2倍．（1）求每只A型口罩和B型口罩的销售利润；（2）该药店四月份计划一次性购进两种型号的口罩共10000只,其中B型口罩的进货量不超过A型口罩的1.5倍,设购进A型口罩m只,这1000只口罩的销售总利润为W元．该药店如何进货,才能使销售总利润最大？【分析】（1）设销售A型口罩x只,销售B型口罩y只,根据“药店三月份共销售A,B两种型号的口罩9000只,共获利润5000元,其中A,B两种型号口罩所获利润之比为2：3”列方程组解答即可；（2）根据题意即可得出W关于m的函数关系式；根据题意列不等式得出m的取值范围,再结合根据一次函数的性质解答即可．【解答】解：设销售A型口罩x只,销售B型口罩y只,根据题意得：,解答,经检验,x＝4000,y＝5000是原方程组的解,∴每只A型口罩的销售利润为：（元）,每只B型口罩的销售利润为：0.5×1.2＝0.6（元）．答：每只A型口罩和B型口罩的销售利润分别为0.5元,0.6元．（2）根据题意得,W＝0.5m+0.6（10000﹣m）＝﹣0.1m+6000,10000﹣m≤1.5m,解得m≥4000,∵0.1＜0,∴W随m的增大而减小,∵m为正整数,∴当m＝4000时,W取最大值,则﹣0.1×4000+6000＝5600,即药店购进A型口罩4000只、B型口罩6000只,才能使销售总利润最大,增大利润为5600元．22.如图,在▱ABCD中,∠D＝60°,对角线AC⊥BC,⊙O经过点A,B,与AC交于点M,连接AO并延长与⊙O交于点F,与CB的延长线交于点E,AB＝EB．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若AD＝2,求的长（结果保留π）．【分析】（1）证明：连接OB,根据平行四边形的性质得到∠ABC＝∠D＝60°,求得∠BAC ＝30°,根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到∠ABO＝∠OAB＝30°,于是得到结论；（2）根据平行四边形的性质得到BC＝AD＝2,过O作OH⊥AM于H,则四边形OBCH是矩形,解直角三角形即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OB,∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ABC＝∠D＝60°,∵AC⊥BC,∴∠ACB＝90°,∴∠BAC＝30°,∵BE＝AB,∴∠E＝∠BAE,∵∠ABC＝∠E+∠BAE＝60°,∴∠E＝∠BAE＝30°,∵OA＝OB,∴∠ABO＝∠OAB＝30°,∴∠OBC＝30°+60°＝90°,∴OB⊥CE,∴EC是⊙O的切线；（2）∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC＝AD＝2,过O作OH⊥AM于H,则四边形OBCH是矩形,∴OH＝BC＝2,∴OA＝＝4,∠AOM＝2∠AOH＝60°,∴的长度＝＝．23.今年疫情期间,针对各种入口处人工测量体温存在的感染风险高、效率低等问题,清华大学牵头研制一款“测温机器人”,如图1,机器人工作时,行人抬手在测温头处测量手腕温度,体温合格则机器人抬起臂杆行人可通行,不合格时机器人不抬臂杆并报警,从而有效阻隔病原体．（1）为了设计“测温机器人”的高度,科研团队采集了大量数据．下表是抽样采集某一地区居民的身高数据：测量对象男性（18～60岁）女性（18～55岁）抽样人数（人）2000 5000 20000 2000 5000 20000平均身高（厘米）173 175 176 164 165 164根据你所学的知识,若要更准确的表示这一地区男、女的平均身高,男性应采用176 厘米,女性应采用164 厘米；（2）如图2,一般的,人抬手的高度与身高之比为黄金比时给人的感觉最舒适,由此利用（1）中的数据得出测温头点P距地面105厘米．指示牌挂在两臂杆AB,AC的连接点A 处,A点距地面110厘米．臂杆落下时两端点B,C在同一水平线上,BC＝100厘米,点C在点P的正下方5厘米处．若两臂杆长度相等,求两臂杆的夹角．（参考数据表）#DLQZ计算器按键顺序计算结果计算器按键顺序计算结果（近似值） （近似值）0.178.70.284.31.7 5.7 3.511.3【分析】（1）根据样本平均数即可解决问题． （2）利用等腰三角形的性质求出∠BAC 即可．