2020年福建省龙岩市高考数学一模试卷(理科)

高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知(m＋2i)(2－i)＝4＋3i，m∈R，i为虚数单位，则m的值为( )A. 1B. －1C. 2D. －22.已知，则sin2α=（）A. B. C. D.3.已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则数列{a n}的前8项和为（）A. -20B. -18C. -8D. -104.如果执行如图的程序框图，输入正整数n，m，且满足n≥m，那么输出的p等于（）A. AB. AC. CD. C5.已知实数x，y满足不等式组，则x-y的取值范围为（）A. [-2，+∞）B. [-1，+∞）C. （-∞，2]D. [-2，2]6.已知双曲线（a＞0，b＞0）和双曲线（m＞0，n＞0）焦距相等，离心率分别为e1、e2，若，则下列结论正确的是（）A. C1和C2离心率相等B. C1和C2渐近线相同C. C1和C2实轴长相等D. C1和C2虚轴长相等7.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球表面积（）A. B. 2 C. 4 D. 12π8.如图，AB和CD是圆O两条互相垂直的直径，分别以OA，OB，OC，OD为直径作四个圆，在圆O内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A. 1-B.C.D.9.已知函数（ω＞0）在区间上单调，则ω的取值范围为（）A. B. C. D.10.设，T=|a-s|，a∈N*，当T取最小值时a的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 511.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，P是AA1的中点，点M在侧面AA1B1B内，若D1M⊥CP，则△BCM面积的最小值为（）A. 8B. 4C.D.12.已知数列{a n}各项均为整数，共有7项，且满足|a k+1-a k|=1，k=1，2，…6，其中a1=1，a7=a（a为常数且a＞0）．若满足上述条件的不同数列个数共有15个，则a的值为（）A. 1B. 3C. 5D. 713.已知向量，的夹角为60°，，，则=______．14.若（1+x）（a+x）4的展开式中x3项的系数为16，则实数a=______．15.已知抛物线y2=4x的焦点为F，其准线与x轴的交点为Q，过点F作直线与抛物线交于A，B两点．若以QF为直径的圆过点B，则|AF|-|BF|的值为______．16.已知f（x）=|x|3-4x2，若f（x）的图象和y=ax的图象有四个不同的公共点，则实数a的取值范围是______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2c cos B=2a-b．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）设D为BC中点，若AD=3，求△ABC面积的取值范围．18.如图，已知四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠ABC=60°，BM⊥平面ABCD，DN∥BM，BM=2DN，点E是线段MN上的一点．O为线段BD的中点．（Ⅰ）若OF⊥BE于F且OF=1，证明：AF⊥平面ECB；（Ⅱ）若BM=4，，求二面角E-BC-M的余弦值．19.已知椭圆E的方程为，点A为长轴的右端点．B，C为椭圆E上关于原点对称的两点．直线AB与直线AC的斜率k AB和k AC满足：．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+t与圆相切，且与椭圆E相交于M，N两点，求证：以线段MN为直径的圆恒过原点．20.某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，现有n（n∈N*）份血液样本，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n次；（2）混合检验，将其中k（k∈N*且k≥2）份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这k 份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为k+1次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（0＜p＜1）．（Ⅰ）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过4次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率．（Ⅱ）现取其中k（k∈N*且k≥2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为ξ1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为ξ2（ⅰ）试运用概率统计的知识，若Eξ1=Eξ2，试求p关于k的函数关系式p=f（k）；（ⅱ）若，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k的最大值．参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln4≈1.3863，ln5≈1.6094，ln6≈1.791821.已知函数f（x）=ln x+（a∈R且a≠0），g（x）=（b-1）x-xe x-（b∈R）（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当a=1时，若关于x的不等式f（x）+g（x）≤-2恒成立，求实数b的取值范围．