时域有限差分法-ppt
计算电磁学-第5章-时域有限差分法3
散射体
在一定入射角范围内 有较好的吸波效果， 吸收边界
散射体
这就要求吸收边界离
开散射体要有足够的 场区 2 距离。图5.6示出网格
空间的场区划分。
场区 1 图 56 网格空间场区划分
连接边界
场区1位于计算 网格空间内部，散 吸收边界
散射体
连接边界
射体设置在其中，
散射体
场区1中有入射波
及散射波。该区称 场区 2
H2 z|i|1/2, j 1/2,k
H 2 z|i1/2, j 1/2,k r
E n1 |i, j1/2,k
/ t / t
/2 /2
En |i, j 1/2,k
1
/ t
/2
n1
n 1
n 1
n 1
H 2 r|i, j1/2,k 1/2
H 2 r|i, j 1/2,k 1/2 z
一、计算机仿真中应用周期性边界条件
微纳光学领域内的光子晶体（Photonic Crystal） 、表面等离子体激元（Surface Plasmon）列阵结 构及超材料（Metamaterial）等； 这几种结构均由空间上周期性重复的散射体构成， 当计算透射率及能带结构时，常常可采用Floquet 周期边界将结构简化。
为精确地模拟散射体的形状和结构，网格单 元取得越小越好。但网格总数增加，计算机存 储和CPU时间也会随之增加。
解决这一问题的一般原则是，在基本满足计算 精度要求的情况下，尽量节省存储空间和计算 时间。与此同时，网格的空间步长对计算误差 也有影响。
从色散角度考虑，一般要求满足 s min / 10 。
H2 z|i|1/2, j 1/2,k
H 2 z|i1/2, j 1/2,k r
时域有限差分法
引言
时域有限差分法的软件
• • FDTDA，三维时域有限差分法的软件，源程序用FORTRAN语言 编写（1993年） XFDTD，具有多种功能，包含有瞬态近—远场外推，亚网格技 术，介质可以是有耗介质、磁化铁氧体，可用以分析生物体对电 磁波的吸收特性（SAR），螺旋及微带天线，天线阻抗的频率特 性，移动电话场强分布，细导线及复杂物体电磁散射和RCS （1996年） EMA3D，分析核电磁脉冲（NEMP）及雷电耦合，高功率微波， 宽带RCS，天线，屏蔽特性，印刷电路板的电磁兼容。软件具有 多种边界条件，亚网格剖分，适用于有耗介质、平面波源及电压 电流源（1997年）
其中E为电场强度，单位为伏特/米 D为电通量密度，单位为库仑/米2 H为磁场强度，单位为安培/米 B为磁通量密度，单位为韦伯/米2 J为电流密度，单位为安培/米2 Jm为磁流密度，单位为伏特/米2
麦克斯韦方程
各向同性线性介质中的本构关系为
B = μH
D = εE
其中 ε 为介质介电系数，单位为法拉/米 μ 为磁导系数，单位为亨利/米 σ 为电导率，单位为西门子/米 σ m 为导磁率，单位为欧姆/米 σ 和 σ m 分别为介质的电损耗和磁损耗 在真空中， σ = 0 ， σ = 0 ， ε = ε = 8.85 ×10−12 法拉/米
引言
时域有限差分法的产生与发展
• 1989年，Britt首次给出时域远场的结果，但未给出外 推的具体方法 • 1989年，Larson、Perlik和Taflove等人提出研究适用于 时域有限差分法的专用计算机，以便用于计算电磁波 与电大尺寸物体的相互作用 • 1990年，Maloney等人用柱坐标系下的时域有限差分法 分析了柱状和锥状天线位于理想导体平面上的辐射， 得到宽带天线的输入阻抗及瞬态辐射场的直观可视化 显示
时域有限差分方法发展
时域有限差分方法发展时域有限差分方法（FDTD）是一种数值模拟方法，用于分析电磁波在电磁介质中的传播规律和行为。
FDTD 方法因其精度高、适用性强和易于实现等特点，已成为求解电磁问题的重要数值方法之一。
本文将介绍 FDTD 方法的历史、理论基础、发展和应用。
