专题32 中考几何平移类问题(学生版)备战2021年中考数学专题复习精讲精练
中考数学复习压轴题冲刺 几何综合题第二讲：三角形与四边形的平移
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【解析】（1）证明：∵矩形 EFPQ，∴EF∥BC，∴△AHF∽△ADC，∴ AH AF ， AD AC
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（3）解：由（2）可知，当矩形 EFPQ 的面积最大时，矩形的长为，宽为 4﹣ 4 ×5 =2．在矩形 EFPQ 沿射线 AD 的运动过程中： 52
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2021年ຫໍສະໝຸດ 10例 2（. 2013 年广东省 9 分）有一副直角三角板，在三角板 ABC 中∠BAC=90°，AB=AC=6，在三角板 DEF 中，∠FDE=90°，
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【思路点拨】（1）如题图 2 所示，由三角形的外角性质可得；
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【解析】（1）15；（2）在 Rt△CFA 中，AC=6，∠ACF =∠E=30°，∴FC= AC = 6÷ 3 4 3 ；
cos 30
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例 3.（2013 年湖南娄底 10 分）如图，在△ABC 中，∠B=45°，BC=5，高 AD=4，矩形 EFPQ 的一边 QP 在 BC 边上， E、F 分别在 AB、AC 上，AD 交 EF 于点 H．
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【考点分析】本题是运动型相似三角形压轴题，考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的表达式 与最值，矩形，等腰直角三角形等多个知识点，涉及考点较多有一定的难度.
1.作对称轴的垂线 2.构建相似三角形 3.构建直角三角形
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辅助线
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例 1（2013 年天津市 10 分）在平面直角坐标系中，已知点 A(2, 0) ，点 B(0, 4) ，点 E 在 OB 上，且∠OAE＝∠OBA.
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中考数学考点总动员：专题(33)图形的平移(含答案)
考点三十三：图形的平移1、定义把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。
2、性质（1）平移不改变图形的大小和形状，但图形上的每个点都沿同一方向进行了移动（2）连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等。
3.确定一个平移运动的条件是：平移的方向和距离4.平移的规则：图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离．5.画平移图形，必须找出平移方向和距离，其依据是平移的性质．中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数a b c y x ++=在同一坐标系内的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据二次函数图象开口向上得到a>0，再根据对称轴确定出b ，根据二次函数图形与x 轴的交点个数，判断24b ac -的符号，根据图象发现当x=1时y=a+b+c<0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．【详解】∵二次函数图象开口方向向上，∴a>0，∵对称轴为直线02b x a =->， ∴b<0，二次函数图形与x 轴有两个交点，则24b ac ->0，∵当x=1时y=a+b+c<0，∴24y bx b ac =+-的图象经过第二四象限，且与y 轴的正半轴相交，反比例函数a b c y x++=图象在第二、四象限， 只有D 选项图象符合.故选：D.【点睛】考查反比例函数的图象，一次函数的图象，二次函数的图象，掌握函数图象与系数的关系是解题的关键.2．图（1）是一个长为2m ，宽为2n （m ＞n ）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（ ）A．2mn B．（m+n）2C．（m-n）2D．m2-n2【答案】C【解析】解：由题意可得，正方形的边长为（m+n），故正方形的面积为（m+n）1．又∵原矩形的面积为4mn，∴中间空的部分的面积=（m+n）1-4mn=（m-n）1．故选C．3．如图，一个斜边长为10cm的红色三角形纸片，一个斜边长为6cm的蓝色三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形，则红、蓝两张纸片的面积之和是（）A．60cm2B．50cm2C．40cm2D．30cm2【答案】D【解析】标注字母，根据两直线平行，同位角相等可得∠B=∠AED，然后求出△ADE和△EFB相似，根据相似三角形对应边成比例求出53DEBF=，即53EFBF=，设BF=3a，表示出EF=5a，再表示出BC、AC，利用勾股定理列出方程求出a的值，再根据红、蓝两张纸片的面积之和等于大三角形的面积减去正方形的面积计算即可得解．【详解】解:如图，∵正方形的边DE∥CF，∴∠B=∠AED，∵∠ADE=∠EFB=90°，∴△ADE∽△EFB，∴10563 DE AEBF BE===，∴53 EFBF=，设BF=3a，则EF=5a，∴BC=3a+5a=8a，AC=8a×53=403a，在Rt△ABC中，AC1+BC1=AB1，即（403a）1+（8a）1=（10+6）1，解得a1=18 17，红、蓝两张纸片的面积之和=12×403a×8a-（5a）1，=1603a1-15a1，=853a1，=853×1817，=30cm1．故选D．【点睛】本题考查根据相似三角形的性质求出直角三角形的两直角边，利用红、蓝两张纸片的面积之和等于大三角形的面积减去正方形的面积求解是关键.4．不等式5+2x ＜1的解集在数轴上表示正确的是( ).A．B．C．D．【答案】C【解析】先解不等式得到x＜-1，根据数轴表示数的方法得到解集在-1的左边．【详解】5+1x＜1，移项得1x＜-4，系数化为1得x＜-1．故选C．【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集：先求出不等式组的解集，然后根据数轴表示数的方法把对应的未知数的取值范围通过画区间的方法表示出来，等号时用实心，不等时用空心．5．如图，A、B两点在双曲线y=4x上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影=1，则S1+S2=（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】欲求S1+S1，只要求出过A、B两点向x轴、y轴作垂线段与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积为双曲线y=4x的系数k，由此即可求出S1+S1．【详解】∵点A 、B 是双曲线y=4x上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段， 则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4，∴S 1+S 1=4+4-1×1=2．故选D ．6．关于x 的一元二次方程x 2+2x+k+1=0的两个实根x 1，x 2，满足x 1+x 2﹣x 1x 2＜﹣1，则k 的取值范围在数轴上表示为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】D【解析】试题分析：根据根的判别式和根与系数的关系列出不等式，求出解集．解：∵关于x 的一元二次方程x 2+2x+k+1=0有两个实根，∴△≥0，∴4﹣4（k+1）≥0，解得k≤0，∵x 1+x 2=﹣2，x 1•x 2=k+1，∴﹣2﹣（k+1）＜﹣1，解得k ＞﹣2，不等式组的解集为﹣2＜k≤0，在数轴上表示为：，故选D ．点评：本题考查了根的判别式、根与系数的关系，在数轴上找到公共部分是解题的关键．7．如图，等腰直角三角形ABC 位于第一象限，2AB AC ==，直角顶点A 在直线y x =上，其中点A 的横坐标为1，且两条直角边AB ，AC 分别平行于x 轴、y 轴，若反比例函数k y x=的图象与ABC △有交点，则k 的取值范围是（ ）．A ．12k <<B ．13k ≤≤C ．14k ≤<D ．14k ≤≤【解析】设直线y=x 与BC 交于E 点，分别过A 、E 两点作x 轴的垂线，垂足为D 、F ，则A （1，1），而AB=AC=2，则B （3，1），△ABC 为等腰直角三角形，E 为BC 的中点，由中点坐标公式求E 点坐标，当双曲线与△ABC 有唯一交点时，这个交点分别为A 、E ，由此可求出k 的取值范围.解：∵2AC BC ==，90CAB ∠=︒．()1,1A ．又∵y x =过点A ，交BC 于点E ，∴2EF ED ==， ∴()2,2E ，∴14k ≤≤．故选D.8．如图，A 、B 、C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC 的值为（ ）A ．12B ．1C ．33D ．3【答案】B【解析】连接BC ，由网格求出AB ，BC ，AC 的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC 为等腰直角三角形，即可求出所求．【详解】如图，连接BC ，由网格可得AB=BC=5，AC=10，即AB 2+BC 2=AC 2，∴△ABC 为等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，则tan∠BAC=1，故选B ．本题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．9．甲、乙、丙三家超市为了促销同一种定价为m元的商品，甲超市连续两次降价20％；乙超市一次性降价40％；丙超市第一次降价30％，第二次降价10％，此时顾客要购买这种商品，最划算的超市是( ) A．甲B．乙C．丙D．都一样【答案】B【解析】根据各超市降价的百分比分别计算出此商品降价后的价格，再进行比较即可得出结论．【详解】解：降价后三家超市的售价是：甲为（1-20%）2m=0.64m，乙为（1-40%）m=0.6m，丙为（1-30%）（1-10%）m=0.63m，∵0.6m＜0.63m＜0.64m，∴此时顾客要购买这种商品最划算应到的超市是乙．故选：B．【点睛】此题考查了列代数式，解题的关键是根据题目中的数量关系列出代数式，并对代数式比较大小．10．已知数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|﹣|c﹣b|的结果是（）A．a+b B．﹣a﹣c C．a+c D．a+2b﹣c【答案】C【解析】首先根据数轴可以得到a、b、c的取值范围，然后利用绝对值的定义去掉绝对值符号后化简即可．【详解】解：通过数轴得到a＜0，c＜0，b＞0，|a|＜|b|＜|c|，∴a+b＞0，c﹣b＜0∴|a+b|﹣|c﹣b|=a+b﹣b+c=a+c，故答案为a+c．故选A．二、填空题（本题包括8个小题）11．如图所示是一组有规律的图案，第l个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第n（n是正整数）个图案中的基础图形个数为_______ （用含n的式子表示）．【答案】3n+1【解析】试题分析：由图可知每个图案一次增加3个基本图形，第一个图案有4个基本图形，则第n个图案的基础图形有4+3(n-1)=3n+1个考点：规律型12．袋中装有一个红球和二个黄球，它们除了颜色外都相同，随机从中摸出一球，记录下颜色后放回袋中，充分摇匀后，再随机摸出一球，两次都摸到红球的概率是_____．【答案】1 9【解析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到红球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．注意此题属于放回实验．【详解】画树状图如下：由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到红球的有1种结果，所以两次都摸到红球的概率是19，故答案为19．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意画树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．13．如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是_____________．【答案】5245 1【解析】如图所示：①当AP=AE=1时，∵∠BAD=90°，∴△AEP是等腰直角三角形，∴底边252②当PE=AE=1时，∵BE=AB﹣AE=8﹣1=322PE BE，∴底边AP=22AB PB +=2284+=45；③当PA=PE 时，底边AE=1；综上所述：等腰三角形AEP 的对边长为52或45或1；故答案为52或45或1．14．如图，在△ABC 中，∠B＝40°，∠C＝45°，AB 的垂直平分线交BC 于点D ，AC 的垂直平分线交BC 于点E ，则∠DAE＝______．【答案】10°【解析】根据线段的垂直平分线得出AD=BD ，AE=CE ，推出∠B=∠BA D ，∠C=∠CAE，求出∠BAD+∠CAE 的度数即可得到答案．【详解】∵点D 、E 分别是AB 、AC 边的垂直平分线与BC 的交点，∴AD=BD，AE=CE ，∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，∵∠B=40°，∠C=45°，∴∠B+∠C=85°，∴∠BAD+∠CAE=85°，∴∠DAE=∠BAC -（∠BAD+∠CAE）=180°-85°-85°=10°，故答案为10°【点睛】本题主要考查对等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，线段的垂直平分线的性质等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．