随机过程Ch5-连续时间的马尔科夫链
5马尔可夫链(精品PPT)
pij P( X n 1 j X n i ) P( f i, Yn 1 j ) P( f i, Y1 j )
二、切普曼-柯尔莫哥洛夫方程
1，随机矩阵 定义：称矩阵A=(aij)S×S为随机矩阵，若aij ≥0，且
i S , 有 aij 1
例5 Polya（波利亚）模型
罐中有b只黑球及r只红球，每次随机地取出一只后 把原球放回，并加入与抽出球同色的球c只，再第二次 随机地取球重复上面步骤进行下去，{Xn=i}表示第n回 摸球放回操作完成后，罐中有i只黑球这一事件，所以
i b r nc , i P X n 1 j X n i 1 , b r nc 0,
x
j i 1
( j i 1)!
dG x ,
j i 1, i 1 其它
Pij 0,
例3 G / M /1排队系统 来到时间间隔分布为G，服务时间分布为指数分布，参 数为 ，且与顾客到达过程独立。 Xn-----第n个顾客来到时见到系统中的顾客数（包括 该顾客），则{Xn，n≥1}是马尔可夫链。记
jS
显然马尔可夫链{Xn,n≥0}的一步转移概率矩阵P为 随机矩阵。 2，n步转移概率 定义：设{Xn,n≥0}是一马尔可夫链，称
n pij P X n m j X m i ,
n 0, i, j 0
为马尔可夫链{Xn,n≥0}的n步转移概率。记
i (n) P X n i ,
j ic j i else
这是一个非齐次的马尔可夫链，在传染病研究中有用。
下面的定理提供了一个非常有用的获得马尔可夫链的方 法，并可用于检验一随机过程是否为马尔可夫链。
随机过程中的马尔可夫链理论
随机过程中的马尔可夫链理论随机过程是概率论中的一个重要分支，研究时间上的变化不确定性。
马尔可夫链是随机过程中的一种特殊形式，它具有马尔可夫性质，即未来状态只依赖于当前状态，与过去状态无关。
在本文中，我们将深入探讨随机过程中的马尔可夫链理论。
一、马尔可夫链的定义马尔可夫链是一种离散随机过程，它由一系列的状态和状态转移概率组成。
设S={S1, S2, ...}为状态空间，P={Pij}为状态转移概率矩阵，其中Pij表示从状态Si到状态Sj的概率。
马尔可夫链满足以下两个条件：1) 转移概率只与当前状态有关；2) 对于任意状态Si，状态转移概率之和等于1。
二、马尔可夫链的性质1. 马尔可夫性质由定义可知，马尔可夫链具有马尔可夫性质，即未来状态只与当前状态有关，与过去状态无关。
这一性质使得马尔可夫链在建模和分析中具有较大的灵活性。
2. 随机游走马尔可夫链可以看作是一种随机游走的过程。
在状态空间S中，根据状态转移概率进行转移，从而实现状态之间的随机变动。
通过研究随机游走的路径和特性，可以揭示马尔可夫链的一些重要特性。
3. 平稳分布对于某些马尔可夫链，存在一个平稳分布使得在长时间模拟中，状态分布趋于稳定。
这一性质在实际应用中广泛使用，例如在排队论、金融风险管理等领域。
三、马尔可夫链的应用1. 自然语言处理马尔可夫链在自然语言处理中得到广泛应用，特别是在文本生成和语音识别方面。
通过学习语料库中的转移概率，可以生成新的语句或者识别语音中的词组。
2. 生物信息学在DNA和蛋白质序列的分析中，马尔可夫链可以用于模拟和预测相关的状态变化。
通过构建转移矩阵，可以研究序列中的概率事件和模式。
3. 市场分析马尔可夫链在市场分析中具有较大的潜力。
通过研究股票价格或者交易策略的状态转移，可以辅助投资决策和风险管理。
四、马尔可夫链的改进为了更好地描述现实世界中复杂的系统和过程，研究者们对传统的马尔可夫链进行了改进。
例如，高阶马尔可夫链能够捕捉更长期的状态依赖性；隐马尔可夫模型则能够处理观测序列的概率计算问题。
Ch5 连续时间的Markov链
Th.5.4 (Kolmogorov后方程) 假设 qij =qii ,
j i
则i, j及t 0,有 pij (t )= qik pkj (t ) qii pij (t ).
