江苏省连云港市赣榆县智贤中学2015-2016学年高二上学期数学小题训练019
江苏省赣榆高级中学2015-2016学年高二数学5月阶段检测试题(选修历史)
某某省赣榆高级中学2014级高二年级5月月考数学试题（选修历史）一、填空题:（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1.已知集合{}213M x x =-<，集合{}13N x x =-<<，则MN =． 2.复数11-=i z 的模为. 3.命题“若0xy =，则0x =或0y =”的否命题为.4.已知函数)(x f 满足)1()1(-=+x f x f ，则函数)(x f 的最小正周期为.5.已知函数)(x f 与)(x g 分别是奇函数和偶函数，且xe x g xf =-)()(，则函数)(x f 的解析式为.6.对于函数(),y f x x R =∈，“()y f x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的_________条件.7.函数)(x f 的定义域是]1,1[-，则函数)1(x f -的定义域为．8.设函数|||1|)(a x x x f -++=的图象关于直线1=x 对称，则实数a 的值为.9.设4.0log ,3.0log ,2.02.02.11.0===-c b a ，则c b a ,,按由小到大的顺序用“＜”连接为．10.已知()x x f x e=，定义()()()()()()'''1211,,,n n f x f x f x f x f x f x +===⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ，经计算()()()123123,,,,x x x x x x f x f x f x e e e ---=== 照此规律，则=)1(2016f . 11.已知函数),(4sin )(3R b a x b ax x f ∈++=,5))10(lg(log 2=f ,则=))2(lg(lg f . 12.对于三次函数d cx bx ax x f +++=23)(，定义)(''x f y =是函数)('x f y =的导函数，若方程0)(''=x f 有实数解0x ，则称点))(,(00x f x 为函数)(x f y =的“拐点”．通过研究发现：任何一个三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心．若233)(x x x f -=，求=+++)20164031()20163()20162()20161(f f f f ． 13.函数⎩⎨⎧≥=1,)(x a x f x ，0(>a 且)1≠a 在),(+∞-∞上不是单调函数．．．．．．，则实数a 的取值X 围是．14.已知函数),0(|sin |)(R k x kx x x f ∈≥-=有且只有三个零点，设此三个零点中的最大值为0x ，则=+02002sin )1(x x x ． 二、解答题：（本大题共6小题，共90分）15.(本题满分14分)若函数14)(,2)(2-=+=x x g x x f 的定义域都是集合A ，函数)(x f 和)(x g 的值域分别为S 和T ．(1)若]2,1[=A ，求T S C R )(；(2)若],0[m A =，且T S ⊆，某某数m 的取值X 围；16. (本题满分14分)设命题:p 函数()()22lg 4f x x x a =-+的定义域为R ；命题[]:1,1q m ∀∈-，不等式253a a --≥p q ∨”为真命题，且“p q ∧”为假命题，某某数a 的取值X 围.17. (本题满分14分)已知函数n mx x x f ++=2)(的图象过点)3,1(，且)1()1(x f x f --=+-对任意实数都成立，2)(2+-=x x g ． (1)求)(x f 的解析式；(2)若)(λ)()(x f x g x F -=在]1,1(-上是增函数，某某数λ的取值X 围．18.(本题满分16分)某种出口产品的关税税率t ，市场价格x (单位:千元)与市场供应量p (单位:万件)之间近似满足关系式：2))(1(2b x kt p --=，其中b k ,均为常数．当关税税率为75%时，若市场价格为5千元，则市场供应量约为1万件；若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件．(1)试确定b k ,的值；(2)市场需求量q (单位:万件)与市场价格x 近似满足关系式：x q -=2．当q p =时，市场价格称为市场平衡价格．当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值．19.(本小题满分16分）若在定义域内存在实数0x ，使得)1()()1(00f x f x f +=+成立，则称函数有“飘移点”0x ．(1)函数xx f 1)(=是否有“飘移点”？请说明理由； (2)证明函数22)(x x f x +=在)1,0(上有“飘移点”；(3)若函数)1lg()(2+=x a x f 在),0(+∞上有“飘移点”，某某数a 的取值X 围．20.(本小题满分16分）已知函数)1ln()(+-=x x x f ，x x x g -=2)(. (1)若函数()f x 在区间(,1)a a +上有极值，某某数a 的取值X 围；(2)若关于x 的方程k x x f +--=1)(2有实数解，某某数k 的取值X 围； (3)令)()()(x g x f x h +=，对任意正整数n ，试比较∑=nk k h 1)1(与333131211n ++++ 的大小.某某省赣榆高级中学2014级高二年级5月月考数学试题（选修历史）参考答案一、填空题:（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1.()1,2- ；2. 22； 3.若0xy ≠，则0x ≠且0y ≠； 4. 2； 5.2)(xx e e x f --=； 6. 必要不充分条件； 7.]2,0[； 8. 3； 9.a c b <<； 10. e2015-； 11. 3； 12. -8062 13.),1()21,0(+∞ ； 14.21. 二、解答题：（本大题共6小题，共90分）15.解：(1)可得，]7,3[],6,3[==T S ， -------------------2分),6()3,(+∞-∞=∴ S C R ， ------------------4分所以]7,6()(=T S C R ； ------------------6分(2)可得，]2,2[2+=m S ，]14,1[--=m t ， ----------------10分 T S ⊆ ,1422-≤+∴m m ， ----------------12分0342≤+-∴m m ，可得31≤≤m . ---------------14分16. 解： 命题“p q ∨”为真命题，且“p q ∧”为假命题,p q ∴一真一假. -------------------2分 若p 真:函数()()22lg 4f x x x a =-+的定义域为R ，216402a a ∴∆=-<⇒<-或2a >； -------------------6分 若q 真：83522+≥--m a a 恒成立，(22max5383a a m ∴--≥+=，25601a a a ∴--≥⇒≤-或6a ≥.------------10分 若p 假q 真，则;12-≤≤-a若p 真q 假，则.62<<a综上所述：[]()2,12,6a ∈--. -------------------14分17. 解：(1)由)1()1(x f x f --=+-，得函数)(x f 对称轴为1-=x ，-------------------2分又函数)(x f 的图像过点)3,1(，⎪⎩⎪⎨⎧-=-=++∴1231m n m ，⎩⎨⎧==∴02n m ， x x x f 2)(2+=∴. -------------------6分(2)∵)(λ)()(x f x g x F -=22)1(2+-+-=x λx λ， 当01λ=+，即1λ-=时，22)(+=x x F 显然在]1,1(-上是增函数．-------------------8分当01λ≠+时，)(x F 的对称轴为1+-=λλx ， 又∵)(x F 在]1,1(-上是增函数． ⎪⎩⎪⎨⎧-≤+-<+∴1101λλλ，得1λ-<； -------------------10分或⎪⎩⎪⎨⎧≥+->+1101λλλ，得211-≤<-λ. -------------------12分综上所述，λ的取值X 围为]21,(--∞． -------------------14分18.解：（1）由已知可得：⎪⎩⎪⎨⎧==----22)7)(75.01()5)(75.01(2221b k b k ，⎪⎩⎪⎨⎧=--=--∴1)7)(75.01(0)5)(75.01(22b k b k ， 解得：.1,5==k b -------------------6分（2）当q p =时，x x t ---=222)5)(1(，)40(≤<x ， -------------------8分x x t -=--∴2)5)(1(，102511)5(12-++=-+=∴x x x x t ，而x x x f 25)(+=在]4,0(上上单调递减， -------------------12分 ∴当4=x 时，)(x f 有最小值.441 -------------------14分 此时t 取得最大值5，故当4=x 时，关税税率的最大值为500%.-------------------16分19.解:(1)假设函数1()f x x=有“飘移点”0x ，则001111x x =++即20010x x ++=由此方程无实根，矛盾，所以函数1()f x x =没有飘移点. ------------------4分 (2)令1()(1)()(1)2(21)x h x f x f x f x -=+--=+-,又(0)1,(1)2,(0)(1)0h h h h =-=∴<， ------------------8分 所以0)(=x h 在)1,0(内至少有一个实数根0x ,即函数22)(x x f x +=有“漂移点”.--10分(3)若函数)1lg()(2+=x a x f 在),0(+∞上有“飘移点”0x ， 即有2lg 1lg 1)1(lg 22a x a x a ++=++成立，即211)1(2020a x a x a ⋅+=++ 整理得()20022220a x ax a --+-=， 从而关于x 的方程2()(2)2220g x a x ax a =--+-=在(0,)+∞上应有实数根0x ， 注意：.0>a ------------------12分当2a =时，方程的根为12-，不符合要求00x >； ------------------13分 当02a <<时，由于函数()g x 的对称轴02a x a =>-， 可知，只需要244(2)(22)0a a a ---≥,所以3535a -≤≤+，从而352a -≤<； -----------------14分 当2a >时，由于函数()g x 的图像开口向下，对称轴02a x a=<-，纵截距220a -<， 此时方程无正根. ------------------15分 综上，所以a 的取值X 围是352a <. ------------------16分20.解：(1)1111)('+=+-=x x x x f ，)1(->x ， ------------------1分 当)0,1(-∈x ，0)('<x f ，)(x f 递减；当),0(+∞∈x ，0)('>x f ，)(x f 递增，∴当0=x 时，函数()f x 取得极小值， ------------------3分 而函数()f x 在区间(,1)a a +有极值.∴⎩⎨⎧>+<010a a ，解得01<<-a . --------------------5分 (2)法一：由(1)得()f x 的最小值为0)0(=f ，令k x x g +--=1)(2，所以当0=x 时，函数()g x 取得最大值1-k ，---------7分 又因为方程k x x f +--=1)(2有实数解，那么01≥-k ，即1≥k ， 所以实数k 的取值X 围是：1≥k . ------------------10分 法二：k x x f +--=1)(2，,1)1ln(2++-+=∴x x x k ， 令,1)1ln()(2++-+=x x x x h ，所以1)23(21112)('++=+-+=x x x x x x h ，---------7分 当0=x 时，()0h x '=当)0,1(-∈x 时，()0h x '<；当),0(+∞时，()0h x '>，∴当0=x 时，函数()h x 取得极小值为1)0(=h ，∴当方程k x x f +--=1)(2有实数解时，1≥k . ------------------10分(3)令),1ln()()(233+-+-=-=x x x x x h x F ,01)1(3)(23'<+-+-=x x x x F )(x F 在),0(+∞减， ------------------12分 ,0)0()(=<∴F x F 3)(x x f <∴，31)1(kk f <∴， ------------------14分 <∴∑=n k k f 1)1(333131211n ++++ . ------------------16。
江苏省连云港市2015-2016学年度高三年级第一次模拟考试数学试卷
