上海市曹杨第二中学2018-2019学年高一上期中考试数学试题
1081-曹杨二中高一期中(2019.04)
曹杨二中高一期中数学试卷2019.04一. 填空题1. 已知一扇形弧长为43π，所在圆半径为2，则扇形面积为 2. 已知(8,15)P -为角α终边上的一点，则cos α= 3. 化简：tan()cos()3sin()cot()22πααππαα-⋅-=+⋅- 4. 函数tan()3y x π=-的单调递增区间为5. 若当x θ=时，函数sin cos y x x =-（x ∈R ）取最大值，则tan θ=6. 若α是第三象限角，且5sin()cos sin cos()13αβββαβ-+-=-，则tan 2α=7. 已知(0,)απ∈，若1sin cos 5αα+=，则cot tan cos2ααα-= 8. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若(3)cos cos b c A a C -=， 则cos A =9. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知4a =，30A =︒，要使该 三角形有唯一解，则b 的取值范围为10. 函数()tan f x x ω=（0ω>）的图像的相邻两支截直线4y π=所得线段长为4π，则()4f π 的值是11. 若函数()3|sin |sin f x x x =+，[0,2]x π∈的图像与直线y k =至少有三个不同的交点， 则k 的取值范围是12. 若对任意实数x ，不等式2sin 2cos 3x a x a -≤+恒成立，则实数a 的取值范围是二. 选择题13. 在△ABC 中，“sin sin A B ≠”是“A B ≠”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既不充分又不必要14. 在△ABC 中，若cos cos sin sin A B A B >，则△ABC 的形状为（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 形状不确定15. 已知函数22()cos sin f x x x =-，下列说法错误的是（ ）A. ()cos2f x x =B. 函数()f x 的图像关于直线0x =对称C. ()f x 的最小值正周期为πD. ()f x 的对称中心为(,0)k π，k ∈Z16. 如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则()y f x =在上[0,]π的图像大致为（ ）A. B. C. D.三. 解答题17.（1）若α是第二象限的角，化简2sec 1sin αα-（2）已知4sin 5α=-，3(,2)2παπ∈，求tan()32πα+的值.18. 设△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足a b c <<，2sin b a B =.（1）求角A 的大小；（2）若2a =，23b =ABC 的面积；19. 如图，学校升旗仪式上，主持人站在主席台前沿D 处，测得旗杆AB 顶部的仰角为α，俯角最后一排学生C 的俯角为β，最后一排学生C 测得旗杆顶部的仰角为γ，旗杆底部与学生在一个水平面上，并且不计学生身高.（1）设CD x =米，试用α、β、γ和x 表示旗杆的高度AB （米）；（2）测得56x =30α=︒，15β=︒，60γ=︒，若国歌长度约为50秒，国旗班升旗手应以多大的速度匀速升旗才能使国旗到达旗杆顶点时师生的目光刚好停留在B 处？20. 已知函数()cos (sin 3)333xx x f x =⋅+. （1）将()f x 化为sin()A x H ωϕ++（0A >，0ω>，(,)22ππϕ∈-）的形式， 并写出其最小正周期和图像对称轴方程，并判断函数的奇偶性（不需证明）；（2）若三角形三边a 、b 、c 满足2b ac =，b 所对角为B ，求B 的范围；（3）在（2）的条件下，求()f B 的取值范围.21. 已知函数()sin(2)13f x x πω=+-，0ω>. （1）当12ω=时，求函数()f x 的单调递减区间； （2）对于(,]x a a π∈+，a 为任意实数，关于x 的方程()1f x =-恰好有两个不等实根，求实数ω的值；（3）在（2）的条件下，若不等式|()|1f x t +<在[0,]3x π∈内恒成立，求实数t 的取值范围.参考答案一. 填空题 1. 43π 2. 817- 3. 1- 4. 5(,)66k k ππππ-++，k ∈Z 5. 1- 6. 5- 7. 2512- 8. 39. (0,4]{8} 10. 0 11. [0,2] 12. [1,3]-二. 选择题13. C 14. C 15. D 16. B三. 解答题17.（1）1-；（2）853-+18.（1）6π；（2）2319.（1）sin()sin sin()x αβγγα+-；（2）0.3 20.（1）23()sin()33x f x π=+；最小正周期3π，对称轴324k x ππ=+，k ∈Z ，既不 是奇函数也不是偶函数；（2）(0,]3π；（3）3(3,1 21.（1）7[2,2]66k k ππππ++，k ∈Z ；（2）1；（3）(0,1)。
上海市曹杨二中高一期中数学学科考试试卷(含答案)(2019.04)
曹杨二中高一期中数学试卷2019.04一. 填空题1. 已知一扇形弧长为43π，所在圆半径为2，则扇形面积为 2. 已知(8,15)P -为角α终边上的一点，则cos α= 3. 化简：tan()cos()3sin()cot()22πααππαα-⋅-=+⋅- 4. 函数tan()3y x π=-的单调递增区间为5. 若当x θ=时，函数sin cos y x x =-（x ∈R ）取最大值，则tan θ=6. 若α是第三象限角，且5sin()cos sin cos()13αβββαβ-+-=-，则tan 2α=7. 已知(0,)απ∈，若1sin cos 5αα+=，则cot tan cos2ααα-= 8. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c，若)cos cos c A a C -=， 则cos A =9. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知4a =，30A =︒，要使该 三角形有唯一解，则b 的取值范围为10. 函数()tan f x x ω=（0ω>）的图像的相邻两支截直线4y π=所得线段长为4π，则()4f π 的值是11. 若函数()3|sin |sin f x x x =+，[0,2]x π∈的图像与直线y k =至少有三个不同的交点， 则k 的取值范围是12. 若对任意实数x ，不等式2sin 2cos 3x a x a -≤+恒成立，则实数a 的取值范围是二. 选择题13. 在△ABC 中，“sin sin A B ≠”是“A B ≠”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既不充分又不必要14. 在△ABC 中，若cos cos sin sin A B A B >，则△ABC 的形状为（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 形状不确定15. 已知函数22()cos sin f x x x =-，下列说法错误的是（ ） A. ()cos2f x x = B. 函数()f x 的图像关于直线0x =对称C. ()f x 的最小值正周期为πD. ()f x 的对称中心为(,0)k π，k ∈Z16. 如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则()y f x =在上[0,]π的图像大致为（ ）A. B. C. D.三. 解答题17.（1）若α是第二象限的角，化简sec α（2）已知4sin 5α=-，3(,2)2παπ∈，求tan()32πα+的值.18. 设△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足a b c <<，2sin b a B =.（1）求角A 的大小；（2）若2a =，b =，求△ABC 的面积；19. 如图，学校升旗仪式上，主持人站在主席台前沿D 处，测得旗杆AB 顶部的仰角为α，俯角最后一排学生C 的俯角为β，最后一排学生C 测得旗杆顶部的仰角为γ，旗杆底部与学生在一个水平面上，并且不计学生身高.（1）设CD x =米，试用α、β、γ和x 表示旗杆的高度AB （米）；（2）测得x =30α=︒，15β=︒，60γ=︒，若国歌长度约为50秒，国旗班升旗手应以多大的速度匀速升旗才能使国旗到达旗杆顶点时师生的目光刚好停留在B 处？20. 已知函数()cos (sin )333xx x f x =⋅. （1）将()f x 化为sin()A x H ωϕ++（0A >，0ω>，(,)22ππϕ∈-）的形式， 并写出其最小正周期和图像对称轴方程，并判断函数的奇偶性（不需证明）；（2）若三角形三边a 、b 、c 满足2b ac =，b 所对角为B ，求B 的范围；（3）在（2）的条件下，求()f B 的取值范围.21. 已知函数()sin(2)13f x x πω=+-，0ω>. （1）当12ω=时，求函数()f x 的单调递减区间； （2）对于(,]x a a π∈+，a 为任意实数，关于x 的方程()1f x =-恰好有两个不等实根，求实数ω的值；（3）在（2）的条件下，若不等式|()|1f x t +<在[0,]3x π∈内恒成立，求实数t 的取值范围.参考答案一. 填空题 1. 43π 2. 817- 3. 1- 4. 5(,)66k k ππππ-++，k ∈Z5. 1-6. 5-7. 2512-8. 9. (0,4]{8} 10. 0 11. [0,2] 12. [1,3]-二. 选择题13. C 14. C 15. D 16. B三. 解答题17.（1）1-；（2）8-+18.（1）6π；（2）19.（1）sin()sin sin()x αβγγα+-；（2）0.320.（1）2()sin()332x f x π=++；最小正周期3π，对称轴324k x ππ=+，k ∈Z ，既不是奇函数也不是偶函数；（2）(0,]3π；（3） 21.（1）7[2,2]66k k ππππ++，k ∈Z ；（2）1；（3）(0,1)。
上海市曹杨二中2018-2019学年高三上学期期中数学试题
