假期作业练习19

假期作业 练习１91、 32；2、必要补充分 ；3、21；4、31；5、38 ；6、①④ ；7、43；8、16； 9、()1,12- ；10、 ②； 11、-3 ； 12、(]5,4； 13、 13 ； 14、1-≤a ；高二年级暑期作业理科数学试题5一、填空题：1．函数 x x y cos 3sin 3+=的最大值为 1、 32； 2．“11x<”是“ lg 0x >成立”的 条件(填人“充分不必要’’或“必要不充分，，或“充要”或“既不充分也不必要”)． 2、必要补充分 ；3．若 i z i a z 21,21-=+=，且 R z z ∈21，其中i 为虚数单位．则实数 a 的值为 ． 3、21；4．若{}2,1,0,∈b a ，则关于x 的方程0222=+-b ax x 有两个相异实数根的概率为 ．4、31；5．有100辆汽车在一个时段经过某一雷达测速区，这些汽车运行时速的频率分布直方图如图所示，则时速超 过60 km ／h 的汽车数量约为 辆． 5、38 ；6．下列四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点， M 、N 、P 为正方体的顶点或为其所在棱的中点，则能得 出AB ∥平面MNP 的图形的序号是 ． 6、①④ ；7.在等腰三角形ABC 中，∠C=90°,过点C 任作一条射线与斜边AB 交于一点M ， 则AM 小于AC 的概率为 7、43；8．某算法的伪代码如下图所示，则输出的结果是 ． 8、16；9．已知21F 、F 分别是椭圆()222210x y a b a b+=>> 的左、右焦点，过F 1作垂直于x 轴的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2为锐角三角形，则双曲线的离心率e 的范围是 ． 9、()1,12- ；10．右图是某公交线路收支差额y ，与乘客量x 之间的关系图(收支差额=车票收入+财政补贴一支出费用．假设财政补贴和支出费用与乘客量无关)．在票价听证会上，市民代表提出“增加财政补贴，票价实行8折优惠”的建议．则下列四个图中反映了市民代表建议的是 (虚线表示调整后y 与x 的关系图)． 10、 ②；11．已知扇形OAB 的半径为2，圆心角∠AOB=120°，点C 是弧AB 的中点，21-= ，则⋅的值为 ．11、-3 ；12．记不等式34x b -< 的解集为A ，若集合Z A 中有且只有三个元素， 则实数b 的取值范围为 ． 12、(]5,4；13．对大于1的自然数m 的三次幂，可用奇数进行以下方式的拆分： 23=3+533=7+9+11 43=13+15+17+19 …若159在m 3的拆分中，则m 的值为 ． 13、 13 ；14．已知函数 ()12++=x ax x f ，若对于任意的m ∈(一2，2)，都存在实数x 使得()mx f =成立，则实数a 的取值范围为 ． 14、1-≤a ；二、解答题：15． 在ABC ∆中，已知222c ab b a =++求：1)角C 的大小； (2) ()B A B A --sin cos sin 2的值．15 解：（1）将1cos 2cos 2 222222=-=-+=++C c C ab b a c ab b a ，比较得与 21cos -=C 20,3C C ππ<<∴=(2)由（1）及3,ππ=+=++B A C B A 得()()233sin sin sin cos cos sin B -A sin sinAcosB 2==+=+=-πB A B A B A 即16．已知四棱锥P--ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，∠DAB=90°， PA ⊥底面ABCD ，且 PA=AD=DC= AB 21，E 、M 分别是边PD 、PC 的中点． (1)求证：AE ⊥面PCD 。

