第一章 有限差分方法
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《有限差分方法基础》课件
应用前景
总结了有限差分方法在科学计算、工程仿真、金融建模等 领域的应用前景，以及在未来的发展趋势和挑战。
展望
技术发展
展望了有限差分方法在未来的技术发展趋势，如高精度、高效率、并 行化等，以及与其他数值方法的结合应用。
应用领域拓展
探讨了有限差分方法在解决复杂问题中的应用潜力，如多物理场耦合 、非线性问题等。
有限差分方法的重要性
有限差分方法是一种通用、有效的数 值计算方法，适用于各种微分方程的 求解，尤其在偏微分方程的数值求解 中应用广泛。
它能够处理复杂的边界条件和初始条 件，提供精确度和稳定性较高的数值 解，是科学研究、工程技术和实际应 用中常用的数值计算工具之一。
有限差分方法的历史与发展
有限差分方法最早可以追溯到19世纪中叶，随着计算机技术的发展，有限差分方 法得到了广泛的应用和发展。有限差分方法的实现有限差分方法的编程实现
编程语言选择
选择适合的编程语言，如Python、C或Matlab，以 便高效地实现有限差分方法。
离散化过程
将连续的问题离散化，将连续的时间和空间变量转换 为离散的数值。
迭代过程
使用迭代法逐步逼近问题的解，每一步使用差分公式 进行计算。
有限差分方法的数值稳定性
数值稳定性定义
数值稳定性是指随着迭代次数的增加，解的 数值误差不会无限增大，而是逐渐收敛到真 实解。
稳定性和差分方案的关系
不同的差分方案对应不同的数值稳定性，需要选择 稳定的差分方案以获得可靠的数值结果。
数值稳定性的判定方法
通过分析差分方案的系数矩阵的特征值来判 断数值稳定性，确保特征值在稳定区域内。
理论完善
展望了有限差分方法的理论研究前景，如数学证明、误差估计、收敛 性分析等。
总结了有限差分方法在科学计算、工程仿真、金融建模等 领域的应用前景，以及在未来的发展趋势和挑战。
展望
技术发展
展望了有限差分方法在未来的技术发展趋势，如高精度、高效率、并 行化等，以及与其他数值方法的结合应用。
应用领域拓展
探讨了有限差分方法在解决复杂问题中的应用潜力，如多物理场耦合 、非线性问题等。
有限差分方法的重要性
有限差分方法是一种通用、有效的数 值计算方法，适用于各种微分方程的 求解，尤其在偏微分方程的数值求解 中应用广泛。
它能够处理复杂的边界条件和初始条 件，提供精确度和稳定性较高的数值 解，是科学研究、工程技术和实际应 用中常用的数值计算工具之一。
有限差分方法的历史与发展
有限差分方法最早可以追溯到19世纪中叶，随着计算机技术的发展，有限差分方 法得到了广泛的应用和发展。有限差分方法的实现有限差分方法的编程实现
编程语言选择
选择适合的编程语言，如Python、C或Matlab，以 便高效地实现有限差分方法。
离散化过程
将连续的问题离散化，将连续的时间和空间变量转换 为离散的数值。
迭代过程
使用迭代法逐步逼近问题的解，每一步使用差分公式 进行计算。
有限差分方法的数值稳定性
数值稳定性定义
数值稳定性是指随着迭代次数的增加，解的 数值误差不会无限增大，而是逐渐收敛到真 实解。
稳定性和差分方案的关系
不同的差分方案对应不同的数值稳定性，需要选择 稳定的差分方案以获得可靠的数值结果。
数值稳定性的判定方法
通过分析差分方案的系数矩阵的特征值来判 断数值稳定性，确保特征值在稳定区域内。
理论完善
展望了有限差分方法的理论研究前景，如数学证明、误差估计、收敛 性分析等。
有限差分法
有限差分法
• 1、差分 • 1.1、定义：某个物理量的有限增量。如： ΔT。 • 1.2、引入差分的目的：以有限差分代替无 限微分，以差分方程代替微分方程，以数值 计算代替数学推导的过程，从而将连续函数 离散化，以有限的、离散的数值代替连续的 函数分布。
T(x,y)
T0,4 T0,3 T0,2
