时域有限差分方法实现电磁场仿真-chap3

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时域有限差分法(FDTD算法)的基本原理及仿真

时域有限差分法(FDTD算法)的基本原理及仿真时域有限差分法（FDTD 算法）时域有限差分法是1966年K.S.Yee 发表在AP 上的一篇论文建立起来的，后被称为Yee 网格空间离散方式。

这种方法通过将Maxwell 旋度方程转化为有限差分式而直接在时域求解, 通过建立时间离散的递进序列, 在相互交织的网格空间中交替计算电场和磁场。

FDTD 算法的基本思想是把带时间变量的Maxwell 旋度方程转化为差分形式，模拟出电子脉冲和理想导体作用的时域响应。

需要考虑的三点是差分格式、解的稳定性、吸收边界条件。

有限差分通常采用的步骤是：采用一定的网格划分方式离散化场域；对场内的偏微分方程及各种边界条件进行差分离散化处理，建立差分格式，得到差分方程组；结合选定的代数方程组的解法，编制程序，求边值问题的数值解。

1.FDTD 的基本原理FDTD 方法由Maxwell 旋度方程的微分形式出发，利用二阶精度的中心差分近似，直接将微分运算转换为差分运算，这样达到了在一定体积内和一段时间上对连续电磁场数据的抽样压缩。

Maxwell 方程的旋度方程组为：E E H σε+∂∂=⨯∇t H HE m tσμ-∂∂-=⨯∇ （1）在直角坐标系中，（1）式可化为如下六个标量方程：⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂=∂∂-∂∂z z x y y y z x x x yz E t E y H x H E t E x H z H E t E z H y H σεσεσε，⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫-∂∂-=∂∂-∂∂-∂∂-=∂∂-∂∂-∂∂-=∂∂-∂∂z m zx y y m y z x x m x y z H t H y E x E H t H x E z E H t H z E y E σμσμσμ （2）上面的六个偏微分方程是FDTD 算法的基础。

Yee 首先在空间上建立矩形差分网格，在时刻t n ∆时刻，F(x,y,z)可以写成),,(),,,(),,,(k j i F t n z k y j x i F t z y x F n =∆∆∆∆= （3）用中心差分取二阶精度：对空间离散：()[]2),,21(),,21(),,,(x O xk j i F k j i F x t z y x F n n xi x ∆+∆--+≈∂∂∆= ()[]2),21,(),21,(),,,(y O yk j i F k j i F y t z y x F n n yj y ∆+∆--+≈∂∂∆= ()[]2)21,,()21,,(),,,(z O zk j i F k j i F z t z y x F n n zk z ∆+∆--+≈∂∂∆=对时间离散：()[]22121),,(),,(),,,(t O tk j i F k j i F t t z y x F n n tn t ∆+∆-≈∂∂-+∆= （4） Yee 把空间任一网格上的E 和H 的六个分量，如下图放置:oyxzEyHzExEzHxEyEyEzEx HyEzEx图1 Yee 氏网格及其电磁场分量分布在FDTD 中，空间上连续分布的电磁场物理量离散的空间排布如图所示。

