2010年第一学期南模中学高一数学期末测试
高一数学上学期期末模拟质量检测试卷含答案
高一数学上学期期末模拟质量检测试卷含答案一、选择题1．设{1,0,1,2}U =-，集合2{|1,}A x x x U =<∈，则UA（ ）A ．{0,1,2}B ．{1,1,2}-C ．{1,0,2}-D ．{1,0,1}-2．函数()102f x x =+的定义域为（ ） A ．(),3-∞-B ．[)3,2--C ．()()3,22,--⋃-+∞D ．()3,2--3．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ） A ．3πB ．3π-C ．23π D ．23π-4．已知点()3,4A ，向的OA 绕原点O 逆时针旋转3π后等于OB ，则点B 的坐标为（ ） A．⎝⎭ B．⎝⎭C．⎝⎭D．⎝⎭5．方程e 10x x ++=的根所在的区间是（ ） A ．()0,1B ．()1,0-C ．()2,1--D ．()1,26．为净化水质，向游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C （单位：mg /L ）随时间t （单位：小时）的变化关系为220()t aC t t b+=+（,a b 为常数，0t ≥），当0t =时池水中药品的浓度为0mg /L ，当1t =小时池水中药品的浓度为4mg /L ，则池水中药品达到最大浓度需要（ ） A ．2小时B ．3小时C ．4小时D ．5小时7．定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞上是增函数，且()20f =，则不等式()0f x x>的解集为（ ） A ．()()2,00,2- B ．()(),22,-∞-+∞ C ．()(),20,2-∞-D ．()()2,02,-+∞8．已知函数121(02)()(2)(2)x x f x f x x -⎧-≤≤⎪=⎨->⎪⎩，()log (1)a g x x =+（0a >，且1a ≠），若()()()F x f x g x =-在[0,)+∞上至少有5个不相同的零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()3,4B ．()4,5C ．()2,3D ．()5,+∞二、填空题9．下列函数中，既为奇函数又在定义域内单调递增的是（ ） A ．1010x x y -=- B ．()22log 1y x =+ C ．3y x =D ．|sin |y x =10．使得“a b >”成立的充分不必要条件可以是（ ）A ．1a b >-B ．11a b< C D ．10.30.3a b -<11．已知a ，b ，c 满足a b c >>，且0ac <，则下列不等式中恒成立的有（ ） A ．0a >，0c <B ．b c a a>C ．22b a c c>D ．ab bc >12．下列说法正确的是（ ）A ．“0x R ∃∈，0202x x >”的否定是“x R ∀∈，22x x ≤”B ．函数()f x =的最小值为6C ．函数1()2g x ⎛= ⎪⎝⎭1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．a b >的充要条件是a a b b三、多选题13．若命题“2000,(1)10x R x a x ∃∈+-+<”是真命题，则实数a 的取值范围是_____________.14．函数()2xf x =和()3g x x =的图像的示意图如图所示，设两函数的图像交于点()11,A x y ，()22,B x y ，且12x x <．若[]1,1x a a ∈+，[]2,1x b b ∈+，且a ，{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12b ∈，则a b +=__________．15．已知函数22()tf x x t x =-+有最小值且最小值与t 无关，则t 的取值范围是_________． 16．对任意0,4πϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()sin()f x x ωϕ=+在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数ω的取值范围是________.四、解答题17．已知函数()1ln3x f x x-=-的定义域为集合A ，关于x 的不等式()()2110ax a x a R +++>∈的解集为B .（1）求集合A ；（2）若A B ⋂≠∅，求实数a 的取值范围. 18．已知函数()223sin cos 2cos f x x x x =⋅+. （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）求该函数的单调递增区间；（3）求函数()f x 在区间π5π,612⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值.19．已知函数1()(0xxb f x a a a -=+>且1)a ≠是奇函数． （1）求b 的值；（2）令函数()()1x g x f x a =--，若关于x 的方程2()3t g x t +=+在R 上有解，求实数t 的取值范围．20．对于等式b a c =（0a >，1a ≠），如果将a 视为自变量x ，b 视为常数，c 为关于a （即x ）的函数，记为y ，那么b y x =是幂函数；如果将a 视为常数，b 视为自变量x ，c 为关于b （即x ）的函数，记为y ，那么x y a =是指数函数；如果将a 视为常数，c 视为自变量x ，b 为关于c （即x ）的函数，记为y ，那么log a y x =是对数函数.事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型.如果c 为常数e （e 为自然对数的底），将a 视为自变量x （0x >，1x ≠），则b 为x 的函数，记为y ，那么y x e =，记将y 表示成x 的函数为()f x .（1）求函数()f x 的解析式，并作出其图象；（2）若0m n >>且均不等于1，且满足()()f m f n =，求证：243m n +≥.21．已知函数()()sin 20,02f x A x A πϕϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的最大值为2，其图象与y 轴交点为()0,1.（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在[]0,π上的单调增区间；（3）对于任意的0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()240f x mf x -+≥恒成立，求实数m 用的取值范围.22．已知函数()x x f x a a -=-（0a >且1a ≠）．（1）若(1)0f <，对任意[0,)x ∈+∞，恒有()2221a f x kx k a ⋅--+，求k 的最大值；（2）若3(1)2f =，函数()g x 满足(2)()()0(0)f x f x g x x +-⋅=≠．就实数m 的取值，讨论关于x 的方程()(2)10m g x g x ⋅=+的实数根的个数．【参考答案】1．B 【分析】先求出集合A ，根据补集运算，即可求出UA .【详解】由21x < 得： 11x -<<，又x U ∈，所以{}0A = ，因此{}1,1,2UA =- .故选：B. 【点睛】本题主要考查了集合的补集运算，属于基础题. 2．D 【分析】根据函数有意义列出式子求解即可. 【详解】解：由题可知()1330log 3020x x x ⎧+>⎪⎪+≥⎨⎪⎪+≠⎩，解得：322x x x >-⎧⎪≤-⎨⎪≠-⎩，故()32x ∈--，. 故选：D. 3．B 【分析】因为时针经过2小时相当于转了一圈的16，且按顺时针转所形成的角为负角，综合以上即可得到本题答案. 【详解】因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为2π，按顺时针转所形成的角为负角，所以经过2小时，时针所转过的弧度数为11263ππ-⨯=-.故选：B本题主要考查正负角的定义以及弧度制，属于基础题. 4．D 【分析】设OA 与x 轴正方向所成的角为α，设OB 与y 轴正方向所成的角为β，先求出5OA =，34cos ,sin 55αα==，再结合两角和的正弦公式和余弦公式求出cos β和sin β，进而可以求出结果. 【详解】设OA 与x 轴正方向所成的角为α，设OB 与y 轴正方向所成的角为β，则3πβα=+，由题意知 5OA =，34cos ,sin 55αα==，所以cos cos cos cos sin sin 333πππβααα⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭sin sin sin cos cos sin 333πππβααα⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭所以点B 的横坐标为5cos 5β==；点B 的纵坐标为5sin 5β==；所以点B 的坐标为⎝⎭， 故选：D. 5．C 【分析】设e (1)x f x x =++，逐一分析各个选项，结合零点存在性定理，即可得答案. 【详解】设e (1)x f x x =++， 2211(2)10,(1)0,(0)2,(1)e 20,(2)e 30e ef f f f f -=-<-=>==+>=+> 因为(2)(1)0f f -⋅-<，根据零点存在性定理，可得()f x 的零点在区间()2,1--内. 