连云港市2015-2016学年度高三年级第一次模拟考试数 学Ⅰ一、填空题1．已知集合},0{a A =，}3,1,0{=B ，若}3,2,1,0{=B A ，则实数a 的值为 ． 2．已知复数z 满足42-=z ，若z 的虚部大于0，则=z ．3．交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度在h km /9050-的汽车中抽取150辆进行分析，得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在h km /70以下的汽车有 辆． 4．运行如图所示的伪代码，则输出的结果S 为 ．）5．函数)sin(2)(ϕω+=x x f )0(>ω的部分图像如图所示，若5=AB ，则ω的值为 ． 6．若随机安排甲乙丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲与丙都不在第一天的概率的概率的概率为 ．7．抛物线x y 42=的焦点到双曲线191622=-y x 渐近线的距离为 ． 8．已知矩形ABCD 的边4=AB ，3=BC 若沿对角线AC 折叠，使得平面DAC ⊥平面BAC ,则三棱柱ABC D -的体积为 ．9．若公比不为1的等比数列}{n a 满足13)(log 13212=⋯a a a ，等差数列}{n b 满足77a b =，则1321b b b +⋯++的值为 ．10．定义在R 上的奇函数)(x f 满足当0≥x 时，b x a x x f +-++=)1()2(log )(2（a ，b 为常数），若1)2(-=f ，则)6(-f 的值为 ．11．已知2||||==OB OA ，且1=⋅，若点C 满足1||=+CB OA ，则||OC 的取值范围是 ．12．已知函数⎩⎨⎧<-≥+=0)(0cos 2)(x x a x x x x x f ，若关于x 的不等式π<)(x f 的解集为)2,(π-∞，则实数a 的取值范围是 ．13．已知)1,0(A ，)0,1(B ，)0,(t C ，点D 是直线AC 上的动点，若BD AD 2≤恒成立，则最小正整数t 的值为 ．14．设c b a ,,是正实数，满足a c b ≥+，则ba cc b ++的最小值为 ． 二、解答题15．在锐角三角形ABC 中，角C B A ,,的对边为c b a ,,，已知53sin =A ，21)tan(-=-B A ， （1）求B tan ； （2）若5=b ，求c .16．如图，在四棱锥ABCD P -中，已知底面ABCD 为矩形，⊥PA 平面PDC ,点E 为棱PD 的中点，求证：（1）//PB 平面EAC ；（2）平面⊥PAD 平面ABCD .17．如图，OA 是南北方向的一条公路，OB 是北偏东045方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线C ．为方便游客光，拟过曲线C 上的某点分别修建与公路OA ,OB 垂直的两条道路PN PM ,，且PN PM ,的造价分别为5万元/百米，40万元/百米，建立如图所示的直角坐标系xoy ，则曲线符合函数)91(242≤≤+=x xx y 模型，设x PM =，修建两条道路PN PM ,的总造价为)(x f 万元，题中所涉及的长度单位均为百米. （1）求)(x f 解析式;（2）当x 为多少时，总造价)(x f 最低？并求出最低造价．OPABCDE18．已知各项均为正数的数列}{n a 的首项11=a ，n S 是数列}{n a 的前项和，且满足：).0(*1111N n a a a a S a S a n n n n n n n n ∈≠=-+-++++λλ.（1）若1a ，2a ，3a 成等比数列，求实数λ的值; （2）若21=λ，求n S .19. 如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率21=e ，左顶点为)0,4(-A ，过点A 作斜率为)0(≠k k 的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E .（1）求椭圆C 的方程;（2）已知P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的)0(≠k k 都有EQ OP ⊥，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在说明理由;（3）若过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求OMAEAD +的最小值.20．已知函数]42)4(231[)(23--++-=a x a x x e x f x，其中R a ∈，e 为自然对数的底数 （1）若函数)(x f 的图像在0=x 处的切线与直线0=+y x 垂直，求a 的值． （2）关于x 的不等式xe xf 34)(-<在)2,(-∞上恒成立，求a 的取值范围． （3）讨论)(x f 极值点的个数．x附加题部分21．【选做题】A ．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，PAQ ∠是直角，圆O 与射线AP 相切于点T ，与射线AQ 相交于两点,B C ．求证：BT 平分OBA ∠．B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，求矩阵A 的特征值和特征向量．C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为28sin()1303πρρθ--+=，已知33(1,),(3,)22A B ππ，P 为圆C 上一点，求PAB ∆面积的最小值．D ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分） 设,x y 均为正数，且x y >，求证：2212232x y x xy y +≥+-+．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤． 22.（本小题满分10分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ∆是直角三角形，1AB AC ==，点P 是棱1BB 上一点，满足1(01)BP BB λλ=≤≤．（1）若13λ=，求直线PC 与平面1A BC 所成角的正弦值； （2）若二面角1P AC B --的正弦值为23，求λ的值．23.（本小题满分10分）已知数列{}n a 满足21211132,(),()()(1)n na n f n g n f n f n a a a =-=+++=--，*n N ∈． （1）求证：1(2)3g >；（2）求证：当3n ≥时，1()3g n >．连云港市2015-2016学年度高三年级第一次模拟考试数学I 参考答案及评分标准一、填空题1. 2；2. 2i ； 3．75； 4．9； 5．3π； 6.13； 7．35； 8. 245； 9．26； 10. 4； 11．； 12．()-∞+；13．4； 14.12．二、解答题15．（1）在锐角三角形ABC 中，由3sin 5A =，得4cos 5A ， …………2分所以sin 3tan cos 4A A A ==.……………………………………………………………4分由tan tan 1tan()1tan tan 2A B A B A B --==-+⋅，得tan 2B =. ………………7分（2）在锐角三角形ABC 中，由tan 2B =，得sin B =，cos B =，……9分所以sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=11分由正弦定理sin sin b c B C =，得sin 11sin 2b Cc B ==. ………………14分16．(1) 连接BD 与AC 相交于点O ，连结OE ．………2分因为四边形ABCD 为矩形，所以O 为BD 中点． 因为E 为棱PD 中点，所以PB ∥OE ．………4分 因为PB ⊄平面EAC ，OE ⊂平面EAC ，所以直线PB ∥平面EAC ．……………………6分(2) 因为P A ⊥平面PDC ，CD ⊂平面PDC ，所以 P A ⊥CD ． …………………8分因为四边形ABCD 为矩形，所以AD ⊥CD ．…………………………………10分 因为 P A ∩AD ＝A ，P A ，AD ⊂平面P AD ，所以 CD ⊥平面P AD ．…………12分 因为CD ⊂平面ABCD ，所以 平面P AD ⊥平面ABCD ． …………………14分17． (1)在如图所示的直角坐标系中，因为曲线C的方程为)2=+19y x x x ≤≤，PM x = 所以点P坐标为,x x ⎛+ ⎝⎭，直线OB 的方程为0x y -=， ……………………………………………………2分OPABCDE则点P 到直线0x y -=24x ==，………………4分又PM 的造价为5万元／百米，PN 的造价为40万元／百米． 则两条道路总造价为()22432()540519f x x x x x x ⎛⎫=+⋅=+ ⎪⎝⎭≤≤． …………8分 (2) 因为22432()5405f x x x x x ⎛⎫=+⋅=+ ⎪⎝⎭， 所以 333645(64)()=51x f x x x -⎛⎫'-= ⎪⎝⎭， ………………………10分 令()0f x '=，得4x =，列表如下：所以当4x =时，函数()f x 有最小值，最小值为()232454304f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭．……13分答：（1）两条道路PM ,PN 总造价()f x 为232()5f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()19x ≤≤；（2）当4x =时，总造价最低，最低造价为30万元． ……………………14分（注：利用三次均值不等式223232()5553022x x f x x x x ⎛⎫⎛⎫=+=++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥，当且仅当23222x x x ==，即4x =时等号成立，照样给分．） 18.（1）令1n =，得221a λ=+．令2n =，得23322323a S a S a a a a λ--=+，所以()()324121a λλλ=+++．…………2分由2213a a a =，得()()22241121λλλλ⎛⎫= ⎪⎝⎭++++，因为0λ≠，所以1λ=．………4分 （2）当12λ=时，111112n n n n n n n n a S a S a a a a ++++--=+，所以11111112n n n n n n S S a a a a ++++--=+，即111112n n n n S S a a ++-=++，………………………6分 所以数列1n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭+是以2为首项，公差为12的等差数列， 所以()11212n n S n a =-⋅++， ……………………………………………………8分 即3122n n n S a ⎛⎫= ⎪⎝⎭++，①当2n ≥时，113122n n n S a --⎛⎫= ⎪⎝⎭++，②①-②得，13222n n n n n a a a -=-++，……………………………………………10分 即()()112n n n a n a -=++，所以()1221n n a an n n -=++≥， ………………………12分所以2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭+是首项为13是常数列，所以()123n a n =+. ……………………14分代入①得2351226n n n n n S a +⎛⎫=-= ⎪⎝⎭+. ……………………16分19. （1）因为左顶点为(40)A -，，所以4a =，又12e =，所以2c =.…………………2分 又因为22212b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为2211612x y +=. ………………………………………4分（2）直线l 的方程为(4)y k x =+，由2211612(4),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消元得，22[(4)]11612x k x ++=.化简得，22(4)[(43)1612)]0x k x k +++-=，所以14x =-，222161243k x k -+=+. ……………………………………………………6分当22161243k x k -+=+时，222161224(4)4343k k y k k k -+=+=++， 所以222161224,4343()D k k k k -+++.因为点P 为AD 的中点，所以P 的坐标为2221612,4343()k kk k -++，则3(0)4OP k k k-=≠.…………………………………………………………………………8分直线l 的方程为(4)y k x =+，令0x =，得E 点坐标为(0,4)k ，假设存在定点(,)(0)Q m n m ≠，使得OP EQ ⊥， 则1OP EQ k k =-，即3414n k k m--⋅=-恒成立， 所以(412)30m k n +-=恒成立，所以412030m n +=⎧⎨-=⎩，，即30m n =-⎧⎨=⎩，，因此定点Q 的坐标为(3,0)-. …………………………………………10分 （3）因为OMl ，所以OM 的方程可设为y kx =，由2211612x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得M点的横坐标为x =12分由OMl ，得2D A E A D AM Mx x x x x x AD AE OM x x -+--+==22216128k -+=+=…………………………………………………14分=≥=即k =时取等号，所以当k =AD AE OM+的最小值为 …………………………16分 20. (1) 由题意，321()e 3x f x x x ax a ⎛⎫'=-+- ⎪⎝⎭， …………………………………………2分因为()f x 的图象在0x =处的切线与直线0x y +=垂直，所以(0)=1f '，解得1a =-. ……………………………4分(2) 法一：由4()e 3x f x <-，得3214e 2(4)24e 33x x x x a x a ⎡⎤-++--<-⎢⎥⎣⎦，即326(312)680x x a x a -++--<对任意(2)x ∈-∞，恒成立，……………………………6分即()32636128x a x x x ->-=-对任意(2)x ∈-∞，恒成立，因为2x <，所以()()322612812323x x x a x x -++>=----， ……………………………8分 记()21()23g x x =--，因为()g x 在(2)-∞，上单调递增，且(2)0g =， 所以0a ≥，即a 的取值范围是[0)+∞，． ………………………………………10分法二：由4()e 3x f x <-，得3214e 2(4)24e 33x x x x a x a ⎡⎤-++--<-⎢⎥⎣⎦，即326(312)680x x a x a -++--<在(2)-∞，上恒成立，……………………………6分因为326(312)680x x a x a -++--<等价于2(2)(434)0x x x a --++<，①当0a ≥时，22434(2)30x x a x a -++=-+≥恒成立， 所以原不等式的解集为(2)-∞，，满足题意． …………………………………………8分 ②当0a <时，记2()434g x x x a =-++，有(2)30g a =<， 所以方程24340x x a -++=必有两个根12,x x ，且122x x <<，原不等式等价于12(2)()()0x x x x x ---<，解集为12()(2)x x -∞，，，与题设矛盾， 所以0a <不符合题意．