时域有限差分法对平面TE波的MATLAB仿真
基于Matlab的均匀平面电磁波的仿真
基于Matlab的均匀平面电磁波的仿真李丽芬;张秋菊;李扬【期刊名称】《现代电子技术》【年(卷),期】2013(000)021【摘要】Matlab was used in the teaching of electromagnetic field and wave to simulate the distribution of EM field and the propagation of EM wave,which can visualize the abstract concepts,and promote the student′s understanding of the teaching content. The process simulation for propagation,polarization,reflection and refraction of uniform plane waves is presented in this paper.%在电磁场与电磁波的教学中，应用Matlab编程对电磁场的分布和电磁波的传输进行仿真，使得抽象的概念直观化，有助于学生对于电磁场和电磁波教学内容的学习。
着重仿真了均匀平面电磁波的传播、极化、反射和折射的动态过程。
【总页数】3页(P136-137,140)【作者】李丽芬;张秋菊;李扬【作者单位】燕京理工学院，北京 101601;燕京理工学院，北京 101601;燕京理工学院，北京 101601【正文语种】中文【中图分类】TN710-34;G434【相关文献】1.基于MATLAB的电磁波极化波仿真教学 [J], 肖汉光;赵明富;钟年丙;汤斌;宋涛;罗彬彬2.基于Matlab的电磁波极化仿真 [J], 陈洪涛3.均匀平面电磁波的极化及基于 HFSS极化状态的课堂展示 [J], 杨俊秀;赵文来;鲍佳4.基于MATLAB电磁波传播的可视化仿真 [J], 余建立;刘双兵5.基于MATLAB GUI的电磁波动态仿真 [J], 张梦娇;郑丹;刘小标;祁诗阳;李聪因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
matlab有限差分法
matlab有限差分法一、前言Matlab是一种广泛应用于科学计算和工程领域的计算机软件，它具有简单易学、功能强大、易于编程等优点。
有限差分法（Finite Difference Method）是一种常用的数值解法，它将微分方程转化为差分方程，通过对差分方程进行离散化求解，得到微分方程的数值解。
本文将介绍如何使用Matlab实现有限差分法。
二、有限差分法基础1. 有限差分法原理有限差分法是一种通过将微分方程转化为离散形式来求解微分方程的数值方法。
其基本思想是将求解区域进行网格划分，然后在每个网格点上进行逼近。
假设要求解一个二阶常微分方程：$$y''(x)=f(x,y(x),y'(x))$$则可以将其转化为离散形式：$$\frac{y_{i+1}-2y_i+y_{i-1}}{h^2}=f(x_i,y_i,y'_i)$$其中$h$为网格步长，$y_i$表示在$x_i$处的函数值。
2. 一维情况下的有限差分法对于一维情况下的常微分方程：$$\frac{d^2 y}{dx^2}=f(x,y,y')$$可以使用中心差分法进行离散化：$$\frac{y_{i+1}-2y_i+y_{i-1}}{h^2}=f(x_i,y_i,y'_i)$$这个方程可以写成矩阵形式：$$A\vec{y}=\vec{b}$$其中$A$为系数矩阵，$\vec{y}$为函数值向量，$\vec{b}$为右端项向量。
三、Matlab实现有限差分法1. 一维情况下的有限差分法假设要求解的方程为：$$\frac{d^2 y}{dx^2}=-\sin(x)$$首先需要确定求解区域和网格步长。
在本例中，我们将求解区域设为$[0,2\pi]$，网格步长$h=0.01$。