计算电磁学-第5章-时域有限差分法3

散射体
在一定入射角范围内有较好的吸波效果，吸收边界
散射体
这就要求吸收边界离
开散射体要有足够的场区 2 距离。图5.6示出网格
空间的场区划分。
场区 1 图 56 网格空间场区划分
连接边界
场区1位于计算网格空间内部，散吸收边界
散射体
连接边界
射体设置在其中，
散射体
场区1中有入射波
及散射波。该区称场区 2
H2 z|i|1/2, j 1/2,k
H 2 z|i1/2, j 1/2,k r
E n1 |i, j1/2,k
/ t / t
/2 /2
En |i, j 1/2,k
1
/ t
/2
n1
n 1
n 1
n 1
H 2 r|i, j1/2,k 1/2
H 2 r|i, j 1/2,k 1/2 z
一、计算机仿真中应用周期性边界条件
微纳光学领域内的光子晶体（Photonic Crystal）、表面等离子体激元（Surface Plasmon）列阵结构及超材料（Metamaterial）等；这几种结构均由空间上周期性重复的散射体构成，当计算透射率及能带结构时，常常可采用Floquet 周期边界将结构简化。
为精确地模拟散射体的形状和结构，网格单元取得越小越好。但网格总数增加，计算机存储和CPU时间也会随之增加。
解决这一问题的一般原则是，在基本满足计算精度要求的情况下，尽量节省存储空间和计算时间。与此同时，网格的空间步长对计算误差也有影响。
从色散角度考虑，一般要求满足 s min / 10 。
H2 z|i|1/2, j 1/2,k
H 2 z|i1/2, j 1/2,k r

瞬态电磁场三维时域有限差分模拟研究

瞬态电磁场三维时域有限差分模拟研究张双狮;雷朝军;刘迎辉;牛新建;魏彦玉【摘要】该文使用三维时域有限差分方法对在不同环境中的0.1～0.1T Hz电磁波场进行数值模拟.以高斯脉冲作为源电流信号研究了导电全空间中电偶极子场,并对海底低阻地质模型的电磁响应做了模拟计算;对隧道含水裂缝异常的回线源瞬变电磁响应进行了分析;对超宽带穿墙探测模型做了模拟计算,进一步在超宽带电磁波与窄带电磁波对钢筋混凝土的探测模拟结果做了对比分析;用FDTD-PIC软件对94 GHz折变回旋振荡管TE6,2模产生过程做了模拟计算,指出模拟中存在的问题,最后对时域有限差分程序的并行做了分析,提出用时域有限差分方法研发回旋管瞬态场三维模拟软件的思路.【期刊名称】《电子科技大学学报》【年(卷),期】2019(048)001【总页数】9页(P13-21)【关键词】时域有限差分;回旋管;数值模拟;瞬态电磁场【作者】张双狮;雷朝军;刘迎辉;牛新建;魏彦玉【作者单位】电子科技大学电子科学与工程学院太赫兹科学技术研究中心成都610054;中国人民警察大学河北廊坊 065000;电子科技大学电子科学与工程学院太赫兹科学技术研究中心成都 610054;中国人民警察大学河北廊坊 065000;电子科技大学电子科学与工程学院太赫兹科学技术研究中心成都 610054;电子科技大学电子科学与工程学院太赫兹科学技术研究中心成都 610054;电子科技大学电子科学与工程学院太赫兹科学技术研究中心成都 610054【正文语种】中文【中图分类】TN011近年来，回旋管以其在毫米波、亚毫米波段产生的高平均功率和高峰值功率，作为受控热核聚变、高能拒止武器、雷达探测和超宽带无线通信等方面理想的微波辐射源，受到研究者的广泛关注。

由于回旋管实验设计和研制的费用高昂，研究者越来越希望通过计算机模拟能达到定量设计的效果。

回旋管计算机辅助设计主要有两种基本途径：1) 参量代码，该方法对精简模型的快速求解，对用各种方法模拟的结果进行理论分析都有重要作用，但也有较大局限性，不利于理解多模起振过程和强流粒子在回旋管中的运动状态、注波互作用过程以及管壁击穿等物理过程；2) 基于FDTD的PIC (partical-in-cell)模拟，该方法在回旋管瞬态场数值模拟中因其适应范围广，成为研究主流。

