多元线性回归
多元线性回归方法
多元线性回归方法
多元线性回归是一种统计模型，用于建立多个自变量和一个因变量之间的关系。
它是简单线性回归在多个自变量情况下的扩展。
多元线性回归的数学模型为：
Y = β0 + β1*X1 + β2*X2 + ... + βp*Xp + ε
其中，Y是因变量，X1, X2, ..., Xp是自变量，β0, β1, β2, ..., βp是回归系数，ε是随机误差。
多元线性回归的求解通常使用最小二乘法，通过最小化误差平方和的方式来估计回归系数。
多元线性回归的步骤包括：
1. 收集数据：收集因变量和自变量的实际观测值。
2. 数据预处理：对数据进行清洗、缺失值处理、异常值处理等。
3. 模型选择：根据实际情况选择合适的自变量。
4. 估计回归系数：使用最小二乘法估计回归系数。
5. 模型拟合：利用估计的回归系数构建多元线性回归模型。
6. 模型评估：根据一些统计指标，如R方值、调整R方值、F统计量等，来评估模型的拟合效果。
7. 模型预测：利用构建的回归模型进行新样本的预测。
多元线性回归在实际中广泛应用于预测和建模，可以用于探究自变量对因变量的影响程度以及自变量之间的相互关系。
多元线性回归
多元线性回归1、多元线性回归模型假定被解释变量与多个解释变量之间具有线性关系，是解释变量的多元线性函数，称为多元线性回归模型。
即(1.1)其中为被解释变量，为个解释变量，为个未知参数，为随机误差项。
被解释变量的期望值与解释变量的线性方程为：(1.2)称为多元总体线性回归方程，简称总体回归方程。
对于组观测值，其方程组形式为：(1.3)即其矩阵形式为=+即(1.4)其中为被解释变量的观测值向量；为解释变量的观测值矩阵；为总体回归参数向量；为随机误差项向量。
总体回归方程表示为：(1.5)多元线性回归模型包含多个解释变量，多个解释变量同时对被解释变量发生作用，若要考察其中一个解释变量对的影响就必须假设其它解释变量保持不变来进行分析。
因此多元线性回归模型中的回归系数为偏回归系数，即反映了当模型中的其它变量不变时，其中一个解释变量对因变量的均值的影响。
由于参数都是未知的,可以利用样本观测值对它们进行估计。
若计算得到的参数估计值为，用参数估计值替代总体回归函数的未知参数，则得多元线性样本回归方程：(1.6)其中为参数估计值，为的样本回归值或样本拟合值、样本估计值。
其矩阵表达形式为:(1.7)其中为被解释变量样本观测值向量的阶拟合值列向量；为解释变量的阶样本观测矩阵；为未知参数向量的阶估计值列向量。
样本回归方程得到的被解释变量估计值与实际观测值之间的偏差称为残差。
(1.8)2、多元线性回归模型的假定与一元线性回归模型相同，多元线性回归模型利用普通最小二乘法(OLS)对参数进行估计时，有如下假定：假定1零均值假定：，即(2.1)假定2 同方差假定(的方差为同一常数)：（2.2）假定3 无自相关性：(2.3)假定4 随机误差项与解释变量不相关(这个假定自动成立)：（2.4）假定5 随机误差项服从均值为零，方差为的正态分布：（2.5）假定6 解释变量之间不存在多重共线性：即各解释变量的样本观测值之间线性无关，解释变量的样本观测值矩阵的秩为参数个数k+1，从而保证参数的估计值唯一。
多元线性回归
Y
X
i
Y
1i i
X ki
XX 1i ki
XX 2i ki
X 2 ki
bˆk
X
k
Y
ii
正规方程
矩阵形式
n
X
X
X 1i
X 1i
X2 1i
X 2i
X X 2i 1i
2
ee ~ (n k 1)
ˆ
t
i
i ~ t(n k 1)
c ee ii n k 1
H ： 0成立下，t
0
i
ˆ i
c ee ii n k 1
若 |t | t临
拒绝 H 0
认为 与0有显著的差异 i
