一类具有随机时滞的受扰马尔科夫跳变系统有限时间稳定性
随机时滞Markov跳变系统的镇定
随机时滞Markov跳变系统的镇定高宪文;杜津名;林娜;田中大【摘要】研究了一类转移概率部分未知的随机时滞Markov跳变系统的镇定问题。
首先，构建Lyapunov-Krasovkii函数的方法，设计模态依赖的状态反馈控制器，保证了闭环系统的随机稳定性。
其次，将其归结为求解一组线性矩阵不等式（ LMIs）的可行性问题，通过求解线性矩阵不等式的方式，获得了充分性条件。
最后，数值仿真验证结论的有效性。
%The paper was concerned with stabilization for stochastic time-delayed Markov switching systems with partly unknown transition rates. Firstly,a mode-dependent state feedback controller was designed to guarantee stochastic stability of the corresponding closed-loop system by constructing Lyapunov-Krasovskii methodology. Then,sufficient conditions were built in the form of linear matrix inequalities( LMIs). Finally,a numerical example was given to demonstrate the validity of the main results.【期刊名称】《吉林师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(000)004【总页数】9页(P84-92)【关键词】Markov跳变系统;转移概率部分未知;线性矩阵不等式;随机时滞【作者】高宪文;杜津名;林娜;田中大【作者单位】东北大学信息科学与工程学院，辽宁沈阳110819;东北大学信息科学与工程学院，辽宁沈阳110819; 中国人民解放军93116部队，辽宁沈阳110141;沈阳工业大学信息科学与工程学院，辽宁沈阳110870;沈阳工业大学信息科学与工程学院，辽宁沈阳110870【正文语种】中文【中图分类】O231.3;TP13Markov 跳变系统(MJS)最早由 Krasovskii 等人于20世纪60年代提出[1], 是按照一定的随机切换规则在一组子系统之间进行切换的混杂系统.作为一类特殊的混杂系统，MJS能够更好的描述实际控制过程和系统, 在过去的几十年中一直是研究的焦点,例如，在经济系统[2]、网络控制系统[3]、工业系统[4]、故障检测系统[5]等，并已广泛应用于交通系统、制造系统和电力系统等领域.研究表明，较多关于随机MJS的研究成果是在假设转移概率完全已知的条件下建立的[6-7].然而，由于各种实际复杂因素，MJS中转移概率的全部信息可能难以得到或者获取代价很高[8]，转移概率数值并非完全已知.例如，网络控制系统中的丢包和延迟，获取全部转移概率将会付出较大成本.目前，已有部分学者从事转移概率部分未知的相关研究，并取得一些研究成果，例如文献[9-13].另一方面，时滞出现在大多数工程领域，将会出现性能变差，甚至导致控制系统的不稳定.对于带有时滞的MJS的研究已经成为热点，包括稳定性[14]，反馈设计[15]，滤波器设计[16]，观测器设计[17].然而，就目前所知，转移概率部分未知带有随机时滞的MJS研究还不充分[18-20].现在，在实际应用中, 系统常常受到各种随机因素的干扰, 从而随机系统的研究得到了广泛关注, 确定性系统中的许多重要结果已推广应用于随机系统.但是, 目前研究的MJS子系统大多为确定性系统, 有关子系统为随机系统的MJS的研究有待深入讨论.针对转移概率部分未知带有随机时滞的MJS鲁棒H∞控制研究，对于该项课题的研究有重要理论价值和现实意义.考虑如下随机Markov跳变系统:x(t)∈Rn是状态向量；[0,+∞)是外部扰动信号(具有能量有界，范数可积)；w(t)是标准维纳过程；z(t)∈Rl是控制输出；Ai,Bi,Ci,Di,Gi,wi,wdi是已知的具有适当维数的实常数矩阵；ΔAi(t),ΔBi(t),是未知矩阵，表示时变不确定参数，范数有界的不确定性.在本文中假设其具有如下形式：其中,H1i,M1i,H2i,M2i是已知的适当维数的实常数矩阵，Fi(t)是未知的时变实矩阵，且满足为有限集S={1,2,…,N}中取值的连续Markov过程.从t时刻模态i到t+Δt时刻模态j的转移概率:定义矩阵中的符号为gt=i.转移概率是建立在部分未知情况下的,意味着转移概矩阵Π={πij}中有一些元素是部分未知的.对于∀i∈S, Si表示为是已知的，对于任意是未知的，对于任意j∈S}.如果Si≠Ø,可以描述为其中代表矩阵Π第i行中序号为的第m个已知元素. 本文构造状态反馈控制器:其中，Ki是状态反馈控制增益.首先, 考虑随机MJS的稳定性分析.定理1转移概率部分未知的随机MJS(3)是随机稳定的, 如果存在正定对称矩阵Pi∈Rn×n，Q∈Rn×n以及对称矩阵Ri∈Rn×n，对于∀i∈S，使得下式成立其中，证明：对于系统 (3), 选择Lyapunov函数：其中Pi,Q>0.由无穷小算子可得由于为对称矩阵, 则对∀若由条件(4)和(5)，以及πij≥0(∀i,j∈S,i≠j)可得另一方面, 对∀若由条件同样可得(11)成立.所以，定理证明完毕.定理2转移概率部分未知的系统(13)是随机稳定的，并且具有H∞性能γ，如果存在正定矩阵Pi∈Rn×n，Q∈Rn×n,以及对称矩阵Ri∈Rn×n，正常数γ，对于∀i∈S，使得下式成立证明：对于系统 (13), 选择Lyapunov函数：对∀若由条件(14)和(15)，以及πij≥0(∀i,j∈S,i≠j)可得另一方面, 对∀若由条件同样可得(19)成立.在初始条件为零的情况下，应用Dynkin’s公式，可得所以，有下式意味着，下式成立由公式 (14)可得，由定理1可得，系统(13)(u(t)=0)，是随机稳定的，综上所述，定理证明完毕.定理3 转移概率部分未知的系统(1)是随机稳定的，并且具有H∞性能γ，如果存在正定矩阵Pi∈Rn×n，Q∈Rn×n,以及对称矩阵Ri∈Rn×n，正常数γ,ε1i,ε2i,ε3i，对于∀i∈S，使得下式成立证明：(25)存在ε1i,ε2i,ε3i使得下式成立：(28)对(26)、(27)和(28)式，应用Schur补引理(22)式成立.