15．不等式组5243x x +>⎧⎨-≥⎩的最小整数解是_____． 【答案】-1【解析】分析：先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案．详解：5243x x +⎧⎨-≥⎩＞①② . ∵解不等式①得：x ＞-3，解不等式②得：x≤1，∴不等式组的解集为-3＜x≤1，∴不等式组的最小整数解是-1，故答案为：-1．点睛：本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式的解集得出不等式组的解集是解此题的关键．16．A 、B 两地相距20km ，甲乙两人沿同一条路线从A 地到B 地．甲先出发，匀速行驶，甲出发1小时后乙再出发，乙以2km/h 的速度度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速行驶，结果比甲提前到达．甲、乙两人离开A 地的距离y(km)与时间t(h)的关系如图所示，则甲出发_____小时后和乙相遇．【答案】165【解析】由图象得出解析式后联立方程组解答即可．【详解】由图象可得：y 甲=4t （0≤t≤5）；y 乙=()()2112916(24)t t t t ＜⎧-≤≤⎨-≤⎩； 由方程组4916y t y t ⎧⎨-⎩＝＝，解得t=165． 故答案为165． 【点睛】此题考查一次函数的应用，关键是由图象得出解析式解答．17．若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为__________． 43【解析】根据题意画出草图，可得OG=2，60OAB ∠=︒，因此利用三角函数便可计算的外接圆半径OA.【详解】解：如图，连接OA 、OB ，作OG AB ⊥于G ； 则2OG =，∵六边形ABCDEF 正六边形， ∴OAB 是等边三角形， ∴60OAB ∠=︒，∴43sin603OG OA ===︒ ∴正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为433． 故答案为43． 【点睛】本题主要考查多边形的内接圆和外接圆，关键在于根据题意画出草图，再根据三角函数求解，这是多边形问题的解题思路.18．如图，正方形ABCD 和正方形OEFG 中, 点A 和点F 的坐标分别为 （3,2)，（－1,－1)，则两个正方形的位似中心的坐标是_________．【答案】（1，0）；（﹣5，﹣2）.【解析】本题主要考查位似变换中对应点的坐标的变化规律．因而本题应分两种情况讨论，一种是当E 和C 是对应顶点，G 和A 是对应顶点；另一种是A 和E 是对应顶点，C 和G 是对应顶点． 【详解】∵正方形ABCD 和正方形OEFG 中A 和点F 的坐标分别为（3，2），（-1，-1）， ∴E（-1，0）、G （0，-1）、D （5，2）、B （3，0）、C （5，0），（1）当E 和C 是对应顶点，G 和A 是对应顶点时，位似中心就是EC 与AG 的交点， 设AG 所在直线的解析式为y=kx+b （k≠0），∴231k b b =+⎧⎨-=⎩，解得11b k =-⎧⎨=⎩．∴此函数的解析式为y=x-1，与EC 的交点坐标是（1，0）；（2）当A 和E 是对应顶点，C 和G 是对应顶点时，位似中心就是AE 与CG 的交点， 设AE 所在直线的解析式为y=kx+b （k≠0），320k b k b +=⎧⎨-+=⎩，解得1212k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故此一次函数的解析式为1122y x =+…①， 同理，设CG 所在直线的解析式为y=kx+b （k≠0），501k b b +=⎧⎨=-⎩，解得151k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， 故此直线的解析式为115y x =-…② 联立①②得1122115y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得52x y =-⎧⎨=-⎩，故AE 与CG 的交点坐标是（-5，-2）．故答案为：（1，0）、（-5，-2）． 三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，在△ABC 中，∠B＝∠C＝40°，点D 、点E 分别从点B 、点C 同时出发，在线段BC 上作等速运动，到达C 点、B 点后运动停止．求证：△ABE≌△ACD；若AB ＝BE ，求∠DAE 的度数； 拓展：若△ABD 的外心在其内部时，求∠BDA 的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）40︒；拓展：5090BDA ︒<∠<︒【解析】（1）由题意得BD=CE ，得出BE=CD ，证出AB=AC ，由SAS 证明△ABE≌△ACD 即可；（2）由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠BEA=∠EAB=70°，证出AC=CD ，由等腰三角形的性质得出∠ADC=∠DAC=70°，即可得出∠DAE 的度数； 拓展：对△ABD 的外心位置进行推理，即可得出结论．【详解】（1）证明：∵点D 、点E 分别从点B 、点C 同时出发，在线段BC 上作等速运动， ∴BD=CE，∴BC -BD=BC-CE ，即BE=CD ， ∵∠B=∠C=40°， ∴AB=AC，在△ABE 和△ACD 中，AB AC B C BE CD =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝， ∴△ABE≌△ACD（SAS ）；（2）解：∵∠B=∠C=40°，AB=BE ， ∴∠BEA=∠E AB=12(180°-40°)=70°， ∵BE=CD，AB=AC ， ∴AC=CD， ∴∠ADC=∠DAC=12(180°-40°)=70°， ∴∠DAE=180°-∠ADC -∠BEA=180°-70°-70°=40°； 拓展：解：若△ABD 的外心在其内部时，则△ABD 是锐角三角形． ∴∠BAD=140°-∠BDA＜90°． ∴∠BDA＞50°， 又∵∠BDA＜90°， ∴50°＜∠BDA＜90°． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的外心等知识；熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．20．如图,两座建筑物的水平距离BC 为60m .从C 点测得A 点的仰角α为53° ,从A 点测得D 点的俯角β为37° ,求两座建筑物的高度(参考数据:3433437,37 37, 534 53?35)55453sin cos tan sin cos tan ≈≈≈≈≈≈，,，【答案】建筑物AB 的高度为80m .建筑物CD 的高度为35m .【解析】分析：过点D 作DE⊥AB 于于E ，则DE=BC=60m ．在Rt△ABC 中，求出AB ．在Rt△ADE 中求出AE 即可解决问题．详解：过点D 作DE⊥AB 于于E ，则DE=BC=60m ，在Rt△ABC 中，tan53°=60AB AB BC ∴，=43，∴AB=80（m ）． 在Rt△ADE 中，tan37°=34AE DE ∴，=60AE ，∴AE=45（m ）， ∴BE=CD=AB﹣AE=35（m ）．答：两座建筑物的高度分别为80m 和35m ．点睛：本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．21．校园手机现象已经受到社会的广泛关注．某校的一个兴趣小组对“是否赞成中学生带手机进校园”的问题在该校校园内进行了随机调查．并将调查数据作出如下不完整的整理； 看法 频数 频率 赞成 5 无所谓 0.1 反对400.8（1）本次调查共调查了 人；（直接填空）请把整理的不完整图表补充完整；若该校有3000名学生，请您估计该校持“反对”态度的学生人数．【答案】（1）50；（2）见解析；（3）2400.【解析】（1）用反对的频数除以反对的频率得到调查的总人数；（2）求无所谓的人数和赞成的频率即可把整理的不完整图表补充完整；（3）根据题意列式计算即可．【详解】解：（1）观察统计表知道：反对的频数为40，频率为0.8，故调查的人数为：40÷0.8＝50人；故答案为：50；（2）无所谓的频数为：50﹣5﹣40＝5人，赞成的频率为：1﹣0.1﹣0.8＝0.1；看法频数频率赞成 5 0.1无所谓 5 0.1反对40 0.8统计图为：（3）0.8×3000＝2400人，答：该校持“反对”态度的学生人数是2400人．【点睛】本题考查的是条形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．22．如图，抛物线2y ax 2ax c =-+（a≠0）交x 轴于A 、B 两点，A 点坐标为（3，0），与y 轴交于点C （0，4），以OC 、OA 为边作矩形OADC 交抛物线于点G ．求抛物线的解析式；抛物线的对称轴l 在边OA （不包括O 、A 两点）上平行移动，分别交x 轴于点E ，交CD 于点F ，交AC 于点M ，交抛物线于点P ，若点M 的横坐标为m ，请用含m 的代数式表示PM 的长；在（2）的条件下，连结PC ，则在CD 上方的抛物线部分是否存在这样的点P ，使得以P 、C 、F 为顶点的三角形和△AEM 相似？若存在，求出此时m 的值，并直接判断△PCM 的形状；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为248y x x 433=-++；（2）PM=24m 4m 3-+（0＜m ＜3）；（3）存在这样的点P 使△PFC 与△AEM 相似．此时m 的值为2316或1，△PCM 为直角三角形或等腰三角形． 【解析】（1）将A （3，0），C （0，4）代入2y ax 2ax c =-+，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式．（2）先根据A 、C 的坐标，用待定系数法求出直线AC 的解析式，从而根据抛物线和直线AC 的解析式分别表示出点P 、点M 的坐标，即可得到PM 的长．（3）由于∠PFC 和∠AEM 都是直角，F 和E 对应，则若以P 、C 、F 为顶点的三角形和△AEM 相似时，分两种情况进行讨论：①△PFC∽△AEM，②△CFP∽△AEM；可分别用含m 的代数式表示出AE 、EM 、CF 、PF 的长，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出m 的值，再根据相似三角形的性质，直角三角形、等腰三角形的判定判断出△PCM 的形状．【详解】解：（1）∵抛物线2y ax 2ax c =-+（a≠0）经过点A （3，0），点C （0，4），∴，解得4a {3c 4=-=． ∴抛物线的解析式为248y x x 433=-++． （2）设直线AC 的解析式为y=kx+b ， ∵A（3，0），点C （0，4），∴3k b 0{b 4+==，解得4k {3b 4=-=．∴直线AC 的解析式为4y x 43=-+． ∵点M 的横坐标为m ，点M 在AC 上， ∴M 点的坐标为（m ，4m 43-+）． ∵点P 的横坐标为m ，点P 在抛物线248y x x 433=-++上， ∴点P 的坐标为（m ，248m m 433-++）． ∴PM=PE－ME=（248m m 433-++）－（4m 43-+）=24m 4m 3-+．∴PM=24m 4m 3-+（0＜m ＜3）．（3）在（2）的条件下，连接PC ，在CD 上方的抛物线部分存在这样的点P ，使得以P 、C 、F 为顶点的三角形和△AEM 相似．理由如下： 由题意，可得AE=3﹣m ，EM=4m 43-+，CF=m ，PF=248m m 4433-++-=248m m 33-+， 若以P 、C 、F 为顶点的三角形和△AEM 相似，分两种情况： ①若△PFC∽△AEM，则PF ：AE=FC ：EM ，即（248m m 33-+）：（3－m ）=m ：（4m 43-+）， ∵m≠0且m≠3，∴m=2316． ∵△PFC∽△AEM，∴∠PCF=∠AME． ∵∠AME=∠CMF，∴∠PCF=∠CMF．在直角△CMF 中，∵∠CMF+∠MCF=90°，∴∠PCF+∠MCF=90°，即∠PCM=90°． ∴△PCM 为直角三角形．②若△CFP∽△AEM，则CF ：AE=PF ：EM ，即m ：（3－m ）=（248m m 33-+）：（4m 43-+）， ∵m≠0且m≠3，∴m=1．∵△CFP∽△AEM，∴∠CPF=∠AME．∵∠AME=∠CMF，∴∠CPF=∠CMF．∴CP=CM． ∴△PCM 为等腰三角形．综上所述，存在这样的点P 使△PFC 与△AEM 相似．此时m 的值为2316或1，△PCM 为直角三角形或等腰三角形．23．如图，已知AC 和BD 相交于点O ，且AB∥DC，OA=OB ． 求证：OC=OD ．【答案】证明见解析.【解析】试题分析：首先根据等边对等角可得∠A=∠B，再由DC∥AB，可得∠D=∠A，∠C=∠B，进而得到∠C=∠D，根据等角对等边可得CO=DO ． 试题解析：证明：∵AB∥CD ∴∠A＝∠D ∠B＝∠C ∵OA=OB ∴∠A＝∠B ∴∠C ＝∠D ∴OC＝OD考点：等腰三角形的性质与判定，平行线的性质24．为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念,某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务．该工程队有,A B 两种型号的挖掘机,已知3台A 型和5台B 型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台A 型和7台B 型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米．每台A 型挖掘机一小时的施工费用为300元,每台B 型挖掘机一小时的施工费用为180元．分别求每台A 型, B 型挖掘机一小时挖土多少立方米?若不同数量的A 型和B 型挖掘机共12台同时施工4小时,至少完成1080立方米的挖土量,且总费用不超过12960元．问施工时有哪几种调配方案,并指出哪种调配方案的施工费用最低,最低费用是多少元?【答案】（1）每台A 型挖掘机一小时挖土30立方米,每台B 型挖据机一小时挖土15立方米；（2）共有三种调配方案．