第4章电磁场数值模拟-有限差分法

C
E dl
B ds t S
Yee 网格及电磁场空间配置 .
电磁响应的交错网格有限差分（时间域有限差分）模拟
1.求解麦克斯韦方程组的时间域有限差分法
E y
1 H x H z Ey z 1 Iy t z x H xn1 2 (i, k ) 1 n 1 2 1 1 2 n 1 2 H x (i, k ) H x (i, k ) z z 2 2 H zn1 2 (i, k ) 1 n 1 2 1 1 n 1 2 H ( i , k ) H ( i , k ) z z x x 2 2 k
电磁响应的交错网格有限差分（时间域有限差分）模拟
2.完全匹配层(Perfectly Matched Layers)吸收边界
边界反射
L=10
L=2
波场的等时间剖面（snap shot）
电磁响应的交错网格有限差分（时间域有限差分）模拟
2.完全匹配层(Perfectly Matched Layers)吸收边界
以无吸收介质的电磁波传播为例说明 PML 吸收边界。
H x H z t z x E y H x E y H z ， t z t x
n 1 2 x
电磁响应的交错网格有限差分（时间域有限差分）模拟
1.求解麦克斯韦方程组的时间域有限差分法
1 1 n1 2 n 1 2 E (i, k ) A1 E (i, k ) A2 H x (i, k ) H x (i, k ) 2 2 1 1 n1 2 n 1 2 n 1 A3 H z (i , k ) H z (i , k ) A4 I y i, k 2 2 1 1 n 1 2 n 1 2 n n H x (i, k ) H x (i, k ) A5 E ( i , k 1) E y y (i , k ) 2 2 1 1 n 1 2 n 1 2 n n H z (i , k ) H z (i , k ) A6 E ( i 1, k ) E y y (i , k ) 2 2 求解步骤：（1）用磁场的更新式求 (n 1 2)t 时刻的磁场；（2）用电场的更新式求 ( n 1) t 时刻的电场。如此循环直至最大时刻。

时域有限差分方法林志立PPT课件

'LineWidth',1.5,'linestyle','-.'); set(gca,'fontsize',12,'FontWeight','bold'); axis square; legend('E_{z}', 'H_{y} \times 377','Location','NorthEast'); xlabel('x [m]'); ylabel('[A/m]'); zlabel('[V/m]'); grid on; p = patch('vertices', v, 'faces', f, 'facecolor', 'g', 'facealpha',0.2); text(0,1,1.1,'PEC','horizontalalignment','center','fontweight','bold'); text(1,1,1.1,'PEC','horizontalalignment','center','fontweight','bold');
磁场磁流部分
第18页/共28页
编程举例1：一维FDTD问题（续）
% Calculate FDTD updating coefficients Ceze = (2 * eps_r_z * eps_0 - dt * sigma_e_z) ...

时域有限差分法三维电磁仿真工具

电磁求解器，遵循 ANSI/IEEE C95.3:2002 标准，可以计算 1 克 SAR、10 克 SAR、整体平均 SAR 和局部峰值 SAR，XFDTD 计算的平均 SAR 值遵循 IEEE/ICES 草拟的 1528.1 标准。XFDTD 计算的结果和 IEEE 1528-2003 标准测量的结果非常一致，被确认为有效。
Remcom 作为全球第一个开发出基于 FDTD 算法电磁仿真工具的公司，一直引领时代潮流，大胆创新。现在我们颠覆性地推出下一代的 EM 仿真工具 XFDTD 7.0。 XFDTD 7.0 不仅仅是在以往的版本上增加一些新特性，而是基于新的技术开发了一个更好用的工具，可以带给客户更好的体验。当然，在提升用户体验的同时，XFDTD7.0 保持了其一贯的风格，更加关注功能、速度、可用性，使得新版本和其他同类软件有了很大区别。
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时域有限差分法三维电磁仿真工具 XFDTD 介绍共 21 页
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时域有限差分法三维电磁仿真工具 XFDTD 介绍
目录
1 软件背景 ................................................................................................................................. 3 2 功能介绍 ................................................................................................................................. 4 3 性能指标 ................................................................................................................................. 9

