湖大线性代数第一章概述.
线性代数第一章知识点总结
d 1
d2
d
r
,
0
0
即为所求非齐次线性方程组的一个特解．
向量aT (a1 , a2 , , an)的负向量记作 aT ,且 aT (a1 , a2 , , an).
２ 向量的线性运算
向量加法 设 aT (a1 , a2 , , an),bT (b1 , b2 , , bn),定义
向量aT 与bT 的加法为: aT bT (a1 b1 , a2 b2 , , an bn) 向量减法定义为 aT bT (a1 b1 , a2 b2 , , an bn)
c1,n c2,n
1 cr,r 1 , 2 cr,r 1 , , nr c组成 n r阶 单位矩阵，于是得齐次线性方程组的一个基础解系
c1,r 1 c2,r1
c1,r 2 c2,r2
定理 (1)若向量组A : a1 , a2 , , am 线性相关,则向 量组B : a1 , a2 , , am , am1也线性相关.反言之,若 向 量 组B线 性 无 关, 则 向 量 组A也 线 性 无 关.
(2)设 a
j
a1 j , b j arj
a1 j
a
a rj
r 1,
６ 向量组的秩
定义 设有向量组A,如果在A中能选出r个向量a1 , a2 , ,ar ,满足
(1)向量组 A0 : a1 , a2 , , ar 线性无关; (2)向量组A中任意r 1个向量(如果A中有r 1 个向量的话)都线性相关, 那么称向量组 A0 是向量组A的一个最大线性 无关向量组(简称最大无关组);最大无关组所含向 量个数r称为向量组A的秩.
Ax b
(4)
解向量 向量方程 (4)的解就是方程组 (3)的解向量．
线性代数课件 第一章
1 0 (5)单位矩阵 单位矩阵 0 1 E = En = L L O 0 0
称为单位矩阵（ 单位阵） 称为单位矩阵（或单位阵）. 单位矩阵
L 0 O L 0 L L L 1
a11 a 21 A= L a m1
简记为
a12 a 22 L am1
L a1 n L a2n L L L a mn
矩阵A的 (m, n)元
A = Am×n = (aij )m×n = (aij ).
这m × n个数称为 A的元素 ,简称为元 . 简称为元
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a x + a x +L + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 LLLLLLLLLLLL am1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn = bm
, , 系数 aij ( i =1,2,L m, j =1,2,L n) , 常数项 bi (i = 1,2,L,n)
全为1 全为
(6)方阵 方阵 主对角线
a11 a12 a21 a22 A= L L 副对角线 an1 an1
简记为
L a1n L a2 n L L L ann
n× n
矩 A 阵 的
( n, n) 元
A = An× n = ( aij )
.
矩阵的转置
a11 a 21 A= L a m1
定义3 如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B 定义3 如果矩阵A经过有限次的初等变换变成B， 就称矩阵A与矩阵B等价， 就称矩阵A与矩阵B等价，记作 A ~ B ． 矩阵之间的等价具有自反性、对称性和传递性． 矩阵之间的等价具有自反性、对称性和传递性． 例如 用矩阵的初等行变换 解线性方程组
大一线性代数知识点大纲
大一线性代数知识点大纲线性代数是大一学生数学学科中的一门重要课程，它是现代数学和其他学科的基础，也是理解和应用许多高级数学和工程科学课程的关键。
下面是大一线性代数课程的知识点大纲。
第一章：向量与矩阵基础知识1. 向量的定义和性质2. 向量的加法和数乘3. 空间中的点与向量4. 向量的表示与运算5. 矩阵的定义和性质6. 矩阵的加法和数乘7. 矩阵的乘法8. 线性方程组与矩阵方程第二章：线性方程组与矩阵变换1. 线性方程组的解集2. 线性方程组的矩阵表示3. 齐次线性方程组和齐次线性方程组的解集4. 线性方程组的等价变换5. 线性方程组的求解方法（高斯消元法、矩阵消元法）6. 矩阵的行列式和性质7. 逆矩阵与矩阵的可逆性8. 矩阵的转置、伴随矩阵和正交矩阵第三章：向量空间和子空间1. 向量空间的定义和性质2. 子空间的定义和判定3. 子空间的交集和和空间4. 线性相关和线性无关5. 基底和维数6. 坐标和基底变换7. 基变换的矩阵表示8. 基变换和线性变换第四章：向量的内积和正交性1. 向量的内积和性质2. 柯西-施瓦茨不等式和三角不等式3. 正交向量组和正交基4. 施密特正交化方法5. 格拉姆-施密特过程6. 向量在非标准正交基下的坐标表示第五章：特征值和特征向量1. 特征值和特征向量的定义2. 特征值与特征向量的计算方法3. 特征值与矩阵的性质4. 对角化和相似矩阵5. 对称矩阵的对角化6. 正交矩阵和正交相似7. 线性变换的特征值问题第六章：线性变换和线性映射1. 线性变换的定义和性质2. 线性变换和矩阵的关系3. 线性变换与基变换的矩阵表示4. 线性变换的合成与逆5. 线性变换和坐标变换6. 线性变换的核、像和秩7. 线性映射的定义和性质8. 线性映射的矩阵表示和变换以上是大一线性代数课程的知识点大纲。