或者根据t 查t分布表的概率p, 若
p
E[((X X )1 X ( XB N ) B)((X X )1 X ( XB N ) B)]
E[(X X )1 X NN X ( X X )1]
( X X )1 X E(NN ) X ( X X )1
E(NN )(X X )1 X X ( X X )1
最小的）
线性
Bˆ ( X X )1 X Y
无偏性
E(Bˆ) E[(X X )1 X Y ] E[(X X )1 X ( XB N )] E[(X X )1 X XB ( X X )1 X N ] B ( X X )1 E( X N ) B
i
i
ESS
2
计量经济学-多元线性回归模型
Y=β0+β1X1+β2X2+...+βkXk+ε，其中Y为因变 量，X1, X2,..., Xk为自变量，β0, β1,..., βk为回归 系数，ε为随机误差项。
多元线性回归模型的假设条件
包括线性关系假设、误差项独立同分布假设、无 多重共线性假设等。
研究目的与意义
研究目的
政策与其他因素的交互作用
多元线性回归模型可以引入交互项，分析政策与其他因素（如技 术进步、国际贸易等）的交互作用，更全面地评估政策效应。
实例分析：基于多元线性回归模型的实证分析
实例一
预测某国GDP增长率：收集该国历史数据，包括GDP、投资、消费、出口等变量，建立 多元线性回归模型进行预测，并根据预测结果提出政策建议。
最小二乘法原理
最小二乘法是一种数学优化技术，用 于找到最佳函数匹配数据。
残差是观测值与预测值之间的差，即 e=y−(β0+β1x1+⋯+βkxk)e = y (beta_0 + beta_1 x_1 + cdots + beta_k x_k)e=y−(β0+β1x1+⋯+βkxk)。
在多元线性回归中，最小二乘法的目 标是使残差平方和最小。
t检验
用于检验单个解释变量对被解释变量的影响 是否显著。
F检验
用于检验所有解释变量对被解释变量的联合 影响是否显著。
拟合优度检验
通过计算可决系数（R-squared）等指标， 评估模型对数据的拟合程度。
残差诊断
检查残差是否满足独立同分布等假设，以验 证模型的合理性。
04
多元线性回归模型的检验与 诊断
多元线性回归
回归分析中两个或两个以上的自变量
01 概念
03 估计方法
目录
02 公式 04 相关的软件
在回归分析中，如果有两个或两个以上的自变量，就称为多元回归。事实上，一种现象常常是与多个因素相 联系的，由多个自变量的最优组合共同来预测或估计因变量，比只用一个自变量进行预测或估计更有效，更符合 实际。因此多元线性回归比一元线性回归的实用往受到多个因素的影响，因此，一般要进行多元回归分析，我们把包括两个或两个以 上自变量的回归称为多元线性回归 。
多元线性回归的基本原理和基本计算过程与一元线性回归相同，但由于自变量个数多，计算相当麻烦，一般 在实际中应用时都要借助统计软件。这里只介绍多元线性回归的一些基本问题。
谢谢观看
估计方法
1.普通最小二乘法 普通最小二乘法(Ordinary Least Square, OLS)通过最小化误差的平方和寻找最佳函数。通过矩阵运算求 解系数矩阵： 2.广义最小二乘法 广义最小二乘法(Generalized Least Square)是普通最小二乘法的拓展，它允许在误差项存在异方差或自 相关，或二者皆有时获得有效的系数估计值。公式如右， 图1..广义最小二乘法公式 其中，Ω是残差项的协方差矩阵。
相关的软件