综合①②可知，所求a 的取值范围是[0)+∞，．…………………………………………10分(3) 因为由题意，可得321()e 3x f'x x x ax a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，所以()f x 只有一个极值点或有三个极值点. ………………………………………11分令321()3g x x x ax a =-+-，①若()f x 有且只有一个极值点，所以函数()g x 的图象必穿过x 轴且只穿过一次， 即()g x 为单调递增函数或者()g x 极值同号．ⅰ）当()g x 为单调递增函数时，2()20g'x x x a =-+≥在R 上恒成立，得1a ≥…12分 ⅱ）当()g x 极值同号时，设12,x x 为极值点，则12()()0g x g x ⋅≥，由2()20g'x x x a =-+=有解，得1a <，且21120,x x a -+=22220x x a -+=， 所以12122,x x x x a +==，所以3211111()3g x x x ax a =-+-211111(2)3x x a x ax a =--+- 11111(2)33x a ax ax a =---+-[]12(1)3a x a =--，同理，[]222()(1)3g x a x a =--，所以()()[][]121222(1)(1)033g x g x a x a a x a =--⋅--≥，化简得221212(1)(1)()0a x x a a x x a ---++≥，所以22(1)2(1)0a a a a a ---+≥，即0a ≥，所以01a <≤．所以，当0a ≥时，()f x 有且仅有一个极值点； …………………14分 ②若()f x 有三个极值点，所以函数()g x 的图象必穿过x 轴且穿过三次，同理可得0a <； 综上，当0a ≥时，()f x 有且仅有一个极值点，当0a <时，()f x 有三个极值点． …………………16分数学Ⅱ（附加题）参考答案及评分标准21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21A ．连结OT ．因为AT 是切线，所以OT AP ⊥．………………………2分又因为PAQ ∠是直角，即AQ AP ⊥， 所以ABOT ，所以TBA BTO ∠=∠． ………………………………… 5分 又OT OB =，所以OTB OBT ∠=， …………………8分 所以OBT TBA ∠=∠，即BT 平分OBA ∠． …………………………………10分 21B ．矩阵A 的特征多项式为()2125614f λλλλλ--==--+， ……………2分 由()0f λ=，解得12λ=，23λ=．. …………………………………………4分当12λ=时，特征方程组为20,20,x y x y -=⎧⎨-=⎩故属于特征值12λ=的一个特征向量121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；………………………………7分当23λ=时，特征方程组为220,0,x y x y -=⎧⎨-=⎩故属于特征值23λ=的一个特征向量211α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． …………………………10分21C ．圆C 的直角坐标方程为224130x y y ++-+=，即22((2)3x y ++-=． ………………………………………………4分 又(0,1),(0,3)A B --,所以2AB =．……………………………………………6分P 到直线AB 距离的最小值为8分所以PAB ∆面积的最小值为122⨯10分21D ．因为x ＞0，y ＞0，x －y ＞0，22211222()2()x y x y x xy y x y +-=-+-+-，…………………………………4分=21()()()x y x y x y -+-+-3≥， ……………………8分所以2212232x y x xy y ++-+≥． ……………………………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤．22.以A 为坐标原点O ，分别以AB ，AC ，1AA 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -．因为=1AB AC =，12AA =，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(0,1,0)C ，1(0,0,2)A ，1(1,0,2)B ，(1,0,2)P λ．……………………………………………1分（1）由13λ=得，2(1,1,)3CP =-，1(1,02)A B =，-，1(0,1,2)A C =-， 设平面1A BC 的法向量为1111(,,)x y z =n ，由11110,0A B A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，n n 得111120,20.x z y z -=⎧⎨-=⎩ 不妨取11z =，则112x y ==，从而平面1A BC 的一个法向量为1(2,2,1)=n ．……………………………………3分 设直线PC 与平面1A BC 所成的角为θ，则111sin |cos ,|33||||CP CP CP θ⋅=<>==⋅n n n ， 所以直线PC 与平面1A BC ．…………………………5分 （2）设平面1PAC 的法向量为2222(,,)x y z =n ， 1(1,022)A P λ=，-， 由21210,0A C A P ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，n n 得222220,(22)0.y z x z λ-=⎧⎨+-=⎩ 不妨取21z =，则22222x y λ=-=，，所以平面1PAC 的法向量为2(22,2,1)λ=-n ．……………………………………7分 则12cos ,<n n ，又因为二面角1P AC B --的正弦值为23， ，………………………………………………………9分 化简得2+890λλ-=，解得1λ=或9λ=-（舍去），故λ的值为1． …………………………10分23．（1）由题意知，32n a n =-,2121111()n n n n g n a a a a ++=++++， …………1分 当2n =时，234111111691(2)47101403g a a a =++=++=>． ……………2分 （2）用数学归纳法加以证明： ①当3n =时，34591111(3)g a a a a =++++ 11111117101316192225=++++++1111111()()7101316192225=++++++ 1111111()()8161616323232>++++++133131181632816163=++>++>， 所以当3n =时，结论成立．………………………………………………4分②假设当n k =时，结论成立，即1()3g k >， 则1n k =+时，(1)g k +()g k =22212(1)1111()k k k k a a a a +++++++- …………6分 22212(1)11111()3k k k k a a a a +++>++++-21(21)133(1)232k k k +>+-+-- 221(21)(32)[3(1)2]3[3(1)2][32]k k k k k +--+-=++--2213733[3(1)2][32]k k k k --=++--， 由3k ≥可知，23730k k -->，即1(1)3g k +>．所以当1n k =+时，结论也成立．综合①②可得，当3n ≥时，1()3g n >．…………………10分。
江苏省连云港市2015-2016学年高二上学期期末数学试卷(理科) 含解析
2015—2016学年江苏省连云港市高二(上）期末数学试卷(理科）一、填空题(本大题共14小题,每小题5分，共70分）1．命题“∃x∈R,x2+x+1≤0"的否定是______．2．“函数f（x）=x(x+a）（a为常数）为偶函数”的充要条件是______．3．函数y=lg（x2﹣3x+2)的定义域为______．4．渐近线方程为y=±2x,一个焦点的坐标为（，0）的双曲线标准方程为______．5．在等差数列｛a n｝中，若a2+a4+a9=18，则a5=______．6．在△ABC中,若sin2A﹣sin2B﹣sin2C=sinBsinC，则∠A的大小为______．7．若2x﹣y+1≥0，2x+y≥0，且x≤1，则z=x+3y的最小值为______．8．函数f（x）=sin2x﹣x（0＜x＜)的单调增区间是______．9．不等式ax2+4x+a＞1﹣2x2对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是______．10．已知xy=2x+y+2（x＞1），则x+y的最小值为______．11．已知F1，F2为椭圆+y2=1的左、右焦点，A为下顶点，连接AF2并延长交椭圆于点B，则BF1长为______．12．设数列｛a n}的前n项和为S n，其中a n≠0,a1=1，且a1，S n，a n+1(n∈N*）成等差数列，则a2016=______．13．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的上顶点为A，右焦点为F，椭圆C上存在点P使线段OP被直线AF平分，则椭圆C的离心率的取值范围是______．14．已知关于x的不等式x2﹣(4a+2）x+3a2+2a＜0(a＞﹣1）的解集中恰好含有3个整数解，则a的取值范围是______．二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a=2csinA．（1)求C；(2）若c=，a+b=5，求△ABC的面积．16．公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n(n∈N＊），已知S5=a，且a2，a5,a14成等比数列．(1）求｛a n}的通项公式；(2）当d≠0时，数列｛}的前n项和为T n，试比较T n与的大小．17．如图，有一矩形相框，放置照片区域的上、下方要各留3cm空白，左、右两侧要各留2cm的空白．(1)若相框周长为80cm，要使其面积不小于300cm2，求相框一边的范围；（2）若相框的面积为400cm2，求框内可放照片的最大面积．18．已知曲线C上任意一点P（x，y）到点F（1，0)的距离比到直线x+2=0的距离小1．(1）求曲线C的方程；(2)过x轴上一点Q作直线l与曲线C交于A，B两点,问是否存在定点Q使+为定值,求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由．19．如图,过坐标原点O的直线椭圆Г： +=1(a＞b＞0）于P，A两点，其中P在第一象限，B在椭圆Г上，直线AB与x轴交于点C．(1）若椭圆Г的焦距为2，点P坐标为（，1），求椭圆Г的标准方程；（2）求证：k BP•k BA=﹣；（3）若BP⊥AP,PC⊥x轴，求椭圆Г的离心率．20．已知函数f(x）=x3﹣ax2+1(a∈R)．(1）若曲线y=f(x）过点P（1，2），求该曲线在点P处的切线方程；（2）求函数f（x）的最大值；（3）若a=4,令g（x）=f（f(x））﹣b，其中b∈（﹣，1），求y=g（x)的零点个数．2015—2016学年江苏省连云港市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题(本大题共14小题,每小题5分，共70分）1．命题“∃x∈R,x2+x+1≤0”的否定是∀x∈R，x2+x+1＞0．．【考点】命题的否定．【分析】本题所给的是一个特称命题，对于特称命题的否定，要注意量词的变化，要注意命题中结论的变化．【解答】解：∵命题“∃x∈R，x2+x+1≤0”的否定是：∀x∈R，x2+x+1＞0．故答案为:∀x∈R，x2+x+1＞02．“函数f（x）=x（x+a）(a为常数)为偶函数”的充要条件是a=0．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据函数奇偶性的定义和性质结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可．【解答】解：若函数f(x）为偶函数,则f（﹣x）=f（x），即﹣x（﹣x+a）=x（x+a),即x2﹣ax=x2+ax，即﹣a=a，则a=0，当a=0时，f（x）=x2，是偶函数，故答案为:a=03．函数y=lg（x2﹣3x+2）的定义域为（﹣∞,1）∪（2,+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】要使函数有意义，则需x2﹣3x+2＞0，解出即可得到定义域．【解答】解：要使函数有意义,则需x2﹣3x+2＞0，解得，x＞2或x＜1．则定义域为（﹣∞，1）∪（2,+∞）．故答案为:（﹣∞，1)∪（2，+∞)．4．渐近线方程为y=±2x，一个焦点的坐标为（，0）的双曲线标准方程为．【考点】双曲线的标准方程．【分析】设双曲线方程为=λ(λ≠0），由一个焦点的坐标为（，0）,利用待定系数法能求出双曲线标准方程．【解答】解：∵双曲线的渐近线方程为y=±2x，∴设双曲线方程为=λ（λ≠0）,∵一个焦点的坐标为（,0），∴=λ+4λ，解得λ=2，∴双曲线标准方程为=1．故答案为：．5．在等差数列｛a n}中，若a2+a4+a9=18，则a5=6．【考点】等差数列的通项公式．【分析】根据等差数列的定义与通项公式,结合题意，即可求出a5的值．【解答】解:等差数列{a n}中,a2+a4+a9=18，即（a1+d）+(a1+3d)+（a1+8d）=18，∴3(a1+4d)=18，∴a1+4d=6，即a5=6．故答案为：6．6．