掌握这些基础知识将为学生在后续的学习和应用中打下坚实的基础。
在学习过程中，要注重理论与实践相结合，通过习题和实际问题的解决，加深对线性代数的理解和应用能力。
线性代数第一章知识点总结
(1)
解向量
若 x 1 11 , x 2 21 , , x n n1 为(1)的解, 则 11 21 x 1 n1 称为方程组(1)的解向量, 它也就是向量方程 2) ( 的解.
解向量的性质 性质１ 若x 1 , x 2 为( 2)的解, 则x 1 2 也
a1 j a1 j ( 2)设 a j , b j , ( j 1,2, , m ) a rj a rj a r 1, j 即向量 a j 添上一个分量后得到向 b j .若向量 量
１ 向量的定义
定义
n个有次序的数 a 1 , a 2 , , a n 所组成的 数组称为n维向量.这n个数称为该向量的分量 ,
第i个数 a i 称为第i个分量.
分量全为实数的向量称为实向量． 分量全为复数的向量称为复向量．
n维向量写成列的形式 称为列向量, 即 , a1 a2 a an
若向量空间没有基 那么V的维数为 .0维向 , 0 量空间只含一个零向量 . O 若把向量空间V看作向量组, 则V的基就是
向量组的最大线性无关 ,V的维数就是向量组 组 的秩.
１０ 齐次线性方程组
向量方程
记齐次线性方程组 a 11 x 1 a 12 x 2 a 1n x n 0, a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n 0, a m 1 x 1 a m 2 x 2 a mn x n 0, 的系数矩阵和未知量为
件是矩阵A (a 1 , a 2 , , a m )的秩等于矩阵B (a 1 , a 2 , , a m , b )的秩.
线性代数第一章
第一章 行列式(determinant)
一、二阶、三阶行列式的定义
a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2
由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列） 的数表
a11 a12
a 21 a 22
表 达 式 a11a 22 a12 a 21称 为 数 表 所 确 定 的 二 阶 行列式，并记作 a11 a 21 a12 a 22
该式称为数表所确定的三阶行列式.
a13
三阶行列式的计算：
对角线法则 a11 a12
a21 a31 a22 a32 a13 a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 行标按照从小 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 . 到大排列 注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号．
线性代数的第个问题是关于解线性方程组 的问题。 历史上线性方程组理论的发展促成了作为工 具的矩阵论和行列式理论的创立与发展，这些内 容已成为我们线性代数教材的主要部分。 行列式出现于线性方程组的求解，它最早是 一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常 有用的工具。行列式是由莱布尼茨和日本数学家 关孝和发明的。
逆序 0 1 0 3 1 于是排列 32514 的逆序数为 讨论其奇偶性
t
t 01 0 31 5 .
t
i 1
n
i
标准排列：无逆序的排列。如：1234是4级 标准排列
对换：在一个排列中，对调了两个数码， 其他数码不变，这种变换称为一个对换。 对23154 施以（1，4）对换得到23451。 两个结论： 1）对一个排列，经过一个对换，奇偶性 改变。
线性代数第一章
线性变换 (3)可看成是先作线性变换 ( 2)再作线性变换 (1) 的结果 .称线性变换 (3)为线性变换 (1) 与 ( 2)的乘积 , 相应把 (3) 所对应的矩阵定义为 (1) 与 ( 2) 所对应的矩阵的乘积 , 即
return PLAY
a11 a12 a 21 a22
b11 b12 a13 b21 b22 a23 b31 b32
由此得矩阵A与B相等是指A和B的对应元素都相等.