SPSS（Statistical Package for the Social Science）－－社会科学统计软件包是世界著名的统计分析 软件之一。20世纪60年代末，美国斯坦福大学的三位研究生研制开发了最早的统计分析软件SPSS，同时成立了 SPSS公司，并于1975年在芝加哥组建了SPSS总部。20世纪80年代以前，SPSS统计软件主要应用于企事业单位。 1984年SPSS总部首先推出了世界第一个统计分析软件微机版本SPSS/PC+，开创了SPSS微机系列产品的开发方向， 从而确立了个人用户市场第一的地位。同时SPSS公司推行本土化策略，已推出9个语种版本。SPSS/PC+的推出， 极大地扩充了它的应用范围，使其能很快地应用于自然科学、技术科学、社会科学的各个领域，世界上许多有影 响的报刊杂志纷纷就SPSS的自动统计绘图、数据的深入分析、使用方便、功能齐全等方面给予了高度的评价与称 赞。已经在国内逐渐流行起来。它使用Windows的窗口方式展示各种管理和分析数据方法的功能，使用对话框展 示出各种功能选择项，只要掌握一定的Windows操作技能，粗通统计分析原理，就可以使用该软件为特定的科研 工作服务。
预测算法之多元线性回归
预测算法之多元线性回归多元线性回归是一种预测算法，用于建立多个自变量与因变量之间的关系模型。
在这种回归模型中，因变量是通过多个自变量的线性组合进行预测的。
多元线性回归可以用于解决各种问题，例如房价预测、销售预测和风险评估等。
多元线性回归的数学表达式可以表示为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε其中，Y是因变量，X1、X2、..、Xn是自变量，β0、β1、β2、..、βn是相应的回归系数，ε是误差项。
多元线性回归的主要目标是找到最佳的回归系数，以最小化预测误差。
这可以通过最小二乘法来实现，最小二乘法是一种优化方法，可以最小化实际值与预测值之间的误差平方和。
多元线性回归可以有多种评估指标，以衡量模型的拟合程度和预测效果。
其中，最常用的指标是R平方（R2），它表示因变量的变异中可以被自变量解释的比例。
R平方的取值范围在0和1之间，越接近1表示模型越好地解释了数据的变异。
多元线性回归的模型选择是一个关键问题，尤其是当面对大量自变量时。
一个常用的方法是通过逐步回归来选择最佳的自变量子集。
逐步回归是一种逐步加入或剔除自变量的方法，直到找到最佳的模型。
在应用多元线性回归进行预测时，需要注意以下几个方面。
首先，确保所有自变量和因变量之间存在线性关系。
否则，多元线性回归可能无法得到准确的预测结果。
其次，需要检查自变量之间是否存在多重共线性问题。
多重共线性会导致回归系数的估计不可靠。
最后，需要通过交叉验证等方法来评估模型的泛化能力。
这样可以确保模型对新数据具有较好的预测能力。
总结起来，多元线性回归是一种强大的预测算法，可以用于建立多个自变量与因变量之间的关系模型。
通过合理选择自变量和优化回归系数，可以得到准确的预测结果，并帮助解决各种实际问题。
但是，在应用多元线性回归时需要注意问题，如线性关系的存在、多重共线性问题和模型的泛化能力等。
多元线性回归 名词解释
多元线性回归名词解释多元线性回归（MultipleLinearRegression）是一种统计学模型，主要用来分析自变量和因变量之间的关系，它可以反映出某一种现象所依赖的多个自变量，从而更好地分析和捕捉它们之间的关系。
它是回归分析法的一种，是以线性方程拟合多个自变量和一个因变量之间的关系，是统计分析中用来探索和预测因变量之间自变量的变化情况的常用方法之一。
例如，可以利用多元线性回归来分析教育水平，收入水平和住房价格之间的关系，以及社会状况下的因素对收入水平的影响等等。
多元线性回归有两种形式：一种是多元普通最小二乘法（Ordinary Least Squares，OLS），另一种是多元最小平方根法（Root Mean Square）。