在△ABC中,若sin2A﹣sin2B﹣sin2C=sinBsinC,则∠A的大小为．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】已知等式利用正弦定理化简，得到一个等式，再利用余弦定理列出关系式，将得出的等式代入求出cosA的值，即可确定出A的度数．【解答】解:已知等式利用正弦定理化简得：a2﹣b2﹣c2﹣bc=0，即b2+c2﹣a2=﹣bc，∴由余弦定理得：cosA==﹣，∵∠A为三角形内角,∴∠A=．故答案为：．7．若2x﹣y+1≥0，2x+y≥0，且x≤1，则z=x+3y的最小值为﹣5．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标得答案．【解答】解：由2x﹣y+1≥0，2x+y≥0，且x≤1作出可行域如图，联立，解得A(1，﹣2），化目标函数z=x+3y为y=，由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为1+3×（﹣2）=﹣5．故答案为:﹣5．8．函数f（x）=sin2x﹣x（0＜x＜）的单调增区间是（0，）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的递增区间即可．【解答】解:∵f(x）=sin2x﹣x（0＜x＜），∴f′（x）=2cos2x﹣1，令f′（x)＞0，解得:cos2x＞，∴0＜2x＜,∴0＜x＜，故答案为：（0,）．9．不等式ax2+4x+a＞1﹣2x2对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是(2，+∞）．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】先化简,再由二次函数的性质，得到解答．【解答】解：不等式ax2+4x+a＞1﹣2x2对一切x∈R恒成立，即（a+2）x2+4x+a﹣1＞0对一切x∈R恒成立若a+2=0，显然不成立若a+2≠0,则解得a＞2．综上，a＞210．已知xy=2x+y+2（x＞1），则x+y的最小值为7．【考点】基本不等式．【分析】由题意可得y=，整体代入变形可得x+y=x﹣1++3，由基本不等式可得．【解答】解：∵xy=2x+y+2，∴y=，∴x+y=x+=x﹣1++1=x﹣1++3≥2+3=7当且仅当x﹣1=即x=3时取等号，故答案为：7．11．已知F1，F2为椭圆+y2=1的左、右焦点，A为下顶点，连接AF2并延长交椭圆于点B，则BF1长为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】求得椭圆的a，b，c，可得焦点坐标，以及A的坐标，求得AF2的方程为y=x﹣1，代入椭圆方程，解得B的坐标,再由两点的距离公式，计算即可得到所求值．【解答】解：椭圆+y2=1的a=,b=1，c=1，即有F1（﹣1，0），F2（1,0），A(0，﹣1），AF2的方程为y=x﹣1，代入椭圆方程x2+2y2=2，可得3x2﹣4x=0，解得x=0或，即有B(,）,则|BF1|==．故答案为：．12．设数列｛a n｝的前n项和为S n，其中a n≠0，a1=1，且a1,S n,a n+1(n∈N*）成等差数列,则a2016=32014．【考点】数列的求和．【分析】通过a1，S n，a n+1(n∈N*）成等差数列及a1=1可知2S n=a1+a n+1=1+a n+1，并与当n =1+a n作差，整理可知数列｛a n｝从第二项起是首项为1、公比为3的等比数列，≥2时2S n﹣1进而计算即得结论．【解答】解:∵a1，S n,a n+1（n∈N*）成等差数列,且a1=1,∴2S n=a1+a n+1=1+a n+1，=1+a n,当n≥2时，2S n﹣1两式相减得:2a n=a n+1﹣a n，即a n+1=3a n（n≥2），又∵a2=2S1﹣1=1，∴数列{a n}从第二项起是首项为1、公比为3的等比数列，∴a2016=32014，故答案为：32014．13．已知椭圆C： +=1(a＞b＞0）的上顶点为A,右焦点为F，椭圆C上存在点P使线段OP被直线AF平分,则椭圆C的离心率的取值范围是．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设P（x0，y0），则线段OP的中点为M．把点M的坐标代入直线AF 的方程可得： +=1，与+=1联立,利用△≥0,及其离心率计算公式即可得出．【解答】解：设P（x0,y0），则线段OP的中点为M．直线AF的方程为：=1,把点M的坐标代入可得： +=1，与+=1联立可得:﹣4a2cx0+3a2c2=0，△=16a4c2﹣12a2c2（a2+c2）≥0，化为a2≥3c2，解得．∴椭圆C的离心率的取值范围是．故答案为：．14．已知关于x的不等式x2﹣(4a+2）x+3a2+2a＜0（a＞﹣1）的解集中恰好含有3个整数解，则a的取值范围是≤a＜．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】利用一元二次不等式的解法，解不等式，根据不等式的解集中恰有3个整数解,确定解集的取值范围,即可求解．【解答】解：由x2﹣(4a+2)x+3a2+2a＜0，得（x﹣3a﹣2)（x﹣a）＜0，∵a＞﹣1，∴不等式的解为a＜x＜3a+2，﹣1＜a≤0，﹣1＜3a+2＜2，整数解是0,1，不满足；0＜a＜1,3≤3a+2＜4，即≤a＜，整数解是1，2，3,满足．a＞1,3a+2﹣a=2a+2＞4，不满足．综上，满足条件的a的取值范围是≤a＜．故答案为:≤a＜．二、解答题（本大题共6小题,共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A,B，C的对边，且a=2csinA．（1）求C;(2）若c=,a+b=5，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理，得到sinC=，然后求解C即可．（2）利用a+b=5，可得a2+2ab+b2=25，然后利用余弦定理得ab,即可求解三角形的面积．【解答】解：(1）∵△ABC为锐角三角形，且a﹣2csinA=0,∴由正弦定理，得：sinA﹣2sinCsinA=0，…∴sinC=．…故C=．…（2)∵a+b=5，∴a2+2ab+b2=25（1）…又∵c=，C=,∴由余弦定理，得a2+b2﹣2abcos=7，即a2+b2﹣ab=7（2)…由（1）、（2）两式得：ab=6，…故由三角形的面积公式，得S=absin=．…16．公差为d的等差数列｛a n}的前n项和为S n(n∈N*),已知S5=a，且a2，a5，a14成等比数列．（1）求｛a n}的通项公式;（2）当d≠0时，数列{｝的前n项和为T n,试比较T n与的大小．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）通过等差中项的性质及S5=a可知a3=5，结合a2,a3，a14成等比数列可知d=0或d=2，进而计算可得结论；（2）通过(1)及d≠0可知a n=2n﹣1,进而裂项可知=(﹣）,并项相加即得结论．【解答】解:（1）依题意，，由①解得：a3=0（舍）或a3=5，将a3=5代入②得d=0或d=2，当d=0时a n=5，当d=2时a n=2n﹣1；（2）由（1）及d≠0可知a n=2n﹣1，∵===（﹣），∴T n=（1﹣+﹣+…+﹣+﹣)=（1+﹣﹣）=﹣（+）＜．17．如图，有一矩形相框，放置照片区域的上、下方要各留3cm空白，左、右两侧要各留2cm的空白．(1）若相框周长为80cm，要使其面积不小于300cm2，求相框一边的范围；（2）若相框的面积为400cm2,求框内可放照片的最大面积．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】(1）设相框高为xcm，宽为ycm，由题意可得x+y=40，xy≥300,解不等式即可得到所求范围；（2）由题意可得xy=400，则框内照片面积S=（x﹣6)(y﹣4)=xy﹣6y﹣4x+24,即S=424﹣6y ﹣4x,运用基本不等式即可得到最大值．【解答】解：（1）设相框高为xcm，宽为ycm，由题意可得x+y=40，xy≥300,即有x2﹣40x+300≤0，解得10≤x≤30，则相框一边的范围为［10,30］;（2）由题意可得xy=400,则框内照片面积S=（x﹣6）(y﹣4）=xy﹣6y﹣4x+24，即S=424﹣6y﹣4x，∵x＞0，y＞0，xy=400,∴6y+4x≥2=80，当且仅当6y=4x，即x=10，y=时等号成立．则S≤424﹣80．即有照片面积最大为424﹣80cm2．18．已知曲线C上任意一点P（x,y）到点F（1,0）的距离比到直线x+2=0的距离小1．（1）求曲线C的方程；（2)过x轴上一点Q作直线l与曲线C交于A，B两点，问是否存在定点Q使+为定值，求出点Q的坐标，若不存在,请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由题意可得，点P到F(1，0)的距离与到直线x=﹣1的距离相等，由抛物线的定义可得点的轨迹是以F（1，0)为焦点，以x=﹣1为准线的抛物线，从而可求曲线C的方程．（2）设出直线方程代入抛物线的方程,利用韦达定理，结合+为定值，求出点Q的坐标．【解答】解：（Ⅰ)由题意，P到F(1,0）距离等于它到直线x=﹣1的距离,由抛物线定义，知C为抛物线，F（1，0)为焦点，x=﹣1为准线，所以C的方程为y2=4x;(2）设Q（a，0），直线l的方程为x=my+a，A(x1，y1），B（x2，y2），．直线方程代入抛物线的方程，可得y2﹣4my﹣4a=0，∴y1+y2=4m，y1y2=﹣4a，∴+=+=•（+）=，∴a=2时， +为定值，此时△＞0，∴Q(2，0）时， +为定值．19．如图,过坐标原点O的直线椭圆Г： +=1（a＞b＞0）于P，A两点，其中P在第一象限，B在椭圆Г上，直线AB与x轴交于点C．（1)若椭圆Г的焦距为2,点P坐标为（，1），求椭圆Г的标准方程；（2)求证：k BP•k BA=﹣；（3)若BP⊥AP,PC⊥x轴，求椭圆Г的离心率．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1)由题意可得c=，即a2﹣b2=2，将P（，1）代入椭圆方程,解方程组可得a，b，进而得到椭圆方程；(2）设A（x1，y1),P（﹣x1，﹣y1）,B（x2，y2）,代入椭圆方程，运用直线的斜率公式，化简即可得证；（3）由两直线垂直的条件可得k BP•k AP=﹣1，由（2)的结论，运用直线的斜率公式,化简整理，再由a，b,c的关系和离心率公式，即可得到离心率．【解答】解：（1）由题意可得2c=2,即为c=,即a2﹣b2=2，将P(，1）代入椭圆方程可得， +=1,解得a=2,b=,则椭圆Г的标准方程为+=1；（2）证明：设A(x1，y1），P（﹣x1，﹣y1），B（x2，y2）,即有+=1， +=1,两式相减可得， +=0,则k BP•k BA=•==﹣;（3）由BP⊥AP,可得k BP•k AP=﹣1，由k BP•k BA=﹣，可得k AP=k BA，(＊）设P（x0,y0），则A（﹣x0，﹣y0），C（x0，0）,则k AP=，k BA=k CA=,代入（*）,可得=•，即有a2=2b2，由a2﹣b2=c2，可得a2=2c2，e==．20．已知函数f（x）=x3﹣ax2+1(a∈R）．(1)若曲线y=f（x）过点P（1，2）,求该曲线在点P处的切线方程；（2)求函数f（x）的最大值；（3)若a=4,令g(x）=f(f（x））﹣b，其中b∈（﹣,1），求y=g（x)的零点个数．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数零点的判定定理；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出a的值，求出f′（1），代入切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的符号,求出函数的单调区间，从而求出函数的极大值;（3）求出函数的导数，求出函数的单调区间，得到函数的极值，通过讨论讨论b讨论的范围，结合函数的图象求出函数的零点个数即可．【解答】解:（1）若曲线y=f（x）过点P（1,2）,则2=﹣a+1．解得：a=﹣，于是f（x）=x2+x2+1，f′（x）=2x2+x，f′(1)=，∴切线方程是y﹣2=（x﹣1），即8x﹣3y﹣2=0；（2）由f′（x）=2x（x﹣)=0，解得：x=0或x=，当a=0时，f′（x）≥0恒成立，函数f（x）无极大值，当a＞0时，x∈（﹣∞，0），f′（x）＞0，f（x)递增，x∈(0，+∞)时，f′（x)＜0,f(x)递减，=f(0）=1，∴f（x）极大值a＜0时，x∈（﹣∞,)，f′(x）＜0，f（x)递减,x∈(，0），f′(x）＞0，f（x）递增,=f（)=1﹣，∴f(x)极大值综上，a=0时，f（x）无极大值,a＞0时，f（x)的极大值是1,a ＜0时，f （x ）极大值是1﹣，(3）a=4时，f(x ）=x 3﹣2x 2+1，f ′（x ）=2x （x ﹣2）,f(x ）在(﹣∞,0）递增，（0，2)递减，在（2，+∞）递增， f （x ）极大值=f （0)=1,f （x ）极小值=f （2）=﹣，函数f （x ）的图象如图1：令f （x ）=t ，∵x ∈R ，∴t ∈R ，∴y=f （x ）与y=f(t ）的图象相同，g(x ）=f （f （x ））﹣b 的零点个数 即为方程f （f （x)）=b 不同实数解的个数，先讨论f （t ）=b 的解的情况,f(t ）的图象如图2，再讨论方程f(x ）=t 的解的情况，①注意到f （1）=﹣，∴当﹣＜b ＜1时，f(t ）=b 有3个实数解t 1（t 1＞2）,t 2(0＜t 2＜1）,t 3（﹣1＜t 3＜0）, ∵f （x)=t 1有1个实数解，f （x ）=t 2有3个实数解，f （x ）=t 3有3个实数解, 故f(f （x ））=b （b ∈（﹣，1））共有7个实数解；②当b=﹣时,f （t ）=﹣有3个实数解t 1=1+,t 2=1，t 3=1﹣， ∵f （x ）=t 1有1个实数解,f （x ）=t 2有2个实数解，f （x ）=t 3有3个实数解,故f(f（x））=﹣（b∈（﹣，1））共有6个实数解；③当﹣＜b＜﹣时,f（t)=b有3个实数解t1（t1＞2），t2（1＜t2＜2）,t3（﹣1＜t3＜0），∵f（x）=t1有1个实数解，f（x）=t2有1个实数解,f（x)=t3有3个实数解,故f（f（x））=b（b∈(﹣，﹣））共有5个实数解；综上：当﹣＜b＜﹣时，函数y=g（x）有5个零点,当b=﹣时,函数y=g（x）有6个零点，当﹣＜b＜1时，函数y=g（x)有7个零点．2016年9月16日。
