时域有限差分法(姚伟)介绍
时域有限差分法二维
时域有限差分法二维1. 引言时域有限差分法（Finite Difference Time Domain, FDTD）是一种常用的数值计算方法，用于求解电磁场在时域中的传播和辐射问题。
本文将以二维情况为例，深入探讨时域有限差分法的原理和应用。
通过本文的介绍和解读，您将更全面地理解这一方法，并能够灵活应用于相关领域。
2. 时域有限差分法简介2.1 原理概述时域有限差分法是一种迭代求解偏微分方程的方法，通过将时域和空间离散化，将连续问题转化为离散问题。
在二维情况下，假设空间网格分辨率为Δx和Δy，时间步长为Δt。
根据电磁场的麦克斯韦方程组，可以利用中心差分公式进行离散化计算，得到求解方程组的更新方程。
2.2 空间离散化对于二维情况，空间离散化可以采用正交网格或非正交网格。
常见的正交网格包括方形格点、Yee网格等，而非正交网格则具有更灵活的形态。
根据需要和应用场景，选择合适的离散化方法对问题进行求解。
2.3 时间离散化时间离散化主要有显式和隐式两种方法。
显式方法将时间推进方程展开成前一时刻的电场和磁场与当前时刻的源项之间的关系，容易计算但对时间步长有限制；隐式方法则是通过迭代或矩阵计算求解当前时刻的电场和磁场。
3. 时域有限差分法的应用领域时域有限差分法广泛应用于电磁场传播和辐射问题的数值模拟中。
以下是几个典型的应用领域：3.1 辐射问题时域有限差分法可以模拟电磁波在空间中的辐射传播过程。
可以用于分析天线的辐射特性，设计无线通信系统的天线，或者分析电磁波在无线电频段的传播情况。
3.2 波导问题对于波导结构，时域有限差分法可以求解其模式、传输特性等问题。
波导结构广泛应用于光子学器件、微波器件等领域，时域有限差分法为建立数值模型和解析波导特性提供了一种有效的数值计算手段。
3.3 散射问题时域有限差分法在散射问题的数值模拟中也有重要应用。
通过模拟散射体与电磁波的相互作用过程，可以研究和分析散射体的散射特性，例如雷达散射截面的计算、微波散射问题等。
时域有限差分法介绍
时域有限差分法介绍
时域有限差分法（Finite Difference Time Domain, FDTD）是
一种数值求解电磁波在时域中传播的方法。
它通过将空间和时间连续
性方程离散化，将偏微分方程转化为差分方程，并使用差分法来近似
求解波动方程。
时域有限差分法可以用于研究不同频率和波长的电磁波在各向同性、各向异性以及具有非线性、色散等特性的介质中的传播和相互作用。
它广泛应用于光学和电磁学领域中，可用于模拟光纤、微波器件、天线、光子晶体、超材料等的性能。
该方法的基本思想是将空间划分为离散的单元，称为网格，其中
包含了电场、磁场、电流和电荷等物理量。
通过对空间坐标和时间进
行离散化，可以将连续的偏微分方程转化为差分方程。
具体地，通过
泰勒展开将时域和空域的导数转化为有限差分的形式。
在时域有限差分法中，电场和磁场被分别定义在正方形的网格节
点上。
通过应用麦克斯韦方程组的差分形式，可以得到给定时间步长
的下一个时间步的电场和磁场值。
这些值可以根据初始条件和边界条
件进行更新。
时域有限差分法具有较好的稳定性和精度，可以模拟各种复杂的
电磁现象。
然而，它在处理边界条件和非均匀介质等问题时存在一些
困难。
因此，研究者们提出了各种改进的时域有限差分法，以提高其
适用性和效率。
时域有限差分法
时域有限差分法
时域有限差分法的基本思想是用中心差商代替场量对时间和空间的一阶偏微商, 通过在时域的递推模拟波的传播过程, 从而得出场分布。
它最早由K.S.Yee 于1966 年提出，在此之后的20 年内，其研究进展缓慢，只是在电磁散射、电磁兼容领域有一些初步的应用。
自80 年代末，时域有限差分法成为电磁场数值计算的重要方法之一。
在声学数值计算中，时域有限差分法已应用于水声学、噪声控制及室内声学等方面的数值模拟。
时域有限差分法(Finite difference time domainmethod，FDTD)直接离散时域波动方程，不需要任何形式的导出方程，故不会因为数学模型而限制其应用范围。
它的差分格式中包含有介质的参量，只须赋予各网格相应的参量，就能模拟各种复杂的结构，这是时域有限差分法的一个突出优点。
另外，由于时域有限差分法采用步进法进行计算，故能很容易地实现各种复杂时域宽带信号的模拟，而且可以非常方便地获得空间某一点的时域信号波形。
时域有限差分方法、编程技巧与应用
