2010五校联考自主招生真题试卷(数学完整版)
2010复旦交大清华北大自主招生数学试题
O x O xO x则该多面体的体积为______________A. 32个；B. 30个；C.28个；D.26个7、给定平面向量(1,1)，那么，平面向量(231-，231+)是将向量(1,1)经过________. A ．顺时针旋转60°所得；B ．顺时针旋转120°所得；C ．逆时针旋转60°所得；D ．逆时针旋转120°所得；8、在直角坐标系Oxy 中已知点A 1(1,0)，A 2(1/2,3/2)，A 4(−1,0)，A 5(−1/2,−3/2)和A6(1/2, −3/2).问在向量−−→−ji A A (i,j=1,2,3,4,5,6，i≠j)中，不同向量的个数有_____.A.9个；B.15个；C.18个；D.30个 9、对函数f:[0,1]→[0,1]，定义f 1(x)=f(x)，……，f n (x) =f(f n−1(x))，n=1,2,3,…….满足f n (x)=x的点x ∈[0,1]称为f 的一个n−周期点.现设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤=121,22,210,2)(x x x x x f 问f 的n−周期点的个数是___________.A.2n 个；B.2n 2个；C.2n 个；D.2(2n −1)个.10、已知复数z 1=1+3i ，z 2=−3+3i ，则复数z 1z 2的幅角__________. A.13π/12;B.11π/12;C.−π/4;D.−7π/12.11、设复数βαβαcos sin ,sin cos i w i z +=+=满足z w =3/2，则sin(β−α)=______. A.±3/2;B.3/2，−1/2;C. ±1/2;D.1/2,−3/2.12、已知常数k 1,k 2满足0<k 1<k 2，k 1k 2=1.设C 1和C 2分别是以y=±k 1(x−1)+1和y=±k 2(x−1)+1为渐近线且通过原点的双曲线.则C 1和C 2的离心率之比e 1/e ·等于_______.A.222111k k ++; B.212211k k ++ C.1 D.k 1/k 213、参数方程0,)cos 1()sin (>⎩⎨⎧-=-=a t a y t t a x 所表示的函数y=f(x)是____________.A ．图像关于原点对称；B ．图像关于直线x=π对称；C ．周期为2aπ的周期函数D ．周期为2π的周期函数.14、将同时满足不等式x−ky−2≤0，2x+3y−6≥0，x+6y−10≤0 (k>0)的点(x,y)组成集合D 称为可行域，将函数(y+1)/x 称为目标函数，所谓规划问题就是求解可行域中的点(x,y)使目标函数达到在可行域上的最小值.如果这个规划问题有无穷多个解(x,y)，则k 的取值为_____.A.k≥1;B.k≤2C.k=2;D.k=1.15、某校有一个班级，设变量x 是该班同学的姓名，变量y 是该班同学的学号，变量z 是该班同学的身高，变量w 是该班同学某一门课程的考试成绩.则下列选项中正确的是________.A. y 是x 的函数；B. z 是y 的函数；C. w 是z 的函数；D. w 是x 的函数.16、对于原命题“单调函数不是周期函数”，下列陈述正确的是________. A. 逆命题为“周期函数不是单调函数”； B. 否命题为“单调函数是周期函数”； C. 逆否命题为“周期函数是单调函数”； D. 以上三者都不正确17、设集合A={(x,y)|log a x+log a y>0}，B={(x,y)|y+x<a}．如果A∩B=∅，则a 的取值范围是_______A ．∅;B ．a>0,a≠1;C ．0<a≤2, a≠1D ．1<a≤218、设计和X 是实数集R 的子集，如果点x 0∈R 满足：对任意a>0，都存在x ∈X 使得0<|x−x 0|<a ，则称x 0为集合X 的聚点.用Z 表示整数集，则在下列集合(1){n/(n+1)|n ∈Z, n≥0}， (2) R\{0}， (3){1/n|n ∈Z, n≠0}， (4)整数集Z 中，以0为聚点的集合有_____.A ．(2), (3)；B ．(1), (4)；C ．(1), (3)；D ．(1), (2), (4)19、已知点A(−2,0)，B(1,0)，C(0,1)，如果直线kx y =将三角形△ABC 分割为两个部分，则当k=______时，这两个部分得面积之积最大？A ．23-B ．43-C ．34-D ．32- 20、已知x x x x f 2cos 3cos sin )(+=，定义域⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ππ127,121)(f D ，则=-)(1x f_____A ．π12123arccos 21+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-xB ．π6123arccos 21-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x C ．π12123arcsin 21+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--x D ．π6123arcsin 21-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 21、设1l ，2l 是两条异面直线，则直线l 和1l ，2l 都垂直的必要不充分条件是______ A ．l 是过点11l P ∈和点22l P ∈的直线，这里21P P 等于直线1l 和2l 间的距离 B ．l 上的每一点到1l 和2l 的距离都相等 C ．垂直于l 的平面平行于1l 和2l D ．存在与1l 和2l 都相交的直线与l 平行22、设ABC−A’B’C’是正三棱柱，底面边长和高都为1，P 是侧面ABB ’A’的中心，则P到侧面ACC’A’的对角线的距离是_____A ．21 B ．43 C ．814 D ．82323、在一个球面上画一组三个互不相交的圆，成为球面上的一个三圆组.如果可以在球面上通过移动和缩放将一个三圆组移动到另外一个三圆组，并且在移动过程中三个圆保持互不相交，则称这两个三圆组有相同的位置关系，否则就称有不同的位置关系.那么，球面上具有不同的位置关系的三圆组有______A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种24、设非零向量()()()321321321,,,,,,,,c c c c b b b b a a a a ===为共面向量，),,(31x x x x x = 是未知向量，则满足0,0,0=⋅=⋅=⋅x c x b x a的向量x 的个数为_____A ．