江苏省连云港市2015-2016学年高二下学期期末考试数学(理)试题(图片版)
连云港市2015－2016学年度高二理科调研考试一、填空题：1．2 2．2 3．6 4. 964 5．2(1)[]2n n + 678．1140 二、解答题：．9. （1）4105040A =． ………………………………………………4分 （2）法1：431094536A A -=． ………………………………………………8分 法2：13994536A A =．（3）12125848431792A A A A +=． ………………………………………………14分10. （1）由题知213013a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即23,3,a b +=⎧⎨=⎩解得1,3.a b =⎧⎨=⎩所以2130⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ．…………2分 矩阵A 的特征多项式为21()(2)303f λλλλλ--==--=-，所以11λ=-，23λ=，设对应的特征向量为α111x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，α222x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．由111=αλαA ，222=αλαA ，可得1130x y +=，220x y -=，故属于特征值11λ=-的一个特征向量为13α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦1，属于特征值23λ=的一个特征向量为11α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦2．…8分（2）令=βm 1α＋n 2α，则511931m n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，解得1m =-，6n =． (10)分所以20202020(23)1()6()αααα=-+=-⨯+⨯1212A A A A β21202020201221112311()6()1(1)633123312λαλα⎡⎤⨯-⎡⎤⎡⎤=-⨯+⨯=-⨯-⨯+⨯⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⨯+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．……14分 11. （1）曲线C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+=，圆心(1,0)，半径为1， 直线l 的普通方程为30x y +-=，圆心到直线l1=，所以直线l 与曲线C 相离． ………………………………………………6分（2）将直线l的参数方程为1,2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入抛物线24x y =，得2(1)4(2)22-=+，即2140t --=，解得1t =，2t =，所以12||AB t t =-=14分法2：直线l 的普通方程为30x y +-=，联立24x y =，解得1121x y =⎧⎨=⎩，2269x y =-⎧⎨=⎩，即(2,1),(6,9)A B -，所以AB = …………………………14分12. （1）记“摸出的3个球颜色不全相同”为事件的A , 则其概率为33334331019()120C C C P A C ++=-=． …………………………………………4分 答：摸出的3个球颜色不全相同的概率为1920．…………………………………………5分 （2）随机变量6X ≥的可能取值为6,7,8,9，311143433101(6)3C C C C P X C +===，122133433109(7)40C C C C P X C +=== 12433101(8)10C C P X C ===，333101(9)120C P X C ===． ………………12分所以(6)67893401012020E X ≥=⨯+⨯+⨯+⨯=……………………………14分 13．（1）建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -．设(02)AM a a =≤≤，则(0,0,0)D ，(1,0,0)A ，(1,1,0)B ，(0,1,0)C ，1(0,0,2)D ，(1,0,)M a ．所以1(1,1,2)BD =--u u u r，(1,1,)CM a u u u r=-．所以11(1)(1)(1)22BD CM a a u u u r u u u r⋅=⨯-+-⨯-+⨯=，1||BD uuu r== ||CM uuu r==所以1112cos ,9||||BD CM BD CM BD CM uuu r uuu ruuu r uuu r uuu r uuu r ⋅<>===，解得25a =．所以25AM =． …………………8分 （2）设平面1CBD 的一个法向量为1111(,,)n x y z =u r，平面1MBD 的一个法向量为2222(,,)n x y z =u u r．由11n BD u r uuu r ⊥，1n CB u r u u r ⊥，得111111(,,)(1,1,2)0,(,,)(1,0,0)0,x y z x y z ⋅--=⎧⎨⋅=⎩得111120,0,x y z x --+=⎧⎨=⎩令11z =，可得1(0,2,1)n u r =．由21n BD u u r uuu r ⊥，2n BM u u r uuu r ⊥，得222222(,,)(1,1,2)0,(,,)(0,1,1)0,x y z x y z ⋅--=⎧⎨⋅-=⎩得2222220,0,x y z y z --+=⎧⎨-+=⎩令21y =，可得2(1,1,1)n u u r =．12(1,1,1)(0,2,1)3n n u r u u r ⋅=⋅=，1||n u r ==2||n u u r ==121212cos ,||||n n n n n n ⋅<>===u r u u ru r u u r u r u u r ． 所以二面角1C BD M --的余弦值为16分 14.（1）因为()e e 220x x f x -'=+-≥=，当且仅当0x =时等号成立， 所以函数()f x 在(,)-∞+∞上是单调增函数．……………………………………………4分 （2）因为()f x 在(,)-∞+∞上是单调增函数，要证2241()()1a a f f b b+≤+，只要证22411a a b b +≤+， 因为a ，b 是正实数，所以只要证224(1)(1)ab a b ≤++，即证222241ab a b a b ≤+++，只要证22()(1)0a b ab -+-≥，显然成立，所以2241()()1a a f f b b+≤+． ………………………………………………10分 （2）法1：假设00()f x x ≠，则00()f x x >或00()f x x <．若00()f x x >，则由（1）知000(())()f f x f x x >>，与00(())f f x x =矛盾． 若00()f x x <，则由（1）知000(())()f f x f x x <<，与00(())f f x x =矛盾． 又00()f x x =，则000(())()f f x f x x ==．综上所述，00()f x x =． ………………………………………………16分 法2：由00()()000(())e e 2f x f x f f x x x -=--=，设0()f x t =，则0()f t x =， 故000e e 2x x x t ---=，0e e 2t t t x ---=，两式相减得000e e e e x x t t x t ----=--， 设()e e x x h x x -=--，则()e e 10x x h x -'=+->，故()h x 在R 上单调递增，故由0()()h x h t =，得0x t =，即00()f x x =．……………………………………………16分15. （1）在151501(31)()kk k x a ax =-=+*∑中，令1x =，则得15150232768k k a ===∑． (2)分（2）由（1）知15152k k a ==∑，① 在()*式中，令1x =-，得15150(1)4k k k a =-=-∑，②令0x =，0150015(1)31,a C =-=-③ …………………………………6分则得又1515(31)(13)x x -=-+的展开式中可知2132215(1)3945,a C =-=-④ …………8分由①②③④得142946810121422946a a a a a a +++++=-+．…………………………10分 （3）在15214150121415(31)r r x a a x a x a x a x a x -=+++++++L L 两边同乘以x ，得152315*********(31)x x a x a x a x a x a x -=+++++L ，两边求导得 1514214150121415(31)45(31)231516x x x a a x a x a x a x -+-=+++++L ，令1x =，则得15140(1)472k k k a =+=⨯∑． ………………………………………………16分16．解：（1）T 15=，T 239=，T 3150=，T 4410=． ………………………………2分 （2）猜想()()n n n T n n 22112+=++ ()n N *∈，…………………………………………4分 下面用数学归纳法证明：（ⅰ）当n 1=时()()T 22111111152⨯+=⨯++=，结论成立； （ⅱ）假设当n k =时结论成立，即()()k k k T k k 22112+=++，那么当n k 1=+时，则()()k k k k T S k k 22122112+++=+++，又由题意可设n S 的首项为()f n ， 则()()f n f n n 11--=-，易求()()n n f n 112-=+，………8分 故k S 22+为以()f k 22+为首项，前()k 22+项和， 即()()()()()k k k k k k S 22222122222322++++++=+，………………………………10分所以()()k k k k T S k k 22122112+++=+++()()()()()()()k k k k k k k k k 22222122222311222++++++=++++()()()()k k k k k k k 2121212312⎡⎤=++++++++⎢⎥⎣⎦()()()()k k k k k k k 22121212212+⎡⎤=++++++++⎢⎥⎣⎦………………………………14分 ()()()k k k k k 2211442+⎡⎤=+++++⎢⎥⎣⎦=()()()()k k k k 2212122+++++． 所以当n k 1=+时，命题成立． 综上（ⅰ）（ⅱ），()()n n n T n n 22112+=++()n N *∈．…………………………………16分。
江苏省连云港市赣榆区2016届高三上学期统考数学试卷 Word版含答案
江苏省连云港市赣榆区2016届高三年级学情调研卷数学一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．） 1、已知集合{}1,0,1,2A =-，{}210x x B =->，则A B = ．2、已知复数z 满足：()124z i i -=+，其中i 为虚数单位，则复数z 的模为 ．3、某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为 ．4、从2个红球，2个黄球，1个白球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是 ．5、已知向量()1,2a =，(),4b m = ，且()//2a a b + ，则实数m 的值为 ．6、如图，它是一个算法的流程图，最后输出的k 值为 ．第6题图 第7题图7、如图，它是函数()()sin f x x ωϕ=A +（0A >，0ω>，[)0,2ϕπ∈）图象的一部分，则()0f 的值为 ．8、已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线的方程为20x y -=，则该双曲线的离心率为 ．9、直三棱柱111C C AB -A B 的各条棱长均为2，E 为棱1CC 的中点，则三棱锥111C A -B E 的体积为 ．10、对于直线l ，m ，平面α，m α⊂，则“l m ⊥”是“l α⊥”成立的 条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选填一个）11、已知函数()321213f x x x ax =+-+，若函数()f x 在()1,2上有极值，则实数a的取值范围为 ．12、已知平行四边形CD AB 中，D 2A =，D 60∠BA = ．若E 为DC 中点，且D 1AE⋅B = ，则D B ⋅BE的值为 ．13、已知等比数列{}n a 的公比1q >，其前n 项和为n S ．若4221S S =+，则6S 的最小值为 ．14、在平面直角坐标系x y O 中，A ，B 为x 轴正半轴上的两个动点，P （异于原点O ）为y 轴上的一个定点．若以AB 为直径的圆与圆()2221x y +-=相外切，且∠APB 的大小恒为定值，则线段OP 的长为 ．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15、（本小题满分14分）在C ∆AB 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos a b B =A ．()1求ba 的值；()2若1sin 3A =，求sin C 4π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．16、（本小题满分14分）如图，在四棱锥CD P -AB 中，底面CD AB 为平行四边形，E 为侧棱PA 的中点．()1求证：C//P 平面D B E ；()2若C P ⊥PA ，D D P =A ，求证：平面D B E ⊥平面PAB ．