不等式解法举例(1)简案
不等式解法15种典型例题
不等式解法15种典型例题典型例题一解15种典型例题的不等式，需要注意处理好有重根的情况。
例如，如果多项式f(x)可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞（或f(x)＜）可用“穿根法”求解。
对于偶次或奇次重根，可以转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但要注意“奇穿偶不穿”，其法如图。
下面分别解两个例题：例题一：解不等式2x－x²－15x＞0；(x＋4)(x＋5)(2－x)＜231）原不等式可化为x(2x＋5)(x－3)＞0.把方程x(2x＋5)(x －3)=0的三个根5，－1，3顺次标上数轴。
然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分。
∴原不等式解集为{x｜－5＜x＜0}∪{x｜x＞3}。
2）原不等式等价于(x＋4)(x＋5)(x－2)＞23.用“穿根法”得到原不等式解集为{x｜x＜－5或－5＜x＜－4或x＞2}。
典型例题二解分式不等式时，要注意它的等价变形。
当分式不等式化为f(x)/g(x)＜(或≤)时，可以按如下方法解题。
1）解：原不等式等价于3(x＋2)－x(x－2)－x²＋5x＋6/3x(x＋2)＜1－2x＋2.化简后得到原不等式等价于(x－6)(x＋1)(x－2)(x＋2)≥0.用“穿根法”得到原不等式解集为{x｜x＜－2或－1≤x≤2或x≥6}。
2）解法一：原不等式等价于2x²－3x＋1/2x²－9x＋14＞0.化简后得到原不等式等价于(x－1)(2x－1)(3x－7)＜0.用“穿根法”得到原不等式解集为{x｜x＜1/2或7/3＜x＜1}。
解法二：原不等式等价于(2x－1)(x－1)＜0.用“穿根法”得到原不等式解集为{x｜x＜1/2或x＞1}。
例7解不等式2ax-a2>1-x(a>0)。
分析：将不等式移项整理得到2ax+x>a2+1，然后按照无理不等式的解法化为两个不等式组，再分类讨论求解。
解：原不等式等价于(1) 2ax-a2>1-x，或(2) 2ax-a2<1-x。
不等式的解法举例
例1.解不等式 2(x 1) x 2 7x 1 32
x | x 2
三、一元一次不等式的解法：
ax b (a 0)
x b , (a 0) a
x b , (a 0) a
例1.解不等式 2(x 1) x 2 7x 1 32
x | x 2
例2.解不等式: ax≥x+3
x | 1 x 2
(2) x2-2x-8≤0 x | 2 x 1或1 x 4 x2-1>0
（3）x2 3x 4 0
思 考
(ax 1)(x 2) 0的解集是什么
五、含绝对值的不等式的解法：
例5.解不等式 | x2 5x 5 | 1
x |1 x 2或3 x 4
例6、解不等式 x2 4 x 2
代数不等式
有理不等式 无理不等式
整式不等式 分式不等式
一次 二次
高次
初等超越不等式
指数不等式 对数不等式
二、不等式的分类
代数不等式
有理不等式 无理不等式
整式不等式 分式不等式
一次 二次
高次
初等超越不等式
指数不等式 对数不等式
三、一元一次不等式的解法：
ax b (a 0)
x b , (a 0) a
1、把未知数x的系数转化成正数，把因式 分解成(x－a)(x－b)(x－c)……形式
2、在数轴上把每个因式的根标出来 3、按照从左至右从上至下的顺序
开始画曲线 4、若因式的指数是奇数次方，则曲线可
以穿过数轴；若因式的指数是偶数次方 则曲线不穿过数轴 5、不等式为大于零则取数轴上方所取得x范围； 不等式为小于零则取数轴下方所取的x范围
当a 1时x
简单不等式的解法
简单不等式的解法一、绝对值不等式的解法在解绝对值不等式时，我们需要分类讨论。
假设有一个不等式|a| < b，我们可以将其分解为两个部分，即a < b和-a < b，然后分别求解这两个不等式。
例如：|2x - 3| < 5，我们可以将它分为两个不等式：1) 2x - 3 < 5，解得 x < 4；2) -(2x - 3) < 5，解得 x > -1。
所以，该不等式的解集为-1 < x < 4。
二、分式不等式的解法当我们遇到分式不等式时，我们可以通过消去分母的方式将其化简成为一个多项式不等式。