因此，如果(22)、(23)和(24)式成立，系统(1)是鲁棒随机稳定的，并且具有H∞性能γ.定理证明完毕.定理4 转移概率部分未知的闭环系统(1)是鲁棒随机稳定的，并且具有H∞性能γ，如果存在正定矩阵Xi∈Rn×n，Ui∈Rn×n,对称矩阵Vi∈Rn×n以及矩阵Yi∈Rm×n，正常数γ,ε1i,ε2i,ε3i，对于∀i∈S，使得下式成立控制器增益矩阵为证明：对(22)式分别左乘，右乘下式令可以得到下式(33)其中，由于πii<0，不等式(33)分别讨论：情况(1):对于不等式(33)等价于下式其中，对(34)式应用Schur补引理，则有(29)式成立.情况(2):对于i∉不等式(33)等价于下式其中，对(35)式，应用Schur补引理，则有(30)式成立.对(23)式分别左乘，右乘Xi，应用Schur补引理，则有(31)式成立.对(24)式分别左乘，右乘Xi，应用Schur补引理，则有(32)式成立.定理证明完毕. 考虑二维四模态的随机Markov切换系统的参数如下所示：模型1：模型2：模型3：模型4：图1给出了系统的模态，即为此系统对应的 Markov 跳变信号；图2给出了系统在t=0到t=5 s时间内的状态轨迹曲线；图3给出了系统在t=0 到t=5 s时间内的控制输出轨迹曲线.在上述情况下，应用本文结论，通过求解可得H∞性能指标γ：γ=2.36可得到控制器增益，结果如下：.证明了所设计的鲁棒H∞状态反馈控制器是有效性的.在考虑文献[21]中给出的RLC振荡电路，可以应用本文结论.本文研究了一类带有转移概率部分未知随机时滞的Markov跳变系统的稳定性与镇定控制问题，随机时滞是模态独立的.此类系统跳变过程的转移概率部分未知，因而更具一般性.首先，给出保证随机时滞的Markov跳变系统随机稳定的充分性判据；其次，利用自由加权矩阵法，使用 LMIs 技术，进行系统H∞性能分析，给出满足性能指标的充分性定理；再次，对于所研究的系统进行鲁棒H∞性能分析和模态依赖的状态反馈控制器的设计，并将其归结为求解一组线性矩阵不等式(LMIs)的可行性问题；最后，利用 MATLAB的LMI工具箱来求解，通过数值仿真验证了所得结论的正确性和有效性.【相关文献】[1]Krasovskii N N, Lidskii E A.Analytical design of controllers in systems with random attributes, Parts I-III[J].Automation and Remote Control 1961, 22(1/2/3):1021～1025, 1141～1146, 1289～1294.[2]Chen W.H,Xu J.X,Guan Z.H.Guaranteed Cost Control for Uncertain Markovian Jump Systems with Mode-Dependent Time-Delays[J].IEEE Transactions on AutomaticControl,2003,48(12):2270～2277.[3]Song Y,Xie J.X,Fei M.R,et al.Mean square exponential stabilization of networked control systems with Markovian packet dropouts[J].Transactions of the Institute of Measurement and Control,2013,35(1) :75～82.[4]Shen L.J,Buscher U.Solving the serial batching problem in job shop manufacturing systems[J].European Journal of Operational Research,2012,221(1):14～26.[5]Ge X.H,Han Q.L.Distributed fault detection over sensor networks with Markovian switching topologies[J].International Journal of General Systems,2014,43(3-4):305～318.[6]Wu L.G,Shi P,Gao H.J.State Estimation and Sliding-Mode Control of Markovian Jump Singular Systems[J].IEEE Transactions on Automatic Control,2010,55(5):1213～1219. [7]Xia J.W,Sun C.Y,Teng X,et al.Delay-segment-dependent robust stability for uncertain discrete stochastic Markovian jumping systems with interval time delay[J].International Journal of Systems Science,2014,45(3):271～282.[8]Zhang L X, Boukas E K.Stability and stabilization of Markovian jump linear systems with partly unknown transition probabilities[J].Automatica,2009,45(2):463～468.[9]Hu T, Lin Z, Chen B M.An analysis and design method for linear systems subject to actuator saturation and disturbance[J].Automatica-oxford,2002, 38(2):351～359.[10]Wang Y.J,Zuo Z.Q,Cui Y.L.Stochastic stabilization of Markovian jump systems with partially unknown transition probabilities and actuator saturation[J].Circuits, System and Signal Processing,2012,31(1):371～383.