T1,4 T2,4 T3,4
y Ti,j
T0,4
T0,3 T0,2 T0,1 T0,0
T1,4 T2,4 T3,4
T4,4
T4,3 T4,2 T4,1
T1,0 T2,0 T3,0 T4,0
x
• • • •
3.2、向前差分：（二维的情况） 3.2.1、一阶差分： ΔTf,i,j=Ti+1,j-Ti,j Δ2Tf,i,j=Ti+2,j-2Ti+1,j+Ti,j
y
一阶差分：x方向
x Ti-2,j Ti-1,j Ti,j Ti+1,j Ti+2,j
y
二阶差分：x方向
x Ti-2,j Ti-1,j Ti,j Ti+1,j Ti+2,j
x
2
y
2
0
• 如方程和边界条件如下，请按等步长0.25， 求解各节点的温度。方程及边界条件如下：
2 2T T 0 , 0 x 1, 0 y 1 2 2 x y T ( 0 , y ) T ( x ,0 ) 0 T ( x ,1) 100 x , x 0 T (1, y ) 100 y , y 0
2
T
2
y
2
T i , j 1 2 T i , j T i , j 1 0 . 25
• 1、差分 • 1.1、定义：某个物理量的有限增量。如： ΔT。 • 1.2、引入差分的目的：以有限差分代替无 限微分，以差分方程代替微分方程，以数值 计算代替数学推导的过程，从而将连续函数 离散化，以有限的、离散的数值代替连续的 函数分布。
T(x,y)
T0,4 T0,3 T0,2
T1,4 T2,4 T3,4
y Ti,j
T0,4
T0,3 T0,2 T0,1 T0,0
T1,4 T2,4 T3,4
T4,4
T4,3 T4,2 T4,1
T1,0 T2,0 T3,0 T4,0
x
• • • •
3.2、向前差分：（二维的情况） 3.2.1、一阶差分： ΔTf,i,j=Ti+1,j-Ti,j Δ2Tf,i,j=Ti+2,j-2Ti+1,j+Ti,j
y
一阶差分：x方向
x Ti-2,j Ti-1,j Ti,j Ti+1,j Ti+2,j
y
二阶差分：x方向
x Ti-2,j Ti-1,j Ti,j Ti+1,j Ti+2,j
x
2
y
2
0
• 如方程和边界条件如下，请按等步长0.25， 求解各节点的温度。方程及边界条件如下：
2 2T T 0 , 0 x 1, 0 y 1 2 2 x y T ( 0 , y ) T ( x ,0 ) 0 T ( x ,1) 100 x , x 0 T (1, y ) 100 y , y 0
2
T
2
y
2
T i , j 1 2 T i , j T i , j 1 0 . 25
有限差分方法
有限差分方法
有限差分方法是数值分析中常用的一种数值计算方法，它主要用于解决微分方
程和积分方程的数值逼近问题。
有限差分方法的基本思想是将微分方程中的导数用差分代替，将微分方程转化为代数方程，然后利用数值计算方法求解代数方程，从而得到微分方程的数值解。
有限差分方法的核心是将求解区域离散化，将连续的求解区域划分为有限个小
区域，然后在每个小区域内利用差分逼近微分方程，得到代数方程。
通过对这些代数方程进行适当的组合和求解，最终得到微分方程的数值解。
有限差分方法有很多种形式，常见的有向前差分、向后差分、中心差分等。
这
些方法在具体应用中有各自的特点和适用范围。
在选择使用哪种有限差分方法时，需要根据具体的问题和求解区域的特点来进行合理的选择。
有限差分方法在实际应用中具有广泛的适用性，它可以用于求解各种类型的微
分方程和积分方程，包括常微分方程、偏微分方程以及积分方程等。
在工程、物理、经济等领域中，有限差分方法被广泛应用于模拟和求解各种实际问题。
在使用有限差分方法时，需要注意选取合适的离散化步长和求解区域的划分方式，这对于最终的数值解的精度和稳定性有着重要的影响。
同时，还需要注意数值计算方法的稳定性和收敛性，避免出现数值解的不稳定或者发散现象。