…○………………○…学校:_______________班级：…○………………○…绝密★启用前 上海市曹杨二中2018-2019学年高三上学期期中数学试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．函数2()1f x x =-（1x ≥）的反函数为1()f x -，则1(2)f -的值是（ ） B. C.1+ D.12．若函数在()0,+∞上单调递增，那么实数a 的取值范围是（ ） A.0a ≥ B.0a > C.0a ≤ D.0a < 3．如图所示，点P 是函数2sin()y x ωϕ=+（x ∈R ，0>ω）的图像的最高点，M 、N 是该图像与x 轴的交点，若△PMN 是等腰直角三角形，则ω=（ ） A.8π B.4π C.2π D.π 4．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是C．220 D．110第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 5．集合{1,0,1,2}A =-，{}lg 0B x x =>，则A B =________ 6．已知函数 ，则 . 7．设R λ∈，若22123x y λλ+=--表示双曲线，则λ的取值范围是________8．计算：2153lim 29n n n n +→∞-=+________ 9．若幂函数的图像过点(8,2)，则此幂函数的解析式是y =________ 10．二项式8的展开式中，x 的一次项系数是________ 11．在△ABC 中，3AB =，2AC =，BC =AB AC ⋅=________ 12．函数sin()sin()44y x x ππ=-+的最大值为________ 13．设集合{1,2}A =，2{|10}B x x ax =--≤，若x A ∈是x B ∈的充分条件，则实数a 的取值范围是________ 14．已知函数()y f x =对任意实数x 满足(4)()f x f x +=-，且当(,2]x ∈-∞-时，有1()()52x f x =-，若函数()f x 在区间(,1)k k +（k ∈Z ）上有零点，则k 的值为________ 15．在一个质地均匀的四面体中，一个面上标有数字1，一个面上标有数字2，另外有两个面上标有数字3，将该正四面体抛掷三次，则向下一面的数字之和为7的情况有________种 16．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 的棱长为1，在正方体的表面上与点A 的点形成一条曲线，这条曲线的长度为________. 三、解答题 17．如图1111ABCD A B C D -是棱长为2的正方体，M 、N 分别是1BB 、CD 的中点.…………装…………○……………………○……※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※…………装…………○……………………○…… （1）求三棱锥B AMN -的体积； （2）求异面直线MN 与1DD 所成角的大小. （用反三角函数值表示） 18．已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设F 为椭圆C 的左焦点，直线:3l x =-，P 为椭圆上任意一点，证明：点P 到F 的距离是点P 到l 距离的3倍.19．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦´矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长等于9米的弧田.（1）计算弧田的实际面积；（2）按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（结果保留两位小数）20．已知数列{}n a 中，59a =，且点1(,)n n P a a +（*n ∈N ）在直线20x y -+=上.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意的*k ∈N ，将数列{}n a 落入区间2(2,2)k k 内的项的个数记为k b ，求{}k b 的通项公式；（3）对于（2）中{}k b ，记2122k k k c b -=-，数列{}k c 前k 项和为k T ，求使等式111k k m T m T m c +-=-+成立的所有正整数k 、m 的值. 21．若函数()f x 满足：对任意实数[0,1]a ∈以及定义中任意两数1x 、2x （12x x ≠），恒有1212((1))()(1)()f ax a x af x a f x +-≤+-，则称()f x 是下凸函数. （1）证明：函数2()g x x =是下凸函数； （2）判断2()log f x x =是不是下凸函数，并说明理由； （3）若()f x 是定义在[0,1]上的下凸函数，常数(0,1)t ∈，满足：(0)()f f t ≤，(1)()f f t ≤，且(0)1f =，求证：(1)1f =，并求()f x 在[0,1]上的解析式.参考答案1．A【解析】【分析】根据反函数的求法,先求得函数的反函数,再代入求值即可.【详解】因为函数2()1f x x =-（1x ≥）令21y x =-则21x y =-所以y =因为函数2()1f x x =-中1x ≥根据反函数的性质可知其反函数的1y ≥所以反函数())11fx x -=≥-所以()12f -==故选:A【点睛】本题考查了反函数的求法及求函数值,注意求得反函数的定义域、值域与原函数互换的性质,属于基础题.2．A【解析】试题分析：函数在()0,+∞上单调递增，所以2222221211()()0ax ax ax ax f x x x x--++='='=≥在()0,+∞上恒成立，所以0a ≥. 考点：本小题主要考查导数的计算和由函数的单调性求参数的取值范围，考查学生转化问题的能力和运算求解能力.点评：注意到题目中应该是()0f x '≥在()0,+∞上恒成立，而不是()0f x '>在()0,+∞上恒成立，否则就漏解了.3．B【解析】【分析】根据△PMN 是等腰直角三角形,结合三角函数的最大值,即可求得MN 的长,进而求出周期后即可得ω的值.【详解】因为函数2sin()y x ωϕ=+所以最大值为2因为PMN ∆是等腰直角三角形所以224MN =⨯=由图像可知,函数周期为248T =⨯= 由周期公式可得2284T πππω=== 故选:B【点睛】本题考查了三角函数的图像与性质,根据部分函数图像求解析式问题,属于基础题. 4．A【解析】 由题意得，数列如下：11,1,2,1,2,4,1,2,4,,2k- 则该数列的前(1)122k k k ++++=项和为 11(1)1(12)(122)222k k k k S k -++⎛⎫=+++++++=-- ⎪⎝⎭， 要使(1)1002k k +>，有14k ≥，此时122k k ++<，所以2k +是第1k +组等比数列1,2,,2k 的部分和，设1212221t t k -+=+++=-，所以2314t k =-≥，则5t ≥，此时52329k =-=， 所以对应满足条件的最小整数293054402N ⨯=+=，故选A. 点睛:本题非常巧妙地将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断. 5．{2}【解析】【分析】先求得集合B,再根据交集运算即可求得A B . 【详解】 因为集合{}lg 0B x x =>,即{}1B x x =>集合{1,0,1,2}A =-所以{}2A B ⋂=故答案为: {}2【点睛】本题考查了集合交集的简单运算,属于基础题.6．【解析】试题分析：因为 ，所以，.考点：分段函数求值.7．(2,3)【解析】【分析】将双曲线方程化简,根据双曲线解析式的特征,即可得λ的取值范围.【详解】 因为22123x y λλ+=--,即22123x y λλ-=-- 根据双曲线性质可知()()230λλ-->即()()230λλ--<解不等式可得23λ<<,即λ的取值范围是()2,3故答案为:()2,3【点睛】本题考查了双曲线方程及其性质,属于基础题.8．3-【解析】【分析】根据指数幂的运算,化简后即可求得极限值.【详解】 对于2153lim 29n n nn +→∞-+,化简后可得2153539lim lim 2929n n n n n n n n +→∞→∞--⨯=++ 分子分母同时除以9n 则539lim 3219n n n →∞-=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭故答案为: 3-【点睛】本题考查了数列极限的求法,注意对数列进行适当的变形,属于基础题. 9．13x 【解析】【分析】设出幂函数的解析式,代入点坐标,即可求得解析式.【详解】设幂函数的解析式为y x α=因为幂函数图像过点()8,2所以28α=,解得13α= 所以13y x =故答案为: 13x【点睛】本题考查了幂函数的定义及解析式求法,属于基础题.10．28【解析】【分析】根据二项式定理可知其展开式的通项公式,即可求得x 的一次项系数.【详解】二项展开式的通项公式为1r r n r r n T C a b -+=所以二项式8的展开式通项公式为8113218r r r r T C x x --+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以当6r =时为x 的一次项所以()()2166788T C x x C x -== 即x 的一次项系数是6887282C ⨯== 故答案为:28【点睛】 本题考查了二项式定理展开式通项公式的应用,指定向系数的求法,属于基础题.11．32【解析】【分析】已知条件为三角形的三条边,先根据余弦定理求得cos CAB ∠,再根据向量数量积即可求得解.【详解】在△ABC 中,3AB =,2AC =,BC =由余弦定理可得222cos 2AC AB BC CAB AC AB+-∠=⨯2222312234+-==⨯⨯ 由向量数量积为cos AB AC AB AC CAB ⋅=⋅∠ 133242=⨯⨯= 故答案为: 32 【点睛】本题考查了余弦定理及向量数量积的综合应用,先求得夹角是解决问题的关键,属于基础题. 12．12【解析】【分析】 根据正弦的和角与差角公式,展开合并化简,结合余弦的二倍角公式化简即可求值.【详解】由正弦函数的和角与差角公式,化简可得sin()sin()44y x x ππ=-+ sin cos sin cos sin cos sin cos 4444x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭x x x x ⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭2211sin cos 22x x =- 因为221cos21cos2sin ,cos 22x x x x -+==所以原式1cos22x =-因为1cos21x -≤≤ 所以最大值为12故答案为:12【点睛】 本题考查了正弦函数和角与差角公式的化简,余弦二倍角公式的应用,三角函数值的求法,公式应用较为灵活,属于中档题.13．3[,)2+∞【解析】【分析】解不等式,求得集合B,再根据充分必要条件可得不等式组,即可求得实数a 的取值范围.【详解】因为集合2{|10}B x x ax =--≤ 所以解210x ax --≤x ≤≤因为集合{1,2}A =且x A ∈是x B ∈的充分条件所以12≤⎨⎪≤⎪⎩032a a ≤⎧⎪⎨≤⎪⎩ 所以32a ≤,即实数a 的取值范围为3[,)2+∞ 故答案为: 3[,)2+∞ 【点睛】本题考查了充分必要条件的简单应用,含参数一元二次不等式的解法,属于中档题.14．