故选：C6．A 【分析】由题意求出解析式，再由定义证明4,0y t t t=+>的单调性得出其最小值，进而得出池水中药品达到最大浓度需要的时间. 【详解】由题意可得02041a ba b ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪+⎩，解得0,4a b ==当0t =时，(0)0C =，当0t >时，22020()44t C t t t t==++令4,0y t t t=+>任取()12,0,t t ∈+∞，且12t t <，则()()121212121212444t t t t y y t t t t t t --⎛⎫-=+-+= ⎪⎝⎭ 当2t ≥时，12120,4t t t t -<>，即12y y <；当02t <<时，12120,4t t t t -<<，即12y y > 则函数4,0y t t t=+>在()0,2上单调递减，在2,上单调递增，即min 4224t t ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，即当2t =时，max ()(2)5C t C == 故选：A 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是由定义证明函数4,0y t t t=+>的单调性进而得出其最小值.7．D 【分析】分0x >和0x <两种情况讨论，利用函数的奇偶性和单调性可解得结果. 【详解】 当0x >时，()0f x x>可化为()0f x >， 又()f x 为偶函数且(2)0f =，所以不等式()0f x >可化为(||)(2)f x f >， 因为()f x 在[)0,+∞上是增函数，所以||2x >，解得2x >； 当0x <时，()0f x x>可化为()0f x <， 又()f x 为偶函数且(2)0f =，所以不等式()0f x <可化为(||)(2)f x f <， 因为()f x 在[)0,+∞上是增函数，所以||2x <，解得20x -<<；综上所述：不等式()0f x x>的解集为()()2,02,-+∞.故选：D 【点睛】关键点点睛：利用函数的奇偶性和单调性求解是解题关键. 8．D 【分析】根据题意将问题转化为“()(),f x g x 的图象在[)0,+∞上至少有5个交点”，由此作出()(),f x g x 的图象，根据交点数分析出a 的取值范围.【详解】由题意可知：()(),f x g x 的图象在[)0,+∞上至少有5个交点； 因为2x >时，()()2f x f x =-，所以()()2f x f x +=， 所以()f x 为周期函数且一个周期为2， 当01a <<时，图象如下图所示：由图象可知：()(),f x g x 的图象没有交点，故不符合题意； 当1a >时，图象如下图所示：因为()(),f x g x 的图象至少有5个交点，所以由图象可得：()log 411a +<即可， 所以g 5log lo a a a <，所以5a >，即()5,a ∈+∞， 故选：D.【点睛】思路点睛：求解函数零点个数的问题，采用数形结合思想能高效解答问题，通过数与形的相互转化能使问题转化为更简单的问题，常见的图象应用的命题角度有： （1）确定方程根的个数； （2）求参数范围； （3）求不等式解集； （4）研究函数性质.二、填空题9．AC 【分析】分别利用奇偶性的定义判断每个选项中函数的奇偶性，对于符合奇函数的选项再接着判断其单调性即可. 【详解】四个函数的定义域为x ∈R ，定义域关于原点对称A ：记()1010-=-x x f x ，所以()1010()x x f x f x --=-=-，所以函数()1010-=-x x f x 是奇函数，又因为10x y =是增函数，10x y -=是减函数，所以1010x x y -=-是增函数，符合题意；B ：记()22()log 1=+g x x ，则()22()log 1()⎡⎤-=-+=⎣⎦g x x g x ，所以函数()22()log 1=+g x x 是偶函数，不符合题意；C ：记3()h x x =，则33)()()(=-=--=-h x h x x x ，所以函数3()h x x =是奇函数，根据幂函数的性质，函数3()h x x =是增函数，符合题意；D ：记()|sin |=t x x ，则()|sin()||sin |()-=-==t x x x t x ，所以函数()|sin |=t x x 为偶函数.故选：AC 10．CD 【分析】因为判断的是充分不必要条件，所以所选的条件可以推出a b >，且a b >无法推出所选的条件，由此逐项判断即可. 【详解】A ．因为1a b >-不能推出a b >，但a b >可以推出1a b >-，所以1a b >-是a b >成立的必要不充分条件，故不满足；B ．因为11a b <不能推出a b >（例如：1,1a b =-=），且a b >也不能推出11a b<（例如：1,1a b ==-），所以11a b<是a b >成立的既不充分也不必要条件，故不满足；C >0a b >≥能推出a b >，且a b >1,1a b ==-），a b >成立的充分不必要条件，故满足；D ．因为函数0.3x y =在R 上单调递减，所以10.30.3a b -<可以推出1a b ->，即1a b >+， 所以10.30.3a b -<可以推出a b >，且a b >不一定能推出10.30.3a b -<（例如：1,1a b ==）， 所以10.30.3a b -<是a b >成立的充分不必要条件，故满足， 故选：CD. 【点睛】结论点睛：充分、必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）若p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）若p 是q 的既不充分也不必要条件，则p 对应集合与q 对应集合互不包含. 11．AB 【分析】根据不等式的基本性质，分别判断四个答案中的不等式是否恒成立，可得结论． 【详解】解：a b c >>，且0ac <，0a ∴>，0c <，故A 成立；所以10a> ∴由b c >，所以b ca a>恒成立，故B 成立； 对于C ：若1a =，1b =-，则22b ac c =，故C 错误；对于D ：若0b =，ab bc =，故D 错误； 故选：AB ． 12．ACD 【分析】根据含全称量词、存在量词的命题的否定形式可判断A 选项是否正确； 根据基本不等式及等号成立的条件可判断B 选项是否正确； 利用复合函数单调性“同增异减”可判断C 选项的正误； 构造函数利用单调性判断D 选项是否正确． 【详解】对于A 选项，由特称命题的否定形式可知，A 选项正确；对于B 选项，若利用基本不等式有()6f x =≥，等号不能成立，故B 选项错误；对于C 选项，因为函数12ty ⎛⎫= ⎪⎝⎭为递减函数，若1()2g x ⎛= ⎪⎝⎭22y x x =--+递减，且220x x --+≥，解得112x -≤≤，故C 正确； 对于D 选项，设函数()22,0,0x x f x x x x x ⎧≥==⎨-<⎩，则函数[)0,+∞上递增，在(),0-∞上也递增，故()f x 为R 上的单调增函数，所以a b >时a ab b ；当a a b b 时，有a b >. 故a b >的充要条件是a ab b ，D 选项正确．故选：ACD.三、多选题13．{1a a <-或}3a > 【分析】根据存在命题的定义，结合一元二次不等式的解集性质进行求解即可. 【详解】因为命题“2000,(1)10x R x a x ∃∈+-+<”等价于200(1)10x a x +-+=有两个不等实数根，所以2(1)40a ∆=-->，即2230a a -->，解得1a <-或3a >.故答案为：{1a a <-或}3a >.14．10【分析】根据解析式与图像,判断12,C C 分别对应的解析式.根据零点存在定理,可判断两个交点所在的整数区间,即可求得,a b 的值,进而求得+a b . 【详解】根据函数()2x f x =过定点0,1,所以2C 对应函数()2xf x =;函数()3g x x =过()0,0,所以1C 对应函数()3g x x =因为()()()(),2211g f g f <> 所以由图像可知[]11,2x ∈,故1a = 因为()()()()9900,11g f g f >< 所以由图像可知[]29,10x ∈,故9b = 所以10a b += 故答案为:10 【点睛】本题考查了指数函数与幂函数的图像与性质应用,数形结合思想的应用,函数零点存在定理的应用,15．[1,)+∞【分析】本题可分为0t ≤、0t >两种情况进行讨论，然后0t >又可分为0u t <<、u t ≥进行讨论，最后对每种情况下是否有最小值以及最小值与t 是否有关进行研究，即可得出结果. 【详解】当0t ≤时，22()t f x x t x =-+， 令2u x =，则0>u ，ty u t u=+-在(0,)u ∈+∞时是增函数，无最小值． 当0t >时，令2u x =，0>u ，,0()(),t u t u t t uf xg u u t t u u t u t u ⎧-++<<⎪⎪==-+=⎨⎪+-≥⎪⎩，若0u t <<，()tg u u t u=-++是减函数，则()11g u t t >-++=， 若u t ≥，()t g u u t t t u =+-≥=，当且仅当u =时等号成立，t ，即1t ≥时，()g u 在[,)t +∞上递增，min ()()11g u g t t t ==-++=，t >，即01t <<时，min ()g u t =与t 有关，故答案为：[1,)+∞． 