时间连续状态离散的马尔科夫过程
5-1时间连续、状态离散的马尔可夫过程
P{X (s t ) j | X (s) i, X ( ) k ( ),0 s}
P{X (s t ) j | X (s) i}
则称X(t)为时间连续的马尔可夫链。记
pij (s, t ) P{X (s t ) j | X (s) i} 如果 pij (s, t ) 与s无关，记为 pij (t )
（2） Ti与Tj独立 ( i j )；
vi t F ( t ) 1 e （3） Ti服从参数为vi指数分布 i
当vi 时，称状态i为瞬时状态； 当vi 0时，称状态i为吸收状态。
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证 （1） Ti与进入状态i的时刻无关；
P(Ti t | X (t0 ) i) P{X ( ) i, t0 t0 t | X (t0 ) i}
Gi (t s) Gi (s)Gi (t )
Gi (t ) e
vi t
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定理1 证明泊松过程是一个时间连续的马氏 链。求泊松过程的转移概率。 已证
P{X (tn ) kn X (t1 ) k1 , X (t2 ) k2 ,
X (t2 ) X (t1 ) k2 k1 ,
kE
pik t pkj
kE
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记：Ti为在状态i停留的时间。即： X ( ) i, 0 Ti , X (Ti ) j; X ( ) j, Ti Ti T j , X (Ti T j ) k （1） Ti与进入状态i的时刻无关； 引理：
P{X ( ) i,0 t | X (0) i}
P(Ti t | X Tj独立 (i j )；
马尔可夫模型名词解释 -回复
马尔可夫模型名词解释-回复
马尔可夫模型是一种描述随机过程的数学模型。
它基于马尔可夫性质，即当前状态只与其前一状态相关，与之前的状态无关。
马尔可夫模型可以用于预测未来状态的概率、计算状态转移概率、估计参数等。
马尔可夫模型包括马尔可夫链和马尔可夫过程两种形式。
1. 马尔可夫链：马尔可夫链是一种状态转移模型，表示在离散时间下一个状态仅取决于当前状态的概率分布。
马尔可夫链可以用有限状态空间或无限状态空间来表示，其动态性质可以通过转移概率矩阵或转移概率函数来描述。
2. 马尔可夫过程：马尔可夫过程是一种连续时间下的随机过程，它具有马尔可夫性质，即未来状态仅依赖于当前状态的条件概率分布。
马尔可夫过程可以分为离散态马尔可夫过程和连续态马尔可夫过程两种类型。
马尔可夫模型在很多领域中有着广泛的应用，例如自然语言处理、机器学习、信号处理、金融建模等。
它能够帮助建立概率模型、进行状态预测和预测未来状态概率等。
随机过程的定义及其分类
随机过程的定义及其分类随机过程是一组随机变量的集合，代表了在时间序列上发生的事件或现象。
在数学中，随机过程可以用来描述许多现实世界中的问题，如股票价格、传染病传播等。
本文将介绍随机过程的定义及其分类。
一、随机过程的定义随机过程是一个随时间而变的随机变量集合。
具体来说，它包含了一列随机变量 $\{X_t | t \in T\}$，其中 $T$ 通常表示时间或时间的子集，每个 $X_t$ 是一个随机变量。
随机过程的每个$\{X_t\}$ 表示一个随机事件在时间 $t$ 的状态。
例如，在股票市场中，$X_t$ 可以表示在时间 $t$ 股票的价格。
二、随机过程的分类随机过程可以按照多个特性进行分类，下面介绍常见的几种分类方法。
1. 离散时间随机过程和连续时间随机过程离散时间随机过程和连续时间随机过程是相对于时间而言的。
离散时间随机过程是在固定的时间间隔内进行观察，并且在每个时间点上都有一个随机变量，例如掷硬币。
连续时间随机过程是在时间轴上连续观察，并且每个时间点上有一个随机变量，并按照一定的碎形原理进行处理。
2. 马尔可夫过程和非马尔可夫过程马尔可夫过程顾名思义，是取决于当前状态的一个随机过程。
当前状态是系统的“记忆”，这使得估计下一状态将非常容易。
非马尔可夫过程则是指未满足前述条件的随机过程。
3. 定常随机过程和非定常随机过程定常随机过程是指在时间上的统计特性不随时间变化，例如期望，方差等。
一个例子是一年中某地的降雨量。
非定常随机过程则是指在时间上的统计特性会随时间发生变化的随机过程。