3-或6【解析】【分析】先求得当(,2]x ∈-∞-时函数()y f x =零点所在范围,即可求得一个k 的值;根据(4)()f x f x +=-可求得函数()y f x =对称轴,结合对称轴即可求得函数()y f x =在[)2+x ∈∞，上的零点所在区间,进而求得k 的值.【详解】当(,2]x ∈-∞-时,根据零点定义可知1()()5=02x f x =- 解得12log 5x =,即函数一个零点为12log 5x = 因为12log y x =是单调递减函数,且1122log 42,log 83,=-=- 所以111222log 8log 5log 4<<,即123log 52-<<- 因为零点所在区间为(,1)k k +（k ∈Z ）,所以此时3k =-任意实数x 满足(4)()f x f x +=-,所以函数图像关于2x =成轴对称,所以若一个零点为12log 5x =,则在[)2+x ∈∞，时的一个零点为1242log 5x =-, 因为12642log 57<-<,所以此时6k =故答案为3-或6【点睛】本题考查了函数零点的求法,函数对称性质的应用及对数的简单应用,属于中档题.15．18【解析】【分析】根据排列组合的性质,分类、分步计数原理可解.【详解】因为四面体中,一个面上标有数字1,一个面上标有数字2,另外有两个面上标有数字3,当将该正四面体抛掷三次,则向下一面的数字之和为7的情况有两类:当组合为2,2,3时,可能有11326C C =种情况当组合为1,3,3时,可能有11132212C C C =种情况综上可知,所有出现向下一面的数字之和为7的情况有61218+=种故答案为:18【点睛】本题考查了排列组合的应用,分类与分步计算原理的应用,属于基础题.16．6【解析】由题意,此问题的实质是以A 为半径的球在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1各个面上交线的长度计算， 正方体的各个面根据与球心位置关系分成两类：ABCD 、AA 1DD 1、AA 1BB 1为过球心的截面，截痕为大圆弧， 各弧圆心角为π6、A 1B 1C 1D 1、B 1BCC 1、D 1DCC 1为与球心距离为1的截面，截痕为小圆弧,由于截面圆半径为3r =,故各段弧圆心角为π2.∴这条曲线长度为ππ3362⋅+⋅=.. 点睛：在平面中，到定点的距离等于定值的动点形成的轨迹为圆；在空间中，到定点的距离为定值的动点形成的轨迹为球.在圆中，弧长等于圆心角乘以半径.17．（1）23；（2）【解析】【分析】（1）根据等体积法,B AMN M ABN V V --=,根据底面积和高即可求得体积.（2）因为异面直线MN 与1DD 所成角等于MN 与1BB 所成角的大小,连接NB ,解三角形即可求解,最后再转化为反三角函数即可.【详解】（1）连接BN因为B AMN M ABN V V --=,12222ABN S =⨯⨯= 所以122133B AMN M ABN V V --==⨯⨯= （2）异面直线MN 与1DD 所成角等于MN 与1BB 所成角在Rt MBN ∆中,NMB ∠即为MN 与1BB 所成角BN ==1MN =所以tan NMB ∠==所以NMB arc ∠=【点睛】本题考查了等积法在立体几何中的应用,异面直线夹角的求法,属于基础题.18．（1）22162x y +=；（2）见解析 【解析】【分析】（1）根据焦距及短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形,结合椭圆中a b c 、、的关系,即可求得a b c 、、的值,即可得椭圆方程.（2）设出点P 的坐标,根据两点间距离公式,结合椭圆的方程即可证明.【详解】（1）因为椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.所以222242c b a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解方程组可得2a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩所以椭圆的方程为22162x y += （2）证明:设()00,P x y ,03x >-因为F 为椭圆C 的左焦点,直线:3l x =-,椭圆的方程为22162x y += 所以2200162x y +=,即220023x y =- 则点P 到直线l 的距离为103d x =+点P 到F 的距离为2d === 因为03x >-所以原式)03x =+所以213d d =,即点P 到F 的距离是点P到l 距离的3倍. 得证.【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求法,椭圆第二定义的证明过程,属于基础题.19．(1)9π(2m )；(2)少1.522m ． 【解析】【详解】试题分析：(1)本题比较简单，就是利用扇形面积公式21122S lr r α==来计算弧田面积，弧田面积等于扇形面积-对应三角形面积．(2)由弧田面积的经验计算公式计算面积与实际面积相减即得．试题解析：(1) 扇形半径， 扇形面积等于弧田面积=（m 2）（2）圆心到弦的距离等于，所以矢长为.按照上述弧田面积经验公式计算得 （弦´矢+矢2）=.平方米按照弧田面积经验公式计算结果比实际少1.52平米.考点：(1)扇形面积公式；(2)弧田面积的经验计算公式．20．（1）21n a n =-，n ∈*N ；（2）21122k k k b --=-；（3）3k m ==.【解析】【分析】（1）根据1(,)n n P a a +在直线上可知数列{}n a 为等差数列,结合59a =即可求得通项公式.（2）根据等差数列的通项公式,代入区间即可求得中间的项数,即可求得{}k b 的通项公式；（3）将{}k b 的通项公式代入,求得数列{}k c 的通项公式,根据数列{}k c 为等比数列可求得k T ,代入等式即可求得正整数k 、m 的值.【详解】（1）因为点1(,)n n P a a +在直线20x y -+=上所以120n n a a +-+=即12n n a a +-=所以数列{}n a 为等差数列,且公差2d =又因为59a =即149a d +=所以19421a =-⨯=所以数列{}n a 的通项公式为()1121n a a n d n =+-=-所以21n a n =-（2）因为21n a n =-数列{}n a 落入区间2(2,2)k k 内的项的个数记为k b所以2221212k k n n ⎧<-⎨-<⎩即121112222k k n --+<<+ 所以项数为21122k k ---即21122k k k b --=- （3）因为2122k k kc b -=-,代入21122k k k b --=- 可得()121211222222k k k k k c ----==-- 所以1112122,222k k k k c c c +-=== 所以数列{}k c 是以112,2c q ==为公比的等比数列 1211222n n k c --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则前k 项和12121411212k k k T ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭- 因为等式111k k m T m T m c +-=-+成立所以21141121141122k m k m m -+⎛⎫-- ⎪⎝⎭=⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简可得()14242k m m --⨯=+所以当且仅当3m k ==时成立【点睛】本题考查了等差数列的通项公式,等比数列前n 项和的求和公式的应用,对数列综合性质的应用,对理解能力要求较高,属于难题.21．（1）证明见解析; （2） 不是;理由见解析; （3）证明见解析;()1f x =【解析】【分析】（1）根据定义,代入不等式作差证明不等式成立,即可证明函数2()g x x =是下凸函数.（2）利用特殊值法, 令121,2,42a x x ===代入后检验不等式左右的大小,即可判断不等式是否成立.（3）根据极限定义,可求得当0t →时()f t 的极限值;结合不等式(0)()f f t ≤,(1)()f f t ≤即可求得(1)f 的值.进而利用赋值法求得[0,1]上的解析式.【详解】（1）证明:对任意实数1x 、2x （12x x ≠）, [0,1]a ∈有[]1212((1))()(1)()f ax a x af x a f x +--+- 1212((1))()(1)()f ax a x af x a f x =+----[]()()2221212(1)(1)ax a x a x a x =+----()221212(1)(1)21a a x a a x a a x x =----+- 212(1)()a a x x =---因为[0,1]a ∈,实数1x 、2x （12x x ≠）所以212(1)()0a a x x ---≤即1212((1))()(1)()f ax a x af x a f x +-≤+-所以函数2()g x x =是下凸函数（2）2()log f x x =不是下凸函数理由如下: 令121,2,42a x x === 则不等式左边()()12211143log 32f ax a x f f ⎛⎫⎡+-⎤=+⨯== ⎪⎣⎦⎝⎭不等式右边()()()121131112222af x a f x ⎛⎫+-=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭因为232239,28⎛⎫== ⎪⎝⎭, 所以232232⎛⎫> ⎪⎝⎭,即3232> 即32223log 3log 22>= 所以()()()()121211f ax a x af x a f x ⎡+-⎤>+-⎣⎦与定义1212((1))()(1)()f ax a x af x a f x +-≤+-矛盾所以2()log f x x =不是下凸函数（3）证明:因为()f x 是定义在[0,1]上的下凸函数,常数(0,1)t ∈,满足：(0)()f f t ≤,(1)()f f t ≤,且(0)1f =所以当0t →时, ()()01f t f ==而对于任意(0,1)t ∈,(1)()f f t ≤所以(1)1f ≤而当1t →时,由 (0)()f f t ≤可得1(1)f ≤综上可知1(1)1f ≤≤,即(1)1f =得证.根据下凸函数满足1212((1))()(1)()f tx t x tf x t f x +-≤+-,(0,1)t ∈令121,0x x ==代入可得()(1)1f t t t ≤+-=而()()11f f t =≤所以()1f t =，(0,1)t ∈又因为(0)1f =,(1)1f =所以当[0,1]x ∈时()1f x =【点睛】本题考查了函数新定义及其应用,特殊值检验定义的形式,抽象函数解析式的求法,需要很好的思维能力,属于难题.。
2018-2019学年上海市第二中学高一上学期期中数学试题(解析版)