[11]Liu Y.Q,Liu F.Disturbance Rejection for Markov Jump Systems with Partly Unknown Transition Probabilities and Saturation[J].Circuits, Systems and SignalProcessing,2013,32(6):2783～2797.[12]Tian E.G,Yue D,Wei G.L.Robust control for Markovian jump systems with partially known transition probabilities and nonlinearities[J].Journal of the FranklinInstitute,2013,350(8):2069～2083.[13]Zhao J.J,Wang J,Shen H.Dynamic Anti-Windup Control Design for Markovian Jump Delayed Systems with Input Saturation[J].Circuits, Systems, and SignalProcessing,2013,32(5):2213～2229.[14]Zhu Q.X.Stabilization of stochastically singular nonlinear jump systems with unknown parameters and continuously distributed delays[J].International Journal of Control, Automation and Systems,2013,11(4):683～691.[15]Dong J.W,Kim W.J.Markov-chain-based output feedback control for stabilization of networked control systems with random time delays and packet losses[J].International Journal of Control, Automation and Systems,2012,10(5):1013～1022.[16]Li H.P,Shi Y.Robust H-infinity filtering for nonlinear stochastic systems with uncertainties and Markov delays [J].Automatica,2012,48(1):159～166.[17]Zhang Y.Q,Shi P.Observer-based finite-time fuzzy H-infinity control for discrete-time systems with stochastic jumps and time-delays[J].Signal Processing,2014,97:252～261. [18]杨东.转移概率部分未知的 Markovian跳跃系统的H∞ 控制设计[D].曲阜：曲阜师范大学，2013.[19]盛立，高明.转移概率部分未知的随机Markov跳跃系统的镇定控制[J].控制与决策，2011，26(11):1716～1720.[20]Guangdeng Zong, Dong Yang, Linlin Hou.Robust finite-time H∞ co ntrol for Markovian jump systems with partially known transition probabilities [J].Journal of The Franklin Institute,2013,350 (6):1562～1578.[21]Zhao J J, Wang J, Park J H, et al.Memory feedback controller design for stochastic Markov jump distributed delay systems with input saturation and partially known transition rates [J].Nonlinear Analysis Hybrid Systems,2015,15：52～62.。
随机过程分析随机过程的平稳性和马尔可夫性
随机过程分析随机过程的平稳性和马尔可夫性随机过程的分析包括对其平稳性和马尔可夫性的研究。
平稳性指的是随机过程在时间平移下的统计特性保持不变，而马尔可夫性则描述了随机过程在给定过去状态的条件下，未来状态的概率只依赖于当前状态，而与过去状态无关。
本文将介绍随机过程的平稳性和马尔可夫性，并通过几个具体的例子来说明这两个概念的应用。
一、随机过程的平稳性随机过程的平稳性是指在时间平移下，该过程的统计特性保持不变。
可分为弱平稳性和强平稳性。
1. 弱平稳性弱平稳性是指随机过程的一阶和二阶矩保持不变。
也就是说，对于任意的时刻 t，随机变量 X(t) 的均值和自协方差只与时间差有关，而与具体的时刻 t 无关。
例如，考虑一个简单的离散时间随机过程 {X(t)}，每个时刻的取值服从独立同分布，且具有相同的均值和方差。
如果这个过程的均值和方差对于任意的时刻 t 和 s，都满足 E[X(t)] = E[X(s)] 和 Cov(X(t),X(t+h)) = Cov(X(s), X(s+h))，其中 h 为时间差，则称该随机过程具有弱平稳性。
2. 强平稳性强平稳性是指对于任意的正整数 n，随机过程的前 n 阶矩都保持不变。
也就是说，对于任意的时刻 t 和任意的正整数 n，X(t) 和 X(t+n) 的联合概率分布与 X(s) 和 X(s+n) 的联合概率分布相同，其中 s 为任意时刻。
例如，考虑一个连续时间随机过程 {X(t)}，其概率密度函数为 f(x,t)。
如果对于任意的时刻 t 和任意的正整数 n，联合概率密度函数 f(x_1,x_2, ..., x_n, t) 与 f(x_1, x_2, ..., x_n, s) 相同，其中 s 为任意时刻，则称该随机过程具有强平稳性。
二、随机过程的马尔可夫性马尔可夫性是指随机过程在给定过去状态的条件下，未来状态的概率只依赖于当前状态，而与过去状态无关。
这意味着未来状态的概率分布只与当前状态有关，与过去状态的取值路径无关。
马尔可夫模型名词解释 -回复