4. 平稳过程和非平稳过程平稳过程要求在整个时间轴内随机过程的统计特性都不会随时间变化。
具体来说，需要满足一个随机过程的统计特性(如均值、相关性等)与当前时间和当前位置的时间无关。
非平稳随机过程则是指未满足前述条件的随机过程。
结论本文介绍了随机过程的定义以及常见的分类方法，包括离散时间随机过程和连续时间随机过程、马尔可夫过程和非马尔可夫过程、定常随机过程和非定常随机过程、平稳过程和非平稳过程。
马尔可夫过程与鞅
马尔可夫过程与鞅马尔可夫过程和鞅是概率论和随机过程中常见且重要的概念。
它们在各个领域都有广泛的应用，例如金融、生物学、物理学等。
本文将介绍马尔可夫过程和鞅的基本概念和特性，并探讨它们的应用。
一、马尔可夫过程马尔可夫过程是指具有马尔可夫性质的随机过程。
马尔可夫性质是指在已知当前状态下，未来发展的过程与过去的发展无关。
换句话说，未来的状态只与当前状态有关，与过去的状态无关。
马尔可夫过程可以用一个状态空间和状态转移概率矩阵来描述。
状态空间是指所有可能的状态组成的集合，状态转移概率矩阵描述了从一个状态转移到另一个状态的概率。
马尔可夫过程可以分为离散时间和连续时间两种。
离散时间马尔可夫过程是指时间以离散的方式前进，状态也是离散的。
连续时间马尔可夫过程是指时间是连续的，状态可以是离散的或连续的。
马尔可夫过程有很多重要的性质，例如马尔可夫链的平稳分布、不可约性、遍历性等。
这些性质对于理解和分析马尔可夫过程的行为具有重要意义。
马尔可夫过程在实际应用中有广泛的应用。
例如，在金融领域中，马尔可夫过程可以用来建模股票价格的变动。
在生物学领域中，马尔可夫过程可以用来描述基因的突变和演化。
在物理学领域中，马尔可夫过程可以用来描述粒子在空间中的运动。
二、鞅鞅是一种具有平衡性质的随机过程。
简单来说，鞅是指在给定过去的信息下，未来的期望与当前的值相等。
换句话说，鞅是一种没有偏差的随机过程。
鞅可以用来描述随机过程的平衡性质和无偏性质。
它在金融、统计学、信息论等领域中有广泛的应用。
鞅的性质使得它成为一种重要的工具，在金融领域中可以用来建模和分析股票价格、期权价格等。
在统计学中，鞅可以用来估计未知参数和预测未来值。
在信息论中，鞅可以用来描述信息的平衡性质和无偏性质。
三、马尔可夫过程与鞅的应用马尔可夫过程和鞅在各个领域都有广泛的应用。
它们可以用来建模和分析各种随机过程，并提供了一种有效的工具和方法。
在金融领域中，马尔可夫过程和鞅可以用来建模和分析股票价格的变动。
高斯马尔科夫过程
高斯马尔科夫过程
高斯马尔可夫过程是一种常见的随机过程，用于描述具有连续时间和离散状态的现象。
这个过程可以使我们更好地理解很多自然现象和现实世界中的计算问题。
让我们深入了解一下这个过程。
高斯马尔可夫过程是一个随机系统，其中时间和状态都是连续的。
这个过程是由两个部分组成的：高斯部分和马尔可夫部分。
高斯部分描述的是系统在连续时间中的运动方式，它通常由随机过程的数学期望和方差描述。
而马尔可夫部分则描述了系统的离散状态之间的转移规律。
这种离散状态转移有一个特性，即只依赖于当前状态，而不受之前状态的影响。
这意味着高斯马尔可夫过程是满足马尔可夫性的。
高斯马尔可夫过程被广泛应用于许多领域中，如经济学、物理学、统计学等。
在经济学中，高斯马尔可夫过程被用来预测股票价格变化和货币汇率的波动。
在物理学中，它被用来描述原子的无序运动和液体的流动。
在统计学中，它被用来分析时间序列数据。
虽然高斯马尔可夫过程可以很好地解决许多实际问题，但它也存在着一些问题。
例如，它假设系统状态是连续的，这在某些情况下可能会受到限制。
此外，它还假设了一些先验知识，例如状态转移的规律必须满足马尔可夫性，这些假设有时可能是不合理的。
总之，高斯马尔可夫过程是一种常见的随机过程，可以用来描述具有连续时间和离散状态的现象。
它被广泛应用于许多领域中，并被认为是解决许多实际问题的有用工具。
当然，我们还需要注意它的一些假设和局限性，以便更好地理解它。
马尔可夫过程与离散数学
马尔可夫过程与离散数学马尔可夫过程和离散数学是两个在数学领域中研究的重要课题。
马尔可夫过程是一种随机过程，是指一个可以从一个状态过渡到另一个状态的过程，且过渡的概率只与当前状态有关，与之前的状态无关。
离散数学是数学的一个分支，研究的是离散的结构和对象，如集合、函数、图等。
马尔可夫过程可以分为离散状态和连续状态两种情况。
离散状态下，马尔可夫链是一种最常见的马尔可夫过程。
它的状态空间是有限的，状态之间的转移概率可以用一个状态转移矩阵来表示。
状态转移矩阵的元素描述了从一个状态到另一个状态的概率。