一、FDTD方法的历史FDTD 方法最早可以追溯到20世纪60年代，当时美国内战研究所的J. T. Sinko 和K. L. Wong 开始了电磁场传输问题的理论研究，他们提出了一种细分方法，也就是时域有限差分方法。
此后，人们对这种方法进行了不断的改进和优化，以增强其计算效果和范围。
1970年代后期，FDTD 方法开始被广泛应用于求解电磁波的传播和散射问题，尤其在电磁场数值模型的精细化计算和二维和三维问题的求解方面得到了广泛应用。
随着计算机硬件和软件水平的提高以及数值方法的发展，FDTD 方法不断得到优化和完善，使得其在各种应用领域中都能得到成功地应用。
二、FDTD方法的理论基础FDTD 方法是一种基于麦克斯韦方程组的数值算法，它可以用于求解完整的时间域电磁场的变化。
其核心思想是通过对空间内的电磁场进行离散化处理，将微分方程转化为差分方程，进而用数值计算方法求解出场的值。
FDTD 方法的主要思想是将物理力学中的傅里叶变换方法应用到电磁场问题中。
具体来说，FDTD 方法是否采用离散时间和空间点以在有限时间内模拟模拟区域内的电磁波。
该方法在时间内基于麦克斯韦方程组的简化形式，以离散的形式计算和分析电磁波的传播和反射。
这些离散点可以由网格、三角网格（二维情况下）或四面体、四面体网格（三维情况下）建模。
在离散化计算之后，差分方程可转化为等效的差分模型，以计算场值。
三、FDTD方法的发展在过去几十年中，FDTD 方法得到了快速的发展和广泛的应用。
目前，FDTD方法可用于众多的问题求解，如电磁波的传播问题、微波电路、微波天线设计、宽带天线、电磁兼容性、光学传输问题以及生物医学中的电磁传播问题等。
第十一章-时域有限差分方法
第十一章-时域有限差分方法第十一章时域有限差分方法自从1966年K. S. Yee 创建时域有限差分法 (Finite Difference Time Domain，简称FDTD)[1]以来，已经发展成为一种理论完整、应用广泛的数值方法，并且与矩量法和有限元法一起奠定了计算电磁学的基础。
本章将介绍时域有限差分的基本理论，数值模拟技术，若干相关的专题以及工程实例。
11-1 差分的基本概念时域有限差分法是对微分形式的Maxwell方程进行差分求解的技术。
在详述其之前，首先简单回顾差分的基本概念。
已知分段连续函数在位置处的增量可表示为fxx，，(11-1-1) ,,，,,fxfxxfx，，，，，，其差商为,，,,fxfxxfx，，，，，， (11-1-2) ,,,xx,x当,0时，fx的导数定义为差商的极限，即，，,，,,fxfxxfx，，，，，，'limlim (11-1-3) fx,,，，,,,,xx00,,xx,x当足够小时，的导数可以近似为 fx，，dff,, (11-1-4) dxx,根据导数取值位置的不同，差分格式分为前向差分、后向差分和中心差分。
前向差分定义为fxxfx，,,，，，，,f (11-1-5) ,,,xxx后向差分定义为fxfxx,,,，，，，,f (11-1-6) ,,,xxx中心差分定义为fxxfxx，,,,,22，，，，,f (11-1-7) ,,,xxxfxx，,将在点x处展开为Taylor级数，得，，23dddfxfxfx，，，，，，1123 (11-1-8) fxxfxxxx，,,，,，,，,，，，，23d2!d3!dxxx37123dddfxfxfx，，，，，，1123 (11-1-9) fxxfxxxx,,,,,，,,,，，，，23d2!d3!dxxx将方程 (11-1-8) 和 (11-1-9) 代入 (11-1-5) ~ (11-1-7)后可以发现，前向和后向差分具有一阶精度，中心差分具有二阶精度。
时域有限差分法PPT课件
vg
d
dk
c
(1-10)
这种情况下，群速也是与频率无关。
.