则可以通过以下代码生成网格：```matlabx = 0:0.01:2*pi;```接下来需要构造系数矩阵和右端项向量。
根据上面的公式，系数矩阵应该是一个三对角矩阵，可以通过以下代码生成：```matlabn = length(x)-2;A = spdiags([-ones(n,1), 2*ones(n,1), -ones(n,1)], [-1 0 1], n, n); ```其中`spdiags`函数用于生成一个稀疏矩阵。
时域有限差分法(FDTD算法)的基本原理及仿真
时域有限差分法（FDTD 算法）时域有限差分法是1966年发表在AP 上的一篇论文建立起来的，后被称为Yee 网格空间离散方式。
这种方法通过将Maxwell 旋度方程转化为有限差分式而直接在时域求解, 通过建立时间离散的递进序列, 在相互交织的网格空间中交替计算电场和磁场。
FDTD 算法的基本思想是把带时间变量的Maxwell 旋度方程转化为差分形式，模拟出电子脉冲和理想导体作用的时域响应。
需要考虑的三点是差分格式、解的稳定性、吸收边界条件。
有限差分通常采用的步骤是：采用一定的网格划分方式离散化场域；对场内的偏微分方程及各种边界条件进行差分离散化处理，建立差分格式，得到差分方程组；结合选定的代数方程组的解法，编制程序，求边值问题的数值解。
1.FDTD 的基本原理FDTD 方法由Maxwell 旋度方程的微分形式出发，利用二阶精度的中心差分近似，直接将微分运算转换为差分运算，这样达到了在一定体积内和一段时间上对连续电磁场数据的抽样压缩。
Maxwell 方程的旋度方程组为：E E H σε+∂∂=⨯∇t H HE m tσμ-∂∂-=⨯∇ （1） 在直角坐标系中，（1）式可化为如下六个标量方程：⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂=∂∂-∂∂z z x y y y z x x x yz E t E y H x H E t E x H z H E t E z H y H σεσεσε，⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫-∂∂-=∂∂-∂∂-∂∂-=∂∂-∂∂-∂∂-=∂∂-∂∂z m zx y y m y z x x m x y z H t H y E x E H t H x E z E H t H z E y E σμσμσμ （2）上面的六个偏微分方程是FDTD 算法的基础。
Yee 首先在空间上建立矩形差分网格，在时刻t n ∆时刻，F(x,y,z)可以写成),,(),,,(),,,(k j i F t n z k y j x i F t z y x F n =∆∆∆∆= （3）用中心差分取二阶精度： 对空间离散：()[]2),,21(),,21(),,,(x O xk j i F k j i F x t z y x F n n xi x ∆+∆--+≈∂∂∆= ()[]2),21,(),21,(),,,(y O yk j i F k j i F y t z y x F n n yj y ∆+∆--+≈∂∂∆= ()[]2)21,,()21,,(),,,(z O zk j i F k j i F zt z y x F n n zk z ∆+∆--+≈∂∂∆= 对时间离散：()[]2121),,(),,(),,,(t O tk j i F k j i F t t z y x F n n tn t ∆+∆-≈∂∂-+∆= （4） Yee 把空间任一网格上的E 和H 的六个分量，如下图放置:图1 Yee 氏网格及其电磁场分量分布在FDTD 中，空间上连续分布的电磁场物理量离散的空间排布如图所示。
任意色散周期结构的时域有限差分方法分析