PLAY BACK
二、 数与矩阵的乘法
定义3 数λ与矩阵A的乘积记作λ A或 Aλ , 规定为
数乘矩阵满足以下运算规律(设A, B为同类型m × n矩阵, λ , µ为数)
λ a11 λ a12 L λ a1n λa 21 λ a22 L λ a2 n λ A = Aλ = M M M λa λ am 2 L λ amn m×n m1
a11b11 + a12b21 + a13b31 a11b12 + a12b22 + a13b32 = a21b11 + a22b21 + a23b31 a21b12 + a22b22 + a23b32 注意 : 第一个矩阵为 2 × 3而第二个矩阵为 3 × 2, 即 前面矩阵的列数与后面 矩阵的行数相等 .
θ + ϕ .因此, 这是把向量op (依逆 时针方向)旋转ϕ角(即把点p以 原点为中心逆时针旋转ϕ角)的
旋转变换.
PLAY
2. 矩阵与矩阵相乘
引例 设有线性变换 y1 = a11x1 + a12x2 + a13x3 y = a x + a x + a x 21 1 22 2 23 3 2 (1)
大一线性代数知识点概述
大一线性代数知识点概述一、矩阵与行列式1.矩阵：矩阵是由一系列的数按照规则排列成的矩形阵列。
矩阵有加法、数乘和乘法等运算，还有转置等操作。
2.行列式：行列式是一个数，它可以通过矩阵的排列组合计算得出。
行列式的计算包括代数余子式、代数余子式的代数余子式等步骤。
二、向量空间1.向量：向量是由一组有序数按照一定规则组成的有方向和大小的量。
向量有加法和数乘等运算，还有长度、夹角和投影等性质。
2.向量空间：向量空间是一种由向量构成的集合，满足加法和数乘运算的封闭性，以及满足加法运算的交换律、结合律和数乘运算的结合律、分配律等性质。
3.线性相关与线性无关：向量空间中的向量可以通过线性组合来表示。
若存在一组不全为零的系数，使得线性组合等于零向量，则这组向量线性相关；否则，它们线性无关。
三、线性变换1.线性变换：线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，满足加法和数乘运算的保持。
2.线性变换的矩阵表示：线性变换可以通过矩阵来表示，线性变换后的向量等于矩阵与原向量的乘积。
3.线性变换的性质：线性变换保持向量空间的加法和数乘运算，还保持向量空间中向量之间的线性相关性。
四、特征值与特征向量1.特征值与特征向量：线性变换后，仍然与原向量方向相同或相反的非零向量称为特征向量，特征向量对应的比例因子称为特征值。
2.特征值与特征向量的计算：特征向量可以通过求解线性方程组得到，由此可以计算出特征值。
这些是大一线性代数的主要知识点概述。
通过学习这些内容，你可以理解矩阵和行列式的相关计算方法，掌握向量空间的基本概念和性质，了解线性变换及其矩阵表示以及特征值与特征向量的应用。
线性代数是数学基础学科，对于后续的高等数学、概率论和统计学等学科具有重要的作用。
大一线性代数第一章知识点
大一线性代数第一章知识点线性代数是现代数学的一个重要分支，它研究向量空间和线性映射之间的关系。
在大一的线性代数课程中，第一章是介绍向量和矩阵的基本概念。
以下将对第一章的几个知识点进行论述。
一、向量的定义和性质在线性代数中，向量是一个有大小和方向的量。
它可以用一个有序的数组表示，每个数组元素代表向量在某个坐标轴上的分量。
向量有很多基本性质，包括加法、数乘、模长等。
其中，向量的加法和数乘是线性代数中最基本的运算。