1个B ．无穷多个C ．0个D ．不能确定 25、在Oxy 坐标平面上给定点)1,2(),3,2(),2,1(C B A ，矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-112k 将向量,,分别变换成向量',','，如果它们的终点',','C B A 连线构成直角三角形，斜边为''C B ，则k 的取值为______A ．2±B ．2C ．0D ．0，−2 26、设集合A,B,C,D 是全集X 的子集，A∩B≠∅，A∩C≠∅.则下列选项中正确的是______. A.如果B D ⊂或C D ⊂，则D∩A≠∅；B.如果A D ⊂，则C x D∩B≠∅，C x D∩C≠∅；C.如果A D ⊃，则C x D∩B=∅，C x D∩C=∅；D.上述各项都不正确.27、已知数列{}n a 满足21=a 且n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公比为2的等比数列，则∑==nk k a 1______A ．221-+n n B ．22)1(1+-+n n C ．)1(22-+n n n D ．n n n 22)1(+-28、复平面上圆周2211=+--iz z 的圆心是_______ A ．3+i B ．3−i C ．1+i D ．1−i29.已知C 是以O 为圆心、r 为半径的圆周，两点P 、P *在以O 为起点的射线上，且满足|OP|∙|OP *|=r 2，则称P 、P *关于圆周C 对称．那么，双曲线22x y -=1上的点P(x,y)关于单位圆周C':x 2＋y 2=1的对称点P *所满足的方程是(A)2244x y x y -=+ (B)()22222x y x y -=+ (C)()22442x y x y -=+(D)()222222x y x y-=+30、经过坐标变换⎩⎨⎧+-=+=θθθθcos sin 'sin cos 'y x y y x x 将二次曲线06532322=-+-y xy x 转化为形如1''2222=±by a x 的标准方程，求θ的取值并判断二次曲线的类型_______A ．)(6Z k k ∈+=ππθ，为椭圆 B ．)(62Z k k ∈+=ππθ，为椭圆C ．)(6Z k k ∈-=ππθ，为双曲线D ．)(62Z k k ∈-=ππθ，为双曲线31、设k, m, n 是整数，不定方程mx+ny=k 有整数解的必要条件是____________ A. m,n 都整除k ; B. m,n 的最大公因子整除k ; C. m,n,k 两两互素; D. m,n,k 除1外没有其它共因子2010年五校合作自主选拔通用基础测试 数学试题 适用高校:清华大学、上海交通大学等五校 一、选择题1．设复数2()1a i w i+=+，其中a 为实数，若w 的实部为2，则w 的虚部为( ) (A)32- (B)12- (C)12 (D)322．设向量,a b ，满足||||1,==⋅=a b a b m ，则||+a tb ()t R ∈的最小值为( ) (A)2(C)13. 无试题4. 无试题5．在ABC ∆中，三边长,,a b c ，满足3a c b +=，则tan tan 22A C的值为( ) (A)15 (B)14 (C)12 (D)236．如图，ABC ∆的两条高线,AD BE 交于H ，其外接圆圆心为O ，过O 作OF 垂直BC 于F ，OH 与AF 相交于G ，则OFG ∆与GAH ∆面积之比为( )(A)1:4 (B)1:3 (C)2:5 (D)1:2O H G FEDCBA7．设()e (0)axf x a =>．过点(,0)P a 且平行于y 轴的直线与曲线:()C y f x =的交点为Q ，曲线C 过点Q 的切线交x 轴于点R ，则PQR ∆的面积的最小值是( )(A)1 (C)e2(D)2e 48．设双曲线2212:(2,0)4x y C k a k a -=>>，椭圆2222:14x y C a +=．若2C 的短轴长与1C 的实轴长的比值等于2C 的离心率，则1C 在2C 的一条准线上截得线段的长为( )(A) (B)2 (C) (D)49．欲将正六边形的各边和各条对角线都染为n 种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则n 的最小值为( )(A)6 (B)7 (C)8 (D)910．设定点A B C D 、、、是以O 点为中心的正四面体的顶点，用σ表示空间以直线OA 为轴满足条件()B C σ=的旋转，用τ表示空间关于OCD 所在平面的镜面反射，设l 为过AB 中点与CD 中点的直线，用ω表示空间以l 为轴的180°旋转．设στ表示变换的复合，先作τ，再作σ.则ω可以表示为( )(A)στστσ (B)στστστ (C)τστστ (D)στσστσ 二、解答题11．在ABC ∆中，已知22sin cos 212A BC ++=，外接圆半径2R =． (Ⅰ)求角C 的大小；(Ⅱ)求ABC ∆面积的最大值．12．设A B C D 、、、为抛物线24x y =上不同的四点，,A D 关于该抛物线的对称轴对称，BC 平行于该抛物线在点D 处的切线l ．设D 到直线AB ，直线AC 的距离分别为12,d d ，已知12d d +=．(Ⅰ)判断ABC ∆是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中的哪一种三角形，并说明理由；(Ⅱ)若ABC ∆的面积为240，求点A 的坐标及直线BC 的方程．O(Ⅱ)一般地，设正n 棱锥的体积V 为定值，试给出不依赖于n 的一个充分必要条件，使得正n 棱锥的表面积取得最小值．14．假定亲本总体中三种基因型式：,,AA Aa aa 的比例为:2:u v w (0,0,0,21)u v w u v w >>>++=且数量充分多，参与交配的亲本是该总体中随机的两个．(Ⅰ)求子一代中，三种基因型式的比例；(Ⅱ)子二代的三种基因型式的比例与子一代的三种基因型式的比例相同吗？并说明理由．15．设函数()1x m f x x +=+，且存在函数()1(,0)2s t at b t a ϕ==+>≠，满足2121()t s f t s-+=． (Ⅰ)证明：存在函数()(0),t s cs d s ψ==+>满足2121()s t f s t +-=； (Ⅱ)设113,(),1,2,.n n x x f x n +===证明：1123n n x --≤．2010年名牌大学自主招生考试试题(3)适用高校：清华大学、上海交通大学等五校(样题)一、选择题(每题5分，共25分)1.