任意色散周期结构的时域有限差分方法分析马立宪;李燕茹;陈帅;樊振宏【摘要】利用辅助微分时域有限差分法求解了任意色散周期模型的电磁波传播问题.利用共轭复数对形式对任意色散媒质进行参数拟合,并将任意色散媒质的介电常数表示成公式形式,在FDTD迭代式中引入辅助微分方程,推导出了适用于多层任意色散模型的通用递推公式,分别求解了Debye、Drude与太阳能电池周期结构模型的电磁特性仿真问题.仿真结果表明:数值计算结果与CST商业软件仿真结果基本吻合,证明了所构建方法的有效性与普适性.【期刊名称】《应用光学》【年(卷),期】2019(040)005【总页数】5页(P774-778)【关键词】共轭复数对;FDTD;任意色散;太阳能电池【作者】马立宪;李燕茹;陈帅;樊振宏【作者单位】淮南师范学院电子工程学院 ,安徽淮南232038;南京理工大学电磁仿真与射频感知工信部重点实验室 ,江苏南京210094;南京理工大学电磁仿真与射频感知工信部重点实验室 ,江苏南京210094;淮南师范学院电子工程学院 ,安徽淮南232038;南京理工大学电磁仿真与射频感知工信部重点实验室 ,江苏南京210094【正文语种】中文【中图分类】TN202;O439引言近年来，复杂色散周期结构的应用获得较高的关注，例如应用在频率选择表面[1]、光子晶体[2]、太阳能电池上[3]。
时域有限差分(finite-difference time-domain, FDTD)方法作为一种非常有效的电磁计算数值方法，已被广泛应用于求解这些色散周期结构的电磁波传播问题[4]。
对于常见的色散媒质，根据色散媒质随频率变化的关系，在FDTD计算时，可等效为Debye、Drude、Lorentz及其混合色散模型[5]。
国内外多位学者针对这些色散模型的FDTD算法进行了研究，先后提出了半解析递归卷积(PLRC)、辅助微分方程(ADE)、Z变换法等[6-8]。
采用上述算法在建模复杂色散媒质时需要高阶形式，这会导致FDTD计算时花费更大的内存空间和计算时间[9]。
时域有限差分法常用吸收边界的性能分析
时域有限差分法常用吸收边界的性能分析
于涛;戚宗锋;李志鹏
【期刊名称】《海军航空工程学院学报》
【年(卷),期】2016(031)005
【摘要】文章对时域有限差分法常用吸收边界的性能进行了分析，包括Mur吸收边界、PML（Perfectly Matched Lay⁃er）、UPML（Uniaxial PML）以及CPML（Convolution PML）。
首先，简要介绍了几种吸收边界的理论基础；然后，根据前面理论进行Matlab仿真，通过采样二维情况下的高斯源和正弦源激励的电场值，分析比较4种吸收边界的性能；最后，总结了各种吸收边界的优劣和特点。
【总页数】7页(P506-512)
【作者】于涛;戚宗锋;李志鹏
【作者单位】电子信息系统复杂电磁环境效应国家重点实验室，河南洛阳471003;电子信息系统复杂电磁环境效应国家重点实验室，河南洛阳471003;电子信息系统复杂电磁环境效应国家重点实验室，河南洛阳471003
【正文语种】中文
【中图分类】TN011;O441.4
【相关文献】
1.PML吸收边界条件下TM波的时域有限差分法分析 [J], 赵维
2.基于时域有限差分法平面光波的一维吸收边界条件 [J], 李凤;高益庆;朱泉水
3.时域有限差分(FDTD)法中的吸收边界条件 [J], 张清河
4.时域有限差分并行算法中的吸收边界研究 [J], 姜彦南;葛德彪;魏兵
5.二维单步交替方向隐式时域有限差分法\r吸收边界性能分析 [J], 王文兵;周辉;刘逸飞;马良;程引会
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电磁仿真实践报告一
十一、总结及心得体会：（作文1篇，1000字以上）
通过此次实验,以及对电磁仿真的学习才体会到自己对电磁场与波以及微波技术基础学习上的不足。以前学习电磁场与波以及微波技术基础时只是理论上的理解，最终的目的只是通过考试、学会做题，然而对其实际的应用却并不十分了解，也不懂得如何在实际中去设计微波器件。总之学过之后却无法真正用于实际。而通过此次实验，才真正学会了如何将学到的知识用于实际，解决问题。