马尔可夫模型名词解释-回复
马尔可夫模型是一种描述随机过程的数学模型。
它基于马尔可夫性质，即当前状态只与其前一状态相关，与之前的状态无关。
马尔可夫模型可以用于预测未来状态的概率、计算状态转移概率、估计参数等。
马尔可夫模型包括马尔可夫链和马尔可夫过程两种形式。
1. 马尔可夫链：马尔可夫链是一种状态转移模型，表示在离散时间下一个状态仅取决于当前状态的概率分布。
马尔可夫链可以用有限状态空间或无限状态空间来表示，其动态性质可以通过转移概率矩阵或转移概率函数来描述。
2. 马尔可夫过程：马尔可夫过程是一种连续时间下的随机过程，它具有马尔可夫性质，即未来状态仅依赖于当前状态的条件概率分布。
马尔可夫过程可以分为离散态马尔可夫过程和连续态马尔可夫过程两种类型。
马尔可夫模型在很多领域中有着广泛的应用，例如自然语言处理、机器学习、信号处理、金融建模等。
它能够帮助建立概率模型、进行状态预测和预测未来状态概率等。
一类离散时间无限状态马尔可夫跳跃系统H∞控制
Dynamical Systems and Control 动力系统与控制, 2023, 12(3), 139-148 Published Online July 2023 in Hans. https:///journal/dsc https:///10.12677/dsc.2023.123015一类离散时间无限状态马尔可夫跳跃系统 H ∞控制何 鑫，严 芳，赵红霞，贾亚琪，张春梅重庆理工大学理学院，重庆收稿日期：2023年6月6日；录用日期：2023年6月26日；发布日期：2023年7月7日摘要研究了一类具有同时受乘性噪声和无限马尔可夫跳参数影响的离散时间随机系统的控制问题。
首先，给出了一个关于黎卡提方程解的线性不等式，通过求解线性不等式，构造了一个控制器，其次，利用算子理论和随机分析等知识给出离散时间随机系统的无限时域的有界实引理，并且通过一个耦合的黎卡提方程，证明了线性不等式的解和有界实引理之间的等价性。
最后关于随机系统的一个线性反馈控制方案以黎卡提方程稳定解的线性矩阵不等式形式被提出，保证了随机控制系统的内部均方稳定性。
关键词无限状态马尔可夫跳跃系统，黎卡提方程，离散时间，H ∞控制H ∞ Control for a Class of Discrete-Time Infinite State Markov Jump SystemsXin He, Fang Yan, Hongxia Zhao, Yaqi Jia, Chunmei ZhangSchool of Science, Chongqing University of Technology, ChongqingReceived: Jun. 6th , 2023; accepted: Jun. 26th , 2023; published: Jul. 7th , 2023AbstractThe control problem of a class of discrete-time stochastic systems affected by multiplicative noise and infinite Markov jump parameters is studied. Firstly, a linear inequality about the solution of Riccati equation is given, and a controller is constructed by solving the linear inequality. Secondly, the bounded real lemma in infinite time domain of discrete-time stochastic systems is given by using the knowledge of operator theory and stochastic analysis. Through a coupled Riccati equa-tion, the equivalence between the solution of linear inequality and bounded real lemma is proved.何鑫等Finally, a linear feedback control scheme for stochastic systems is proposed in the form of linear matrix inequality of the stable solution of Riccati equation, which ensures the internal mean square stability of stochastic control systems.KeywordsInfinite State Markov Jump System, Riccati Equation, Discrete Time, H∞ Control Array Copyright © 2023 by author(s) and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0)./licenses/by/4.0/1. 引言马尔科夫跳跃系统是一类常见的随机系统，它常用于描述存在突变因素的系统，例如金融经济、管理科学、飞机控制等。
马尔可夫调制及带 跳随机时滞微分方程依分布稳定
马尔可夫调制及带Poisson 跳随机时滞微分方程依分布稳定王福星1，杨运凤 2（1.济宁职业技术学院， 山东 济宁 272037；2. 济宁职业技术学院， 山东 济宁 272037）摘要：本文讨论马尔可夫调制及带Poisson 跳随机时滞微分方程，其主要目的是研究方程解的依分布稳定.关键词：马尔可夫调制；Poisson 跳；依分布稳定；随机微分方程 一、引言近十多年，马尔可夫调制随机微分方程受到许多学者的广泛注意．Ji 和Chizeck [4]及Mariton [5]研究了跳跃系统dt t X t r A t dX )())(()(= (1.1)的稳定性；Mao [1]研究了非线性马尔可夫调制随机微分方程)())(,),(())(,),(()(t dB t r t t X g dt t r t t X f t dX += (1.2) 的稳定性；Mao [7]及Shaikhet [6]研究了非线性马尔可夫调制随机时滞微分方程)())(,),(),(())(,),(),(()(t dB t r t t X t X g dt t r t t X t X f t dX ττ-+-= (1.3)的稳定性．