上海市第二中学 高一上学期期中数学试题一、单选题1．若0ab <，且0a b +>，则以下不等式中正确的是（ ）A ．110a b+< B >C ．22a b <D ．a b >【答案】A【解析】把不等式0a b +>的两边同时除以负数ab 可得<0a bab+ ，化简可得11+<0a b，从而得出A 正确，再用举反例说明其他选项错误． 【详解】110,0,0,0a b a b ab ab a b++><∴<∴+<Q ，故A 正确；当1,2a b =-=时，不满足B 、D 选项；当2,1a b ==-时，不满足C 选项， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查不等式与不等关系，不等式的基本性质的应用，属于基础题． 2．下列各组函数表示同一个函数的是（ ）A ．()()f x g x ==B ．1,0(),()1,0x xf xg x x x ≥⎧==⎨-<⎩C ．()()f x g x ==D ．22()21,()21f x x x g t t t =--=--【答案】D【解析】根据同一函数的概念，分别判定两个函数的定义域和对应法则，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，对于A 中，函数,0(),(),0x x f x x g x x x x ≥⎧=====⎨-<⎩， 所以函数()(),f x g x 不是同一函数；对于B 中，函数()xf x x =的定义域为{|,0}x x R x ∈≠，函数1,0()1,0x g x x ≥⎧=⎨-<⎩的定义域为R ，所以函数()(),f x g x 不是同一函数；对于C 中，函数()f x =010x x ≥⎧⎨+≥⎩，解得[0,)x ∈+∞，即函数的定义为[0,)+∞，函数()g x =20x x +≥，解得0x ≥或1x ≤-，即函数的定义域为(,1][0,)-∞-+∞U ，所以函数()(),f x g x 不是同一函数；对于D 中，22()21,()21f x x x g t t t =--=--的定义域都是R ，且有相同的对应法则，所以()(),f x g x 是同一函数. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了同一函数的概念及应用，其中解答中熟记同一函数的概念，分别判定两个函数的定义域与对应法则是否相同是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.3．下列各式中，最小值为2的是（ ）A ．()10x xx+<B ．()111x x+≥C ()20x ->D 2 【答案】C【解析】对于选项A 、C 、D 中利用基本不等式即可判定，对于B 中，可利用函数的单调性进行判定，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，对于A 中，因为0x <，所以11[()()]2x x x x +=--+≤-=--，当且仅当1x x-=-时，即1x =-时等号成立，所以函数的最大值为2-，不符合题意； 对于B 中，函数()11f x x=+在[1,)+∞上为单调递减函数，所以函数的最大值为()12f =，不符合题意；对于C 222-≥==4x =时等号成立，所以最小值为2，符合题意；对于D 222==≥=，当=231x +=，即22x =-（显然不成立），所以最小值取不到2. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了最小值的求解与判定，其中解答中熟练应用基本不等式和函数的单调性求解解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4．若*,x R n N ∈∈，规定：(1)(2)(1)nx H x x x x n =++⋅⋅⋅⋅⋅+-，例如： 44(4)(3)(2)(1)24H -=-⋅-⋅-⋅-=，则52()x f x x H -=⋅的奇偶性为（ ）A ．是奇函数不是偶函数B ．是偶函数不是奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数 【答案】B 【解析】【详解】根据新定义可知()()52222()(2)(1)(2)14x f x x H x x x x x xx -=⋅=--+=--L ，那么利用函数的奇偶性定义可知，函数f(-x)=f(x)是偶函数， 不是奇函数，故选B二、填空题5．集合{1,2}的子集共有_______个 【答案】4【解析】根据集合的子集的概念，准确书写出集合的子集，即可求解. 【详解】由题意，根据子集的概念，可得集合{1,2}为{}{}{},1,2,1,2φ，共有4个. 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查了集合的子集的概念，其中解答中熟记集合的子集的概念，准确书写是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6．不等式23053x x +>-的解集是_________【答案】3{|2x x <-或3}5x >【解析】把不等式23053x x +>-，转化为(23)(53)0x x +->，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由题意，不等式23053x x +>-，等价于(23)(53)0x x +->，解得32x <-或35x >，所以不等式23053x x +>-的解集为3{|2x x <-或3}5x >. 故答案为：3{|2x x <-或3}5x >.【点睛】本题主要考查了分式不等式的求解，其中解答中熟记分式不等式的解法是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 7．“2,3a b ==”是“5a b +=”的_______条件 【答案】充分不必要【解析】结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，当2,3a b ==成立时，可得5a b +=是成立的，反之：当5a b +=成立时，2,3a b ==不一定成立，例如：1,4a b ==， 所以“2,3a b ==”是“5a b +=”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 【点睛】本题主要考查了充分条件，必要条件的判定，其中解答中熟记充分条件、必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题. 8．函数||y x =的单调递增区间是__________ 【答案】[0,)+∞【解析】化简函数,0,0x x y x x x ≥⎧==⎨-<⎩，结合一次函数单调性，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数,0,0x x y x x x ≥⎧==⎨-<⎩，根据一次函数单调性， 可得函数||y x =的单调递增区间是[0,)+∞. 故答案为：[0,)+∞. 【点睛】本题主要考查了函数的单调性的判定与应用，其中解答中合理化简函数的解析式，结合一次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 9．已知4x >，则14x x +-的最小值_________. 【答案】6【解析】试题分析：因为4x >，所以40x ->，11444644x x x x +=-++≥+=--，当且仅当14,54x x x -==-时，14x x +-的最小值是6． 【考点】基本不等式的应用 10．若函数)()1f x =，()g x =，则()()f x g x ⋅=____________【答案】()()[0,1)(,1)f x x g x ∈⋅=+∞U【解析】分别求得函数()(),f x g x 的定义域，再结合()()f x g x ⋅，即可求得函数的解析式，得到答案. 【详解】由题意，函数)()1f x =-的定义域为[0,)+∞，函数()g x =满足010x ≥⎧⎪≠，解得0x ≥且1x ≠， 即函数()g x 的定义域为[0,1)(1,)⋃+∞所以()()[0,11)(1,))x f x g x ⋅==∈+∞U .故答案为：()()[0,1)(,1)f x x g x ∈⋅=+∞U【点睛】本题主要考查了函数的解析式的求解，以及函数的定义域的求解，其中解答中根据函数的解析式有意义，求得函数的定义域是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11．若不等式20ax bx c ++>的解集是{|2x x <-或1}2x >-，则不等式20ax bx c -+<的解集是_________【答案】1(,2)2【解析】由题设可得2-和12-是方程20ax bx c ++=的两根，利用韦达定理，求得3,2b ac a ==-，把不等式20ax bx c -+<转化为不等式22320x x --<，即可求解. 【详解】由题意，不等式20ax bx c ++>的解集是{|2x x <-或1}2x >-， 可得2x =-和12x =-是方程20ax bx c ++=的两根，所以012212()2a b a c a ⎧⎪>⎪⎪--=-⎨⎪⎪-⨯-=⎪⎩，解得50,,2a b a c a >==，则不等式20ax bx c -+<可化为2502ax ax a -+<，即22520ax ax a -+<， 因为0a >，所以不等式等价于2252(2)(21)0x x x x -+=--<，解得122x <<，即不等式20ax bx c -+<的解集为1(,2)2.故答案为：1(,2)2. 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的求解，以及二次式之间的关系，其中解答中根据三个二次式之间的关系，利用韦达定理求得,,a b c 的关系，结合一元二次不等式的解法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 12．若)132fx +=+，则()f x =_____________【答案】2()365,[1,)f x x x x =-+∈+∞ 【解析】令1t =，则2(1)x t =-且1t ≥，求得2()365,[1,)f t t t t =-+∈+∞，即可求解.【详解】令1t =，则2(1)x t =-且1t ≥，可得22()3(1)2365,[1,)f t t t t t =-+=-+∈+∞， 所以2()365,[1,)f x x x x =-+∈+∞. 故答案为：2()365,[1,)f x x x x =-+∈+∞. 【点睛】本题主要考查了函数解析式的求解，其中解答中合理利用换元法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.13．若关于实数x 的不等式|x ﹣5|+|x+3|＜a 无解，则实数a 的取值范围是 _________ ． 【答案】（﹣∞，8]【解析】由于|x ﹣5|+|x+3|表示数轴上的x 对应点到5和﹣3对应点的距离之和，其最小值为8，再由关于实数x 的不等式|x ﹣5|+|x+3|＜a 无解，可得a≤8， 故答案为：（﹣∞，8]．14．