向量的加法满足交换律和结合律，数乘满足结合律和分配律。
二、向量空间的定义和性质向量空间是指具有加法和数乘运算的集合，满足一定的公理。
在线性代数中，向量空间是向量运算的集合，它具有许多基本性质。
向量空间中的向量可以进行加法和数乘运算，并且满足一些规律，如交换律、结合律和分配律等。
三、矩阵的定义和性质矩阵是线性代数中另一个重要的概念。
它由若干行和列组成的矩形阵列。
矩阵可以表示为一个矩阵元素的矩阵，每个矩阵元素代表矩阵在某个位置上的值。
矩阵有许多基本性质，包括加法、数乘、乘法等。
矩阵的加法和数乘满足一些基本规律，如交换律和结合律。
矩阵的乘法是线性代数中比较复杂的运算，它是指将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵，满足一定的规律。
四、矩阵的行列式和逆矩阵行列式是一个与矩阵相关的数值，它可以用来判断一个矩阵的特征。
对于一个n阶矩阵，它的行列式是一个数值，代表了矩阵的一些性质。
行列式有一些基本性质，如反演性、行列式的性质和行列式的计算方法等。
逆矩阵是指一个矩阵与其逆矩阵相乘得到单位矩阵。
只有非奇异矩阵才有逆矩阵，奇异矩阵没有逆矩阵。
矩阵的逆矩阵具有一些基本性质，如逆矩阵的性质和逆矩阵的计算方法等。
五、线性方程组的解法线性方程组是线性代数中的一个重要概念，它由一系列线性方程组成。
线性方程组的解是指使得方程组成立的未知数的值。
线性方程组的解法有很多种，包括高斯消元法、矩阵求逆法和向量法等。
高斯消元法是一种常用的解线性方程组的方法，它通过一系列消元和代入操作，将方程组转化为简化的阶梯形矩阵，进而求得方程组的解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
故
四、n 阶行列式的定义 1、观察三阶行列式
=
a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
易见：
三阶行列式共有6项（即3！项）；
每项都是取自不同行不同列的3个元素的乘积；
每项的符号是：当该项元素的行标按自然序排 列后，若对应的列标构成的排列是偶排列则取正号，是 奇排列则取负号．
历史上线性代数的第一个问题是关于解线性方程 组的问题，而线性方程组理论的发展又促成了作 为工具的行列式和矩阵理论的创立与发展，这些 内容已成为我们线性代数教材的主要部分。 行列式出现于线性方程组的求解，它最早是 一种速记的表达式，现在已经是数学中一种 非常有用的工具。
第一节
一、二阶行列式
定义1 设
行列式
a11
a12
a11 , a12 , a21 , a22为实数，
记号
a 21
称为二阶行列式，它表示 代数和
，即
a 22
a11
a 21
a12
a 22
= a 11 a 22 - a12a 21
二阶行列式的计算
主对角线
对角线法则
副对角线
对于二元线性方程组
若记 系数行列式
将行列式的概念用于表达线性方程组的解，将会使其形 式简化，便于记忆．我们已经知道用消元法解二元线性方 程组。
（3）由于乘积 a1 j1 a2 j2 anjn 中各因子的相对顺序可以改变， 因此当乘积中各因子列标按自然序排列时，一般表示为
ai11ai2 2 ainn ，这样的乘积项仍然是行列式|aij|n×n展开式
中的一项， j1 j2 jn 而且可以证明，项前的符号为 1
于是n阶行列式又可以定义为
定理1
证明
每一个对换都改变排列的奇偶性.