上述文献大多谈及的是方程平凡解依概率渐近稳定或均方渐近稳定（即平凡解依概率或均方趋于0），然而这种稳定性在某些时候较为苛刻．在这种情形下，我们想知道平凡解是否依分布收敛（未必收敛到0），这种性质称为依分布渐近稳定．Basak （1996）讨论了马尔可夫调制半线性随机微分方程)())(),(()())(()(t dB t r t X dt t X t r A t dX σ+= (1.4) Yuan [3] 讨论了马尔可夫调制随机时滞微分方程)())(),(),(())(),(),(()(t dB t r t X t X g dt t r t X t X f t dX ττ-+-= (1.5)依分布稳定．本文讨论马尔可夫调制及带Poisson 跳随机时滞微分方程依分布稳定．二、符号、必要假设、定义本文中始终假设),}{,,(0P t t ≥ΩF F 为一具有满足一般条件（右连续且0F 包含所有P —零测集）完备概率空间．假设T m t t t B B B t B ),,,()(21 =是定义在此概率空间上的m 维布朗运动．令||⋅是n R 中欧氏范数．若A 是向量或矩阵，T A 表示其转置．若A 是矩阵，)(||A A trace A T =表示A 的迹范数．假设0>τ，)];0,([n R C τ-表示从]0,[τ-到n R —族连续函数ϕ，其中范数|)(|sup ||||0θϕϕθτ≤≤-=．记)];0,([n b R C tτ-F 表示所有有界、-t F 可测、)];0,([n R C τ-值随机变量．若)(t X 为一连续n R 值随机过程，),[∞-∈τt ．我们令}0:)({≤≤-+=θτθt X X t ，0≥∀t ，t X 可看作是)];0,([n R C τ-值随机过程．假设)(t r 是定义在概率空间),}{,,(0P t t ≥ΩF F 上取值于有限状态空间{}N S ,,2,1 =右连续马尔可夫链，其中生成元N N ij r ⨯=Γ)(由以下确定：⎪⎩⎪⎨⎧=∆+∆+≠∆+∆===∆+j i o r j i o r i t r j t r P ij ij ,)(1,)())(|)((， 其中0>∆．ij r )(j i ≠表示状态i 到状态j 的转移率，且∑≠-=ji ij ii r r ．假设马尔可夫链)(⋅r 与布朗运动)(⋅B 是相互独立的．易知)(t r 的每一个样本轨道是右连续阶梯函数，且)(t r 是一遍历马尔可夫链．考虑下列马尔可夫调制及带Poisson 跳随机时滞微分方程()((),(),())((),(),())()dx t f x t x t r t dt g x t x t r t dB t ττ=-+-((),(),)(,)h x t x t u v dt du τ+-⎰ （2.1）0t ∀≥以及初始条件)];0,([00nb R C x τξ-∈=F ，且ξ与B 及v 相互独立， 其中dt du du dt v du dt v )(),(),(π-=是n R ⨯∞),0[上参数为dt du )(π补偿Poisson 测度．假设方程（2.1）的系数满足局部Lipschitz 条件及线性增长条件，则方程（2.1）存在唯一连续解，记为)(,t X i ξ，τ-≥∀t ．假设)(t Y 表示S R C n ⨯-)];0,([τ值随机过程))(,(t r X t ，则)(t Y 为一齐次马尔可夫过程，记}){,,,(j d i t P ⨯ηξ为过程)(t Y 的转移概率．假设),,,(B A i t P ⨯ξ为事件})({B A t Y ⨯∈在初值为),()0(i Y ξ=下的概率，即∑⎰∈⨯=⨯Bj Aj dy i t P B A i t P }){,,,(),,,(ξξ．定义 若当∞→t ，S R C i n ⨯-∈∀)];0,([),(τξ，存在一个S R C n ⨯-)];0,([τ上的概率测度)(⋅⨯⋅π，使得转移概率}){,,,(j d i t P ⨯ηξ弱收敛于)(⋅⨯⋅π，则称)(t Y 依分布稳定．记)(t r i 为i r =)0(的马氏链，)(,t X i ξ是初值为)];0,([0n R C x τξ-∈=，i r =)0(方程（2.1）的解．相应的，有}0:)({,,≤≤-+=θτθξξt X X i it，0≥∀t ．定义 若μ为非降函数:R R μ++→且满足(0)0,μ=则称μ为K 函数.若K μ∈且(),u μ→∞当,u →∞称μ为K ∞函数.三、依分布稳定引理3.1 若方程（2.1）的系数满足局部Lipschitz 条件及线性增长条件，0>∀p 及nR 中任一紧集K ，有∞<⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤≤⨯∈p i ts SK i s x E |)(|sup sup ,0),(ξξ，0≥∀t ． (3.1)引理3.2 若方程（2.1）的系数满足局部Lipschitz 条件及线性增长条件且存在正常数12,0c c >，021≥>λλ，0β>，以及),(i x V 2(;)n C R S R +∈⨯，使得()()()211,,,n c x V x i w x x i R S ≤≤∈⨯ (3.2)2212(,,)LV x y i x y λλβ≤-++，,.n x y R ∈ (3.3)则2,,[0,]i tE x t T ξ<∞∀∈，(,)([,0];)n i C R S ξτ∀∈-⨯ (3.4)考虑方程（2.1）不同初值两个解的差，即,,,,,,0()()[((),(),())((),(),())]tiii i i i x t x t f x s x s r s f x s x s r s ds ξηξξηηξηττ-=-+---⎰(),,,,0[((),(),())((),(),())]ti i i i g x s x s r s g x s x s r s dB s ξξηηττ+---⎰ ,,,,0[((),(),)((),(),)](,).ti i i i h x s x s u h x s x s u v dt du ξξηηττ+---⎰⎰令2(;)nC R S R +⨯表示S R n ⨯上关于x 二次连续可微非负函数全体，S R i x n ⨯∈∀),(，定义如下算子：12121(,,,,)(,)(,)[(,,)(,,)]Nij x j LU x y z z i U x y i U x y i f x z i f y z i