时域有限差分

z
z
Ezn (i, j 1/ 2, k 1/ 2) y
Ezn (i, j 1, k 1/ 2) Ezn (i, j, k 1/ 2) y
偏微分方程离散

作业报告9，推导其他5个偏微分方程的差分格式。
整理后得
Hx
n
1 2
n 1 1 1 1 i, j , k H x 2 i, j , k 2 2 2 2
H x t
n
i , j 1/2, k 1/2
1 E y Ez z y i , j 1/2,k 1/2
Ezn
n
Eyn Hxn
z y
(i,j+1/2,k+1/2)
方程离散点
Ezn
Eyn
偏微分方程离散
H x t
n i , j 1/2, k 1/2
t
E n 1 x, y, z E n x, y, z
Eyn Hxn
n
1 E y Ez z y i , j 1/2,k 1/2
Ezn
方程离散点
z y
(i,j+1/2,k+1/2)
Ezn
写成取样离散格式
Eyn
n H xn (i, j 1/ 2, k 1/ 2) 1 E y (i, j 1/ 2, k 1/ 2) Ezn (i, j 1/ 2, k 1/ 2) t z y

Ampère’s Equation
D x, y, z, t H x, y , z , t t
Maxwell方程组

B x, y, z, t E x, y, z, t t

时域有限差分法

时域有限差分法时域有限差分（FiniteDifferenceinTimeDomain,称FDTD）法是一种广泛应用于电磁场仿真的数值计算方法，它以离散时间步长来描述电磁场的变化，可以准确模拟空间内电磁场随时间变化的波动特性。

在时域有限差分仿真中，以Maxwell方程描述电磁场的运动，将时域的空间变化转换为表示时间的一维网格，用有限差分技术对Maxwell 方程组及其边界条件进行求解，可以得到空间中电磁场的离散值的解，从而达到仿真电磁场变化的目的。

FDTD仿真技术的最早应用出现在1960年代。

由于它的有效性和快速灵活性，FDTD仿真技术得到了快速发展，在电磁场仿真中得到了普遍应用。

FDTD仿真技术具有以下优点：1.基本实现简单，编程简单，计算效率高；2.可以准确仿真各种复杂电磁环境中电磁波传播的特性，如介质内各种参数随时间变化；3.不仅可以仿真欧姆模型，还可以用于局部质点模型的仿真；4.容易添加吸收边界，有效地抑制反射和折射现象；5.可以定制计算区域，灵活处理各种复杂的边界条件；6.计算中可以容易地加入激励和探测源；7.可以同时计算多个激励源和探测源，完成多源多探测器的仿真；8.可以方便地仿真非线性电磁材料的特性；9.单片机控制的实时仿真可以实时进行激励和探测调制；10.可以方便地模拟分布式电磁系统。

时域有限差分仿真技术的基本原理是采用有限差分法，沿时间轴以离散的步长，用一维数组离散地表示各点的电场态，并以此实现电磁场系统的时间域模拟。

FDTD法在时间域上使用一维离散网格，将Maxwell方程组及其边界条件分解，分别应用一阶导数近似公式（如中心差分公式）求解，按照计算元（grid point）在时空域中的局部特性，分别设定电磁场源、介质参数和边界条件，利用时域有限差分公式迭代求解Maxwell方程，可以得到边界条件和激励源允许的范围内的空间中的电磁场的离散值的解，从而达到仿真电磁场变化的目的。

借助时域有限差分法可以实现对天线、微波传输线、无线局域网、雷达、全波器件等电磁系统的仿真，其结果可以用于设计、性能预测、状态诊断、运行维护、电磁干扰抑制等诸多应用领域。