k i
Th.5.5(Kolmogorov前方程) 在适当的正则条件下 pij (t )= pik (t )qkj pij (t )qij .
(1) 在转移到另一状态之前处于状态 i 的时间服从参数 为 vi 的指数分布 (2) 当过程离开状态 i 时,接着以概率 pij 进入状态 i ,
p
j i
ij
1
当 vi 时, 称状态 i 为瞬时状态,因为过程一进入此 状态就立即离开. 当 vi 0时, 称状态 i 为吸收状态, 过程一进入此状态就永远不再离开了.
j i
(1) 对无限齐次MP,只有 qii qij
j i
(2) 对有限状态I {0,1, , n}，定义 q00 q01 qij q10 q11 Q矩阵 q ji qnn 矩阵的每一行元素之和为0, 对角线元素为负或0 问题: 如何由Q矩阵求出转移矩阵.
Th.5.2 齐次MP有下列性质： (1) p j (t ) 0; (2)
p (t ) 1;
jI j iI
(3) p j (t ) pi pij (t ); (4) p j (t ) pi (t ) pij ( );
iI
(5) P ( X (t1 ) i1 , , X (tn ) in )
定义.5.2 若(5.2)式的转移概率与s无关,则称连续时间 Markov链具有平衡的或齐次的转移概率, 此时转移 概率简记为:pij ( s, t ) pij (t ) 注:下面仅讨论齐次Markov过程(MP)
第五章 连续时间马尔可夫链-随机过程
二、连续时间马尔可夫链的状态逗留时间和转移速率 命题 以 i 记过程在转移到另一状态之前停留在状态 i 的时 间，则对一切 s，t0 有 P{ i t s | i s} P{ i t } ，因此， 随机变量 i 是无记忆的必有指数分布，其参数设为 v i
证明： P{ i t s | i s}
P{T1 t } 1 e t
P{T1 T2 t } P{T1 T2 t | T1 x } e t dx
0 t
= (1 e 2 ( t x ) ) e x dx (1 e t )2
0
t
P{T1 T2 T3 t } P{T1 T2 T3 t | T1 T2 x }dFT1 T2 ( x )
i 1 n
其中 f 是密度函数(5.3.2)
e (t x) ,0 x t f ( x) 1 et 0, 其它
但因为(5.3.1)是 n 个密度为 f 的随机变量的子样 Y1,Y2,, Yn 的顺序统计量 Y(1),Y(2),, Y(n)的联合密度函数。于是得 命题 5.3.1 一个尤尔过程，其 X(0)=1，则给定 X(t)=n+1 时，出生时刻 S1,S2,, Sn 的分布如同取自密度为(5.3.2)的母体的容量为 n 的子 样 Y1,Y2,, Yn 的顺序统计量 Y(1),Y(2),, Y(n)的分布。
0 1 2 3
…Байду номын сангаас
n
n
2
3
… (n 1)
若对一切 n， n 0 (即若死亡是不可能的)，则生灭过程称为纯 生过程，i 个个体开始的纯生过程，生长率为 n , n i 。
随机过程课件-马尔可夫链
对于不可约的马尔可夫链，其极限分 布是遍历的，即极限分布与初始状态 无关。
05
马尔可夫链的模拟与实现
随机数生成
伪随机数生成器
使用数学公式和种子值生成一系列近似 随机的数列。
VS
真随机数生成器
利用物理现象（如电路噪音）产生真正的 随机数。
马尔可夫链蒙特卡洛方法
采样分布
通过多次重复模拟马尔可夫链的路径来估计 某个事件的概率或某个参数的值。
收敛性
随着模拟次数的增加，估计值逐渐接近真实 值。
马尔可夫链在决策分析中的应用
要点一
决策树
要点二
强化学习
将马尔可夫链应用于决策分析中，帮助决策者评估不同策 略的风险和收益。
在强化学习中，马尔可夫链用于描述环境状态转移和奖励 函数。
