二维问题的有限差分方法
二维有限差分矩阵-概述说明以及解释
二维有限差分矩阵-概述说明以及解释1.引言1.1 概述引言部分会总体介绍本文将要讨论的主题——二维有限差分矩阵。
本文将首先简要概述二维有限差分方法的基本原理和应用领域，然后详细介绍二维有限差分矩阵的构建方法。
通过本文的阐述，读者将了解到二维有限差分矩阵在数值计算、物理仿真、图像处理等领域的广泛应用，并获得一定的实践指导和理论支持。
二维有限差分方法是一种常用的数值计算技术，广泛应用于解决二维偏微分方程及相关问题。
通过将连续问题离散化为离散点之间的差分，可以利用计算机进行高效且准确的计算。
而二维有限差分矩阵则是二维有限差分方法中的关键组成部分，用于描述问题的离散化形式。
本文着重介绍二维有限差分矩阵的构建方法。
首先，将介绍二维有限差分方法的基本原理，包括空间离散化和时间离散化。
然后，将详细介绍如何根据实际问题的边界条件和离散化精度构建二维有限差分矩阵。
通过合理选择差分格式和边界条件，可以得到满足精度要求的二维有限差分矩阵。
需要注意的是，二维有限差分方法和二维有限差分矩阵的适用范围广泛，不仅仅局限于数值计算领域。
它还可以应用于物理仿真领域，如电磁场模拟和流体动力学分析；以及图像处理领域，如边缘检测和图像恢复等。
通过本文的学习，读者将能够掌握二维有限差分方法的基本原理，了解二维有限差分矩阵的构建方法，并在实际应用中灵活运用。
1.2 文章结构本文共分为引言、正文和结论三个部分。
在引言部分，首先对二维有限差分方法做了一个概述，介绍了其在科学计算和工程领域中的重要性和广泛应用。
接着对文章的结构进行了说明，明确了各个部分的内容和安排。
最后，明确了本文的目的，即探讨二维有限差分矩阵的构建方法。
正文部分主要包括两个部分：二维有限差分方法简介和二维有限差分矩阵的构建。
在第2.1节中，我们将对二维有限差分方法进行简要介绍，包括其基本原理和步骤。
我们将详细解释如何将连续的偏微分方程转化为离散的代数方程，并介绍如何选择合适的差分格式和网格划分方法。
有限差分法、有限单元和有限体积法简介
有限差分法、有限单元法和有限体积法的简介1.有限差分方法有限差分方法(Finite Difference Method，FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。
该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。
有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。
该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。
对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。
从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。
考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。
目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。
差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。
构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。
其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。
通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。
2.有限元方法有限元方法(Finite Element Method，FEM)的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。
在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。
极坐标下二维非线性薛定谔方程的有限差分方法
收稿日期：2020-09-13作者简介：杨程程（1996-），女，辽宁铁岭人，硕士研究生。
极坐标下二维非线性薛定谔方程的有限差分方法杨程程，张荣培（沈阳师范大学数学与系统科学学院，辽宁沈阳110034）摘要：对圆形区域上的二维非线性薛定谔方程进行了研究。
首先，用极坐标方式表示拉普拉斯算子，将计算区域分别沿r 和θ方向进行网格划分，运用中心差分的方法进行空间离散，离散格式用Kronecker 积表示，并写成非线性常微分方程组的形式。
然后，应用积分因子方法进行时间离散，在实现过程中采用Kroylov 子空间的方法求解指数矩阵与向量的乘积。
最后，在数值试验中给出爆破解的数值算例，证明了该方法可以有效地捕捉爆破现象。
关键词：二维非线性薛定谔方程；极坐标；中心差分；Kroylov 子空间中图分类号：TP273文献标识码：A文章编号：1673-1603（2021）01-0092-05DOI ：10.13888/ki.jsie （ns ）.2021.01.018第17卷第1期2021年1月Vol.17No.1Jan.2021沈阳工程学院学报（自然科学版）Journal of Shenyang Institute of Engineering （Natural Science ）非线性薛定谔方程是量子力学中最重要的方程之一，在等离子物理、非线性光学、激光晶体中的自聚焦、晶体中热脉冲的传播以及在极低温度下的Bose -Einstein 凝聚体的动力学等领域内有着重要的应用［1-4］。
近年来，许多学者在求解非线性薛定谔方程时应用了许多数值方法，例如有限差分方法［5］、有限元法［6］、谱方法［7］和紧致积分因子法［8］等等。
但这些方法均在直角坐标系下求解，而在极坐标下求解的非线性薛定谔方程的文章比较少［9］，本文考虑在圆形区域上求解极坐标下的二维非线性薛定谔方程。
考虑计算区域为Ω={}()x ,y :x 2+y 2<1的二维非线性薛定谔方程：iu t +Δu +||u 2u =0（1）式中，u ()x ,y 为复函数；i 2=-1为虚数单位；Δu =u xx +u yy 为拉普拉斯算子。
二维有限差分法
二维有限差分法
二维有限差分法是一种用于求解二维偏微分方程的数值解法。
它将待求解区域分割成有限个网格点，并利用差分近似方法将偏微分方程转化为代数方程组，然后通过迭代求解这个方程组来获得数值解。
具体来说，二维有限差分法将二维区域 $\Omega$ 划分成
$M$ 个横向离散点和 $N$ 个纵向离散点，得到一个 $M \times N$ 的网格。
偏微分方程在网格上被离散化为一组代数方程，其中每个网格点的解被近似表示为该点以及周围点的函数值。
在二维有限差分法中，常用的差分格式包括中心差分、向前差分和向后差分等。
通过差分近似，偏微分方程中的导数被转化为差分系数的线性组合。
然后，可以得到一个线性方程组，其中每个网格点的系数由该点周围网格点的差分系数决定。
解这个线性方程组可以使用迭代方法，如Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代或SOR（逐次超松弛法）迭代等。
迭代过程一般需要设定迭代停止条件，比如迭代次数的上限、残差的收敛精度等。
通过二维有限差分法，可以求解各种边界条件下的二维偏微分方程，比如泊松方程、热传导方程、扩散方程等。
它是一种经典且简单实用的数值方法，广泛应用于科学计算和工程领域。
时域有限差分法二维
时域有限差分法二维1. 引言时域有限差分法（Finite Difference Time Domain, FDTD）是一种常用的数值计算方法，用于求解电磁场在时域中的传播和辐射问题。
本文将以二维情况为例，深入探讨时域有限差分法的原理和应用。
通过本文的介绍和解读，您将更全面地理解这一方法，并能够灵活应用于相关领域。
2. 时域有限差分法简介2.1 原理概述时域有限差分法是一种迭代求解偏微分方程的方法，通过将时域和空间离散化，将连续问题转化为离散问题。
在二维情况下，假设空间网格分辨率为Δx和Δy，时间步长为Δt。
根据电磁场的麦克斯韦方程组，可以利用中心差分公式进行离散化计算，得到求解方程组的更新方程。
2.2 空间离散化对于二维情况，空间离散化可以采用正交网格或非正交网格。
常见的正交网格包括方形格点、Yee网格等，而非正交网格则具有更灵活的形态。
根据需要和应用场景，选择合适的离散化方法对问题进行求解。
2.3 时间离散化时间离散化主要有显式和隐式两种方法。
显式方法将时间推进方程展开成前一时刻的电场和磁场与当前时刻的源项之间的关系，容易计算但对时间步长有限制；隐式方法则是通过迭代或矩阵计算求解当前时刻的电场和磁场。
3. 时域有限差分法的应用领域时域有限差分法广泛应用于电磁场传播和辐射问题的数值模拟中。
以下是几个典型的应用领域：3.1 辐射问题时域有限差分法可以模拟电磁波在空间中的辐射传播过程。
可以用于分析天线的辐射特性，设计无线通信系统的天线，或者分析电磁波在无线电频段的传播情况。
3.2 波导问题对于波导结构，时域有限差分法可以求解其模式、传输特性等问题。
波导结构广泛应用于光子学器件、微波器件等领域，时域有限差分法为建立数值模型和解析波导特性提供了一种有效的数值计算手段。
3.3 散射问题时域有限差分法在散射问题的数值模拟中也有重要应用。
通过模拟散射体与电磁波的相互作用过程，可以研究和分析散射体的散射特性，例如雷达散射截面的计算、微波散射问题等。
二维流体流动的动力学行为分析
二维流体流动的动力学行为分析引言流体力学是研究流体运动的力学学科，是自然科学中重要的基础学科之一。
在流体力学中，二维流体流动是一种特殊的流动形式，具有许多独特的动力学行为。
本文将对二维流体流动的动力学行为进行分析。
一、二维流体的性质1. 二维流体的定义二维流体是指流体运动主要发生在平面上，即流体运动只在平面内进行，几乎不涉及垂直于平面的方向。
这种流动形式可以通过将流体的厚度约束在一个很小的范围内来实现。
2. 二维流体的假设为了简化计算和分析，二维流体在研究中通常基于以下假设：•流体是连续的，没有间断；•流体运动是稳定的，不受外部扰动的影响；•流体是理想的，没有粘性和摩擦。
3. 二维流体的运动方程二维流体的运动可以由两个基本方程描述：连续性方程和动量方程。
•连续性方程描述流体质点的质量守恒，即流体的入流等于出流。
•动量方程描述流体质点的动量守恒，即流体在外力作用下的运动。
二维流体的连续性方程和动量方程可以通过数学模型进行求解，从而得到流体的速度场和压力场。
二、二维流体的流动模型1. 动力学模型根据流体的不同性质和运动特征，可以建立不同的动力学模型来描述二维流体的流动行为。
常见的模型有：•线性模型：假设流体是线性不可压缩流体，即流体密度不发生变化且没有粘性。
•非线性模型：考虑流体的非线性特性，包括流体的粘性和非恒定性。
•旋转模型：考虑流体的旋转运动，通过引入涡量来描述流体的旋转对流动的影响。
2. 数字模拟方法为了更精确地描述二维流体的动力学行为，研究者常常使用数字模拟方法来求解流体的运动方程。
常见的数字模拟方法有：•有限差分法：通过将连续的运动方程离散化，将连续问题转化为离散问题，再通过计算机进行求解。
•有限元法：将流体域划分为有限个子域，通过对每个子域的运动方程进行离散化，再进行求解。
•边界元法：将流体域的边界离散化，通过求解边界上的边界条件来求解流体的运动方程。
数字模拟方法在求解二维流体的动力学行为时具有较高的精度和可靠性，并且可以模拟各种复杂的流动情况。
二维晶体的能态密度
二维晶体的能态密度1.引言1.1 概述在撰写这篇长文中，我们将聚焦于探讨二维晶体的能态密度。
二维晶体是一种具有特殊结构和性质的材料，在纳米科技和材料领域中具有广泛的应用前景。
能态密度是描述材料中能量分布的重要参数，对材料的电子结构和性质具有决定性的影响。
在本文中，我们将首先介绍二维晶体的定义和特点，包括其结构和物理性质。
其次，我们将详细探讨二维晶体能态密度的计算方法，包括一些常用的理论模型和计算工具。
通过了解能态密度的计算方法，我们可以更好地理解二维晶体的电子结构和能带特征。
接下来，我们将探讨二维晶体的能态密度对材料性质的影响。
能态密度不仅决定了材料的导电性和光学性质，还关系到其热学性质和力学性能。
我们将重点讨论二维晶体能态密度与材料性能之间的关联，为二维晶体在纳米器件和能源领域的应用提供理论基础。
最后，我们将总结二维晶体能态密度研究的意义和应用前景。
随着纳米科技的快速发展，二维晶体被广泛应用于电子器件、光电器件和储能材料等领域。
深入研究二维晶体能态密度将为材料设计和性能优化提供重要的理论指导，也为新型纳米器件和高性能材料的开发提供新的思路和方向。
通过以上的内容安排，我们希望能够全面地介绍二维晶体的能态密度及其对材料性质的影响，为读者提供一份全面的研究综述。
在接下来的正文部分，我们将逐一展开讨论，并分享更多关于二维晶体能态密度的研究进展和应用案例。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以按照如下方式编写：本文主要分为三个部分进行介绍和探讨。
首先在引言中，将会概述本文所讨论的主题——二维晶体的能态密度，并对本文的结构和目的进行简要说明。
在正文部分，首先会给出对二维晶体的定义和特点的介绍，通过对其结构和性质的详细解析，帮助读者对二维晶体有一个全面的了解。
其次，会详细介绍计算二维晶体能态密度的方法，包括理论推导和模拟计算等方面，以及常用的计算工具和软件的介绍。
通过这一部分的内容，读者可以了解如何准确地计算和描述二维晶体的能态密度。
二维双曲方程非齐次边值问题的推广型LOD有限差分格式
摘
要 ： 对 二 维 非 齐 次 双 曲 方 程 第 一 边 值 问题 提 出 了一 种 新 型 的 Ｌ Ｄ 有 限 差 分 格 式 ， 格 式 能 够将 高 维 问题 完 针 Ｏ 此
全 分 解 为 一 系 列一 维 问题 进 行 求 解 ， 服 了 Ｌ 克 ＯＤ 格 式 源 项 难 以 分 解 、 渡 层 条 件 不 易确 定 的 缺 陷 ．证 明 了此 种 过
Ｉ ｐｒ ｖ ｄ Ｌｏ ａ ｌ ｅ ｄ ｍ ｅ ｓｏ ｌＦｉ ｔ ｆ ｅ ｅ ｃ ｃ ｍ ｅ ｆ ｒ Ｔｗｏ ｍ ｏ ｅ ｃ ｌｙ Ｏｎ － ｉ ｎ ｉ ｎａ ｎｉｅ Ｄｉｆ ｒ ｎ ｅ Ｓ ｈｅ ｏ
Ｄｉ ｎ ｉ ｎ ｌＨｙ ｅ ｂ ｌ ｕ ｔｏ ｔ ｎ ｏ ｇ ｎ ｒ ｕ ｕ ｄ ｒ ｎ ｉｉｎ ｍｅ ｓｏ ａ ｐ ｒ ｏ ｉ Ｅｑ ａ ｉ ｎ ｗｉｈ Ｎｏ ｈ ｍｏ ｅ ｅ ｏ ｓ Ｂｏ ｎ ａ ｙ Ｃｏ ｄ ｔｏ ｃ ｓ
Ｌ Ｄ 有 度 ．数 值 算例 表 明计 算 效 果 良好 ．
关 键 词 ： 雏 双 曲 方程 ；非 齐次 边 值 问题 ；有 限 差 分格 式 ；新 型 Ｌ Ｄ格 式 ； 差 估 计 二 Ｏ 误 中图 分 类 号 ： ４ ． ２ Ｏ２ １ ８ 文献标识码 ： Ａ
维普资讯
第２卷 第 ｉ ７ 期 ２ ０ 年 ３月 ０７
天 津 师 范 大 学 学 报 （ 自然科 学 版 ） Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ａ ｊ ｒ ｌ ｉｅｓｔ Ｎａ ｕａ ｃｅ ｃ ｉｏ ） ｏ ｒ ａ ｆＴｉｎｉ Ｎｏｍａ ｖ ｒｉｙ（ ｔ ｒ ｌ ｉｎ ｅＥｄｔ ｎ ｎ Ｕｎ Ｓ ｉ
考虑 区域 １＝Ｅ ， ］ 的非 齐 次双 曲方程第 一边 值 问题． ２ ０ １ 上
２ ． ．
ｏ Ｕ
二维差分（讲解）
⼆维差分（讲解）转载于：什么是⼆维差分我们有⼀个矩阵，如下图所⽰。
根据⼆维前缀和表⽰的是右上⾓矩形的和，由于差分只涉及前⾯相邻的数（由⼀维可以推出），并且由前⾯范围的数相加得到这个位置的数。
那么类⽐⼆维前缀和和⼀维差分，可以简单推测出⼆维差分的公式如何从差分矩阵得到原矩阵呢？可以参考下⾯公式举例⽐如，我们有⼀个矩阵 a，如下所⽰1 2 4 35 1 2 46 3 5 9那么对应的⼆维差分矩阵 p 如下：1 12 -14 -5 -1 31 1 1 2应⽤ 如果我们要在左上⾓是 (x1,y1)，右下⾓是 (x2,y2) 的矩形区间每个值都 +a，如下图所⽰在我们要的区间开始位置（x1,y1）处 +c，根据前缀和的性质，那么它影响的就是整个黄⾊部分，多影响了两个蓝⾊部分，所以在两个蓝⾊部分 -c 消除 +c 的影响，⽽两个蓝⾊部分重叠的绿⾊部分多了个 -c 的影响，所以绿⾊部分 +c 消除影响。
所以对应的计算⽅法如下：diff[x1][y1] += c;diff[x1][y2+1] -=c;diff[x2+1][y1] -=c;diff[x2+1][y2+1] += c;模板题：题意给你⼀个 n,m 的矩阵。
你每次可以选择⼀个a,b 的矩阵，每个元素都同时减去1。
问你经过⼀些操作之后，能否得到全0的矩阵。
数据范围样例组数 T ≤ 100n , m ≤ 1000a ,b ≤ 1000代码：///难理解版本：const int MAX = 1e3+50;ll aa[MAX][MAX];ll de[MAX][MAX];void ins(int x,int y,ll c,int a,int b){int dx = x + a;int dy = y + b;de[x][y] -= c;de[x][dy] += c;de[dx][y] += c;de[dx][dy] -= c;}int main(){int T;scanf("%d",&T);while(T--){int n,m,a,b;scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&a,&b);for(int i = 0;i <= n+1;++i)for(int j = 0;j <= m+1;++j)de[i][j] = 0;for(int i = 1;i <= n;++i)for(int j = 1;j <= m;++j){scanf("%d",&aa[i][j]);ins(i,j,-aa[i][j],1,1); ///负号意味着加上}bool flag = true;for(int i = 1;flag && i <= n;++i){for(int j = 1;flag && j <= m;++j){de[i][j] = de[i][j] + de[i][j-1] + de[i-1][j] - de[i-1][j-1];if(de[i][j] == 0)continue;if(de[i][j] < 0)flag = false;if(de[i][j] > 0){if(i + a - 1 > n || j + b - 1 > m)flag = false;else{ins(i,j,de[i][j],a,b); ///正号意味着减去}}}}if(flag)puts("^_^");else puts("QAQ");}return0;}#include<bits/stdc++.h>#include<cstdio>#include<algorithm>#define ll long longusing namespace std;const int MMAX=1e3+5;int mp[MMAX][MMAX],re[MMAX][MMAX];int n,m,a,b,t,res[MMAX][MMAX];/// mp[][]存初始矩阵,re[][]存前缀差分矩阵,res[][]存最后遍历得到的终极差分矩阵int main(){scanf("%d",&t);while(t--){scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&a,&b);for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++){scanf("%d",&mp[i][j]);re[i][j]=mp[i][j]-mp[i-1][j]-mp[i][j-1]+mp[i-1][j-1]; ///初始化前缀差分矩阵re[][] }}int f=0; ///定义标记变量，为0代表可以，为1代表不可以for(int i=1;i<=n-a+1;i++){for(int j=1;j<=m-b+1;j++){res[i][j]=re[i][j]+res[i-1][j]+res[i][j-1]-res[i-1][j-1]; ///计算更新过的ij位置的值if(res[i][j]<0) f=1; ///如果⼩于0代表不符合要求if(f==1) break;if(res[i][j]==0) continue;///如果⼤于0代表需要减1操作res[i][j]次re[i][j]-=res[i][j];re[i+a][j]+=res[i][j];re[i][j+b]+=res[i][j];re[i+a][j+b]-=res[i][j];///上述四步是核⼼代码，即更新区间[i][j]到[i+a][j+b]区间的值res[i][j]=0;}if(f==1) break;}if(f==1) printf("QAQ\n"); ///如果不符合直接输出QAQelse{for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++){///遍历寻找是否全部满⾜res[i][j]=re[i][j]+res[i-1][j]+res[i][j-1]-res[i-1][j-1];if(res[i][j]!=0) f=1;if(f==1) break;}if(f==1) break;}if(f==1) printf("QAQ\n");else printf("^_^\n");}}return0;}。
【毕业设计(论文)】二维热传导方程有限差分法的MATLAB实现
第1章前言1.1问题背景在史策教授的《一维热传导方程有限差分法的MATLAB实现》和曹刚教授的《一维偏微分方程的基本解》中，对偏微分方程的解得MATLAB实现问题进行过研究，但只停留在一维中，而实际中二维和三维的应用更加广泛。
诸如粒子扩散或神经细胞的动作电位。
也可以作为某些金融现象的模型，诸如布莱克-斯科尔斯模型与Ornstein-uhlenbeck过程。