已知函数25()43kx f x kx kx +=++的定义城为R （R 为实数集），则k 的取值范围为_________ 【答案】3[0,)4【解析】由函数25()43kx f x kx kx +=++的定义城为R ，转化为2430kx kx ++≠在R 上恒成立，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解. 【详解】由题意，函数25()43kx f x kx kx +=++的定义城为R ，即2430kx kx ++≠在R 上恒成立， 当0k =时，30≠恒成立，当0k ≠时，则满足2(4)430k k ∆=-⨯⨯<，即2430k k ∆=-<，解得304k <<， 综上可得，实数k 的取值范围是3[0,)4. 故答案为：3[0,)4. 【点睛】本题主要考查了函数的定义域的定义，以及一元二次式的恒成立问题，其中解答中合理转化，结合二次函数的性质，分类讨论求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15．设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，2()97a f x x x=++．若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围是 . 【答案】87a ≤-【解析】试题分析：∵()y f x =是定义在R 上的奇函数，∴当0x >时，2()()97a f x f x x x=--=+-，而297767a x a x +-≥=-，当些仅当3x a =时，“=”成立，∴当0x >时，要使()1f x a ≥+恒成立，只需86717a a a -≥+⇒≤-或85a ≥，又∵0x =时，(0)01f a =≥+，∴1a ≤-，综上，故实数a 的取值范围是8(,]7-∞-.【考点】1.奇函数的性质；2.恒成立问题的处理方法.16．已知全集为,U P U ⊂定义集合P 的特征函数为1,()0,P U x Pf x x C P ∈⎧=⎨∈⎩，对,A U B U ⊂⊂，给出下列四个结论中正确的序号有_______（1）对任意x U ∈，有()()1U A C A f x f x +=； （2）对任意x U ∈，若A B ⊂，则()()A B f x f x ≤； （3）对任意x U ∈，有()()(x)A A U U f f x f x =-U ； （4）对任意x U ∈，有()()()A U A U f x f x f x =⋅U . 【答案】（1）（2）【解析】利用特殊值法，先求出特殊的集合,,U A B ，然后再验证判断四个命题的真假，即可求解. 【详解】利用特殊值法进行判定求解：设{}1,2,3,{1},{1,2}U A B ===，那么： 对于（1）中，有(1)1,(2)0,(3)0,(1)0,(2)1,(3)1U U U A A A C A C A C A f f f f f f ======， 所以()()1U A C A f x f x +=成立，可知（1）正确；对于（2）中，有(1)1(1),(2)0(2)1,(3)(3)0A B A B A B f f f f f f ===<===， 可得()()A B f x f x ≤，所以（2）正确；对于（3）中，有(1)1,(2)0,(3)0,(1)1,(2)1,(3)1A A A U U U f f f f f f ======，(1)1A U f =U ，(2)1,(3)1A U A U f f ==U U ，其中(((1)1)1)A A U U f f f ≠-U ，所以可知（3）不正确；对于（4）中，有(1)1,(2)0,(3)0,(1)1,(2)1,(3)1,(1)1A A A U U U A U f f f f f f f =======U ，(2)1,(3)1A U A U f f ==U U ，其中(((2)2)2)A A U U f f f ≠⋅U ，所以可知（4）不正确.故答案为：（1）（2）. 【点睛】本题主要考查了集合与函数的新定义，以及集合运算的应用，其中解答中正确理解题意，利用特殊值法逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.三、解答题17．已知集合{}2650,A x x x x R =-+<∈，{}2320,B x x x x R =-+≥∈ （1）求A B I 和A B U ； （2）求R C B【答案】（1）{|25}x x ≤<，R ； （2）{|12}x x <<.【解析】（1）根据一元二次不等式的解法，可得集合{|15}A x x =<<，{|1B x =≤或2}x ≥，再结合集合的交集和并集的运算，即可求解；（2）由（1）集合{|1B x =≤或2}x ≥，根据补集的运算，即可求解. 【详解】（1）由题意，集合{}2650,{|15}A x x x x R x x =-+<∈=<<，{}2320,{|1B x x x x R x =-+≥∈=≤或2}x ≥，所以{|25}A B x x =≤<I ，A B R =U .（2）由（1）知集合{|1B x =≤或2}x ≥，根据补集的运算，所以{|12}R C B x x =<<. 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的求解，以及集合的运算，其中解答中结合一元二次不等式的解法求得集合,A B ，再根据集合的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.18．已知*,a b R ∈，比较43a ab +和43b a b +的大小 【答案】4343a ab b a b +≥+【解析】利用作差比较法，合理利用立方差公式化简、运算，即可判定，得到答案. 【详解】由题意，作差可得4343433433()()()a ab b a b a a b ab b a a b b a b +-+=-+-=-+-33222223()()()()()()[()]24b a b a b a b a b a ab b a b a b =--=--++=-++，因为*,a b R ∈，所以2223((20,04))b b a b a ++≥>-，所以2223()[()]024b a b a b -++≥，当且仅当a b =时等号成立，所以4343a ab b a b +≥+. 【点睛】本题主要考查了代数式的比较大小，其中解答中利用作差比较法，合理利用立方差公式化简、运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19．为保护环境，某单位采用新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品。
2018-2019学年上海市曹杨第二中学高一上学期期中数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市曹杨第二中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．设集合{}{}2|0|2M x x x N x x =-=＜，＜，则( )A ．M N ⋂=∅B ．M N M ⋂=C ．M N M ⋃=D ．M N R =U【答案】B【解析】解一元二次不等式求得集合M ，由此求,M N 两个集合的交集和并集，从而得出正确选项. 【详解】由()210x x x x -=-<解得01x <<.故,M N N M N M ⋃=⋂=，故B 选项正确.故选：B. 【点睛】本小题主要考查集合交集、并集的运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 2．设命题甲为：0＜x ＜5，命题乙为|x －2|＜3，那么甲是乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[来【答案】A【解析】试题分析：|x －2|＜3可化为-1<x<5,所以甲是乙的充分不必要条件 【考点】充分条件与必要条件3．函数()2f x x =，则对任意实数12x x 、,下列不等式总成立的是( )A ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭B ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫⎪⎝⎭＜C ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥⎪⎝⎭D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫⎪⎝⎭＞【答案】A【解析】用差比较法，比较出()()1212,22f x f x x x f ++⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小关系. 【详解】依题意()()121222f x f x x x f ++⎛⎫- ⎪⎝⎭222121222x x x x ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭()21204x x -=≥，故()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以A 选项正确.故选：A. 【点睛】本小题主要考查差比较法比较大小，考查运算求解能力，属于基础题.4．对于使()f x M ≤成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值叫做()f x 的上确界，若a 、b R +∈且1a b +=，则122a b--的上确界为（ ） A ．92-B ．92C ．D ．4-【答案】A【解析】因为a 、b R +∈且1a b +=，所以（当且仅当，即时取等号）；则，所以122a b--的上确界为.【考点】基本不等式.二、填空题5．设全集{}(){}123424U U M N M C N =⋃=⋂=，，，，，，则N =_______.【答案】{}1,3【解析】画出图像，根据(){}24U M C N ⋂=，求得N . 【详解】画出图像如下图所示，由于{}1234U M N =⋃=，，，，故{}1,3N =. 故答案为：{}1,3.【点睛】本小题主要考查集合交集、并集和补集的运算，属于基础题. 6．满足{1，2}n A ⊆{1，2，3，4}的集合A 的个数是 ______ ． 【答案】3 【解析】【详解】∵{}{}121234A ⊆n ，，，，，∴集合A 中除了含有1，2两个元素以外，至少必须含有另外一个元素，因此满足条件的集合A 为{}1,2,3，{}1,2,4，{}1,2,3,4共3个，故答案为3.7．设:14:x x m αβ≤≤≤，，若α是β的充分条件,则实数m 的取值范围是_______. 【答案】(],1-∞【解析】由题意得出[][)1,4,m ⊆+∞，由此可得出实数m 的取值范围. 【详解】:14x α≤≤Q ，:x m β≤，若α是β的充分条件，[][)1,4,m ⊆+∞，则1m £.因此，实数m 的取值范围是(],1-∞. 故答案为：(],1-∞. 【点睛】本题考查利用充分条件求参数，一般转化为集合的包含关系求解，考查运算求解能力，属于基础题.8．已知x ∈R ，命题“若25x <<，则27100x x -+<”的否命题是______. 