时域有限差分方法-林志立概述.
时域有限差分法
Ez Ey
Ez Hx
Hy Ez
将Maxwell旋度方程转化为一 组差分方程，并在时间轴上
Ey
Ex
逐步推进地求解；由电磁问
y
题的初始值及边界条件逐步 x
推进地求得以后各时刻空间
电磁场分布
20
Yee元胞
z
Ey
Ex
Hz
Ex
Ez Ey
Ez Hx
Hy Ez
Ey
Ex
y
分量节点 位置见 p.10 表2-1
E取n时刻 ，H取n＋ 1/2时刻
Holland（1977年）[6]和Kunz（1978年） [7]用FDTD计算F117飞机这种复杂目标的 电磁脉冲散射。
10
FDTD的发展(续)：时域外推
Britt （1989年）[21]首次给出时域远场 结果，但论文未给出外推具体方法。
Yee 等（1991年）[22]和Luebbers等 （1991年）[23]提出了三维FDTD时域近－ 远场外推方法，随后Luebbers等（1992年） [24]提出二维FDTD时域近－远场外推方法。
24
FDTD的基本点(2)： FDTD区的划分
对于散 射问题， 划分为 总场区 和散射 场区。
散射场区 散射场区 总场区
目标
吸收边界 输出边界
连接边界
25
FDTD的基本点(2)： FDTD区的划分
对于辐射 问题，激 励源直接 加到辐射 天线上， 整个FDTD 计算区域 为辐射场 区
辐射场区 辐射场区 激励源
目录
引言 Maxwell方程及其FDTD形式 数值稳定性 吸收边界 激励源 近－远场外推 应用算例
1
其它参考书
第一章参考文献 [1] Yee(1966) 第一篇FDTD论文 [36] Kunz(1993) [44] Taflove(1995, & 2000 Second Ed.) [46] Sullivan(2000) [42] 王长清（1994） [43] 高本庆（1995）
三维最优时域有限差分方法
三维最优时域有限差分方法
1.基本原理
2.实现步骤
（1）将原始信号进行窗函数处理，将信号分割成数个时间段。
（2）对每个时间段内的信号进行傅里叶变换，将信号变换到频域。
（3）通过计算每个时间段内信号的频率分布，得到时频分析结果。
3.应用领域
（1）语音信号处理：可以用于语音识别、语音合成等任务。
通过分析语音信号的时频特性，可以提取语音的特征，进而进行后续的处理。
（2）音乐信号处理：可以用于音乐合成、音乐分析等任务。
通过对音乐信号进行时频分析，可以提取音乐的节奏、频谱等特征，进而进行音乐合成或音乐分类等处理。
（3）图像处理：可以用于图像分析、图像增强等任务。
通过对图像进行时频分析，可以提取图像的纹理、边缘等特征，进而进行图像增强或目标识别等处理。
4.优缺点分析
（1）能够同时反映信号的时域和频域特性，有助于全面理解信号的时频特征。
（2）能够对非平稳信号进行时频分析，适用于处理实际环境中的复杂信号。
（3）算法简单，易于实现。
然而，三维最优时域有限差分方法也存在一些缺点：
（1）需要对信号进行窗函数处理，这可能引入一定的伪迹。
（2）对信号分析结果的解释可能比较主观，需要进一步的领域知识和经验。
（3）在处理长时间信号时，存在时间与频率分辨率的折衷，需要根据应用需求进行选择。
综上所述，三维最优时域有限差分方法是一种常用的信号处理技术，具有广泛的应用领域。
它能够同时反映信号的时域和频域特性，为后续的信号处理提供了重要的依据。
然而，该方法在处理过程中也存在一定的局限性，需要根据具体的应用需求进行选择与优化。
时域有限差分法二维
时域有限差分法二维1. 引言时域有限差分法（Finite Difference Time Domain, FDTD）是一种常用的数值计算方法，用于求解电磁场在时域中的传播和辐射问题。
本文将以二维情况为例，深入探讨时域有限差分法的原理和应用。