06
马尔可夫链的扩展与改进
时齐马尔可夫链
定义
时齐马尔可夫链是指时间 参数为离散的马尔可夫链 ，其状态转移概率不随时 间而变化。
遍历性是马尔可夫链达到平稳分布的必要条件之一，也是判 断马尔可夫链是否具有唯一平稳分布的重要依据。
03
马尔可夫链的转移概率
转移概率的定义与性质
定义
马尔可夫链中，给定当前状态$i$，未来状态$j$在某个时间步长内发生的概率称为转移 概率，记作$P(i,j)$。
性质
转移概率具有非负性、归一性和时齐性。非负性指$P(i,j) geq 0$；归一性指对于每个 状态$i$，所有可能转移到该状态的转移概率之和为1，即$sum_{ j} P(i,j) = 1$；时齐性
周期性会影响马尔可夫链的平稳分来自的性质和计算。状态空间的分解
状态空间的分解是将状态空间划分为若干个子集，每个子集内的状态具有相似的 性质和转移概率。
随机过程Ch5-连续时间的马尔可夫链
推论：对有限齐次马尔可夫过程，有
qii qij ji
称该马尔可夫过程为保守的。
证： pij (h) 1 1 pii (h) pij (h)
jI
ji
lim1
h0
pii (h) h
lim h0
ji
pij (h) h
qij
ji
即 qii qij 状态空间有限 ji
若状态空间为I 1，2,, N有限，
为的指数变量，而在回到状态0之前，它停留 在状态1的时间是参数为的指数变量。显然该
马氏链是一个齐次马氏链。
其状态转移概率为：
p01h p10 h
h h
0h 0h
由指数分布的无后效性得到。
理由如下：设正常工作为0状态，故障为1状态。
设器件寿命X服从参数为的指数分布。
f
x
ex
,
x0
0, x 0
则器件在0, t 正常工作，即寿命超过t的概率为： PX t exdx et
t
已知器件用了t小时，器件寿命超过t h，
即在t,t h器件不坏的概率为：
p00h PX t h / X t
PX
t h, X
PX t
t
PX PX
t h t
eth eh 1 h 0h
互通：i j i j，j i。 若所有状态都是互通的，则称此马尔可夫链 为不可约的。
定理5.7 设连续时间马尔可夫链是不可 约的，则有下列性质：
(1)若它是正常返的，则极限 lim t
pij (t)
存在
且等于j >0，jI。这里j 是
jq jj kqkj,
j 1
k j
jI
的唯一非负解，此时称{j >0，jI}是该
随机过程 马尔可夫链
随机过程马尔可夫链随机过程是研究随机事件在时间和空间上的变化规律的数学模型。
而马尔可夫链是随机过程的一种，它的特别之处在于，当前时刻的状态只与前一时刻的状态有关，而与其它时间的状态无关。
现在，让我们来详细了解一下随机过程与马尔可夫链。
一、随机过程随机过程实际上就是由一系列随机变量组成的，这些随机变量的取值是在某些规定的时间或空间上进行的。
它是一个随机事件的序列或集合，因此其本质是一种时间或空间上的随机演化。
二、马尔可夫链马尔可夫链是一种特殊的随机过程，其特征在于它只与其前一状态有关。
其实，马尔可夫链是一种转移概率的数学模型，它描绘了系统从一个状态到另一个状态的转移概率，而这些概率只与前一时刻的状态有关。
马尔可夫链的形式化描述就是一个状态空间和一个转移矩阵。
这里，状态空间可以是任意形式的集合，而转移矩阵则是一个矩阵，其每个元素表示从一个状态到另一个状态的概率。
三、马尔可夫链的性质马尔可夫链具有多种性质：1、马尔可夫性质：当前时刻的状态只与前一时刻的状态有关。
2、无记忆性质：其将来的状态与过去的状态无关。
3、多步转移概率：马尔可夫链具有的多步转移概率与初始状态无关。
4、周期性：若马尔可夫链从一个状态出发始终无法到达其它状态，可以说其为周期性的。
四、应用1、生物统计：马尔科夫链应用到多态遗传研究。