γ==-+--∑12121([(,,)(,,)](,)[(,,)(,,)])2T xx trace g x z i g y z i U x y i g x z i g y z i +--- 12{((,,)(,,),)(,)U x y h x z u h y z u i U x y i +-+---⎰12(,)[(,,)(,,)]().x U x y i h x z u h y z u du π---引理3.3 假设存在1K μ∞∈，2,K μ∈2340,(,)(;),n U x i C R S R λλ+>≥∈⨯2()(;)n w x C R R +∈满足12()(),x w x μ≤ （3.5）()()12((),),,,.n x U x D z i x x z R i S μμ≤-≤∈∈ （3.6）1232421212(,,,,)()(),,,,,.n LU x y z z i W x y W z z x y z z R i S λλ≤--+-∈∈ （3.7）则0,ε∀>∀紧集nK R ∈，(,)0T T K ε∃=>使得,,{}1,.i i t t P x x t T ξηεε-<≥-∀≥（3.8）假设))];0,([(S R C P n ⨯-τ表示所有S R C n ⨯-)];0,([τ上的概率测度，对21,P P ∀))];0,([(S R C P n ⨯-∈τ，定义距离L d 如下： |),(),(),(),(|sup ),(121121∑⎰∑⎰==∈-=Ni Ni Lf L i d P i f i d P i f P P d ηηξξ，其中{:([,0];):|(,)(,)||||(,)|1n L f C R S R f i f i i j f τξηξη=-⨯→-≤-+-⋅⋅≤且，})];0,([),(),,(S R C i i n ⨯-∈∀τηξ.引理3.4 若方程（2.1）的系数满足局部Lipschitz 条件及线性增长条件、（3.4）和（3.8）成立，则对任意的S R C i n ⨯-∈)];0,([),(τξ，}0}),{,,,({≥⨯t j d i t P ηξ是))];0,([(S R C P n ⨯-τ中的柯西序列．定理 在引理3.2和引理3.3条件下，过程))(,()(t r X t Y t =是依分布稳定的． 证明 由依分布稳定的定义只需证明：对于任意的S R C i n ⨯-∈)];0,([),(τξ，存在一概率测度))];0,([()(S R C P n ⨯-∈⋅⨯⋅τπ使得转移概率}0),,,,({≥⋅⨯⋅t i t P ξ弱收敛于)(⋅⨯⋅π．由于概率测度的弱收敛是一距离概念，所以，只需要证明S R C i n ⨯-∈∀)];0,([),(τξ，有0))(),,,,((lim =⋅⨯⋅⋅⨯⋅∞→πξi t P d L t ．由引理 3.4知，在距离L d 下，}0),,0,0,({≥⋅⨯⋅t t P 是空间))];0,([(S R C P n ⨯-τ中的柯西序列．因此，存在唯一))];0,([()(S R C n ⨯-∈⋅⨯⋅τπP 使得0))(),,0,0,((lim =⋅⨯⋅⋅⨯⋅∞→πt P d L t ．对S R C i n⨯-∈∀)];0,([),(τξ，由引理3.4知0)),0,0,(),,,,((lim =⋅⨯⋅⋅⨯⋅∞→t P i t P d L t ξ，故))(),,,,((lim ⋅⨯⋅⋅⨯⋅∞→πξi t P d L t)],0,0,((),,,,(())(),,0,0,(([lim ⋅⨯⋅⋅⨯⋅+⋅⨯⋅⋅⨯⋅≤∞→t P i t P d t P d L L t ξπ0=故过程))(,()(t r X t Y t =是依分布稳定的.注：若0=h 或0=v ，则本文结论为Yuan [3]中结论，即本文结果是Yuan [3]的推广．参考文献[1].X. Mao, Stability of stochastic differential equations with Markovian switching, Stoch. Proc. Their Appl. 79 (1999) 45–67.[2].A. Matasov, A.B. Piunovskiy, Stochastic differential delay equations with Markovian switching, Bernoulli 6(1) (1) (2000) 73–90.[3].Chenggui Yuan,Jiezhong Zou,Xuerong Mao,Stability in distribution of stochastic differential delay equations with Markovian switching ,System and Control Letters 50 (2003) 195-207. [4].Y. Ji, H.J. Chizeck, Controllability, stabilizability and continuous-time Markovian jump linearquadratic control, IEEE Trans. Automat. Control 35 (1990) 777–788.[5].M. Mariton, Jump Linear Systems in Automatic Control, Marcel Dekker, New York, 1990.[6].L. Shaikhet, Stability of stochastic hereditary systems with Markov switching, Theory Stoc.Process. 2(18) (18) (1996) 180–184.[7].X. Mao, A. Matasov, A.B. Piunovskiy, Stochastic differential delay equations with Markovianswitching, Bernoulli 6(1) (1) (2000) 73–90.The stability in distribution of stochastic differential delay Equationwith Markovian switching and Poisson jump(Fuxing Wang1, Y unfeng Yang2)(1.Jining V ocational and Technical College,Jining Shandong 272037;2.Jining Vocational and Technical College,Jining Shandong 272037)Abstract: In this paper we discuss stochastic differential delay equation with Markovian switching and Poisson jump. The aim of this paper is to investigate the stability in distribution of the equations.Keywords:Markovian switching Poisson jump stability in distribution stochastic differential equation.。