多元普通最小二乘法是将解释变量和因变量之间的关系用线性函数来拟合，从而求解最优模型参数；而多元最小平方根法是将解释变量和因变量之间的关系用一条曲线来拟合，从而求解最优模型参数。
多元线性回归可以用于描述一个变量与多个自变量之间的关系，并可以用来预测一个变量的变化情况。
它的优势在于可以计算出各自变量对因变量的相对贡献度，从而更有效地分析它们之间的关系，以及对复杂的数据更好地进行预测。
然而，多变量线性回归也存在一些缺点，其中最常见的是异方差假设，即解释变量和因变量之间观察值的方差相等。
此外，多元线性回归也受到异常值的干扰，存在多重共线性现象，可能引发过拟合或欠拟合等问题。
因此，在使用多元线性回归时，应该遵循良好的统计原则，如检验异方差假设、检验异常值以及检验多重共线性等，这样才能更准确地预测和分析数据。
总之，多元线性回归是一种分析多个自变量与一个因变量之间关系的统计学模型，可以有效地检验假设，从而预测和分析数据。
它可以反映出某一种现象所依赖的多个自变量，从而更好地分析和捕捉它们之间的关系。
它也有许多缺点，应该遵循良好的统计原则，如检验异方差假设、检验异常值以及检验多重共线性等，以准确地预测和分析数据。
多元线性回归
ˆ0 ei ˆ1 ei X1i ˆk ei X ki Y ei
=0
所以有：
TSS (Yi Yˆi )2
(Yˆi
2
Y)
RSS
ESS
注意：一个有趣的现象
Yi Y Yi Yˆi Yˆi Y
Yi
Y
2
Yi Yˆi
2
Yˆi
Y
2
Yi Y 2
Yˆi ˆ0 ˆ1 X1i ˆ2 X 2i ˆki X Ki i=1,2…n
• 根据最 小二乘原 理，参数 估计值应
该是右列
方程组的 解
ˆ
0
Q
0
ˆ1
Q
0
ˆ
2
Q
0
ˆ k
Q
0
n
n
其 Q ei2 (Yi Yˆi )2
中
i 1
n
i 1
2
(Yi (ˆ0 ˆ1 X1i ˆ2 X 2i ˆk X ki ))
1 X 12 Xk2
1 Y1
X 1n Y2
X kn
Yn
即
(XX)βˆ XY
由于X’X满秩，故有 βˆ (XX)1 XY
17
用含两个解释变量的矩阵形式来表示X’X：
1 1
X X
11
X X 21
12
22
1
XX XX 1
1
X 13
X X X 23
1
11 12
1n
21
20
XY
1 X1
1 X2
Y1
1 X n
Y2 Yn
Yi X iYi
3914506608877424091000
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虚拟自变量的回归
(例题分析)
100
散点图
¼ Ô É ¨ ¿ Ê ³ ¼
75
50
25
男
女 Ð ± Ô ð
y与x的回归
பைடு நூலகம்
¼ Ô É ¨ë Ô ð Ä ¢ ã ¼ ¿ Ê ³ ¼ Ó Ð ±µ É µ Í
虚拟自变量的回归
(例题分析)
引进虚拟变量时，回归方程可写：E(y) =b0+ b1x
•
•
男( x=0)：E(y) =b0—男学生考试成绩的期望值
修正多重判定系数
(adjusted multiple coefficient of determination)
1. 2.
用样本容量n和自变量的个数p去修正R2得到 计算公式为
3. 4. 5.
避免增加自变量而高估 R2 意义与 R2类似 数值小于R2
Excel 输出结果的分析
估计标准误差 Sy
1. 对误差项的标准差的一个估计值 2. 衡量多元回归方程的拟合优度 3. 计算公式为
贷款企业的类型(家电，医药，其他)
3.
虚拟变量的取值为0，1
1 男 x 0 女
虚拟自变量的回归
1. 回归模型中使用虚拟自变量时，称为虚拟自变量的回归
2.
当虚拟自变量只有两个水平时，可在回归中引入一个虚 拟变量
– 比如，性别(男，女)
3.