2、分子动力学：马尔可夫链应用到高分子链的构象和动力学研究。
3、自然语言处理：将一个英文句子转化为标签序列可以看做是一个马尔可夫链。
总之，随机过程和马尔可夫链是最基础的统计学习模型。
它们在多个领域都有广泛的应用，如金融、医学、工业等。
深刻了解它们的特性和应用将有助于我们更好地理解大量数据背后的规律。
随机过程中的马尔可夫链
随机过程中的马尔可夫链随机过程是描述随机演化的数学模型。
其中，马尔可夫链是一种广泛应用于许多领域的随机过程。
马尔可夫链具有马尔可夫性质，即未来的演化仅依赖于当前状态，而与历史状态无关。
本文将介绍马尔可夫链的基本概念和特性，并探讨其在不同领域中的应用。
一、马尔可夫链的定义马尔可夫链是一个离散状态的随机过程，其转移概率只与当前状态有关，与历史状态无关。
具体而言，设S为状态空间，P为状态转移概率矩阵，则对于任意的状态i和j，转移概率满足条件P(i, j) ≥ 0，且对于任意的i，ΣP(i, j) = 1。
二、马尔可夫链的特性1. 马尔可夫性质：马尔可夫链的核心特性是马尔可夫性质，即未来的状态只与当前状态有关。
这一性质使得马尔可夫链具有一种"无记忆"的特点，使得其在很多问题中提供了简化假设的可能。
2. 连通性：如果对于任意的状态i和j，存在一系列状态k1, k2, ..., kn，使得从状态i出发，通过这些状态最终能够到达状态j，则称该马尔可夫链是连通的。
3. 遍历性：如果从任意一个状态出发，经过有限步骤，能够回到该状态，则称该马尔可夫链是遍历的。
4. 非周期性：如果从任意一个状态出发，经过有限步骤，能够回到该状态的概率为1，则称该马尔可夫链是非周期的。
三、马尔可夫链的应用1. 自然语言处理：马尔可夫链被广泛应用于自然语言处理领域，用于语言模型的建模。
通过分析文本数据中的词语之间的转移概率，可以生成具有一定连贯性的文本。
2. 金融市场：马尔可夫链在金融市场中的应用较为广泛。
通过分析过去的市场数据，可以构建马尔可夫链模型，预测未来的市场状态，用于投资决策和风险管理。
3. 生物信息学：马尔可夫链在DNA序列分析和蛋白质结构预测等生物信息学问题中得到了应用。
通过建立马尔可夫链模型，可以推断基因序列中的隐藏状态和转移概率，进而揭示生物系统的运作机制。
4. 推荐系统：马尔可夫链在推荐系统中也有一定的应用。
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5.1 连续时间马尔可夫链
另一方面
P{ X (t n 1 ) in 1 | X (t n ) in }
P{ X (tn 1 ) X (t n ) in 1 in | X (t n ) X (0) in } P{ X (tn 1 ) X (t n ) in 1 in }
4
5.1 连续时间马尔可夫链
证(1) 事实上 i 0 i s t i s+t i
i
{ i s} {X (u) i ,0 u s | X (0) i}
{ i s t} { X (u) i ,0 u s, X (v ) i , s v s t | X (0) i}
（固定最后状态 j 时用）
k i
k i
• 定理5.5 (柯尔莫哥洛夫向前方程) 在适当的正则条件下有
p ij (t ) pik ( t )qkj pij (t )q jj
k j
（固定状态 i 时用， 有限或生灭过程适用）
21
5.2 柯尔莫哥洛夫微分方程
注： 向后方程的矩阵形式：P (t)=QP(t) 向前方程的矩阵形式：P (t)=P(t)Q
pij (t ) 0
p (t ) 1
jI ij
pij (t s) pik (t ) pkj ( s)
kI
9
5.1 连续时间马尔可夫链
•
定理5.1 齐次马尔可夫过程的转移概率 具有下列性质： (1) pij(t)0;（非负性） (2)