总之，有限差分方法作为一种常用的数值计算方法，在数值分析和科学计算中
具有重要的地位和作用。
掌握有限差分方法的基本原理和应用技巧，对于解决实际问题和开展科学研究具有重要的意义。
通过不断的学习和实践，可以更好地掌握有限差分方法的使用技巧，提高数值计算的准确性和效率。
有限差分：1 第一章 有限差分法 基础
（4.1-19）
对应的函数值为 f (xi jx) ，则 f(x)在 xi 处的 n 阶差分可表达为
J2
n f (xi ) c j f (xi jx) j J1
（4.1-20）
式中 cj 为给定系数，J1 和 J2 是两个正整数。当 J1=0 时，称为向前差分；当 J2=0 时，称为向后差分；当 J1=J2 且| c j || c j | 时，称为中心差分。函数的 n 阶差分与
差商。
在导数的定义中 x 是以任意方式趋近于零的，因而 x 是可正可负的。在差
分方法中， x 总是取某一小的正数。这样一来，与微分对应的差分可以有 3 种
形式：
向前差分
y f (x x) f (x)
（4.1-2）
向后差分
y f (x) f (x x)
（4.1-3）
中心差分
y f (x 1 x) f (x 1 x)
以及 有关，当 x 和 为常数时， t 也取常数。直线 t=tn 称为第 n 层。网格交 叉点称为结点。
图 4.1-2 差分网格
网格划定后，就可针对某一结点，例如图 4.1-2 中的结点 (xi ,tn ) ，用差商近
似代替导数。现用
(
)
n i
表示（）内函数在
(xi
,
tn
)
点的值（有时括号可省略），则对
可以预见，随着计算机技术的飞速发展，有限差分法将得到更为广泛的应用， 可以为材料成形过程提供全面的、有效的指导。
本章主要讲述有限差分的一些基本知识,包括差分原理及逼近误差，差分方 程，截断误差和相容性，收敛性与稳定性以及 Lax 等价定理等，这些仅仅是有限 差分的入门知识，为后续章节的学习奠定基础。
有限差分基础(白)
f i 1 )
(xi-1,xi)和(xi,xi+1)两区间的一阶导数 差除以Δx得到
f (x)
f (x)
fi+1
fi
fi-1 △x △x
O xi-1 xi xi+1 x
截断误差
对差分公式按泰勒级数展开，可得各自的截断误差E。 • 向前差公式 在x=xi展开得， E=O(△x)； • 向后差公式 在x=xi展开得，E=O(△x)； • 中心差公式 在x=xi展开得， E=O(△x2)； • 二阶导数公式 在x=xi展开得， E=O(△x2)。 可见，后两个公式比前两个公式精度高一阶。 一般地说，当差分公式的截断误差E=O(△x p)时，则称 其具有p阶精度。
P及其六个相邻点
式中，H—内热源，为单位体积内热量产生的速率。
N
I
W
P
E
O
S
利用式
f "(xi )
1 (x)2
( fi1
2 fi
f i 1 )
可得近似式
To 2TP TI TE 2TP TW TN 2TP TS H 0
2
2
2
上式可简化为(三维)
• 给定温度边界 • 换热边界条件
Ti,j = Ts
T x
h(Ts
Ta )
内部导热； 边界换热、 对流或定 温
用T对x的向前差商代替T对x的一阶微商，则 λ(Ti+1,j－Ti,j)/Δx=h(Ti,j– Ta)
或写成 (Bi+1)Ti,j －Ti+1,j =Bi Ta
Bi= hΔx/λ —毕欧数 ； h—表面放热系数，λ—导热系 数，Ta是环境温度；Ti,j—边界节点温度。
有限差分法基本原理
该方法基于差分原理，即用离散点的 差商来代替微商，将微分方程转化为 差分方程，以便于通过代数方法求解。
有限差分法的应用领域
流体力学
用于模拟流体在固定或变形网格 上的流动，如计算流体动力学 （CFD）中的数值模拟。
热传导
用于求解热传导方程，模拟热 量在物体中的传播和分布。
波动传播
用于求解波动方程，如地震波 、声波和电磁波的传播。
有限差分法基本原理
CONTENTS 目录
• 引言 • 有限差分法的基本原理 • 有限差分法的实现 • 有限差分法的优缺点 • 有限差分法的改进方向
CHAPTER 01
引言
有限差分法的定义
有限差分法是一种数值计算方法，通 过将连续的物理量离散化为有限个离 散点上的数值，并建立代数方程来近 似描述物理量随时间和空间的变化规 律。
缺点
精度问题
由于有限差分法采用的是离散化的方法， 因此其精度受到网格大小的影响，网格越
小精度越高，但同时也会增加计算量。
数值耗散误差
在模拟非线性问题时，有限差分法可能会 产生数值耗散误差，导致能量的损失或者
非物理振荡。
数值色散误差
在模拟波动性问题时，有限差分法可能会 产生数值色散误差，导致波的传播速度发 生变化。
常用的离散化方法包括均匀网格、非均匀网格、有限元法等，
应根据实际问题选择合适的离散化方法。
差分近似
Hale Waihona Puke 01差分近似公式根据微分方程的性质，构造差分 近似公式，将微分方程转化为差 分方程。
精度分析
02
03
稳定性分析
分析差分近似公式的精度，确定 其与微分方程的误差大小和分布。
分析差分近似公式的数值稳定性， 确保计算过程中误差不会累积放 大。
有限差分法的应用领域
流体力学
用于模拟流体在固定或变形网格 上的流动，如计算流体动力学 （CFD）中的数值模拟。
热传导
用于求解热传导方程，模拟热 量在物体中的传播和分布。
波动传播
用于求解波动方程，如地震波 、声波和电磁波的传播。
有限差分法基本原理
CONTENTS 目录
• 引言 • 有限差分法的基本原理 • 有限差分法的实现 • 有限差分法的优缺点 • 有限差分法的改进方向
CHAPTER 01
引言
有限差分法的定义
有限差分法是一种数值计算方法，通 过将连续的物理量离散化为有限个离 散点上的数值，并建立代数方程来近 似描述物理量随时间和空间的变化规 律。
缺点
精度问题
由于有限差分法采用的是离散化的方法， 因此其精度受到网格大小的影响，网格越
小精度越高，但同时也会增加计算量。
数值耗散误差
在模拟非线性问题时，有限差分法可能会 产生数值耗散误差，导致能量的损失或者
非物理振荡。
数值色散误差
在模拟波动性问题时，有限差分法可能会 产生数值色散误差，导致波的传播速度发 生变化。
常用的离散化方法包括均匀网格、非均匀网格、有限元法等，
应根据实际问题选择合适的离散化方法。
差分近似
Hale Waihona Puke 01差分近似公式根据微分方程的性质，构造差分 近似公式，将微分方程转化为差 分方程。
精度分析
02
03
稳定性分析
分析差分近似公式的精度，确定 其与微分方程的误差大小和分布。
分析差分近似公式的数值稳定性， 确保计算过程中误差不会累积放 大。
2.有限差分法
有限差分法
主要内容
一． 二． 三．
四． 五． 六．
差分和差商 有限差分格式 不同媒质分界面上的差分格式及定解问题 的差分格式 有限差分法的求解 场强与电、磁积分量的计算 典型算例分析
介绍
有限差分方法是一种微分方法，自上世纪五十年 代以来得到了广泛的应用，该方法概念清晰，方 法简单，直观。虽然其与变分法相结合所形成的 有限元法更有效，但有限差分还是以其固有特点 在数值计算中有其重要地位，是应用最多的一种 数值方法。 为求解由偏微分方程定解问题所构造的数学模型， 有限差分法是将定解区域（场区）离散化为网格 离散节点的集合。并以各离散点上函数的差商来 近似该点的偏导数，使待求的偏微分方程定解问 题转化为一组相应的差分方程。根据差分方程组 解出各离散点处的待求函数值——离散解。
差分与差商
通过泰勒公式分析上面差分精度，在点上的一阶 导数的逼近度可由泰勒公式展开
1 2 '' f ( x0 h) f ( x0 ) hf ( x0 ) h f ( x0 ) 2! 1 2 '' ' f ( x0 h) f ( x0 ) hf ( x0 ) h f ( x0 ) 2!