时滞执行器饱和Markov跳变系统的有限时间镇定
导师，主要从事视觉物联网的研究和教学工作o
好地描述受外部干扰等影响的实际系统，因此得到了
广泛的关注与研究。例如：Senthikumar[5]研究了
Markov跳变系统的
o Wu[6]研究了
Markov 跳变系统的
0
Markov跳变系统中，
Markov跳变系统是一类受内部离散事件作用，导
致系统参数随机变化的特殊混杂系统。同时,实际的
控制系统经常遭遇来自外界的随机干扰以及内部元器
件的损坏,例如航天航空飞行器、通信网络、经济系统
等[1-2] 0基于Markov链的随机特性，衍生了很多实际 中的应用[3-4], 于Markov跳变系统 很
收稿日期：018 -11 -06 基金项目：教育部中国移动科研基金(MCM20170204)；国家重 2研发计划资助(2018YFD0400900) 作者简介:张远敬(1993—)，男，硕士研究生,主要研究方向为
另一方面,在实际的工程系统中，时间延迟和执行 器饱和始终是导致系统不稳定以及性能差的主要原 因，尤其出现在交通、化学反应过程以及机器人工程等
领域。Zhang[13]提出Abe l引理对时延系统建立稳定 性条件，Zhang[14，系统的状态响应在有限时间内满足一定的界 限。在过去的几十年里，有限时间稳定性或有界性的
问题引起了越来越多的关注。随着Lyapunov函数和 线性矩阵技术的发展，这方面的研究也取得了 一定的 成果,如Zhang[训研究了奇异随机系统的观测器设计
问题,Zhang[11]针对系统的稳定性进行了分析,Amato[12]研究了系统的动态输出反馈问题等。
中图分类号：O231 ；TP13 文献标识码：A 文章编号：1000 -8829(2019)09 -0113 -05
随机过程中的马尔可夫性质与极限定理
随机过程中的马尔可夫性质与极限定理随机过程是概率论和数理统计中的一个重要概念，它描述了一系列随机事件的演化规律。
在随机过程中，马尔可夫性质是一种重要的性质，它指的是在给定当前状态的情况下，未来状态的概率分布只依赖于当前状态，而与过去状态无关。
这种性质在很多实际问题中都有广泛的应用。
马尔可夫性质最早由俄国数学家马尔可夫在20世纪初提出，他研究了一种离散状态的随机过程，即马尔可夫链。
马尔可夫链具有马尔可夫性质，即在给定当前状态的情况下，未来状态的概率分布只与当前状态有关。
这种性质使得马尔可夫链具有很好的数学性质，可以通过一些简单的计算方法来求解。
在实际应用中，马尔可夫链常常用于建模描述一些具有随机性的现象，比如天气变化、股票价格波动等。
通过建立状态空间和状态转移概率矩阵，可以将这些现象抽象成一种马尔可夫链。
然后利用马尔可夫性质，可以预测未来的状态，从而对这些现象进行分析和控制。
除了马尔可夫性质，随机过程还有一个重要的性质是极限定理。
极限定理描述了随机过程中的一些重要统计量的极限行为。
其中最著名的是中心极限定理，它指出当随机变量的个数趋向于无穷大时，这些随机变量的和的分布趋向于正态分布。
这个定理在概率论和统计学中有着广泛的应用，可以用来解决很多实际问题。
极限定理的证明通常需要使用数学分析和概率论的方法，比较复杂。
但是在实际应用中，我们通常只需要知道极限定理的结论即可。
通过极限定理，我们可以对一些随机过程中的统计量进行估计和推断，从而得到一些有用的结果。
总结起来，随机过程中的马尔可夫性质和极限定理是概率论和数理统计中的两个重要概念。
马尔可夫性质描述了随机过程中未来状态的概率分布只与当前状态有关，而与过去状态无关。
极限定理描述了随机过程中一些重要统计量的极限行为。
这两个性质在实际应用中有着广泛的应用，可以用来解决很多实际问题。
虽然它们的证明比较复杂，但我们通常只需要知道它们的结论即可。
通过应用这些性质，我们可以对随机过程进行建模、分析和控制，从而得到一些有用的结果。
一类中立型马尔可夫跳变系统的随机稳定性条件范文
一类中立型马尔科夫跳变系统的随机稳定性条件Xinghua LiuDept. of Auto, School of Information Science and Technology Universityof Science and Technology of ChinaHefei, ChinaE-mail:***************Hongsheng XiDept. of Auto, School of Information Science and Technology Universityof Science and Technology of ChinaHefei, ChinaE-mail:*************.cn摘要本文对确定性和非确定性中立型系统的时变延时和马尔科夫跳变参数进行了研究。
跳跃参数可被看做是一个连续时间，连续状态的马尔科夫过程。
利用了李雅普诺夫函数和线性矩阵不等式的新型时滞依赖的随机稳定性判据。
两个数值算例用来说明方法的有效性。
关键词：中立型系统；马尔科夫跳变参数；时变延时；随机稳定Ⅰ.简介在过去的几年中，时滞依赖的稳定性和线性中立型系统的控制十分受到人们的重视。
为了获得保守性更小的时滞依赖条件，人们已经做了很多的努力。
其中用条件保守主义测量方法所得到的一个重要指标就是最大允许的时延上界。
而时滞依赖条件往往是通过以整合重写延时期限的固定模式为基础的李雅普诺夫函数。
然后利用边界技术的交叉项，时滞依赖的相关标准而获得。
根据[4]的分类，有四种基本的固定转换方法。
在这四种固定转换方法中，广义系统变换法是其中最为保守的。
还有一种不同的方法是使用参数模型转化技术和新的矩阵参数。