8
1.2 数值色散关系(2)
上述过程也可用于一维标量波动方程差分近似的数值色散分析。
设在离散空间点 xi,tn,离散行波解为 u in u x i,tn e j n t k ~ i x ，
式中，k~ 为存在于有限差分网格中的数值正弦波的波数。一般情况 下，不同于连续物理波的波数。正是这种不同导致了数值相速和群 速偏离了精确解。进而导致了数值色散误差。
1.5 数值稳定性（1）
• FDTD计算中每一步都是有误差的，随着时间步进，误 差会不断积累。如果误差的积累不会造成总误差的增 加，就成FDTD法是稳定的，否则成为不稳定的。数值 不稳定性会造成计算结果随时间步进无限增加。
• FDTD法是有条件稳定的，即：时间步必须必须小于一 定值以避免数值不稳定性。
考虑(1.1)的正弦行波解 ux,tejtkx 代入(1-1)得
j2c2jk2 即
k c
上式便是一维标量波动方程的色散关系。
(1-8)
由上式得相速度
vp
k
c
（1-9）
可见，相速与频率无关，称为非色散。非色散意味着对于具有任意
调制的包络或脉冲形状的波传播任意距离后波形保持不变。进一步
由(1-8)可以得到群速关系
正弦函数
ui=sin(nt+)
高斯函数
ui=exp[-(n-n0)2/T2]
阶跃函数
ui= 0
n<n1
= ( n-n1)/(n2-n1) n1<n<n2
=1
n>n2
“硬源”设置简单，但当反射波回到“硬源”位置时， 会引起寄生反射，所以，要在这之前“关”掉源。
计算电磁学-第5章-时域有限差分法1
FDTD 方法提出之后，随着计算技术，特别是电子 计算机技术的发展， FDTD 方法得到了长足的发展 ，在电磁学，电子学，光学等领域都得到了广泛 的应用
4
为求解由偏微分方程定解问题所构造的数学模型
，有限差分法是将定解区域（场区）离散化为网 格离散节点的集合。
并以各离散点上函数的差商来近似该点的偏导数 ，使待求的偏微分方程定解问题转化为一组相应 的差分方程。根据差分方程组解出各离散点处的 待求函数值—离散解。
6
时域和频域的麦克斯韦方程
时域
H E t E H J , J E t E B 0
频域
E j H H J j E E B 0
x
+1
/2 ,k )
( x x, y, z ) (i 1, j, k )
y
Hx(i, j + 1 / 2,k + 1 / 2)
Hy (i +
( x, y , z ) (i, j, k )
x
Hz(i + 1 / 2, j + 1 / 2,k)
Hx(i,j+1/2,k+1/2) Hy(i+1/2,j,k+1/2) Hz(i+1/2,j+1/2,k)
12
离散取样
空间离散：假设在各方向上均匀离散，网 格步长 Δx, Δy, Δz ，用字符 i,j,k分别表示 x,y,z方向上的网格标示。这样连续的空间 (x,y,z)离散为用(i,j,k) 表示的离散空间点— —空间取样点。 ( x x, y y, z z )
第二章 时域有限差分法_IV-三维FDTD
2
二维Maxswell方程组 标量方程
Dz 1 t 0 0
H y H x x y
Dz = r* Ez
H x 1 Ez t 0 0 y
H y t
E z 0 0 x 1
2017/5/2
2017/5/2 6
在三维基本FDTD程序和二维FDTD程序中，都是在问题空间的中心设置简 单点源。但在三维仿真中，由点源产生的电场向外传播的过程中，与距离的 平方成反比衰减。相反，我们可用电偶极子天线作为源。如下图所示。 设置激励的方法 （1）在两臂空隙设置一电 场值。
（2）依照安培环路定律
3. 三维FDTD
2017/5/21 Nhomakorabea4.1 自由空间FDTD公式
重写Maxswell方程组
D 1 H t 0 0
（4-1-a）
= * E D r
H 1 E t 0 0
（4-1-b） （4-1-c）
2017/5/2
1 1 n n 1 I Dz i , j , k I i , j , k Dz curl _ h 2 2
Dzn 1/2 i, j , k 1/ 2 gi3 i gj3 j Dzn 1/2 i, j, k 1/ 2 1 n gi 2 i gj 2 j 0.5 curl _ h gk1 k I Dz i, j, k 2
(4.2f)
4
对时间和空间差分后，以(4.2c)和(4.2f)为例，迭代公式
Dzn1/2 i, j, k 1 2 Ezn1/2 i, j, k 1 2
matlab模拟的电磁学时域有限差分法
matlab模拟的电磁学时域有限差分法时域有限差分法（FDTD）是一种计算电磁波传播及散射的数值模拟方法。
它是基于麦克斯韦方程组进行仿真的一种方法，而且从计算电磁波传播的实质上来看，FDTD方法是一种求解时域麦克斯韦方程的有限差分方法。
在FDTD方法中，我们将区域空间离散化，并定义电场、磁场等量的格点值。
然后，根据麦克斯韦方程组的时域形式，在各个时刻进行场量的更新。
FDTD方法在实践应用中具有计算时间和空间复杂度低，且适用于复杂的结构和非线性介质等特点，所以在电磁学数值仿真中应用广泛。
我们可以用MATLAB来进行FDTD的电磁学仿真，下面详细介绍MATLAB的使用步骤：1. 建立空间离散化格点在仿真开始前，需要先根据空间大小和仿真目的来建立离散化格点。
对于一个一维的结构，我们可以用以下代码来建立：x = linspace(0,1,N); %建立离散化空间格点Ex = zeros(1,N); %电场，长度为N的全0数组Hy = zeros(1,N); %磁场，长度为N的全0数组其中N为获取离散化格点数量的参数，x为离散化空间格点，Ex和Hy为电场和磁场。
2. 定义电场和磁场边界条件在进行仿真时，需要了解仿真的边界情况并将其定义成特殊的边界条件。
例如，仿真空间内可能存在各种元件、环境等，这些都会对电场和磁场的性质产生影响。
所以，我们需要用特殊边界条件来约束仿真空间内电场和磁场的行为。
在FDTD中，通常采用数值反射边界条件（DNG Boundary）来进行仿真。
例如，在这个边界条件下，在仿真空间内部设置经典的电场边界条件：场强等于零；并在仿真空间外部添加一层基质，该基质的介电常数和磁导率均为负值，并且在该基质中场的强度和方向均反向。
相当于在仿真空间外设置一个虚拟折射界面，能够将场边界反射。
我们设定如下代码：M = 20; % 反射界面层数Ex_low_M1 = 0; %反射界面边界条件Ex_high_M1 = 0; %反射界面边界条件for i = 1:MEx_low_M2(i) = Ex_high_M2(i-1); %反转反射界面内的电场贡献Ex_high_M2(i) = Ex_low_M2(i-1); %反转反射界面内的电场贡献end3. 计算电场的场值FDTD仿真中最核心的内容就是判断时刻要计算的电场场值。
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k~
1 x
cos 1 1
x ct
2
cost
1
（1-13）
可见数值相速与频率有关。因此，由FDTD得到的数值波是色散的。
• 取 ct x ，x 0 则数值相速为v~p 0.9873c 。相对误差为
2
10
-1.27%。如果物理波传播了100 距离(100空间格)时，数值模拟波只
传播了98.73空间格，相位误差为45.720。
• 课程内容取自下列的参考书和近年来相关的一些文献
[1]A.Taflove,Computational Electrodynamics • The FiniteDifference Time-Domain Method, Artech Hourse，1995.
[2]高本庆，时域有限差分法，国防工业出版社，1995. [3]葛德彪，闫玉波，电磁场时域有限差分法，西电出版社，2002
1.1 差分近似（1）
一维标量波动方程
2u c2 2u
t 2
x 2
上式的解为 u F(x ct) G(x ct)
（1-1） （1-2）
采用Taylor 展开
u(xi
x, tn ) u
xi ,t n
x u x
xi ,tn
x 2
2!
2u x 2
xi ,tn
x3 3!
3u x 3
xi ,tn
u
n1 i
ct x
2
u
n i 1
2u
n i
uin1
2uin uin1
（1-6）
t2 c2O x2 O t2
忽略高次项，便可得到求解的差分迭代公式。
1.1 差分近似（3）
n=0 在所有空间点给uin, uin-1(i=1:imax)赋初值
n=n+1
由(1-6)在所有空间点求uin+1(i=1:imax)
• 取 ct x ，x 0
2
20
则 v~p 0.9969c
。这时数值相速的相对
误差为0.31，减少了4倍。同样，当物理波传播了同样的 100 时
(200空间格)，数值模拟传播了199.378格，相位误差为11.1960，也
减少了4倍。误差减少了4倍反映了差分算法是二阶精度的。
1.3 数值相速（2）
• 情况2： 魔时间步 ct x
(1-12)变为
cost cos k~x
,即t
~ k x
，k~
k
。
所以，v~p v p
c
。可见，魔时间步下差分解与精确解相同。
1.4 数值群速
定义数值相速为 • 情况1 非常细网格
v~g
d
~ dk
c 2t x
sin k~x
sint
（1-14）
利用正弦函数的一阶Taylor展开，可得
将上式代入差分方程(1-6),得
e jt ct 2 e jk~x 2 e jk~x 2 e jt x 重新组合并应用 Euler恒等式，最后得到数值色散关系为
cost ct 2
cos
~ k x
1
1
x
(1-11) (1-12)
1.3 数值相速（1）
类似于(1-9)，定义数值相速为 v~p k~ 由（1-12）可得
对于一维问题，采用单向波方程
u c u t x
于是利用单向差分近似得到吸收边界条件，详细讨论 见后面章节。
结论1
本讲介绍了一维标量波动方程的FDTD求解过程：
• 利用Taylor级数展开方法获取空间/时间导数的二阶 中心差分近似，从而得到具有二阶精度的方程数值解的 时间步进迭代公式。
• 一般情况下，数值解引入了寄生的数值色散。当空 间步长和时间步长非常小时，数值解逼近精确解。当时 间步长满足魔时间步条件时，数值解等于精确解。
在FDTD模拟电磁波传播时需要设置初始条件和激励
源。最简单的源设置方法是“硬源”, 即在激励源的位置
令 u满足ui=f(n), 常用的有
正弦函数
ui=sin(nt+)
高斯函数
ui=exp[-(n-n0)2/T2]
阶跃函数
ui= 0
n<n1
= ( n-n1)/(n2-n1) n1<n<n2
=1
n>n2
• 情况1：非常细网格 t 0, x 0
根据 cos x 1 x 2 2 , 当 x 0 ，数值色散关系(1-12)变为
1 t2 2
ct x
2
1
~2 k x
2
1 1
即， 2
c 2k~ 2
，最后得
~ k
k
c
，于是有
v~p v p
。
所以，在非常细的网格条件下，差分解逼近精确解。
• 空间步长和时间步长必须满足Courant稳定性条件才能 保证数值解的稳定性。
习题1
1.1 利用Taylor级数展开方法分别推导一阶导数 u x 的二阶和四阶 精度中心差分近似。
1.2 利用数值相速和群速公式分别画出数值相速和群速 ct 0.99x
在ct 0.90x ，ct 0.50x ，ct 0.10x和
由(1-8)可以得到群速关系
vg
d
dk
c
(1-10)
这种情况下，群速也是与频率无关。
1.2 数值色散关系(2)
上述过程也可用于一维标量波动方程差分近似的数值色散分析。
设在离散空间点 xi , tn ,离散行波解为 uin uxi , tn e j ntk~ix ，
式中，k~ 为存在于有限差分网格中的数值正弦波的波数。一般情况 下，不同于连续物理波的波数。正是这种不同导致了数值相速和群 速偏离了精确解。进而导致了数值色散误差。
• 本节的数值稳定性分析方法是建立在Courant等人几十 年前提出的经典方法基础上。这种方法首先把有限差 分算法分解为相互分离的时间和空间本征值问题。
1.5 数值稳定性（1）
• 时间本征值问题
2 t 2
un
numerical i
u
n i
差分近似，得
u
n1 i
2u
n i
uin1
t 2
u
n i
时域有限差分法
第1讲 一维标量波动方程
引言（1）
• 1966年,K.S. Yee（美籍香港人）首先提出了FiniteDifference Time-Domain Method,并用于柱形金属柱 电磁散射分析。由于当时计算机技术还比较落后，这 一方法并未引起重视。
• 1972年,A.Taflovey应用FDTD研究了UHF和微波对人类 眼睛的穿透，以了解“微波白内障”的成因。Taflove 成功地应用和发展了Yee的FDTD算法。
定义不变增长因子
qi
u
n 1 i
u
n i
u
n i
u
n 1 i
(1-17) (1-18)
(1-19)
1.5 数值稳定性（2）
将(1-19)代入(1-18)，有 qi2 [2 t2 ]qi 1 0，于是
2 t2
qi
2 t2 2 4
a
a2 1
2
算法稳定性要求 qi 1 。如果 a 2 1 0 ，则总有
在 ct x ，ct 0.90x 和 ct 1.01x 条件下每隔1000个时间步 画出每个传播脉冲关于位置的分布曲线。
c 2
u
n i 1
2u
n i
uin1
x 2
u
n i
(1-22)
令
u u0e jk~ix ，Eular公式可得
2c 2
x2
cos k~x 1
因为 cos k~x 1 ，所以 4c2 0
x2
(1-23)
上式给出了差分网格中任意空间Fourier模的本征值谱。
1.5 数值稳定性（4）
x 4 4!
4u x 4
1 ,tn
（1-3）
1.1 差分近似（2）
于是，有
2u
x 2
xi ,tn
uin1
2u
n i
uin1
O
x 2
x 2
(1-4）
同理，有
2u
t 2
xi ,tn
uin1 2uin uin1 O t 2
t 2
(1-5）
上式称为二阶偏导数的二阶中心差分格式。
将它们代入(1-1)，得
考虑(1.1)的正弦行波解 ux, t e j tkx 代入(1-1)得
j 2 c 2 jk 2
即
k c
上式便是一维标量波动方程的色散关系。
(1-8)
由上式得相速度
vp
k
c
（1-9）
可见，相速与频率无关，称为非色散。非色散意味着对于具有任意
调制的包络或脉冲形状的波传播任意距离后波形保持不变。进一步
No n>nmax? Yes 结束
图1.1 一维波动方程FDTD流程图
1.1 差分近似（4）
应当注意，在一般情况下(1-6)对时间或空间具有二阶精度。但对
于 ct x 1 的特殊情况，根据解(1-2)，可以证明
4u x 4
,tn
c4 4u t 4
xi ,
于是
c 2O x2
cx2
12
• 80年代后期，随着高速大容量计算机的普及，FDTD法 得到了迅速发展。如今已应用于涉及波动现象的任何 领域。至今，FDTD法的研究与应用仍方兴未艾。
引言（2）
• 本课程采用研讨班形式。教师讲授FDTD的基本知识， 学生针对某一方向进行较深入的研究。
• 本讲我们考虑描述波动现象的最基本偏微分方程：一 维 标 量 波 动 方 程 的 数 值 FDTD 解 ， 为 以 后 二 维 、 三 维 Maxwell方程的FDTD分析奠定基础