i-1
i+1
不同媒质分界面上的差分格式
把前面的 a1 ＋ a 4 和 呈对角线的差分格式：
b 2
＋ b 3 代入上式，得网格线
1 2 2K K 2 0 (b1 b 4 ) (a 2 a 3 ) h Fa 4 1 K 1 K 1 K
对M、N结点应用线性插值
a
N 3
L 2 0 4 M i j+1 1 1 j
主要内容
一． 二． 三．
四． 五． 六．
差分和差商 有限差分格式 不同媒质分界面上的差分格式及定解问题 的差分格式 有限差分法的求解 场强与电、磁积分量的计算 典型算例分析
介绍
有限差分方法是一种微分方法，自上世纪五十年 代以来得到了广泛的应用，该方法概念清晰，方 法简单，直观。虽然其与变分法相结合所形成的 有限元法更有效，但有限差分还是以其固有特点 在数值计算中有其重要地位，是应用最多的一种 数值方法。 为求解由偏微分方程定解问题所构造的数学模型， 有限差分法是将定解区域（场区）离散化为网格 离散节点的集合。并以各离散点上函数的差商来 近似该点的偏导数，使待求的偏微分方程定解问 题转化为一组相应的差分方程。根据差分方程组 解出各离散点处的待求函数值——离散解。
差分与差商
通过泰勒公式分析上面差分精度，在点上的一阶 导数的逼近度可由泰勒公式展开
1 2 '' f ( x0 h) f ( x0 ) hf ( x0 ) h f ( x0 ) 2! 1 2 '' ' f ( x0 h) f ( x0 ) hf ( x0 ) h f ( x0 ) 2!
i-1
i+1
不同媒质分界面上的差分格式
把前面的 a1 ＋ a 4 和 呈对角线的差分格式：
b 2
＋ b 3 代入上式，得网格线
1 2 2K K 2 0 (b1 b 4 ) (a 2 a 3 ) h Fa 4 1 K 1 K 1 K
对M、N结点应用线性插值
a
N 3
L 2 0 4 M i j+1 1 1 j
有限差分法的原理与计算步骤
一、有限差分法的原理与计算步骤
1.原理
基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点;把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似;把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。
然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。
2. 计算步骤
在采用数值计算方法求解偏微分方程时，若将每一处导数由有限差分近似公式替代，从而把求解偏微分方程的问题转换成求解代数方程的问题，即所谓的有限差分法。
有限差分法求解偏微分方程的步骤如下：
（1）区域离散化，即把所给偏微分方程的求解区域细分成由有限个格点组成的网格；
（2）近似替代，即采用有限差分公式替代每一个格点的导数；
（3）逼近求解。
换而言之，这一过程可以看作是用一个插值多项式及其微分来代替偏微分方程的解的过程
二、有限差分法的程序流程图。
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二维函数的泰勒展式：
55
几种拉普拉斯算子的差分格式
五点式差分方案一
57
58
59
五点式差分格式一：
五点式差分方案二
62
拉普拉斯算子的九点差分格式
4 1
4
1 对以上八点，将二维泰 勒展开在这八点上，
并根据距离的不同给
予不同的权重，做以
4
下组合:
1
1
4
§3 雅可比算子
雅可比算子经常出现在平流项中，如涡度方程 ，位势倾向方程和ω方程中:
测量要素 气温
测量范围 -50～+50℃
相对湿度
0～100％
气压 风向
500～1100hPa（任 意200hPa）
0～360°
风速
0～60m/s
降水 日照
雨强 0～4mm/min
0～24h
蒸发
0～100mm
地温
总辐射 净辐射 直接辐射
-50～+80℃