通过本文的介绍和解读，您将更全面地理解这一方法，并能够灵活应用于相关领域。
2. 时域有限差分法简介2.1 原理概述时域有限差分法是一种迭代求解偏微分方程的方法，通过将时域和空间离散化，将连续问题转化为离散问题。
在二维情况下，假设空间网格分辨率为Δx和Δy，时间步长为Δt。
根据电磁场的麦克斯韦方程组，可以利用中心差分公式进行离散化计算，得到求解方程组的更新方程。
2.2 空间离散化对于二维情况，空间离散化可以采用正交网格或非正交网格。
常见的正交网格包括方形格点、Yee网格等，而非正交网格则具有更灵活的形态。
根据需要和应用场景，选择合适的离散化方法对问题进行求解。
2.3 时间离散化时间离散化主要有显式和隐式两种方法。
显式方法将时间推进方程展开成前一时刻的电场和磁场与当前时刻的源项之间的关系，容易计算但对时间步长有限制；隐式方法则是通过迭代或矩阵计算求解当前时刻的电场和磁场。
3. 时域有限差分法的应用领域时域有限差分法广泛应用于电磁场传播和辐射问题的数值模拟中。
以下是几个典型的应用领域：3.1 辐射问题时域有限差分法可以模拟电磁波在空间中的辐射传播过程。
可以用于分析天线的辐射特性，设计无线通信系统的天线，或者分析电磁波在无线电频段的传播情况。
3.2 波导问题对于波导结构，时域有限差分法可以求解其模式、传输特性等问题。
波导结构广泛应用于光子学器件、微波器件等领域，时域有限差分法为建立数值模型和解析波导特性提供了一种有效的数值计算手段。
3.3 散射问题时域有限差分法在散射问题的数值模拟中也有重要应用。
通过模拟散射体与电磁波的相互作用过程，可以研究和分析散射体的散射特性，例如雷达散射截面的计算、微波散射问题等。
第十一章-时域有限差分方法
第十一章-时域有限差分方法第十一章时域有限差分方法自从1966年K. S. Yee 创建时域有限差分法 (Finite Difference Time Domain，简称FDTD)[1]以来，已经发展成为一种理论完整、应用广泛的数值方法，并且与矩量法和有限元法一起奠定了计算电磁学的基础。
本章将介绍时域有限差分的基本理论，数值模拟技术，若干相关的专题以及工程实例。
11-1 差分的基本概念时域有限差分法是对微分形式的Maxwell方程进行差分求解的技术。
在详述其之前，首先简单回顾差分的基本概念。
已知分段连续函数在位置处的增量可表示为fxx，，(11-1-1) ,,，,,fxfxxfx，，，，，，其差商为,，,,fxfxxfx，，，，，， (11-1-2) ,,,xx,x当,0时，fx的导数定义为差商的极限，即，，,，,,fxfxxfx，，，，，，'limlim (11-1-3) fx,,，，,,,,xx00,,xx,x当足够小时，的导数可以近似为 fx，，dff,, (11-1-4) dxx,根据导数取值位置的不同，差分格式分为前向差分、后向差分和中心差分。
前向差分定义为fxxfx，,,，，，，,f (11-1-5) ,,,xxx后向差分定义为fxfxx,,,，，，，,f (11-1-6) ,,,xxx中心差分定义为fxxfxx，,,,,22，，，，,f (11-1-7) ,,,xxxfxx，,将在点x处展开为Taylor级数，得，，23dddfxfxfx，，，，，，1123 (11-1-8) fxxfxxxx，,,，,，,，,，，，，23d2!d3!dxxx37123dddfxfxfx，，，，，，1123 (11-1-9) fxxfxxxx,,,,,，,,,，，，，23d2!d3!dxxx将方程 (11-1-8) 和 (11-1-9) 代入 (11-1-5) ~ (11-1-7)后可以发现，前向和后向差分具有一阶精度，中心差分具有二阶精度。
时域有限差分法PPT课件
vg
d
dk
c
(1-10)
这种情况下，群速也是与频率无关。
.
8
1.2 数值色散关系(2)
上述过程也可用于一维标量波动方程差分近似的数值色散分析。
设在离散空间点 xi,tn,离散行波解为 u in u x i,tn e j n t k ~ i x ，
式中，k~ 为存在于有限差分网格中的数值正弦波的波数。一般情况 下，不同于连续物理波的波数。正是这种不同导致了数值相速和群 速偏离了精确解。进而导致了数值色散误差。
1.5 数值稳定性（1）
• FDTD计算中每一步都是有误差的，随着时间步进，误 差会不断积累。如果误差的积累不会造成总误差的增 加，就成FDTD法是稳定的，否则成为不稳定的。数值 不稳定性会造成计算结果随时间步进无限增加。
• FDTD法是有条件稳定的，即：时间步必须必须小于一 定值以避免数值不稳定性。
考虑(1.1)的正弦行波解 ux,tejtkx 代入(1-1)得
j2c2jk2 即
k c
上式便是一维标量波动方程的色散关系。
(1-8)
由上式得相速度
vp
k
c
（1-9）
可见，相速与频率无关，称为非色散。非色散意味着对于具有任意
调制的包络或脉冲形状的波传播任意距离后波形保持不变。进一步
由(1-8)可以得到群速关系
正弦函数
ui=sin(nt+)
高斯函数
ui=exp[-(n-n0)2/T2]
阶跃函数
ui= 0
n<n1
= ( n-n1)/(n2-n1) n1<n<n2
=1
n>n2
“硬源”设置简单，但当反射波回到“硬源”位置时， 会引起寄生反射，所以，要在这之前“关”掉源。
时域有限差分算法及其在多物理中的应用
初始条件设置
初始条件
在求解偏微分方程时，需要设置初始条件，以便从已知的初始状态开始计算 。
初始条件的稳定性
初始条件的稳定性对于计算结果的准确性至关重要，不稳定的初始条件可能 导致计算发散。
03
时域有限差分算法在多物理场中的应 用
流体力学
总结词
时域有限差分算法在流体力学中有着广泛 的应用，用于模拟和分析各种流体现象， 如水流、空气流等。
算法的发展历程
早期发展
01
20世纪70年代，有限差分算法被广泛应用于电磁场、流体动
力学等领域。
现代进展
02
随着计算机技术的发展，有限差分算法在处理复杂物理问题方
面得到了广泛应用。
多物理应用
03
近年来，有限差分算法被广泛应用于多物理场耦合问题的求解
。
02
时域有限差分算法实现细节
离散化方法
隐式离散化
飞机设计
时域有限差分算法可以用于模拟飞机在飞行过程中受到的电磁辐射和电磁干扰，帮助设计师更好地理 解并优化飞机的电磁性能。
航空电子系统
该算法也可用于模拟飞机上电子系统的电磁兼容性和电磁干扰，以确保电子系统的正常运行。
电子工程领域
集成电路设计
时域有限差分算法可以用于模拟芯片在高速运行时的电磁干扰和电磁辐射， 以优化其性能和稳定性。
能源工程领域
风力电
时域有限差分算法可以用于模拟风力发电机的电磁辐射和电 磁干扰，以优化其性能和稳定性。
太阳能发电
该算法也可用于分析和优化太阳能电池板的性能，以提高其 转换效率。
THANKS
感谢观看
无线通信
该算法也可用于分析和优化无线通信系统的性能，例如基站和无线局域网。
matlab模拟的电磁学时域有限差分法 pdf
matlab模拟的电磁学时域有限差分法 pdf电磁学时域有限差分法（FDTD）是一种基于数值模拟的电磁场计算方法，它使用有限差分来近似微分方程。
该方法广泛用于电磁学、电波传播、微波技术、光学等领域，以求解电磁场分布和场的辐射、散射等问题。
而在这个领域中，MATLAB是非常流行的工具之一。
本文将围绕“MATLAB模拟的电磁学时域有限差分法”这一主题，从以下几个方面进行阐述：1.时域有限差分法的基础概念在FDTD方法中，将时域中的Maxwell方程组转化为差分形式，使得可以在计算机上进行数值解法。
通过在空间和时间上的离散，可以得到电磁场在时域内的各种分布，进而求得特定情况下的电磁场变化。
2.MATLAB中的FDTD仿真在MATLAB中，我们可以使用PDE工具箱中的电磁学模块来实现FDTD仿真。
通过选择适当的几何形状和边界条件，可以利用该工具箱演示电磁场的传输、反射、折射、透射等现象。
同时，MATLAB中还提供了不同的场分量计算和可视化工具，以便用户可以更好地理解电磁场分布。
3.MATLAB代码实现以下是一些MATLAB代码示例，展示了FDTD模拟的基础实现方法。
代码中的示例模拟了平面波在一个矩形和圆形障碍物上的传播情况。
% 1. Square obstaclegridSize = 200; % Grid sizemaxTime = 600; % Maximum time (in steps)imp0 = 377.0; % Impedance of free spacecourantNumber = 0.5; % Courant numbercdtds = ones(gridSize,gridSize); % Courant number in space% (not variable in this example)Ez = zeros(gridSize, gridSize); % Define EzHy = zeros(gridSize, gridSize); % Define Hy% Simulation loopfor n = 1:maxTime% Update magnetic fieldHy(:,1:end-1) = Hy(:,1:end-1) + ...(Ez(:,2:end) - Ez(:,1:end-1)) .*cdtds(:,1:end-1) / imp0;% Update electric fieldEz(2:end-1,2:end-1) = Ez(2:end-1,2:end-1) + ...(Hy(2:end-1,2:end-1) - Hy(1:end-2,2:end-1)) .* cdtds(2:end-1,2:end-1) .* imp0;end% 2. Circular obstacleradius = 50;xAxis = [-100:99];[X,Y] = meshgrid(xAxis);obstacle = sqrt((X-50).^2 + (Y).^2) < radius;gridSize = length(xAxis); % Grid sizemaxTime = 500; % Maximum time (in steps)imp0 = 377.0; % Impedance of free space courantNumber = 0.5; % Courant numbercdtds = ones(gridSize,gridSize); % Courant number in space% (not variable in this example)Ez = zeros(gridSize, gridSize); % Define EzHy = zeros(gridSize, gridSize); % Define Hy% Simulation loopfor n = 1:maxTime% Update magnetic fieldHy(:,1:end-1) = Hy(:,1:end-1) + ...(Ez(:,2:end) - Ez(:,1:end-1)) .*cdtds(:,1:end-1) / imp0;% Update electric field, with obstacleEz(2:end-1,2:end-1) = Ez(2:end-1,2:end-1) + ...(Hy(2:end-1,2:end-1) - Hy(1:end-2,2:end-1)) .* cdtds(2:end-1,2:end-1) .* imp0;Ez(obstacle) = 0;end以上代码仅供参考，不同条件下的模拟需要适当修改，以便获得特定的模拟结果。
FDTD时域有限差分法
对时间离散:
(2)
FDTD基本原理(续)
9
为了满足(1)式空间精度的要求，并满足(2)式，Yee 把空间任一网格上的E和H的六个分量，如下图放置:
Yee把E 和H 在时间长相差半个步长计算(为了满足精度的要求)。
FDTD基本原理(续)
10
根据这一原则可以写出六个差分方程:
每个网格点上的各场分量的新值依赖于该点在前一时间步长时刻 的值，即该点周围的邻近点上另一场量在早半个时间步长时的值。 因此任一时刻可一次算出一个点，并行算法可计算出多个点。通 过这些运算可以交替算出电场磁场在各个时间步的值。
C：为光速，自由空间中： c
数值色散
14
• 产生原因
–FDTD网格中，会导致数字波模在网格中发生改变，这种改 变是由于计算网格本身引起的，而非物理因素，所以必须 考虑
• 适当选取时间步长，空间步长，传播方向，可以得到 理想情况
–3-D方形网格：取波沿对角线传播 (数值稳定的极限状态),可得理想色散关系。 –2-D方形网格:也是沿对角线传播， （也是数值稳定的极限状态） –1-D网格 (数值稳定的极限状态)
参考文献
21
• 电磁波时域有限差分方法（第二版），葛德彪， 闫玉波，西安电子科技大学出版社 • 工程电磁场数值计算，倪光正
22
练习要求：
(完整版)有限差分方法概述
有限差分法（Finite Difference Method，简称FDM）是数值方法中最经典的方法，也是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。
该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。
有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。
该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。
对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。
从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。
考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。
目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。
差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。
构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。
其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。
通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。
下面我们从有限差分方法的基本思想、技术要点、应用步骤三个方面来深入了解一下有限差分方法。
1.基本思想有限差分算法的基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。
然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。
在采用数值计算方法求解偏微分方程时，再将每一处导数由有限差分近似公式替代，从而把求解偏微分方程的问题转换成求解代数方程的问题，即所谓的有限差分法。
时域有限差分法（FDTD算法）的基本原理及仿真
时域有限差分法（FDTD 算法）时域有限差分法是1966年K.S.Y ee 发表在AP 上的一篇论文建立起来的，后被称为Y ee 网格空间离散方式。
这种方法通过将Maxwell 旋度方程转化为有限差分式而直接在时域求解, 通过建立时间离散的递进序列, 在相互交织的网格空间中交替计算电场和磁场。
FDTD 算法的基本思想是把带时间变量的Maxwell 旋度方程转化为差分形式，模拟出电子脉冲和理想导体作用的时域响应。
需要考虑的三点是差分格式、解的稳定性、吸收边界条件。
有限差分通常采用的步骤是：采用一定的网格划分方式离散化场域；对场内的偏微分方程及各种边界条件进行差分离散化处理，建立差分格式，得到差分方程组；结合选定的代数方程组的解法，编制程序，求边值问题的数值解。
1.FDTD 的基本原理FDTD 方法由Maxwell 旋度方程的微分形式出发，利用二阶精度的中心差分近似，直接将微分运算转换为差分运算，这样达到了在一定体积内和一段时间上对连续电磁场数据的抽样压缩。
Maxwell 方程的旋度方程组为：E EH σε+∂∂=⨯∇tH H E m t σμ-∂∂-=⨯∇ （1） 在直角坐标系中，（1）式可化为如下六个标量方程：⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂=∂∂-∂∂z z x y y y z x x x yz E t E y H x H E t E x H z H E t E z H y H σεσεσε，⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫-∂∂-=∂∂-∂∂-∂∂-=∂∂-∂∂-∂∂-=∂∂-∂∂z m zx y y m y z x x m x y z H t H y E x E H t H x E z E H t H z E y E σμσμσμ （2）上面的六个偏微分方程是FDTD 算法的基础。
Y ee 首先在空间上建立矩形差分网格，在时刻t n ∆时刻，F(x,y ,z)可以写成),,(),,,(),,,(k j i F t n z k y j x i F t z y x F n =∆∆∆∆= （3）用中心差分取二阶精度： 对空间离散：()[]2),,21(),,21(),,,(x O xk j i F k j i F x t z y x F n n xi x ∆+∆--+≈∂∂∆= ()[]2),21,(),21,(),,,(y O yk j i F k j i F y t z y x F n n yj y ∆+∆--+≈∂∂∆= ()[]2)21,,()21,,(),,,(z O zk j i F k j i F z t z y x F n n zk z ∆+∆--+≈∂∂∆=对时间离散：()[]22121),,(),,(),,,(t O tk j i F k j i F t t z y x F n n tn t ∆+∆-≈∂∂-+∆= （4） Y ee 把空间任一网格上的E 和H 的六个分量，如下图放置:oyxzEyHzExEzHxEyEyEzEx HyEzEx图1 Y ee 氏网格及其电磁场分量分布在FDTD 中，空间上连续分布的电磁场物理量离散的空间排布如图所示。
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以减小数值色散。
k sin ( ) c2 sin ( ) 2 0 2 数值色散方程： t 2 2 x, y,z ( ) ( ) 2 2
t
2
理想色散方程：
2
要求： k 0 2
2 c0
2 2 (k x ky k z2 )
(1)电场在时间上取整数倍的 Δt; t=n *Δt;
(2)磁场在时间上取(整数＋ 1/2)倍的Δt; t=(n +1/2)*Δt;
Beihang University
麦克斯韦方程的离散化近似
以Hz为例：
H z 1 E E ( x y) t z y x
H zn1/ 2 ( i, j ) H zn1/ 2 ( i, j ) t
Hz为Ex和Ey所环绕。
各电磁场分量在元胞中的位置
K.S. Yee, “Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell’s equations in isotropic media,”IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. 14, 1966, pp. 302-307.