离散状态的马尔可夫过程具有很多重要的性质，如可达性、无环细致平衡条件等，这些性质可以用于分析和理解现实中的很多问题，如排队系统、物理过程的随机性等。
离散数学是研究离散对象和结构的数学分支。
它包含了很多重要的概念和方法，如集合论、图论、逻辑等。
在离散数学中，有很多与马尔可夫过程相关的内容。
比如在集合论中，可以用集合来表示状态空间，用映射来表示状态之间的转移。
在图论中，可以用有向图来表示状态之间的转移关系，用图的路径来描述一个从一个状态到另一个状态的转移序列。
逻辑学中的概率逻辑可以用于描述和推理马尔可夫链的概率分布。
离散数学在马尔可夫过程中有着重要的应用。
比如在马尔可夫链的稳态分析中，可以使用代数方法来求解平衡分布。
马尔可夫决策过程是一种与马尔可夫过程相关的决策模型，它在离散数学中有着广泛的应用。
马尔可夫决策过程中的策略和价值函数可以通过离散数学中的动态规划方法求解。
总结来说，马尔可夫过程和离散数学都是数学中重要的研究领域。
马尔可夫过程是一种用于模拟和分析随机过程的工具，离散数学则提供了一些重要的概念和方法来理解和分析马尔可夫过程。
马尔可夫过程和离散数学在很多领域中有着广泛的应用，如计算机科学、运筹学、统计学等。
马尔可夫链
马尔可夫链马尔可夫过程按其状态和时间参数是连续的或离散的,可分为三类: (1) 时间,状态都是离散的马尔可夫过程,称为马尔可夫链.(2) 时间连续,状态离散的马尔可夫过程,称为连续时间的马尔可夫 (3) 时间,状态都连续的马尔可夫过程. 4.1马尔可夫链的概念及转移概率 一,定义假设马尔可夫过程},{T n X n ∈的参数集T 是离散的时间集合,即 T={0,1,2,…},其相应n X 可能取值的全体组成的状态空间是离散的状态集,...}.,{21i i I =定义4.1 设有随机过程},{T n X n ∈,若对于任意的整数T n ∈和任意的I i i i i n ∈+.,...,,,1210,条件概率满足n n n n i X i X i X i X P ====++,...,,{110011}=},{11n n n n i X i X P ==++ (4.1) 则称},{T n X n ∈为马尔可夫链,简称.马氏链.(4.1)式是马尔可夫链的马氏性(或无后效性)的数学表达式.由定义知 ],...,,{1100n n i X i X i X P =====}.,...,,{111100--====n n n n i X i X i X i X P },...,,{111100--===n n i X i X i X P =}{11--==n n n n i X i X P .},...,,{111100--===n n i X i X i X P =… =}{11--==n n n n i X i X P }{2211----==n n n n i X i X P …}{0011i X i X P ==}.{00i X P =可见,马尔可夫链的统计特性完全由条件概率}{11n n n n i X i X P ==++所决定. 二,转移概率条件概率}{1i X j X P n n ==+的直观含义为系统在时刻n 处于状态i 的条件下,在时刻n+1系统处于状态j 的概率.它相当于随机游动的质点在时刻n 处于状态i 的条件下,下一步转移到状态j 的概率.记此条件概率为).(n p ij 定义4.2 称条件概率).(n p ij = }{11n n n n i X i X P ==++为马尔可夫链},{T n X n ∈在时刻n 的一步转移概率,其中i,j I ∈,简称为转移概率. 定义4.3 若对任意i,j I ∈,马尔可夫链},{T n X n ∈的转移概率).(n p ij 与n 无关,则称马尔可夫链是齐次的,并记).(n p ij 为.ij p下面我们只讨论齐次马尔可夫链,通常将齐次两字省略.设p 表示一步转移概率.ij p 所组成的矩阵,且状态空间I={1,2,…},则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=...........................2222111211nnp p p p p p p 称为系统的一步转移概率矩阵,它有性质: (1) .,1)2(;,,0∑∈∈=∈≥Ij ij ijI i p I j i p通常称满足上述(1),(2)性质的矩阵为随机矩阵. 定义4.4称条件概率ij n p )(= )1,0,,(},{≥≥∈==+n m I j i i X j X P m n m 为马尔可夫链},{T n X n ∈的n 步转移概率,.