函数y=32cos sin cos x x x +-的最大值为 (A)2827 (B)3227 (C)43 (D)40272．已知a 、b 、c 、d 是实数,az bcz dω+=+, 且当Imz>0时，In ω＞0．则 (A)ad+bc>0; (B)ad+bc ＜0; (C)ad−bc ＞0; (D)ad−bc<0.3．甲、乙、丙、丁等七人排成一排，若要求甲在中间，乙丙相邻,且丁不在两端，则不同的排法共有( )(A)24种； (B)48种; (C)96种; (D)120种4．己知F 为抛物线y 2＝2px 的焦点，过点F 的直线l 与该抛物线交于A 、B 两点,l 1、l 2分别是该抛物线在A 、B 两点处的切线，l 1、l 2相交于点C ，设|AF|=a ，|BF|=b ，则|CF|=(C)2a b+;5．设θ是三次多项式f(x)＝x 3−3x ＋10的一个根，且α=222θθ+-,若h(x)是一个有理系数的二次多项式，满足条件()h αθ=．则h(0)= (A)−2; (B)2; (C)12-; (D)12二、解答题(本大题共55分)1.(本题15分)己知f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时,f(x)单调递增，f(−1)=0．设函数()2sin cos 2x x m x m ϕ=+-,集合M=()|0,,02m x x πϕ⎧⎫⎡⎤∈<⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭对任意的,N=()|0,,[]02m x f x πϕ⎧⎫⎡⎤∈<⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭对任意的,求MN.2.(本题20分)甲、乙、丙、丁等4人相互传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传给另外3人中的任何1人．(l)经过2次传球后，球在甲乙两人手中的概率各是多少？(2)经过n 次传球后，球在甲手中的概率记为p n (n=1,2,…) ,试求1n P +与n P 的关系式,并求n P 的表达式及lim n n P →∞3.(本题20分)设p 、q 是一元二次方程x 2+2ax−1=0(a>0)的两个根．其中p ＞0，令y 1=p−q,yn+1=2n y −2,n=1,2，…，证明：11212111lim ......n n y y y y y y →∞⎛⎫+++⎪⎝⎭=p. 2010年北京大学、香港大学、北京航空航天大学三校联合自主招生考试试题(数学部分)1．(仅文科做)02απ<<，求证：sin tan ααα<<．(25分) 2．AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB(25分)3．AB 为21y x =-上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值．(25分)4．向量OA 与OB 已知夹角，1OA =，2OB =，(1)OP t OA =-，OQ tOB =，01t ≤≤．PQ 在0t 时取得最小值，问当0105t <<时，夹角的取值范围．(25分)5．(仅理科做)存不存在02x π<<，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列．(25分)。
2010五校联考答案
答案：ADBCC ABDBD1． 设复数2i 1i a ω+⎛⎫= ⎪+⎝⎭，其中a 为实数．若ω的实部为2，则ω的虚部为 （ ） （A ）32-（B ）12- （C ）12 （D ）322． 设向量a ，b 满足1a b == ，a b m ⋅=，则()a t b t +∈R 的最小值为 （ ） （A ）2 （B（C ）1 （D3． 如果平面//α平面β，直线m αÜ，n βÜ，点A m ∈，B n ∈，AB 与平面α所成的角为4π，AB n ⊥，AB 与m 的夹角为3π，则m 与n 所成的角的大小为 （ ） （A ）3π （B ）4π （C ）6π （D ）8π'BB ⊥平面α，'AB 是AB 在平面α中的射影，所以''n AB ⊥过点'B 作'B P m ⊥，垂足为P ，连结BP ，则BP m ⊥ 在'ABB ∆中，若设'1BB =，则AB =， 在ABP ∆中，3BAP π∠=，所以2AP =在直角'AB P ∆中，'4B AP π∠=，所以m 与n 所成的角为4π4． 在四棱锥V ABCD -中，1B ，1D 分别为侧棱VB ，VD 的中点，则四面体11AB CD 的体积与四棱锥V ABCD -的体积之比为 （ ） （A ）1:6 （B ）1:5 （C ）1:4 （D ）1:31112B ABC D ADC V ABCD V V V ---+=，111114C VBD A VB D V ABCD V V V ---+=5． 在ABC ∆中，三边长a ，b ，c 满足3a c b +=，则t a n t a n 22A C⋅的值为 （ ） （A ）15 （B ）14 （C ）12 （D ）23sin sin 3sin A C B +=，()2sincos 3sin 6sin cos 2222A C A C A C A CA C +-++=+= 所以cos 3cos22A C A C-+=， cos cos sin sin 3cos cos 3sin sin 22222222A C A C A C A C +=-cos cos 2sin sin 2222A C A C =6． 如图，ABC ∆的两条高AD ，BE 交于H ，其外接圆圆心为O ，过O 作OF BC⊥于F ，OH 与AF 相交于G ，则OFG ∆与GAH ∆面积之比为 （ ） （A ）1:4 （B ）1:3 （C ）2:5 （D ）1:2延长CO 与圆交于点M ，AH ，MB 都垂直于BC ，所以//AH MBBH ，MA 都垂直于AC ，所以//BH MA ，所以AHBM 是平行四边形 AH MB MO OB OC OB ==+=+OH OA AH OA OB OC =+=++O 、G 、H 三点共线（欧拉线），OH OA OB OC =++ ， ()13OG OA OB OC =++，所以13OG OH =，又因为//AH OF ，所以OFG ∆∽GAH ∆7． 