【答案】若2x ≤或5x ≥，则27100x x -+≥ 【解析】根据四种命题的形式，直接写其否命题. 【详解】原命题的否命题是“若2x ≤或5x ≥，则27100x x -+≥” 故答案为：若2x ≤或5x ≥，则27100x x -+≥【点睛】本题考查四种命题的书写形式，属于基础题型，若原命题是“若p 则q ” 那么否命题：“若p ⌝则q ⌝”，逆命题：“若q 则p ”，逆否命题：“若q ⌝则p ⌝”.9．函数的定义域是 . 【答案】[]3,1-【解析】试题分析：要使函数有意义，需满足2232023031x x x x x --≥∴+-≤∴-≤≤，函数定义域为[]3,1-【考点】函数定义域10．若()()233x x x f x g x x x-+==+，，则()()f x g x ⋅=_________. 【答案】1x -（3x ≠-且0x ≠）【解析】先求得()f x 和()g x 的定义域的交集，再求得()()⋅f x g x 的表达式. 【详解】()f x 定义域为{}|3x x ≠-，()g x 的定义域为{}|0x x ≠，所以()()⋅f x g x 的定义域为{|3,x x ≠-且}0x ≠.所以()()2313x x x f x g x x x x-+⋅=⋅=-+（3x ≠-且0x ≠）. 故答案为：1x -（3x ≠-且0x ≠） 【点睛】本小题主要考查函数定义域，考查运算求解能力，属于基础题. 11．已知00220x y x y +=＞，＞，，则xy 的最大值是_______. 【答案】50【解析】利用配凑法，结合基本不等式，求得xy 的最大值. 【详解】依题意2211212025022222x y xy x y +⎛⎫⎛⎫=⋅⋅≤⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当210x y ==时等号成立.故xy 的最大值为50. 故答案为：50. 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最大值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.12．已知正实数x y 、满足31x y +=，则13xx y+的最小值为_________. 【答案】7【解析】用 “1”的代换的方法对所求表达式进行化简，再利用基本不等式求得最小值. 【详解】依题意133333117x x y x y x x y x y x y ++=+=++≥+=，当且仅当331,4y x x y x y ===时，取得最小值为7. 故答案为：7 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最小值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.13．若关于x 的不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为{x |-1＜x ＜2}，则关于x 的不等式cx 2+bx +a ＞0的解集是______ ．【答案】()112⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，， 【解析】由条件可得a ＜0，且-1+2=-b a ，-1×2=ca． b =-a ＞0，c =-2a ＞0，可得要解得不等式即x 2+12x -12＞0，由此求得它的解集． 【详解】∵关于x 的不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为{x |-1＜x ＜2}， ∴a ＜0，且-1+2=-b a ，-1×2=ca． ∴b =-a ＞0，c =-2a ＞0，∴ac =-12，b c =12． 故关于x 的不等式cx 2+bx +a ＞0，即x 2+12x -12＞0，即（x +1）（x -12）＞0， 故x ＜-1或x ＞12， 故关于x 的不等式cx 2+bx +a ＞0的解集是()112⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，，，故答案为：()112⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，，． 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，一元二次方程根与系数的关系，属于基础题． 14．二次函数()231y x a x =+-+的图像与x 轴的两个交点的横坐标分别为12x x 、，且1222x x ＜，＞，则a 的取值范围是_________.【答案】1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】构造函数()()231x a f x x +-=+，根据()20f <，求得a 的取值范围. 【详解】构造函数()()231x a f x x +-=+，依题意可知()f x 有两个零点12,x x ，且122,2x x <>，所以()20f <，即()4231210a a +-+=-<，解得12a <，即a 的取值范围是1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.故答案为：1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【点睛】本小题主要考查根据二次函数零点分布，求参数的取值范围，属于基础题.15．设()f x 的定义域是[]01，，则函数()1122h x f x f x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的定义域为_______.【答案】1|2x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭ 【解析】分别求得12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭和12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的定义域，再求两个定义域的交集，由此求得()h x 的定义域. 【详解】 由1012x ≤+≤，求得12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的定义域为11,22A ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.由1012x ≤-≤，求得12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的定义域为13,22B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.而1|2A B x x ⎧⎫⋂==⎨⎬⎩⎭.故()h x 的定义域为1|2x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭. 故答案为：1|2x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭【点睛】本小题主要考查抽象函数定义域的求法，属于基础题.16．定义满足不等式|x -A |＜B （A ∈R ，B ＞0）的实数x 的集合叫做A 的B 邻域．若a +b -t （t 为正常数）的a +b 邻域是一个关于原点对称的区间，则a 2+b 2的最小值为______．【答案】22t【解析】先根据条件求出-t ＜x ＜2（a +b ）-t ；再结合邻域是一个关于原点对称的区间得到a +b =t ，最后结合基本不等式即可求出a 2+b 2的最小值． 【详解】因为A 的B 邻域在数轴上表示以A 为中心，B 为半径的区域， ∴|x -（a +b -t ）|＜a +b ⇒-t ＜x ＜2（a +b ）-t ， 而邻域是一个关于原点对称的区间，所以可得a +b -t =0 所以a +b =t ． 又因为a 2+b 2≥2ab所以2（a 2+b 2）≥a 2+2ab +b 2=（a +b ）2=t 2．所以：a 2+b 2≥22t ．故答案为：22t ．【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力与化归与转化思想，属于基础题．三、解答题17．记关于x 的不等式1101a x +-+＜的解集为P,不等式11x -≤的解集为Q ，若0a P Q Q ⋂=＞，，求实数a 的取值范围.【答案】()2,+∞【解析】解分式不等式求得集合P ，解绝对值不等式求得集合Q ，结合0,a P Q Q >⋂=，求得a 的取值范围.【详解】 由1101a x +-+＜得01x a x -<+，由于0a >，所以()1,P a =-.由11x -≤得111,02x x -≤-≤≤≤，故[]0,2Q =.由于0,a P Q Q >⋂=，所以2a >.也即实数a的取值范围是()2,+∞. 【点睛】本小题主要考查根据集合交集的结果求参数，考查分式不等式、绝对值不等式的解法，属于基础题.18．若实数x 、y 、m 满足x m y m ->-，则称x 比y 远离m ． （1）若21x -比3远离0，求x 的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：33+a b 比22a b ab +远离2． 【答案】（1）()(),22,-∞-+∞U （2）详见解析【解析】（1）根据定义得到不等式21030x -->-，解这个不等式可得x 的取值范围．（2）只要证明332222a b a b ab +->+-即可，利用作差法可证该不等式，注意利用基本不等式可证绝对值符号内的代数式恒正． 【详解】（1）因为21x -比3远离0，所以21030x -->-即213x ->， 所以213x ->或213x -<-（无解），所以24x >， 故()(),22,x ∈-∞-⋃+∞．（2）0a >Q ，0b >，a b ¹，222a b ab ∴+>，332a b +>，于是3322332222a b a b ab a b a b ab +--+-=+--， 而()()()()23322220a b a b ab a ba b a b a b +--=--=-+>332222a b a b ab ∴+->+-，即33+a b 比22a b ab +远离2 【点睛】本题考查不等式的证明，其基本方法有（1）作差法：利用差的符号判断两个代数式的大小，作差后需利用因式分解、配方法等判断各因式的符号；（2）作商法：利用商与1的大小关系来判断两个代数式的大小，注意商的分母的符号； （3）利用基本不等式：根据不等式的代数结构特点选择合适的基本不等式帮助证明． 19．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。