并称)()()(n ij n p p =为马尔可夫链的n 步转移矩阵,其中(1) .,1)2(;,,0)(∑∈∈=∈≥Ij ij n ij n I i p I j i p 即也是随机矩阵.当n=1 时, .)1(ij p =.ij p ,此时一步转移矩阵.)1(p p =此外我们规定 ⎩⎨⎧=≠=.,1,,0)0(j i j i pij定理4.1设},{T n X n ∈为马尔可夫链,则对任意整数n l n <≤≥0,0和,,I j i ∈n 步转移概率.)(ij n p 具有下列性质:(1)))()()(l n kj Ik l ik n ij p p p -∈∑=; (4.2)(2) ;......112111)(j k Ik k k ik Ik n ij n n p p p p --∑∑∈∈= (4.3)(3);)1()(-=n n PP P (4.4) (4).)(n n P P =(4.5)证明(1) 利用全概率公式及马尔可夫性,有}{)(i X j X P p m n m n ij ===+=}{},{i X P j X i X P m n m m ===+}{},{.},{},,{i X P k X i X P k X i X P j X k X i X P m l m m Ik l m m n m l m m =========+∈+++∑}{}{i X k X P k X j X P m l m l m Ik n m =====++∈+∑=)()()()(m p l m p l ik Ik l n ij +∑∈-=)()(.l n kjIk l ik p p -∈∑. (2)在(1)中令1,1k k l ==得))1()(111-∈∑=n jkIk ik n ij p p p 这是一个递推公式,可递推下下去即得(4.3). (3)在(1).令l=1利用矩阵乘法可得. (4) 由(3),利用归纳法可证.定理4.1中的(1)式称为切普曼---柯尔哥洛夫方程,简称C-K 方程 .定义4.5设},{T n X n ∈为马尔可夫链,称 },{0j X P p j ==)(},{)(I j j X P n p n j ∈==为},{T n X n ∈的初始概率和绝对概率,并分别称}),({},,{I j n p I j p j j ∈∈为},{T n X n ∈的初始分布和绝对分布.简记为}.),({},,{n p p j j 称概率向量 )0(),...),(),(()(21>=n n p n p n P T 为n 时刻的绝对概率向量,而称)0(,...),,(21>=n p p P T为初始向量.定理4.2设},{T n X n ∈为马尔可夫链,则对任意整数I j n ∈≥,1,绝对概率).(n p j 具有下列性质:(1)))()(n ij Ii i j p p n p ∑∈=; (4.6)(2) ij Ii i j p n p p )1(-=∑∈ (4.7)(3);)0()()(n T T P P n P = (4.8) (4)P n P n P T T )1()(-= (4.9)证明(1) ===}{)(j X P n p n j},{0j X i XP n Ii ==∑∈= }{}{00i X P i X j XP nIi ===∑∈ =)(n ijIi i p p ∑∈ (2)===}{)(j X P n p n j },{1j X i X P n Ii n ==∑∈-=}{}{11i X P i X j X P n n n Ii ===--∈∑==ij Ii i p n p ∑∈-)1((3)与(4)是(1)与(2)的矩阵形式.定理4.3 设},{T n X n ∈为马尔可夫链,则对任意,1,,...,1≥∈n I i i n 有 },...{11n n i X i X P ===....11n n i i ii i p p p -∑ (4.10) 证明 由全概率公式及马氏性有},...{11n n i X i X P ===},...,,{110n n Ii i X i X i X P ===∈=},...,,{110n n Ii i X i X i X P ===∑∈=}.,{}{0110i X i X P i X P Ii ===∑∈...},...,{110--===n n n n i X i X i X P=}.,{}{0110i X i X P i X P Ii ===∑∈..