设()()0axf x ea =>，过点(),0P a 且平行于y 轴的直线与曲线C ：()y f x =的交点为Q ，曲线C 过点Q 的切线交x 轴于点R ，则PQR ∆的面积的最小值是 （ ）（A ）1 （B （C ）2e（D ）24e点Q ()2,a a e，()'axf x a e =⋅，过点Q 的切线方程为()22a a y ea e x a -=⋅-，则点1,0R a a ⎛⎫-⎪⎝⎭，PQR ∆的面积()212a S a e a=， ()22211'22a a S a e a e a -=-+⋅⋅ ()22122a e a -=-，由'0S =得2a =，此时2S =8． 设双曲线1C ：()2222,04x y k a k a -=>>，椭圆2C ：22214x y a +=，若2C 的短轴长与1C 的实轴长的比值等于2C 的离心率，则1C 在2C 的一条准线上截得线段的长为（ ）（A） （B ）2 （C） （D ）42C 的短轴长与1C=2C，=，可得244a k=+， 2C的一条准线：2x =，联立方程22224x x y k a⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩-= 消去x，得222222414444y a a k a a a =-=-=---9． 欲将正六边形的各边和各条对角线都染为n 种颜色之一，使得以正六边形的任何三个顶点作为顶点的三角形有三种不同的颜色的边，并且不同的三角形使用不同的三色组合，则n 的最小值为 （ ） （A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9至少要染7种颜色首先，所有的三角形共有3620C =个．由于任意三角形三边染色不同．显然，若染n 种颜色，则320n C ≥，故6n ≥，下面先说明6n =不可以若6n =，则每三种颜色的搭配恰好染一个三角形．对某种颜色（比如红色）而言，它和其他颜色搭配了2510C =次，即比如出现了红色的边的三角形恰有10个．另一方面，对某一条边而言，若AB 边染成红色，则含有AB 边的三角形有4个，ABC ∆，ABD ∆，ABE ∆，ABF ∆．于是红色边的线段共有102.54=条，矛盾！ 再来构造一种7n =的染色方案．记7种颜色分别为颜色0，颜色1，颜色2，…，颜色6．记六边形为A B C D E F ，且各顶点A ，B ，C ，D ，E ，F 依次对应数字1，2，3，4，5，6．对每一条边和对角线染上它们所对应两个端点所对应的数字和模7的余数的颜色的数字，比如：AB 边染上颜色3，BC 边染上颜色5，…，AF 边染上颜色0．对角线也一样，下面证明这种染色方案符合要求．对同一个三角形而言，设三个顶点对应数字为i ，j ，k ()1,,6i j k ≤≤，若有两边染色相同，设()mod 7i j i k +≡+⇒()mod 7j k ≡，显然不成立．又若有两个三角形染色方式相同，设它们的顶点对应数字分别为i ，j ，k ，'i ，'j ，'k ．且不妨设''i j i j +≡+，''j k j k +≡+，()''mod 7k i k i +≡+．三式相加得()()()22'''mod 7i j k i j k ++≡++，又()2,71=．由同余性质可得()'''mod 7i j k i j k ++≡++，结合()''mod 7i j i j +≡+，得()'mod 7k k ≡，同理()'mod 7i i ≡，()'mod 7j j ≡，只有这两个三角形是同一个三角形才有可能．综上所述，至少染7种颜色．10． 设定点A 、B 、C 、D 是以O 点为中心的正四面体的顶点，用σ表示空间以直线OA为轴满足条件()B C σ=的旋转，用τ表示空间关于OCD 所在平面的镜面反射，设l 为过AB 中点与CD 中点的直线，用ω表示空间以l 为轴的180 旋转．设στ 表示变换的复合，先作τ，再作σ．那么ω可以表示为 （ ）（A ）στστσ （B ）στστστ（C ）τστστ （D ）στσστσ 一、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）11． 在ABC ∆中，已知22sincos 212A BC ++=，其外接圆的半径2R =． （1） 求C 的大小；（2） 求ABC ∆面积S 的最大值．解：（1）22sincos 22A BC ++ ()21cos 2cos 1A B C =-++-，所以22cos cos 10C C +-=，解得1cos 2C =或cos 1C =-（舍） 3C π=（2）1sin 2S ab C =sin 2sin sin R A R B A B =⋅=⋅ ()()cos cos A B A B =-+--⎤⎦ ()A B =-（23A B π+=）所以当3A B π==时，()cos 1A B -=，ABC ∆面积S 有最大值12． 设A ，B ，C ，D 在24x y =上，A 、D 关于抛物线的对称轴对称．过点D 作抛物线的切线，与切线平行的直线l 交抛物线于B 、C ．点D 到AB 、AC 的距离分别为1h 、2h ，且12h h +=．（1） 试问ABC ∆是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中的哪一种三角形，并说明理由；（2） 若ABC ∆的面积为240，求点A 的坐标和直线BC 的方程．解：（1）设点2,4a D a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则点2,4a A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭过点D 作抛物线的切线方程为2442a yax +=⋅，即222a a x y =+，斜率2a k = 又设点211,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x C x ⎛⎫⎪⎝⎭，则BC 斜率()2212121214442BC x x a k x x x x -==+=- 所以122x x a +=()114AB k x a =-，()214AC k x a =-， 所以()12104AB AC k k x a x a +=-+-=可知AD 是BAC ∠的平分线，12d d =1212d d d +==所以90BAC ∠=，ABC ∆是直角三角形 （2）由90BAC ∠= ，AD 是BAC ∠的平分线 可知1AB k =-，1AC k =，又由()114AB k x a =-，()214AC k x a =-， 得14x a =-+，24x a =+4AB a =-，4AC a =+ABC ∆的面积12402S AB AC ==，所以264a = 当8a =时，()8,16A -，()4,4B ，()12,36C ，直线BC 方程为412y x =-； 当8a =-时，()8,16A ，()12,36B -，()4,4C -，直线BC 方程为412y x =--13． （1）一个正三棱锥的体积为3，求它的表面积的最小值； （2）一个正n 棱锥，体积为V ，求一个与n 无关的充分必要条件，使得正n 棱锥的表面积取最小值．