【解答】解：（1）用表格可知,男性应采用176厘米,女性应采用164厘米． 故答案为176,164．（2）如图2中,∵AB ＝AC ,AF ⊥BC , ∴BF ＝FC ＝50cm ,∠FAC ＝∠FAB , 由题意FC ＝10cm , ∴tan ∠FAC ＝＝＝5,∴∠FAC ＝78.7°,∴∠BAC ＝2∠FAC ＝157.4°, 答：两臂杆的夹角为157.4°24.如图,在等边三角形ABC 中,点E 是边AC 上一定点,点D 是直线BC 上一动点,以DE 为一边作等边三角形DEF ,连接CF ． 【问题解决】如图1,若点D 在边BC 上,求证：CE +CF ＝CD ； 【类比探究】如图2,若点D在边BC的延长线上,请探究线段CE,CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．【分析】【问题解决】在CD上截取CH＝CE,易证△CEH是等边三角形,得出EH＝EC＝CH,证明△DEH≌△FEC（SAS）,得出DH＝CF,即可得出结论；【类比探究】过D作DG∥AB,交AC的延长线于点G,由平行线的性质易证∠GDC＝∠DGC ＝60°,得出△GCD为等边三角形,则DG＝CD＝CG,证明△EGD≌△FCD（SAS）,得出EG＝FC,即可得出FC＝CD+CE．【解答】【问题解决】证明：在CD上截取CH＝CE,如图1所示：∵△ABC是等边三角形,∴∠ECH＝60°,∴△CEH是等边三角形,∴EH＝EC＝CH,∠CEH＝60°,∵△DEF是等边三角形,∴DE＝FE,∠DEF＝60°,∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°,∴∠DEH＝∠FEC,在△DEH和△FEC中,,∴△DEH≌△FEC（SAS）,∴DH＝CF,∴CD＝CH+DH＝CE+CF,∴CE+CF＝CD；【类比探究】解：线段CE,CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由如下：∵△ABC是等边三角形,∴∠A＝∠B＝60°,过D作DG∥AB,交AC的延长线于点G,如图2所示：∵GD∥AB,∴∠GDC＝∠B＝60°,∠DGC＝∠A＝60°,∴∠GDC＝∠DGC＝60°,∴△GCD为等边三角形,∴DG＝CD＝CG,∠GDC＝60°,∵△EDF为等边三角形,∴ED＝DF,∠EDF＝∠GDC＝60°,∴∠EDG＝∠FDC,在△EGD和△FCD中,,∴△EGD≌△FCD（SAS）,∴EG＝FC,∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．25.如图,抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A,B两点,且OA＝2OB,与y轴交于点C,连接BC,抛物线对称轴为直线x＝,D为第一象限内抛物线上一动点,过点D作DE⊥OA于点E,与AC交于点F,设点D的横坐标为m．（1）求抛物线的表达式；（2）当线段DF的长度最大时,求D点的坐标；（3）抛物线上是否存在点D,使得以点O,D,E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在,求出m的值；若不存在,请说明理由．【分析】（1）点A、B的坐标分别为（2t,0）、（﹣t,0）,则x＝＝（2t﹣t）,即可求解；（2）点D（m,﹣m2+m+2）,则点F（m,﹣m+2）,则DF＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m,即可求解；（3）以点O,D,E为顶点的三角形与△BOC相似,则,即＝2或,即可求解．【解答】解：（1）设OB＝t,则OA＝2t,则点A、B的坐标分别为（2t,0）、（﹣t,0）, 则x＝＝（2t﹣t）,解得：t＝1,故点A、B的坐标分别为（2,0）、（﹣1,0）,则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）（x+1）＝ax2+bx+2,解得：a＝﹣1,故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；（2）对于y＝﹣x2+x+2,令x＝0,则y＝2,故点C（0,2）,由点A、C的坐标得,直线AC的表达式为：y＝﹣x+2,设点D的横坐标为m,则点D（m,﹣m2+m+2）,则点F（m,﹣m+2）,则DF＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m,∵﹣1＜0,故DF有最大值,此时m＝1,点D（1,2）；（3）存在,理由：点D（m,﹣m2+m+2）（m＞0）,则OD＝m,DE＝﹣m2+m+2,以点O,D,E为顶点的三角形与△BOC相似,则,即＝2或,即＝2或, 解得：m＝1或﹣2（舍去）或或（舍去）, 故m＝1或．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
烟台市2004年中考数学试题一、选择题(每小题3分，共36分)1.如果零上5℃记作+5℃，那么零下5℃记作( )．(A)-5 (B)…1O (C)-10℃ (D)-5℃2.4根火柴棒形成如图所示的象形“□”字，平移火柴棒后，原图形能变成的象形汉字是( )．”3.已知x 、y 是实数，43+x +y 2—6 y+9=0，则xy 的值是( )． (A)4 (B)．-4 (c)49 (D) -49 4.如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第…次拐的角∠A 是120°，第二次拐的角∠B 是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C 是( )．(A)120° (B)130° (C)140° (D)150°5.如果代数式ab a 1+有意义．那么直角坐标系中点A(a 、b)的位置在( )．(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 6 下列四个图象中，不表示某一函数图象的是( )．7.如图，在直角梯形ABCD 中，AD∥BC，∠B=90°，AC 将梯形分成两个三角形，其中△ACD 是周长为18 cm 的等边三角形，则该梯形的中位线的长是( )．(A)9 cm (B)12cm (c)29cm (D)18 cm 8.实数a 、b 、c 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子中正确的有( )．①b+c>0②a+b>a+c ③bc>ac ④ab>ac(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个9.把26个英文字母按规律分成5组，现在还有5个字母D、M、Q、X、Z，请你按原规律补上，其顺序依次为( )．①F R P J L G □②H I O□③N S □④B C K E ⑤V A T Y W U □(A)Q X Z M D (B)D M Q Z X(C)Z X M D Q (D)Q X Z D M10.在一次向“希望工程”捐款的活动中，已知小刚的捐款数比他所在学习小组中13人捐款的平均数多2元，则下列判断中，正确的是( )．(A)小刚在小组中捐款数不可能是最多的(B)小刚在小组中捐款数可能排在第12位(C)小刚在小组中捐款数不可能比捐款数排在第7位的同学的少(D)小刚在小组中捐款数可能是最少的11.如图，在□ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE．则BF的长是( )．(A)5 (B)8．2 (C)6．4 (D)1．812.如图，“回”字形的道路宽为1米，整个“回”字形的长为8米，宽为7米，…个人从入口点A沿着道路中央走到终点B，他共走了( )．(A)5 5米 (B)5 5．5米 (C)5 6米 (D)5 6．5米二、填空题(每小题4分，共24分)13.为美化烟台，市政府下大气力实施城市改造，今春改造市区主要街道，街道两侧统一铺设长为20厘米，宽为10厘米的长方形水泥砖，若铺设总面积为10．8万平方米，那么大约需水泥砖块(用科学记数法表示)．14.若关于x的方程x2+px+1=0的一个实数根的倒数恰是它本身，则p的值是．15.如图，三个同心扇形的圆心角∠AOB为120°，半径OA为6 cm，C、D是︵AB的三等分点，则阴影部分的面积等于 cm2．16.对于整数a，b,c，d，符号表示运算ac—bd，已知1<<3，则b+d的值是．17.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，AC=3，将BC向BA方向折过去，使点C落在BA上的C’点，折痕为BE，则C'E的长是．