【点睛】关键点点睛：本题考查求函数的最值．对含绝对值的函数一般根据绝对值定义分类讨论去掉绝对值符号，然后可分段求最小值，最后比较可得．而利用函数的单调性是求最值的基本方法，有时也可用基本不等式求最值，但要注意基本不等式成立的条件，在条件不满足时，可用单调性得最值．16．130,42⎛⎤⎧⎫⋃-⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭【分析】 根据题意可得22T π≥，从而可得2ω≤，讨论0>ω，0ω=或0ω<，再求出()sin()f x x ωϕ=+的单调递增区间，只需,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是单调递增区间的子集即可求解.【详解】()()sin f x x ωϕ=+，0,4πϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由正弦函数的性质，()f x 的每个增区间的长度为2T，其中函数()f x 的最小正周期为2T ωπ=.函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调地藏，可得22T π≥，即2ω≤.①当0>ω时，此时02ω<≤，x ωϕ+单调递增，当2,2,22x k k k Z ππωϕππ⎡⎤+∈-+∈⎢⎥⎣⎦，()f x 单调递增，解得112,2,22x k k k Z πππϕπϕωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫∈--+-∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，只需11,2,2,222k k k Z πππππϕπϕωω⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⊆--+-∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦，从而可得1222,122k k Z k πππϕωπππϕω⎧⎛⎫≥-- ⎪⎪⎪⎝⎭∈⎨⎛⎫⎪≤+- ⎪⎪⎝⎭⎩， 解得2141,2,2k k k Z ϕϕωππ⎡⎤∈--+-∈⎢⎥⎣⎦对0,4πϕ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦成立， 则21410214k k πωππ--⨯≤≤+-⨯，即141,2,4k k k Z ω⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦，由124141204k k k ⎧+>-⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，解得1588k -<<，k Z ∈，0k ∴=.所以，10,4ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；②当0ω=时，函数()sin f x ϕ=为常函数，不合乎题意； ③当0ω<时，20ω-≤<，x ωϕ+单调递减， 由322,22k x k k Z πππωϕπ+≤+≤+∈， 解得13122,22k x k k Z πππϕπϕωω⎛⎫⎛⎫+-≤≤+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对0,4πϕ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦成立， 可得13222,122k k Z k πππϕωπππϕω⎧⎛⎫≥+- ⎪⎪⎪⎝⎭∈⎨⎛⎫⎪≤+- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得122,43,2k k k Z ϕϕωππ⎡⎤∈+-+-∈⎢⎥⎣⎦对0,4πϕ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦成立，于是12210434k k πωππ+-⨯≤≤+-⋅，即521,4,2k k k Z ω⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦，由5142225402k k k ⎧+≥+⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，解得518k -≤<-，由k Z ∈，1k =-，此时，32ω=-.综上所述，实数ω的取值范围是130,42⎛⎤⎧⎫⋃-⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭.故答案为：130,42⎛⎤⎧⎫⋃-⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭.【点睛】关键点点睛：本题考查了三角函数的性质，解题的关键是求出函数的单调递增区间，使,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是单调递增区间的子集，考查了分类讨论的思想. 四、解答题17．（1）{}13A x x =<<；（2）{}1a a >-. 【分析】（1）利用对数的真数大于零可求得集合A ；（2）对实数a 的取值进行分类讨论，求出集合B ，根据A B ⋂≠∅可得出关于实数a 的不等式，综合可得出实数a 的取值范围. 【详解】（1）对于函数()1ln3x f x x -=-，103x x ->-，可得103x x -<-，解得13x <<， 因此，{}13A x x =<<；（2）由()2110ax a x +++>，可得()()110ax x ++>.①当0a =时，则有10x +>，解得1x >-，即{}1B x x =>-，此时A B ⋂≠∅成立； ②当0a <时，因为10a ->，解不等式()()110ax x ++>可得11x a-<<-，即11B x x a ⎧⎫=-<<-⎨⎬⎩⎭，因为A B ⋂≠∅，则11a ->，即10a a+<，解得10a -<<； ③当1a >时，110a -<-<，解不等式()()110ax x ++>可得1x <-或1x a>-， 即{1B x x =<-或1x a ⎫>-⎬⎭，此时A B ⋂≠∅成立；④当1a =时，则有()210x +>，解得1x ≠-，即{}1B x x =≠-，此时A B ⋂≠∅成立；⑤当01a <<时，11-<-a ，解不等式()()110ax x ++>可得1x a<-或1x >-， 即1B x x a ⎧=<-⎨⎩或}1x >-，此时A B ⋂≠∅成立.综上所述，实数a 的取值范围是{}1a a >-.18．（1）πT =；（2）πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；（3）最大值为3，最小值为0.【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式化简()f x ，再由正弦函数的周期公式即可求解； （2）解不等式πππ2π22π262k x k -+≤+≤+，()k ∈Z 即可求解；（3）根据π5π,612x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦求出π26x +的范围，根据正弦函数的性质即可求解.【详解】（1）()2cos 2cos 2cos21f x x x x x x =⋅+=++π2sin 216x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==， （2）令πππ2π22π262k x k -+≤+≤+，解得：ππππ36k x k -+≤≤+，()k ∈Z所以该函数的单调递增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；（3）因为π5π,612x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以ππ2,π66x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以当ππ266x +=-即π6x =-时，πsin 26⎛⎫+ ⎪⎝⎭x 最小为12-，当ππ262x +=即π6x =时，πsin 26⎛⎫+ ⎪⎝⎭x 最大为1，所以1πsin 2126x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，π12sin 226x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭， ()[]π2sin 210,36f x x ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在区间π5π,612⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为0，最大值为3.19．(1) 0b = (2) 532t -<<- 【分析】（1）由()f x 的定义域为R ，且奇函数，则(0)0f =，从而可求出答案. (2)由题意1()1x g x a -=-，先求出函数()g x 的值域，方程2()3t g x t +=+在R 上有解，则max 2()3t g x t +>+，从而得出答案. 