设棱锥的底面边长为a，高为h，则21343V a h=⋅=，可得23ha=，斜高'h=213'2S ah=+⋅表2213322=+⋅=+2a=+⎝．令2t a=，()f t t=()3'10f t==，可得t=a=所以()minS==⎝表设底面正n边形面积为S，外接圆的半径为r，内切圆半径为d，侧面与底面所成二面角为α底面积212sin2S r nnπ=⋅，cosd rnπ=，高tan cos tanh d rnπαα==⋅正n棱锥的体积2112sin cos tan332nV Sh r rn nππα==⋅⋅32sin cos tan 6n r n n ππα=⋅， 由于2sin cos 6n n n ππ是常数，设其为a ，则3tan V r a α=()1sec S S α=+表()()2222sin 1sec sin 1sec 22n n r r n nππαα=+=⋅+，由于2sin 2n nπ是常数，设其为b ，则()21sec S br α=+表()231sec tan V b a αα⎛⎫=+⎪⎝⎭，设()f α=()()2sec 3tan 2sec 1sec 'f ααααα⎡⎤-+=，由()'0f α=，得()23tan 2sec 1sec 0ααα-+=， 即()223sec 12sec 2sec 0ααα---=，整理得()()sec 3sec 10αα-+=，所以sec 3α=，此时，tan α=，()minS =表232V b a ⎛⎫⎪⎝⎭，其中2sin cos 6n a n n ππ=，2sin2n b n π= 所以体积为V 的正n棱锥，当且仅当侧面与底面所成二面角为arctan n 棱锥有最小的表面积．圆锥的问题设底面半径为r ，母线与底面半径的夹角为α，则高tan h r α=，母线sec l r α=，体积2311tan tan 33V r r r παπα=⋅=，()221sec S rl r r πππα=+=+表()2331sec tan V παπα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭14． 已知某一种群中的基因型比例为():::2:21AA Aa aa u v w u v w =++=．（1） 求子一代中，三种基因型式的比例；（2） 请问子二代的三种基因型式的比例与子一代的基因型式比例一样吗？说明理由．（1）父亲的基因有AA 、Aa 、aa 三种情况；母亲的基因也有AA 、Aa 、aa 三种情况，故搭配起来共有9种情况，列表如下：把每行数据相加可得::AA Aa aa()()()222222:2222:2u uv v uv uw vw v v w vw =+++++++()()()()22:2:u v u v v w v w =++++ 这是子一代三种基因型的比例设u v x +=，v w y +=，上式即22::x xy y ，且1x y +=．由于2221x xy y ++=，将2x ，xy ，2y 分别看作u ，v ，w ，则由（1）的结论可知：子二代的AA 、Aa 、aa 的比例为：()()()()222222:2:x xyx xy xy y xy y ++++()()()()222222:2::2:x x y xy x y x y y x y x xy y =++++=15． 设函数()1x mf x x +=+，且存在函数()s t at b ϕ==+1,02t a ⎛⎫>≠⎪⎝⎭错误！未定义书签。
孝感高中2010年自主招生考试数学参考答案及评分标准
孝感高中2010年自主招生考试数学参考答案及评分标准 一.选择题(每题5分,共50分)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10C A A A C BD D C A二.填空题(每题5分,共25分)11. 92012.（1）1.()222--x ； 2.()()x x 42222-+-； 3.()2212x x --（每空1分） （2）4 （此空2分）13. 2,442=-=BC a AB （只对一个给2分,全对给5分） 14.18-15.)1( 火 )2( 土 )3( 金 )4( 火 （前三空每空1分，最后一空2分）三.解答题.16满分10分解答：（1）当PC 在DC 边上运动时50≤≤x ， x C x y 58sin 421=⨯⨯⨯=………………………3分 （2）当PC 在CB 边上运动时185≤≤x ，84421=⨯⨯=y ……………………5分 （3）当PC 在DC 边上运动时2318≤≤x ，()()x C x y -=⨯-⨯⨯=2358sin 23421 ……………………8分综上得所求的函数图像为： ……………………10分.17满分12分依题意有：40150=+a b………① …………3分 设出售这种商品x 吨得到的利润为y 元，则有：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=10510002x x px y ()1000510112--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x a x b …………② …………………6分由①得a b -=40150代入② 得()10005150252--+--=x a x a y ()()()1000252575255751502522---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----=a a a a x a …………………10分 故当025>-a 且()25575--=a a x 时，y 取到最大值。