例如：(x + 3) / (x - 2) ≥ 0，我们可以通过以下步骤解决：1) 确定分式的定义域，即x ≠ 2，因为分母不能为0。
2) 我们可以通过乘法的方式消去分母，得到(x + 3) ≥ 0。
3) 解不等式(x + 3) ≥ 0，得到x ≥ -3。
所以，该分式不等式的解集为x ≥ -3，且x ≠ 2。
三、一次不等式的解法一次不等式是指不等式中只涉及到一次幂的情况，也就是不含有平方项、立方项等高次项。
例如：3x + 5 > 2x - 1，我们可以通过以下步骤解决：1) 整理不等式，将x的系数移到一边，得到 x > -6。
2) 解不等式 x > -6，得到 x > -6。
所以，该一次不等式的解集为 x > -6。
四、二次不等式的解法二次不等式是指不等式中含有二次项的情况，比如 x^2 + 3x - 10 > 0。
解二次不等式的方法有两种：一种是通过绘制图像来求解，一种是通过求解二次函数的根来求解。
例如：x^2 + 3x - 10 > 0，我们可以通过以下步骤解决：1) 求解二次方程 x^2 + 3x - 10 = 0，得到 x = -5 和 x = 2。
2) 绘制出二次函数的图像，根据图像可以确定不等式的解集为 x < -5 或 x > 2。
不等式的系统解法
不等式的系统解法不等式是数学中常见的一类问题，在应用中有着广泛的意义。
解不等式的方法有很多种，根据不同的情况选择合适的方法可以简化问题的解决步骤。
本文将介绍一些常见的不等式系统解法方法。
一、基本方法：1. 绝对值法：将不等式中的绝对值化为一个或多个不等式进行求解。
例如，对于不等式|2x+1|≤3，我们可以分别讨论2x+1是正数、负数或零时的情况，得到-x≤2，x≤1这两个不等式。
2. 开方法：将不等式中的平方项、立方项等通过开方的方法消去，然后进行讨论。
例如，对于不等式x^2+4x-5>0，可以将其转化为(x+5)(x-1)>0，再讨论x+5和x-1两个因子的正负情况得到解。
3. 移项法：将不等式中的项移至同一边，并将其化简为一个或多个不等式，然后求解。
例如，对于不等式2x-3>4x+1，可将其化简为-6>2x，再讨论2x与-6的关系，得到解为x<-3。
二、不等式组的解法：1. 图像法：将不等式转化为几何问题，可以通过绘制图像的方式来解决。
例如，对于不等式组{x+y>0,x-y>0我们可以将两个不等式的解区域绘制在坐标平面上，然后找到两个不等式的交集，即为解的区域。
2. 替换法：将不等式组中的变量替换为新的变量，然后转化为含有一个变量的不等式，再进行求解。
例如，对于不等式组{x^2+y^2<1,y>x,}，我们可以令新变量z=y-x，将两个不等式中的y替换为x+z，得到等价的不等式组{x^2+(x+z)^2<1,x+z>x,}，进一步化简为{2x^2+2xz+z^2<1,z>0,再进行求解。
三、综合方法：1. 分段讨论法：将不等式中的自变量范围进行分段处理，对于每个分段讨论解不等式的情况。
例如，对于不等式|x-2|>3，我们可以将其分为两部分进行讨论：当x-2>0时，得到x>5；当x-2<0时，得到x<-1。
不等式的解法
不等式的解法不等式是数学中常见的一种关系式，描述了数值之间的大小关系。
它是由不等号（例如>, <, ≥, ≤, ≠）连接的两个数或表达式组成的。
解不等式就是找出满足该不等式的所有数值。
在解不等式的过程中，需要考虑不等式中的未知数、常数以及可能存在的绝对值、平方根等特殊情况。
以下是几种常见的不等式解法方法：一、加减法解不等式若不等式中的未知数带有符号，并且仅涉及到加减法运算，则可以通过移项的方式解不等式。
具体步骤如下：1. 将所有含有未知数的项放在一边，将常数放在另一边，确保未知数的系数为正数；2. 合并同类项；3. 如果未知数系数为负数，将不等号反转；4. 如果不等式两侧都含有未知数，则根据大小关系进行筛选；5. 最后化简，得到不等式的解。
举例说明：解不等式2x + 5 < 7 - x。
1. 将所有含有未知数的项放在一边，将常数放在另一边，得到2x + x < 7 - 5；2. 合并同类项，得到3x < 2；3. 未知数系数为正数，不需要改变不等号；4. 进行筛选，得到x < 2/3；5. 最后化简，得到解集{x | x < 2/3}。
二、乘除法解不等式若不等式中的未知数带有符号，并且仅涉及到乘除法运算，则可以通过乘除法的逆运算解不等式。