17、（本小题满分14分）某市对城市路网进行改造，拟在原有a 个标段（注：一个标段是指一定长度的机动车道）的基础上，新建x 个标段和n 个道路交叉口，其中n 与x 满足5n ax =+．已知新建一个标段的造价为m 万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k 倍．()1写出新建道路交叉口的总造价y （万元）与x 的函数关系式；()2设P 是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比．若新建的标段数是原有标段数的20%，且3k ≥．问：P 能否大于120，说明理由．18、（本小题满分16分）已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的离心率2e =，一条准线方程为2x =．过椭圆的上顶点A 作一条与x 轴、y 轴都不垂直的直线交椭圆于另一点P ，P 关于x 轴的对称点为Q ．()1求椭圆的方程；()2若直线AP ，Q A 与x 轴交点的横坐标分别为m ，n ，求证：mn 为常数，并求出此常数．19、（本小题满分16分）已知函数()x f x e =，()g x x b =-，R b ∈．()1若函数()f x 的图象与函数()g x 的图象相切，求b 的值；()2设()()()x f x ag x T =+，R a ∈，求函数()x T 的单调增区间；()3设()()()h x g x f x =⋅，0b <．若存在1x ，[]20,1x ∈，使()()121h x h x ->成立，求b 的取值范围．20、（本小题满分16分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且53213a a -=，416S =．()1求数列{}n a 的前n 项和n S ； ()2设()11nin i i a =T =-∑，若对一切正整数n ，不等式()11112n n n n n a a λ+-+⎡⎤T <+-⋅⎣⎦恒成立，求实数λ的取值范围；()3是否存在正整数m ，n （2n m >>），使得2S ，2m S S -，n m S S -成等比数列？若存在，求出所有的m ，n ；若不存在，说明理由．数学附加题21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A 、选修4-1：几何证明选讲在圆O 中，AB ，CD 是互相平行的两条弦，直线AE 与圆O 相切于点A ，且与CD的延长线交于点E ，求证：2D D A =AB⋅E ．B 、选修4-2：矩阵与变换已知点()3,1P 在矩阵21a b ⎡⎤A =⎢⎥-⎣⎦变换下得到点()5,1'P -．试求矩阵A 和它的逆矩阵1-A ．C 、选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x y O 中，圆C 的参数方程为2cos 2sin x m y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数，m 为常数）．以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭l 与圆C 有两个公共点，求实数m 的取值范围．D 、选修4-5：不等式选讲设实数x ，y ，z 满足59x y z ++=，求222x y z ++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每小题，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22、（本小题满分10分）假定某射手射击一次命中目标的概率为23．现有4发子弹，该射手一旦射中目标就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完．设耗用子弹数为X ，求：()1求X 的概率分布； ()2数学期望()E X ．23、（本小题满分10分）如图，已知正方形CD AB 和矩形C F A E 中，AB =C 1E =，C E ⊥平面CD AB ．()1求异面直线DF 与BE 所成角的余弦值； ()2求二面角DF A --B 的大小．江苏省连云港市赣榆区2016届高三年级学情调研卷数学参考答案一、填空题1、{}2 2 3、0.032 4、455、26、5 7 8、 9 10、必要不充分11、3,42⎛⎫⎪⎝⎭ 12、3 13、3 14二、解答题。
江苏省连云港市赣榆县智贤中学高二物理上学期第一次月考试卷(含解析)
2015-2016学年江苏省连云港市赣榆县智贤中学高二（上）第一次月考物理试卷一、单项选择题：每小题只有一个选项符合题意（本大题23小题，每小题3分，共69分）1．物理学中引入“质点”、“点电荷”等概念，从科学方法上来说是属于( )A．控制变量的方法B．观察实验的方法C．建立理想化模型的方法 D．等效替代的方法2．如图所示，当将带正电的球C移近不带电的枕形绝缘金属导体AB时，枕形导体上的电荷移动情况( )A．枕形金属导体上的正电荷向B端移动，负电荷不移动B．枕形金属导体中的带负电的电子向A端移动，正电荷不移动C．枕形金属导体中的正、负电荷同时分别向B端和A端移动D．枕形金属导体中的正、负电荷同时分别向A端和B端移动3．真空中有两个点电荷，若保持它们之间的距离不变，带电量都减小为原来的一半，则库仑力变为原来的( )A．倍B．倍C．2倍D．4倍4．真空中有完全相同的两个金属球，一个带电量为+2×10﹣5库，另一个带电量为﹣6×10﹣5库．现将两小球看成点电荷，若它们之间的距离为r，它们之间的库仑力为F．现在将两小球互相接触一下再放回到原处，则此时它们之间的库仑力( )A．，斥力B．，引力C．，斥力D．，引力5．如图，A、B、C三点相比，其电场强度( )A．最大的是点A，最小的是点BB．最大的是点B，最小的是点CC．最大的是点C，最小的是点AD．A、B、C三点的电场强度方向相同6．如图所示为磁场、磁场作用力演示仪中的线圈，当在线圈中心处挂上一个小磁针，且与线圈在同一平面内，则当赫姆霍兹线圈中通以如图所示方向的电流时( )A．小磁针N极向里转 B．小磁针N极向外转C．小磁针在纸面内向左摆动D．小磁针在纸面内向右摆动7．下列说法正确的是( )A．电荷在电场中某点受到的电场力大，该点的电场强度就大B．电场强度的方向总跟电场力的方向一致C．负电荷受到的电场力的方向跟电场强度的方向相反D．在匀强电场中，带电粒子受到的电场力一定相同8．某电场的电场线如图所示，电场中M、N两点的场强大小分别为E M和E N，由图可知( )A．E M=E N B．E M＞E NC．E M＜E N D．无法比较E M和E N的大小9．如图所示，环形导线中通有顺时针方向的电流I，则该环形导线中心处的磁场方向为( )A．水平向右 B．水平向左C．垂直于纸面向里D．垂直于纸面向外10．如图所示，在水平直导线正下方，放一个可以自由转动的小磁针．现给直导线通以向右的恒定电流，不计其他磁场的影响，则( )A．小磁针保持不动B．小磁针的N将向下转动C．小磁针的N极将垂直于纸面向里转动D．小磁针的N极将垂直于纸面向外转动11．关于通电直导线周围磁场的磁感线分布，下列示意图中正确的是( )A．B．C．D．12．如图所示，一带正电的物体位于M处，用绝缘丝线系上带正电的小球，分别挂在P1、P2、P3的位置，可观察到小球在不同位置时丝线偏离竖直方向的角度不同．则下面关于此实验得出的结论中正确的是( )A．电荷之间作用力的大小与两电荷间的距离有关B．电荷之间作用力的大小与两电荷的性质有关C．电荷之间作用力的大小与两电荷所带的电量有关D．电荷之间作用力的大小与丝线的长度有关13．下列各图中，正确描绘两个等量正电荷电场线的是( )A．B．C．D．14．在以下列举的应用或现象中，属于静电防止的是( )A．静电复印 B．静电喷涂C．静电除尘 D．油罐车用铁链拖地运行15．关于电场线，下列说法正确的是( )A．电场线是实际存在于电场中的闭合曲线B．同一电场中，电场线越密的地方，电场强度越大C．同一电场中，电场线越疏的地方，电场强度越大D．同一电场中，电场线的疏密程度与电场强度的大小无关16．生产、生活中使用的许多东西都可看作能量转换器，它们把能量从一种形式转化为另一种形式．下列电器或设备在工作过程中把电能大部分转化为动能的是( )A．电冰箱B．电风扇C．发电机D．汽油机17．（单选）随着我国人民生活水平的不断提高，家庭中使用的电器越来越多．下列电器中主要应用电流热效应的是( )A．电风扇B．电饭煲C．录音机D．电视机18．关于静电，下列说法中不正确的是( )A．干燥天气里脱化纤衣物时常常会看到火花，听到劈啪声B．室内栽花种草可杜绝静电产生C．高压输电导线表面要很光滑，以避免因尖端放电而损失电能D．油罐车尾装一条拖地铁链，有利于消除静电19．有a、b、c、d四个小磁针，分别放置在通电螺线管的附近和内部．当小磁针静止时，小磁针指向如图所示，其中是正确的( )A．a B．b C．c D．d20．如图所示的各电场中，A、B两点场强相同的是( )A．B．C．D．21．关于磁感线，下列说法中正确的是( )A．两条磁感线可以相交B．磁感线是磁场中实际存在的线C．磁感线总是从N极出发，到S极终止D．磁感线的疏密程度反映磁场的强弱22．以下关于电场线的叙述，正确的是( )A．电场线是电荷移动的轨迹B．电场线是仅受电场力作用且从静止开始运动的电荷的运动轨迹C．仅受电场力作用时，电荷不可能沿电场线运动D．电荷的运动轨迹有可能与电场线重合23．在电场中某点放一检验电荷，其电量为q，检验电荷受到的电场力为F，则该点电场强度为E=，那么下列说法正确的是A．若移去检验电荷q，该点的电场强度就变为零B．若在该点放一个电量为2q的检验电荷，该点的场强就变为C．若在该点放一个电量为﹣2q的检验电荷，则该点场强大小仍为E，但电场强度的方向变为原来相反的方向D．若在该点放一个电量为﹣的检验电荷，则该点的场强大小仍为E，电场强度的方向也还是原来的场强方向二、填空题：把答案填在相应的横线上．（本大题2小题，共10分）24．电荷既不能创生，也不能消灭，只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分，在转移的过程中，电荷的总量保持不变，这个结论叫做__________．25．大量的实验中，人们发现：电荷只有__________种，分别是__________和__________．用毛皮摩擦过的橡胶棒带__________电，用丝绸摩擦过的玻璃棒带__________电．__________电荷相互排斥，异种电荷相互__________．三、计算或论述题：解答时请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤．只写出最后答案的不能得分，有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位，（本大题3小题，共21分）26．某导体的电阻为R=4Ω．试求当有I=2A的电流流过时，该导体在1分钟产生的热量Q和此时的热功率P．27．真空中两个点电荷，相距30cm，它们的电荷量分别是+5.0×10﹣9C和﹣4.0×10﹣9C．（已知k=9.0×109N•m2/C2）问：（1）这两个电荷的相互作用力是引力还是斥力？（2）这两个电荷的相互作用力多大？28．在某一电场中的P点放入一个带电荷量为q=2×10﹣4C的负电荷，所受电场力大小为F=16N，方向水平向左．求P点的电场强度大小及方向．2015-2016学年江苏省连云港市赣榆县智贤中学高二（上）第一次月考物理试卷一、单项选择题：每小题只有一个选项符合题意（本大题23小题，每小题3分，共69分）1．物理学中引入“质点”、“点电荷”等概念，从科学方法上来说是属于( )A．控制变量的方法B．观察实验的方法C．建立理想化模型的方法 D．等效替代的方法【考点】物理学史．【分析】物理学中引入了“质点”、“点电荷”、“电场线”等概念，都是在物理学中引入的理想化的模型，是众多的科学方法中的一种．【解答】解：“质点”、“点电荷”等都是为了研究问题简单而引入的理想化模型，所以它们从科学方法上来说属于理想化模型，故C正确．故选：C【点评】理想化的模型是实际物体的简化处理．物理上研究的方法很多，我们在学习物理知识的同时，更要学习科学研究的方法．2．如图所示，当将带正电的球C移近不带电的枕形绝缘金属导体AB时，枕形导体上的电荷移动情况( )A．枕形金属导体上的正电荷向B端移动，负电荷不移动B．枕形金属导体中的带负电的电子向A端移动，正电荷不移动C．枕形金属导体中的正、负电荷同时分别向B端和A端移动D．枕形金属导体中的正、负电荷同时分别向A端和B端移动【考点】静电场中的导体．【专题】电场力与电势的性质专题．【分析】带正电荷的球C移近不带电的枕形金属导体时，发生了静电感应现象，金属导电的实质是自由电子的移动，正电荷不移动；电荷间的相互作用，同号电荷相互排斥，异种电荷相互吸引．【解答】解：金属导电的实质是自由电子的移动，即负电荷在外电场的作用下枕形金属导体自由电子向A移动，正电荷不移动．故B正确，ACD错误．故选：B．【点评】考查了静电感应时，电荷的移动；重点是金属导电的实质是自由电子的移动，正电荷不移动．3．真空中有两个点电荷，若保持它们之间的距离不变，带电量都减小为原来的一半，则库仑力变为原来的( )A．倍B．倍C．2倍D．4倍【考点】库仑定律．【专题】电场力与电势的性质专题．【分析】当在真空中两个点电荷，其间的库仑力与两点电荷的电量乘积成正比，与间距的平方成反比．【解答】解：A、当控制它们的间距不变时，改变电量均为原来的一半时，则库仑力变为原来的四分之一．故A正确；B、当控制它们的间距不变时，改变电量均为原来的一半时，则库仑力变为原来的四分之一．故B错误；C、当控制它们的间距不变时，改变电量均为原来的一半时，则库仑力变为原来的四分之一．故C错误；D、当控制它们的间距不变时，改变电量均为原来的一半时，则库仑力变为原来的四分之一．故D错误；故选：A【点评】由库仑定律可知，在真空是必须确保电荷量不变，且电荷间距要大是能将带电量看成点来处理．4．真空中有完全相同的两个金属球，一个带电量为+2×10﹣5库，另一个带电量为﹣6×10﹣5库．现将两小球看成点电荷，若它们之间的距离为r，它们之间的库仑力为F．现在将两小球互相接触一下再放回到原处，则此时它们之间的库仑力( )A．，斥力B．，引力C．，斥力D．，引力【考点】库仑定律．【分析】两个完全相同的小球带的是异种电荷，那么当它们接触后，它们带的电荷将先中和，之后再将剩余的电荷量平分．找到小球带的电量的关系之后，根据库仑力的公式就可以求得作用力的大小．