所以 ()25575150--=a a ，解得45=a ，代入①得30-=b …………………12分 .18满分12分：（1）km 900 …………………2分 （2）点B 的实际意思是：行驶h 4，快车和慢车恰好相遇…………4分 （3）慢车的速度为：h km /7512900=又因为行驶4小时两车相遇，它们走的路程和为900，故快车的速度为：h km /1504475900=⨯- …………………6分 （4）根据题意，快车行驶km 900到达乙地，所以快车行驶h 6150900=到达乙地，此时两车之间的距离为km 450756=⨯，所以点C 的坐标为()450,6.设线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式为b kx y +=，将()0,4B ，()450,6C 代入得{044506=+=+b k b k 解得 900225-==b k所以，线段BC 所表示的的y 与x 之间的函数关系式为900225-=x y . …………8分 自变量x 的取值范围是64≤≤x . ………………9分（5）慢车与第一辆快车相遇30分钟后与第二辆快车相遇，此时，慢车的行驶时间是h 5.4，把5.4=x 代入900225-=x y ，得5.112=y .此时，慢车和第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离是km y 5.112=,所以两列快车出发的间隔时间是h 75.01505.112=÷,即第二辆快车比第一辆快车晚出发h 75.0. ……………12分.19满分13分 (1) 由抛物线的顶点为()4,2M 设其对应的函数解析式为：()422+-=x a y ， 代入()0,0得1-=a ，故所求解析式为：x x y 42+-= …………3分（2）依题意，点P 的坐标为：()t t ,，点N 的坐标为：()t t t 4,2+-t t PN 32+-=∴ …………………6分则有： 1.当0=PN 即0=t 或3=t 时，D C N P 、、、所构成的多边形为三角形， 此时3232121=⨯⨯=∙=AD DC S …………………8分 2.当0≠PN 时：D C N P 、、、四点所构成的多边形是四边形，因为DC AD CD PN ⊥,//，()()[]23321212⨯+-+=∙+=∴t t AD PN CD S 421233322+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=++-=t t t ()30<<t 所以当23=t 时，421=最大S 3> ………12分 综上（1）（2）知D C N P 、、、所构成的多边形的面积S 有最大值，这个最大值为：421 ……………13分 .20满分14分（1）ABC ∆ ∽PQC ∆，CP QC CA BC =∴，x ba QC =∴ 21221x ba PC QC S =∙=∴ ………① …………3分 又ABC ∆ ∽PBR ∆ BP AB RP CA BR BC ==∴ xa c RPb BR a -==∴ ()()c x a b RP c x a a BR -=-=∴ ()222221c x a ab RP BR S -=∙=∴ ………② …………7分 ()()[]2222222222212222b a x ab x c b bc a c x a ab b ax S S +-+=-+=+∴ ……9分 （2）由（1）得()()[]2222222222212222b a x ab x c b bc a c x a ab b ax S S +-+=-+=+∴ ()()223222222222c b b a c b ab x bc c b a ++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+= ……13分 因为：a a c b b <+<2220，所以当222c b ab x +=时，21S S +取得最小值()2232c b b a + ………………………………………14分.21满分14分（1）如图，OAB OAA OBB OAA S S S S S '''=+--阴扇形扇形 =224545(2)13603608OBB OAA S S πππ''-=-⨯=扇形扇形 ………………………………………4分（2）p 值为定值证明：延长BA 交y 轴于E 点，在OAE OCN ∆∆与中，9090AOE CON AON OAE OCN OA OC ∠=∠=︒-∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩所以，OAE ∆≌OCN ∆所以，OE=ON ，AE=CN ……………………6分在OME OMN 与中45OE ON MOE MON OM OM =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩所以，OME ≌OMN所以，MN==ME=AM+AE=AM+CN ……………………………8分所以，P=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=2……………………………9分（3）设,1,,1AM n BM n CN m n BN m n ==-=-=-+则，因为，OME ∆≌OMN ∆， 所以，1122MON MOE S S OA EM m ∆∆==⨯= …………………………10分 在Rt BMN 中，222BM BN MN +=所以，2222(1)(1)20n m n m n mn m -+-+=⇒-+-= 所以，24(2)0232232m m m m =--≥⇒≥-≤--或、 所以，当232m =-时，OMN ∆的面积最小 ………………………13分Rt BMN 的内切圆半径为3232BM BN MN +-=-……………………………14分。
2010年全国大联考高三第五次联考理科数学试题
全国大联考2010届高三第五次联考·数学试卷考生注意：1． 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分。
考试时间120分钟。
2． 答题前，考生务必将密封线内的项目填写清楚。
3． 请将第I 卷答案填在第II 卷前的答题栏中，第II 卷用蓝黑钢笔或圆珠笔按要求写在试卷上。
4． 本试卷主要考试内容：前4次联考内容占40%，排列、组合、二项式定理和概率，概率与统计，复数占60%。
第I 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．设集合2{5,log (3)}A a =+，集合{,}B a b =，若{2}AB =，则a b +等于 A ．1 B ．2C ．3D ．42．“0a =”是“复数(,)z a bi a b R =+∈为纯虚线”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．(1)n x -的展开式中第三项系数等于6，则n 等于A ．6B ．5C ．4D ．34．有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是 A ．1260 B ．2025 C ．2520 D ．50405．某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为 2(80)200()()x f x e x R --=∈，则下列命题中不正确．．．的是 A ．该市这次考试的数学平均成绩为80分B ．