p
jI
ij
(t ) 1; （行和为1）
i i i i
8
正则性 时间 离散
p p
(0) ii (0) ij
分布律
(n) pij 0,
转移方程
( n) ( l ) ( n l ) pij pik pkj kI
1, 0(i j )
jI
(n) pij 1
时间 连续
1 , i j lim pij (t ) t 0 0 , i j
(5)P{ X (t1 ) i1 , , X (t n ) in }
iI
iI
pi pii1 (t1 ) pi1i2 (t 2 t1 ) pin1in (t n t n1 )
13
5.1 连续时间马尔可夫链
• 例5.1 证明泊松过程{X(t), t0}为连续时 间齐次马尔可夫链。 证 先证泊松过程的马尔可夫性。 泊松过程是独立增量过程，且X(0)=0，对 任意0<t1< t2<< tn< tn+1有
5.1 连续时间马尔可夫链
定义5.2 齐次转移概率 pij(s,t)=pij(t) (与起始时刻s无关，只与时间间隔t有关)
• 转移概率矩阵P(t)=(pij(t)) ，i,jI，t 0 ，称为 齐次马尔科夫过程 性质：若i为过程在状态转移之前停留在状态 i的时间，则对s, t0有 (1) P{ i s t | i s} P{ i t} (2) i 服从指数分布
12
5.1 连续时间马尔可夫链
• 定理5.2 齐次马尔可夫过程的绝对概率及有限 维概率分布具有下列性质：
(1) pj(t)0
jIห้องสมุดไป่ตู้j
p (t ) 1 (2) (3) p (t ) p p (t ) (4) p j (t ) pi (t ) pij ( )
j iI i ij
• 定义5.3 (1)初始概率 p j p j (0) P{X (0) j}, j I (2)绝对概率 p j (t ) P{X (t ) j}, j I , t 0
(4)绝对分布 p (t ) , j I
(3)初始分布 p j , j I
j
t 0
(3) pij (t s)
p
kI
ik
(t ) pkj ( s) （C-K方程）
10
5.1 连续时间马尔可夫链
• 注：
1 , i j lim pij (t ) t 0 0 , i j
此为转移概率的正则性条件。
含义：过程刚进入某状态不可能立即 跳跃到另一状态。
11
5.1 连续时间马尔可夫链
P { i s t } P { i s } P { i t } G ( s t ) G ( s )G (t )
由此可推出G(x)为指数函数，G(x)=e-x, 则F(x)=1-G(x)=1-e-x为指数分布函数。
7
5.1 连续时间马尔可夫链
• 过程在状态转移之前处于状态i的时间i 服从指数分布 F ( x) 1 e i x i F ( x) 1, P{ i x} 1 F ( x) 0, (1)当i=时， 状态i的停留时间i 超过x的概率为0，则 称状态i为瞬时状态； F ( x) 0, P{ i x} 1 F ( x) 1, (2)当i=0时， 状态i的停留时间i 超过x的概率为1，则 称状态i为吸收状态。
qii qij
ji
19
5.2 柯尔莫哥洛夫微分方程
• 若连续时间齐次马尔可夫链具有有限状 态空间I={0,1,2,,n}
q00 q10 Q qn 0 q01 q11 qn1 q0 n Q0 q1n Q1 qnn Qn
所以 P{X (tn1) in1 | X (t1) i1,, X (tn ) in} P{X (tn1) in1 | X (tn ) in}
即泊松过程是一个连续时间马尔可夫链。
15
5.1 连续时间马尔可夫链
P{ X ( s t ) j | X ( s) i} P{ X ( s t ) X ( s) j i} e t (t ) j i ( j i )!