(2)在线段AB 上求一点N ，使得MN ∥面PDA ．16.证明；（1）DE PE AB DC AD PA ====,21PDC AE D PD CD PDC AE CD PAD AE PAD CD A AD PA AD CD DAB DC AB CDPA ABCD CD ABCD PA PDAE 面内在面，面又面面面⊥∴=⊥∴⊂⊥∴=⊥∴=∠⊥∴⊂⊥⊥∴,,,,,90,//,,0（2）存在点N 为线段AB 上靠近点A 的四等分点PDA MN PDA MN PDA AE AE MN ANME AN EC CD AN CD ME CD ME PC PD M E CD AB AN 面，即面，面，为平行四边形四边形，又且的中点、分别是边、又//.////////,21,2141⊄⊂∴∴∴=∴==17．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 的圆心在第二象限，在y 轴上截得的弦长为4且与直线y=x 相切于坐标原点O ．椭圆()222109x y a a +=> 与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10． (1)求圆C 的方程；(2)若圆C 上存在异于原点的点Q ，使点Q 到椭圆 右焦点F 的距离等于线段OF 的长，请求出点Q 的坐标．17.解：（1）∵圆C 的圆心在第二象限，且与直线y=x 相切与坐标原点O, 故可设圆心为（-m,m ）(m ＞0)∴圆C 的半径为()()2222,2m m y m x C m =-++∴的方程为圆令x=0,得 y=0,或y=2m∵圆C 在y 轴上截得的弦长为4. ∴()()8222..40222=-++==-y x C m m 的方程为故圆（2）由条件可知()的中垂线上。

在即椭圆方程为OQ F F y x a ,0,4,1925522∴=+=又O,Q 在圆C 上，所以O,Q 关于直线CF 对称；直线CF 的方程为()0432312=-++-=-y x x y 即设()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=042323,y x x yy x Q 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==512,54y x 解得故Q 点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛512,5418．某公司为了应对金融危机，决定适当进行裁员．已知这家公司现有职工2m 人(60<m<500，且m 为10的整数倍)，每人每年可创利100千元．据测算，在经营条件不变的前提下，若裁员人数不超过现有人数的20％，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利1千元；若裁员人数超过现有人数的20％，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利2千元．为保证公司的正常运转，留岗的员工数不得少于现有员工人数的75％．为保障被裁员工的生活，公司要付给被裁员工每人每年20千元的生活费．问：为了获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人?18.解：设公司裁员人数为x,获得的经济效益为y 元， 则由题意得当()()1022100205x m y m x x x <≤⨯=-+-时。

()()212210022054m x m y m x x x ≤≤⨯=-+-当时，① ②由①得对称轴 600,x m =->21206060100608036005m m m x m y y m m <-≤<≤=-=++当，即时，时，取得最大值 2221000.641525m x m y y m m >==+当时，时，取得最大值由②得对称轴30-=m x160500,302m m m <<∴->m m y y mx 1405.1223+==取得最大值时，当 ()22231601000.56036000.56054000.5120540018000m y y m m m <≤-=+-=+->⨯-=> 当时，()23231005000.86120.86120,60m 500m y y m m m m y <<-=-=-<< 当时，即当时，最大()[]()[],,2152,2003022520,20060222⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≤+---∈≤+---=∴N x m x m m x m x N x m x m x m x y 且即当公司应裁员数为m 21，即原有人数的41时，获得的经济效益最大。

(2)设 n n S a a a 21n ,S 求+⋅⋅⋅++=，求n S 2；(3)设 ()a a c n nn ,12-=λ为大于零的实数，n T 为数列{}n C 的前n 项和，问是否存在实数 λ，使得对任意正整数n ，都有2n a T a << ? 若存在，求λ 的取值范围；若不存在，说明理由．(2)设 n n S a a a 21n ,S 求+⋅⋅⋅++=，求n S 2；(3)设 ()a a c n nn ,12-=λ为大于零的实数，n T 为数列{}n C 的前n 项和，问是否存在实数 λ，使得对任意正整数n ，都有2n a T a << ? 若存在，求λ 的取值范围；若不存在，说明理由．19.解：（1）2231111cos 2sin 2123322a a a ππ⎛⎫=-+=+=+= ⎪⎝⎭ 3423231122sin 222cos 31122224=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a a a ππ 一般地，2212sin 2212cos 31112212212+=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--+n n n a n a n a π 即12+n a -12-n a =2即数列｛12-n a ｝是以11=a ，公差为2的等差数列。