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C ．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D ．该市这次考试的数学成绩标准差为106．设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为34和45，且各次射击相互独立，若按甲、乙、甲、乙……的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲射击了两次的概率是A ．380B ．920C ．925D ．194007．设2(1)(0,1)n f x x x x x -=++⋅⋅⋅+≠，且()f x 中所有项的系数和为n A ，则lim 2n n n A →∞的值为A ．2B ．12C ．12-D ．2-8．设函数()|2|||f x x x a =++-的图象关于直1x =线对称，则a 的值为A ．1B ．2C ．3D ．49．如果非零向量,OA a OB b ==，且BC OA ⊥，C 为垂足，设向量OC a λ=，则λ的值为A ．2||a b a ⋅ B ．||||a b a b ⋅⋅ C ．2||a b b ⋅ D ．||||a b a b⋅⋅ 10．已知函数6(3)3(7),()(7),x a x x f x ax ---≤⎧=⎨>⎩数列{}n a 满足*(),n a f n n N =∈，且{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是A ．9(,3)4 B ．(2,3) C ．(1,3) D ．9[,3)411．设集合A={0,2,4}、B={1,3,5}，分别从A 、B 中任取2个元素组成无重复数字的四位数，其中能被5整除的数共有A ．24个B ．48个C ．64个D ．116个12．甲做一种游戏一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，得0分的概率为0.5（一次游[来源:学科网]戏得分只能是3分、2分、1分或0分），其中a 、(0,1)b ∈，已知甲做游戏一次得分的数学期望为1，则ab 的最大值为A ．16B ．112C ．124D ．1322010届高三第五次联考·数学试卷第II 卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。
2010年自主招生考试样题_数学
数学试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.4的算术平方根是 ( )A ．±2B ．2C ．2D ．±2．旱魃肆虐，河流干涸，大地荒芜，近期西南旱情时时牵动着人们的心，截至3月30日，兰州市三县五区受旱农田面积已经达到176.81万亩，将176.81万亩用科学记数法表示为（ ）A ．176.81×104亩B ．1.77×106亩C ．1.7681×104亩D ．1.7681×106亩 3．从小明、小凡、小丽、小红四人中用抽签的方式，选取两人为上海世博会的志愿者，那么能选中小明、小丽两人同时为上海世博会志愿者的概率为 （ ）A ．14B ．112C ．12D ．164．某物体的三个视图如图所示，该物体的直观图是 （ ） 5．如图4，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转300，得到正方形A ＇B ＇C ＇D ＇，则图中阴影部分的面积为（ ） A ．12 B ． C ．1- D ．1- 6．据报道，在4月22日世界地球日来临之际，世界各地呼吁人们关注地球，热爱地球，珍爱生命，创建和谐世界大型庆祝活动中，四个大城市参加庆祝活动人数统计如下表：A ．27，28B ．27.5，28C ．28，27D ．26.5，27A ．B ．C ．D ． A 第5题图7．如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 在AB 边上．四边形EFGB 也为正方形，设△AFC 的面积为S ，则 ( ) A ．S=2 B ．S=2.4 C ．S=4 D ．S 与BE 长度有关8．连接边长为1的正方形对边中点，可将一个正方形分成２个大小相同的长方形，选右边的长方形进行第二次操作，又可将这个长方形分成２个更小的正方形……重复这样的操作，经过仔细地观察与思考，猜想n n )21()21()21()21(21132+++++- 的值等于（ ） A ．1 B ．n)21(C .1)21(1--nD ．n)21(1-9．如图，在四边形ABCD 中，动点P 从点A开始沿A B CD 的路径匀速前进到D 为止。
2010年第二次五校联考数学文科
2010年浙江省第二次五校联考数学（文科）试题卷本试卷分第I 卷（选择题）和第n 卷（非选择题）两部分•共150分，考试时间为120分钟 参考公式： 球的表面积公式 S=4 n R 2球的体积公式 v=¥ R 其中R 表示球的半径3 1棱锥的体积公式 V=」Sh 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高3棱柱的体积公式 V=Sh 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高如果事件A, B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共 10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。
1 •设全集 U --2,-1,0,1,2?,A --2,-1,0?,B ・..0,1,2?则(CuA)n B=()6.若 ABC 的角 A,B,C 对边分别为 a 、b 、c ，且 a=1 , B=45“, S ^ ABC =2，则 b=()B . 25A. 0 B .「-2,-1] • ",2?• 8,1,2] 2.已知不重合的直线a, b 和平面 a _ : - , b _ :，则“ a _ b ” A .充分不必要条件C .充要条件 3.已知函数f （x ）D -log 1(2x 2 x)，则 3 B .必要不充分条件 .既不充分也不必要条件f （x ）的单调增区间为（ C. (0,：：)1（, 4—1D •（」：，-匚）2 4.如果执行右面的程序框图，那么输出的 A . 96C . 144B . 120 D. 3002 5 .椭圆— 162 + =1的左右焦点为F 1,F 2，一直线过F 1交椭圆于代B 两点，则ABF 2的周长为（ A . 32C. 8.16 • 4C. 41)7•若某多面体的三视图（单位:cm ）如图所示, 则此多面体的体积是 （ A. 6cm 3 B. 12 cm C. 16 cm 3 D. 18 cm 侧视图 &已知偶函数 f （x ）在区间1.0^：：）单调递增,3 则满足f （2x 一 2） 范围是（A . ( -：：,0)B . (0八 2)C • (02、2) 9•设G 是=ABC 的重心, A. 45° B • D. (、、2,二) 且(sin A) GA (sin B)「 60° C • 30° GB (sin C)・GC 二0 ,贝U B 的大小为(D • 15 10.已知A, B,P 是双曲线 2 2 x y2 2 -1上不同的三点，且 A, B 连线经过坐标原点, a b 若直线 P^PB 的斜率2 乘积k PA K PB ，则该双曲线的离心率为（3C.二、填空题：本大题共 7小题，每小题 第U 卷（共100分） 4分，共28分。