0～2000W/m2 -200～1400W/m2
诊断方程的形式应便于计算，使计算在允许的 精度范围内越简单越好
微分形式的诊断方程用差分近似地代替，将其 转化成计算数学表达式，然后编程计算得出物 理量的三度空间分布
授课内容
第一章 有限差分方法 第二章 温湿特征参量的计算 第三章 运动学特征参量的计算 第四章 由风场计算速度势、流函数和高度场 第五章 大尺度水汽、涡度收支的计算 第六章 稳定度的计算
雅可比算子的差分形式
上述格式会在数值预报中引起计算不稳 定
网格距大小的涡旋会有伸长现象
原因：在有限区域内没有构成总动能和 涡度 平方平均值守恒
Arakawa的雅可比差分方案
(i-1,j+1)
(i,j+1)
(i+1,j+1)
(i-1,j) (i-1,j-1)
(i,j) (i,j-1)
(i+1,j) (i+1,j-1)
•选取差分格距时必须考虑到计算对象的空间尺度 •格距越小其相对误差也越小 •越低阶的差分方案对格距的要求就越高
气象上一般要求差分计算值的相对误差不超过10%
例如：计算对象的波长L=1000km, 计算一阶微商 若采用二阶精度的差分方案（中央差）：Δx ≤ 123km 若采用四阶精度的差分方案（五点式）：Δx ≤ 209km
基本气象站
简称基本站。 是根据全国气 候分析和天气 预报的需要所 设置的气象观 测站，大多担 负区域或国家 气象信息交换 任务，是我国 天气气候站网 中的主体。
基准气候站
简称基准站。是 根据国家气候区 划，以及全球气 候观测系统的要 求，为获取具有 充分代表性的长 期、连续气候资 料而设置的气候 观测站，是国家 气候站网的骨干。 必要时可承担观 测业务试验任务。
第一章 有限差分方法
§1.1 简单的有限差分公式 §1.2 拉普拉斯算子 §1.3 雅可比算子 §1.4 差分方程的精确性问题
26
§1 简单有限差分公式
若函数f(x) 在含有X0的某展开区间（a,b）内有直到n+1阶导数，则 当x在(a,b)内时，
理论上其展开式是精确成立的，各种差分公式都是由泰勒展开式来构成的
3
课程简介
➢ 诊断分析方法是现代天气学研究和业务工作中常用方 法，是加深认识天气系统及其发生、发展过程的一种 重要途径，是当前天气工作者必须掌握的基本技能。
➢ 它用各种实测资料，结合适当的热力学和动力学方程 ，对所关心的物理量或有关的诊断方程中的各项进行 计算，对天气演变过程中伴随的各种物理过程或某一 物理过程中起作用的各个方面作出定量的估计和解释 。
➢ 它可应用于大气科学中的各个领域，如气候诊断分析 ，大气环流模式和天气预报模式的诊断分析以及物理 量场的诊断分析等等。
4
天气图分析的优点与问题
优点：图像直观，容易理解 存在的问题： 带有一定的人为主观性 不能分析复杂天气演变的物理原因 分析的项目与大气动力学原理相差甚远
天气诊断分析的优点与问题
优点：完全在天气动力学理论的指导下计算分析影响 天气过程的各种物理因子，所得结果定量、客观 存在的问题： 所用资料存在观测误差 所用资料存在代表性误差 差分计算方法的误差 （截断误差）
诊断分析的前期准备工作：
1.熟练使用Fortran程序语言 2.掌握物理量的计算方法 3.熟悉所用的资料 常见的大气再分析资料：
计算值的有效位数可能有两位。
85
四阶精度的一阶微商差分方案（五点式）
以略去的第一项计算，其相对误差为
如果
=1，则相对误差为1/30=3% , 计算值的有效位数
可能有两位；
如果
=1/2，则相对误差为0.002=0.2%，计算值的有效
位数可能有三位。
86
选取差分格距的原则：
必须取 < 1, 即
1. 一阶微商的几种差分方案
29
30
两点式差分方案及其精度
截断误差：取决于泰勒展式中 被略去的第一项的量级
（向前差分方案） （向后差分方案）
三点式差分方案及其精度 （1.1.1）-（1.1.2）
（中央差分方案）
32
33
两点式和三点式的几何意义
五点式差分方案
（1.1.1）-（1.1.2）：