方案一: A 型挖据机7台,B 型挖掘机5台；方案二: A 型挖掘机8台,B 型挖掘机4台；方案三: A 型挖掘机9台,B 型挖掘机3台．当A 型挖掘机7台, B 型挖掘机5台的施工费用最低,最低费用为12000元．【解析】分析：（1）根据题意列出方程组即可；（2）利用总费用不超过12960元求出方案数量，再利用一次函数增减性求出最低费用． 详解：(1)设每台A 型,B 型挖掘机一小时分别挖土x 立方米和y 立方米,根据题意,得35165,47225,x y x y +=⎧⎨+=⎩解得30,15.x y =⎧⎨=⎩所以,每台A 型挖掘机一小时挖土30立方米,每台B 型挖据机一小时挖土15立方米．(2)设A 型挖掘机有m 台,总费用为W 元,则B 型挖据机有()12m -台．根据题意,得43004180W m =⨯+⨯ ()124808640m m -=+， 因为()()430415121080430041801212960m m m m ⎧⨯+⨯-≥⎪⎨⨯+⨯-≤⎪⎩，解得69m m ≥⎧⎨≤⎩，又因为12m m ≠-,解得6m ≠,所以79m ≤≤． 所以,共有三种调配方案．方案一:当7m =时,125m -= ,即A 型挖据机7台,B 型挖掘机5台； 方案二:当8m =时,124m -= ,即A 型挖掘机8台,B 型挖掘机4台； 方案三:当9m =时,123m -= ,即A 型挖掘机9台,B 型挖掘机3台．4800>,由一次函数的性质可知,W 随m 的减小而减小,当7m =时，=4807+8640=12000W ⨯最小，此时A 型挖掘机7台, B 型挖掘机5台的施工费用最低,最低费用为12000元．点睛：本题考查了二元一次方程组和一次函数增减性，解答时先根据题意确定自变量取值范围，再应用一次函数性质解答问题．25．某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元.第一批饮料进货单价多少元？若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？ 【答案】（1）第一批饮料进货单价为8元.(2) 销售单价至少为11元.【解析】（1）设第一批饮料进货单价为x 元，根据等量关系第二批饮料的数量是第一批的3倍，列方程进行求解即可；（2）设销售单价为m 元，根据两批全部售完后，获利不少于1200元，列不等式进行求解即可得.【详解】（1）设第一批饮料进货单价为x 元，则：1600600032x x ⨯=+ 解得：8x =经检验：8x =是分式方程的解 答：第一批饮料进货单价为8元. （2）设销售单价为m 元，则：()()8200106001200m m -⋅+-⋅≥，化简得：()()2861012m m -+-≥， 解得：11m ≥，答：销售单价至少为11元.【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找出等量关系与不等关系是关键.26．为了解今年初三学生的数学学习情况，某校对上学期的数学成绩作了统计分析，绘制得到如下图表．请结合图表所给出的信息解答下列问题：成绩频数频率优秀45 b良好 a 0.3合格105 0.35不合格60 c（1）该校初三学生共有多少人？求表中a，b，c的值，并补全条形统计图．初三（一）班数学老师准备从成绩优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学做学习经验介绍，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．【答案】（1）300人（2）b=0.15，c=0.2；（3）1 6【解析】分析：(1)利用合格的人数除以该组频率进而得出该校初四学生总数;(2)利用(1)中所求,结合频数÷总数=频率,进而求出答案;(3)根据题意画出树状图,然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目;二者的比值就是其发生的概率.详解：（1）由题意可得：该校初三学生共有：105÷0.35=300（人），答：该校初三学生共有300人；（2）由（1）得：a=300×0.3=90（人），b==0.15，c==0.2；如图所示：（3）画树形图得：∵一共有12种情况，抽取到甲和乙的有2种，∴P（抽到甲和乙）==．点睛：此题主要考查了树状图法求概率以及条形统计图的应用,根据题意利用树状图得出所有情况是解题关键.中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．某市初中学业水平实验操作考试，要求每名学生从物理，化学、生物三个学科中随机抽取一科参加测试，小华和小强都抽到物理学科的概率是( )A．1 9B．14C．16D．13【答案】A【解析】作出树状图即可解题.【详解】解：如下图所示一共有9中可能,符合题意的有1种,故小华和小强都抽到物理学科的概率是19,故选A.【点睛】本题考查了用树状图求概率,属于简单题,会画树状图是解题关键.2．点A（m﹣4，1﹣2m）在第四象限，则m的取值范围是（）A．m＞12B．m＞4C．m＜4 D．12＜m＜4【答案】B【解析】根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数列出不等式组，然后求解即可．【详解】解：∵点A（m-1，1-2m）在第四象限，∴40120mm-⎧⎨-⎩＞①，＜②解不等式①得，m＞1，解不等式②得，m＞12所以，不等式组的解集是m＞1，即m的取值范围是m＞1．故选B．【点睛】本题考查各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．3．如图，已知O的周长等于6cmπ，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是（）A．93B．273C．273D．273【答案】C【解析】过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，OB，由⊙O的周长等于6πcm，可得⊙O的半径，又由圆的内接多边形的性质可得∠AOB=60°，即可证明△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质可求出OH的长，根据S正六边形ABCDEF=6S△OAB即可得出答案．【详解】过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，OB，设⊙O的半径为r，∵⊙O的周长等于6πcm，∴2πr=6π，解得：r=3，∴⊙O的半径为3cm，即OA=3cm，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB=16×360°=60°，OA=OB，∴△OAB是等边三角形，∴AB=OA=3cm，∵OH⊥AB，∴AH=12 AB，∴AB=OA=3cm，∴AH=32cm，OH=22OA AH=33cm，∴S正六边形ABCDEF=6S△OAB=6×12×3×33=273（cm2）．故选C. 【点睛】此题考查了正多边形与圆的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．4．一、单选题如图： 在ABC ∆中，CE 平分ACB ∠，CF 平分ACD ∠，且//EF BC 交AC 于M ，若5CM =，则22CE CF +等于（ ）A ．75B ．100C ．120D ．125【答案】B 【解析】根据角平分线的定义推出△ECF 为直角三角形，然后根据勾股定理即可求得CE 2+CF 2=EF 2，进而可求出CE 2+CF 2的值．【详解】解：∵CE 平分∠ACB，CF 平分∠ACD， ∴∠ACE=12∠ACB，∠ACF=12∠ACD，即∠ECF=12（∠ACB+∠ACD）=90°， ∴△EFC 为直角三角形，又∵EF∥BC，CE 平分∠ACB，CF 平分∠ACD，∴∠ECB=∠MEC=∠ECM，∠DCF=∠CFM=∠M CF ，∴CM=EM=MF=5，EF=10，由勾股定理可知CE 2+CF 2=EF 2=1．故选：B ．【点睛】本题考查角平分线的定义（从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线），直角三角形的判定（有一个角为90°的三角形是直角三角形）以及勾股定理的运用，解题的关键是首先证明出△ECF 为直角三角形．5．如图是一块带有圆形空洞和矩形空洞的小木板，则下列物体中最有可能既可以堵住圆形空洞，又可以堵住矩形空洞的是（ ）A ．正方体B ．球C ．圆锥D ．圆柱体【答案】D 【解析】本题中，圆柱的俯视图是个圆，可以堵住圆形空洞，它的正视图和左视图是个矩形，可以堵住方形空洞．【详解】根据三视图的知识来解答．圆柱的俯视图是一个圆，可以堵住圆形空洞，而它的正视图以及侧视图都为一个矩形，可以堵住方形的空洞，故圆柱是最佳选项．故选D．【点睛】此题考查立体图形，本题将立体图形的三视图运用到了实际中，只要弄清楚了立体图形的三视图，解决这类问题其实并不难．6．完全相同的6个小矩形如图所示放置，形成了一个长、宽分别为n、m的大矩形，则图中阴影部分的周长是（）A．6（m﹣n）B．3（m+n）C．4n D．4m【答案】D【解析】解：设小长方形的宽为a，长为b，则有b=n-3a，阴影部分的周长：2(m-b)+2(m-3a)+2n=2m-2b+2m-6a+2n=4m-2(n-3a)-6a+2n=4m-2n+6a-6a+2n=4m．故选D．7．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣2k和二次函数y＝﹣kx2+2x﹣4（k是常数且k≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据一次函数与二次函数的图象的性质，求出k的取值范围，再逐项判断即可．【详解】解：A、由一次函数图象可知，k＞0，∴﹣k＜0，∴二次函数的图象开口应该向下，故A选项不合题意；。
2021年中考数学复习微专题靶向专题巩固与提升练习《平移》(专题练)
中考数学复习微专题靶向专题巩固与提升练习《平移》（专题练）一．选择题.1. 在下面四幅图案中,能通过基础图案平移得到的是( )2.如图,将△ABC沿射线AB平移到△DEF的位置,则以下结论不正确的是 ( )A.∠C=∠FB.BC∥EFC.AD=BED.AC=DB3. 在平面直角坐标系中,将点P(x,y)先向左平移4个单位,再向上平移3个单位后得到点P'(1,2),则点P的坐标为( )A.(2,6)B.(-3,5)C.(-3,1)D.(5,-1)4.在平面直角坐标系中,有C(1,2),D(1,-1)两点,则点C可看作是由点D( )A.向上平移3个单位长度得到B.向下平移3个单位长度得到C.向左平移1个单位长度得到D.向右平移1个单位长度得到5.如图,线段AB经过平移得到线段A1B1,其中A,B的对应点分别为A1,B1,这四个点都在格点上,若线段AB上有一个点P(a,b),则点P在A1B1上的对应点P1的坐标为( )A.(a-4,b+2)B.(a-4,b-2)C.(a+4,b+2)D.(a+4,b-2)二．填空题.1.如图所示,△ABC沿着由点B到点E的方向,平移到△DEF,已知BC=7cm,EC=4cm,那么平移的距离为cm.2. 如图,△OAB的顶点A的坐标为(3,√3),B的坐标为(4,0);把△OAB沿x轴向右平移得到△CDE,如果D的坐标为(6,√3),那么OE的长为.3. 已知点A是直线y=x+1上一点,其横坐标为-1,若点B与点A最新2y轴对称,则点B的坐标为.4.为了便于游客领略“人从桥上过,如在景中游”的美好意境,某景区拟在如图所示的长方形水池上架设景观桥.若长方形水池的周长为300m,景观桥宽忽略不计,则景观桥总长为m.5. 将点P(a+1,2a)向上平移8个单位得到点在第二象限,则a的取值范围是.三．解答题.1.如图,△ABC的三个顶点都在每格为1个单位长度的格点上,请将△ABC先向下平移三个单位长度后,再向右平移四个单位长度后得到△A1B1C1.(1)画出平移后的△A1B1C1;(2)在(1)的条件下,连接BB1,CB1,直接写出△BCB1的面为.2. 如图,在每个边长为1的小正方形方格纸中,△ABC的顶点都在方格纸格点上,将△ABC向左平移2格,再向上平移3格得到A′B′C′(1)请在图中画出平移后的△A′B′C′;(2)求△A′B′C′的面积.3. 已知平面直角坐标系中,点A(a,0),B(0,b),a,b满足√a+2+(4-b)2=0.(1)求△AOB的面积;(2)将线段AB经过水平、竖直方向平移后得到线段A′B′,已知直线A′B′经过点C(4,0),A′的横坐标为5.①请说明线段AB的平移方式,并说明理由;②直线A′B′上一点P(m,n),直接写出m,n之间的数量关系:.4.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,将三角形ABC进行平移,平移后点A,B,C的对应点分别是点D,E,F,点A(0,a),点B(0,b),点D(a,12a),点E(m-b,12a+4).(1)若a=1,求m的值;(2)若点C(-a,14m+3),其中a>0.直线CE交y轴于点M,且三角形BEM的面积为1,试探究AF和BF的数量关系,并说明理由.5. 如图(单位:m),一块长方形草坪中间有两条宽度相等的石子路(每条石子路间距均匀),请你求出草坪(阴影部分)的面积.。
备战2021年中考数学精品系列-专题26 平移、旋转与对称(解析版)
备战2021年中考数学精品系列-专题26 平移、旋转与对称（解析版）☞解读考点知识点名师点晴图形的平移1.平移的概念知道什么是图形的平移。
2.平移的性质掌握平移的性质。
3.平移的条件了解平移条件。
4.平移作图能准确利用平移作图。
图形的旋转 5.旋转的定义知道什么是旋转。
6.旋转的性质掌握旋转的性质。
7.中心对称及中心对称图形了解中心对称和中心对称图形概念，能区分两个概念。
8.中心对称的性质能掌握中心对称的性质，能正确作图。
图形的轴对称 9.轴对称、轴对称图形的定义能区别两个概念。
10.轴对称的性质能正确应用性质。
11.轴对称作图会正确作出一个图形关于某直线的轴对称图形。