}{11--==n n n n i X i X P=n n i i ii Ii i p p p 11...-∑∈.三,马尔可夫链的例子例4.1 无限制随机游动设质点在数轴上移动,每次移动一格,向右移动的概率为p,向左移动的概率为 q=1-p,这种运动称为无限制随机游动.以n X 表示时刻n 质点所处的位置,则},{T n X n ∈是一个齐次马尔可夫链,试写出它的一步和k 步转移概率. 解 },{T n X n ∈的状态空间,...},2,1,0{±±=I 其一步转移概率矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=.....................00.........0.....................p q p q P 设在第k 步转移中向右移了x 步向左移动了y 步,且经过k 步转移状态从j 进入j,则⎩⎨⎧-=-=+i j y x k y x ,.2)(,2)(i j k y i j k x --=-+=由于x,y 都只取整数,所以)(i j k -±必须是偶数.又在k 步中哪x 步向右,哪y 步向左是任意的,选取的方法有x k C 种.于是⎩⎨⎧-+-+=是奇数是偶数)(,0)(,i j k i j k q p C p y x x k k ij.例4.2赌徒输光问题.两赌徒甲,乙进行一系列赌博.赌徒甲有a 元,赌注乙有b 元,每赌一局输者给赢者1元,没有和局,直到两人中有一个输光为止.设在每一局中,甲赢的概率为p,输的概率为q=1-p,求甲输光的概率.这个问题实质上是带有两个吸收壁的随机游动,其状态空间为I={0,1,2,…,c} c=a+b.故现在的问题是求质点从a 出发到达0状态先于到达c=a+b 状态的概率.解 设i u 表示甲从状态i 出发转移到状态0的概率,要计算的是a u ..由于0和c 是吸收状态,故,10=u .0=c u i u 由全概公式).1,...,2,1(,11-=+=-+c i qu pu u i i i (4.11) 上式的含义是,甲从状态i 出发开始赌到输光的概率等于’他接下去赢了一局(概率为p)处于状态i+1后再输光”;和他接下去输一局(概率为q),处于状态i-1后再输光”这两个事件的概率.由于p+q=1,(4.11)实质上是一个差分方程.1,...,2,1),(11-=-=--+c i u u r u u i i i i (4.12)其中pqr =,其边界条件为.0,10==c u u (4.13) 先讨论r=1,即p=q=1/2的情况,(4.12)成为 .1,...,2,1),(11-=-=--+c i u u r u u i i i i 令,01α+=u u 得,2012αα+=+=u u u …,01ααi u u u i i +=+=- …,01ααc u u u c c +=+=-将,1,00==u u c 代于最后一式,得参数,1c-=α所以.1,...,2,1,1-=-=ci ciu i 令i=a, 求得甲输光的概率为.1ba bc a u a +=-= 由于甲,乙的地位是对称的,故乙输光的概率为.ba a u a +=再讨论1≠r ,即q p ≠的情况.由(4.12)式得到)(11--=-=-∑i c k i i k c u u r u u =)(011u u r c ki i-=∑-=.1)1(1r r r u ck ---= (4.14) 令k=0,由于,0=c u 有rr u c---=11)1(11即,11)1(1crru --=- 代入(4.14)式,得.1,...,2,1,1-=--=c k rr r u cck k 令k=a,得到输光的概率,1cca a rr r u --= 由对称性,乙输光的概率为.,11111q p r r r r u c cb b =--= 由于,1=+b a u u 因此在1≠r 时,即q p ≠时两个人中也总有一个人要输光的. 例4.3 天气预报问题设昨日,今日都下雨,明日有雨的概率为0.7;昨日无雨今日有雨,明日有雨的概率为0.5;昨日有雨,今日无雨明日有雨的概率为0.4;昨日,今日均无雨,明日有雨的概率为0.2.若星期一星期二均下雨,求星期四下雨的概率.解 设昨日,今日连续两天有雨称为状态0(RR),昨日无雨今日有雨称为状态1(NR),昨日有雨今日无雨称为状态2(RN),昨日今日无雨称为状态3(NN),于是天气预报模型可看作一个四状态的马尔可夫链,其中转移概率为 7.0}{}{}{00====今昨明今昨明今连续三天有雨R R R P P R R R R P p , )(0}{01不可能事件今昨明今==R R R N P p ,,3.07.01}{}{02=-===今昨明今昨明今R R N P R R N R P p)(0}{03不可能事件今昨明今==R R N N P p ,其中R 代表有雨,N 代表无雨.