18.现有编号为a1，a2，…，a2004的盒子，按编号从小到大的顺序排放．已知a1中有7个球，a4中有8个球，且任意相邻四个盒子装球总数为30个，那么a2004盒中有个球．三、(每小题8分，共16分)19.已知a=321+，求a a a a a a a -+---+-22212121的值． 20.青少年“心理健康”问题已引起了社会的关注，希望中学对全校600名学生进行了一次“心理健康”知识测试，并从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数，满分为100分)作为样本，绘制了下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图．分 组频数 频率 50.5～60.52 0．04 60.5～70.58 0.16 70.5～80.51O 80.5～90.590.5～100．514 0．28 合 计 1．0O请解答下列问题：(1)填写频率分布表中的空格，并补全频率分布直方图；(2)在频率分布直方图中，梯形ABCD 的面积是多少?(3)若成绩在90分以上(不含90分)为优秀，试估计该校成绩优秀的有多少人；(4)能否确定测试成绩的众数落在哪个分组内?四、(每小题9分，共18分)21.如图，现有两个边长比为1：2的正方形ABCD 与A'B’c’D’，已知点B 、C 、B’、C’在同一直线上，且点C 与点B’重合，请你利用这两个正方形，通过截割、平移、旋转的方法，拼出两个相似比为1：3的三角形．要求：(1)借助原图拼图．(2)简要说明方法．(3)指明相似的两个三角形．22.如图，在小山的东侧A庄，有一热气球，由于受西风的影响，以每分钟35米的速度沿着与水平方向成75°角的方向飞行，40分钟时到达C处，此时气球上的人发现气球与山顶P点及小山西侧的B庄在一条直线上，同时测得B庄的俯角为30°．又在A庄测得山顶P的仰角为4 5°．求A庄与B庄的距离及山高(保留准确值)．五、(本题10分)23.小明的爸爸下岗后，自谋职业，做起了经营水果的生意．一天，他先去批发市场，用100元购甲种水果，用15 0元购乙种水果，乙种水果比甲种水果多1O千克，乙种水果的批发价比甲种水果的批发价每千克高0．50元．然后到零售市场，都按每千克2．80元零售．结果，乙种水果很快销完，甲种水果售出4/5时，出现滞销，他便按原零售价的5折售完剩余的水果．请你帮小明的爸爸算算这一天卖水果是赔钱了，还是赚钱了(不考虑其他因素)?若赔钱，赔多少?若赚钱，赚多少?六、(本题1O分)24.如图，已知在等腰梯形ABCD中，A B∥CD，AB<CD，AB=10，BC=3．(1)如果M为AB上一点，且满足∠DMC=∠A，求AM的长；(2)如果点M在AB边上移动(点M与A、B不重合)，且满足∠DMN=∠A，MN交BC延长线于N，设AM=x，CN=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围(写x的取值范围时，不写推理过程)．七、(本题10分)25.先阅读下面的材料，然后解答问题：在一条直线上有依次排列的n(n>1)台机床在工作，我们要设置一个零件供应站P，使这n台机床到供应站P的距离总和最小，要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形：如图①，如果直线上有2台机床时，很明显设在A1和A2之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于A1到A2的距离．如图②，如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间一台机床A2处最合适．因为如果P放在A 2处，甲和丙所走的距离之和恰好为A1到A3的距离．而如果把P放在别处，例如D处，那么甲和丙所走的距离之和仍是A1到A3的距离，可是乙还得走从A2到D的这一段，这是多出来的．因此P放在A 2处是最佳选择．不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第2台与第3台之间的任何地方；有5台机床，P应设在第3台位置．问题(1)：有n台机床时，P应设在何处?