一般而言，如果定性自变量有k个水平，需要在回归中 模型中引进k-1个虚拟变量
虚拟自变量的回归
(例题分析)
【例】为研 究工资水平 与工作年限 和性别之间 的关系，在 某行业中随 机 抽 取 10 名 职工，所得 数据如下表
y与x1的回归及分析 y与x1、 x2的回归及分析
虚拟自变量的回归
(例题分析)
引进虚拟变量时，回归方程可写： E(y) =b0+ b1x1+ b2x2 • 女( x2=0)：E(y|女性) =b0 +b1x1 • 男( x2=1)：E(y|男性) =(b0 + b2 ) +b1x1 b0的含义表示：女性职工的期望月工资收入 (b0+ b2)的含义表示：男性职工的期望月工资收入 b1含义表示：工作年限每增加1年，男性或女性工资的平均增 加值 b 2 含义表示：男性职工的期望月工资收入与女性职工的期望 月工资收入之间的差值 (b0+ b2) - b0= b2
2. 求解各回归参数的标准方程如下
Q b 0 Q b i 0
ˆ b0 b0
0
ˆ bi bi
(i 1,2, , p )
参数的最小二乘法
(例题分析)
【例】一家大型商业银行在多个地区设有分行， 为弄清楚不良贷款形成的原因，抽取了该银行 所属的25家分行2002年的有关业务数据。试建 立不良贷款(y)与贷款余额(x1)、累计应收贷款 (x2)、贷款项目个数(x3)和固定资产投资额(x4)的 线性回归方程，并解释各回归系数的含义
y b 0 b1 x1i b 2 x2i b p x pi i
b0 ，b1，b2 ，，bp是参数 是被称为误差项的随机变量 y 是x1,，x2 ， ，xp 的线性函数加上误差项 包含在y里面但不能被p个自变量的线性关系 所解释的变异性
多元回归模型
Excel 输出结果的分析
§11.3 显著性检验
一. 线性关系检验 二. 回归系数检验和推断
线性关系检验
线性关系检验
1. 2. 3. 检验因变量与所有自变量之间的是否显著 也被称为总体的显著性检验 检验方法是将回归离差平方和(SSR)同剩余离差平方 和(SSE)加以比较，应用 F 检验来分析二者之间的 差别是否显著
第11章 多元线性回归
§11.1 §11.2 §11.3 §11.4 §11.5 多元线性回归模型 回归方程的拟合优度 显著性检验 多重共线性 虚拟自变量的回归
学习目标
1. 2. 3. 4. 5. 6. 回归模型、回归方程、估计的回归方程 回归方程的拟合优度 回归方程的显著性检验 多重共线性问题及其处理 虚拟自变量的回归问题 用 Excel 进行回归分析
Excel 输出结果的分析
多重共线性的识别
多重共线性的识别
1. 检测多重共线性的最简单的一种办法是计算模型中各对 自变量之间的相关系数，并对各相关系数进行显著性检 验
– 若有一个或多个相关系数显著，就表示模型中所用的自变量之 间相关，存在着多重共线性
2.
如果出现下列情况，暗示存在多重共线性
– –
–
模型中各对自变量之间显著相关。 当模型的线性关系检验(F检验)显著时，几乎所有回归系数的t 检验却不显著 回归系数的正负号同预期的相反。
Excel 输出结果的分析
多重共线性
(例题分析)
• • 【例】判别各自变量之间是否存在多重共线性 计算相关系数：
贷款余额、应收贷款、贷款项目、固定资产投资额之间的相关矩阵
3.