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3.2完美匹配层
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采取的办法就是将介电常数和磁导率均设为复数，虚数部分代表衰减程度。对3.2式采用傅里叶变换，得到
将假设的介电常数和磁导率带入到方程组中，得到
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3.2完美匹配层
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首先实现X方向上的PML吸收层，保留3.8式X方向上的分量
利用3.12给予的值，可得
满足PML条件2
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3.2完美匹配层
将3.13式用时域有限差分方法展开，3.13a左边可以写成
转换为时域的形式后差分展开
将上式带入到3.13a，对磁场进行空间差分，可以获得
其中
两个新参量
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for n=1:nsteps T=T+1 %calculate the dz field for j=2:60 for i=2:60 dz(i,j)=gi3(i)*gj3(j)*dz(i,j)+gi2(i)*gj2(j)*0.5*(hy(i,j)-hy(i-1,j)-hx(i,j)+hx(i,j-1)); end end %put a gaussian pulse in the middle pulse=sin(2*pi*1500*(1E6)*dt*T); dz(ic,jc)=pulse; %calculate the ez field for j=1:60 for i=1:60 ez(i,j)=ga(i,j)*dz(i,j); end end
3.2完美匹配层
对3.13c式采用相同的处理方法，可得
其中
这里需要注意的是，由于 H y 在网格中的位置位于i+ 2 ,因而围绕该位置进行展开。
1
对3.13b式需要采用不同的处理方法，将其写成
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3.2完美匹配层
这里注意 1/ j 可以看成是对时间的积分算符，而 j 是对时间的微分算符，电场对空间的差分写成
TE模式
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3.1二维问题中的时域有限差分方法
以TM模式为例，3.1式推导为
二维问题，将电场和磁场进行交错计算处理；对时间和空间离散，作中心差分近似，得到
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3.1二维问题中的时域有限差分方法
电场由周围的四个磁场共同计算得到；
X方向磁场由相邻的两个电场计算得到；
第二节主要讨论如何利用吸收边界配合二维场展开计算。
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3.1二维问题中的时域有限差分方法
从第二章中得到的归一化麦克斯韦方程出发
当我们处理三维仿真问题的时候，按照直角坐标系的分量处理 Hx , H y , Hz ；办法，有6个参量 Ex , Ey , Ez ，处理二维问题的时候，选取两类代表性的电磁传输模式进行研究。 TM模式
计算z方向电场
计算x方向磁场
计算y方向磁场
电磁仿真与微波电路CAD课程d(n,3)==0 meshz(1:200,1:200,ez) zlim([0 1]) pause(0.5); end end
动画表现3维场
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3.2完美匹配层
3.1二维问题中的时域有限差分方法
for n=1:nsteps T=T+1; %calculate the Dx field 计算电位移矢量 for j=2:200 for i=2:200 dz(i,j)=dz(i,j)+0.5*(hy(i,j)-hy(i-1,j)-hx(i,j)+hx(i,j-1)); end end %put a gaussian pulse in the middle 在场中心加源 pulse=exp(-0.5*((t0-T)/spread)^2); dz(ic,jc)=pulse;
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3.2完美匹配层
for i=1:npml xnum=npml-i; xd=npml; xxn=xnum/xd; xn=0.33*(xxn^3); gi2(i+1)=1.0/(1.0+xn); gi2(60-i)=1.0/(1.0+xn); gi3(i+1)=(1.0-xn)/(1.0+xn); gi3(60-i)=(1.0-xn)/(1.0+xn); xxn=(xnum-0.5)/xd; xn=0.25*(xxn^3); fi1(i+1)=xn; fi1(60-i)=xn; fi2(i+1)=1.0/(1.0+xn); fi2(60-i)=1.0/(1.0+xn); fi3(i+1)=(1.0-xn)/(1.0+xn); fi3(60-i)=(1.0-xn)/(1.0+xn); end for j=1:npml xnum=npml-j; xd=npml; xxn=xnum/xd; xn=0.33*(xxn^3); gj2(j+1)=1.0/(1.0+xn); gj2(60-j)=1.0/(1.0+xn); gj3(j+1)=(1.0-xn)/(1.0+xn); gj3(60-j)=(1.0-xn)/(1.0+xn); xxn=(xnum-0.5)/xd; xn=0.25*(xxn^3); fj1(j+1)=xn; fj1(60-j)=xn; fj2(j+1)=1.0/(1.0+xn); fj2(60-j)=1.0/(1.0+xn); fj3(j+1)=(1.0-xn)/(1.0+xn); fj3(60-j)=(1.0-xn)/(1.0+xn); end