类似地可得到所有状态的一步转移概率,于是它的一步转移概率矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=33323130232221201312111003020100p p p p p p p p p p p p p p p p P =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡8.002.006.004.0005.005.003.007.0其中两步转移矩阵为==P P P .)2(⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡8.002.006.004.0005.005.003.007.0.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡8.002.006.004.0005.005.003.007.0 = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡.64.010.016.010.048..020.012.020.030.015.020.035.018.021.012.049.0 由于星期四下雨意味着过程所处的状态为0或1,因此星期一星期二连续下雨,星期四下雨的概率为.61.012.049.0)2(01)2(00=+=+=p p p例 4.4 设质点在线段[1,4]上作随机游动,假设它只能在时刻T n ∈发生移动,且只能停留在1,2,3,4点上.当质点转移到2,3点时,它以1/3的概率向左或向右移动一格或停留在原处.当质点称动到点1时,它以概率1停留在原处.当质点移动到点4时,它以概率1移动到点3.若以n X 表示质点在时刻n 所处的位置,则},{T n X n ∈ 是一个齐次马尔可夫链,其转移概率矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0100313131003131310001P 例中的点1称为吸收壁,即质点一旦到达这种状态后就被吸收住了,不再移动;点4称为反射壁,即质点一旦到达这种状态后,必然被反射出去.例4.5生灭链.观察某种生物群体,以n X 表示在时刻n 群体的数目,设为i 个数量单位,如在时刻n+1增生到i+1个单位的概率为i b ,减灭到i 个数量单位的概率为i a ,保持不变的概率为)(1i i i b a r +-=,则}0,{≥n X n 为齐次马尔可夫链,I={0,1,2,…,}.其转移概率为⎪⎩⎪⎨⎧+==+==.1,,,1,i j a j i r i j b p ii i ij称此马尔可夫链为生灭链. 4.2 遍历性设齐次马氏链的状态空间为I,若对于所有,,I a a j i ∈转移概率)(n P ij 存在极限 j ij n n P π=∞→)(lim (不依赖于i)或 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→=................................................)(212121j j jn P n P πππππππππ则称此链具有遍历性.又若∑=jj 1π,则同时称,...),(21πππ=为链的极限分布.齐次马氏链在什么条件下才具有遍历性?如何求出它的极限分布?这问题在理论上已经解决,但是要较多的篇幅.下面对有限链的遍历性给出一个充分条件. 定理4.4设齐次马氏链},{T n X n ∈的状态空间为P a a a I n },,...,,{21=是它的一步转移概率矩阵,如果存在正整数m,使对任意的j i a a ,都有 ,,...,2,1,,0)(N j i m p ij =>则此链具有遍历性,且有极限分布, ),,...,,(21N ππππ=它是方程组 P ππ=或即ij Ni i j p ∑==1ππ的满足条件∑==>Nj j j 11,0ππ的唯一解.在定理条件下马氏链的极限分布又是平稳分布.即若用π作为链的初始分布,即π=)0(p ,则链在任一时刻T n ∈的分布)(n p 永远与π一致,事实上ππππ======-P P P n P p n p n n ...)