再证齐次性 当j i时，
当j<i时,因增量只取非负整数值,故pij(s,t)=0， 所以 t ( t ) j i
, ji e pij ( s, t ) pij (t ) ( j i )! 0 , j i
转移概率与s无关，泊松过程具有齐次性。
16
5.2 柯尔莫哥洛夫微分方程
问题：能否由Q可求转移概率？
20
5.2 柯尔莫哥洛夫微分方程
用Q解微分方程求转移概率pij (t)的方法 • 定理5.4 (柯尔莫哥洛夫向后方程) 假设 qii qik ，则对一切i, j及t 0，有
(t ) qik pkj (t ) qii pij (t ) Qi Pj pij
17
5.2 柯尔莫哥洛夫微分方程
• 定理5.3 设pij(t)是齐次马尔可夫过程的 转移概率，则下列极限存在 1 pii (t ) (1) lim i qii t 0 t pij (t ) (2) lim qij , j i t 0 t 称为齐次马尔可夫过程从状态i到状态j 的转移速率（跳跃强度）。
P{ X (t n1 ) in1 | X (t1 ) i1 ,, X (t n ) in } P{ X (t n1 ) X (t n ) in1 in | X (t1 ) X (0) i1 , X (t 2 ) X (t1 ) i2 i1 ,, X (t n ) X (t n1 ) in in1} P{ X (t n1 ) X (t n ) in1 in }
18
5.2 柯尔莫哥洛夫微分方程
推论（1）对有限齐次马尔可夫过程，有
qii =∑qij < ∞
j≠i
转移速率矩阵为
q00 q01 q q11 10 Q qn1 qn 0
q0 n q1n qnn
行和为0，任意i, jI，qij ≥0 （2）对 I无限齐次马尔可夫过程，有 （行和非正）
5.2 柯尔莫哥洛夫微分方程
定理5.6 齐次马尔可夫过程在t时刻处于状 态jI的绝对概率pj(t) 满足方程：
pj (t ) pk (t )qkj p j (t )q jj
k j
23
5.2 柯尔莫哥洛夫微分方程
• 定义5.4 设pij(t)是连续时间马尔可夫链的转 移概率，若存在时刻t1和t2，使得 pij(t1)>0， pji(t2)>0，则称状态i与j是互通 的。 若所有状态都是互通的，则称此马 尔可夫链为不可约的。
24
5.2 柯尔莫哥洛夫微分方程
• 定理5.7 设连续时间马尔可夫链是不可 约的，则有下列性质： pij (t )存在 (1)若它是正常返的，则极限 lim t 且等于j >0，jI。这里j 是 j q jj k qkj , j 1
k j jI
的唯一非负解，此时称{j >0，jI}是该 p j (t ) j 过程的平稳分布，并且有lim t (2)若它是零常返的或非常返的，则
5
5.1 连续时间马尔可夫链
P{ i s t | i s} P{ X (u ) i, 0 u s, X (v) i, s v s t | X (u ) i, 0 u s} P{ X (v) i, s v s t | X (u ) i, 0 u s} 条件概率 P{ X (v) i, s v s t | X ( s ) i} 马尔可夫性 P{ X (u ) i, 0 u t | X (0) i} P{ i t}
• 引理5.1 设齐次马尔可夫过程满足正则 性条件 1 , i j lim pij (t ) t 0 0 , i j