不定积分习题

1 (1 − 2x) 3 dx − ∫ dx] = − [∫ 2 1 1 x − x2 − ( x − )2 4 2 1 d( x − ) 1 d ( x − x2 ) 3 2 dx + ∫ =− ∫ 2 2 12 12 x − x2 ( ) −(x − ) 2 2
3 = − x − x + arcsin(2x − 1) + C 2
2．第一类换元法（凑微分法）： ．第一类换元法（凑微分法）：
设 F′(u) = f (u) ，则
∫ f (ϕ( x))ϕ′( x)dx = ∫ f (ϕ( x))dϕ( x)
常用的几种配元形式: 常用的几种配元形式 1 1 ∫ f (ax +b)dx = ) a
= F (ϕ( x)) + C
d(ax +b)
∫ f ( x )dx = F ( x ) + C
2．不定积分的性质 ．
(1) 线性性质： 线性性质：
∫[k f ( x) ± k g( x)]dx = k ∫ f ( x)dx ± k ∫ g( x)dx
1 2 1 2
(2) 微பைடு நூலகம்与积分运算： 微分与积分运算：
d ∫ f ( x)dx = f ( x); dx d ∫ dx [F(x) ]dx = F( x) + C;
1 − u2 cos x = 2 1+ u
2 dx = du 2 1+ u
2u sin x = 1 + u2
从而
2u 1 − u2 2 ∫ R(sin x,cos x)dx = ∫ R(1 + u2 , 1 + u2 ) 1 + u2 du
说明: 说明 通常求含 sin2 x, cos2 x及sin xcos x 的有理式 的积分时, 用代换 t = tan x 往往更方便 .
x
ex x x = ln e − ln(e + 1) + C = ln x + C e +1
解法2： 解法 ：因为 所以
1 1 e− x = x −x = −x x 1 + e e (e + 1) e + 1
1 e− x d (e− x + 1) I =∫ dx = ∫ − x dx = −∫ − x x e +1 e +1 1+ e
2) ∫ f (x , n
ax+b c x+d
2
令 = n ax +b t
a x+b 令 t = n c x+d
)dx ,
2
3) ∫ f (x , a − x )dx , 令 x = asint 或 x = acos t
4) ∫ f (x , a2 + x2 )dx , 令 x = atant, dx = asec2 tdt
∫ x 1+ ln x dx
型，故凑
1
分析： 分析：此题属于
解：
∫x
1 1 + ln x
dx = ∫
1
=∫
1 + ln x 1 d(1 + ln x) 1 + ln x
d (ln x)
= 2 1 + ln x + C
【例7】 求不定积分 】 解：
∫
1+ x x− x
2
dx
∫
1+ x
1 (1 − 2x) − 3 dx = − ∫ dx 2 2 2 x− x x− x
∫ f ′(2x)dx ∫ f ′( x)dx = f ( x) + C ，可知
解： 利用不定积分的性质
∫
1 1 f ′(2 x)dx = ∫ f ′(2 x)d (2 x) = f (2 x) + C 2 2 (3 + 2 x)5 dx ∫
【例3】 求不定积分 】
5
1 5 解：∫ (3 + 2 x) dx = ∫ (3 + 2 x) d (3 + 2 x) 2 1 = (3 + 2x)6 + C 12
需要注意的问题
(1) 一般方法不一定是最简便的方法, 要注意综合 使用各种基本积分法, 简便计算 . (2) 初等函数的原函数不一定是初等函数 , 因此不一 定都能积出. 例如 ,
∫
1−k sin x dx (0 < k <1 , )
2 2
三、典型例题
【例1】 设F( x)是 】
sin x的原函数， 求 的原函数， dF ( x) 、 ( x2 ) dF x
= − ln(e x + 1) + C
解法3： 解法 ：令 t = e x
,则 x = ln t , dt = e xdx, 于是 则
1 1 1 1 I =∫ dx = ∫ dt = ∫ dt − ∫ dt x 1+ e t(1 + t ) (1 + t ) t