YLabel('Ver (V)','FontSize',15,'FontWeight','b');
axis([0 4.5e-8 -0.2 0.2]
附件2：二维FDTD终端匹配仿真源代码
ar
clc
c=3e8;% ×ÔÓÉ¿Õ¼ä¹âËÙ
mu0=4*pi*1e-7;% ×ÔÓÉ¿Õ¼ä´Åµ¼ÂÊ
Maxwell方程FDTD的差分格式:
图8-1 Yee模型
麦克斯韦第一、二方程 （7）
式中， 是电流密度，反映电损耗， 是磁流密度，单位 ，反映磁损耗。主要与上式对应。各向同性介质中的本构关系：
（8）
是磁阻率，计算磁损耗的。
以 为变量，在直角坐标中，展开麦克斯韦第一、二方程，分别为
（9）
（10）
令 代表 在直角坐标中的任何一个分量，离散符号取为
六、实验内容：
1.均匀平板传输线传输特性仿真
2.带挡板的平板传输线传输特性仿真
七、实验器材（设备、元器件）：电子计算机
八、实验步骤：
1．电磁仿真的时域有限差分法。
数值差分原理:
时空离散及连续取函数样
时域有限差分法对平面TE波的MATLAB仿真
时域有限差分法对平面TE波的MATLAB仿真摘要时域有限差分法是由有限差分法发展出来的数值计算方法。
自1966年Yee 在其论文中首次提出时域有限差分以来，时域有限差分法在电磁研究领域得到了广泛的应用。
主要有分析辐射条线、微波器件和导行波结构的研究、散射和雷达截面计算、分析周期结构、电子封装和电磁兼容的分析、核电磁脉冲的传播和散射以及在地面的反射及对电缆传输线的干扰、微光学元器件中光的传播和衍射特性等等。
由于电磁场是以场的形态存在的物质，具有独特的研究方法，采取重叠的研究方法是其重要的特点，即只有理论分析、测量、计算机模拟的结果相互佐证，才可以认为是获得了正确可信的结论。
时域有限差分法就是实现直接对电磁工程问题进行计算机模拟的基本方法。
在近年的研究电磁问题中，许多学者对时域脉冲源的传播和响应进行了大量的研究，主要是描述物体在瞬态电磁源作用下的理论。
另外，对于物体的电特性，理论上具有几乎所有的频率成分，但实际上，只有有限的频带内的频率成分在区主要作用。
文中主要谈到了关于高斯制下完全匹配层的差分公式的问题，通过MATLAB 程序对TE波进行了仿真，模拟了高斯制下完全匹配层中磁场分量瞬态分布。
得到了相应的磁场幅值效果图。
关键词：时域有限差分完全匹配层MATLAB 磁场幅值效果图目录摘要 (1)目录 (3)第一章绪论 (4)1.1 课题背景与意义 (4)1.2 时域有限差分法的发展与应用 (4)2.1 Maxwell方程和Yee氏算法 (7)2.2 FDTD的基本差分方程 (9)2.3 时域有限差分法相关技术 (11)2.3.1 数值稳定性问题 (11)2.3.2 数值色散 (12)2.3.3 离散网格的确定 (13)2.4 吸收边界条件 (13)2.4.1 一阶和二阶近似吸收边界条件 (14)2.4.2 二维棱边及角顶点的处理 (17)2.4.3 完全匹配层 (19)2.5 FDTD计算所需时间步的估计 (23)第三章MATLAB的仿真的程序及模拟 (25)3.1 MATLAB程序及相应说明 (25)3.2 出图及结果 (28)3.2.1程序部分 (28)3.2.2 所出的效果图 (29)第四章结论 (31)参考文献 (32)第一章绪论1.1 课题背景与意义20世纪60年代以来，随着计算机技术的发展，一些电磁场的数值计算方法逐步发展起来，并得到广泛应用，其中主要有：属于频域技术的有限元法（FEM）、矩量法(MM)和单矩法等；属于时域技术方面的时域有限差分法(FDTD)、传输线矩阵法(TLM)和时域积分方程法等。
FDTD(时域有限差分法)算法的Matlab源程序
rect=get(gcf,'Position'); rect(1:2)=[0 0];
M=moviein(nmax/2,gcf,rect);