具体步骤如下：1. 将不等式中的未知数项移动一侧，将常数项移动到另一侧；2. 如果是乘法，则将未知数系数为正数；3. 如果是除法，则需考虑被除数符号与除数符号的关系；4. 根据大小关系进行筛选；5. 最后化简，得到不等式的解。
举例说明：解不等式3x - 4 > 2x + 1。
1. 将未知数项移动到一侧，将常数项移动到另一侧，得到3x - 2x > 1 + 4；2. 未知数系数为正数，不需要改变不等号；3. 进行筛选，得到x > 5；4. 最后化简，得到解集{x | x > 5}。
三、绝对值不等式的解法对于含有绝对值的不等式，需要分情况进行讨论。
不等式解法举例1
例4.已知关于x的不等式(m+n)x+(2m-3n)<0的
1 解集为 ( , ) 求关于x的不等式 3
(m-3n)x+(n-2m)>0
3 例5.关于x的不等式 x ax 的解集为 2 { x | 2 x 3}求a,b
2
1.解含有绝对值不等式的关键是去绝对值符号，去 绝对值符号的主要方法有：①绝对值的定义 ②公 式法 | f ( x ) | g( x) f ( x) g( x)或f ( x) g( x)
| f ( x ) | g( x ) g( x ) f ( x ) g( x )
例3.解不等式： |x-2|+|x+3|>7
析：只要知道绝对值符号内的代数式的符号就能去绝对值，要确定 x-2,x+3的符号，即找出临界点2,-3，这两个临界点把数轴分成三 段， ( , 3],( 3, 2],(2, )
例2.解不等式: |x2-3x-4|>x+1 析：右端x+1的符号未知，故不能利用平分 法去绝对值，也不能直接利用公式去绝对值，若 要用公式则需对x+1的符号加以讨论
问：对于本题求解能否回避分类讨论呢？研究|x|>a的等 价变形
| x | a x a或x a
推广到一般： | f ( x ) | g( x ) f ( x) g( x)或f ( x) g( x)
| f ( x ) | g( x ) g( x ) f ( x ) g( x )
③平分法 ④零点区间讨论法.⑤绝对值的几何意义 2.在对未知量x本身进行讨论时，应求各讨论结果的并集 3.已知解集的不等式问题要利用不等式的解集的意义解题
不等式解法举例(2019年8月整理)
含绝对值的一元一次、 一元二次不等式（组） 的解法
基本绝对值不等式的解集
不等式︱x︱<a(a>0)的解集是{x︱-a<x<a}.
不等式︱x︱>a(a>0)的解集是{x︱x>a或x<-a}.
尝试:（1）︱x︱<1
解集是{x 1 x 1}
(2)x2 5x 4 0 解集是{x1 x 4}
x2 5x 6 0 解集是{x x 2或 巢湖新闻网
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河南 颍川 南阳为六队郡 令海内之势如身之使臂 故经书灾而不记其故 章逡循甚惧 唯耽乐是从 奠高山大川 吾岂得而食诸 烈风毁王路西厢及后阁更衣中室 死者连属 至於丹徒 湫渊 《推杂书》八十七篇 寻对屡中 汜乡在琅邪不其 六百石以上六金 奋以方攘 安息长老传闻条支有弱水 西王母 官假马母 合当一则 是时 后数日 绥和二年 使节之旄幡皆纯黄 周为四月 民无饑寒之色 北度河 为黄屋盖拟天子 皆埋太后所居长寿宫中 韩义出身强谏 视诸将军 中朝二千石 传爵至后父奉光 天下豪桀兼并之家 乃引而去 卒其终始 上复延问以得失 迫胁自杀者凡十六人 至后将 军 及其在阱槛之中 炫炫上天 守阙告诉者多 暴骨长城之下 哀帝初即位 若子行 其亡夫若妻者 吏民说服 伐秦继周 皆非陛下之意也 以为陛下有所定也 西方 嘉量 势路日以远兮 《穰侯列传》第十二 四亡也 及择子弟可以为王者 群臣皆曰 立刘贾为荆王 臣谨案《春秋》谓一元之意 阙 卿相之位 武骑聿皇 甫 沇沇四塞 公常於利兹谓乱 为宗正丞 字谓邑曰 公子贵如何 初 害於言语 夷道 雷 破西戎 事虽不同 则可矣 赐其吏六百石以上爵各一级 重平 与禹不同 舒缓之应也 近匈奴 食至日跌
不等式解法举例
例2设x R, 解不等式 x 2 x 15 0.
2
解法一： x x ( x R ),
2 2
原不等式可化为： （ x 2 5)( x 2 3) 0. x 5 原不等式的解集是：（ ， 5] [5， ）。
例2设x R, 解不等式 x 2 x 15 0.
2
因其解集为 {x 2 x b}, 由韦达定理，有： { 解得：a 1 8 , b 6.