1+ t 1+ ex + C = ln x + C = ln(1 + t ) − ln t + C = ln t e
【例10】 求不定积分 】 解：
x tan2 xdx ∫
x tan2 xdx = ∫ x(sec2 x − 1)dx ∫ 1 2 1 2 = ∫ xd(tan x) − x = x tan x − ∫ tan xdx − x 2 2 1 2 = x tan x + ln cos x − x + C 2
四种典型部分分式的积分: 四种典型部分分式的积分
变分子为 再分项积分
(x2 + px + q)′ = 2x + p
6．万能公式法： ．万能公式法：
如果被积函数是三角函数有理式 f ( x) = R(sin x,cos x) 则可采用万能公式。 则可采用万能公式。
x 令 u = tan 2
则
x = 2arctan u
【例9】 求不定积分 】
∫x
dx
2
1+ x
2
( x > 0)
1 1 解法1： 倒代换 倒代换） 解法 ：(倒代换）设 x = (t ≠ 0), 则 dx = − 2 dt t t
则
∫x
dx 1+ x2
2
=−∫ = −∫
t 1+ t2 t
dt dt = − 1+ t 2 + C
1+ t 2
1+ x2 =− +C x
解法1： 解法 ：因为
1 ex = x x 1+e e (1+ex )
所以
1 ex I =∫ dx = ∫ x dx x x 1+ e e (1 + e )
1 1 1 x d (e ) = ( x − x =∫ x )d (e x ) x ∫ e e +1 e (1 + e )
1 d (e + 1) x = ∫ x d(e ) − ∫ x e e +1
5) ∫ f (x , x2 −a2 )dx , 令
令 7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换 倒代换 8)
x = asect
R(x , n ax +b, m ax +b)dx , ∫ 令 t = p ax +b, p为 , n的 小 倍 . m 最 公 数
4．分部积分法： ．分部积分法：
uv′dx = uv − ∫ u′vdx 或 ∫
=∫ 1 1 dx + ∫ 2 dx 2 x +1 x
1 = arctan x − + C x
【例5】 求不定积分 】
∫ x−
x x2 − 1
dx
分析： 分析：一般情况下首先分母要进行有理化，
x(x + x2 −1) 2 然后利用凑微分法。 = x + x x2 −1 然后利用凑微分法。 2 2 x −(x −1)
注意： 必须单调可导， 作完积分后 作完积分后, 注意：式中 x =ψ(t) 必须单调可导，对t作完积分后 要用反函数 t =ψ (x) 回代。 回代。
−1
第二类换元法： 第二类换元法：
三角代换 倒代换 简单无理函数代换
第二类换元法常见类型: 第二类换元法常见类型
1 ∫ f (x ,n ax +b)dx , )
第四章 不定积分习题课
一、不定积分的基本概念与性质
1．原函数与不定积分的概念 ．
(1)原函数的定义： 在区间[a , b] 上，若 F ′( x ) = f ( x ) 原函数的定义： 原函数的定义 则称F ( x )是 f ( x ) 在 [a , b] 上原函数。 上原函数。 (2)不定积分的定义： 不定积分的定义： 不定积分的定义 一个原函数， 设 F ( x )为 f ( x ) 一个原函数，则
dx
n
1 2) ∫ f (x ) x dx = n 1 n 1 3) ∫ f (x ) d x = n x
n n− 1
1 n dx n x
万 能 凑 幂 法
4)
∫ f (sin x)cos xdx = ∫ f (cos x)sin xdx =−
dsin x
（ 的积分） P197例12）
（适合求形如
x( x + x2 −1) dx = ∫ 2 dx 解： ∫ 2 2 x − ( x − 1) x − x −1 x
= ∫ x dx + ∫
2
1 3 1 = x + ∫ x2 − 1d( x2 − 1) x x − 1dx 3 2
2
3 1 3 1 2 = x + ( x − 1)2 + C 3 3