【解答】解：设两个球之间的距离为r，根据库仑定律，在它们相接触之前，相互间的库仑力大小F为：F=k，当将它们相接触之后，它们的电荷量先中和，再平分，此时每个球的电荷量为﹣2×10﹣5库，所以，此时两个球之间的相互的排斥力为F′，则F′=k=，所以C正确，ABD错误；故选：C．【点评】解决本题的关键就是掌握住电荷平分的原则，当完全相同的金属小球互相接触时，它们的电荷量将会平分．5．如图，A、B、C三点相比，其电场强度( )A．最大的是点A，最小的是点BB．最大的是点B，最小的是点CC．最大的是点C，最小的是点AD．A、B、C三点的电场强度方向相同【考点】电场强度；电场线．【专题】定性思想；推理法；电场力与电势的性质专题．【分析】电场线的疏密表示电场强度的强弱，该点的切线方向表示电场强度的方向，据此可正确解答．【解答】解：电场线的疏密表示电场强度的相对大小，由图看出，B处电场线最密，场强最大，C处电场线最疏，场强最小，则A、B、C三点电场强度的大小关系，所以E B＞E A＞E C而某点的切线方向表电场强度的方向，因此它们的电场强度不相同，故B正确，ACD错误；故选：B．【点评】电场线虽然不存在，但可形象来描述电场的分布，明确电场线分布与电场强度之间的关系．6．如图所示为磁场、磁场作用力演示仪中的线圈，当在线圈中心处挂上一个小磁针，且与线圈在同一平面内，则当赫姆霍兹线圈中通以如图所示方向的电流时( )A．小磁针N极向里转 B．小磁针N极向外转C．小磁针在纸面内向左摆动D．小磁针在纸面内向右摆动【考点】通电直导线和通电线圈周围磁场的方向．【分析】根据右手螺旋定则判断出环形电流内部和外部的磁场，根据小磁针静止时N极所指的方向为磁场的方向，判断出小磁针N极的偏转．【解答】解：根据右手螺旋定则知，环形电流内部的磁场方向向里，外部的磁场方向向外，则小磁针的N极向纸面里偏转．故A正确，B、C、D错误．故选：A．【点评】解决本题本题的关键知道小磁针静止时N极的指向表示磁场的方向，以及会运用右手螺旋定则判断电流周围的磁场方向．7．下列说法正确的是( )A．电荷在电场中某点受到的电场力大，该点的电场强度就大B．电场强度的方向总跟电场力的方向一致C．负电荷受到的电场力的方向跟电场强度的方向相反D．在匀强电场中，带电粒子受到的电场力一定相同【考点】电势差与电场强度的关系；电场强度．【专题】定性思想；控制变量法；电场力与电势的性质专题．【分析】电场强度是描述电场强与弱的物理量，大小是由电荷所受电场力与其电量的比值，而方向即为正电荷所受电场力方向【解答】解：A、电荷在电场中某点受到的电场力大，则可能是电荷量多，该点的电场强度是不变的．故A错误；B、电场强度方向即为正电荷所受电场力方向．故B错误；C、电场强度方向即为正电荷所受电场力方向，负电荷受到的电场力的方向跟电场强度的方向相反，故C正确；D、在匀强电场中，同一带电粒子受到的电场力一定相同，不同电荷受到的电场力一定不同，故D错误；故选：C【点评】电场强度的方向为正点电荷在某点所受电场力方向，也可以是电场线某点的切线方向8．某电场的电场线如图所示，电场中M、N两点的场强大小分别为E M和E N，由图可知( )A．E M=E N B．E M＞E NC．E M＜E N D．无法比较E M和E N的大小【考点】电场线；电场强度．【专题】电场力与电势的性质专题．【分析】电场线是从正电荷或者无穷远出发出，到负电荷或无穷远处为止，电场线密的地方电场的强度大，电场线疏的地方电场的强度小．【解答】解：电场线密的地方电场的强度大，电场线疏的地方电场的强度小，所以E M＜E N，所以C正确．故选C．【点评】加强基础知识的学习，掌握住电场线的特点，即可解决本题．9．如图所示，环形导线中通有顺时针方向的电流I，则该环形导线中心处的磁场方向为( )A．水平向右 B．水平向左C．垂直于纸面向里D．垂直于纸面向外【考点】通电直导线和通电线圈周围磁场的方向．【分析】由右手螺旋定则可判断电流周围磁场的分布．【解答】解：图中电流为环形电流，由右手螺旋定则可得：大拇指指向电流方向，四指弯曲方向在内部向里，所以内部磁场应垂直于纸面向里．故选：C．【点评】右手螺旋定则在应用过程中容易出现错误，要加强练习，增加熟练程度．10．如图所示，在水平直导线正下方，放一个可以自由转动的小磁针．现给直导线通以向右的恒定电流，不计其他磁场的影响，则( )A．小磁针保持不动B．小磁针的N将向下转动C．小磁针的N极将垂直于纸面向里转动D．小磁针的N极将垂直于纸面向外转动【考点】通电直导线和通电线圈周围磁场的方向．【分析】小磁针能体现出磁场的存在，且小磁针静止时N极的指向为磁场的方向，即为磁感应强度的方向．也可为磁感线在该点的切线方向．而电流周围的磁场由右手螺旋定则来确定磁场方向．【解答】解：当通入如图所示的电流时，根据右手螺旋定则可得小磁针的位置的磁场方向是垂直纸面向里，由于小磁针静止时N极的指向为磁场的方向，所以小磁针的N极将垂直于纸面向里转动．故选：C【点评】右手螺旋定则也叫安培定则，让大拇指所指向为电流的方向，则四指环绕的方向为磁场方向．当导线是环形时，则四指向为电流的方向．11．关于通电直导线周围磁场的磁感线分布，下列示意图中正确的是( )A．B．C．D．【考点】磁现象和磁场．【分析】通电导线周围的磁场方向，由右手螺旋定则来确定．【解答】解：A、伸开右手，大拇指方向为电流方向，则四指环绕方向为逆时针．故A正确；B、伸开右手，大拇指方向为电流方向，则四指环绕方向为逆时针．而图为顺时针，故B错误；C、直导线周围的磁感线应该是一系列的同心圆，故C错误；D、直导线周围的磁感线应该是一系列的同心圆，故D错误；故选：A【点评】右手螺旋定则也叫安培定则，当直导线时，右手大拇指方向为电流的方向，四指环绕方向为磁场方向；当环形导线时，四指环绕方向为电流方向，右手大拇指方向为环内的磁场方向．12．如图所示，一带正电的物体位于M处，用绝缘丝线系上带正电的小球，分别挂在P1、P2、P3的位置，可观察到小球在不同位置时丝线偏离竖直方向的角度不同．则下面关于此实验得出的结论中正确的是( )A．电荷之间作用力的大小与两电荷间的距离有关B．电荷之间作用力的大小与两电荷的性质有关C．电荷之间作用力的大小与两电荷所带的电量有关D．电荷之间作用力的大小与丝线的长度有关【考点】库仑定律．【专题】控制变量法．【分析】解答本题要了解库仑力的推导过程，由于决定电荷之间作用力大小的因素很多，因此需要采用控制变量的方法进行研究．虽然学生现在都知道库仑力的决定因素，但是该实验只是研究了库仑力和距离之间的关系．【解答】解：在研究电荷之间作用力大小的决定因素时，采用控制变量的方法进行，如本实验，根据小球的摆角可以看出小球所受作用力逐渐减小，由于没有改变电性和电量，不能研究电荷之间作用力和电性、电量关系，故BCD错误，A正确．故选A．【点评】控制变量法是高中物理物理中重要研究方法，要了解控制变量法的应用．13．下列各图中，正确描绘两个等量正电荷电场线的是( )A．B．C．D．【考点】电场线；点电荷的场强．【专题】电场力与电势的性质专题．【分析】电场线从正电荷出发，到负电荷终止，电场线不相交，不闭合，同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引．【解答】解：电场线不相交，AB错误；电场线从正电荷出发，到负电荷终止，C错误，D正确；故选：D【点评】本题考查了电场线的基本特点：电场线从正电荷出发，到负电荷终止，电场线不相交，不闭合，同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引．14．在以下列举的应用或现象中，属于静电防止的是( )A．静电复印 B．静电喷涂C．静电除尘 D．油罐车用铁链拖地运行【考点】静电现象的解释．【分析】本题考查是关于静电的防止与应用，从各种实例的原理出发就可以判断出答案．【解答】解：A．静电复印是利用异种电荷相互吸引而使碳粉吸附在纸上，属于静电应用，不符合题意；B．喷枪喷出的油漆微粒带正电，因相互排斥而散开，形成雾状，被喷涂的物体带负电，对雾状油漆产生引力，把油漆吸到表面，属于静电应用，不符合题意；C．静电除尘时除尘器中的空气被电离，烟雾颗粒吸附电子而带负电，颗粒向电源正极运动，属于静电应用，不符合题意；D．油罐车上的搭地铁链是为了把产生的静电导走，属于静电的防止，符合题意．故选D．【点评】本题考查是关于静电的防止与应用，要求同学们熟练掌握静电的防止与应用的具体实例．15．关于电场线，下列说法正确的是( )A．电场线是实际存在于电场中的闭合曲线B．同一电场中，电场线越密的地方，电场强度越大C．同一电场中，电场线越疏的地方，电场强度越大D．同一电场中，电场线的疏密程度与电场强度的大小无关【考点】电场线．【专题】定性思想；推理法；电场力与电势的性质专题．【分析】电场线的方向是正电荷所受电场力的方向，而正负电荷所受的电场力的方向相反；电场线可以形象描述电场的强弱与方向，人们为描述电场而引入的线，实际上是不存在的；电场线的疏密代表电场的强弱，故电场线越密的地方场强越强．【解答】解：A、电场线是人们为描述电场而引入的线，是假想的曲线，实际上是不存在的．故A错误．B、C、D、电场线的疏密代表电场的强弱，故电场线越密的地方场强越强．故B正确，C错误，D错误．故选：B．【点评】记住电场线的特点：电场线的疏密代表电场的强弱，沿电场线方向电势逐渐降低，即可顺利解出此题，故要在理解的基础上牢记基本概念．16．生产、生活中使用的许多东西都可看作能量转换器，它们把能量从一种形式转化为另一种形式．下列电器或设备在工作过程中把电能大部分转化为动能的是( )A．电冰箱B．电风扇C．发电机D．汽油机【考点】电功、电功率．【分析】电风扇电能主要转化为动能，发电机是将其他能转化为电能，电冰箱将电能转化为内能．汽油机将化学能转化为内能．【解答】解；A、电冰箱将电能转化为内能．故A错误．B、电风扇电能主要转化为动能，故B正确．C、发电机是将其他能转化为电能，故C错误．D、汽油机将化学能转化为内能．故D错误．故选B【点评】能量转换器可根据能量转化和守恒定律来分析能量如何转化，简单的方法是减小的能量转化为增加的能量．17．（单选）随着我国人民生活水平的不断提高，家庭中使用的电器越来越多．下列电器中主要应用电流热效应的是( )A．电风扇B．电饭煲C．录音机D．电视机【考点】电功、电功率．【分析】电流流过导体时，导体要发热，这种现象是电流的热效应．产生电流的热效应时，电能转化为内能．【解答】解：电饭锅工作时，电能转化为内能，利用电流的热效应．符合题意．电风扇工作时，主要是电能转化为机械能．录音机工作时，电能主要转化为声能．电视机主要将电能转化为声能和光能．故B正确，ACD错误．故选：B．【点评】利用电流的热效应工作的家用电器工作时，电能转化为内能，这是判断的关键．18．关于静电，下列说法中不正确的是( )A．干燥天气里脱化纤衣物时常常会看到火花，听到劈啪声B．室内栽花种草可杜绝静电产生C．高压输电导线表面要很光滑，以避免因尖端放电而损失电能D．油罐车尾装一条拖地铁链，有利于消除静电【考点】* 静电的利用和防止．【分析】本题考查是关于静电的防止与应用，从各种实例的原理出发就可以判断出答案．【解答】解：A．干燥天气里化纤的衣服摩擦后带异种电荷而出现放电现象，从而会看到火花，听到劈啪声，故A不符合题意；B．室内栽花种草可有效防止静电，而不能杜绝静电产生，故B符合题意；C．表面光滑可以减小导线的表面积，这样可以大大减少感应放电，故C不符合题意；D．油罐车在运动的过程中，由于里面的油在晃动，也会摩擦产生静电，后面拖一条的铁链就可以以及时的把产生的静电导走，有利于消除静电，故D不符合题意．故选B．【点评】本题考查是关于静电的防止与应用，要求同学们熟练掌握静电的防止与应用的具体实例19．有a、b、c、d四个小磁针，分别放置在通电螺线管的附近和内部．当小磁针静止时，小磁针指向如图所示，其中是正确的( )A．a B．b C．c D．d【考点】通电直导线和通电线圈周围磁场的方向．【分析】利用安培定则判断出通电螺线管周围磁场方向，注意螺线管内部和外部磁场方向不同，然后根据小磁针静止时N极所指的方向和磁感线的方向一致，从而判断出小磁针静止时方向．。
江苏省赣榆高级中学2015-2016学年高二下学期期中考试数学试题 含答案
江苏省赣榆高级中学2015-2016学年度第二学期期中考试高二数学试题（选修物理）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分,共70分．请把答案直接填写在答题卡的相应位置上．．．．．．．．．．1．复数ii -+25 （i 是虚数单位)的虚部．．是 ▲ ．2．设(3,2,4),(1,,),a b x y =-=若a ∥b ，则x y += ▲ ．3．从A 村去B 村的道路有3条，从B 村去C 村的道路有2条，从A 村经过B 村去C 村不同走法的总数是 ▲ ．4．已知双曲线2214x y m -=的渐近线方程为y x =，则m =▲ ．5．设n ∈N ＊，f （n )= 5n+2×13n -+1，通过计算n =1，2，3，4时f （n ）的值，可以猜想f (n ）能被最大整数 ▲ 整除．6．已知A 2n=7A 24-n ，则n = ▲ ．7．设(5)5,(5)3,(5)4,(5)1,f f g g ''====若()2()()f x h xg x +=，则(5)h '= ▲ ．8．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数,,a b c 中恰有一个偶数”正确的反设为 ▲ ． 9．观察下列各式：223344551,3,4,7,11,,a b ab a b a b a b +=+=+=+=+=则1111ab +=▲ ．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC ∆的顶点(1,0)A -和(1,0)C ,顶点B 在椭圆22143x y +=上，则sin sin sin AC B += ▲ ．11．从1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52中得出的一般性结论是 ▲ ．12．已知12,z zC ∈,1271,71,z z =+=-且124,z z -=则12z z +=▲ ．13．直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥,2AB =，4AC =,12AA =,D 为BC 的中点．则直线1DB 与平面11AC D 所成角的正弦值 ▲ ．14．已知定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<且(1)y f x =+为偶函数,(2)1f =，则不等式()xf x e <的解集为▲ ．二、解答题：本大题共6小题,共90分．请在答题卡指定区域．