1212-=∴-n a nn n m a n a n a 2222223222sin 222cos 311=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+ππ 又 即数列｛n a 2｝是首项为22=a ，公比为32的等比数列 112232232--⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴n n n a a ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈=⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-==*-*N m m n N m m n n a n n ,2,322,12,22综上可得 （2）()()n n n n n a a a a a a a a a a S 2421231212212+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅⋅++=--()[]⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅++=-132********n n nn ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+=32662（3）()()()()111246242121233n n n n n T a a a a λλ---⎡⎤⎛⎫⎡⎤=--+-⋅⋅⋅+-=--+⋅⋅⋅+-⋅⋅⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n 321156λ 注意到对任意自然数()2,1103nn n ⎛⎫--⋅> ⎪⎝⎭ 要对任意自然数n 及正数a ，都有2,0n a T a λ<<<则必有此时，对任意自然数n ，21,T T T T n n ≥≤22222132,2322n a a T a a T a a T a a λλλλ⎧<-⎧⎪<<-⎧⎪⎪∴<<⎨⎨⎨>⎩⎪⎪>->-⎩⎪⎩等价于，即 22233,,;2203n n a a a n a T a a n a T a λλ⎛⎫∴>∈--<< ⎪⎝⎭≤≤<<当时，存在实数使得对任意正整数都有当时不存在实数，使得对任意正整数都有20．已知函数 ()()21,,f x a x lnx a R =-+∈；1)当 1=a 时，判断函数，()x f 的单调性并写出其单调区间；2)若函数，()x f 的图象与直线y = x 至少有一个交点，求实数a 的取值范围； 3)证明：对任意的n ∈N*都有()2111ni i ln n i --+>∑ 成立．20．已知函数 ()()21,,f x a x lnx a R =-+∈；1)当 1=a 时，判断函数，()x f 的单调性并写出其单调区间；2)若函数，()x f 的图象与直线y = x 至少有一个交点，求实数a 的取值范围； 3)证明：对任意的n ∈N*都有()2111ni i ln n i--+>∑ 成立．20解：（1）()()()∞++-==，其定义域为时，当0,112Inx x x f a ()22112122122220x x x f x x x x x⎛⎫-+ ⎪-+⎝⎭'=-+==> ()()∞+∴.0为为增函数，单调增区间函数z f ()()()()()上至少有一解在区间由题意得方程设+∞=-+-=,00.122x g x Inx x a x g ()()()()上单调递减，，上单调递增，在，在故时，若∞+-='=110,10x g xx x g a ()()max 110g x g ∴==-<∴方程()0=x g 无解()()()()()xx ax x x a ax x x a x g a 11211221122.02--=++-=-+-='≠若 ()1,21021==='x ax x g 得令 ①()()()1100,10, 1.22a g x x g x x x a a ⎛⎫⎛⎫''<>∈<∈-∞∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，由得，由得或 ()()()+∞∈∴,11,0，减区间为的单调增区间为x x g ()()()max 110,0g x g g x ==-<∴=方程无解②()()111001,,1222a g x a a ⎛⎫⎛⎫<<+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，可得的单调增区间为，，单调减区间为， ()111002g g a ⎛⎫∴=-<< ⎪⎝⎭极大值为，极小值为 ，1132a a +> 211113233g a In a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭又 1114433a In a a a⎛⎫=++++-- ⎪⎝⎭ 13410In a a ⎛⎫=+++> ⎪⎝⎭ 11302g g a a ⎛⎫⎛⎫∴⋅+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()0g x ∴=方程恰好有一解 ③()()为增函数，函数时，当x g x g a ∴≥'=,021 由②()g x 得方程也恰好有一解 ④()()1110,,1.,,1,222a g x a a ⎛⎫⎛⎫>+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，的单调增区间为减区间为 同上可得方程()0=x g 在()+∞,0上至少有一解。