()0()(1 例4..6 设马尔可夫链的转移概率矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=9.005.005.01.08.01.02.01.07.0P 解 容易证明满足定理4.4条件.可得方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++=++=1,9.01.02.0,05.08.01.0,05.01.07.0321321332123211πππππππππππππππ解上述方程组得平稳分布为.5882.0,2353.0,1765.0321===πππ。
第五章马尔可夫过程
= P{X(tn)- X(tn-1) < xn- xn-1 | X(t1) = x1, X(t2) = x2, …, X(tn-1) = xn-1}
= P{X(tn)- X(tn-1) < xn- xn-1 }= P{X(tn) < xn | X(tn-1) = xn-1}
k为转移步长。显然， 0≤ pij (m,k) ≤ 1 。
5.2 马尔可夫链
5.2.1 பைடு நூலகம்尔可夫链的概念
马尔可夫链的转移概率及其矩阵：
对于有限状态空间E={1,2,…,N},由马尔可夫链 {X(n), n=0,1,2,…}在时刻m的k步转移概率pij (m,k)形成的下列矩阵
p11(m, k)
P(m,
5 马尔可夫过程
马尔可夫过程的概念 离散参数马尔可夫链 连续参数马尔可夫链 生灭过程及应用
5 马尔可夫过程
有限维概率分布(簇) 转移概率 绝对概率 极限分布 平稳分布 状态空间的性质
5.1 马尔可夫过程的概念
5.1.1 有关定义
随机过程马尔可夫性：（物理描述）
当随机过程在时刻 ti 所处的状态为已知的条件下，过 程在时刻 t(>ti)所处的状态，与过程在ti时刻以前的状态无 关，而仅与在ti时刻的状态有关。这种已知“现在”状态的 条件下，“将来”状态与“过去”状态无关的性质，称为 马尔可夫性或无后效性。
或 F{xn | x1, x2, …, xn-1; t1, t2, …, tn-1}= F{xn; tn| xn-1 ; tn-1} 或 f{xn | x1, x2, …, xn-1; t1, t2, …, tn-1}= f{xn; tn| xn-1 ; tn-1}
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j 1
pij (t ) 1
j 1
M
又因为 即
p j 0,
M M lim lim pij (t ) lim p j 1 M t M j 1 j 1
p
j 1
j
1, j 1, 2,...
dt
lim
pij (t t ) pij (t )
N
t 0
t
ik
lim
p
k 0
N ik
(t ) pkj (t ) pij (t ) t
N
t 0
lim
N
p
k 0
(t ) pkj (t ) pik (t ) kj
k 0
t 0
t
pik (t ) lim
时齐马尔科夫过程的转移概率
pij (s)=pij (t, t s) P{X t s j | X (t ) i}, t 0, s 0
性质
(1) 0 pij (s) 1 , (2)
p (s) 1,
ij j
i, j 1, 2,...(有限或无限)
一般的，规定
t j 1 j 1 t j 1 N N N
满足 即
p j 0,
p
j 1
N
j
1, j 1, 2,...N
p ,
j
j 1, 2,...N 构成一个概率分布
在此称为转移概率的极限分布 有限状态的遍历的马尔科夫过程必存在极限分布
遍历性
说明2： 若马尔科夫过程为无限状态的，则有，
X (t), t (0, )为一马尔科夫过程，其状态空间
E {0,1,2, } 或为有限子集。令
pi (0) P{X (0) i}, i E
且对任意的
iE
，均有
(1)
pi
(0)
0
(2)
p
iE
(0)
i
1
(0) { p 则称 i , i E} 为该马尔科夫过程的初始分布，
k 0
pkj (t ) kj t
t 0
pik (t )qkj
k 0
N
证明2
dpij (t ) dt
lim
pij (t t ) pij (t ) t
t 0
lim
p
k 0
N ik
N
ik
(t ) pkj (t ) pij (t ) t
t 0
j 1
N
j 1, 2,...N
(2)
满足条件
(1)p j 0,
pj 1
j 1
N