2018-2019学年上海市上海中学高一上学期期中考试数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市上海中学高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知集合，则中元素的个数为A．9 B．8 C．5 D．4【答案】A【解析】分析：根据枚举法，确定圆及其内部整点个数.详解：，当时，；当时，；当时，；所以共有9个，选A.点睛：本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别. 2．已知实数x，y，则“”是“”的（）A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】找出与所表示的区域，再根据小范围推大范围可得结果．【详解】表示的区域是以为顶点的正方形及内部，表示的区域是以为圆心，1为半径的圆及内部，正方形是圆的内接正方形，，推不出，“”是“”的充分而不必要条件．故选：B．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查了不等式组表示的区域，考查了推理能力，属于中档题．3．设，，且，则（）A．B．C．D．以上都不能恒成立【答案】A【解析】利用反证法可证得，进而由可得解.【详解】利用反证法：只需证明，假设，则：所以：，但是，故：，，．所以：与矛盾．所以：假设错误，故：，所以：，故选：A．【点睛】本题考查的知识要点：反证法的应用，关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题型．4．对二次函数（为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A．是的零点B．1是的极值点C．3是的极值D．点在曲线上【答案】A【解析】若选项A错误时，选项B、C、D正确，，因为是的极值点，是的极值，所以，即，解得：，因为点在曲线上，所以，即，解得：，所以，，所以，因为，所以不是的零点，所以选项A错误，选项B、C、D正确，故选A．【考点定位】1、函数的零点；2、利用导数研究函数的极值．二、填空题5．已知集合，用列举法表示集合______．【答案】0，1，【解析】先由x的范围推出y的范围，然后从中取整数即可．【详解】因为，，即，又，，，，，，，故答案为：0，1，【点睛】本题考查了集合的表示法属基础题．6．设集合，集合，则______．【答案】【解析】根据交集定义求出即可．【详解】，，故答案为：．【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．7．能说明“若a﹥b，则”为假命题的一组a，b的值依次为_________.【答案】（答案不唯一）【解析】分析：举出一个反例即可．详解：当时，不成立，即可填．点睛：本题考查不等式的性质等知识，意在考查学生的数学思维能力．8．集合，，若，则a的取值范围是______．【答案】【解析】先求出集合A，根据，即可求出a的取值范围．【详解】，，若，则，故答案为：．【点睛】本题主要考查集合子集关系的应用，利用不等式的解法以及数轴是解决此类问题的关键．9．命题“若，则且”的逆否命题是______．【答案】若或,则【解析】试题分析：原命题：若则。
高中上海市曹杨二中高一上学期期中数学试题
上海市曹杨二中【精品】高一上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．函数()f x =的定义域为__________ 2．函数2(26)1y x x =≤≤-的值域为____________ 3．函数()f x =__________4．定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >则，()(1)1f x x x =++，则()f x =________ 5．若函数2()(1)23f x m x mx =-++为偶函数，则()f π-________(2)f6．若函数1(1)a y x a x-=+>在区间(0,3)上单调减函数则a 的取值范围为_________ 7．关于x 的不等式322255x x x ax ++-≥在[1,12]上恒成立，则实数a 的取值范围为__________8．已知函数2()2x f x a -=+的图像恒过定点________9．函数221()(1)x f x x x -=-的单调增区间为___________.10．已知函数f(x)=x 2-2x+3在闭区间［0,m ］上最大值为3，最小值为2，则m 的取值范围为二、单选题11．已知函数131(),()3xf x xg x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则在R 上（ ） A ．()f x 与()g x 都是增函数B ．()f x 与()g x 都是减函数C ．()f x 是增函数，()g x 是减函数D ．()f x 是减函数，()g x 是增函数12．函数22(1)3y x m x =+++在区间(,2]-∞上是减函数，则m 的取值范围是（ ） A ．3m ≤- B ．3m ≥ C ．3m ≤ D ．3m ≥-13．定义在R 上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若f(a)<f(b)，则一定可得( ) A ．a<bB ．a>bC ．|a|<|b|D ．0≤a<b 或a>b≥014．函数(),()f x g x 的图象分别如图1、2所示.函数()()()h x f x g x =+. 则以下有关函数()h x 的性质中,错误的是（）A ．函数在0x =处没有意义；B ．函数在定义域内单调递增；C ．函数()h x 是奇函数；D ．函数没有最大值也没有最小值三、解答题15．已知1()f x x=，根据单调性定义证明()f x 在其定义域内为增函数. 16．用长为l 的铁丝完成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若半圆半径为x ，求此框架围城的面积y 关于x 的函数关系式()y f x =，并写出它的定义域.17．已知k ∈R ，试讨论关于x 方程()222110k x x ---+=实根的个数. 18．设2()44,[,1]()f x x x x t t t R =--∈+∈，函数()f x 的最小值为()g t .（1）求()g t 的解析式（2）画出函数()y g t =的大致图形（3）求函数()y g t =的最值19．已知函数2()2(0)f x x ax a =->（1）当2a =时，解关于x 的不等式3()5f x -<<（2）对于给定的正数a ，有一个最大的正数()M a ，使得在整个区间[0,()]M a 上，不等式|()|5f x ≤恒成立，求()M a 的解析式.参考答案1．{}61x x -≤<【解析】【分析】 使函数表达式有意义即265010x x x ⎧--≥⎨-≠⎩，解不等式组即可求解. 【详解】由题意可得265010x x x ⎧--≥⎨-≠⎩，解得61x -≤<， 所以函数的定义域为{}61x x -≤<， 故答案为：{}61x x -≤<【点睛】本题考查的是求函数的定义域，同时考查了一元二次不等式的解法，属于基础题. 2．2,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】利用x 的取值范围即可求解.【详解】由26x ≤≤，所以115x ≤-≤， 所以11151x ≤≤-，所以22251x ≤≤-， 225y ∴≤≤，所以函数的值域为2,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故答案为：2,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了求函数的值域，属于基础题.3．12⎤⎥⎣⎦ 【分析】首先求出函数的定义域，再结合二次函数的单调性即可求解.【详解】()f x =210x x ∴-++≥，210x x ∴--≤x ≤≤， 函数21y x x =-++对称轴是：12x =，12x ≤≤，函数21y x x =-++单调递增，当1122x +≤≤，函数21y x x =-++单调递减， ∴函数()f x =11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：12⎤⎥⎣⎦ 【点睛】本题考查了求复合函数的单调区间，注意求单调区间需在定义域内进行求解，此题属于基础题.4．()221,00,01,0x x x f x x x x x ⎧++>⎪==⎨⎪-+-<⎩【分析】由题意已知0x >的解析式，此题求整个定义域内的解析式，不妨设0x <，变形得到0x ->，而x -适合已知的解析式，结合函数的奇偶性可求得0x <的函数解析式，然后运用奇函数的定义可求得()00f =，则函数的整个定义域上的解析式即可求解.【详解】设0x <，则0x ->，则2()(1)11f x x x x x -=--+=-+，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，则2()1f x x x -=-+，所以()21f x x x =-+-， 又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，综上()221,00,01,0x x x f x x x x x ⎧++>⎪==⎨⎪-+-<⎩，故答案为：()221,00,01,0x x x f x x x x x ⎧++>⎪==⎨⎪-+-<⎩【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式，需熟记奇函数的特性，属于基础题. 5．<【分析】根据函数为偶函数求出参数m ，进而求出解析式，根据二次函数的单调性即可判断出大小.【详解】函数2()(1)23f x m x mx =-++为偶函数，()()f x f x ∴=-，即()22(1)23(1)23m x mx m x mx -++=---+，整理可得40mx =，所以0m =，所以2()3f x x =-+，对称轴：0x =，开口向下，所以函数在()0,∞+单调递减，所以()()(2)f f f ππ-=<，故答案为：<【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求参数值、利用函数的单调性比较大小，属于基本知识的考查. 6．10a ≥【分析】3≥即可求解.【详解】由对勾函数的性质可知： 函数1(1)a y x a x-=+>在(上单调递减，在)+∞上单调递增， 因为函数1(1)a y x a x -=+>在区间(0,3)3， 解得10a ≥，故答案为：10a ≥【点睛】本题考查了根据函数的单调性求参数的取值范围，解题的关键是求出函数的单调区间，属于基础题.7．(],10-∞【分析】分离参数a ，把不等式变形为2255a x x x x ≤++-，只需a 小于等于2255x x x x ++-的最小值即可.【详解】 由322255x x x ax ++-≥，112x ≤≤， 则2255a x x x x≤++-，而2510x x +≥=，当且仅当[]51,12x =∈取等号， 且250x x -≥，等号当且仅当[]51,12x =∈时成立； 所以2min25510a x x x x ⎡⎤≤++-=⎢⎥⎣⎦，等号当且仅当[]51,12x =∈时成立； 故10a ≤故答案为：(],10-∞【点睛】本题考查了不等式在某个区间内恒成立求参数的取值范围，求解时可采用分离参数法，同时考查了基本不等式在求最值中的应用，注意应用时验证等号成立的条件，此题属于中档题.8．