%*********************************************************************** % BEGIN TIME-STEPPING LOOP %***********************************************************************
%
%***********************************************************************
clear
%*********************************************************************** % Fundamental constants
% Gaussian pulse given by
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时域有限差分法对平面TE波的MATLAB仿真摘要时域有限差分法是由有限差分法发展出来的数值计算方法。
自1966年Yee 在其论文中首次提出时域有限差分以来，时域有限差分法在电磁研究领域得到了广泛的应用。
主要有分析辐射条线、微波器件和导行波结构的研究、散射和雷达截面计算、分析周期结构、电子封装和电磁兼容的分析、核电磁脉冲的传播和散射以及在地面的反射及对电缆传输线的干扰、微光学元器件中光的传播和衍射特性等等。
由于电磁场是以场的形态存在的物质，具有独特的研究方法，采取重叠的研究方法是其重要的特点，即只有理论分析、测量、计算机模拟的结果相互佐证，才可以认为是获得了正确可信的结论。
时域有限差分法就是实现直接对电磁工程问题进行计算机模拟的基本方法。
在近年的研究电磁问题中，许多学者对时域脉冲源的传播和响应进行了大量的研究，主要是描述物体在瞬态电磁源作用下的理论。
另外，对于物体的电特性，理论上具有几乎所有的频率成分，但实际上，只有有限的频带内的频率成分在区主要作用。
文中主要谈到了关于高斯制下完全匹配层的差分公式的问题，通过MATLAB 程序对TE波进行了仿真，模拟了高斯制下完全匹配层中磁场分量瞬态分布。
得到了相应的磁场幅值效果图。
关键词：时域有限差分完全匹配层MATLAB 磁场幅值效果图目录摘要 (1)目录 (3)第一章绪论 (4)1.1 课题背景与意义 (4)1.2 时域有限差分法的发展与应用 (4)2.1 Maxwell方程和Yee氏算法 (7)2.2 FDTD的基本差分方程 (9)2.3 时域有限差分法相关技术 (11)2.3.1 数值稳定性问题 (11)2.3.2 数值色散 (12)2.3.3 离散网格的确定 (13)2.4 吸收边界条件 (13)2.4.1 一阶和二阶近似吸收边界条件 (14)2.4.2 二维棱边及角顶点的处理 (17)2.4.3 完全匹配层 (19)2.5 FDTD计算所需时间步的估计 (23)第三章MATLAB的仿真的程序及模拟 (25)3.1 MATLAB程序及相应说明 (25)3.2 出图及结果 (28)3.2.1程序部分 (28)3.2.2 所出的效果图 (29)第四章结论 (31)参考文献 (32)第一章绪论1.1 课题背景与意义20世纪60年代以来，随着计算机技术的发展，一些电磁场的数值计算方法逐步发展起来，并得到广泛应用，其中主要有：属于频域技术的有限元法（FEM）、矩量法(MM)和单矩法等；属于时域技术方面的时域有限差分法(FDTD)、传输线矩阵法(TLM)和时域积分方程法等。
此外，还有属于高频技术的几何衍射理论(GTD)和衍射物理理论(PLD)等。
各种方法都具有自己的特点和局限性，在实际中经常把它们相互配合而形成各种混合方法[1~2]。
其中FDTD是一种已经获得广泛应用并且有很大发展前景的时域数值计算方法。
时域有限差分（FDTD）方法于1966年由K.S.Yee[3]提出并迅速发展，且获得广泛应用。
K.S.Yee用后来被称作Yee氏网格的空间离散方式，把含时间变量的Maxwell旋度方程转化为差分方程，并成功地模拟了电磁脉冲与理想导体作用的时域响应。
但是由于当时理论的不成熟和计算机软硬件条件的限制，该方法并未得到相应的发展。
20世纪80年代中期以后，随着上述两个条件限制的逐步解除，FDTD便凭借其特有的优势得以迅速发展。
它能方便、精确地预测实际工程中的大量复杂电磁问题，应用范围几乎涉及所有电磁领域，成为电磁工程界和理论界研究的一个热点。
目前，FDTD日趋成熟，并成为分析大部分实际电磁问题的首选方法。
另外，利用矩量法求解电磁场问题时，要用到并失Green函数。
对于某些问题，可以找到其解析形式的并失Green函数；而对于复杂的问题，很难找到其解析形式的并失Green函数，这样就使得问题无法解决。
作为时域分析中的一个重要数值方法，FDTD不存在这样的问题。
1.2 时域有限差分法的发展与应用经过四十多年的发展，FDTD已发展成为一种成熟的数值计算方法。
在发展过程中，几乎都是围绕几个重要问题展开的，即数值稳定性、计算精度、数值色散、激励源技术以及开域电磁问题的吸收边界条件等。
数值稳定和计算精度对任何一种数值计算方法都是至关重要的。
A.Taylor和M.E.Brodwin[4]利用本征值方法给出了直角坐标系下FDTD的空间步长与时间步长之间的关系。
X.Min等[5]研究了存在边界条件时FDTD的稳定性问题。
对于数值色散，与实际的物理色散不同，它是由电磁场量在空间和时间上的对波动方程作差分近似处理造成的。
这种色散引起的误差造成在计算区域内传播的电磁波逐渐畸变[6~7]。
K. L. Shlager 等[8]比较了二维和三维空间中几种正交网格算法的色散误差。
当采用其他变形或非正交网格时，必须重新分析其数值稳定性和色散特性[9~11]，P.Monk 和E.Suli[12]分析了不均匀长方体网格算法的稳定性。
激励源的设计和引入也是FDTD的一个重要任务。
目前，应用最广泛的激励源引入技术是总场/散射场体系[12]。
对于散射问题，通常在FDTD计算空间中引入连接边界，它将整个计算空间划分为内部的总场区和外部的散射场区，如图1-1。
利用Huygens原理，可以在连接边界处引入入射场，使入射场的加入变得简单易行。
图1-1开域电磁问题中，为了在有限的计算空间内模拟无限空间中的电磁问题，必须在计算空间的截断边界处设置吸收边界条件。
吸收边界条件从开始简单的插值边界，已经发展了多种吸收边界条件。
在早期得到广泛应用的是G.Mur[13]的一阶和二阶吸收边界条件，它是基于B.Engquist和A.Majda[14]的单向波方程而提出的差分格式，在FDTD仿真区域外边界具有0.5%到5%的反射系数。
目前应用最广泛的是J.P.Berenger[15-17]的分裂式完全匹配层，以及Z.S.Sacks等[18]和S.D.Gedney[20]的各向异性介质的完全匹配层，它们可使FDTD模拟的最大动态范围达到80dB。
另一方面，为了更好的拟合研究对象的形状，克服台阶逼近带来的误差，D.E.Merewether[19]提出了柱坐标系下的网格剖分方法，R.Holland[20]提出了球坐标系下的网格剖分方法，P.Monk和E.Suli[12]提出了变网格步长方法，S.S.Zivanovic 等[21]和P.Thoma等[22]提出了亚网格技术（即在一般区域采用粗网格，在电磁场快变区域采用精细网格）。
利用这些技术，可以更精确地模拟各种复杂的结构，适应各种复杂的介质，提高了复杂介质中数值计算的精度。
时域模拟一般获得的是近场电磁信息，为了得到诸如天线方向图或散射体雷达散射截面之类的远场信息，必须获得计算区域以外的频域场或瞬态场。
多位学者在这方面做了许多工作，发展了一种高效的时域近远场变换方法[23-26]。
借助这种方法，可以实现由计算区域内近场数据到计算区域外远场数据的外推。
目前，粗糙面散射的FDTD，传递函数在FDTD中的应用，周期介质、各向异性介质、色散介质和含有集中元件的FDTD，以及网络并行FDTD技术等方面也取得了很大进展。
FDTD在迅速发展的同时，也获得了非常广泛的应用。