多重共线性问题的处理
多重共线性
(问题的处理)
1. 将一个或多个相关的自变量从模型中剔除，使 保留的自变量尽可能不相关
2. 如果要在模型中保留所有的自变量，则应
– – 避免根据 t 统计量对单个参数进行检验 对因变量值的推断(估计或预测)的限定在自变量样 本值的范围内
Excel 输出结果的分析
用Excel进行回归
b0—家电制造业投诉次数的平均值 (b0+ b1)—零售业投诉次数的平均值 (b0+ b2)—旅游业投诉次数的平均值 (b0+ b3)—航空公司投诉次数的平均值
– – 如果是显著的，因变量与自变量之间存在线性关系 如果不显著，因变量与自变量之间不存在线性关系
线性关系检验
1. 提出假设
– –
H0：b1b2bp=0 线性关系不显著 H1：b1，b2，，bp至少有一个不等于0
2. 计算检验统计量F
3. 确定显著性水平和分子自由度p、分母自由度n-p-1找出 临界值F 4. 作出决策：若F>F ，拒绝H0 Excel 输出
估计的多元回归方程
估计的多元回归方程
(estimated multiple regression equation)
ˆ ˆ ˆ ˆ 1. 用样本统计量b 0 , b1 , b 2 ,, b p估计回归方程中的 参数 b 0 , b1 , b 2 ,, b p 时得到的方程
2. 由最小二乘法求得 3. 一般形式为
女( x=1)：E(y) =b0+ b1—b1女学生考试成绩的期望值
注意：当指定虚拟变量0—1时
•
•
b0总是代表与虚拟变量值0所对应的那个分类变量水平的平均
值
b1总是代表与虚拟变量值1所对应的那个分类变量水平的平均
响应与虚拟变量值0所对应的那个分类变量水平的平均值的差 值，即
平均值的差值 =(b0+ b1) - b0= b1
2.
计算检验的统计量 t
3. 确定显著性水平，并进行决策 t>t2，拒绝H0； t<t2，不拒绝H0
Excel 输出 结果的分析
回归系数的推断
(置信区间)
• 回归系数在(1-)%置信水平下的置信区间为
ˆ b i t 2 (n p 1)s bˆ
回归系数的 抽样标准差
§11.5 虚拟自变量的回归
一. 含有一个虚拟自变量的回归 二. 用虚拟自变量回归解决方差分析问题
含有一个虚拟自变量的回归
虚拟自变量 (dummy variable)
1. 用数字代码表示的定性自变量
2.
虚拟自变量可有不同的水平
–
•
只有两个水平的虚拟自变量
比如，性别(男，女)
–
•
有两个以上水平的虚拟自变量
用虚拟自变量回归 解决方差分析问题
方差分析的回归方法
(例题分析)
引进虚拟变量
1 航空公司 1 零售业 1 旅游业 x1 , x2 , x3 0 其他行业 0 其他行业 0 其他行业
建立回归方程：E(Y)=b0+ b1x1+ b2x2+b3x3
b1，b2，，bp称为偏回归系数
bi 表示假定其他变量不变，当 xi 每变动一个 单位时，y 的平均变动值
二元回归方程的直观解释
二元线性回归模型 y
y b 0 b1 x1 b 2 x2
(观察到的y)
b0
回归面
}
i
x2 (x1,x2) x1
E ( y) b 0 b1 x1 b 2 x2
用Excel进行回归
§11.2 回归方程的拟合优度
一. 多重判定系数 二. 估计标准误差
多重判定系数
多重判定系数
(multiple coefficient of determination)
1. 回归平方和占总平方和的比例 2. 计算公式为
3. 因变量取值的变差中，能被估计的多元回归方程 所解释的比例
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y b 0 b1 x1 b 2 x2 b p x p
ˆ ˆ ˆ ˆ b 0 , b1 , b 2 ,, b p是 估计值 ˆ y 是 y 的估计值
b 0 , b1 , b 2 ,, b p
参数的最小二乘估计
参数的最小二乘法
1. 使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和 ˆ ˆ ˆ ˆ 达到最小来求得 b 0 , b1 , b 2 ,, b p 。即
多重共线性
(例题分析)
• • 【例】判别各自变量之间是否存在多重共线性 对相关性进行检验：
相关矩阵系数的检验统计量