An Introduction to Dynamic Meteorology，Academic Press， James R. Holton, 2004；
天气分析预报物理量计算基础，气象出版社，刘健文，郭虎，李耀东，刘还 珠，吴宝俊主编，2005；
天气学原理和方法，气象出版社，朱乾根，林锦瑞、寿绍文、唐东昇编著， 2007；
x 2
12 dx4
x
A(x x) 2 A(x) x 2
A(x x)
o(x 2 )
二阶精度
五点式差分方案
（1.1.1）+（1.1.2）移项整理 可得：
(a)
（1.1.3）+（1.1.4）移项整理 可得：
(b)
4/3(a) – 1/3 (b):
41
截断误差：
四阶精度
(a)
（1.1.3）-（1.1.4）：
(b)
35
4/3(a) – 1/3 (b):
36
j (1,1) i
(m,n)
38
二阶微商的几种差分方案
三点式差分方案
（1.1.1）+（1.1.2）
d2A
dx 2 x
A(x x) 2 A(x) A(x x) 1 d 4 A x 2
的条件下，微商阶数较低的项其
数量级才较大，构造差分方案时才可以略去高阶微商项。
84
相对误差 = |误差值 / 计算值|
二阶精度的一阶微商差分方案（三点式）
以略去的第一项计算，其相对误差为
如果
=1，则相对误差为1/6=17% , 计算值的有效位数
只有一位甚至都不到；如果
=1/2，则相对误差为1/24=4%
诊断方程： 反映各气象要素场之间关系的，不含有对时间微商项的 方程。
16
- 1 ¶p + fv = 0
r ¶x
- 1 ¶p - fu = 0
r ¶y
- 1 ¶p - g = 0
r ¶z
运动方程 的零级简
化
诊断分析的应用
在日常业务预报中，为天气预报提供更多依据
在气象研究工作中，了解产）
2H 0 2H 0 （较大）
高度场的拉普拉斯反映等压面的凹凸程度及方向
拉普拉斯算子可用来做空间场的尺度分离(“放大镜”)
52
二维函数的泰勒展开式 ——有限差分方案的出发点
若函数f(x, y)在含有(x0, y0)的某一 邻域D内连续，且有直接到n+1阶的 连续偏导数，并设(x0+h, y0+k)为 此邻域内的任意一点， 有：
日常观测资料
非观测物理量
➢ ①基本热力、动力学参量
➢ ②非绝热加热的计算
➢ ③大尺度水汽，热量，涡度和能量的收支
➢ ④大气环流的诊断分析
➢ ⑤中小尺度天气的诊断分析
20
水汽通 量散度
蒸发率
21
水汽平流项 风场散度项
22
怎样进行诊断分析
针对诊断对象（某类灾害性天气或典型天气过 程），选取合理的诊断方程，使之能体现出大 气物理过程的基本特点
87
§5 简单的客观分析应用
1. 如果网格资料的格距与需要的不符怎么办？ —— 双线性插值
f
e
88
f e
89
2. 如果没有网格资料怎么办？
Y✚ ✚
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✚
★
✚ ✚
天气学诊断分析
大气科学学院 高庆九 杜银 徐蜜蜜 主讲
学时安排和要求
➢ 学时安排： ✓ 讲课 36学时， 实习 12学时
➢ 要求： ✓ 熟悉各种基本物理量和温湿特征参量的计算 ✓ 掌握计算机编程、文件的输入输出 ✓ 绘图； ✓ 对绘制的图形，结合所学知识进行分析
2
参考书籍
现 代 天 气 学 中 的 诊 断 分 析 方 法， 中 国 科 学 院 大 气 物 理 研 究 所 ， 丁 一 汇 ， 1984；
如△X≥L/2,则差分的结果很差，如△X=L/2, 不论L取什么值，有限差分近似总是为零。
82
如何选取差分格距 Δx?
泰勒展开式等号右边各导数项的数量级大小如何确定? 气象要素多呈现波动规律，假设：
(L为A要素场的波长，B为振幅）
一阶导数的数量级： 二阶导数的数量级：
三阶导数的数量级：
83
可见只有在
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