问题(2)：根据问题(1)的结论，求|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-617|的最小值．八、(本题12分)26.已知△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E．(1)如图①，若A B=6，CD=2，求：CE的长；(2)如图②，当∠A为锐角时，连结BE，试判断∠BAC与∠CBE的关系，并证明你的结论；(3)若图②中的边AB不动，边AC绕点A按逆时针旋转，当∠BAC为钝角时，如图③，CA的延长线与⊙O相交于E．请问：∠BAC与∠CBE的关系是否与(2)中你得出的关系相同?若相同，请加以证明；若不同，请说明理由．九、(本题14分)27.如图，⊙M与x轴交于A、B两点，其坐标分别为A(-3，0)，B(1，0)，直径CD垂直于x轴于N，直线CE切⊙M 于C，直线FG切⊙M 于F，交CE于G，已知点G的横坐标为3．(1)若抛物线y=-x2—2x+m经过A、B、D三点，求m的值及点D的坐标；(2)求直线DF的解析式；(3)是否存在过点G的直线，使它与(1)中抛物线的两个交点的横坐标之和等于4 ？若存在，请求出满足条件的直线的解析式；若不存在，请说明理由．烟台市2004年中考数学试题答案1．D． 2．B． 3．B． 4．D． 5．A． 6．D． 7．C． 8．C． 9．D． 10．B ．11．D．12．C．13．5．4×10614.±2．15．4π16．3或-317．2)13(3．18．8．19．a=2-3<1，原式=a-1+=3．20．(1)分组频数频率5 O ．5～60.560.5～70.570.5～80.5O ．20 80.5～90.5 16 O ．32 90.5～100.5合计 5 O(2)0.52； (3)16 8； (4)不能．21．方法：①连结BD 并延长交A ’D ’于点E ，交C ’D ’延长线于点F ．②将△DA ’E 绕点E 旋转至△FD ’E 位置，则△BAD ∽△FC'B ，且相似比为1：3．22．过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，在Rt △ADC 中，∠AC D=4 5°，AC=35 ×40=1400(米)，∴AD=AC ·sin45°=7002(米)，在Rt △ABD 中，∠B=30°，AB=2AD=1002米；又过点P 作PE ⊥A B ，垂足为E ，则AE=PE ·cot45°=PE ，BE=PE ·cot30°=3PE ，∴(3+1)PE=14002，∴PE=700(6 -2)米．答：A 庄与B 庄的距离是14002米，山高是700(6-2)米．23．设甲种水果的批发价为x 元／千克，则乙种水果的批发价为(x+0．5)元／千克， 由题意，得5.015010100+=+x x 去分母，整理得x 2-4．5x+5=O ，x1=2．5，x2=2，经检验，x1=2．5，x2=2都是所列方程的根，但x2=2．5时，乙种水果的批发价为2．5+0．5=3(元)，高于零售价，不合题意，舍去．而x=2时，乙种水果的批发价为2+0．5=2．5(元)，低于零售价，符合题意．∴甲种水果赚钱：26(元)，乙种水果赚钱：18(元)，两种水果总共赚钱：26+18=44(元)．答：小明爸爸这一天卖水果赚钱了，赚了44元．24．(1)在等腰梯形ABCD中，△ADM ∽△MBC，设AM=x，则x/3=3/(10-x) x2-10x+9=0， x=1或x=9，经检验都是原分式方程的根，．AM长为1或9； (2)同理可证△ADM∽△BMN·可得 x/(3+y)=3/(10-x) y=-x2/3+10x/3-3(1<x<9)．25．(1)当n为偶数时，P应设在第n/2台和(n/2+1)台之间的任何地方，当n为奇数时，P 应设在第(n+1)/2台的位置； (2)根据绝对值的几何意义，求|x-1|+|x-2|++|x-617|的最小值就是在数轴上找出表示x的点，使它到表示1，2，，617各点的距离之和最小．根据问题1的结论，当x=309时，原式的值最小，最小值是95172．26．(1)连结AD，∴AB为直径，∴AD⊥BC，又∵AB=AC，∴BD=CD，又CD=2，∴BD=2，由CE·CA=CD·CB，得6·CE=2·(2+2)，CE=4/3；(2)∠BAC与∠C BE的关系是：∠BAC=2∠CBE．证明：连结AD，AB为直径，．。