时域有限差分方法、编程技巧与应用下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢！本店铺为大家提供各种类型的实用资料，如教育随笔、日记赏析、句子摘抄、古诗大全、经典美文、话题作文、工作总结、词语解析、文案摘录、其他资料等等，想了解不同资料格式和写法，敬请关注！Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you! In addition, this shop provides you with various types of practical materials, such as educational essays, diary appreciation, sentence excerpts, ancient poems, classic articles, topic composition, work summary, word parsing, copy excerpts, other materials and so on, want to know different data formats and writing methods, please pay attention!一、介绍在科学计算领域，时域有限差分方法是一种用于解决偏微分方程（PDEs）数值解的有效方法。
时域有限差分
z
z
Ezn (i, j 1/ 2, k 1/ 2) y
Ezn (i, j 1, k 1/ 2) Ezn (i, j, k 1/ 2) y
偏微分方程离散
作业报告9，推导其他5个偏微分方程 的差分格式。
整理后得
Hx
n
1 2
n 1 1 1 1 i, j , k H x 2 i, j , k 2 2 2 2
H x t
n
i , j 1/2, k 1/2
1 E y Ez z y i , j 1/2,k 1/2
Ezn
n
Eyn Hxn
z y
(i,j+1/2,k+1/2)
方程离散点
Ezn
Eyn
偏微分方程离散
H x t
n i , j 1/2, k 1/2
t
E n 1 x, y, z E n x, y, z
Eyn Hxn
n
1 E y Ez z y i , j 1/2,k 1/2
Ezn
方程离散点
z y
(i,j+1/2,k+1/2)
Ezn
写成取样离散格式
Eyn
n H xn (i, j 1/ 2, k 1/ 2) 1 E y (i, j 1/ 2, k 1/ 2) Ezn (i, j 1/ 2, k 1/ 2) t z y
Ampère’s Equation
D x, y, z, t H x, y , z , t t
Maxwell方程组
B x, y, z, t E x, y, z, t t
时域有限差分算法
时域有限差分算法Finite-Difference Time-Domain (FDTD) Algorithm时域有限差分算法（Finite-Difference Time-Domain，FDTD）FDTD is a numerical technique used to solve Maxwell's equations in the time domain.时域有限差分算法是一种用于在时域中求解麦克斯韦方程的数值技术。
It discretizes the spatial and temporal domains, allowing for the simulation of electromagnetic wave propagation and interaction with complex structures.该算法将空间和时间域离散化，从而能够模拟电磁波的传播以及与复杂结构的相互作用。
The algorithm is widely used in various fields, including antenna design, microwave engineering, and electromagnetic compatibility analysis.该算法广泛应用于多个领域，包括天线设计、微波工程和电磁兼容性分析。
The main advantage of FDTD is its ability to handle arbitrary geometries and material properties, making it a powerful tool for electromagnetic modeling and simulation.时域有限差分算法的主要优势在于其能够处理任意几何形状和材料属性，使其成为电磁建模和模拟的有力工具。
However, it can be computationally demanding, especially for large-scale problems, due to the need to discretize both space andtime.然而，由于需要同时离散化空间和时间，时域有限差分算法在计算上可能要求较高，尤其是对于大规模问题。
时域有限差分法
时域有限差分法时域有限差分（FiniteDifferenceinTimeDomain,称FDTD）法是一种广泛应用于电磁场仿真的数值计算方法，它以离散时间步长来描述电磁场的变化，可以准确模拟空间内电磁场随时间变化的波动特性。