Beihang University
FDTD空间偏微分的近似
以Hz为例：
H z 1 Ex E y ( ) t z y x
E x E x ( i, j 1) E x ( i, j ) y y 2( ) 2 E y E y ( i 1, j ) E y (i, j ) x x 2( ) 2
Beihang University
计算电磁学中的
时域有限差分方法
The Finite-Difference Time-Domain Method for Electromagnetics
林志立
zllin2008@ 北航仪器光电学院光电工程系
Beihang University
电磁学中几种重要的数值计算方法
上式即为Hz的更新方程，由前一时刻的磁场和前半时刻 的临近空间格点的电场即可求出最新时刻的磁场。
Beihang University
麦克斯韦方程的离散化近似
采取类似的步骤，可以推导出其它场量的更新表达式：
例如，对于Ez：
Ez 1 H y H x ( ) t z x y
Ezn1 ( i, j ) Ezn ( i, j )
J E
（电极化） （磁化） （欧姆定律）
一切电磁场和电磁波问题均可由以上方程，以及各类 具体的边界条件所决定！
Beihang University
麦克斯韦方程组中的运算符
散度（Divergence) 连续函数的偏微分运算
旋度（Curl)
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FDTD的基本思想
－时域和空间域的离散化 －连续偏微分的有限阶近似
Beihang University
电磁学基本方程
麦克斯韦方程组( Maxwell Equations)
(安培环路定律) (高斯定律－电场)
(法拉第感应定律) (高斯定律－磁场) James Clerk Maxwell (1831–1879)
物质本构关系 (Constitutive Relations)
n1/ 2 n1/ 2 n1/ 2 n1/ 2 t H y ( i, j ) H y ( i 1, j ) H x ( i, j ) H x ( i, j 1) ( ) z x y
Beihang University
FDTD的离散参数的选择
★元胞尺寸：边长小于最短波长的1/10,
有限差分法 Finite Difference Method
– 静电场、静磁场的有限差分法；
– 时域行波的电磁场的时域有限差分法；
有限元法 (Finite Element Method)
– 数值求解各类独立的偏微分方程；（电磁学、材料力
学、工ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ热力学、声学等等）
矩量法 (Method of Moments) 适合于细线、平面形状结构的电磁场问题
例如，取 xmax , ymax and zmax
1 min 10
t
2
0
类似地，可实现各电磁场分量的 空间偏微分计算。
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FDTD时间偏微分的近似
以Hz为例：
t=(n+1/2)Δt
H z 1 E E ( x y) t z y x
t=nΔt t=(n-1/2)Δt
n n E y H zn1/ 2 H zn1/ 2 1 E x ( ) t z y x 2( ) 2
Beihang University
FDTD空间域的离散化
(1)空间域的分割离散化
节点
Yee元胞（Δx, Δy, Δz)
Ex分量的空间离散分布图
Hx分量的空间离散分布图
Beihang University
FDTD空间域的离散化
YEE 元胞
例如：
H z 1 Ex E y ( ) t z y x
n n n n 1 Ex ( i, j 1) E x ( i, j ) E y ( i 1, j ) E y ( i, j ) ( ) z y x
H zn1/ 2 ( i, j ) H zn1/ 2 ( i, j )
n n n n t E x ( i, j 1) E x ( i, j ) E y ( i 1, j ) E y ( i, j ) ( ) z y x
设有一连续函数 f ( x ) , 现欲求 f '( x) 。
二阶中心差分近似表达式：
f '( x ) f ( x x ) f ( x x ) 2 x
当 x越小时，上式的近似程度 越高。
f ( x)
实际上：
f ( x x ) f ( x x ) x 2 f '( x ) f '''( x ) ... 2x 6