首先考虑对换两个相邻的数的情形．设某一n级
排列为 经过对换(i,j)得到另一个排列
在这两个排列中，其一，除i，j以外的其他任何两个数 的相对顺序均未改变，其二，i，j以外的任何一个数字与i （或j）的相对顺序也未改变，而改变的只有i与j的相对顺 序，因此，新排列比原排列或增加了一个逆序（当i<j时）， 或减少一个逆序（当i>j时），无论是哪一种情形，原排列 与新排列的奇偶性都相反．即对换相邻的两个数，一定会改 变排列的奇偶性。对作不相邻对换的情形，请读者自己思考。
定义5
逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为
偶数的排列称为偶排列。
例4 解
计算排列3 2 5 1 4的逆序数．
例5 求排列1 2 3 … n和n(n-1)…2 1的逆序数，并 指出其奇偶性. 解 因为 (123 n) = 0, 所以 123n为偶排列 .
又因为 易见：当n=4k，4k+1时，该排列为偶排列，当n=4k+2，4k+3时，该 排列为奇排列，当n=4k+2，4k+3时，该排列为奇排列。 我们也称1 2 … n为自然序排列．
由上述定义可见，三阶行列式是由9个数按一定的 规律运算所得的代数和，这个代数和可利用图1-2（对 角线法则）或图1-3（沙路法则）来表述。 对角线法则
沙路法
类似于二元线性方程组的讨论，对于三元线性方程组
同理
用消元法求解方程组得
系数行列式
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
则该方程组有唯一解：
例 1 解
解方程组
因
故方程组有唯一解：
的符号为 1 定义为
故三阶行列式可定义为：
其中
为对所有三级排列
求和
定义6
由n2 个元素
组成的记号
称为n 阶行列式，它表示所有取自不
同行、不同列的n个元素乘积
的代数和.
各项的符号是：当该项各元素的行标按自然序排列后,
若对应的列标构成的排列是偶排列则取正号，是奇排列
则取负号．
即：
=
j1 j2 jn
1
j1 j2 jn
定理2 n≥2时，在 n! 个n级排列中，奇排列与 偶排列的个数相等，各为 个. 证明 设n级排列中有p个偶排列，q个奇排列, 则p+q=n!．
对这p个偶排列施行同一个对换 （i，j），
那么由定理1我们得到p个奇排列， 且p≤q．
同理，对q个奇排列施行同一个对换（i,j),
由定理1我们得到q个偶排列，且q≤p，
得
（a11a22 a12a21）x1 = b1a22 a12b2
（a11a22 a12a21）x2 = a11b2 b1a21
得
则 ：在
的条件下，二元线性方程组的解为：
注意 ：分母都为原方程组的系数行列式。
二、三阶行列式
定义2 记号
称为三阶行列式，
它表示代数和：
即
a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
电 子 教 案
线性代数教研室
* * * * * * 学 院
线性代数是什么：
线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，而某些 非线性问题在一定条件下可以转化为线性问题，因 此《线性代数》课程所介绍的方法广泛地应用于各 个学科。随着计算机技术的快速发展和普及，该课 程的地位与作用更显得重要。同时，该课程对于培 养学生的逻辑推理和抽象思维能力、空间直观和想 象能力具有重要的作用。
例2
计算三阶行列式
= 2 1 3
例3
解线性方程组
解 系数行列式
方程组的解为:
三、排列及其逆序数 定义3 把自然数1，2，…，n 按一定的顺序排成一 个数组，称为一个n级排列，简称为排列，并把这个 排列记为
定义4 在一个n 级排列 （表明较大的数 排在较小的数
中，若 前面)，则称数 与
构成一个逆序。 一个n级排列中逆序的 总数称为该排列 的逆序数，记为
D = aij
n n
=
i1i2 in
1
1
i1i2 in
ai11ai2 2 ain n .
n
我们还可以证明，当乘积 a1 j a2 j anj 中各因子的相对顺序
2
随意改变时，一般表示为 ai1 j1 ai2 j2 ain jn ，这样的乘 积仍然是行列式 aij nn 的展开式中的一项，而且项前
a1 j1 a2 j2 anjn ,
其中
表示对所有的 n 级排列求和．
注：（1）由于所有n级排列的总数有n!个，故n阶行列式 是n!项的代数和． （2）由于在所有的n级排列中，奇排列和偶排列的个数 相同，故在代数和
j1 j2 jn
1 j1 j2 jn a1 j1 a2 j2 anjn 中正负项各占一半．