热方程及其非线性的推广形式也被应用与影响分析。
在科学和技术发展过程中，科学的理论和科学的实验一直是两种重要的科学方法和手段。
虽然这两种科学方法都有十分重要的作用，但是一些研究对象往往由于他们的特性（例如太大或太小，太快或太慢）不能精确的用理论描述或用实验手段来实现。
自从计算机出现和发展以来，模拟那些不容易观察到的现象，得到实际应用所需要的数值结果，解释各种现象的规律和基本性质。
科学计算在各门自然科学和技术科学与工程科学中其越来越大的作用，在很多重要领域中成为不可缺少的重要工具。
而科学与工程计算中最重要的内容就是求解科学研究和工程技术中出现的各种各样的偏微分方程或方程组。
解偏微分方程已经成为科学与工程计算的核心内容，包括一些大型的计算和很多已经成为常规的计算。
为什么它在当代能发挥这样大的作用呢？第一是计算机本身有了很大的发展；第二是数值求解方程的计算法有了很大的发展，这两者对人们计算能力的发展都是十分重要的。
1.2问题现状近三十年来，解偏微分方程的理论和方法有了很大的发展，而且在各个学科技术的领域中应用也愈来愈广泛，在我国，偏微分方程数值解法作为一门课程，不但在计算数学专业，而且也在其他理工科专业的研究生的大学生中开设。
同时，求解热传导方程的数值算法也取得巨大进展，特别是有限差分法方面，此算法的特点是在内边界处设计不同于整体的格式，将全局的隐式计算化为局部的分段隐式计算。
而且精度上更好。
目前，在欧美各国MATLAB的使用十分普及。
在大学的数学、工程和科学系科，MATLAB苏佳园：二维热传导方程有限差分法的MATLAB实现被用作许多课程的辅助教学手段，MATLAB也成为大学生们必不可少的计算工具，甚至是一项必须掌握的基本技能。
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西北农林科技大学实习报告
学院：理学院 专业年级：信计061 姓名：袁金龙 学号：15206012 课程：微分方程数值解 报告日期：2008-12-3
实习二、二维问题的有限差分方法
一）
实习问题：
二维经典初边值问题：
2
22
2,01(,0),01(0,)(1,)0,01x
u u te t t t u x x
x u t u t t ⎧∂∂=+<≤⎪∂∂⎪⎪=<<⎨⎪==≤≤⎪⎪⎩
二）算法描述：
由古典显格式利用线性组合的思想，可得古典隐格式：
1
111
11
2
k k
k k k j
j
j j
j k
j u u u u u a
f h
τ
+++++---+=+
上式可简化为：1
1
111(12)k k k k k
j j j j j j j j r u r u r u u f τ+++-+-++-=+
写成矩阵形式：
1111112122211111111
1
11200
0*00
12k k k
k k k k k k n n n n n k k k k k k
r r u u f r u u f u u f r r U F U F ττ+++-----+--++-⎤⎡⎡⎡⎡
⎤⎤⎤⎥⎢-⎢⎢⎢⎥⎥
⎥⎥⎢⎢⎢⎢⎥⎥⎥⎥⎢=+⎢⎢⎢⎥⎥⎥⎥⎢⎢⎢⎢⎥⎥⎥⎥⎢⎥⎥⎥⎢⎢⎢⎦⎦⎦
⎣⎣⎣⎥⎢-+⎣
⎦
=+=+G U U G G
L
O O O
O M M M O O L
由题知a=2
三）matlab 程序：
function []=erchubian(a,n,m) %n,m 分别表示空间与时间分成的分数 %r 表示网格比 %a 表示二阶导数的系数 h=1/n; g=1/m; r=(a*g)/(h*h);
for i=1:n
x(i)=h*i;
end
for i=1:m
t(i)=g*i;
end
for i=1:(n-1)
G(i,i)=1+2*r;
end
for i=1:(n-2)
G(i,i+1)=-r;
end
for i=2:n-1
G(i,i-1)=-r;
end
for i=2:n
for j=1:m
F(i,j)=f(x(i),t(j));
end
end
%求U(1:n,1)
for i=2:n
U(i,1)=x(i)*x(i);
end
for i=2:m
U(2:n,i)=inv(G)*U(2:n,i-1)+g*inv(G)*F(2:n,i-1); end
U
%绘制三维图
for i=1:n
for j=1:m
plot3(x(i),t(j),U(i,j),'H');
hold on;
end
end
四）图形显示的计算结果：
1。