山东理工大学04-05学年第二学期高等数学期末试题
200420052高等数学期末试题
1
dr
1r 2
(3r 2 2z) r dz
0
0
0
2
1
(
3r
3
z
0
r
z2]
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dr
2
1
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0
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r5
r3
r ) dr
2 (
2
r6 6
r4 4
r2 2
)
1 0
5
6
x3dydz y3dzdx (z2 1)dxdy (z2 1)dxdy
2
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1
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4
cos 4
2r 4
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(1
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0
0
14
2
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1
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4
cos 4
2r 4
sin4
(1
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2 )2
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dr
0
0
2
d
1
[2r
5 (cos4
sin4
)
(r 5
2r
3
)]dr
0
0
2 0
[(cos4 sin4 ) r 6
3
1 0
(1 6
r6
1 0
1 2
r4
1 0
6. 求方程 yy ( y)2 0 的通解时,可令( B ).
A. y P,则 y P C. y P,则 y P dP
dx
B. y P,则 y P dP dy
高等数学期末试题(含答案)
高等数学期末试题(含答案) 高等数学检测试题一。
选择题（每题4分，共20分）1.计算 $\int_{-1}^1 xdx$，答案为（B）2.2.已知 $2x^2y=2$，求$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^4+y^2}{x^2y}$，答案为（D）不存在。
3.计算 $\int \frac{1}{1-x}dx$，答案为（D）$-2(x+\ln|1-x|)+C$。
4.设 $f(x)$ 的导数在 $x=a$ 处连续，且 $\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{x-a}=2$，则 $x=a$ 是 $f(x)$ 的（A）极小值点。
5.已知 $F(x)$ 的一阶导数 $F'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，且 $F(0)=0$，则 $\frac{d}{dx}\int_0^x F'(t)dt$ 的值为（D）$-F(x)-xF'(x)$。
二。
填空：（每题4分，共20分）1.$\iint\limits_D dxdy=1$，若 $D$ 是平面区域 $\{(x,y)|-1\leq x\leq 1,1\leq y\leq e\}$，则 $\iint\limits_D y^2x^2dxdy$ 的值为（未完成）。
2.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\cos\frac{\pi}{n}\right)^2+\left(\cos\frac{2\pi}{n}\right)^2+\cdots+\left(\cos\frac{(n-1)\pi}{n}\right)^2}{n\pi}$ 的值为（未完成）。
3.设由方程 $xyz=e$ 确定的隐函数为 $z=z(x,y)$，则$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,1)}$ 的值为（未完成）。
4.设 $D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq a^2\}$，若$\iint\limits_D\sqrt{a^2-x^2-y^2}dxdy=\pi$，则 $D$ 的面积为（未完成）。