的唯一解
注：此定理给出了求极限分布(平稳分布)的方法
科尔莫哥洛夫向前方程
dpij (t ) dt pik (t )qkj , i, j 0,1, 2,...N
k 0 N
科尔莫哥洛夫向后方程
dpij (t ) dt qik pkj (t ), i, j 0,1, 2,...N
k 0 N
注：无限马尔科夫过程也有类似结论
证明： dpij (t )
lim pij (t ) p j , i, j E
t
存在且与 i 无关，则称此马尔科夫链具有遍历性 此时，若满足 则称
p j 0,
p
j
j
1
p j , j E 为转移概率函数的极限分布
遍历性
说明1： 若马尔科夫过程为有限状态的，显然有，
lim pij (t ) lim pij (t ) p j 1
科尔莫哥洛夫向前和向后方程
1、速率函数 设 X (t), t (0, ) 是状态有限的马尔科夫过程， 1, i j 若 lim pij (t ) ij t 0 0, i j
t 0
lim
pij (t ) ij t
qij , i, j 0,1,...N
性质(3)的证明：
qij =
j 0
N
j 0
N
t 0
lim
pij (t ) ij t p ( Nhomakorabea )
= lim
t 0 j 0 ij j 0
N
N
ij
t
=0
定理 设随机连续状态有限马尔科夫过程的转移 概率函数为 pij (t ) ，速率函数为 qij ，则有
满足
P{X tm s j | X (t1 ) i1, X (t2 ) i2 , ..., X (tm ) im}
P{X tm s j | X (tm ) im}
则称 { X n } 为马尔科夫过程。
2、转移概率及性质
pij (t, t s) P{X t s j | X (t ) i}, t 0, s 0
i t i
即
lim p
t
(t ) j
pj
即：绝对概率的极限与转移概率的极限相同
定理 对有限马尔科夫过程，如果存在正数 t0 0 ， 使得 pij (t0 ) 0, i, j 1, 2,...N
则此链是遍历的，
且极限分布
p ，j 1, 2,...N
j
是方程组
p j pi pij ,
p ,
j
j 1, 2,...N
不一定构成一个概率分布
无限状态的遍历的马尔科夫过程不一定存在极限分布， 只有其极限概率构成概率分布时才存在极限分布
绝对概率的极限
lim p(jt ) lim pi(0) pij (t )
t t i
pi(0) lim pij (t ) pi(0) p j p j
1, i j pij (0)= ij 0, i j
3
切普曼-柯尔莫哥洛夫方程（C-K方程）
，有
转移概率之间有如下关系: 对 t 0, s 0
pij ( s t ) pir ( s) prj (t ), i, j 0,1, 2...
r
4 初始分布与绝对分布 （1）初始分布
'
称 qij 为速率函数，即 qij p (0 )
速率函数刻画了过程的转移概率函数在零时刻 对时间的变化率
2、速率函数的性质
(1) qii 0, i 0,1,...N
(2) qij 0, i j, i, j 0,1,...N
(3)
q
j 0
N
ij
0， i 0,1,...N
也称初始概率。初始概率是在初始时间 t 0 时处 于状态i的概率。
（2）绝对分布 当 t 0 时，取各状态的概率称为绝对概率或绝对分布。
设
X (t), t (0, )
为一马尔科夫过程，其状态空间 E {0,1,2, } 或为有限子集。令
pi (t ) P{X (t ) i}, i E
马尔科夫过程
1、马尔科夫过程的定义 定义：设时间连续状态离散的随机过程 X (t ), t (0, ) 其状态空间 E {i1 , i2 , , iN ,...} ，若对任意整数m
i1,i2 , ..., im , j E 任意m个时刻 t1, t2 ,...tm , 及任意正数s，
lim
N
p
k 0
(t ) pkj (t ) ik pkj (t )
k 0
N
t 0
t
N pik (t ) ik (lim ) pkj (t ) qik pkj (t ) t 0 t k 0 k 0
遍历性
定义 若马尔科夫过程转移概率的极限
且对任意的 i E 均有
(1)
pi (t ) 0
(2)
p (t ) 1
iE i
则称 { pi (t ), i E} 为绝对分布，也称绝对概率。 绝对概率由初始分布和相应的转移概率唯一确定。
p j (t ) P{X (t ) j} pi pij (t )
(0) iE