参数模型转换可以分为两类：一类是矩阵参数可以自由选择的，由此而来的基于线性矩阵不等式（LMI）（参见[2]，[18]，[19]）的稳定条件，另一种是通过一些技术稳定性条件来变换线性矩阵不等式的矩阵变量中的参数（参见[6]）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
综上 所 述 ， 本 文 将 主 要 研 究 一 类 具 有 随 机 时 滞 的受 扰 马 尔 科 夫 跳 变系统 有 限时 间稳 定 问题 ． 通过 设 计 线 性 状 态 反 馈 控 制 器 ， 使 得 受 控 系统在 给定 时 间 内克服 马 尔科 夫 跳 变 、 随机 时滞 和 扰 动 的影 响 ， 并
Ｊ ， 但 这些 研 究 绝 大 多
数集 中在 系统 的 渐 近 稳 定 特 性 上 ， 对 其 有 限 时 间稳 定 性 的关 注 还 比 较少 ． 而有 限时 间稳定 性 ， 如前 文所 述 ， 对 研究 许 多 重要 工 业 控制 系 统
的瞬时特 性 具有 重要作 用 ．
陈海洋 ， 男， 博 士生， 研究方 向为非 线性控 制和状态估 计． ｚ ｊ ｄ ｘ ｅ ｈ ｙ １ ６ ３ ＠１ ６ ３ ． ｅ ｏ ｍ 刘妹琴（ 通 信作者 ） ， 女， 博士， 教授 ， 博 士 生导师 ， 研究方 向为非线性 系统 、 人工智 能和 信息融合． １ ｉ ｕ ｍｅ ｉ ｑ ｉ ｎ ＠ｚ ｊ ｕ ． ｅ ｄ ｕ ． ｃ ｎ
Ｄ Ｏ Ｉ ： １ ０ ． １ ３ ８ ７ ８ ／ ｊ ． ｃ ｎ ｋ ｉ ． ｊ ｎ ｕ ｉ ｓ ｔ ． ２ ０ １ ７ ． ０ ４ ． ０ １ ２
陈 海 洋 刘 妹 琴
一
类 具有 随 机 时 滞 的 受扰 马尔 科 夫 跳 变 系 统 有 限时 问 稳定 性
摘 要 本 文 研 究 了一 类 具 有 随机 时滞 的 受 扰 马 尔科 夫跳 变线 性 系统 的 有 限 时 间稳 定性 问题． 通 过 引 入 服 从 伯 努 利 分 布 的 随机 变量 刻 画 了时滞 变化 的 随机 特 性． 本 文 首先 分析 了 系统 的 随 机 有 限 时 间稳 定性 ， 基 于 分析 结 果 设 计 了反 馈 控 制 器 ， 使 得 系统 状 态 在 马 尔 科 夫 跳 变 、 随 机 时 滞和外界 扰动 等 并存 时 ， 在 给定 时 间 内 收 敛 于 某 一 区 域 而 不 超 过 指 定 的 上 界 值， 并 可 获得 该 上 界 的 具 体 值 ． 最 后 通 过 数 值 仿 真 验 证 了 所提 算 法 的 有 效 性 ． 关 键 词 马 尔科 夫 跳 变 系统 ； 随机控制 ； 随机 时滞 ； 线性反馈 ； 有 限时间稳 定性
从伯 努利 分布 的 随机 变量 进 行 建 模 ． 需 要 说 明的是 ， 尽 管 针 对 具 有 随
收稿 日期 ２ ０ １ ７ — ０ ４ — ２ ８ 资助 项目 浙江省 自然科学基金重点项 目（ Ｌ Ｚ １ ４ Ｆ ０ ３ ０ ０ ０ ２ ） 作 者 简 介
机 时滞 的系统 控制 研 究 已经 有 了很 多 成果
定值 ， 则 称该 系统 是 Ｆ Ｔ Ｓ ＿ ４ ｊ ．
目前在 有 限时 间 控 制 的 研 究 中 ， 针 对 马 尔科 夫 跳 变 系 统 的成 果
越 来越 多 ． 作为 一种 特殊 的混 杂 系 统 ， 马尔 科 夫跳 变 系统 在 描 述 具 有
突变模 式 的系统 如 化工 系统 、 制造 系统 、 经 济 系志码 Ａ
建 模能 力 ． 而所 谓 的模 式 突变 则 往 往 来 源 于 系统 元 件 的失 效 、 环 境 的 突变 、 系统 工作 点 的波 动 等 Ｊ ． 对 马 尔 科 夫 跳变 系统 而 言 ， 其 跳 变 模 式 隶属 于 一个有 限 的模式 集 合 并 随着 时 间变 化在 各 个 模 式 之 间 以一
中图 分 类 号 Ｔ Ｐ １ ３
０ 引 言
近 几年 来 ， 有 限 时间控 制 在 工程 实 践 中得 到 越 来 越 多 的应 用 ， 比 如 切换 系统 的控 制 ¨ 、 马尔 科夫 跳变 系 统控 制 Ｊ 、 奇 异 系 统 的控 制 Ｊ 等． 相较 于渐 近稳 定特 性 ， 对于许 多工业应 用 系统 ， 诸 如 飞行 器 的 姿态 控制、 化 学 反应 的温 度 控 制 、 导弹跟踪控制等而言， 我 们更 加 关 注其
定 的概率切换 ， 这个切换的概率就称为模式转换概率． 考 虑 到信 息传 递速 度 的有 限性 ， 时 滞 广泛 存 在 于 实 际 系统 中 ， 并
会 导致 系 统相 关控 制性 能 的下 降甚至 是 系统本 身 的不稳 定 ． 在 公 开 文
献 中， 研究 人 员通 常会 将 时滞 当成 确定 值 来 处理 ， 而 实 际上 时 变 的 时
稳 定在某 一 区域 内 ．
鏖． ｚ 学学 报（ 自 然 科 学版 ） ， ２ ０ １ ７ ， ９ （ ４ ） ： ４ ３ ０ — ４ ３ ６
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｎａ ｎ ｊ ｉ ｎ ｇ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｉ ｎ ｆ ｏ ｒ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ａ ｎ ｄ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ （ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ） ， ２ ０ １ ７ ， ９ （ ４） ： ４ ３ ０ — ４ ３ ６
滞更 为 常见 ． 正 如 文献 ［ １ ０ ］ 中所 指 出的 ， 时滞 甚 至是 以 一种 随 机 的方
式在 变化 ， 当然 这 并不 是说 时 滞 完 全无 法 建 模 ， 其 概 率特 性 仍 然 可 以 通 过 统计 数据 获得 ． 本 文 考 虑 的就 是 这 样 一 种 随机 时滞 ， 通 过 引 入 服
瞬 态特 性 的变 化 情 况 ， 即某段时 间的系统特性 ， 而 有 限 时 间 稳 定 性 （ Ｆ ｉ ｎ ｉ ｔ ｅ — Ｔ ｉ ｍｅ Ｓ ｔ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ， 胛Ｓ ） 则 可 以很好 地对 此 进行 衡 量 ． 具 体来 说 ， 在
给 定初 始条 件下 ， 如 果 系 统 状态 在 给 定 时 间 内 始终 没 有超 出某 一 指