目前，它几乎被应用到了电磁场工程中的各个方面，例如：电磁散射、生物电磁计量学、辐射天线的分析、微波器件和导行波结构的研究、散射和雷达截面的计算、周期结构的分析、电子封装和电磁兼容的分析、核电磁脉冲传播和散射的分析、以及微光学元器件中光的传播和衍射特性的分析等。
随着新技术的不断提出，其应用范围和成效正在迅速地扩大和提高。
第二章 时域有限差分法的基本原理Maxwell 方程是描述宏观电磁现象的一组基本方程。
这组方程即可以写成微分形式，又可以写成积分形式。
FDTD 方法由Maxwell 旋度方程的微分形式出发，利用二阶精度的中心差分近似，直接将微分运算转换为差分运算，这样达到了在一定体积内和一段时间上对连续电磁场数据的抽样压缩。
2.1 Maxwell 方程和Yee 氏算法根据[27]中电磁场基本方程组的微分形式，若在无源空间，其空间中的媒质是各向同性、线性和均匀的，即媒质的参数不随时间变化且各向同性，则Maxwell 旋度方程可写成：E E H σε+∂∂=⨯∇t（2-1a ） H H E m t σμ-∂∂-=⨯∇ （2-1b ） 式中，E 是电场强度，单位为伏/米（V/m ）；H 是磁场强度，单位为安/米（A/m ）；ε表示介质介电系数，单位为法拉/米（F/m ）； μ表示磁导系数，单位为亨利/米（H/m ）；σ表示介质电导率，单位为西门子/米（S/m ）；m σ表示导磁率，单位为欧姆/米（m /Ω）。
在直角坐标系中，（2-1）式可化为如下六个标量方程：⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂=∂∂-∂∂z z x y y y z x x x y z E t E y H x H E t E x H z H E t E z H y H σεσεσε （2-2）⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫-∂∂-=∂∂-∂∂-∂∂-=∂∂-∂∂-∂∂-=∂∂-∂∂z m z x y y m y z x x m x y z H t H y E x E H t H x E z E H t H z E y E σμσμσμ （2-3） 这六个偏微分方程是FDTD 算法的基础。
K.S.Yee [3]在1966年建立了如图2-1所示的空间网格，这就是著名的Yee 氏元胞网格。
图2-1 Yee 氏网格及其电磁场分量分布并引入如下的差分近似方法对（2-2）、(2-3)式中的六个偏微分方程进行了差分离散。
令),,,(t z y x F 代表E 或H 在直角坐标系中某一分量，在时间和空间域中的离散可记为),,(),,,(),,,(k j i F t n z k y j x i F t z y x F n =∆∆∆∆= (2-4) 式中，x ∆、y ∆和z ∆分别是长方体网格沿x 、y 、z 方向的空间步长，t ∆是时间步长，i 、j 、k 分别是沿x 、y 、z 方向的网格编号，n 是时间步数。
对),,,(t z y x F 关于时间和空间的一阶偏导数取中心差分近似，具有二阶精度，即()[]2),,21(),,21(),,,(x O x k j i F k j i F x t z y x F n n x i x ∆+∆--+≈∂∂∆= (2-5a)()[]2),21,(),21,(),,,(y O y k j i F k j i F yt z y x F n n y j y ∆+∆--+≈∂∂∆= (2-5b) ()[]2)21,,()21,,(),,,(z O z k j i F k j i F zt z y x F n n z k z ∆+∆--+≈∂∂∆= (2-5c) ()[]22121),,(),,(),,,(t O t k j i F k j i F t t z y x F n n t n t ∆+∆-≈∂∂-+∆= (2-5d) 在FDTD 中，空间上连续分布的电磁场物理量离散的空间排布如图2-1所示。