☞2年中考[2020年题组]1. （2020年广西来宾）将点P（﹣2，3）向右平移3个单位得到点P1，点P2与点P1关于原点对称，则P2的坐标是【】A．（﹣5，﹣3）B．（1，﹣3）C．（﹣1，﹣3）D．（5，﹣3）【答案】C．【考点】1.坐标与图形的平移变化；2. 关于原点对称的点的坐标特征.2. （2020年广西玉林、防城港）如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x ，两个三角形重叠面积为y ，则y 关于x 的函数图象是【 】A ．B ．C ．D ．【答案】B ． 【分析】根据题目提供的条件可以求出函数的解析式，根据解析式应用排它法判断函数的图象的形状：①当t≤1时，两个三角形重叠面积为小三角形的面积， ∴133y 1224=⋅⋅=.故可排除选项D. ②当1＜x≤2时，重叠三角形的边长为2﹣x ，高为()322x -，∴()()()232x 13y 2x x 2224-=⋅-⋅=-，它的图象是开口向上，顶点为()2,0 的抛物线在1＜x≤2的部分. 故可排除选项A ，C.故选B ．【考点】1.面动平移问题的函数图象问题；2.由实际问题列函数关系式；3.二次函数的性质和图象；4.分类思想和排它法的应用．3. （2020年贵州遵义）如图，已知△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B ，则C′B 的长为【 】A ．22-B ．32C ．31-D ．1 【答案】C ．如答图，连接BB′，延长BC′交AB′于D ，∵△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°得到△AB′C′，∴AB=AB′，∠BAB′=60°.∴△ABB′是等边三角形. ∴AB=BB′，在△ABC′和△B′BC′中，∵AB BB 'AC ' B 'C 'BC 'BC '=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABC′≌△B′BC′（SSS ）. ∴∠ABC′=∠B′BC′. ∴BD ⊥AB′.∵∠C=90°，2，∴()()22222+=.∴BD=3232⨯=，C′D=12×2=1. ∴BC′=BD ﹣C′D=31-．故选C ．【考点】1.旋转的性质；2. 等边三角形的判定和性质；3.全等三角形的判定和性质；4.勾股定理．4. （2020年江苏苏州）如图，△AOB 为等腰三角形，顶点A 的坐标为（2，5），底边OB 在x 轴上．将△AOB 绕点B 按顺时针方向旋转一定角度后得△A'O'B ，点A 的对应点A'在x 轴上，则点O'的坐标为【】A ．（203，103） B ．（163，453） C ．（203，453） D ．（163，43）【答案】C.【分析】利用等面积法求O'的纵坐标，再利用勾股定理或三角函数求其横坐标：如答图，过O’作O’F ⊥x 轴于点F ，过A 作AE ⊥x 轴于点E ，∵A 的坐标为（2，5），∴AE=5，OE=2.学科网由等腰三角形底边上的三线合一得OB=2OE=4，在Rt △ABE 中，由勾股定理可求AB=3，则A’B=3，由旋转前后三角形面积相等得OB AE A'B O'F22⋅⋅=，453O'F2⋅⋅=，∴45·在Rt △O’FB 中，由勾股定理可求BF=22458433⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，∴OF=820433+=. ∴O’的坐标为（2045,33）. 故选C.【考点】1.坐标与图形的旋转变化；2.勾股定理；3. 等腰三角形的性质；4.三角形面积公式．5.（2020年贵州黔东南）如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=16，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点C 与点A 重合，则折痕EF 的长为【 】A ．6B ．12C ．25D ．45【答案】D ．【分析】设BE=x ，则CE=BC ﹣BE=16﹣x ，∵沿EF 翻折后点C 与点A 重合，∴AE=CE=16﹣x.在Rt △ABE 中，AB 2+BE 2=AE 2，即82+x 2=（16﹣x ）2，解得x=6.∴AE=16﹣6=10.学科网由翻折的性质得，∠AEF=∠CEF ，∵矩形ABCD 的对边AD ∥BC ，∴∠AFE=∠CEF.∴∠AEF=∠AFE. ∴AE=AF=10.如答图，过点E 作EH ⊥AD 于H ，则四边形ABEH 是矩形，∴EH=AB=8，AH=BE=6.∴FH=AF ﹣AH=10﹣6=4.在Rt △EFH 中，2222EF EH FH 8445=+=+=故选D．【考点】1.翻折变换（折叠问题）；2.翻折对称的性质；3.矩形的判定和性质；4.勾股定理；5.方程思想的应用．6.（2020年湖南邵阳）如图，A点的初始位置位于数轴上的原点，现对A点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，第2次从B点向左移动3个单位长度至C点，第3次从C点向右移动6个单位长度至D点，第4次从D点向左移动9个单位长度至E点，…，依此类推，这样至少移动▲ 次后该点到原点的距离不小于41．【答案】28．【分析】根据数轴上点的坐标变化和平移规律（左减右加），分别求出点所对应的数，进而求出点到原点的距离；然后对奇数项、偶数项分别探究，找出其中的规律（相邻两数都相差3），写出表达式；然后根据点到原点的距离不小于41建立不等式，就可解决问题：由题意可得：移动1次后该点对应的数为0+1=1，到原点的距离为1；移动2次后该点对应的数为1﹣3=﹣2，到原点的距离为2；移动3次后该点对应的数为﹣2+6=4，到原点的距离为4；移动4次后该点对应的数为4﹣9=﹣5，到原点的距离为5；移动5次后该点对应的数为﹣5+12=7，到原点的距离为7；移动6次后该点对应的数为7﹣15=﹣8，到原点的距离为8；…∴移动（2n﹣1）次后该点到原点的距离为3n﹣2；移动2n次后该点到原点的距离为3n﹣1．①当3n﹣2≥41时，学科网解得：n≥433．∵n是正整数，∴n最小值为15，此时移动了29次．②当3n﹣1≥41时，解得：n≥14．∵n是正整数，∴n最小值为14，此时移动了28次．综上所述：至少移动28次后该点到原点的距离不小于41．【考点】1.探索规律题（图形的变化类）；2.数轴；3.不等式的应用；4.分类思想的应用.7.（2020年黑龙江齐齐哈尔、大兴安岭地区、黑河）如图，在在平面直角坐标系xOy中，有一个等腰直角三角形AOB，∠OAB=90°，直角边AO在x轴上，且AO=1．将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O=2AO，再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰三角形A2OB2，且A2O=2A1O…，依此规律，得到等腰直角三角形A2020OB2020，则点A2020的坐标为▲ ．【答案】（﹣22020，0）．【分析】根据题意得出A点坐标变化规律，得出点A2020的坐标位置，进而得出答案：∵将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O=2AO，再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰三角形A2OB2，且A2O=2A1O…，依此规律，∴每4次循环一周，A1（0，﹣2），A2（﹣4，0），A3（0，8），A4（16，0），∵2020÷4=503…2，∴点A2020的坐标与A2所在同一象限．∵﹣4=﹣22，8=23，16=24，∴点A2020（﹣22020，0）．【考点】1.探索规律题（图形的变化类型----循环问题）；2.点的坐标．8.（2020年湖南张家界）如图，AB、CD是⊙O两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于E,CD⊥MN 于点F,P为EF上任意一点,，则PA+PC的最小值为▲ ．【答案】72【分析】由于A、B两点关于MN对称，因而PA+PC=PB+PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA+PC的最小，即BC的值就是PA+PC的最小值．学科网因此，如答图，连接BC，OB，OC，过点C作CH垂直于AB于H．∵AB=8，CD=6，MN 是直径，AB ⊥MN 于点E ，CD ⊥MN 于点F ，∴BE=12AB=4，CF=12CD=3. ∴22222222OE OB BE 543OF OC CF 534=-=-==-=-=，.∴CH=OE+OF=3+4=7，BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7.在Rt △BCH 中根据勾股定理得到2222BC BH CH 7772=+=+=，即PA+PC 的最小值为72．【考点】1.轴对称的应用（最短路线问题）；2.勾股定理；3.垂径定理．9. （2020年江苏连云港）如图1，将正方形纸片ABCD 对折，使AB 与CD 重合，折痕为EF ，如图2，展开再折叠一次，使点C 与点E 重合，折痕为GH ，点B 的对应点为M ，EM 交AB 于N ，则tan ∠ANE= ▲ .【答案】34. 【分析】设正方形的边长为2，DH=x ，则CH=2x -，由翻折的性质，11DE AD 2122==⨯=，EH CH 2x ==-， 学科网在Rt △DEH 中，DE 2+DH 2=EH 2，即()2221x 2x +=-，解得x=34. ∵∠MEH=∠C=90°，∴∠AEN+∠DEH=90°.∵∠ANE+∠AEN=90°，∴∠ANE=∠DEH.∴tan∠ANE=tan∠DEH=3DH 34DE14==．【考点】1. 翻折变换（折叠问题）；2.正方形的性质；3.勾股定理；4.锐角三角函数定义；5.方程思想、转换思想和特殊元素法的应用．10.（2020年辽宁本溪）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC+∠EAD=180°，△ABC 不动，△ADE绕点A旋转，连接BE、CD，F为BE的中点，连接AF．（1）如图①，当∠BAE=90°时，求证：CD=2AF；（2）当∠BAE≠90°时，（1）的结论是否成立？请结合图②说明理由．【答案】解：（1）证明：如图①，∵∠BAC+∠EAD=180°，∠BAE=90°，∴∠DAC=90°．在△ABE与△ACD中，∵AE=AD，∠BAE=∠CAD=90°，AB=AC，∴△ABE≌△ACD（SAS）．∴CD=BE．∵在Rt△ABE中，F为BE的中点，∴BE=2AF．∴CD=2AF．（2）成立，证明如下：如答图，延长EA交BC于G，在AG上截取AH=AD，∵∠BAC+∠EAD=180°，∴∠EAB+∠DAC=180°．∵∠EAB+∠BAH=180°，在△ABH与△ACD中，∵AH=AD，∠BAH=∠CAD，AB=AC，∴△ABH≌△ACD（SAS）．∴BH=DC．∵AD=AE，AH=AD，∴AE=AH．∵EF=FB，∴BH=2AF．∴CD=2AF．【分析】（1）因为AF是直角三角形ABE的中线，所以BE=2AF，学科网然后通过△ABE≌△ACD即可求得．（2）延长EA交BC于G，在AG上截取AH=AD，证出△ABH≌△ACD从而证得BH=CD，然后根据三角形的中位线等于底边的一半，求得BH=2AF，即可求得．【考点】1.面动旋转问题；2.全等三角形的判定和性质；3.等腰三角形的性质；4.三角形中位线定理；5.旋转的性质．[2020年题组]1. （2020年湖北荆门）如下图所示，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC，若动直线l垂直于BC，且向右平移，设扫过的阴影部分的面积为S，BP为x，则S关于x的函数图象大致是【】A．B．C．D．【答案】A。
中考压轴题之平移专题的复习
F3、（2009年日照）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD 是矩形，其中AB =2米，BC =1米；上部CDG 是等边三角形，固定点E 为AB 的中点．△EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB 平行的伸缩横杆．（1）当MN 和AB 之间的距离为0.5米时，求此时△EMN 的面积；（2）设MN 与AB 之间的距离为x 米，试将△EMN 的面积S （平方米）表示成关于x 的函数；（3）请你探究△EMN 的面积S （平方米）有无最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由．4、（2009年山东青岛市）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，6cm AD =，4cm CD =，10cm BC BD ==，点P 由B 出发沿BD 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，线段EF 由DC 出发沿DA 方向匀速运动，速度为1cm/s ，交BD 于Q ，连接PE ．若设运动时间为t （s ）（05t <<）．解答下列问题：（1）当t 为何值时，PE AB ∥？（2）设PEQ △的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t ，使225PEQ BCD S S =△△？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由．（4）连接PF ，在上述运动过程中，五边形PFCDE 的面积是否发生变化？说明理由．C（第3题图）A D E BF C图4（备）A D E BF C图5（备）A D EB FC 图1 图2 ADE BF C P N M图3 A DE BF C P NM （第25题） 5、（2009江西）如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠. （1）求点E 到BC 的距离；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.①当点N 在线段AD 上时（如图2），P M N △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使P M N △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.6、（2009年长春）如图，直线364y x =-+分别与x 轴、y 轴交于A B 、两点，直线54y x =与AB 交于点C ，与过点A 且平行于y 轴的直线交于点D ．点E 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿x 轴向左运动．过点E 作x 轴的垂线，分别交直线AB OD 、于P Q 、两点，以PQ 为边向右作正方形PQMN ，设正方形PQMN 与ACD △重叠部分（阴影部分）的面积为S （平方单位）．点E 的运动时间为t （秒）． （1）求点C 的坐标．（2）当05t <<时，求S 与t 之间的函数关系式．（4分） （3）求（2）中S 的最大值。
中考数学备考专题复习 图形的平移(含解析)(2021学年)