05级高数(A-2)期末试卷
2005级《高等数学A-2》期末试卷一、 单项选择题（将答案写在括号内,每题4分，共 48分）1．微分方程20y y y '''-+=的一个解是( ).(A) 2y x = (B) x y e = (C) sin y x = (D) x y e -=2．微分方程 x e x y y y 228644+=+'-'' 的一个特解应具形式 ( ).（a,b,c,d 为常数）(A) x ce bx ax 22++ (B) x e dx c bx ax 222+++(C) x x c x e be ax 222++ (D) x e cx bx ax 222)(++3． 若0),(00=y x f x ，0),(00=y x f y ，则在点),(00y x 处，函数),(y x f ( ).)A (连续. )B (取得极值. )C (可能取得极值. )D (全微分0d =z .4．设()f u 可微,⎰⎰≤++=222x 22d )()(t y y x f t F σ,则()F t '=( ).(A) ()tf t π (B) 22()tf t π (C) 22()tf t (D) 2()tf t π5．设曲面06333=-+++xyz z y x ，则在点)1,2,1(-处的切平面方程为( ).)A ( 018511=-++z y x )B ( 018511=-+-z y x)C ( 018511=--+z y x )D ( 018511=+++z y x6．)(d d 12222==⎰⎰≤++y x e I y x y x . (A))1(-e π (B)e π (C)1-e π (D)e π27. 函数),(y x f 在点),(00y x 处连续，且两个偏导数),(),,(0000y x f y x f y x存在是),(y x f 在该点可微的( ).)A ( 充分条件，但不是必要条件. )B (必要条件，但不是充分条件.)C ( 充分必要条件. )D (既不是充分条件，又不是必要条件.8. 已知)0,0(，)1,1(为函数22442),(y xy x y x y x f ---+=的两个驻点，则(). )A ()0,0(f 是极大值. )B ()0,0(f 是极小值.)C ()1,1(f 是极小值. )D ()1,1(f 是极大值.9. 周期为2的函数)(x f ，它在一个周期上的表达式为x x f =)(11 <≤-x ，设它的傅里叶级数的和函数为)(x S ，则=)23(S ( ). (A) 0 (B) 1 (C) 21 (D) 21- 10．设∑是平面4=++z y x 被圆柱面122=+y x 截出的有限部分，则曲面积分=⎰⎰∑S y d ( ). (A)34 (B)π34 (C)0 (D) π11．下列级数收敛的是( ).∑∞=1!)(n n n n n e A ∑∞=1!2)(n n n n n B ∑∞=1!2)(n n n n n C ∑∞=1!)(n nn n D . 12. 设幂级数∑∞=-1)2(n n n x a 在2-=x 时收敛，则该级数在5=x 处( ).)(A 发散 )(B 条件收敛 )(C 绝对收敛 )(D 不能判定其敛散性.二、 填空题（将答案填在横线上，每题4分，共24分）1.=-+=)1,(,arcsin )1(),(x f yx y x y x f x 则设 2． ⎰⎰=∑S x I d 2＝ .(其中∑是2222R z y x =++) 3．分表达式为化为球坐标下的三次积z z y x y x y x x d d d 22222221010⎰⎰⎰--+-4．=+⎰⎰≤+y x x y y x y x d d )sin sin (1225．设z yx z y x f 1)(),,(=，则=)1,1,1(df 6．=++⎰⎰⎰≤++1222222d d d )(z y x z y x z y x三、（6分）求幂级数∑∞=--111)1(n n n x n的收敛半径、收敛域及和函数. 四、（5分）计算I=y x z x x z z y z y y x ⎰⎰∑-+-+-d d )33(d d )3(d d )2(,其中:0,0,0x y z ∑===及1=++z y x 所围立体表面的外侧.五、（5分） 设,)(22ba z y e u ax ++=而b a x b z x a y ,,cos ,sin ==为常数，求.d d x u 六、（6分）设L 为x y x =+22从点)0,1(A 到点)0,0(O 的上半圆弧，求曲线积分⎰-++-L x x y y e x y y e d )1cos (d )1sin ( .七、（6分）设)(x f 有连续的二阶导数且满足[]0d )(d )(ln ='+'-⎰y x f x xy x f x c 其中c 为xoy 面上第一象限内任一简单闭曲线，且,0)1()1(='=f f 求)(x f。
2005计科04-1班离散数学试题AB卷答案{山东理工大学}
2004～2005 学年第 二 学期科目: 离散数学 考试试题A 卷答案命题教师： 李伟勋 使用班级：计科04-1班一、1．A2．C3．C4．D5．A6．B7．B8．A9．C10．C二、11．()P Q R 谫 12．()()x x A x B "萎 13．{a ，b ，c }，{b ，c ，d }14．反对称性，{,,,,,,,,,}a a a b b a b c c b <><><><><> 15．123{,1,,2},{,2,,1},{,1,,1},f a b f a b f a b =<><>=<><>=<><>}2,,2,{4><><=b a f ；21,f f ；16．4≤； 17．b a b a a ⋅=+⋅)(； 8．1，1； 19．4，18；20．m n × 三、21．解：（1）令P ：天下雨，Q ：我们去郊游。
1分 该命题可符号化为Q P →⌝。
1分 天不下雨是去郊游的充分条件 1分 （2）令P ：天下雨，Q ：我们去郊游。
该命题可符号化为P Q ⌝→或Q P ⌝→。
1分 天不下雨是去郊游的必要条件 1分 22．解：设题中的公式为A ，则 A )())((r q p r q p ∧∧→∧∨⇔)())((r q p r q p ∧∧∨∧∨⌝⇔ 1分)()(r q p r q p ∧∧∨⌝∨⌝∧⌝⇔)()()(r q p r p q p ∧∧∨⌝∧⌝∨⌝∧⌝⇔ 2分)())(())((r q p r q q p r r q p ∧∧∨⌝∧∨⌝∧⌝∨∨⌝∧⌝∧⌝⇔)()()()()(r q p r q p r q p r q p r q p ∧∧∨⌝∧∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝∨∧⌝∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝⇔ )()()()(r q p r q p r q p r q p ∧∧∨⌝∧∧⌝∨∧⌝∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝⇔ 4分7210m m m m ∨∨∨⇔,此即该公式的主析取范式.由此即推得它的主合取范式为6543M M M M ∧∧∧=)()()()(r q p r q p r q p r q p ∨⌝∨⌝∧⌝∨∨⌝∧∨∨⌝∧⌝∨⌝∨ 5分 23．解： ⑴ {0,0,1,1,1,2,2,1,R R *=<><><><><> 1分⑵ 1{0,0,1,1,1,2,2,1,2,2}R R -*=<><><><><> 1分 ⑶ {,{}}{0,1}{0,1,0,2,R R φφ↑=↑=<><><> 2分⑷ [{,{}}][{0,1}]{0R Rf f == 24．解：从Ｒ的表达式可知，x ∈A ，（x ，x ）∈R ，即Ｒ具有自反性， 1分 由Ｒ的表达式，x ，y ∈A,(x,y)∈R,则(y,x)∈Ｒ，Ｒ具有对称性。
2024级经管类高数(二)期末试题与解答A
2024级本科高等数学（二）期末试题与解答A（本科、经管类）一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1.到两点4L-1,0）和8（2,0,-2）距离相等的点的轨迹为（C ）.C. x+y-2z-3=0；D.x+y+2z-3=0.2 .微分方程y 〃-2y+y=e'+x 的非齐次特解形式可令为（八）.A. Ax:2^+Bx+C ；B. Ae x Λ-Bx+C ；C.Ae x +x 2(Bx+C)↑D.Axe x +Bx+C.3 .函数/®y)=(4y -y2)(6x_“2)的驻点个数为(b ).Λ.9;B.5；C.3； D.1.4.设。
是My 面上以(1,1),(-1,1),为顶点的三角形区域，R 是。
中在第一象限的部分，则积分JJ(XU+COS^xsiny)db=(D).A.2∫∫cos 3xsin ydσ； C.4∫∫(x 3j+cos 3xsin y)dσ；q5 .下列级数中，绝对收敛的级数为(A∑<-ιr ,√b∙T严舄；C∙S（7）i∕;D.∑（-1）H -,-J=.n=l3n=l√11二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6 .函数/（羽丁）=@心也*2+产）_]11/2\^2^的连续域为,（工,'）（<12+'2«].7 .设级数为(。
〃一万)收敛,则Iim(〃“+∫∫2dσ)=3π.”=1 ° χ2+y 2≤∣8 .设Z=In （X+lny ）,则,包-包=0.y∂x∂y9 .交换，由，心/（无,丁）①;积分次序得，为:J ；f （x,y ）dy.A. x-y-2z-3 = 0;B. x+y-2z + 3 = 0; B. 2∫∫x 3 yJσ ；D ∖D. 0.C ).10 .投资某产品的固定成本为36（万元），且成本对产量X 的改变率（即边际成本）为C ,（x ）=2x+40（万元/百台），则产量由4（百台）增至6（百台）时总成本的增值为幽万元.三、试解下列各题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）11 .求解微分方程孙'-y=/满意初始条件MT=1的特解.解：分别变量得一^二四（2分）y （y+i ）X两端积分得In 上=lnx+InC,即上=CX （5分）y+1y+1由HT=1，得C=；故所求通解为X =工匕或），=—匚（8分）>,+l -2-x13 .z=∕(ei,2),即可微,求自乎.X oxoy解：寺=*/一与月(4分) ∂x X ^=-e x -y f^-f; (8分)∂yX14 .设/(x,y)=xsin(x+y),求九弓弓)，&（三）•解：∕r =sin(x+j)+Xcos(x+y),f y =xcos(x+1y)(2分) f xx =2CoS(X +y)-X Sin(X+y) f yy =-xsin(x+y)几弓弓）二一2,启（多9=0（8分）12.设Z = z （x, y ）由方程/ +孙- z = 3所确定,求包∂x x=2÷√ry=2->∕e Z=Ix≈2-^y∕e y≈2-∙Je（4分）（8分）（4分） （6分） 解：令尸(x,y,z) = "+Λy -z-3,则15.求嘉级数£心"的收敛区间与和函数.w=l解：收敛半径为R=I,收敛区间为（-覃）（2分）2.=XZnX"T,令S（X）=SnyI,则（4分）/1=1 /1=1 n=l£S（X）必:=£（J。
【经典期末卷】大学高数(下)期末测试题及答案
第 1 页 （共 10 页）班级（学生填写）： 姓名： 学号： 命题： 审题： 审批： ----------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ------------------------------------------------------- （答题不能超出密封线）LQdx Pdy +⎰=( )dxdy )P dxdy x 二重积分的积分区域D 是221≤+x y π C ．2π+⎰L Pdx Qdy在A．∂∂-=∂∂P Qy x第 2 页（共10 页）第 3 页 （共 10 页）班级（学生填写）： 姓名： 学号： ----------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ------------------------------------------------------- （答题不能超出密封线）()Lx y ds +⎰＝ ()Lx y ds +⎰= Lydx xdy +⎰= 2sin y t =上对应22xy De dxdy --⎰⎰= 2.第 4 页 （共 10 页）三. 计算题（一）（每小题6分，共36分）1.计算：22xy De d σ+⎰⎰，其中D 是由圆周224x y +=所围成的闭区域。
2.计算三重积分xdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω为三个坐标面及平面21x y z ++=所围成的闭区域。
3.计算xyzdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面2221x y z ++=，0,0,0x y z ≥≥≥所围成.第 5 页 （共 10 页）班级（学生填写）： 姓名： 学号： ----------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ------------------------------------------------------- （答题不能超出密封线）4.求2d d Dxx y y⎰⎰，其中D 为1xy =，y x =及2x =所围成的区域。
(整理)2004-2005学年第二学期高等数学试题(A卷).
命题方式： 教研组命题佛山科学技术学院2004—2005学年第二学期 《高等数学》(经济类)课程期末考试试题（A 卷）专业、班级： 姓名： 学号：一、单项选择题：（每小题3分，共15分. 在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在该题括号内） 1.下列积分⑴ ⎰50231+x dxx ， ⑵⎰11-2-1x xdx， ⑶⎰402235-)(/x xdx， ⑷⎰1ee xx dx/ln中，可直接使用牛顿——莱不尼兹公式的有 （ ）A . ⑴B . ⑴⑶C . ⑴⑷D . ⑴⑵⑶⑷2.下面叙述中⑴ 发散级数加括号后所成的级数一定发散；⑵ 发散的正项级数加括号后所成的级数一定发散； ⑶ 交换级数的项的次序不会影响级数的敛散性，正确的有 （ ） A . ⑴ B . ⑵ C . ⑶ D . ⑵⑶3.设∑∞1=n n u 为任意项级数，且∑∞1=n n u ｜｜ 发散，则 （ ）A . 原级数绝对收敛B . 原级数发散C . 原级数敛散性不定D . 原级数条件收敛 4.设 ⎰⎰2=Ddxdy I ，其中｝｜），（｛4≤+≤1=22y x y x D ，则=I （ ） A . π B . π2 C . π6 D . π15 5.曲线3=x y 与直线2=x 、0=y 所围成的图形绕y 轴旋转产生立体的体积是（ ） A . π7128 B . π596 C . π564D . π32二、填空题：（每小题3分，共12分.） 1.幂级数∑∞1=n nnnx 的收敛区间为 .2.二元函数22---4=y x y x z )(在点（ ， ）处取得极 值 .3.交换二次积分⎰⎰2-21y ydx y x f dy ),(的次序得.共6页第1页4.微分方程 0=3+'4+''y y y 满足初始条件 2=0=x y，6='0=x y 的特解为.三、解答题（每小题6分，共12分）：1.设y z z x ln =确定函数),(y x f z =，求xz∂∂.2.设 v e z u sin =，xy u =，y x v +=，求xz∂∂.四、解答题（7分）： 计算⎰∞+0-dx e x .共6页第2页五、解答题（7分）：试判断下面级数的敛散性：∑∞1=2⋅3nnnn.六、解答题（7分）：级数∑∞1=1-1 1-nnn)( 是否收敛？若收敛，指出是条件收敛还是绝对收敛.共6页第3页七、解答题（7分）：求微分方程x y y ='-''的通解.八、解答题（7分）：求下面微分方程满足初始条件的特解：0=+1-+1dy xy dx y x，0=0=x y.共6页第4页九、解答题（7分）：将函数2--=2x x xx f )( 展成 x 的幂级数，并确定其收敛区间.十、解答题（7分）： 计算二重积分⎰⎰Dxy d xe σ，其中｝,｜），（｛1≤≤01≤≤0=y x y x D .共6页第5页十一、解答题（7分）：计算二重积分⎰⎰Dxdxdy ，其中D 是由直线 x y = 和圆 1=1-+22)(y x 所围成且在直线x y = 下方的平面区域.十二、解答题（5分）：设可微函数)(x y 满足⎰-+=xx dt t y e x y )()(，求)(x y .共6页第6页。
第二学期高等数学期末考试试卷及答案3
第二学期高等数学期末考试试卷及答案3第二学期高等数学期末考试试卷（B 卷）答案一．填空题（本题满分30分，共有10道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中．1. 设向量AB 的终点坐标为()7,1,2-B ，它在x 轴、y 轴、z 轴上的投影依次为4、4-和7，则该向量的起点 A 的坐标为___________________________．2. 设a 、b 、c 都是单位向量，且满足0 =++c b a ，则=?+?+?ac c b b a_____________________________． 3. 设()()xy xy z 2cos sin +=，则=??yz_____________________________． 4. 设yx z =，则=yx z2___________________．5. 某工厂的生产函数是),(K L f Q =，已知⑴. 当20,64==K L 时，25000=Q ；（2）当20,64==K L 时，劳力的边际生产率和投资的边际生产率为270='Lf ，350='K f 。
如果工厂计划扩大投入到24,69==K L ，则产量的近似增量为_______________6. 交换积分顺序，有()=??--221,y y ydx y x f dy_____________________________．7. 设级数∑∞=1n nu收敛，且u un n=∑∞=1，则级数()=+∑∞=+11n n n u u __________．8. -p 级数∑∞=11n p n 在p 满足_____________条件下收敛． 9. 微分方程x x y sin +=''的通解为=y ______________________．10. 对于微分方程x e y y y -=+'+''23，利用待定系数法求其特解*y 时，应设其特解=*y ______________________ （只需列出特解形式，不必具体求出系数）．答案： 1. ()0,3,2-A ；2. 23-； 3. ()()()xy xy x xy x sin cos 2cos -； 4. ()x y x y ln 11+-； 5. 2750单位； 6.()()----+1111012,,x xdy y x f dxdy y x f dx ；7. 02u u -； 8. 1>p ； 9.213sin 61C x C x x ++-； 10. xAxe y -=*．二．（本题满分8分）求过点()3,2,10-P ，且与两平面12=+z x 和23=-z y 平行的直线方程．解：所求直线l 过点()3,2,10-P ，设其方向向量为s，由于l 平行于平面12=+z x 和23=-z y ，所以其方向向量s 同时垂直于向量{}2,0,11=n 与{}3,1,02-=n ．因此，方向向量s可取为，k j i kj i s n s++-=-=?=32310201 ．从而所求直线方程为:13221-=-=-+z y x ．三．（本题满分8分）设函数??=x y x z F x u k ,，其中k 是常数，函数F 具有连续的一阶偏导数．试求zu z y u y x u x+??+??．解：-??? ??'+??? ??-??? ??'+??? ??=??-22211,,,x y x y xz F x x z x y x z F x x y x zF kx x u kkk ??'-??? ??'-??? ??=---x y xz F yx x y x z F zx x y xz F kxk k k ,,,22121'=???? ??'=??-x y x z F x x x y x z F x y u k k ,1,212'=???? ??'=??-x y xz F x x x y xz F x z u k k ,1,111 所以， zz y u y x u x+??+?? ??'-??? ??'-??? ???=---x y xz F yx x y x z F zx x y xzF kxx k k k ,,,22121'?+??? ??'?+--x y xz F x z x y x z F xy k k ,,1121=x y x z F kx k , 四．（本题满分8分）计算二重积分??≤++=42222y x y xdxdy e I 的值．解：作极坐标变换：θθsin ,cos r y r x ==，则有==≤++220422222rdr e d dxdy eI r y x y x πθ()1212422-=?=e e rππ．五．（本题满分8分）某工厂生产两种型号的机床，其产量分别为x 台和y 台，成本函数为xy y x y x c -+=222),( （万元）若市场调查分析，共需两种机床8台，求如何安排生产，总成本最少？最小成本为多少？解：即求成本函数()y x c ,在条件8=+y x 下的最小值构造辅助函数 ())8(2,22-++-+=y x xy y x y x F λ解方程组=-+='=++-='=+-='080402y x F y x F y x F y x λλλ解得 3,5,7==-=y x λ这唯一的一组解，即为所求，当这两种型号的机床分别生产5台和3台时，总成本最小，最小成本为: 2835325)3,5(22=?-?+=c （万）六．（本题满分10分）⑴. 将()21ln arctan x x x x f +-=展开为x 的幂级数；⑵. 指出该幂级数的收敛域；⑶. 求级数()()∑∞=--1121n nn n 的和．解：⑴. 因为()()∑∞=-=+='22111arctan n nn x x x ()1<="" p="" ，且00arctan="，所以，"> =+∞=∞=+-=-=??? ??-=01200200212111arctan n n nn xnn xn n n x n dt t dt t x()11≤<-x而 ()()∑∞=-=+=+12221211ln 211ln n n nx nx x ()11≤≤-x所以， ()21ln arctan x x x x f +-=()()∑∑∞=∞=+--+-=12012121121n nnn n nx nxn x()()()()∑∑∞=+∞=++--+-=012022121121n n n n n nx n xn ()∑∞=+??+-+-=222211211n n n x n n ()()()∑∞=+++-=02222121n n nx n n ()11≤≤-x⑵. 幂级数()()()∑∞=+++-02222121n n n x n n 的收敛域为[]1,1-．⑶. 令1=x ，则有()()()()∑∑∞=∞=--=--1112212121n n n n n n n n ()()-=+-?==2ln 214211ln 1arctan 12122πf2ln 2-=π．七．（本题满分10分）求微分方程()1ln ln +=+'x x y x y x 的通解．解：该方程为一阶线性微分方程xx y x x y ln 1ln ln 1+=+' 因此，()x x x P ln 1=， ()xx x Q ln 1ln +=．代入一阶线性微分方程的求解公式，有+?+?=?-C dx e x x e y dx x x dx x x ln 1ln 1ln 1ln ??+?+=C x d x x x x ln ln 1ln ln 1 ()()C dx x x ++=1ln ln 1()C x x x+=ln ln 1所以，原方程的通解为 ()xC x C x x x y ln ln ln 1+=+=八．（本题满分10分）讨论级数()∑∞=+-11ln1n nnn 的绝对收敛性与条件收敛性．解：⑴. 因为级数()∑∞=+-11ln 1n nnn 为交错级数，nn u n 1ln+=．由于， ()()0122ln 12ln 1ln 12ln 2221<+++=++=+-++=-+n n nn n n n n n n n u u n n 所以数列{}n u 单调减少而且01 lnlim lim =+=∞→∞→nn u n n n ．因此由Leibniz 判别法知，级数()∑∞=+-11ln 1n nnn 收敛．⑵. 讨论级数()∑∑∞=∞=+=+-111ln1ln 1n n nn n n n ．其前n 项部分和为∑=+=nk n k k s 11ln ()()()()[]n n ln 1ln 3ln 4ln 2ln 3ln 1ln 2ln -+++-+-+-= ()∞→+=1ln n ()∞→n所以，级数()∑∑∞=∞=+=+-111ln1ln 1n n nn n n n 发散．综上所述知，级数()∑∞=+-11ln 1n nnn 条件收敛．九．（本题满分8分）设函数()u f 具有二阶连续的导函数，而且()y e f z xsin =满足方程z e yzx z x 22222=??+??，试求函数()u f ．解：设y e u x sin =，则有()y e u f x z x s i n '=??，()y e u f yz x cos '=?? 所以，()()y e u f y e u f x z xx sin sin 2222'+''=??()()y e u f y e u f xzx x s i n c o s 2222'-''=?? 代入方程 z e yz x z x22222=??+??，得，()()()()z e y e u f y e u f y e u f y e u f x x x x x 22222sin cos sin sin ='-''+'+''即，()()xx e u f e u f 22=''由此得微分方程 ()()0=-''u f u f 解此二阶线性微分方程，得其通解为 ()uueC e C u f -+=21 （1C 与2C 为任意常数）此即为所求函数．。
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04-05学年第二学期高等数学考试试题
一、 选择题（每小题2分，共20分）
1 二元函数⎪⎩
⎪⎨⎧=+≠++=0
00),(2
2
2
2
2
2y x y x y
x xy y x f 在点（0，0）处（ ）。
A. 不连续、偏导数存在
B. 连续、偏导数存在
C. 连续、偏导数不存在
D. 不连续、偏导数不存在 2 设y
z
x z x z
y
∂∂∂∂=,,则
依次为（ ）。
A.
1
,ln -y y
yx
x x B. x x yx
y y ln ,1
-
C.
x x yx
y y ln ,1
-
D.
1
,ln -y y yx
x x
3 点)3,3,3(a a a 是函数xyz
u =在条件
a
z
y
x 1111=
+
+(x>0,y>0,z>0,a>0)下
的（ ）。
A. 非驻点
B. 仅是驻点,不取得极值
C. 极小值点
D. 极大值点 4 若21D D ⊇,则必有(
).
A.⎰⎰
⎰⎰
≥1
2
),(),(D D dxdy y x f dxdy y x f B. ⎰⎰
⎰⎰
≥
1
2
),(),(D D dxdy
y x f dxdy y x f
C. ⎰⎰
⎰⎰
≥
1
2
),(),(D D dxdy
y x f dxdy
y x f D. 以上结论都不对
5 两个底圆半径都等于R 的直交圆柱体公共部分的表面积等于（）。
A. ⎰⎰
--R
x
R dy
x
R R dx 00
2
2
2
24 B. ⎰⎰
--R
x
R dy
x
R R dx 00
2
2
2
28 C. ⎰⎰
----R
x
R x
R dy
x
R R
dx 0
2
22
22
2
4 D. ⎰⎰
----R
x
R x
R dy
x
R R
dx 0
2
22
22
2
8
6 设L 为连接点（1,0）及（0,1）的直线段，则曲线积分：
⎰
=+L
ds y x )(
)(
A. 1
B.
2
C.
2
- D. –1
7设L 是平面上不经过原点的简单封闭曲线正向，则曲线积分： =
+-⎰L
y
x y d x x d y 2
2
（ ）
A. 0
B. π
2 C. 0或π2 D. 以上结论都不对
8 级数∑∞
=+-12
)1(n n
n
k n （k>0是常数）（ ）
A. 发散
B. 绝对收敛
C. 条件收敛
D. 收敛性与K 的取值有关 9 若∑∞
=-1)1(n n n x a 在1-=x 处收敛，则此级数在x=2处（ ）。
A. 条件收敛
B. 绝对收敛
C. 发散 D 无法判定其敛散性. 10
02),(21212
=-'-''=+y y y C C e
C y C x 是微分方程是任意常数的（
）。
A. 通解
B. 特解
C. 不是解
D. 是解，但不是通解，也不是特解 二、填空题（每空3分，满分30分） 1
=
→→x
xy y x )tan(lim
________________________.
2 曲面z=xy 上的点________处的切平面与平面x+3y+z+9=0平行。
3 函数f(x,y,z)=xy+yz+zx 在点(1,1,2)沿着x 轴正向的方向导数：
.___________
=∂∂l
f
4 交换二次积分的次序⎰
⎰
⎰⎰-+
3
1
30
1
020),(),(y
y
dx
y x f dy dx y x f dy =_________.
5
2
2
y
x z +=Ω是由曲面设与平面z=4所围成的闭区域，则：
⎰⎰⎰
Ω
dv
z y x f ),,(在柱面坐标系下的三次积分的表达式为________.
6 a=________时，(x+ay)dx+(2x+y)dy 在整个xoy 坐标平面内是某一个函数的全微分。
7 幂级数∑
∞
=1
2n n
n
n
x
的收敛域为______________.
8 f(x)的周期为2π，且f(x)=x(π
π
<≤-x ),则其傅立叶系数:
_______
=n a ;若以S(x)表示f(x)的傅立叶级数的和函数，则：
________
__________
)()1(=+πS S 。
9 微分方程x
x y dx
dy x
cos 2
=-的通解为________________.
三、（10分）已知：),
(x
y x xf z
=，其中
f 具有连续的二阶偏导数，求：
y
x z dz ∂∂∂2
及
四、（10分）计算曲面积分⎰⎰∑
-+zdxdy
dydz x z )(2
，其中∑是旋转抛物面
)(2
122
y x z +=
介于平面
z=0及z=2之间部分的下侧。
五、（10分）设f(x)是非负的连续函数，L 是沿y=f(x)从点O(0,0)到点A(2,0)的曲线段，且L 与X 轴围成的平面区域的面积等于1，计算曲线积分⎰+-L x
dy
e y xdx
)(。
六、（10分）试用x e 的展开式将函数x
e x
f x
1)(-=
展开为x 的幂级数，
并求级数∑
∞
=+1
)!
1(n n n 的和。
七、（10分）设函数y=y(x)满足微分方程,223x
e y y y =+'-''其图形在点
(0,1)处的切线与曲线12
+-=
x x y 在该点的切线重合，求y=y(x).。