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Anyway, different suggestions, good ideas and any critique are welcome.
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3.2完美匹配层
由Sacks等人总结得到的PML完全匹配层条件为
1、由背景媒质到PML层的阻抗满足关系
其值等于1满足我们事先规定的归一化条件；
2、垂直于边界方向上的相对介电常数和磁导率，是另一个方向上的倒数。
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3.2完美匹配层
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3.2完美匹配层
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3.2完美匹配层
x方向上有
各参量的变化范围满足
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程序要点
clear ez(1:60,1:60)=0.0;hx(1:60,1:60)=0.0;hy(1:60,1:60)=0.0; ga(1:60,1:60)=1.0;dz(1:60,1:60)=0.0;ihx(1:60,1:60)=0.0;ihy(1:60,1:60)=0.0; gi2(1:60)=1.0;gi3(1:60)=1.0;gj2(1:60)=1.0;gj3(1:60)=1.0; fi1(1:60)=0.0;fi2(1:60)=1.0;fi3(1:60)=1.0; fj1(1:60)=0.0;fj2(1:60)=1.0;fj3(1:60)=1.0; ic=30; 初始值设置为主计算空间的取值 jc=30; ddx=0.01; epsz=8.85419*(1E-12); dt=ddx/(2*3*(1E8)); T=0; t0=40.0; spread=15.0; nsteps=500; npml=8;
利用FDTD方法展开，可以写成
最终可以获得
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3.2完美匹配层
3.13b式的实现，通过以下一组方程
其中
在计算f和g参数的时候，没有必要真实的改变电导率，这里使用辅助参量
它会随着PML深度的增加而增加
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3.2完美匹配层
则，该参数的计算可以写成
经验性稳定值各参量的变化范围满足
随着电磁波向周围空间的传播，必然会遇到计算边界，如果
边界不处理，反射波将会在计算空间内产生。
程序显示二维计算边界产生的反射波
因而不能分析清楚什么是波源产生的波，什么是边界反射的波，因此吸收边界伴随着FDTD发展的始终，因而人们发明很多方法解决吸收边界问题。 Berenger发现的PML（perfectly matched layer ）是解决该问题的最有效方法之一。
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3.2完美匹配层
%edges to 0 %calculate the hy field for j=1:60 for j=1:60 ez(1,j)=0.0; for i=1:59 ez(60,j)=0.0; curl_e=ez(i+1,j)-ez(i,j); end ihy(i,j)=ihy(i,j)+fj1(j)*curl_e; for i=1:60 hy(i,j)=fi3(i)*hy(i,j)+fi2(i)*0.5*(curl_e+ihy(i,j)); ez(i,1)=0.0; end ez(i,60)=0.0; end end %calculate the hx for j=1:59 for i=1:60 curl_e=ez(i,j)-ez(i,j+1); ihx(i,j)=ihx(i,j)+fi1(i)*curl_e; hx(i,j)=fj3(j)*hx(i,j)+fj2(j)*0.5*(curl_e+ihx(i,j)); end end
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3.1二维问题中的时域有限差分方法
%calculate the ez field for j=1:200 for i=1:200 ez(i,j)=ga(i,j)*dz(i,j); end end %calculate the hx for j=1:199 for i=1:199 hx(i,j)=hx(i,j)+0.5*(ez(i,j)-ez(i,j+1)); end end %calculate the hy field for j=1:199 for i=1:199 hy(i,j)=hy(i,j)+0.5*(ez(i+1,j)-ez(i,j)); end end