()2,3【分析】利用指数函数恒过定点()0,1的性质即可求解.【详解】因为01a =，则令20x -=，即2x =，代入2()2x f x a -=+，则()0223y f a ==+=，所以函数2()2x f x a-=+的图像恒过定点()2,3，故答案为：()2,3【点睛】 本题考查了指数函数的性质，需熟记指数函数恒过定点()0,1，属于基础题.9．(1,0)-，(0,1)【分析】 函数221(1,1)1()=1(1)(11,0)x x x x f x x x x x x ⎧><-⎪-⎪=⎨-⎪--<<≠⎪⎩或且然后分段分析函数的单调性,得出答案. 【详解】 函数221(1,1)1()=1(1)(11,0)x x x x f x x x x x x ⎧><-⎪-⎪=⎨-⎪--<<≠⎪⎩或且, 所以()f x 在(,1)-∞-和(1,)+∞上单调递减，在(1,0)-和(0,1)上单调递增.故答案为：(1,0)-，(0,1)【点睛】本题考查绝对值的定义，分段函数的单调性，属于中档题.10．[]1,2【解析】由题可知函数是开口向上，对称轴为1的二次函数，所以函数的最小值在对称轴取得，即()12f =，而最大值只能在区间端点值取得，由因为()03f =，所以根据对称性得()23f =，所以m 的取值范围是12m ≤≤11．C【分析】利用幂函数与指数函数的性质即可求解.【详解】由函数()13f x x =，在定义域内为单调递增； 函数1()3xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，在定义域内为减函数； 故选：C【点睛】本题主要考查幂函数、指数函数的性质，需熟记性质，属于基础题.12．A【分析】利用二次函数的图像与性质，只需对称轴()12x m =-+≥，解不等式即可.【详解】函数22(1)3y x m x =+++，开口向上，对称轴()1x m =-+， 所以函数在(],1m -∞--上单调递减，因为函数在区间(,2]-∞上是减函数，即(](,1,2]m -∞⊆-∞--，从而可得()12m -+≥，解得3m ≤-，故选：A【点睛】本题考查了二次函数的性质、根据函数的单调性求参数的取值范围，属于基础题. 13．C【解析】因为f(x)= f(|x|)，所以由f(a)<f(b)得f(|a|)<f(|b|)，又f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以|a|<|b|，选C.点睛：函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．14．B【详解】由图1知()f x 为奇函数，定义域为{|0}x x ≠，由图2知()g x 为奇函数，x ∈R 所以，h(x)函数在0x =处没有意义, 函数()h x 是奇函数，没有最大值也没有最小值． 在定义域内不单调．错误的是B.15．证明见详解【分析】首先求出函数的定义域为()0,∞+，任取120x x <<，判断()()12f x f x -小于零，由增函数的定义即可求解.【详解】由1()f x x=，则函数的定义域为()0,∞+， 任取120x x <<，则()()1221121111f x x x x f x x ⎫-=-⎪⎭-=()121212121x x x x x x x x ⎛⎫-=+=-⎪⎪⎭， 120x x <<，则120x x -<，120x x <，()()120f x f x ∴-<，即 ()()12f x f x <，所以()f x 在其定义域内为增函数.【点睛】本题考查了利用函数的单调性定义证明函数的单调性，证明步骤：取值、作差、变形、定号，属于基础题.16．242y x lx π+=-+；定义域为0,2l π⎛⎫ ⎪+⎝⎭【分析】 下部为矩形，上部为半圆形的框架，分别计算其面积，可得框架围城的面积y 关于x 的函数关系式()y f x =，根据实际意义，可写出它的定义域.【详解】如图：由题意，半圆半径为x ，则2AB x =，弧长DC x π=()122CB DA l x x π==--， 22242222l x x x y x x lx πππ--+∴=⋅+=-+， 由()201202x l x x π>⎧⎪⎨-->⎪⎩，解得02l x π<<+， 故函数的定义域为0,2l π⎛⎫ ⎪+⎝⎭. 【点睛】本题考查的重点是函数模型的构建，解题的关键是正确表示出上、下两部分的面积，属于基础题.17．当14k >时，0个； 当14k =时， 4个； 当104k <<时，8个；当k 0<时，2个；【分析】 令21,0x y y -=≥，将原式变为20y y k -+=，讨论k 的取值，从而确定一元二次方程根的个数，进而确定方程的实根x 的个数.【详解】 设21,0x y y -=≥，因此原式变为20y y k -+=； （1）当14k >时，此时方程20y y k -+=无解，即方程根的个数为0； （2）当14k =时，方程20y y k -+=有两个相等的解，解得12y =， 2112x ∴-=或2112x -=-，此时实数x 的个数有4个； （3）当104k <<时，方程20y y k -+=有两个不相等的实根12,y y ，且 10y >，20y >，211x y -=，方程有4个实数根，221x y -=，方程也有4个实数根，此时方程的实数根共8个；（4）当0k =时，方程20y y k -+=的两个为120,1y y ==，2110x y -==有2根，2211x y -==，方程有3个实数根，此时方程的实数根共5个；（5）当k 0<时，方程20y y k -+=有两个不相等的实根12,y y ，且一正一负，不防设210,0y y ，由121y y +=，故21y >，当是取10y <时，x 无值；当取21y >时，则2211x y -=>，则221x y -=或221x y -=-当221x y -=时，实数x 的个数有2个，当221x y -=-，实数x 的个数有0个，此时方程的实数根共2个； 综上所述，当14k >时，0个； 当14k =时， 4个； 当104k <<时，8个；当k 0<时，2个；【点睛】本题考查了根据参数的范围求方程根的个数以及一元二次方程的根的分布，考查了分类讨论的思想，属于中档题.18．（1）()2244,28,1227,1t t t g t t t t t ⎧-->⎪=-≤≤⎨⎪--<⎩；（2）作图见详解； （3）()y g t =最小值为8-，无最大值【分析】（1）由于函数2()44f x x x =--对称轴为2x =，分对称轴在闭区间的左边、中间、右边三种情况，分别求得函数()f x 的最小值，可得()g t 的解析式.（2）根据（1）中的解析式，作出分段函数的图像即可.由（2）的图像，观察即可求得函数()y g t =的最值.【详解】（1）由于函数2()44f x x x =--对称轴为2x =，当2t >时，函数()f x 在闭区间[],1t t +上单调递增，故函数()f x 的最小值为()2()44g t f t t t ==--； 当21t t ≤≤+，即12t ≤≤时，故函数()f x 的最小值()()28g t f ==-；当12t +<，即1t <时，函数()f x 在闭区间[],1t t +上单调递减，故函数()f x 的最小值为()2()127g t f t t t =+=--； 综上所述，()2244,28,1227,1t t t g t t t t t ⎧-->⎪=-≤≤⎨⎪--<⎩，（2）作出()g t 的图像，如图所示：（3）由（2）的图像，函数()y g t =的最小值为8-，无最大值.综上所述，函数()y g t =的最小值为8-，无最大值.【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，分段函数的图像以及分段函数的最值，考查数形结合的思想，属于中档题.19．（1）()()1,13,5-；（2）()a a M a a a ⎧>⎪=⎨<≤⎪⎩【分析】（1）当2a =时，把等式3()5f x -<<化为不等式组2345x x -<-<，求出解集即可. （2）由二次函数的图像与性质，讨论0a >时，|()|5f x ≤在[0,()]x M a ∈上恒成立时，()M a 最大，此时对应的方程()5f x =±根的情况，从而求出()M a 的解析式.【详解】（1）当2a =时，函数2()4f x x x =-，∴不等式3()5f x -<<可化为2345x x -<-<， 解得1315x x x ⎧⎨-<<⎩或，∴不等式的解集为()()1,13,5-. （2）0a >时，()222()2f x x ax x a a =-=--， ∴当25a -<-，即a >要使|()|5f x ≤区间[0,()]M a 上恒成立，要使得()M a 最大，()M a 只能是225x ax -=-的较小的根，即()M a a =；当25a -≥-，即0a <≤要使|()|5f x ≤区间[0,()]M a 上恒成立，要使得()M a 最大，()M a 只能是225x ax -=-的较大的根，即()M a a =综上，()a a M a a a ⎧>⎪=⎨+<≤⎪⎩【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法、二次函数的图像与性质，综合性比较强，属于中档题.。
上海市曹杨二中2018届高三上学期第一次月考数学试卷 含答案 精品
2018届高三第一次阶段性测试数学试卷一、填空题（本大题共有12题，前6题每题4分，后6题每题6分，满分54分）1. 已知集合{}{}22,0322<-=≤--=x x B x x x A ，则=B A2. 已知312sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ，则()=-απcos 3. 若()()*∈+N n x n 21展开式中各项系数和为243，则=n 4. 满足方程1121lg lg 2=-x x 的实数解=x 5. 若R x ∈，则不等式()01>+x x 的解集是6. 函数()xxx f 2121+-=的值域是 7. 若线性方程组()⎩⎨⎧=+-+-=-++03)3(5033y a x y x a 有解，则实数a 的取值范围是 8. 若函数()122+-=x ax x f 在[]1,0∈x 上存在唯一零点，则实数a 的取值范围是9. 已知一个球的球心O 到过球面上C B A ,,三点的截面的距离等于此球半径的一半，若3===CA BC AB ，则球的体积为10. 从{}5,4,3,2,1中随机选取一个数a ，从{}3,2,1中随机选取一个数b ，则关于x 的方程0222=++b ax x 有两个虚根的概率是11. 已知22sin 21sin 2121=+++αα，其中1α，R ∈2α，则2110ααπ--的最小值为_____；12. 已知数列{}n a 的通项公式为n n a -=52，数列{}n b 的通项公式为k n b n +=，设⎩⎨⎧>≤=nn n n n n n b a a b a b c ,,，若在数列{}n c 中，n c c ