例说证明线段比例式或等积式的方法与技巧
巧用“等比(等积)”证明比例式和等积式
一
‘ ＡＥ — Ａ Ｃ 。 。
旦
由（） ， Ｃ １知 Ａ Ｂ
・
ＢＤ ｃ ＝
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ＤＥ
．
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＝
ＢＤ
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ＡＥ ． ＲＤ ＝ ＤＥ．
数 学 学 习与 研 究
２ １ 。４ ０ １２
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Ｉ 技巧 与责 法 。 Ｉ 。
ｍ 一 … … … … 一 —
Ｙ Ａ 解 ｕ
一
剧
等 积 式 的思 路 和 方 法 ．
例 １ 如 图 １ ０ ０ 与 Ｏ Ａ 相 ．
熬 值 盛等 盛 剿 静积
◎方 建 敏 （ 肃 省 庆 阳市 宁县 铁 王初 中 甘 ７ ５ １ ４ ２ｌ ） 例 ３ 如 图 ３， 知 Ｄ， Ｆ 已 Ｅ， 分 别 在 △ Ｂ 的 边 ＡＢ， ＡＣ Ｃ ＢＣ，
利 息 ＝本 金 Ｘ利 率 Ｘ存 期 ， 本 利 和 ＝本 金 ×（ ＋利 率 ×存 期 ） １ ． 如 果 用 Ｐ，， ，． 别 表 示 本 金 、 率 、 期 、 息 与 本 ｒｎ ｉｓ分 利 存 利
币 和 ， 有 ｉ ｒ Ｓ＝ｐ １＋ｒ ） ０ 秀么 ＝ｐ ｎ， （ ｎ． 例 １ 设 年 利 率 为 ００ ７１ 某 人 存 入 银 行 ２ ０ ．１ ， ０ ０元 ， ３年 后
Ｄ．Ｅ，Ａ Ｄ ，Ｃ 求证 ： 丽 ＡＵ ＝面 Ｃ Ｅ
．
Ａ
图
４
例 ２ 如 图 ２． 的 内 接 四边 圆
形 ＡＤ Ｆ 的 对 角 线 Ｄ 与 ＡＣ相 Ｃ Ｆ
交 于 Ｅ． 平 行 于 ＤＦ， 交 ＡＤ 的 ＢＣ
延 长 线 于 Ｂ．
分析
证明
一
由射 影 定 理 可 找 到 等 比 Ａ Ｄ
证明线段比例式或等积式的方法
证明线段比例式或等积式的方法（一）比例的性质定理：（二）平行线中的比例线段：①平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线所得对应线段成比例（图1、2）。
②平行于三角形的一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例（图3、4）。
③平行于三角形的一边，且与其他两边（或两边的延长线）相交的直线所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例（图3、4）。
（三）三角形中比例线段：①相似三角形中一切对应线段（对应边、对应高、对应中线、对应角平分线、对应周长…）的比都相等，等于相似比。
②相似三角形中一切对应面积的比都相等，等于相似比的平方。
③勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和（图5）。
④射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项（图5）。
直角三角形上任一直角边是它在斜边上的射影与斜边的比例中项（图5）。
⑤正弦定理：三角形中，每一边与对角的正弦的比相等（图6）。
即/sinA=b/sinB=c/sinC⑥余弦定理：三角形中，任一边的平方等于另两边的平方和减去这两边及其夹角余弦乘积的二倍（图6）。
如a2 = b2+c2 - 2 b·c·cosA（四）圆中的比例线段：圆幂定理：①相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段的积相等（图7）。
（推论：若弦与直径垂直相交，则弦的一半为它分直径所成两线段的比例中项。
图8）②切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长为这点到割线与圆交点的两线段长的比例中项（图9）。
③割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的两线段长的积相等（图10）。
（五）比例线段的运算：①借助等比或等线段代换。
②运用比例的性质定理推导。
③用代数或三角方法进行计算。
例说证明线段比例式或等积式的方法与技巧
例说证明线段比例式或等积式的方法与技巧何美兰证明线段比例式或等积式的常用方法之一是利用相似三角形，而相似三角形是初中数学中的一个非常重要的知识点，它也是历年中考的热点内容，通常考查以下三个部分：（1）考查相似三角形的判定；（2）考查利用相似三角形的性质解题；（3）考查与相似三角形有关的综合内容。
以上试题的考查既能体现开放探究性，又能加深知识之间的综合性。
但不少学生证题却是不会寻找相似三角形，特别是对比较复杂的图形，感到眼花缭乱，无从下手。
为了帮助学生们扩大解题思路，迅速而正确地解题。
下面以一些例题来说明解答策略及规律。
一三点定形法利用两个三角形相似去解决比例式或等积式证明的方法。
解决问题的基本思想是：先找出与结论中的线段有关的两个三角形，然后根据原题所给条件，对照图形分析，寻找这两个三角形的相似条件，再证明这两个三角形相似，利用“相似三角形对应边成比例”推出结论。
寻找并证明两个三角形相似是解题的关键，寻找相似三角形的基本方法是“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
例1：如图1，ABCD是⊙O的内接四边形，过C作DB的平行线，交AB的延长线于E。
求证BE·AD＝BC·CD。
分析：要证BE·AD＝BC·CD，即＝。
横定：这个比例式的前项中的线段BE、CD共有四个不同的端点，不能确定一个三角形；竖定：这个比例式的比中的线段BE、BC它们有三个不同的端点，可以确定一个△BEC，另一个比中的线段CD、AD的三个不同的端点也可以确定一个△ACD，于是只要证明△BEC∽△DCA，这样，证明所需添加的辅助线AC也就显示在眼前了。
相似三角形模型总结2(比例式、等积式的常见证明方法)
相似三角形模型总结2(比例式、等积式的常见证明方法)XXX∠XXX，∴△AEB∽△CEB，∴AE/AC＝EB/EC.又∵△ADB∽△ACB，∴AD/AC＝DB/BC.∴AE/AD＝EB/DB，∴AE/AC＝EB/EC＝EB/(EB+DB)。
ACADAE＝AC·EB/(EB+DB)＝AC·EB/AB.又∵△ABE∽△CDE，∴EB/DE＝AB/CD，∴EB＝AB·DE/CD.∴AE＝AC·AB·DE/(AB·DE+CD·EB)＝AC·AB·DE/(AB·DE+CD·AB·DE/CD)＝AC·AB·DE/(AB+DB)＝AC·DE/AD.又∵△ADE∽△ACB，∴DE/AC＝AD/AB，∴DE＝AC·AD/AB.∴AE＝AC·DE/AD＝AC·AC·AD/(AB·AD)＝AC2/AB，∴AE/AC＝AC/AB＝AC/AD。
AE/AC＝AD/AC，即AE/AC＝AE/AD-∵AC=AD，∴AE/AC＝AE/AE-DE，∴AE/AC＝DE/AE，∴AE2＝AC·DE，∴AE/AC＝DE/AE＝AE2/AC·AE＝AE/AD，即AE＝AC·AD/AB＝AC2/AB。
XXX，∴＝.1.由于文章中没有明显的格式错误，直接删除明显有问题的段落。
2.将原文中的符号改为中文，重新表述如下：已知在三角形ABE和ACB中，∠BAE=∠CAB，因此△ABE∽△ACB。
根据相似三角形的性质，可以得到AE/AB=AC/AE，所以AE²=AB×AC。
又因为AB=AD，所以AE²=AD×AC。
因此，DE²=AE²-BE²=AD×AC-BE²=BE×CE。
九年级数学下册第二十七章 专题：比例式、等积式的3种证明方法
(2)EF·CG＝DF·BG. 证明：在△AEF 和△ABG 中， ∠AED＝∠B，∠EAF＝∠BAG， ∴△A E F∽△A B G.∴BEGF ＝AAGF . 由(1)知△A DF ∽△A CG.∴DCGF＝AAGF .
∴E F ＝DF .∴E F ·CG＝DF ·B G.
BG CG
∴△A B F ∽△CB E .∴AB BC＝ACFE .
◆类型二 等线段代换法 2．【2022 新课标·综合性】如图，AB 为⊙O 的直径， BC，CD 均为⊙O 的切线，射线 CD 交 BA 的延长线于 点 E，连接 AD，BD，OC.求证：ED·CD＝OB·BE.
证明：如图，连接 DO， ∵BC，CE 为⊙O 的切线， ∴∠E DO＝∠E B C＝90°，B C＝CD.
又∵∠E ＝∠E ，
∴△E OD∽△E CB . ∴EBDE ＝OBCD. ∴E D·B C＝OD·B E . ∵OD＝OB ，B C＝CD，∴E D·CD＝OB ·B E .
◆类型三 等比(或等积)代换法 3．如图，已知在△ABC 中，∠ACB＝90°，点 D 在边 BC 上，CE⊥AB，CF⊥AD，E、F 分别是垂足，连接 E F.求证：AF ·A D＝A E ·A B . 证明：∵∠A CB ＝90°，CF ⊥A D， ∴∠A CD＝∠A F C.又∠CA D＝∠FA C， ∴△A CD∽△A F C.∴A C＝A D.∴A C2＝A F ·A D.同理可
AF AC 证△ACE∽△ABC，∴AC＝AE，即 AC2＝AE·AB.
AB AC ∴A F图，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上， ∠AED＝∠B，AG 分别交线段 DE，BC 于点 F，G，且 A D∶A C＝DF ∶CG.求证： (1)AG 平分∠BAC； 证明：∵∠DA E ＋∠A E D＋∠A DE ＝180°， ∠B A C＋∠B ＋∠C＝180°，∠A E D＝∠B ， ∴∠ADE＝∠C.在△ADF 和△ACG 中， A D∶A C＝DF ∶CG，∠A DE ＝∠C， ∴△ADF∽△ACG.∴∠DAF＝∠CAG.∴AG 平分∠BAC.
相似多边形模型总结2(比例式、等积式的常见证明方法)
相似多边形模型总结2(比例式、等积式的常见证明方法)相似多边形模型是数学中常见的重要概念。
通过比例式和等积式的常见证明方法，我们可以推导出相似多边形的性质和关系。
以下是这两种证明方法的常见步骤和思路总结：比例式的常见证明方法1. 首先，选取两个相似多边形，例如多边形ABC和多边形DEF。
2. 观察两个多边形之间的对应边和对应角，看是否能够建立出比例关系。
例如，我们可以观察到多边形ABC中的边AB与多边形DEF中的边DE是对应边，边BC与边EF是对应边。
3. 利用已知条件和几何性质，通过等式或者类似三角形的性质等，得到对应边之间的比例关系。
例如，如果我们已知多边形ABC和多边形DEF是相似的，并且知道AB/DE = BC/EF，我们就可以得到一个比例关系。
4. 根据比例关系进行推导，将已知条件和待求结论组合在一起，利用比例关系解方程，最终得到需要证明的结论。
等积式的常见证明方法1. 同样地，选取两个相似多边形，例如多边形ABC和多边形DEF。
2. 观察两个多边形之间的对应边和对应角，看是否能够建立出等积关系。
例如，我们可以观察到多边形ABC中的边AB与多边形DEF中的边DE是对应边，角A与角D是对应角。
3. 利用已知条件和几何性质，通过角度相等或者三角形的面积性质等，得到对应边和对应角之间的等积关系。
例如，如果我们已知多边形ABC和多边形DEF是相似的，并且知道角A等于角D，我们就可以得到一个等积关系。
4. 根据等积关系进行推导，将已知条件和待求结论组合在一起，利用等积关系解方程，最终得到需要证明的结论。
通过比例式和等积式的常见证明方法，我们可以在相似多边形模型中推导出各种性质和关系。
这些证明方法基于已知的几何性质和规则，通过推理和运用数学方法，帮助我们理解和解决相似多边形的问题。
27.2.4专题4：证(等积式)比例式2--等线段代换法
27.2.4专题4：证（等积式）比例式2--等线段代换法
一．【知识要点】
1.方法：“遇等积化等比，根据线段找相似；无相似别着急，等线段比来代替。
”
二．【经典例题】
1．如图，在△ABC中，AG⊥BC，垂足为点G，点E为边AC上一点，BE＝CE，点D为边BC 上一点，GD＝GB，连接AD交BE于点F．
（1）求证：∠ABE＝∠EAF；
（2）求证：AE2＝EF•EC；
（3）若CG＝2AG，AD＝2AF，BC＝5，求AE的长．
三．【题库】
【A】
【B】
1．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交AD于F，∠ECA＝∠D．求证：AC•BE＝CE•AD．
【C】
1.如图，在ABCD中，AM⊥BC，AN⊥CD，垂足分别为M、N，
（1）求证：△AMB∽△AND；
（2）求证：．
【D】
1．已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E是DB延长线上的一点，且EA＝EC，分别延长AD、EC交于点F．
（1）求证：四边形ABCD为菱形；
（2）如果∠AEC＝2∠BAC，求证：EC•CF＝AF•AD．。
证明线段的比例式或等积式的方法
证明线段的比例式或等积式的方法要证明线段的比例式或等积式，有多种方法可以使用。
下面我们将介绍几个常用的方法。
方法一：向量法利用向量的性质可以很方便地证明线段的比例式或等积式。
假设有线段AB和CD，要证明它们的比例式或等积式，可以先求出向量AB和向量CD，然后判断它们是否平行或共线，再比较它们的模长大小。
如果向量AB和向量CD平行或共线，我们可以根据向量的定义得知它们的比例式：AB：CD=，AB，：，CD如果向量AB和向量CD不平行或不共线，但线段AB与线段CD的比例式或等积式成立，我们也可以利用向量的性质推导出它们的比例关系。
具体的推导过程需要根据具体的题目条件来确定。
方法二：相似三角形法利用相似三角形的性质也可以方便地证明线段的比例式或等积式。
相似三角形是指两个或多个三角形的对应角相等且对应边成比例。
如果有线段AB和CD，我们可以通过构造相似三角形来证明它们的比例式。
假设我们可以找到一个三角形ABC与三角形CDE相似，那么根据相似三角形的性质有：AB：CD=AC：CE这样我们就证明了线段AB和CD的比例式。
方法三：重心法利用重心的性质也可以证明线段的比例式或等积式。
重心是指一个几何图形的平衡点，即重心到图形上各点的距离乘以图形上各点的质量（或面积）之和为零。
对于线段AB和CD，我们可以找到它们的重心O，并将线段AO和BO 延长到与CD相交于点E和F。
那么根据重心的性质，线段AO与线段OD 以及线段BO与线段OC的比例关系可以推导出：AO：OC=BO：OD进一步地，根据线段分线段外部点定理，我们可以得出：AO：OD=AB：CD这样我们就证明了线段AB和CD的比例式。
方法四：三角形面积法利用三角形面积的性质也可以证明线段的比例式或等积式。
假设有线段AB和CD，我们可以构造三角形AOB与三角形COD，其中O为点A和C 的连接线与BC的交点。
根据三角形面积的性质，有：三角形AOB的面积：三角形COD的面积=AB：CD这样我们就证明了线段AB和CD的比例式。
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D
F
E
C
A
B
例2已知梯形ABCD中，AB CD，AC、 BD交于点O，BE AD交AC的延长线 于点E，求证：OA OC OE
2
• 例：如图，已知P是平行四边形的对角线BD 上一点，连接AP并延长，交BC的延长线于 F，交CD于E， 求证：PA2 PE PF
A D
P
E
B
C
相似三角形
——比例式、等积式的几种常见证明方法
例.弦AB和CD相 PD
证明： ∵∠A、∠D都是CB所对的圆周角 ∴ ∠A=∠D 同理: ∠C=∠B ∴△PAC∽△PDB PA PC PD PB 即PA· PB=PC· PD C
O
P
⌒
A
D
B
练习：已知D、E分别是△ABC的边AB,AC上的点， 若∠A=35°, ∠C=85°,∠AED=60°， 求证：AD· AB= AE· AC
例１ 已知等腰 ABC中，AB=AC，AD BC于D， CG AB，BG分别交AD、AC于E、F， 求证：BE EF EG
2
AB ∥CD , AB BC , 例2、如图，直角梯形 ABCD 中， 对角线 AC BD 于E , AD BD ,过点 E 作 EF ∥AB 2 交 AD 于F ,求证： AF AE EC
F
例3如图，已知CE是Rt ABC斜边AB上的高， 在EC的延长线上取一点P，连结AP，BG AP, 垂足为G，交CE于D，求证：CE 2 PE DE
比例式、等积式的几种常见证明方法
• 一、三点定形法
二 找相等的量（比、线段、等积式）替换
1 等线段替换 2 等比替换 3 等积替换
1.已知,如图,在△ABC中, ∠BAC=90°, AD⊥BC,垂足为D,E是AC的中点,ED的延 长线交AB的延长线于点F. 试说明:AB：AC=DF：AF
A
D
E
B
C
2.已知:如图, ∠ACB=90°,AD=DB,DE⊥AB 于D交AC于E,交BC的延长线于F,试说明: DC2=DE· DF
A
D
E
F
C
B
三点定形法
• 注：三点定形法证明等积式的一般步骤： • 1．先把等积式转化为比例式； • 2．观察比例式的线段确定可能相似的两个 三角形； • 3．再找这两个三角形相似所需的条件.
A
E B
D
F
C
利用等比 式代换