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分14分）已知复数z 的实部和虚部都是整数，（I)若复数z 为纯虚数，且|z －1|＝｜－1＋i ｜，求复数z ； （II ）若复数z 满足z ＋10z是实数,且1〈z ＋错误!≤6，求复数z ．16．（本题满分14分）如图,在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是BC 的中点,F 是棱CD 上的动点，G 为C 1D 1的中点，H 为A 1G的中点．(I ）当点F 与点D 重合时，求证：EF ⊥AH ；（II ）设二面角C 1-EF —C 的大小为θ,试确定点F 的位置，使得sinθ23．17．（本题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点3，离心率3A 的两条斜率乘积为14-的直线分别交椭圆C 于,M N 两点．（I ） 求椭圆C 的标准方程；（II ）直线MN 是否过定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由．18．（本题满分16分）如图，在四棱锥P —ABCD 中,PA ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，BC 23，AB =1,BD =PA =2，M 为PD 的中点．(I ） 求异面直线BD 与PC 所成角的余弦值;（II ）求二面角A —MC -D 的平面角的余弦值．19．(本题满分16分）已知函数1()ln a f x x a x x+=-+．（I ）若1a =，求()f x 在[1,3]x ∈的最值； （II)求函数()f x 的单调区间; （Ⅲ）若存在0[1,],xe ∈使得0()0f x <成立，求a 的取值范围．20．（本题满分16分)设数列}{na 满足：121+-=+n n n na a a ， ,3,2,1=n(I ）当21=a时，求432,,a a a 并由此猜测n a 的一个通项公式；（II ）当31≥a 时,证明：对所有的1≥n ，有(i ）2+≥n an（ii ）2111111111321≤++++++++n a a a a ．高二期中考试数学参考答案一、填空题1．752．233．6 4．2 5．8 6．7 7．5168．自然数,,a b c中至少有两个偶数或都是奇数．9．299 10．2 11．n+(n+1）+(n+2）+…+（3n-2)=(2n—1）2（n∈N＊) 12．41314．(0,) 二、解答题15．解：（Ⅰ) ∵z为纯虚数，∴设z＝a i(a∈R且a≠0）,又｜－1＋i|＝错误!，由|z－1|＝｜－1＋i｜，得a2＋1＝错误!,解得a＝±1，∴z＝±i．（直接写答案z＝i只给2分)……6分（II)设z＝a＋b i（a，b∈Z，且a2＋b2≠0)．则z＋错误!＝a＋b i＋错误!＝a＋b i＋错误!＝a错误!＋b错误!i．……8分由z＋10z是实数，且1<z＋错误!≤6，∴b错误!＝0，即b＝0或a2＋b2＝10．…10分又1<a 错误!≤6，(＊)当b ＝0时，(＊)化为1<a ＋10a≤6无解．当a 2＋b 2＝10时，（*)化为1〈2a ≤6，∴错误!〈a ≤3．由a ,b ∈Z,知a ＝1,2,3．∴相应的b ＝±3,±错误!（舍），±1．因此，复数z 为：1±3i 或3±i． ……14分16．以点A 为坐标原点,建立如图（2）所示的空间直角坐标系，则A 1(0，0,1)，C 1（1，1，1），D(0，1,0），E 1102⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，G 1112⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，H 11142⎛⎫⎪⎝⎭，，，设F(x ,1，0)（0≤x ≤1）． ……2分（I)易知F （0，1，0），AH =11142EF ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，=1-102⎛⎫⎪⎝⎭，，， 所以AH ·EF =0，所以EF⊥AH． ……6分（II ）易知1C E =10--12EF ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，=1102x ⎛⎫-⎪⎝⎭，，,且x ≠1．设v =（a ，b ，c ）是平面C 1EF的法向量,则11·--021·(-1)02C E b c EF x a b ⎧==⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，，v v ……10分令c =1，则平面C 1EF 的一个法向量v =1-21-1x ⎛⎫⎪⎝⎭，，．又1AA =(0，0，1)是平面EFC 的一个法向量，所以cos 〈v ，1AA 〉=11·||||AA AAv v =， 结合条件知可取cos θ=cos 〈v ，1AA 〉,=13，解得x=12或x=32（舍去)．故当F 是CD 的中点时，sinθ． ……14分17．解析：（I ）由已知得221314c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩．∴椭圆的标准方程为2214x y +=．……4分(II)由（1)可知椭圆右顶点(2,0)A ．由题意可知,直线AM 和直线AN 的斜率存在且不为0． 设直线AM 的方程为(2)y k x =-．∵2244(2)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，得2222(14)161640k x k x k +-+-=． ……6分42225616(14)(41)160k k k ∆=-+-=>成立．∴22164214M k x k -⨯=+,∴228214M k x k -=+． ∴222824(2)(2)1414M M k ky k x k k k --=-=-=++．∴222824(,)1414k k M k k --++．……8分 ∵直线AM 和直线AN的斜率乘积为14-,故可设直线AN 的方程为1(2)4y x k=--． 同理，易得222218()228411414()4N k k x k k---==++-．∴222284(,)1414k kN k k-++．……10分∴当M N x x ≠时,即12k ≠±时，2214MN k k k=-．直线MN的方程为22224228()141414k k k y x k k k--=-+-+．整理得：2214ky x k =-． 显然直线MN 过定点(0,0)D ．（点M 、N 关于原点对称） 当MN xx =，即12k =±时，直线MN 显然过定点(0,0)D ．综上所述，直线MN 过定点(0,0)D ．……14分18．解：（I ） 因为PA⊥平面ABCD,AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PA⊥AB，PA⊥AD．又AD⊥AB，如图，以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系． …………2分根据条件得所以B （1，0,0）,D(00),C 10⎛⎫⎪⎪⎝⎭，P （0，0，2),则BD =(-1,0)，PC =1-23⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，．…………4分设异面直线BD ，PC 所成的角为θ，则cos θ=｜cos <BD PC ，〉|=|?|||||BD PC BDPC =．即异面直线BD 与PC ．…………8分（II）设平面AMC 的一个法向量为n 1=(x 1,y 1，z 1），M =，AM = 则n 1⊥AM ，所以n 1·AM =(x 1，y 1,z 1）·110y z +=，又n 1⊥AC ，所以n 1·AC =(x 1，y 1，z 1)·10⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭=110x y +=， 取y 1=得x 1=2，z 1=32,故n 1=（2，，32)， (10)分同理可得平面BMC 的一个法向量n 2=(1，，32)，……………………12分因为cos 〈n 1,n 2〉=121292357nn n n -+==所以二面角A -MC —D 的平面角的余弦值为．…………16分19．解：（I ）由题意知2()ln f x x x x=-+，[1,3]x ∈．222122()1,x x f x x x x--'=--=令()0f x '=,122,1().x x ==-舍由上表可知,函数()f x 的最小值为(2)2ln 2f =-，函数()f x 的最大值为(1)3f =．……4分（II)22211()1,a a x ax af x x x x+---'=--=令()0f x '=，121,1.x x a =-=+ 由于函数()f x 的定义域为(0+)∞，， 当10a +≤时，()0f x '>， 当10a +>时，01x a <<+有()0f x '<，1x a >+有()0f x '>．所以，当1a ≤-时，函数()f x 的递增区间是(0+)∞，; 当1a >-时，函数()f x 的递减区间是(01)a +，；递增区间是[1+)a +∞，． (10)分（Ⅲ） 当11a +≤时，即0a ≤时，函数()f x 在[1,]e 上单调递增，(1)0f <解得2a <-；当1a e +≥时，即1a e ≥-时，函数()f x 在[1,]e 上单调递减，()0f e <解得211e a e +>-；当11a e <+<时，即01a e <<-时,函数()f x 在[1,1]a +上单调递减，[1,]a e +上单调递增，(1)2ln(1)0f a a a a +=+-+<，由于0ln(1)1a <+<，所以ln(1)a a a >+，因此2ln(1)2a a a +-+>,不等式(1)0f a +<无解．综上所述,2a <-或211e a e +>-．……16分20．解(I ）由21=a ,得311212=+-=a a a由32=a ，得4122223=+-=a a a 由43=a，得5133234=+-=a a a由此猜想na 的一个通项公式：1+=n a n(1≥n ） ……4分（II ）（i ）用数学归纳法证明：①当1=n 时，2131+=≥a，不等式成立．②假设当k n =时不等式成立，即2+≥k a k，那么3521)2)(2(1)(1+≥+=+-++≥+-=+k k k k k k a a a k k k ．也就是说，当1+=k n 时,2)1(1++≥+k a k据①和②，对于所有1≥n ，有2≥na． ……10分(ii)由1)(1+-=+n a a an n n 及(i ）,对2≥k ，有1)1(11++-=--k a a a k k k121)121(11+=++-+-≥--k k a k k a学必求其心得，业必贵于专精……1)1(2122211211-+=++++≥---a a a k k k k ……14分 于是11211111-⋅+≤+k k a a ，2≥k 2131212211121111111111121111=+≤+≤+=+++≤+∑∑∑=-=-=a a a a a n k k n k k n k k ……16分。
江苏省赣榆智贤中学2024年高中毕业班第一次诊断性检测试题数学试题
江苏省赣榆智贤中学2024年高中毕业班第一次诊断性检测试题数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．5(12)(1)x x ++的展开式中2x 的系数为（ ） A ．5B ．10C ．20D ．302．执行如图所示的程序框图后，输出的值为5，则P 的取值范围是（ ）.A ．37,48⎛⎤⎥⎝⎦B ．59,610⎛⎤⎥⎝⎦C ．715,816⎛⎤⎥⎝⎦D ．1531,1632⎛⎤⎥⎝⎦3．定义运算()()a ab a b b a b ≤⎧⊕=⎨>⎩，则函数()12xf x =⊕的图象是（ ）．A ．B ．C ．D ．4．已知a ，b ，R c ∈，a b c >>，0a b c ++=．若实数x ，y 满足不等式组040x x y bx ay c ≥⎧⎪+≤⎨⎪++≥⎩，则目标函数2z x y=+（ ）A ．有最大值，无最小值B ．有最大值，有最小值C ．无最大值，有最小值D ．无最大值，无最小值5．抛物线23x ay =的准线方程是1y =，则实数a =（ ） A ．34-B ．34C ．43-D ．436．已知集合{}|1A x x =>-，集合(){}|20B x x x =+<，那么A B 等于（ ）A ．{}|2x x >-B ．{}1|0x x -<<C ．{}|1x x >-D ．{}|12x x -<<7．定义两种运算“★”与“◆”，对任意N n *∈，满足下列运算性质：①2★2018=1，2018◆11=；②（2n ）★2018=[2(22)n +★]2018 ，2018◆(1)2(2018n +=◆)n ，则（2018◆2020）（2020★2018）的值为( ) A ．10112B ．10102C ．10092D ．100828．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是（ ） A ．48B ．60C ．72D ．1209．空气质量指数AQI 是反映空气状况的指数，AQI 指数值趋小，表明空气质量越好，下图是某市10月1日-20日AQI指数变化趋势，下列叙述错误的是（ ）A ．这20天中AQI 指数值的中位数略高于100B ．这20天中的中度污染及以上（AQI 指数>150）的天数占14C ．该市10月的前半个月的空气质量越来越好D ．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好10．已知双曲线2222:1x y a bΓ-=(0,0)a b >>的一条渐近线为l ，圆22:()4C x c y -+=与l 相切于点A ，若12AF F ∆的面积为23，则双曲线Γ的离心率为（ ）A ．2B ．233C ．73D ．21311．若i 为虚数单位，则复数22sin cos 33z i ππ=-+，则z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}2,3,4B =，则集合()UB A =( )A ．{}1,2,6B ．{}1,3,6C ．{}1,6D ．{}6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。