2010数学真题卷及答案
2010年全国普通高等学校运动训练、民族传统体育专业单独统一招生考试数学一、选择题：每小题6分，共10小题，共60分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．已知集合A ＝｛x|x 2―1＞0}，B ＝｛x|log 2x ＜0}，则A ∩B 等于 ( )A ．ØB ．｛x|x ＜－1}C ．｛x|x ＞1}D ．｛x|x ＜－1或x ＞1}2. 若不等式||x a -<1成立的充分条件是04<<x ，则实数a 的取值范围是( ) A. a ≥3B. a ≤3C. a ≥1D. a ≤13．函数)1(log 2-=x y 的反函数图像是 ( )A B4. 如图所示，∆OAB 是边长为2的等边三角形，直线x t =截这个三角形位于此直线左方的图形面积为y （见图中阴影部分）则函数y f t =()的大致图形为( )5．已知a 、b 是非零向量且满足（a －2b ）⊥a ，（b －2a ）⊥b ，则a 与b 的夹角是( )A ．6π B ．3π C ．32π D ．65π6椭圆22143x y +=的右焦点到直线y x =的距离是 （ ）A.127. 过圆锥曲线C 的一个焦点F 的直线l 交曲线C 于A 、B 两点，且以AB 为直径的圆与F 相应的准线相交，则曲线C 为A. 双曲线B. 抛物线C. 椭圆D. 以上都有可能 8．若αααααcos sin cos 3sin ,2tan +-=则的值是（ ）A ．31-B ．－35C ．31 D ．35 9．直线052)3(057)3()1(2=-+-=-+-++y x m m y m x m 与直线垂直的充要条件是（ ）A ．2-=mB ．3=mC ．31=-=m m 或D ．23-==m m 或10．已知1(2)2x f x x ++=+，则1(2)f x -+= ( ) A.12x x -+ B.11x -+ C.211x x +-- D.21x x +-+二、填空题：每小题5分，共8小题，共计40分．将答案填在题中的横线上。
2010 年五校合作自主选拔高校特色测试数学试题(清华大学)
2010年五校合作自主选拔高校特色测试（清华大学）试题高级综合（理科）注意事项1. 本试卷包括四个部分，第1-4题为第一部分，第5-8题为第二部分，第9题为第三部分，第10题为第四部分。
四个部分的原始分均为100分。
2. 本试卷题目数量较多，难度较大。
考生可以根据自己的特点选择其中部分题目做答，其中第一、第二部分至多选择6题。
3. 考生应当在答题卡上做答，在试卷制作答无效。
回答第一、第二部分试题是应当用2B 铅笔将选答题目的题号填涂在答题卡相应位置；未填涂题号的答案不能评阅，题号填涂错误的不给分。
第三、第四部分试题直接在答题卡指定位置做答。
4. 四个部分的成绩将分别评阅并折算为标准分。
最终成绩将根据四个部分的标准分情况决定。
某一个或者几个部分成绩特别突出，或者整体表现较为突出的，成绩可评定为A 。
第一部分1．（25分）计算?70sin 50sin 10sin 444=︒+︒+︒2．（25分）现有一段长度为n 的木棍，希望将其锯成尽可能多的小段，要求每一小段的长度都是整数，并且任何一个时刻，当前最长的一段的长度都要严格小于当前最短的一段的长度的两倍。
例如：当n =6时最多只能锯成两段：6=3+3，但n =7时最多可以锯成3段：7=3+4，然后4可以在锯成2+2。
问：n =30时最多能够锯成多少段？3．（25分）请设计一种方案，对1维实数轴上的每一个点进行染色，使得任意距离为1、2或者5的两个点都不同色，要求所使用的颜色数目尽可能少。
4．（25分）12个人围坐在一个圆桌旁参加一个游戏，主持人给每个人发一顶帽子，帽子的颜色包括红、黄、蓝、紫。
每一个人都可以看到所有其他11个人头上帽子的颜色，这12个人可以事先约定好一种策略，但是当游戏开始后就不能再进行交流。
他们的目标是使12个人同时回答正确的机会最大。
假定主持人给每个人发的帽子的颜色是完全随机的，试给出一种策略，并分析再次策略下所有人都猜对的概率。
第二部分5．（35分）一个质量为m 的质点，初始时刻静止，从光滑的半球面顶点开始下滑，半球固定，其半径为R ．求：（1）小球到达地面时距离初始位置的水平距离；（2）对地面的冲量．（假设小球落地时没有弹起来）6．（20分）直立的汽缸被活塞封闭有1mol 气体，活塞上装有中物，活塞及重物的总质量为m ，活塞面积A ，重力加速度g ，活塞与汽缸间摩擦可忽略，但活塞可以传导热量．初始时活塞位置固定，气体温度与环境平衡，气体体积为V o ．活塞被放松后将振动起来，最后活塞静止于具有较大体积的新的平衡位置．假设环境压强P o ，环境温度为T o ．试问：（1）若气体是理想气体，活塞从运动达到平衡过程，气体向环境吸热多少？（2）实际气体中分子间平均是吸引力，若气缸内气体是实际气体，其它量都与理想气体时相同，则上述过程气体向环境吸热比理想气体情形多还是少？7．（30分）有个半球壳均匀带电Q ，球壳在空间直角坐标系o-xyz 中方程为： []0,,2222R x R z y x -∈=++．求：（1）半球中心O （0,0,0）点的电势；（2）半球直径面上S （0,y ,0）点的电势（y >R ）；（3）半球对称轴上P ’（x ,0,0）点的电势．假设另一对称点P （-x ,0,0）点电势U p 为已知（x >R ）．8．（15分）有一圆柱形玻璃柱，一光束从圆柱底面入射．为了简单我们只考虑圆柱轴线在入射面（光线与入射点发现构成的平面）上的情形．无论入射角多大，光束进入玻璃柱后都不能从侧面射出．求玻璃的折射率应满足什么条件？这其实就是光纤通讯的基本原理．现在我们减小圆柱形玻璃柱的直径是其小于1微米，以上讨论还有效吗？为什么？请给予简短讨论．第三部分9．太湖是中国第三大淡水湖，是苏锡常地区重要的饮用水水源地。