在时域有限差分仿真中，以Maxwell方程描述电磁场的运动，将时域的空间变化转换为表示时间的一维网格，用有限差分技术对Maxwell 方程组及其边界条件进行求解，可以得到空间中电磁场的离散值的解，从而达到仿真电磁场变化的目的。
FDTD仿真技术的最早应用出现在1960年代。
由于它的有效性和快速灵活性，FDTD仿真技术得到了快速发展，在电磁场仿真中得到了普遍应用。
FDTD仿真技术具有以下优点：1.基本实现简单，编程简单，计算效率高；2.可以准确仿真各种复杂电磁环境中电磁波传播的特性，如介质内各种参数随时间变化；3.不仅可以仿真欧姆模型，还可以用于局部质点模型的仿真；4.容易添加吸收边界，有效地抑制反射和折射现象；5.可以定制计算区域，灵活处理各种复杂的边界条件；6.计算中可以容易地加入激励和探测源；7.可以同时计算多个激励源和探测源，完成多源多探测器的仿真；8.可以方便地仿真非线性电磁材料的特性；9.单片机控制的实时仿真可以实时进行激励和探测调制；10.可以方便地模拟分布式电磁系统。
时域有限差分仿真技术的基本原理是采用有限差分法，沿时间轴以离散的步长，用一维数组离散地表示各点的电场态，并以此实现电磁场系统的时间域模拟。
FDTD法在时间域上使用一维离散网格，将Maxwell方程组及其边界条件分解，分别应用一阶导数近似公式（如中心差分公式）求解，按照计算元（grid point）在时空域中的局部特性，分别设定电磁场源、介质参数和边界条件，利用时域有限差分公式迭代求解Maxwell方程，可以得到边界条件和激励源允许的范围内的空间中的电磁场的离散值的解，从而达到仿真电磁场变化的目的。
借助时域有限差分法可以实现对天线、微波传输线、无线局域网、雷达、全波器件等电磁系统的仿真，其结果可以用于设计、性能预测、状态诊断、运行维护、电磁干扰抑制等诸多应用领域。
时域有限差分方法
时域有限差分方法
时域有限差分方法（FDTD）是一种数值求解电磁场问题的方法，适用于计算复杂的电磁现象。
该方法将电磁场方程离散化为差分形式，然后通过不断迭代求解差分方程，得到电磁场在时域上的时变分布。
具体来说，FDTD方法将空间和时间分割成网格，然后在每个网格点上估计电磁场的值。
通过使用差分方程，可以将电场和磁场的时变分布递推到下一个时间步。
一般而言，FDTD方法采用中心差分形式的差分方程，以提高数值解的稳定性和精度。
FDTD方法的主要优点是适用于计算非线性、吸收、散射等复杂电磁现象。
由于差分形式的方程可以直接计算，相比其他数值方法（如有限元方法和边界元方法），FDTD方法具有较高的计算速度。
然而，FDTD方法也存在一些限制。
由于需要将空间和时间分割为网格，因此对于复杂几何形状和大尺寸问题，需要较大的计算资源和内存。
此外，FDTD方法对吸收边界条件的处理也比较复杂，需要采用合适的数值技巧来避免误差累积。
总的来说，FDTD方法是一种广泛应用于电磁场问题求解的数值方法，具有较高的计算速度和适用性。
在实际应用中，可以结合其他方法或技术对其进行改进和优化，以适应各种特定问题的求解需求。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
伊犁师范学院硕士研究生————期末考核科目：电磁波有限时域差分方法姓名：***学号：*************学院：电子与信息工程学院专业：无线电物理时域有限差分法1 选题背景在多种可用的数值方法中，时域有限差分法(FDTD)是一种新近发展起来的可选方法。
1966年，K.S.Yee 首次提出电磁场数值计算的新方法—时域有限差分法(Finite Difference- Time Domain ，简称FDTD)。
经历了二十年的发展FDTD 法才逐渐走向成熟。
上世纪80年代后期以来FDTD 法进入了一个新的发展阶段，即由成熟转为被广泛接受和应用的阶段。
FDTD 法是解决复杂问题的有效方法之一，是一种直接基于时域电磁场微分方程的数值算法，它直接在时域将Maxwell 旋度方程用二阶精度的中心差分近似，从而将时域微分方程的求解转换为差分方程的迭代求解。
是电磁场和电磁波运动规律和运动过程的计算机模拟。
原则上可以求解任意形式的电磁场和电磁波的技术和工程问题，并且对计算机内存容量要求较低、计算速度较快、尤其适用于并行算法。
现在FDTD 法己被广泛应用于天线的分析与设计、目标电磁散射、电磁兼容、微波电路和光路时域分析、生物电磁剂量学、瞬态电磁场研究等多个领域[1]。
2 原理分析2.1 FDTD 的Yee 元胞E,H 场分量取样节点在空间和时间上采取交替排布，利用电生磁，磁生电的原理t t ∂∂=∂∂=⨯∇E D H ε t t ∂∂-=∂∂-=⨯∇HB E μ图1 Yee 模型如图1所示，Yee 单元有以下特点[2]：1）E 与H 分量在空间交叉放置，相互垂直；每一坐标平面上的E 分量四周由H 分量环绕，H 分量的四周由E 分量环绕；场分量均与坐标轴方向一致。
2）每一个Yee 元胞有8个节点，12条棱边，6个面。