22.已知平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ-2ρsinθ-4=0．（Ⅰ）求直线l的普通方程、曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A、B两点，且|AB|=2．求α的大小．23.已知函数f（x）=|x-m|（m∈R）．（Ⅰ）当m=2时，解不等式f（x）＞7-|x-1|；（Ⅱ）若存在x∈R，使f（x）＞7+|x-1|成立，求m的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求解．【解答】解：由（m+2i)(2-i）=（2m+2）+（4-m）i=4+3i，得，即m=1．故选：A．2.【答案】A【解析】解：∵，则sin2α=cos（-2α）=2-1=-，故选：A．由题意利用利用诱导公式、二倍角公式，求得结果．本题主要考查利用诱导公式、二倍角公式进行化简三角函数式，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：等差数列{a n}的公差d为2，若a1，a3，a4成等比数列，可得a32=a1a4，即有（a1+4）2=a1（a1+6），解得a1=-8，则{a n}前8项的和为-8×8+×8×7×2=-8．故选：C．设公差d=2，运用等比数列中项性质和等差数列的通项公式和求和公式，计算可得所求和．本题考查等差数列的通项公式和求和公式，等比中项的定义，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：模拟程序的运行，可得：第一次循环：k=1，p=1，p=；第二次循环：k=2，p=•；第三次循环：k=3，p=••…第m次循环：k=m，p=••…此时结束循环，输出p=••…==C m分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是利用循环计算并输出变量P的值，模拟程序的运行对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．本题考查了程序框图的应用问题，排列公式，考查了学生的视图能力以及观察、推理的能力，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，程序要注意对第m次循环结果的归纳，这是本题的关键，属于中档题．5.【答案】B【解析】解：设z=x-y，则y=x-z，作出不等式对应的平面区域（阴影部分）如图：平移直线y=x-z，由图象可知当直线y=x-z经过点A（-1，0）时，直线y=x-z的截距最大，此时z最小，最小值z=-1．x-y的取值范围为：[-1，+∞）．故选：B．作出不等式组对应的平面区域，设z=x-y，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的取值范围．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．6.【答案】B【解析】【分析】由题意可得a2+b2=m2+n2=c2，c＞0，由离心率公式，结合条件可得a=n，b=m，由双曲线的性质即可判断正确结论．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率，考查方程思想和运算能力，属于基础题．【解答】解：双曲线（a＞0，b＞0）和双曲线（m＞0，n＞0）焦距相等，可设a2+b2=m2+n2=c2，c＞0，由e1=，e2=，，可得+=1，即a2+m2=c2，可得b=m，a=n，则C1，C2的离心率不一定相等；C1，C2的实轴长不一定相等；C1，C2的虚轴长不一定相等；C1的渐近线方程为y=±x，C2的渐近线方程为y=±x，可得它们的渐近线相同．故选：B．7.【答案】D【解析】解：根据几何体的三视图，所以：该几何体的球心为O，R=，．故选：D．首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的表面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．8.【答案】A【解析】解：设大圆的半径为2，则小圆的半径为1，S白=4π-16（）=8，设“此点取自阴影部分”为事件A，由几何概型中的面积型可得：则P（A）=1-=1-=1-，故选：A．由扇形的面积公式及弓形的面积的求法得：S白=4π-16（）=8，由几何概型中的面积型可得：则P（A）=1-=1-=1-，得解．本题考查了几何概型中的面积型，扇形的面积公式及弓形的面积的求法，属中档题．9.【答案】B【解析】解：y=|cos x|的单调递减区间为[kπ，kπ+]，k∈Z，由kπ≤ωx+≤kπ+，k∈Z，得≤x≤，即函数的单调递减区间为[，]，k∈Z，若f（x）在区间上单调递减，则≤且≥，得，k∈Z，当f（x）在区间上单调递增时，ω无解，故选：B．根据y=|cos x|的单调递减区间为[kπ，kπ+]，k∈Z，求出x的范围，结合条件区间的关系进行求解即可．本题主要考查余弦函数单调性的求解，结合绝对值函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．10.【答案】C【解析】解：s=logπ2+logπ3+logπ4+logπ5=logπ（2×3×4×5）=logπ120∈（4，4.5）．∴T=|a-s|，a∈N*，当T取最小值时a的值为4．故选：C．利用对数运算性质可得s的取值范围，再利用绝对值的意义即可得出．本题考查了对数的运算性质、绝对值的意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.【答案】D【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，过M作MG⊥平面ABCD，G是垂足，过G作GH⊥BC，交BC于H，连结MH，则D（0，0，0），C（0，4，0），A（4，0，0），P（4，0，2），C（0，4，0），D1（0，0，4），B（4，4，0），设M（4，a，b），则=（4，a，b-4），=（4，-4，2），∵D1M⊥CP，∴•=16-4a+2b-8=0，解得2a-b=4，∴CH=4-a，MG=b=2a-4，MH===，=，∴y=时，（S△BCM）min=2•=．能求出△BCM面积取最小值．本题考查三角形的面积的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．12.【答案】B【解析】由已知，a k+1-a k=1，或a k+1-a k=-1，则a7-a1=（a2-a1）+（a3-a2）+…+（a7-a6），设有m个1，则有（6-m）个-1，a7-a1=a-1=m+（6-m）（-1）解得m=，从而=15，经验证得a=3．故选：B．由已知递推公式，考查使用裂项法求和，从而使用组合知识判断不同数列个数，带入验证即得．本题通过数列裂项相消法，考查排列组合知识．13.【答案】1【解析】【分析】本题主要考查向量向量模的平方等于向量的平方计算，以及向量的数量积计算，属基础题．根据向量模的平方等于向量的平方进行计算化简，最终得到结果．【解答】解：由题意，可设=x．∵，∴2=（）2=2+9•2-6•=4+9x2-6•2•x•cos60°=4+9x2-6x=7．即：3x2-2x-1=0，解得：x=，或x=1．由题意，可知：x=1．故答案为1．14.【答案】-2或【解析】解：（a+x）4的展开式中通项公式T r+1=a4-r x r，令r=3或2，则x3项的系数为16=+，解得a=或-2．故答案为：或-2．15.【答案】4【解析】解：假设k存在，设AB方程为：y=k（x-1），与抛物线y2=4x联立得k2（x2-2x+1）=4x，即k2x2-（2k2+4）x+k2=0设两交点为A（x2，y2），B（x1，y1），以QF为直径的圆过点B，∵=0，∴∠QBA=90°，∴（x1-2）（x1+2）+y12=0，∴x12+y12=4，∴x12+4x1-1=0（x1＞0），∴x1=-2，∵x1x2=1，∴x2=+2，∴|AF|-|BF|=（x2+1）-（x1+1）=4，故答案为：4．假设直线方程与抛物线方程联立，借助于求出点A，B的横坐标，利用抛物线的定义，即可求出|AF|-|BF|．本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16.【答案】（-4，0）∪（0，4）【解析】解：显然原点为f（x）与y=ax的一个交点．当x≠0时，令f（x）=ax可得a==，∴a=有三解．作出y=的函数图象如图所示：由图象可知当-4＜a＜0或0＜a＜4时，a=有三解．故答案为：（-4，0）∪（0，4）．当x=0时，a=，根据y=的图象即可得出a的范围．本题考查了函数图象与方程根的关系，属于中档题．17.【答案】解：（Ⅰ）由2c cos B=2a-b，得2sin C cos B=2sin A-sin B……………………（1分）即2sin C cos B=2sin（B+C）-sin B，∴2sin B cos C=sin B∵sin B＞0，∴……………………（5分）∵0＜C＜π，∴……………………（6分）（Ⅱ）在△ADC中，由余弦定理得：……（7分）即9=AC2+DC2-AC•DC≥2AC•DC-AC•DC=AC•DC，∴0＜AC•DC≤9……………………（9分）∵∴，…………………（10分）∵S△ABC=2S△ADC∵……………………（12分）∴0＜S△ABC≤，即△ABC面积的取值范围是0＜S△ABC≤．【解析】（Ⅰ）根据正弦定理将条件进行化简即可（Ⅱ）根据余弦定理结合基本不等式的性质，以及利用三角形的面积公式进行求解本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理余弦定理结合基本不等式的性质是解决本题的关键．18.【答案】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠ABC=60°，∴AC与BD交于点O且△ABC为等边三角形，∴AC=2，又∵，∴AF⊥CF………………（2分）∵BM⊥平面ABCD，∴AC⊥BM，又∵AC⊥BD，∴AC⊥平面BMND∵OF⊂平面BMND，∴AC⊥OF，在Rt△AOF中，AF2=AO2+OF2=2，在Rt△BOF中，FB2=BO2-OF2=2，∴在△ABF中，AB2=4，AF2+FB2=4，AF2+FB2=AB2……………（4分）∴AF⊥BE，又∵CF，BE⊂平面CBE，CF∩BE=F，∴AF⊥平面ECB……………………（5分）（Ⅱ）在平面BMND中，过O作直线l∥BM，则l⊥平面ABCD，如图，以l为z轴，AC所在直线为x轴，BD所在直线为y轴建立空间直角坐标系，………………（6分）∴，C（-1，0，0），M（0，，4），，∵，∴，∴，，设是平面BCE的法向量，则，即，取，取BC中点G，连结AG，∴AG⊥BC，AG⊥BM，∴AG⊥面BCM 因此，是平面BCM的法向量，∵，A（1，0，0）∴，…………………（10分）设二面角E-BC-M的大小为θ，则，∴二面角E-BC-M的余弦值为……………………（12分）【解析】（Ⅰ）证明AC⊥BM，AC⊥OF，推出AF⊥BE，然后证明AF⊥平面ECB．（Ⅱ）过O作直线l∥BM，则l⊥平面ABCD，如图，以l为z轴，AC所在直线为x轴，BD所在直线为y轴建立空间直角坐标系．求出是平面BCE的法向量，是平面BCM的法向量，设二面角E-BC-M的大小为θ，通过向量的数量积求解二面角E-BC-M的余弦值．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．19.【答案】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设B（x0，y0）则C（-x0，-y0），…………………（1分）由得，，…………………（2分）由k AB•k AC=，即得，，…………（4分）所以，所以a2=2，即椭圆E的标准方程为：…………………（5分）（Ⅱ）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），由，得：（1+2k2）x2+4ktx+2t2-2=0，…………………（6分）=，又l与圆C相切，所以，即…………………（8分）所以=…………………（11分）所以，，即∠MON=90°，所以，以线段MN为直径的圆经过原点．…………………（12分）【解析】（Ⅰ）设B（x0，y0）则C（-x0，-y0），通过由，由k AB•k AC=，求出a2=2，然后得到椭圆方程．（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），利用直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合推出∠MON=90°，即可得到结果．本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力．20.【答案】解：（Ⅰ）P==，………………（3分）∴恰好经过4次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为………………（4分）（Ⅱ）（ⅰ）由已知得Eξ1=k，ξ2的所有可能取值为1，k+1．∴，，∴=k+1-k（1-p）k……………（6分）若Eξ1=Eξ2，则k=k+1-k（1-p）k∴k（1-p）k=1∴∴∴p关于k的函数关系式（k∈N*且k≥2）………………（8分）（ⅱ）由题意可知Eξ2＜Eξ1，得，∵∴，∴，设……………（10分），∴当x＞3时，f'（x）＜0，即f（x）在（3，+∞）上单调递减，又ln4≈1.3863，，∴，ln5≈1.6094，，∴．∴ρ2-4ρcosθ-2ρsinθ-4=0的最大值为4．………………（12分）【解析】（Ⅰ）利用古典概率计算公式即可得出．（Ⅱ）（ⅰ）由已知得Eξ1=k，ξ2的所有可能取值为1，k+1．可得，，即可得出期望．根据Eξ1=Eξ2，解得k．（ⅱ）由题意可知Eξ2＜Eξ1，得，，，可得，设，利用导数研究其单调性即可得出．本题考查了古典概率、相互对立事件的概率生寄死归、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）∵，当a＜0时，∴f'（x）＞0，∴f（x）在|AB|=2单调递增；当a＞0时，由f'（x）＞0得：；由f'（x）＜0得：，∴f（x）在单调递减，在单调递增综上：当a＜0时，f（x）在（0，+∞）单调递增；当a＞0时，f（x）在单调递减，在单调递增．（Ⅱ）由题意：当a＜0时，不等式f（x）+g（x）≤-2，即．即在（0，+∞）恒成立，令，则，令u（x）=x2e x+ln x，则，∴u（x）在（0，+∞）单调递增又，所以，u（x）有唯一零点x0（）所以，u（x0）=0，即--------（※）当x∈（0，x0）时，u（x）＜0即h'（x）＜0，h（x）单调递减；x∈（x0，+∞）时，u（x）＞0即h'（x）＞0，h（x）单调递增，所以h（x0）为h（x）在定义域内的最小值．分）令则方程（※）等价于k（x）=k（-ln x）又易知k（x）单调递增，所以x=-ln x，………………（11分）所以，h（x）的最小值所以b-1≤1，即b≤2，所以实数b的取值范围是（-∞，2]．【解析】（Ⅰ）通过当a＜0时，当a＞0时，判断导函数的符号，得到函数的单调区间即可，（Ⅱ）通过当a＜0时，不等式f（x）+g（x）≤-2，即在（0，+∞）恒成立，令，求出导函数令u（x）=x2e x+ln x，则，利用导函数的符号，求解函数的最值，转化证明求解即可．本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化安心以及计算能力．22.【答案】解：（Ⅰ）由消t得，直线l的普通方程为x tanα-y+2tanα+1=0，将ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2代入曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ-2ρsinθ-4=0．得：曲线C的直角坐标方程为x2+y2-4x-2y-4=0．（Ⅱ）曲线C的方程化为（x-2）2+（y-1）2=9，曲线C是以（2，1）为圆心，3为半径的圆．由于|AB|=2，圆心到直线l的距离，又，∴，解得tanα=±1，∵，∴．【解析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用点到直线的距离的公式的应用和三角函数的求值求出结果．本题考查的知识要点参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数的求值的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.【答案】解：（Ⅰ）由已知得|x-2|+|x-1|＞7，当x＜1时，不等式等价于2-x+1-x＞7，解得x＜-2；当1≤x≤2时，2-x+x-1＞7，此时不等式无解；当x＞2时，x-2+x-1＞7，解得x＞5;综上：解集为{x|x＜-2或x＞5}；（Ⅱ）∵||x-m|-|x-1||≤|（x-m）-（x-1）|=|m-1|，∴|x-m|-|x-1|≤|m-1|，当且仅当（x-m）（x-1）≥0且|x-m|≥|x-1|时等号成立,依题意|m-1|＞7，解之得m＞8或m＜-6，∴m的取值范围为（-∞，-6）∪（8，+∞）．【解析】本题考查绝对值不等式的解法，绝对值的几何意义，考查转化思想以及计算能力．（Ⅰ）通过当x＜1时，当1≤x≤2时，当x＞2时，去掉绝对值符号，然后求解不等式的解集即可．（Ⅱ）利用绝对值的几何意义，转化推出|m-1|＞7，然后求解即可．。