2017年中考数学备考专题复习图形的平移（含解析）201７年中考数学备考专题复习图形的平移（含解析)编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(2017年中考数学备考专题复习图形的平移(含解析）)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1图形的平移一、单选题（共1２题；共24分）１、下列标志中，可以看作是中心对称图形的是( )A 、ﻫB 、Ｃ、ﻫD 、２、下列这些复杂的图案都是在一个图案的基础上,在“几何画板”软件中拖动一点后形成的,它们中每一个图案都可以由一个“基本图案"通过连续旋转得来,旋转的角度是( ）A 、Ｂ、C 、ﻫD 、3、将△ＡＢC的三个点坐标的横坐标乘以—１,纵坐标不变,则所得图形与原图的关系是( ）ﻫA、关于x轴对称Ｂ、关于ｙ轴对称ﻫＣ、关于原点对称Ｄ、将原图的x轴的负方向平移了了1个单位4、由图中三角形仅经过一次平移、旋转或轴对称变换，不能得到的图形是（)ﻫA 、ﻫB 、C 、ﻫD 、５、如图所示,下图可以看作是一个菱形通过几次旋转得到的,每次可能旋转( ）。
ﻫ2A、30°ﻫB、60°C、90°D、15０°６、下列命题的逆命题为真命题的是（ )Ａ、如果a=ｂ,那么ﻫB、平行四边形是中心对称图形ﻫＣ、两组对角分别相等的四边形是平行四边形ﻫD、内错角相等7、下列数字中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（)个A、1个ﻫB、2个C、3个ﻫD、４个8、下列运动形式属于旋转的是（）A、钟表上钟摆的摆动ﻫＢ、投篮过程中球的运动C、“神十＂火箭升空的运动ﻫD、传动带上物体位置的变化９、如图,该图形绕点O按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是( ）Ａ、72°ﻫB、108°Ｃ、１４4°ﻫD、２1６°10、在平面上一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合,那么旋转的角度至少是（)A、180°B、90°C、27０°D、36０°１1、边长为４cm的正方形AＢＣD绕它的顶点A旋转180°,顶点B 所经过的路线长为（)A 、ｃm ﻫB 、cｍC、8cmﻫD、4ｃm3１2、如图所示的图案分别是大众、奥迪、奔驰、三菱汽车的车标,其中,可以看作由“基本图案"经过平移得到的是（）A 、ﻫB 、ﻫＣ、D 、二、填空题（共5题;共5分)１３、边长为4cm的正方形AＢＣＤ绕它的顶点Ａ旋转１80°,顶点Ｂ所经过的路线长为 __＿_____cｍ．14、如图，平行四边形ＡBCD绕点A逆时针旋转30°,得到平行四边形AＢ′C′Ｄ′（点Ｂ′与点B是对应点，点C′与点C是对应点,点Ｄ′与点D是对应点）,点B′恰好落在BC边上，则∠C=_＿_＿_＿＿＿ﻫ15、如图，是一块从一个边长为2０cm的正方形BCDM材料中剪出的垫片,经测得FG＝９ｃm，则这个剪出的图形的周长是＿_＿_____ｃm．１６、如图所示，一座楼房的楼梯,高１米,水平距离是2。
专题21 几何三大变换问题之平移问题(压轴题)-决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品(解析版)
一、选择题1．（2016四川省雅安市）已知△ABC 顶点坐标分别是A （0，6），B （﹣3，﹣3），C （1，0），将△ABC 平移后顶点A 的对应点A 1的坐标是（4，10），则点B 的对应点B 1的坐标为（ ）A ．（7，1）B ．B （1，7）C ．（1，1）D ．（2，1）【答案】C ．【分析】根据点A 的坐标以及平移后点A 的对应点A 1的坐标可以找出三角形平移的方向与距离，再结合点B 的坐标即可得出结论．【解析】∵点A （0，6）平移后的对应点A 1为（4，10），4﹣0=4，10﹣6=4，∴△ABC 向右平移了4个单位长度，向上平移了4个单位长度，∴点B 的对应点B 1的坐标为（﹣3+4，﹣3+4），即（1，1）．故选C ． 考点：坐标与图形变化-平移．2．（2016黑龙江省牡丹江市）如图，在平面直角坐标系中，A （﹣8，﹣1），B （﹣6，﹣9），C （﹣2．﹣9），D （﹣4，﹣1）．先将四边形ABCD 沿x 轴翻折，再向右平移8个单位长度，向下平移1个单位长度后，得到四边形A 1B 1C 1D 1，最后将四边形A 1B 1C 1D 1，绕着点A 1旋转，使旋转后的四边形对角线的交点落在x 轴上，则旋转后的四边形对角线的交点坐标为（ ）A ．（4，0）B ．（5，0）C ．（4，0）或（﹣4，0）D ．（5，0）或（﹣5，0）【答案】D ．【分析】根据题意画出图形，发现有两种情况：①对角线交点落在x 轴正半轴上，②对角线交点落在x 轴负半轴上；先求平移后的四边形A 1B 1C 1D 1对角线交点E 1的坐标，求OE 1的长，从而求出结论．【解析】由题意得：A 1（0，0），C 1（6，8），根据四个点的坐标可知：四边形ABCD 是平行四边形，∴对角线交点E 1是A 1C 1的中点，∴E 1（3，4），由勾股定理得：A 1E 12234 ，当对角线交点落在x 轴正半轴上时，对角线的交点坐标为（5，0），当对角线交点落在x轴负半轴上时，对角线的交点坐标为（﹣5，0），故选D．3．（2015来宾）如图，在平面直角坐标系中，将点M（2，1）向下平移2个单位长度得到点N，则点N的坐标为（）A．（2，﹣1） B．（2，3） C．（0，1） D．（4，1）【答案】A．【解析】试题分析：将点M（2，1）向下平移2个单位长度得到点N，则点N的坐标为（2，1﹣2），即（2，﹣1）．故选A．考点：坐标与图形变化-平移．4．（2015钦州）在平面直角坐标系中，将点A（x，y）向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后与点B（﹣3，2）重合，则点A的坐标是（）A．（2，5） B．（﹣8，5） C．（﹣8，﹣1） D．（2，﹣1）【答案】D．考点：坐标与图形变化-平移．5．（2015扬州）如图，在平面直角坐标系中，点B 、C 、E 、在y 轴上，Rt△ABC 经过变换得到Rt△ODE ．若点C 的坐标为（0，1），AC =2，则这种变换可以是（ ）A ．△ABC 绕点C 顺时针旋转90°，再向下平移3B ．△ABC 绕点C 顺时针旋转90°，再向下平移1C ．△ABC 绕点C 逆时针旋转90°，再向下平移1D ．△ABC 绕点C 逆时针旋转90°，再向下平移3【答案】A ．考点：1．坐标与图形变化-旋转；2．坐标与图形变化-平移．6．（2015广元）如图，把RI △ABC 放在直角坐标系内，其中∠CAB =90°， B C =5．点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0）．将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线26y x =-上时，线段BC 扫过的面积为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．82【答案】C ．【解析】试题分析：∵点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0），∴AB =3，BC =5，∵∠CAB =90°，∴AC =4，∴点C 的坐标为（1，4），当点C 落在直线y =2x ﹣6上时，∴令y =4，得到4=2x ﹣6，解得x =5，∴平移的距离为5﹣1=4，∴线段BC 扫过的面积为4×4=16，故选C ．考点：1．一次函数综合题；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．平行四边形的性质；4．平移的性质．7．（2015黔西南州）在数轴上截取从0到3的对应线段AB ，实数m 对应AB 上的点M ，如图1；将AB 折成正三角形，使点A 、B 重合于点P ，如图2；建立平面直角坐标系，平移此三角形，使它关于y 轴对称，且点P 的坐标为（0，2），P M 的延长线与x 轴交于点N （n ，0），如图3，当m=3时，n 的值为（ ）A ．423-B ．432-C ．332-D ．332【答案】A ．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．实数与数轴；3．等边三角形的性质；4．平移的性质；5．综合题．8．（2014年广西来宾3分）将点P （﹣2，3）向右平移3个单位得到点P 1，点P 2与点P 1关于原点对称，则P 2的坐标是（ ）A ．（﹣5，﹣3）B ．（1，﹣3）C ．（﹣1，﹣3）D ．（5，﹣3）【答案】C ．【考点】1．坐标与图形的平移变化；2． 关于原点对称的点的坐标特征．【分析】∵点P（﹣2，3）向右平移3个单位得到点P1，∴根据坐标的平移变化的规律，左右平移只改变点的横坐标，左减右加．上下平移只改变点的纵坐标，下减上加，得P1（1，3），∵点P2与点P1关于原点对称，∴根据关于原点对称的点的坐标是横、纵坐标都互为相反数的性质，得P2的坐标是：（﹣1，﹣3）．故选C．9．（2014年广西玉林、防城港3分）如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（）A． B． C． D．【答案】B．【考点】1．面动平移问题的函数图象问题；2．由实际问题列函数关系式；3．二次函数的性质和图象；4．分类思想和排它法的应用．故选B．10．（2014年湖南益阳4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（）A． 1 B． 1或5 C． 3 D． 5【答案】B．【考点】1．面动平移问题；2．直线与圆的位置关系；3．坐标与图形性质．【分析】平移分⊙P在y轴的左侧和y轴的右侧与y轴相切两种情况写出答案：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．故选B．11．（2014年浙江台州4分）如图，菱形ABCD的对角线AC＝4cm，把它沿着对角线AC方向平移1cm，得到菱形EFGH，则图中阴影部分图形的面积与四边形E M CN的面积之比为（）A．4∶3 B．3∶2 C．14∶9 D．17∶9【答案】C．【考点】1．面动平移问题；2．菱形的性质；3．平移的性质；4．相似三角形的判定和性质；5．转换思想的应用．【分析】∵M E∥AD，∴△M EC∽△DAC．∴EC ME AC AD=.∵菱形ABCD的对角线AC=4cm，把它沿着对角线AC方向平移1cm得到菱形EFGH，∴AE=1cm，EC=3cm．∴EC3AC4=. ∴CMEDACS9S16∆∆=.∴图中阴影部分图形的面积与四边形E M CN的面积之比为：() 216916914999⨯-+-=+.故选C．二、填空题12．（2016四川省成都市）如图，面积为6的平行四边形纸片ABCD 中，AB =3，∠BAD =45°，按下列步骤进行裁剪和拼图．第一步：如图①，将平行四边形纸片沿对角线BD 剪开，得到△ABD 和△BCD 纸片，再将△ABD 纸片沿AE 剪开（E 为BD 上任意一点），得到△ABE 和△ADE 纸片；第二步：如图②，将△ABE 纸片平移至△DCF 处，将△ADE 纸片平移至△BCG 处；第三步：如图③，将△DCF 纸片翻转过来使其背面朝上置于△PQ M 处（边PQ 与DC 重合，△PQ M 和△DCF 在DC 同侧），将△BCG 纸片翻转过来使其背面朝上置于△PRN 处，（边PR 与BC 重合，△PRN 和△BCG 在BC 同侧）． 则由纸片拼成的五边形P M QRN 中，对角线M N 长度的最小值为 ．【答案】610． 【分析】根据平移和翻折的性质得到△M PN 是等腰直角三角形，于是得到当P M 最小时，对角线M N 最小，即AE 取最小值，当AE ⊥BD 时，AE 取最小值，过D 作DF ⊥AB 于F ，根据平行四边形的面积得到DF =2，根据等腰直角三角形的性质得到AF =DF =2，由勾股定理得到BD =5，根据三角形的面积得到AE =65，即可得到结论．【解析】∵△ABE ≌△CDF ≌△P M Q ，∴AE =DF =P M ，∠EAB =∠FDC =∠M PQ ，∵△ADE ≌△BCG ≌△PNR ，∴AE =BG =PN ，∠DAE =∠CBG =∠RPN ，∴P M=PN ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠DAB =∠DCB =45°，∴∠M PN =90°，∴△M PN 是等腰直角三角形，当P M 最小时，对角线M N 最小，即AE 取最小值，∴当AE ⊥BD 时，AE 取最小值，过D 作DF ⊥AB 于F ，∵平行四边形ABCD 的面积为6，AB =3，∴DF =2，∵∠DAB =45°，∴AF =DF =2，∴BF =1，∴BD 22DF BF +5AE =DF AB BD ⋅565N 2610610．考点：平移的性质．13．（2016广东省广州市）如图，△ABC中，AB=AC，BC=12cm，点D在AC上，DC=4cm．将线段DC沿着CB 的方向平移7cm得到线段EF，点E，F分别落在边AB，BC上，则△EBF的周长为 cm．【答案】13．【分析】直接利用平移的性质得出EF=DC=4cm，进而得出BE=EF=4cm，进而求出答案．【解析】∵将线段DC沿着CB的方向平移7cm得到线段EF，∴EF=DC=4cm，FC=7cm，∵AB=AC，BC=12cm，∴∠B=∠C，BF=5cm，∴∠B=∠BFE，∴BE=EF=4cm，∴△EBF的周长为：4+4+5=13（cm）．故答案为：13．考点：平移的性质．14．（2016黑龙江省龙东地区）如图，等边三角形的顶点A（1，1）、B（3，1），规定把等边△ABC“先沿x 轴翻折，再向左平移1个单位”为一次変换，如果这样连续经过2016次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为．【答案】（﹣201431）．【分析】据轴对称判断出点A变换后在x轴上方，然后求出点A纵坐标，再根据平移的距离求出点A变换后的横坐标，最后写出即可．【解析】解：∵△ABC是等边三角形AB=3﹣1=2，∴点C到x轴的距离为1+2×3231，横坐标为2，∴A （2，31+），第2016次变换后的三角形在x 轴上方，点A 的纵坐标为31+，横坐标为2﹣2016×1=﹣2014，所以，点A 的对应点A ′的坐标是（﹣2014，31+），故答案为：（﹣2014，31+）． 考点：翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质；坐标与图形变化-平移；规律型．15．（2015镇江）如图，△ABC 和△DBC 是两个具有公共边的全等三角形，AB =AC =3cm ．