棱边上电场分量近似相等，用棱边的中心节点表示，平面上的磁场分量近似相等，用面的中心节点表示。
3）每一场分量自身相距一个空间步长，E 和H 相距半个空间步长 4）每一场分量自身相距一个时间步长，E 和H 相距半个时间步长，电场取n 时刻的值，磁场取n+0.5时刻的值；即：电场n 时刻的值由n-1时刻的值得到，磁场n+0.5时刻的值由n-0.5时刻的值得到；电场n 时刻的旋度对应n+0.5时刻的磁场值，磁场n+0.5时刻的旋度对应(n+0.5)+0.5时刻的电场值，逐步外推。
5）3个空间方向上的时间步长相等，以保证均匀介质中场量的空间变量与时间变量完全对称。
应用这种离散方式，将含时间变量的Maxwell 方程转化为一组差分方程，并在时间轴上逐步推进地求解空间电磁场。
由电磁问题的初值和边界条件，就可以逐步推进地求解以后各时刻空间电磁场分布。
2.2 Maxwell 方程FDTD 的差分格式麦克斯韦第一、二方程 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫⎝⎛+∂∂-=⨯∇+∂∂=⨯∇m t t J B E J D H （1）式中，J 时电流密度，反映电损耗，mJ 是磁流密度，单位2m V /，反映磁损耗。
主要与上式对应。
各向同性介质中的本构关系：H JE J H B E D m mγγμε==== （2）其中m γ是磁阻率，计算磁损耗的。
以H E ,为变量，在直角坐标中，展开麦克斯韦第一、二方程，分别为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂=∂∂-∂∂zz x y y y zx x xy z Et E y H x H E t E x H z H E t E z H yH γεγεγε （3） ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-∂∂-=∂∂-∂∂-∂∂-=∂∂-∂∂-∂∂-=∂∂-∂∂zm z x y y m y zx x m xy z Ht H y E x E H t H x E z E H t H z E yE γμγμγμ （4） 令()t ,z ,y ,x f 代表H E,在直角坐标中的任何一个分量，离散符号取为()()()k ,j ,i ft n ,z k ,y j ,x i f t z y x f n=∆∆∆∆=,,, （5）()t ,z ,y ,x f 关于时间和空间的一阶偏导数取中心差分近似为()()[]()()[]()()[]()()⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∆≈∂∂--+∆≈∂∂--+∆≈∂∂--+∆≈∂∂+∆=∆=∆=∆=k ,j ,i f k ,j ,i f t 1t f k ,j ,i f k ,j ,i f z 1z f k ,j ,i f k ,j ,i f y 1y f k ,j ,i f k ,j ,i f x 1x f 21-n 21n t n t 21n 21n z k z 21n21n yj y 21n21n xi x （6） 可以看出，每一节点上沿某一方向场分量的一阶偏微分可以用在该方向上相邻两点的一阶中心差商来描述，将式(1)用一阶中心差商方程取代，整理后便得到一阶差分方程，它具有二阶精度[3]。
Yee 元胞如图1所示，规定为1）剖分节点与场分量所在棱边中点不同，场分量的位置，即H E,节点是Yee 元胞节点的相对位置，不需要单独编码；2）当空间存在媒质分界面时，场量自动满足场的连续性条件，2t1t 2t 1t H H ,E E ==电磁分量的取样方式不仅符合法拉第电磁感应定律和安培环路定律的自然结构，也符合麦克斯韦方程的差分计算。
其次，时间步长可以取为电磁波传播一个空间步长所需时间的一半，因此E 与H 在时间顺序上交替抽样，时间间隔相差半个时间步长。
2.3 一维问题均匀平面波（TEM 波）是一维问题，设电磁波沿z 轴方向传播，则00==z z , H E ，场量和介质参数均与x ，y 无关，即0y ,0x =∂∂=∂∂，麦克斯韦方程为ym y xxxyH γt H μz E γE t E εz H +∂∂=∂∂-+∂∂=∂∂-（7）和xm x y yy x H γtH μz E γE tE εz H +∂∂=∂∂-+∂∂=∂∂- （8）旋转坐标轴后可以只保留一组公式[4]，设保留（7） Yee 元胞如图2所示E xH yz图2 一维Yee 元胞差分格式为()()()()()() k H k H z 1m CB k E m CA k E2121n y2121n y nx1n x⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+∆-=+++ （9）()()()()()()[]k E 1k E z1m CQ k H m CP k H n x n x2121n y2121n y-+∆-+=+-+（10）如果介质无损耗，则0 ,0m ==γγ2.4 二维问题三维通常是散射问题，二维是TE 、TM 波问题，一维是TEM 波问题。
在二维场中，所有物理量与Z 坐标无关，既0z /=∂∂。
于是在TE 和TM 波的表达式分别为TE 波（0E z =） ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-∂∂-=∂∂-∂∂+∂∂=∂∂-+∂∂=∂∂H t H y E x E E t E x H E tE y H zm z x y y y zx x z γμγεγε （11）TM 波（0H z =） ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+∂∂=∂∂-∂∂-∂∂-=∂∂--∂∂-=∂∂zz x y y m y zxm x zEt E y H x H H t H x E H t H y E γεγμγμ （12）图3分别给出了TM 波和TE 波的Yee 元胞图图3 TM 波的Yee 元胞 图4 TE 波的Yee 元胞对于TE 波，只要令0=z E ，在z ∆上，yx H H , 不随z 变化，m 中去掉k 即可得到：()()()()()()j ,i H j ,i H y 1m CB j ,i E m CA j ,i E212121n z212121n z 21n x211n x⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-++∆++=++++ 式中：j ,i m 21+= （13）()()()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++∆-+=++++212121n z212121n z 21n y211n yj ,i H j ,i H x 1m CB j ,i E m CA j ,i E式中：21j ,i m += （14）()()()()()()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∆+-++-∆+-++⋅-++=++-+yj ,i E 1j ,i E x j ,i E j ,1i E m CQj ,i H m CP j ,i H 21n x21n x21n y21n y212121n z212121n z式中，2121j ,i m ++= （15） 对TM 波，只要令0=z H ，在z ∆上，yx E E , 不随z 变化，m 中去掉k ，即可得到：()()()()()()[] j ,i E 1j ,i E y1m CQ j ,i H m CP j ,i H n z n z2121n x2121n x-+∆-+=+-+式中，21j ,i m += （16） ()()()()()()[]j ,i E j ,1i E x1m CQ j ,i H m CP j ,i H n z nz 2121n y2121n y-+∆++=+-+式中，j ,i m 21+= （17）()()()()()()()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∆--+-∆--++=+++++yj ,i H j ,i H x j ,i H j ,i H m CBj ,i E m CA j ,i E 2121n x 2121n x 2121n y 2121n y n z 1n z式中：j ,i m = （18）为了编写统一的TE 和TM 波二维FDTD 程序，可将描述TE 波差分公式(13)～(15)中相应的标号整体移动1/2，即坐标（x,y ）分别沿x 和y 轴方向移动半个网格，并将离散时间也移动半个时间步长，式(13)～(15)可以重新写为()()()()()()[] j ,i H 1j ,i Hy 1m CB j ,i E m CA j ,i E n z n z2121n x2121n x-+∆++=+-+式中：21j ,i m += （19）()()()()()()[]j ,i H j ,1i H x1m CB j ,i E m CA j ,i E n z n z 2121n y2121n y-+∆-+=+-+式中：j ,i m 21+= （20）()()()()()()()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∆--+-∆--+-=+++++yj ,i E j ,i E x j ,i E j ,i E m CQj ,i H m CP j ,i H 2121n x 2121n x 2121n y 2121n y n z 1n z式中，j ,i m += （21） 可以看出，TE 波的FDTD 公式(19)～(21)与TM 波的FDTD 公式(16)～(18)形式相同，给编程带来极大方便。