【详解】 (1)函数1()(0)x x b f x a a a-=+>的定义域为R ,又()f x 是奇函数 所以(0)110f b b =+-==当0b =时，1()xx f x a a =-，11()()xx x xf x a a f x a a --⎛⎫-==-=- ⎪⎝⎭-- 满足()f x 是奇函数，所以0b =(2) 11()()111x xxx xg x f x a a a a a --=--=--=- 由0x a >，则10x a >，所以10x a -<，所以111xa -<-- 即()g x 的值域为()1-∞-，方程2()3t g x t +=+在R 上有解，则213t t +<-+，解得532t -<<- 所以满足条件的实数t 的取值范围：532t -<<- 20．（1）1()ln f x x=，作图见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）对y x e =两边取对数，并化简即得到1ln y x =，即得到函数1()ln f x x=及图象； （2）结合图象化简关系得到ln ln n m -=，即1mn =，22144m n n n+=+，再构造函数21()4(01)g x x x x=+<<，结合单调性求其最小值为3，即得证，或者拼凑22211144422m n n n n n n+=+=++，利用三项的基本不等式证明结果即可. 【详解】（1）解：由(0,1)y x e x x =>≠两侧取以e 为底的对数，得ln ln y x e =，即1ln y x=， 所以1()ln f x x=，其图象如图所示.（2）证明：因为|()||()|f m f n =，且0m n >>， 所以(0,1),(1,)n m ∈∈+∞，且ln ln n m -=， 即ln ln 0,ln()0m n mn +==，故1mn =，则22144m n n n+=+. 法一：记21()4(01)g x x x x=+<<.任取12,x x ，且1201x x ，因为()()()2222121212121211114444g x g x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()1212211212211212144x x x x x x x x x x x x x x x x -+-=+-+=-⋅， 因为1201x x ，所以21120,0x x x x ->>. 当12102x x ≤<<时，()121241x x x x +<，所以()()120g x g x ->，即()()12g x g x >； 当12112x x ≤<<时，()121241x x x x +>，所以()()120g x g x -<，即()()12g x g x <. 所以21()4(01)g x x x x =+<<在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上为减函数，在1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭上为增函数，所以当12x =时，min ()3g x =，所以243m n +≥. 法二：22223111114443432222m n n n n n n n n n+=+=++⋅⋅=≥（当且仅当2142n n =即12n =时取“=”），所以243m n +≥.21．（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和2π,π3；（3）4m ≤. 【分析】（1）先由最值，求出2A =，再由函数过点()0,1，求出6π=ϕ，即可得出函数解析式； （2）根据正弦函数的单调性，即可求出函数在区间[]0,π上的增区间；（3）先由0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得到()[]1,2f x ∈，令()t f x =，将问题化为240t mt -+≥在[]1,2t ∈时恒成立，进而可求出结果. 【详解】（1）因为最大值为2，所以2A =．因为()f x 过点()0,1，所以2sin 1=ϕ，又因为02πϕ<<，所以6π=ϕ． 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（2）因为222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，所以,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈．当0k =时，36x ππ-≤≤；当1k =时，2736x ππ≤≤． 又因为[]0,x π∈，所以()f x 在[]0,π上的单调增区间是06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和2π,π3． （3）因为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()[]1,2f x ∈．令()t f x =，则240t mt -+≥在[]1,2t ∈时恒成立， 即4m t t≤+在[]1,2t ∈时恒成立， 令()4g t t t=+，[]1,2t ∈，任取1212t t ≤<≤，则120t t -<，124t t <，所以()()()121212121244410g t g t t t t t t t t t ⎛⎫-=+--=--> ⎪⎝⎭，即()()12g t g t >， 所以()4g t t t=+在[]1,2t ∈上单调递减，则()()min 42242g t g ==+=，所以只需4m ≤，即实数m 用的取值范围是4m ≤. 【点睛】 思路点睛：求解含三角函数的二次型不等式恒成立的问题时，一般需要先根据三角函数的性质，确定所含三角函数的值域，再由换元法，将问题转化为一元二次不等式的形式，进行求解. 22．（1）12-；（2）答案见解析.【分析】（1）由(1)0f <得01a <<，利用()f x 的单调性得到212x k x -≤+当[)0,x ∈+∞时恒成立，再求212x x -+在[)0,x ∈+∞上的最小值即可； （2）由已知得到()22x x f x -=-，求出()g x ，问题等价于讨论关于()22222210x x x x m --⋅+=++实数根的个数，令()222x x s s -=+>问题转化为讨论y m =与8y s s =+()2s >交点的个数，结合8y s s=+的单调性可得答案. 【详解】（1）因为(1)0f <，所以110(1)f a a -=-<，解得01a <<， 所以()f x 在[)0,x ∈+∞上单调递减，由()2221a f x kx k a ⋅--+，得()2211(1)2a f x kx k a f a a-=-=--≤， 所以221x kx k --≥，所以212x k x -≤+当[)0,x ∈+∞时恒成立，()()2224231324222x x x x x x x +-++-==++-+++， 令2t x =+()2t ≥，3()4m t t t=+-，设122t t >≥，则()121212*********()()t t m t m t t t t t t t t t ⎛⎫--=+--=- ⎪⎝⎭， 因为122t t >≥，所以12120,4t t t t ->>，所以12()()0m t m t ->， ()m t 在 2t ≥时是单调递增函数，所以11()(2)2422m t m ≥=+-=-，所以12k ≤-，k 的最大值为12-；（2）若3(1)2f =，则113)2(1f a a -=-=，解得2a =，或12a =-舍去， ()22xxf x -=-，由(2)()()0(0)f x f xg x x +-⋅=≠得()2222()22022x xx x x xg x x ----==+≠-，问题等价于讨论关于()22222210x x x xm --⋅+=++实数根的个数， 令()222x xs s -=+>，则由28m s s ⋅=+，即8m s s=+()2s >， 即讨论y m =与8y s s=+()2s >交点的个数，设12s s >>8()n s s s=+，则()121212*********()()s s n s n s s s s s s s s s ⎛⎫--=+--=- ⎪⎝⎭，因为12s s >>12120,8s s s s ->>，所以12()()0n s n s ->，()n s 在s >()n s n >=设122s s <<< 则()121212*********()()s s n s n s s s s s s s s s ⎛⎫--=+--=- ⎪⎝⎭，因为122s s <<≤12120,8s s s s -<<，所以12()()0n s n s ->，()n s 在2s <≤()(2)n n s n ≤<，即()6n s <， 所以，当m <()(2)10m g x g x ⋅=+没有实数根；当m =6m ≥时，方程()(2)10m g x g x ⋅=+有2个实数根；当6m <时，方程()(2)10m g x g x ⋅=+有4个实数根. 【点睛】本题考查了利用函数的单调性解不等式、讨论实数根的个数，关键点是构造函数利用函数的单调性解决问题，考查了学生分析问题、解决问题的能力.。
高一年级数学第一学期期末模拟测试2.doc
高一年级数学第一学期期末模拟测试一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共计70分)1.设全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}0,1,2,3A =，{}2,3,4B =，则U C A B =（） .2. 计算t a n10°t aa n10°+t a n= 。
3. 已知函数2()f x x x =-+，]2,1x ⎡∈-⎣，则函数()f x 的值域为 .4. 把函数sin(2)3y x π=-的图象向右平移3π个单位得到的函数解析式为5. 若函数2()(1)3f x kx k x =+-+ 是偶函数，则函数()f x 的单调递减区间是 .6. 3451lg 2lg 4()881-++= .7．已知函数()f x 的图象经过点()0,1，则函数()1f x +的图象必经过点 ．8. 用二分法求函数()lg 3f x x x =+-的一个零点，其参考数据如下：根据此数据，可得方程lg 3x x =-的一个近似解（精确到0.1）为 .9.已知函数22,0()log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若()2f a =，则a = .10. 已知点(1,2)A ，点(4,5)B ，若2AP PB =，则点P 的坐标是 。
11. 已知091sin sin sin =︒++βα，091cos cos cos =︒++βα 则 ）（βα-cos = 。
12. 已知8a =，e 是单位向量，当它们之间的夹角为3π时，a 在e 方向上的投影为 。
13. 已知1cos()3πα+=，2παπ<<，则sin 2α的值是 14. 已知集合2{|20}A x x x =--=，{|60}B x ax =-=, 且A B A =，则由实数a的取值组成的集合是 .二．解答题(本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知(0,)θπ∈，1sin cos 2θθ+= 求 (1)θ⋅θcos sin ； (2) sin cos θθ-16．(本小题满分14分)已知函数2()21f x x x =--. (Ⅰ)证明函数()f x 是偶函数；(Ⅱ)已知向量33(cos,sin )22x x a =，(cos ,sin )22x x b =-，[,]32x ππ∈- （1）求证：()a b -⊥()a b +； （2）13a b +=，求cos x 的值18. (本小题满分15分)某家庭对新购买的商品房进行装潢，设装潢开始后的时间为t （天），室内每立方米空气中甲醛含量为y （毫克）.已知在装潢过程中，y 与t 成正比；在装潢完工后，y 与t 的平方成反比，如图所示．（Ⅰ）写出y 关于t 的函数关系式； （Ⅱ）已知国家对室内甲醛含量的卫生标准是甲醛浓度不超过0.08毫克/立方米.按照这个标准，这个家庭装潢完工后，经过多少天才可以入住？(18题图)已知函数2()21xf x a =-+是奇函数()a R ∈． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）试判断函数()f x 在（-∞，+∞）上的单调性，并证明你的结论；（Ⅲ）若对任意的t R ∈，不等式22((2))(1)0f t m t f t m --+--<恒成立，求实数m的取值范围．本小题满分16分）已知O 为坐标原点，2(2cos ,1)OA x =，2)OB x a =+（,x R a R ∈∈，a 是常数），若y OA OB =⋅（1）求y 关于x 的函数关系式()f x ； （2）若()f x 的最大值为2，求a 的值；（3）利用（2）的结论，用“五点法”作出函数()f x 在长度为一个周期的闭区间上的简图，并指出其单调区间。
江苏省2010 2011学年度高一期末考试数学试题
江苏省2010-2011学年度高一期末考试数学试题一、填空题（满分70分）1、已知一扇形的周长为)0(>C C ，当扇形的中心角为 弧度时，它有最大面积.2、已知k =0100tan ，则=080sin 3、已知函数)0(sin 21>+=A Ax y π的最小正周期是π3，则=A 4、已知数列}{n a 的前n 项和为1322+-=n n S n ，则它的通项公式=n a 5、设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若3163=S S ，则126S S= 6、如图为幂函数nx y =在第一象限的图像，则4321,,,C C C C 的大小关系为7、函数x x y 26ln +-=的零点)(),1,(0Z k k k x ∈+∈，则=k8、函数)(1sin )(3R x x x x f ∈++=，若2)(=a f ，则=-)(a f9、已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在[0,+)∞上为增函数，0)31(=f ，则不等式0)(log 81>x f 的解集为10、函数)0)(62sin(2>+=k kx y π的图像上相邻两个最小值点的距离不小于1，则k 的取值范围是x11、方程x x cos 22||=解的个数为12、设1,0≠>a a 函数)32lg(2)(+-=x x a x f 有最大值，则不等式)75(log 2+-x x a的解集为13、在等差数列}{n a 中，前n 项的和为210，其中前4项的和为40，后4项的和为80，则=n14、关于x 的不等式2x ＋25＋|3x －52x |≥ax 在[1，12]上恒成立，则实数a 的取值范围 二、解答题（满分90分）15、 已知函数2π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，． （I ）求()f x 的最大值和最小值；（II ）若不等式()2f x m -<在ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立，求实数m 的取值范围．16、ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为c b a ,,，且A c B b C a cos ,cos ,cos 成等差数列。
江苏省2010-2011年第一学期高一期末数学试题及答案
江苏省2010-2011年第一学期高一期末数学试题及答案一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．集合，，若，则 ▲2．已知函数的图象经过点，则函数的图象必经过点 ▲．3．定义集合A、B的一种运算：，若，，则中的所有元素数字之和为 ▲4．，与的大小关系是 ▲ 。
5．函数的定义域为 ▲ 。
6．设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则 ▲ 。
7．函数，的值域为 ▲ 。
8．已知函数，，，则的大小关系为 ▲ 。
则函数的零点为 ▲ 。
（精确到0.1）xy-1第10题图10．已知函数的图像如图所示，则 ▲ ； ▲ 。
11．若函数的值域为，则函数的定义域为 ▲ 。
12．设函数，当时恒成立，则取值范围▲ 。
13．已知函数，则 ▲ 。
14．已知命题：①函数为偶函数；②定义在上的函数在区间上是单调减函数，在区间上也是单调减函数，则函数在上是单调减函数；③函数的图象一定过定点；④函数的图像和函数的图像的公共点个数为，则的值不可能是1。
其中正确命题的序号为 ▲ 。
二．本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤。
15．（本小题满分14分）计算：（1）；（2）。
16．（本小题满分14分）已知集合（1）若，求实数的取值范围；（2）若求实数的取值范围。
17．（本小题满分14分）已知函数，（1）证明函数是偶函数；（2）用分段函数表示并作出其图象；（3）指出函数的单调区间及相应的单调性；（4）求函数的值域。
18．（本小题满分16分）我市有甲，乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．甲家每张球台每小时５元；乙家按月计费，一个月中30小时以内（含30小时）每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．某公司准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时。
（1）设在甲家租一张球台开展活动小时的收费为元，在乙家租一张球台开展活动小时的收费为元。
2010-2011上学期高一期末复习数学试卷
2021 -2021上学期高一期末复习数学试卷班级|： 姓名：一、选择题 (12×5 =60分 )1．假设集合{}{}2|1,,|,A x x x R B y y x x R =≤∈==∈,那么AB = ( )A.{}|11x x -≤≤B.{}|0x x ≥C.{}|01x x ≤≤D.∅ 2．假设非空数集A = {x |2a + 1≤x ≤3a -5 },B = {x |3≤x ≤22 },那么能使B A ⊆成立的所有a 的集合是 ( )A .{a |1≤a ≤9}B .{a |6≤a ≤9}C .{a |a ≤9}D .φ3．一个不透明圆锥体的正视图和侧视图(左视图)为两全等的正三角形.假设将它倒立放在桌面上,那么该圆锥体在桌面上从垂直位置旋转到水平位置的过程中,其在水平桌面上正投影不可能．．．是4．函数1ln(1)(1)2x y x +-=>的反函数是 ( ) (A)211(0)x y e x -=-> (B)211(0)x y e x -=+>(C)211(R)x y e x -=-∈ (D)211(R)x y e x -=+∈ 5．设偶函数()f x 满足()()380f x x x =-≥,那么(){}20x f x -=＞ ( ) (A){}2x x x ＜-或＞4 (B){}0x x x ＜或＞4(C){}0x x x ＜或＞6 (D){}2x x x ＜-或＞26给定函数①12y x =,②12log (1)y x =+,③|1|y x =-,④12x y +=,其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( )(A )①② (B )②③ (C )③④ (D )①④7．图1是函数()y f x =的图象,那么图2中的图象对应的函数可能是( )椭圆形区域 等腰三角形两腰与半椭圆围成的区域 圆形区域 A B DA.(||)y f x =B. |()|y f x =C. (||)y f x =-D.(||)y f x =--8．l 平行于直线3x +4y －5 =0, 且l 和两坐标轴在第|一象限内所围成三角形面积是24,那么直线l 的方程是( )(A) 3x +4y －122 =0 (B) 3x +4y +122 =0(C) 3x +4y －24 =0 (D) 3x +4y ＋24 =09．m ,n 是两条不重合的直线,α,β,γ是三个两两不重合的平面,给出以下四个命题:①假设,,m m αβ⊥⊥那么//αβ; ②假设,,αγβγ⊥⊥那么//αβ;③假设,,//,m n m n αβ⊂⊂那么//αβ;④假设m ,n 是异面直线,,//,,//,m m n n αββα⊂⊂那么//αβ.其中真命题是( )A.①和②B.①和③C.③和④D.①和④10．设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为a ,顶点都在一个球面上,那么该球的外表积为( )(A)2a π (B)273a π (C)2113a π (D)25a π 11．假设,62ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭,那么直线2cos 310x y α++=的倾斜角的取值范围是 . ( ) (A) ,62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ (B)5,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ (C) 0,6π⎡⎫⎪⎢⎣⎭(D) 5,26ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦ 12．函数()f t 是奇函数且是R 上的增函数,假设x ,y 满足不等式22(2)(2)f x x f y y -≤--,那么22x y +的最|大值是( )C.8D.12二、填空题 (4×4 =16分 )13．函数3y x =+的值域为__________. 14．两圆(x -1)2 +(y -1)2 =r 2和(x +2)2 +(y +2)2 =R 2相交于P ,Q 两点,假设点P 坐标为(1,2),那么点Q的坐标为________.15．函数y =的值域______________________. 16．函数()f x 满足:()114f =,()()()()()4,f x f y f x y f x y x y R =++-∈,那么()2010f =_____________.三、解答题 (74分 )17．集合22{|40},{|0}A x x x B x x ax a =+==++= ,假设B A ⊆ ,求实数a 的取值范围 .18．ABC ∆的顶点A 为 (3 ,－1 ) ,AB 边上的中线所在直线方程为610590x y +-= ,B ∠的平分线所在直线方程为4100x y -+= ,求BC 边所在直线的方程．19．圆()()22:1225C x y -+-=及直线()():21174()l m x m y m m R +++=+∈⑴证明:不管m 取什么实数,直线l 与圆C 恒相交；⑵求直线l 与圆C 所截得的弦长的最|短长度及此时直线l 的方程．20．如图 ,斜三棱柱111C B A ABC -的侧面11ACC A 与底面ABC 垂直 ,∠ABC =90° ,BC =2 , 32=AC ,且C A AA 11⊥ ,11AA A C = ,求：(1 )侧面11ABB A 与底面ABC 所成的二面角的大小；(2 )顶点C 到侧面11ABB A 的距离；(3 )棱锥111BCC B A -的体积 .21二次函数f (x )满足(1)()2,f x f x x +-=且f (0 ) =1.(1) 求f (x )的解析式;(2) 在区间[]1,1-上,y = f (x )的图象恒在2y x m =+的图象上方,试确定实数m 的范围.22．〖例〗某地区地理环境偏僻 ,严重制约着经济的开展 ,某种土特产只能在本地区销售 ,该地区政府每年投资x 万元 ,所获利润为p =10)40(16012+--x 万元 .为顺应开发大西北的宏伟决策 ,该地区政府在制定经济开展十年规划时 ,拟开发这种土特产品 ,而开发前后用于该工程投资的专项财政拨款每年都是60万元 .假设开发该产品 ,必须在前五年中 ,每年从60万元专款中拿出30万元投资一条公路 ,且5年可以修通 .公路修通后该产品可以在异地销售 ,每年投资x 万元 ,可获利润Q =)60(2119)60(1601592x x -+--万元 .问从十年的总利润来看 ,该工程是否有投资的价值 .一、选择题1． C 2． B 3． C 4． D 5． B 6．B 7． C 8． C 9． D 10． B 11． B 12． C二、填空题 (4×4 =16分 )13． 3[,)2+∞； 14． (2,1)15．)+∞16． 21 三、解答题 (74分 )17．解：{0,4}A =-①B =Φ时 ,240a a ∆=-< ,即04a <<4分②B ≠Φ时 ,即{0}B =或{4}B =-或{4,0}B =-当{0}B =时 ,0a =满足题意；当{4}B =- ,{4,0}B =-时 ,不满足题意10分 综上所述：a 的取值范围是04a ≤<12分18．设11(410,)B y y - ,由AB 中点在610590x y +-=上 , 可得：0592110274611=--⋅+-⋅y y ,y 1 = 5 ,所以(10,5)B ． 设A 点关于4100x y -+=的对称点为'(',')A x y , 那么有)7,1(14131********A x y y x '⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-'+'=+-'⋅-+'.故:29650BC x y +-=． 19．解:⑴直线方程()()47112:+=+++m y m x m l ,可以改写为()0472=-++-+y x y x m ,所以直线必经过直线04072=-+=-+y x y x 和⎩⎨⎧=-+=-+04,072y x y x 解得⎩⎨⎧==1,3y x 即两直线的交点为(3,1)A 又因为点(3,1)A 与圆心()2,1C 的距离55<=d ,所以该点在C 内,故不管m 取什么实数,直线l 与圆C 恒相交. ⑵连接AC ,过A 作AC 的垂线,此时的直线与圆C 相交于B 、D .BD ,545252,5,5=-===BD BC AC 所以.即最|短弦长为54. 又直线AC 的斜率21-=AC k ,所以直线BD 的斜率为2.此时直线方程为:().052,321=---=-y x x y 即 20． (1 )过1A 作AC D A ⊥1于D ,过D 作DE ⊥AB 于E ,连结E A 1 ,那么可得⊥D A 1平面ABC ,ED A 1∠就是平面11ABB A 与平面ABC 所成二面角的平面角 ,经计算得DE =1 ,31=D A , 601=∠ED A (2 )作CH ⊥平面11ABB A ,垂足为H ,连结BH ,可得AB ⊥BH ,BH E A //1 ,ED ∥BC ,∴ 601=∠=∠ED A HBC ,从而360sin =⋅= BC CH .(3 )621111=⋅=∆-D A S V ABC C B A ABC ,634321111111111==-=----C B A ABC ABC A C B A ABC CC B A V V V V21解： (1)设2()f x ax bx c =++ ,由(0)1f =得1c = ,故2()1f x ax bx =++. 因为(1)()2f x f x x +-=,所以22(1)(1)1(1)2a x b x ax bx x ++++-++=. 即22ax a b x ++=,所以221,01a a a b b ==⎧⎧∴⎨⎨+==-⎩⎩,所以2()1f x x x =-+ (2)由题意得212x x x m -+>+在[1,1]-2310x x m -+->在[1,1]-上恒成立.设2()31g x x x m =-+-,其图象的对称轴为直线32x =,所以()g x 在[1,1]-上递减. 故只需(1)0g >,即213110m -⨯+->,解得1m <-.22．解：假设按原来投资环境不变 ,易知十年总利润的最|大值为W =10P m ax =100万元；假设对该产品进行开发 ,易知前五年总利润M =5 P m ax =58375875=⨯万元 ,设后五年x 万元 用于本地投资 ,60 -x 万元用于异地销售投资 ,那么这五年的总利润 N =4500)30(55]2119160159[5]10)40(1601[222+--=⨯+-+⨯+--X X X X ,其 最|大值为4500万元 ,所以这十年总利润的最|大值为45008375+万元 ,这远远大于 原来的100万元 ,故极具开发价值 .。
高一数学上学期期末模拟综合试题带答案
高一数学上学期期末模拟综合试题带答案一、选择题1．已知全集U =R ，{|lg 0}A x x =<，则UA（ ）A ．{|1}x x ≥B ．{|0x x ≤或1}x ≥C ．{|0 x x <或1}x >D ．{|0}x x ≤2．函数1()1f x x =-的定义域是（ ） A ．R B ．[1,)-+∞C ．[1,1)(1,)-⋃+∞D ．(,1)(1,)-∞⋃+∞3．若角θ满足条件sin cos 1θθ+<-，则θ的终边在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知角α的终边过点(,1)(0)M x x -<，且cos x α=，则x =（ ）A ．B ．C ．D ．5．在下列区间中，函数()ln 3f x x x =+-的零点所在的区间为（ ） A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,46．中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C 取决于信道带宽W ，信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比.当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升至2000，则C 大约增加了（ ）(lg 20.3010)≈ A ．10%B ．30%C ．60%D ．90%7．已知定义在[]22-,上的奇函数()f x 满足：对任意的[]12,2,2x x ∈-都有()()1212f x f x x x -<-成立，则不等式()()1140f x f x ++->的解集为（ ） A ．13,44⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．12,43⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,14⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦8．已知函数231,2()1024,2x x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若函数2()2(())()F x f x mf x =-，且函数()F x 有6个零点，则非零实数m 的取值范围是 A ．()()2,00,16⋃- B ．()216, C ．[)2,16D ．()()2,00,-+∞二、填空题9．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()1f x xx=+，则下列结论正确的是（ ）A ．当0x <时，()1x f x x=-+ B ．关于x 的不等式()()210f x f x +-<的解集为1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．关于x 的方程()13f x x =有三个实数解D ．12,x x ∀∈R ，()()212f x f x -< 10．下列结论正确的是（ ）A ．在ABC 中，AB >是sin sin A B >充要条件B ．在ABC 中，2cos sin sin B A C =，则ABC 为等腰三角形 C ．在ABC 中，cos cos a A c C =，则ABC 为等腰三角形D ．在ABC 中，2b ac =，且2sin sin sin B A C =+，则ABC 为正三角形 11．下列命题正确的有（ ）A ．若()(),y f x y g x == 均为R 上的增函数，则()()y f x g x =+ 也是R 上的增函数B ．若a b > ，则22ac bc >C ．命题“0x ∃>，使得2+ax 30ax -≥ ”的否定是“0x ∀>，使得2+ax 30ax -<”D ．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，2()2f x x x =-+，则 (0,)x ∈+∞时，函数解析式为2()2f x x x =-12．对于函数sin ,sin cos ()cos ,sin cos x x xf x x x x ≤⎧=⎨>⎩，下列四个结论正确的是（ ）A ．()f x 是以π为周期的函数B ．当且仅当()x k k ππ=+∈Z 时，()f x 取得最小值-1C ．()f x 图象的对称轴为直线()4x k k ππ=+∈ZD ．当且仅当22()2k x k k πππ<<+∈Z 时，0()f x <≤三、多选题13．已知集合{}2,3A =，{}1B x ax ==，若A B B =，则实数a 的所有可能的取值组成的集合为_________. 14．函数()()af x x a R x=+∈在[)1,2上存在零点，则实数a 的取值范围是______． 15．已知函数f （x ）=2x ，1()()()g x f x f x =-，若1()(2)()(2)h x f x tg x f x =++（t 为实数）在（0，+∞）上有两个不同的零点x 1、x 2，则x 1+x 2的取值范围为_______16．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递增.若对任意x ∈R ，不等式()()(21),f a x b f x x a b +-≥--∈R 恒成立，则222a b +的最小值是___________.四、解答题17．已知全集U =R ，集合{}2560A xx x =-+≤∣，集合{}2220B x x x =-->∣. （1）求A R，A B ；（2）若集合{30}C xx a =+>∣，满足A C C =，求实数a 的取值范围.18．设函数()sin 224f x x x m π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，x ∈R ，m R ∈（1）求函数()f x 的最小正周期及单调增区间； （2）当04x π≤≤时，()f x 的最小值为0，求实数m 的值. 19．已知函数3()1f x x =-. （1）画出函数的草图，并用定义证明函数的单调性； （2）若[]2,7x ∈，求函数的最大值和最小值.20．已知函数()log a f x x =（0a >，且1a ≠），且()31f =. （1）求a 的值，并写出函数()f x 的定义域；（2）设函数()()()11g x f x f x =+--，试判断()g x 的奇偶性，并说明理由；（3）若不等式()()42x xf t f t ⋅≥-对任意[]1,2x ∈恒成立，求实数t 的取值范围.21．已知()()()2log 2f x g x x +=-，其中()f x 为奇函数，()g x 为偶函数. （1）求()f x 与()g x 的解析式；（2）判断函数()f x 在其定义域上的单调性； （3）解关于t 不等式()()12130f t f t t -++->. 22．函数2()1ax b f x x +=+是定义在(,)-∞+∞上的奇函数，且12()25f =. （1）求实数,a b 的值.（2）用定义证明在(1,1)-上是增函数；（3）写出的单调减区间，并判断有无最大值或最小值？如有，写出最大值或最小值（无需说明理由）【参考答案】一、选择题 1．B 【解析】 【分析】首先利用对数函数的性质求出集合A ，然后再利用集合的补集运算即可求解. 【详解】R U =.{|lg 0}{|01}A x x x x =<=<<， {|0UA x x ∴=≤或1}x ≥故选：B. 【点睛】本题考查了集合的补集运算以及对数函数的性质，属于基础题. 2．C 【分析】根据函数的特点，直接列式求函数的定义域. 【详解】函数的定义域需满足1010x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得：1x ≥-且1x ≠，所以函数的定义域是[)()1,11,-+∞.故选：C 3．C 【分析】推导出sin 0θ<，cos 0θ<，由此能求出θ的终边在第几象限． 【详解】解：角θ满足条件sin cos 1θθ+<-，sin 0θ∴<，cos 0θ<，θ∴的终边在第三象限．故选：C ． 4．C 【分析】先求出点(,1)(0)M x x -<到坐标原点的距离r ，再利用三角函数的定义cos x r α==即可求解. 【详解】设r OM ==由三角函数的定义可得：cos xrα=， 整理可得：213x +=， 因为0x <，所以x = 故选：C 5．C 【分析】先判断()ln 3f x x x =+-的单调性，利用零点存在定理判断根所在的区间. 【详解】()ln 3f x x x =+-在0+∞（，）是增函数， 而()()()1ln113=-2<0,2ln 223=ln 21<0,3ln333=ln3>0,f f f =+-=+--=+-(2)(3)0f f ∴⋅<根据零点存在定理，可得函数()ln 3f x x x =+-的零点所在的区间为()2,3. 故选：C 【点睛】判断函数零点所在的大致区间的方法如下：若函数()y f x =在闭区间[a,b ]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号不同，即()()0f a f b ⋅≤，则在区间[a,b ]内，函数()y f x =至少有一个零点，即相应的方程()0f x =在区间[a,b ]内至少有一个实数解。
高一数学第一学期期末模拟试题 含答案
（Ⅱ）所求多面体体积 V V长方体 V正三棱锥 4 4 6 2 2 2 20. 解： （Ⅰ）因为 N 是 PB 的中点，PA=AB, 所以 AN⊥PB. 因为 AD⊥面 PAB, 所以 AD⊥PB. 从而 PB⊥平面 ADMN.
1 1 3 2
但 a 1 时，
1 ax － 1 ，不合题意舍去， ∴ a 1 ； x 1
1＋x 设 1＜x1＜x2 ，∴x2－x1＞x1－x2 2 x 1
（2）
由第 1 小题结论： f ( x) log 1
∴
f ( x1 ) f ( x2 ) log 1
1＋x1 x2 1 1＋x1 1＋x2 log 1 log 1 2 x1 1 2 x2 1 2 x1 1 1＋x2
x
Biblioteka 18.如图 6，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E、F 为棱 AD、AB 的中点． （1）求证：EF∥平面 CB1D1； （2）求证：平面 CAA1C1⊥平面 CB1D1． D1 A1 B1
C1
E A
D F 图6 B
C
19．如下的三个图中，左面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和 侧视图在右面画出（单位：cm） 。 （1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； （2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；
∴ f ( x) 是（1，+ ）上的增函数
1 x 1 （ 3 ） 依 题 意 ： m log 1 ( 4] 上 恒 成 立 ， 由 第 2 小 题 结 论 可 知 ) ( ) x 在 [3， x 1 2 2
1 x 1 x 1 x 1 u ( x ) log ( ) ( ) 在 [3， u( x) log 1 ( ) ( ) x 在 [3， 1 4] 上单调递增，∴ 4] 上 x 1 2 x 1 2 2 2
2010-2011学年第一学期高一数学试卷
2010-2011学年第一学期高一数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合M ＝﹛x |－3＜x ≤5＝,N ＝﹛x |x ＜－5或x ＞5＝， 则M N ＝A ﹛x |x ＜－5或x ＞－3﹜B ﹛x |－5＜x ＜5﹜C ﹛x |－3＜x ＜5＝D ﹛x |x ＜－3或x ＞5＝2.已知全集U R =，则正确表示集合{1,0,M =-和{}2|0N x x x =+=关系的韦恩（Venn ）图是3. sin(600ο-)= ( )A. 12B. 32C. -12D. -324．集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16A B = ,则a 的值为A.0B.1C.2D.4 5．设2:x x f →是集合A 到集合B 的映射，如果B ＝{1，2}，则A ∩B 一定是A ．φB ．φ或{1}C ．{1}D ．φ6. 已知753()2f x ax bx cx =-++，且(5),f m -= 则(5)(5)f f +-的值为A ． 4B ． 0C ．2mD ． 4m -+7.若sin 0α<且tan 0α>是，则α是（ ）A ． 第一象限角B ． 第二象限角C ． 第三象限角D ． 第四象限角8.二次函数2y ax bx c =++中，0a c ⋅<，则函数的零点个数是A.0个B.1个C.2个D.无法确定9.如果 1(),1x f x x=-则当0x ≠且1x ≠时， ()f x =A.1xB.11x -C.11x - D 11x-10.已知函数1)()(32+-+=x a a ax x f 在]1,(--∞上递增，则a 的取值范围是 A.3≤a B.33≤≤-a C.30≤<a D.03<≤-a11．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x --<的解集为（ ） A ．(10)(01)- ，， B ．(1)(01)-∞- ，， C ．(1)(1)-∞-+∞ ，， D ． (10)(1)-+∞ ，， 12.定义在R 上的函数)1(+=x f y 的图象如右图所示．给出如下命题：①)0(f =1；②1)1(=-f ；③若0>x ，则0)(<x f ；④若0<x ，则0)(>x f ，其中正确的是A 、②③B 、①④C 、②④D 、①③二、填空题 (本题共4小题，每小题4分，共16分。
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2010年第一学期南模中学高一数学期末测试
一、填空题（每题3分，共30分）
1、设22{|3,},{|3,}M y y x x R N y y x x R ==-∈==+∈，则M N = 。
2、函数y =的定义域为 。
3、函数222x x y -=的单调递减区间是 。
4、已知函数()y f x =的反函数为11()2x f x --=，则(8)f 等于 。
5、已知函数21(0)()2(0)
x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，若()17f x =，则x = 。
6、若正实数,a b 满足41a b +=，则ab 的最大值为 。
7、函数2()23f x x ax =--在区间[]1,2上存在反函数的充要条件是a ∈ 。
8、函数21()()12f x x =--+，则方程1()()2x f x =的实数根的个数是 。
9、已知()f x 是定义域为{|0}x x R x ∈≠且的偶函数，在区间(0,)∞上是增函数，若(1)(lg )f f x <则x 的取值范围是 。
10、函数2
()4f x x x =-+在[],m n 上的值域是[]5,4-，则m n +的取值所成的集合为 。
二、选择题（每题3分，共21分）
11、与命题：“若a M ∈，则b M ∉”等价的命题是（ ）
A 若a M ∉，则b M ∉
B 若b M ∉，则a M ∈
C 若a M ∉，则b M ∈
D 若b M ∈，则a M ∉
12、函数2
1(0)y x x =-≤反函数是（ ）
A 1)y x =
≥- B 1)y x =≥-
C 0)y x ≥
D 0)y x =≥
13、下列函数中式偶函数，且又在区间(,0)-∞上是增函数的是（ ）
A 2y x x =-
B 6
5y x -
= C 1(4x y -= D 6
53log x y = 14、函数31x y =- （ ） A 在(,)-∞+∞上单调递减
B 在(,0)-∞上是减函数，在(0,)+∞上是增函数
C 在(,0)-∞上是增函数，在(0,)+∞上是减函数
D 在(,1)-∞上是减函数，在(1,)+∞上是减函数
15、为了得到函数3lg 10
x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有的点（ ） A 向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B 向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C 向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D 向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
16、方程1lg x x -=必有一个根的区间是 （ ）
A (0.1,0.2)
B (0.2,0.3)
C (0.3,0.4)
D (0.4,0.5)
17、有限集合S 中元素的个数记作()card S ,设,A B 都为有限集合，给出命题：
（1）A B =Φ 的充要条件是()()()card A B card A card B =+
（2）A B ⊆的必要条件是()()card A card B ≤
（3）A B ⊄的充要条件是()()card A card B ≤
（4）A B =的充要条件是()()card A card B =。
其中真命题的序号是（ ）
A （3）（4）
B （1）（2）
C （1）（4）
D （2）（3）
三、解答题（本大题91010101049++++=分，共5小题）
18、若函数()2
p p f x x x =-
+在(1,)+∞上是增函数，求实数p 的取值范围。
19、当x 在实数集R 上任取值时，函数()f x 相应的值等于2,2,2x x -三个之中最大的值。
（1）求(0)f 与(3)f 。
（2）画出()f x 的图像，写出()f x 的解析式。
（3）利用偶函数的定义证明：()f x 是偶函数。
20、已知二次函数2()f x ax bx c =++，不等式()2f x x >-的解集为(1,3)，且方程()60
f x a +=有两个相等的实根，求()f x 的解析式。
21、设函数(),()f x ax g x x a ==-，常数0a >。
（1）当2a =时，解关于x 的不等式()()f x g x >
（2）记()()()F x f x g x =-，若()F x 在(0,)+∞上有最大值，求a 的取值范围。
20、已知函数21()log 0,2a f x x a a ⎛
⎫=>≠ ⎪⎝⎭
， （1）若122010(.....)8f x x x =，求222122010()().......()f x f x f x +++的值。
（2）当(1,0)x ∈-时，()(1)0g x f x =+>，求a 的取值范围。
（3）若()(1)g x f x =+，当动点(,)p x y 在()y g x =的图像上运动时，点,32x y M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数()y H x =的图像上运动，求()y H x =的解析式。