BC =2cm ，将△DBC 沿射线BC 平移一定的距离得到△D 1B 1C 1，连接AC 1，BD 1．如果四边形ABD 1C 1是矩形，那么平移的距离为 cm ．【答案】7．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．等腰三角形的性质；3．矩形的性质；4．平移的性质．16．（2015咸宁）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（0，6），将△OAB 沿x 轴向左平移得到△O ′A ′B ′，点A 的对应点A ′落在直线34y x =-上，则点B 与其对应点B ′间的距离为 ．【答案】8．考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．坐标与图形变化-平移．17．（2014年湖南邵阳3分）如图，A点的初始位置位于数轴上的原点，现对A点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，第2次从B点向左移动3个单位长度至C点，第3次从C点向右移动6个单位长度至D点，第4次从D点向左移动9个单位长度至E点，…，依此类推，这样至少移动▲ 次后该点到原点的距离不小于41．【答案】28．【考点】1．探索规律题（图形的变化类）；2．数轴；3．不等式的应用；4．分类思想的应用．【分析】根据数轴上点的坐标变化和平移规律（左减右加），分别求出点所对应的数，进而求出点到原点的距离；然后对奇数项、偶数项分别探究，找出其中的规律（相邻两数都相差3），写出表达式；然后根据点到原点的距离不小于41建立不等式，就可解决问题：由题意可得：移动1次后该点对应的数为0+1=1，到原点的距离为1；移动2次后该点对应的数为1﹣3=﹣2，到原点的距离为2；移动3次后该点对应的数为﹣2+6=4，到原点的距离为4；移动4次后该点对应的数为4﹣9=﹣5，到原点的距离为5；移动5次后该点对应的数为﹣5+12=7，到原点的距离为7；移动6次后该点对应的数为7﹣15=﹣8，到原点的距离为8；…∴移动（2n﹣1）次后该点到原点的距离为3n﹣2；移动2n次后该点到原点的距离为3n﹣1．①当3n﹣2≥41时，解得：n≥433．∵n是正整数，∴n最小值为15，此时移动了29次．②当3n﹣1≥41时，解得：n≥14．∵n是正整数，∴n最小值为14，此时移动了28次．综上所述：至少移动28次后该点到原点的距离不小于41．18．（2014年山东德州4分）如图，抛物线y=x2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3…A n，…．将抛物线y=x2沿直线L：y=x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点M1，M2，M3，…M n，…都在直线L：y=x上；②抛物线依次经过点A1，A2，A3…A n，…．则顶点M2014的坐标为（▲ ，▲ ）．【答案】4027，4027．【考点】1．探索规律题（图形的变化类）；2．二次函数图象与几何变换．【分析】根据抛物线y=x2与抛物线y n=（x﹣a n）2+a n相交于A n，可发现规律：∵M1（a1，a1）是抛物线y1=（x﹣a1）2+a1的顶点，抛物线y=x2与抛物线y1=（x﹣a1）2+a1相交于A1，∴x2=（x﹣a1）2+a1．∴2a1x=a12+a1，x=12（a1+1）．∵x为整数点，∴a1=1，M1（1，1）．∵M2（a2，a2）是抛物线y2=（x﹣a2）2+a2=x2﹣2a2x+a22+a2顶点，抛物线y=x2与y2相交于A2，∴x2=x2﹣2a2x+a22+a2．∴2a2x=a22+a2，x=12（a2+1）．∵x为整数点，∴a2=3，M2（3，3）．∵M3（a3，a3）是抛物线y2=（x﹣a3）2+a3=x2﹣2a3x+a32+a3顶点，抛物线y=x2与y3相交于A3，∴x2=x2﹣2a3x+a32+a3，∴2a3x=a32+a3，x=12（a3+1）．∵x为整数点，∴a3=5，M3（5，5）．…M n（2n1,2n1--）．∴对于M2014有，2014×2﹣1=4027．∴顶点M2014的坐标为（4027，4027）．三、解答题19．（2016山东省聊城市）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0），写出顶点A1，B1的坐标；（2）若△ABC和△A1B2C2关于原点O成中心对称图形，写出△A1B2C2的各顶点的坐标；（3）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B3C3，写出△A2B3C3的各顶点的坐标．【答案】（1）A1（2，2），B1（3，﹣2）；（2）A2（3，﹣5），B2（2，﹣1），C2（1，﹣3）；（3）A3（5，3），B3（1，2），C3（3，1）．【分析】（1）利用点C和点C1的坐标变化得到平移的方向与距离，然后利用此平移规律写出顶点A1，B1的坐标；（2）根据关于原点对称的点的坐标特征求解；（3）利用网格和旋转的性质画出△A2B3C3，然后写出△A2B3C3的各顶点的坐标．【解析】（1）如图，△A1B1C1为所作，因为点C（﹣1，3）平移后的对应点C1的坐标为（4，0），所以△ABC先向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到△A1B1C1，所以点A1的坐标为（2，2），B1点的坐标为（3，﹣2）；（2）因为△ABC和△A1B2C2关于原点O成中心对称图形，所以A2（3，﹣5），B2（2，﹣1），C2（1，﹣3）；（3）如图，△A2B3C3为所作，A3（5，3），B3（1，2），C3（3，1）；考点：坐标与图形变化-旋转；坐标与图形变化-平移；作图题．20．（2016四川省巴中市）如图，方格中，每个小正方形的边长都是单位1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图．（1）画出将△ABC向右平移2个单位得到△A1B1C1；（2）画出将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；（3）求△A1B1C1与△A2B2C2重合部分的面积．【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）1509 676．【分析】（1）将△ABC向右平移2个单位即可得到△A1B1C1．（2）将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°即可得到的△A2B2C2．（3）B2C2与A1B1相交于点E，B2A2与A1B1相交于点F，如图，求出直线A1B1，B2C2，A2B2，列出方程组求出点E、F坐标即可解决问题．【解析】（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）如图，△A2B2C2为所作；（3）B2C2与A1B1相交于点E，B2A2与A1B1相交于点F，如图，∵B2（0，1），C2（2，3），B1（1，0），A1（2，5），A2（5，0），∴直线A1B1为y=5x﹣5，直线B2C2为y=x+1，直线A2B2为115y x=-+，由551y xy x=-⎧⎨=+⎩解得：3252xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴点E（32，52），由55115y xy x=-⎧⎪⎨=-+⎪⎩解得：15131013xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴点F（1513，1013），∴S△BEF=35133139115322222222621313⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=1509676，∴△A1B1C1与△A2B2C2重合部分的面积为1509676．考点：作图-旋转变换；作图-平移变换；作图题．21．（2016四川省资阳市）已知抛物线与x轴交于A（6，0）、B（54-，0）两点，与y轴交于点C，过抛物线上点M（1，3）作M N⊥x轴于点N，连接O M．（1）求此抛物线的解析式；（2）如图1，将△O M N沿x轴向右平移t个单位（0≤t≤5）到△O′M′N′的位置，M N′、M′O′与直线AC分别交于点E、F．①当点F 为M′O ′的中点时，求t 的值；②如图2，若直线M′N ′与抛物线相交于点G ，过点G 作GH ∥M′O ′交AC 于点H ，试确定线段EH 是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）241921515y x x =-++；（2）①1；②t =2时，EH 【分析】（1）设抛物线解析式为5(6)()4y a x x =-+，把点M （1，3）代入即可求出a ，进而解决问题． （2））①如图1中，AC 与O M 交于点G ．连接EO ′，首先证明△AOC ∽△M NO ，推出O M⊥AC ，在RT△EO ′M′中，利用勾股定理列出方程即可解决问题．②由△GHE ∽△AOC 得EG ACHE CO==EG 最大时，EH 最大，构建二次函数求出EG 的最大值即可解决问题．【解析】（1）设抛物线解析式为5(6)()4y a x x =-+，把点M （1，3）代入得a =415-，∴抛物线解析式为45(6)()154y x x =--+，∴241921515y x x =-++． （2）①如图1中，AC 与O M 交于点G ．连接EO ′．∵AO =6，OC =2，M N =3，ON =1，∴AO MN OC ON ==3，∴AO OCMN ON=，∵∠AOC =∠M ON =90°，∴△AOC ∽△M NO ，∴∠OAC =∠NM O ，∵∠NM O +∠M ON =90°，∴∠M ON +∠OAC =90°，∴∠AGO =90°，∴O M⊥AC ，∵△M′N ′O ′是由△M NO 平移所得，∴O ′M′∥O M ，∴O ′M′⊥AC ，∵M′F =FO ′，∴E M′=EO ′，∵EN ′∥CO ，∴''EN AN CO AO =，∴'526EN t -=，∴EN ′=13（5﹣t ），在RT△EO ′M′中，∵O ′N ′=1，EN ′=13（5﹣t ），EO ′=E M′=4133t +，∴224151()1()3333t t +=+-，∴t =1．②如图2中，∵GH ∥O ′M′，O ′M′⊥AC ，∴GH ⊥AC ，∴∠GHE =90°，∵∠EGH +∠HEG =90°，∠AEN ′+∠OAC =90°，∠HEG =∠AEN ′，∴∠OAC =∠HGE ，∵∠GHE =∠AOC =90°，∴△GHE ∽△AOC ，∴EG ACHE CO==EG 最大时，EH 最大，∵EG =GN ′﹣EN ′=24191(1)(1)2(5)15153t t t -++++--=2416415153t t -++=2412(2)155t --+，∴t =2时，EG 最大值=125，∴EH 最大值t =2时，EH考点：二次函数综合题；最值问题；二次函数的最值；存在型；平移的性质；压轴题．22．（2016四川省达州市）如图，已知抛物线226y ax x =++（a ≠0）交x 轴与A ，B 两点（点A 在点B 左侧），将直尺WXYZ 与x 轴负方向成45°放置，边WZ 经过抛物线上的点C （4，m ），与抛物线的另一交点为点D ，直尺被x 轴截得的线段EF =2，且△CEF 的面积为6． （1）求该抛物线的解析式；（2）探究：在直线AC 上方的抛物线上是否存在一点P ，使得△ACP 的面积最大？若存在，请求出面积的最大值及此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）将直尺以每秒2个单位的速度沿x 轴向左平移，设平移的时间为t 秒，平移后的直尺为W ′X ′Y ′Z ′，其中边X ′Y ′所在的直线与x 轴交于点M ，与抛物线的其中一个交点为点N ，请直接写出当t 为何值时，可使得以C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形．【答案】（1）21262y x x =-++；（2）存在一点P （1，152），使得△ACP 的面积最大，面积的最大值为272；（3）4343【分析】（1）根据三角形的面积公式求出m 的值，结合点C 的坐标利用待定系数法即可求出a 值，从而得出结论；（2）假设存在．过点P 作y 轴的平行线，交x 轴与点M ，交直线AC 于点N ．根据抛物线的解析式找出点A的坐标．设直线AC 的解析式为y =kx +b ，点P 的坐标为（n ，21262n n -++）（﹣2＜n ＜4），由点A 、C 的坐标利用待定系数法即可求出直线AC 的解析式，代入x =n ，即可得出点N 的坐标，利用三角形的面积公式即可得出S △ACP 关于n 的一元二次函数，根据二次函数的性质即可解决最值问题；（3）根据直尺的摆放方式可设出直线CD 的解析式为y =﹣x +c ，由点C 的坐标利用待定系数法即可得出直线CD 的解析式，联立直线CD 的解析式与抛物线的解析式成方程组，解方程组即可求出点D 的坐标，令直线CD 的解析式中y =0，求出x 值即可得出点E 的坐标，结合线段EF 的长度即可找出点F 的坐标，设出点M 的坐标，结合平行四边形的性质以及C 、D 点坐标的坐标即可找出点N 的坐标，再由点N 在抛物线图象上，将其代入抛物线解析式即可得出关于时间t 的一元二次方程，解方程即可得出结论． 【解析】（1）∵S △CEF =12EF •y C =12×2m=6，∴m=6，即点C 的坐标为（4，6），将点C （4，6）代入抛物线226y ax x =++（a ≠0）中，得：6=16a +8+6，解得：a =12-，∴该抛物线的解析式为21262y x x =-++；（2）假设存在．过点P 作y 轴的平行线，交x 轴与点M ，交直线AC 于点N ，如图1所示．令抛物线21262y x x =-++中y =0，则有212602x x -++=，解得：12x =-，26x =，∴点A 的坐标为（﹣2，0），点B 的坐标为（6，0）．设直线AC 的解析式为y =kx +b ，点P 的坐标为（n ，21262n n -++）（﹣2＜n ＜4），∵直线AC 过点A （﹣2，0）、C （4，6），∴0264k b k b =-+⎧⎨=+⎩，解得：12k b =⎧⎨=⎩，∴直线AC 的解析式为y =x +2．∵点P 的坐标为（n ，21262n n -++），∴点N 的坐标为（n ，n +2）． ∵S △ACP =12PN •（x C ﹣x A ）=211(262)[4(2)]22n n n ⨯-++--⨯--=2327(1)22n --+，∴当n =1时，S △ACP 取最大值，最大值为272，此时点P 的坐标为（1，152），∴在直线AC 上方的抛物线上存在一点P ，使得△ACP的面积最大，面积的最大值为272，此时点P 的坐标为（1，152）．令直线CD 的解析式y =﹣x +10中y =0，则0=﹣x +10，解得：x =10，即点E 的坐标为（10，0），∵EF =2，且点E 在点F 的左边，∴点F 的坐标为（12，0）．设点M 的坐标为（12﹣2t ，0），则点N 的坐标为（12﹣2t ﹣2，0+2），即N （10﹣2t ，2）．∵点N （10﹣2t ，2）在抛物线21262y x x =-++的图象上，∴21(102)2(102)622t t --+-+=，整理得：28130t t -+=，解得：143t =243t =，∴当t 为4343C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形．考点：二次函数综合题；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的性质；最值问题；二次函数的最值；平移的性质；压轴题．23．（2016山东省聊城市）如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过点A （﹣3，0），B （9，0）和C （0，4）．CD 垂直于y 轴，交抛物线于点D ，DE 垂直与x 轴，垂足为E ，l 是抛物线的对称轴，点F 是抛物线的顶点． （1）求出二次函数的表达式以及点D 的坐标；（2）若Rt△AOC 沿x 轴向右平移到其直角边OC 与对称轴l 重合，再沿对称轴l 向上平移到点C 与点F 重合，得到Rt△A 1O 1F ，求此时Rt△A 1O 1F 与矩形OCDE 重叠部分的图形的面积；（3）若Rt△AOC 沿x 轴向右平移t 个单位长度（0＜t ≤6）得到Rt△A 2O 2C 2，Rt△A 2O 2C 2与Rt△OED 重叠部分的图形面积记为S ，求S 与t 之间的函数表达式，并写出自变量t 的取值范围．【答案】（1）2484279y x x =-++，D （6，4）；（2）163；（3）221 (03)31312(36)3t t S t t t ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩．【分析】（1）用待定系数法求抛物线解析式；（2）由GH ∥A 1O 1，求出GH =1，再求出FH ，S 重叠部分=S △A 1O 1F ﹣S △FGH 计算即可； （3）分两种情况①直接用面积公式计算，②用面积差求出即可．【解析】（1）∵抛物线2y ax bx c =++经过点A （﹣3，0），B （9，0）和C （0，4），∴设抛物线的解析式为y =a （x +3）（x ﹣9），∵C （0，4）在抛物线上，∴4=﹣27a ，∴a =427-，∴设抛物线的解析式为y =427-（x +3）（x ﹣9），即2484279y x x =-++，∵CD 垂直于y 轴，C （0，4），∴24844279x x -++=，∴x =6，∴D （6，4）；（2）如图1，∵点F 是抛物线2484279y x x =-++的顶点，∴F （3，163），∴FH =43，∵GH ∥A 1O 1，∴11GH FH AO FG =，∴4334GH =，∴GH =1，∵Rt△A 1O 1F 与矩形OCDE 重叠部分是梯形A 1O 1HG ，∴S 重叠部分=S △A 1O 1F﹣S △FGH =12A 1O 1×O 1F ﹣12GH ×FH =12×3×4﹣12×1×43=163； （3）①当0＜t ≤3时，如图2， ∵C 2O 2∥DE ，∴22O G OO DE OE =，∴246O G t =，∴O 2G =23t ，∴S =S △OO 2G =12OO 2×O 2G =1223t t ⨯ =213t ；②当3＜t ≤6时，如图3，∵C 2H ∥OC ，∴22DC C H CD OC =，∴2664C H t -=，∴C 2H =2(6)3t -，∴S =S 四边形A 2O 2HG =S △A 2O 2C 2﹣S △C 2GH =12OA ×OC ﹣12C 2H ×（t ﹣3）=12×3×4﹣12×23（6﹣t ）（t ﹣3）=213123t t -+，∴221 (03)31312(36)3t t S t t t ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩．考点：二次函数综合题；分类讨论；分段函数；平移的性质；压轴题．24．（2016山东省菏泽市）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax bx =++过B （﹣2，6），C （2，2）两点．（1）试求抛物线的解析式；（2）记抛物线顶点为D ，求△BCD 的面积； （3）若直线12y x =-向上平移b 个单位所得的直线与抛物线段BDC （包括端点B 、C ）部分有两个交点，求b 的取值范围．【答案】（1）2122y x x =-+；（2）3；（3）158＜b ≤3． 【分析】（1）根据待定系数法即可解决问题．（2）求出直线BC 与对称轴的交点H ，根据S △BDC =S △BDH +S △DHC 即可解决问题．（3）由212122y x b y xx ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，当方程组只有一组解时求出b 的值，当直线12y x b =-+经过点C 时，求出b 的值，当直线12y x b =-+经过点B 时，求出b 的值，由此即可解决问题． （3）由212122y x b y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y 得到x 2﹣x +4﹣2b =0，当△=0时，直线与抛物线相切，1﹣4（4﹣2b ）=0，∴b =158，当直线12y x b =-+经过点C 时，b =3，当直线12y x b =-+经过点B 时，b =5，∵直线12y x =-向上平移b 个单位所得的直线与抛物线段BDC （包括端点B 、C ）部分有两个交点，∴158＜b ≤3．考点：待定系数法求二次函数解析式；平移的性质；二次函数的性质．25．（2016广东省）如图，BD 是正方形ABCD 的对角线，BC =2，边BC 在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ ，连接PA 、QD ，并过点Q 作QO ⊥BD ，垂足为O ，连接OA 、OP ．（1）请直接写出线段BC 在平移过程中，四边形APQD 是什么四边形？（2）请判断OA 、OP 之间的数量关系和位置关系，并加以证明；（3）在平移变换过程中，设y =S △OPB ，BP =x （0≤x ≤2），求y 与x 之间的函数关系式，并求出y 的最大值．【答案】（1）四边形APQD 为平行四边形；（2）OA =OP ，OA ⊥OP ；（3）当P 点在B 点右侧时， y =21142x x +；当P 点在B 点左侧时， y =21142x x -+；当x =2时，y 有最大值为2． 【分析】（1）根据平移的性质，可得PQ ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得答案；（2）根据正方形的性质，平移的性质，可得PQ 与AB 的关系，根据等腰直角三角形的判定与性质，可得∠PQOPQO ，根据全等三角形的判定与性质，可得AO 与OP 的数量关系，根据余角的性质，可得AO 与OP 的位置关系；（3）根据等腰直角三角形的性质，可得OE 的长，根据三角形的面积公式，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得到答案．【解析】（1）四边形APQD 为平行四边形；（2）OA =OP ，OA ⊥OP ，理由如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =BC =PQ ，∠ABO =∠OBQ =45°，∵OQ ⊥BD ，∴∠PQO =45°，∴∠ABO =∠OBQ =∠PQO =45°，∴OB =OQ ，在△AOB 和△OPQ 中，∵AB =PQ ，∠ABO =∠PQO ，BO =QO ，∴△AOB ≌△OPQ （SAS ），∴OA =OP ，∠AOB =∠PQO ，∴∠AOP =∠BOQ =90°，∴OA ⊥OP ；（3）如图，过O 作OE ⊥BC 于E ．①如图1，当P 点在B 点右侧时，则BQ =x +2，OE =22x +，∴y =12×22x +•x =21142x x +，即211(1)44y x =+-，又∵0≤x ≤2，∴当x =2时，y 有最大值为2；②如图2，当P 点在B 点左侧时，则BQ =2﹣x ，OE =22x -，∴y =12×22x -•x =21142x x -+，即211(1)44y x =--+，又∵0≤x ≤2，∴当x =1时，y 有最大值为14； 综上所述，当P 点在B 点右侧时， y =21142x x +；当P 点在B 点左侧时， y =21142x x -+； ∴当x =2时，y 有最大值为2；考点：四边形综合题；分类讨论；平移的性质；最值问题；二次函数的最值；探究型；压轴题．26．（2016四川省南充市）如图，抛物线与x 轴交于点A （﹣5，0）和点B （3，0）．与y 轴交于点C （0，5）．有一宽度为1，长度足够的矩形（阴影部分）沿x 轴方向平移，与y 轴平行的一组对边交抛物线于点P 和Q ，交直线AC 于点M 和N ．交x 轴于点E 和F ．（1）求抛物线的解析式；（2）当点M 和N 都在线段AC 上时，连接M F ，如果sin∠A M F =1010，求点Q 的坐标； （3）在矩形的平移过程中，当以点P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形时，求点M 的坐标．【答案】（1）212533y x x =--+；（2）Q （﹣4，73）；（3）M 为（﹣2，3）或（26-36）或（26-36． 【分析】（1）设抛物线为y =a （x +5）（x ﹣3），把点（0，5）代入即可解决问题．（2）作FG ⊥AC 于G ，设点F 坐标（m ，0），根据sin∠A M F =FG FM 10 （3））①当M N 是对角线时，设点F （m ，0），由QN =P M ，列出方程即可解决问题．②当M N 为边时，M N =PQ 2设点Q （m ，212533m m --+）则点P （m+1，212633m m --+），代入抛物线解析式，解方程即可．（3）①当M N 是对角线时，设点F （m ，0）．∵直线AC 解析式为y =x +5，∴点N （m ，m+5），点M （m+1，m+6），∵QN =P M ，∴2125533m m m --+--=2126[(1)(1)5]33m m m +--+-++，解得m=36-±，∴点M 坐标（26-+，36+）或（26--，36-）． ②当M N 为边时，M N =PQ =2，设点Q （m ，212533m m --+）则点P （m+1，212633m m --+），∴2212126(1)(1)53333m m m m --+=-+-++，解得m=﹣3，∴点M 坐标（﹣2，3），综上所述以点P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形时，点M 的坐标为（﹣2，3）或（26-+，36+）或（26--，36-）．考点：二次函数综合题；平移的性质；分类讨论；压轴题．27．（2016浙江省湖州市）如图，已知二次函数2y x bx c =-++（b ，c 为常数）的图象经过点A （3，1），点C （0，4），顶点为点M ，过点A 作AB ∥x 轴，交y 轴于点D ，交该二次函数图象于点B ，连结BC ．（1）求该二次函数的解析式及点M 的坐标；（2）若将该二次函数图象向下平移m （m ＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC 的内部（不包括△ABC 的边界），求m 的取值范围；（3）点P 是直线AC 上的动点，若点P ，点C ，点M 所构成的三角形与△BCD 相似，请直接写出所有点P 的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．【答案】（1）224y x x =-++，M （1，5）；（2）2＜m ＜4；（3）P 1（13，113），P 2（13-，133），P 3（3，1），P 4（﹣3，7）．【分析】（1）将点A 、点C 的坐标代入函数解析式，即可求出b 、c 的值，通过配方法得到点M 的坐标；（2）点M 是沿着对称轴直线x =1向下平移的，可先求出直线AC 的解析式，将x =1代入求出点M 在向下平移时与AC 、AB 相交时y 的值，即可得到m 的取值范围；（3）由题意分析可得∠M CP =90°，则若△P CM 与△BCD 相似，则要进行分类讨论，分成△P CM∽△BDC 或△P CM∽△CDB 两种，然后利用边的对应比值求出点坐标．【解析】（1）把点A （3，1），点C （0，4）代入二次函数2y x bx c =-++，得：23314b c c ⎧-++=⎨=⎩ 解得：24b c =⎧⎨=⎩，∴二次函数解析式为224y x x =-++，配方得2(1)5y x =--+，∴点M 的坐标为（1，5）； （2）设直线AC 解析式为y =kx +b ，把点A （3，1），C （0，4）代入得：314k b b +=⎧⎨=⎩ 解得：14k b =-⎧⎨=⎩，∴直线AC 的解析式为y =﹣x +4，如图所示，对称轴直线x =1与△ABC 两边分别交于点E 、点F ．把x =1代入直线AC 解析式y =﹣x +4解得y =3，则点E 坐标为（1，3），点F 坐标为（1，1），∴1＜5﹣m ＜3，解得2＜m ＜4；（3）连接M C ，作M G ⊥y 轴并延长交AC 于点N ，则点G 坐标为（0，5）．∵M G =1，GC =5﹣4=1，∴M C 22MG CG +2211+2y =5代入y =﹣x +4解得x =﹣1，则点N 坐标为（﹣1，5），∵NG =GC ，G M=GC ，∴∠NCG =∠G CM=45°，∴∠N CM=90°，由此可知，若点P 在AC 上，则∠M CP =90°，则点D 与点C 必为相似三角形对应点．①若有△P CM∽△BDC ，则有MC CD CP BD =，∵BD =1，CD =3，∴CP =MC BD CD ⋅21⨯2，∵CD =DA =3，∴∠DCA =45°，若点P 在y 轴右侧，作PH⊥y 轴，∵∠PCH =45°，CP =23，∴PH=22313，把x =13代入y =﹣x +4，解得y =113，∴P 1（13，113）； 同理可得，若点P 在y 轴左侧，则把x =13-代入y =﹣x +4，解得y =133，∴P 2（13-，133）； ②若有△P CM∽△CDB ，则有MC BD CP CD =，∴CP =231=32PH=322=3； 若点P 在y 轴右侧，把x =3代入y =﹣x +4，解得y =1；若点P 在y 轴左侧，把x =﹣3代入y =﹣x +4，解得y =7∴P 3（3，1）；P 4（﹣3，7），∴所有符合题意得点P 坐标有4个，分别为P 1（13，113），P 2（13-，133），P 3（3，1），P 4（﹣3，7）．考点：二次函数综合题；二次函数图象及其性质；分类讨论；动点型；平移的性质；二次函数图象与几何变换；压轴题． 28．（2016浙江省金华市）在平面直角坐标系中，点O 为原点，平行于x 轴的直线与抛物线L ：2y ax =相交于A ，B 两点（点B 在第一象限），点D 在AB 的延长线上．（1）已知a =1，点B 的纵坐标为2．①如图1，向右平移抛物线L 使该抛物线过点B ，与AB 的延长线交于点C ，求AC 的长．②如图2，若BD =12AB ，过点B ，D 的抛物线L 2，其顶点M 在x 轴上，求该抛物线的函数表达式． （2）如图3，若BD =AB ，过O ，B ，D 三点的抛物线L 3，顶点为P ，对应函数的二次项系数为a 3，过点P 作PE ∥x 轴，交抛物线L 于E ，F 两点，求3a a 的值，并直接写出AB EF 的值．【答案】（1）①422324(y x =；（2）313a a =-，3AB EF =． 【分析】（1）①根据函数解析式求出点A 、B 的坐标，求出AC 的长；②作抛物线L 2的对称轴与AD 相交于点N ，根据抛物线的轴对称性求出O M ，利用待定系数法求出抛物线的函数表达式；（2）过点B 作BK ⊥x 轴于点K ，设OK =t ，得到OG =4t ，利用待定系数法求出抛物线的函数表达式，根据抛物线过点B （t ，2at ），求出3a a 的值，根据抛物线上点的坐标特征求出AB EF的值． 【解析】（1）①二次函数2y x =，当y =2时，2=2x ，解得12x ，22x =-AB =22∵平移得到的抛物线L 1经过点B ，∴BC =AB =22AC =42。
中考复习 平移(平面几何解题思路方法培训讲稿)
初中几何思路方法课
初中几何解题思路方法培训
(1)在图(3)中,请你类似地画一条有两个折点的折线,同样向右 平移1个单位,从而得到一个封闭图形,并画出阴影. (2)请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的 面积:S1= _____；S2= _____；S3= _____. (3)联想与探索：如图(4)在一矩形草地上,有一条弯曲的柏油 小路(小路任何地方的水平宽度都是1个单位),请你猜想空白 部分表示的草地面积是多少?并说明你的猜想是正确的.
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图形的平移
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（一）基础知识引导解读 （二）例题思路方法分析
初中几何思路方法课
基础知识引导解读 1、平移的定义： 把一个图形沿着一定的方向平行移动而达到另一个位置，这 种图形的平行移动，简称平移。平移式图形变换的一种形式. 2、平移的两个要素：（1)平移方向；（2）平移距离. 3、对应点、对应线段、对应角. 一个图形经过平移后得到一个新的图形，这个新图形与原图 形是能够互相重合的全等形，我们把互相重合的点称为对应
例4：(中考真题)将图(1)中的平行四边形ABCD 沿对角
线AC 剪开,再将△ADC沿着AC方向平移,得到图(2)中的 △A1D1C1,连接AD1、BC1，除△ABC与△C1D1A1外,你还 可以在图中找出哪几对全等的三角形(不能另外添加辅 助线和字母)?请选择其中的一对加以证明.
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专题32 中考几何平移类问题1.平移的定义：平面图形的每个点沿着某一方向移动相同的距离，这样的图形运动称为平移.平移是由移动的方向和移动的距离所决定.平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。
2.平移的特点：经平移运动后的图形图形的位置发生变化, 形状和大小不变.3.理解并掌握平移的三个特征：（1）对应线段平行（或在一条直线上）且相等；对应角相等.（2）对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等.（3）图形在平移后形状和大小都不变.4.图形平移的画法：（1）确定点；（2）定方向；（3）定距离。
【例题1】（2020•广东）在平面直角坐标系中，点（3，2）关于x轴对称的点的坐标为（）A．（﹣3，2）B．（﹣2，3）C．（2，﹣3）D．（3，﹣2）【对点练习】（2019湖南邵阳）一次函数y1=k1x+b1的图象l1如图所示，将直线l1向下平移若干个单位后得直线l2，l2的函数表达式为y2=k2x+b2．下列说法中错误的是（）A．k1=k2 B．b1＜b2C．b1＞b2 D．当x=5时，y1＞y2【例题2】（2019桂林）如图，在平面直角坐标系中，反比例y＝（k＞0）的图象和△ABC都在第一象限内，AB＝AC＝，BC∥x轴，且BC＝4，点A的坐标为（3，5）．若将△ABC向下平移m个单位长度，A，C两点同时落在反比例函数图象上，则m的值为．【对点练习】（2020枣庄模拟）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B （3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是；（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是；（3）△A2B2C2的面积是平方单位．【例题3】（2020•北京）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象平移得到，且经过点（1，2）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x ＞1时，对于x 的每一个值，函数y ＝mx （m ≠0）的值大于一次函数y ＝kx +b 的值，直接写出m 的取值范围．一、选择题1．（2020•菏泽）在平面直角坐标系中，将点P （﹣3，2）向右平移3个单位得到点P '，则点P '关于x 轴的对称点的坐标为（ ）A ．（0，﹣2）B ．（0，2）C ．（﹣6，2）D ．（﹣6，﹣2） 2.（2019哈尔滨）将抛物线22x y =向上平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度,所得到的抛物线为（ ）A ．3)2(22++=x yB ．3)2(22+-=x y C ．3)2(22--=x y D ．3)2(22-+=x y3．（2019海南）如图，在平面直角坐标系中，已知点A （2，1），点B （3，﹣1），平移线段AB ，使点A 落在点A 1（﹣2，2）处，则点B 的对应点B 1的坐标为（ ）A ．（﹣1，﹣1）B ．（1，0）C ．（﹣1，0）D ．（3，0）4．（2019广西梧州）直线y ＝3x +1向下平移2个单位，所得直线的解析式是（ ）A ．y ＝3x +3B ．y ＝3x ﹣2C ．y ＝3x +2D ．y ＝3x ﹣15．（2019广西百色）抛物线y＝x2+6x+7可由抛物线y＝x2如何平移得到的（）A．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位B．先向左平移6个单位，再向上平移7个单位C．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位D．先回右平移3个单位，再向上平移2个单位6．（2020济南模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，如果将△ABC先向右平移4个单位长度，在向下平移1个单位长度，得到△A1B1C1，那么点A的对应点A1的坐标为（）A．（4，3）B．（2，4）C．（3，1）D．（2，5）7.将抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（）A．y=（x﹣1）2+4 B．y=（x﹣4）2+4 C．y=（x+2）2+6 D．y=（x﹣4）2+68．（2020咸宁模拟）如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF．若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为（）A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：69.如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB=10，DO=4，平移距离为6，则阴影部分面积为（）A．48 B．96 C．84 D．4210.某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是（）A．甲种方案所用铁丝最长 B．乙种方案所用铁丝最长C．丙种方案所用铁丝最长 D．三种方案所用铁丝一样长二、填空题11．（2020•武威）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A，B的坐标分别为（3，√3），（4，0）．把△OAB沿x轴向右平移得到△CDE，如果点D的坐标为（6，√3），则点E的坐标为．12．（2020枣庄模拟）如图，直线y=2x+4与x，y轴分别交于A，B两点，以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC，将点C向左平移，使其对应点C′恰好落在直线AB上，则点C′的坐标为．13．（2020咸宁模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，6），将△OAB沿x轴向左平移得到△O′A′B′，点A的对应点A′落在直线y=﹣x上，则点B与其对应点B′间的距离为．14．（2020岳阳模拟）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a1x2+b1x+c1，则下列结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）①b＞0②a﹣b+c＜0③阴影部分的面积为4④若c=﹣1，则b2=4a．15.如图所示，一座楼房的楼梯，高1米，水平距离是2.8米，如果要在台阶上铺一种地毯，那么至少要买这种地毯________米．16.如图，是一块从一个边长为20cm的正方形BCDM材料中剪出的垫片，经测得FG＝9cm，则这个剪出的图形的周长是________cm．17．如图，若△DEF是由△ABC经过平移后得到的，则平移的距离是_____．18．（2019江苏徐州）已知二次函数的图象经过点P（2，2），顶点为O（0，0）将该图象向右平移，当它再次经过点P时，所得抛物线的函数表达式为．三、解答题19．（2020•安顺）如图，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数y=kx的图象相交，其中一个交点的横坐标是2．（1）求反比例函数的表达式；（2）将一次函数y＝x+1的图象向下平移2个单位，求平移后的图象与反比例函数y=kx图象的交点坐标；（3）直接写出一个一次函数，使其过点（0，5），且与反比例函数y=kx的图象没有公共点．20．（2020齐齐哈尔模拟）如图，在边上为1个单位长度的小正方形网格中：（1）画出△ABC 向上平移6个单位长度，再向右平移5个单位长度后的△A 1B 1C 1．（2）以点B 为位似中心，将△ABC 放大为原来的2倍，得到△A 2B 2C 2，请在网格中画出△A 2B 2C 2．（3）求△CC 1C 2的面积．21.（2020浙江宁波模拟）已知抛物线，其中是常数（1）求证：不论为何值，该抛物线与轴一定有两个公共点； （2）若该抛物线的对称轴为直线， ①求该抛物线的函数解析式；②把该抛物线沿轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与轴只有一个公共点？22.如图，在一块长为20m ，宽为14m 的草地上有一条宽为2m 的曲折小路，你能运用你学的知识求出这块草地的绿地面积吗？)()(2m x m x y ---=m m x 25=x y x23．如图所示，将△ABC平移，可以得到△DEF，点B的对应点为点E，请画出点A的对应点D、点C的对应点F的位置，并作出△DEF．24．如图，将边长为4个单位的等边△ABC沿边BC向右平移2个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长?25．如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC．求证：BE=DG26.如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0）。
画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1。
27.如图，在一块长为20m，宽为14m的草地上有一条宽为2m的曲折小路，你能运用你学的知识求出这块草地的绿地面积吗？28．（2019宁夏）将直角三角板ABC按如图1放置，直角顶点C与坐标原点重合，直角边AC、BC分别与x 轴和y轴重合，其中∠ABC＝30°．将此三角板沿y轴向下平移，当点B平移到原点O时运动停止．设平移的距离为m，平移过程中三角板落在第一象限部分的面积为s，s关于m的函数图象（如图2所示）与m轴相交于点P（，0），与s轴相交于点Q．（1）试确定三角板ABC的面积；（2）求平移前AB边所在直线的解析式；（3）求s关于m的函数关系式，并写出Q点的坐标．29．（2019江苏淮安）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A、B都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．（1）将线段AB向上平移两个单位长度，点A的对应点为点A1，点B的对应点为点B1，请画出平移后的线段A1B1；（2）将线段A1B1绕点A1按逆时针方向旋转90°，点B1的对应点为点B2，请画出旋转后的线段A1B2；（3）连接AB2、BB2，求△ABB2的面积．第11页/ 共11页。