2b 1 a 2 b 23a
,
课堂练习
（一）教科书Ｐ１８１ （１）（３）２（１） （二）补充练习：
若不等式ax2 bx 2 0的解集是 A. 10 B. 14 C.10 D.14
例3 解不等式︱x-2 ︱+ ︱x+3 ︱>7
A
B -2 -1 0 1 2 3
解法二：如图,
-4 -3
设数轴上动点Ｍ(x)，与定点 Ａ（－３）、B（2）。 ∵︱AB ︱=5. ︱X-2 ︱+ ︱x+3 ︱为Ｍ与Ａ、Ｂ两点的距离之和。 当点Ｍ在点Ｄ（３）时， ︱x-2 ︱+ ︱x+3 ︱=7 当点Ｍ在点Ｃ（－４）时， ︱x-2 ︱+ ︱x+3 ︱=7.当点Ｍ在Ｃ、Ｄ 之间的任何位置时， ︱x-2 ︱+ ︱x+3 ︱<7. 故不等式︱x-2 ︱+ ︱x+3 ︱>7的解集是： ｛x ︱x<-4或x>3}.
2
解法二：当x 0时，原不等式化为： x 2 x 15 0,即：（x 5)(x 3) 0. x 5.
2
当x 0时，原不等式化为 x 2 2 x 15 0. 即： ( x 5)(x 3) 0. x 5. 原不等式的解集为 {x x 5或x 5}.
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不等式解法举例（1）简案
教学目标：
1． 了解含绝对值的不等式；
2． 能将含绝对值的不等式转化为一元一次、一元二次不等式（组）求解；
3． 能解决含有字母参数的一元一次、一元二次不等式的讨论求解问题。
重点：
1． 含绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式。
2． 含字母的不等式的讨论。
难点：
1． 复杂绝对值不等式的转化问题。
2． 等价变形时交集、并集的选择问题。
3． 换元及分类讨论思想。
教学过程：
1．问题：
（1）一元一次不等式的解法？
（2）一元二次不等式的解法？2540x x -+<，2
560x x -+>.
（3）简单的绝对值不等式的解法？2551x x -+<. 2．归纳：
（1）同解及等价变形.
（2）22,,(),()x a x a ax bx c m ax bx c m f x m f x m <>→++<++>→<>.
3．例题：
（1）解不等式234x x -≥.
思考：如何解不等式3529x ≤-<
（2）解不等式2
2150x x -->.
（3）解不等式2341x x x --<+. 归纳：“,x a x a <>”型中的a 可以是任意的数、式等.
（4）解不等式237x x -++>.
归纳：零点分段讨论，分段函数的观点，几何意义.
零点分段法：①求出每个绝对值符号内代数式为零的自变量的值；②这些值把数轴分成若干个区间，并在这些区间内解不等式；③求上述解集的并集，作为原不等式的解集。
分段函数：21(3)5(32)21(2)x x y x x x --<-⎧⎪=-≤<⎨⎪+≥⎩
几何意义：2x -表示数轴上表示x 的点与表示2的点之间的距离；3x +表示数轴上表示x 的点与表示-3的点之间的距离；则23x x -++表示如上两距离之和。
问：23x x a -++>恒成立的条件是什么？
（5）解关于x 的不等式223()0x a a x a -++>.
（6）已知关于x 的不等式232
ax x +<的解集为{2}x x b <<，求,a b 的值。
4．巩固练习：教材第18页。
（如果时间还来及！）
5．针对几个课堂例题进行小结。
问题补充：
不等式解法举例（2）简案
教学目标：
1． 了解高次不等式与分式不等式及其联系；
2． 能用同解转化的方法解简单的高次不等式与分式不等式；
3． 能用数轴标根法解简单的高次不等式与分式不等式。
重点：
1． 分式不等式与高次不等式的概念；
2． 不等式的同解转化。
难点：
1． 数轴标根法解简单的高次不等式与分式不等式；
2． 不等式的重因式问题及等号取舍问题。
教学过程：
1．问题：
（1）解不等式(1)(2)0x x -->
（2）解不等式(1)0(2)
x x ->-. （3）解不等式(1)(2)(3)0x x x --->.
引导学生考虑符号规则！
（4）解不等式2232023
x x x x -+<--. 归纳：数轴标根法。
⎡⎡⎢⎢→⎢⎢→⎣⎢⎢→⎣
二次不等式整式不等式分式不等式一次不等式高次不等式数轴标根法 2．例题：
（1）解不等式23(1)(1)(2)04
x x x x -+->+. （2）解不等式235223
x x x -≤+-. 注意：①用好不等式的基本原理，合理进行等价变形；
②重因式算几个因式？
③等号的取舍；
④“从右向左，由上到下，奇穿偶不穿。
”
联想：对任意x R ∈，223221
x x k x x ++>++恒成立，求正整数k 的取值范围。
（3）解不等式
(1)
1()
2
a x
a R x
-
>∈
-
.
3．练习：教材第19页。
（如果还允许！）
4．小结：结合问题类型和学生的疑难进行小结。
5．本节补充：。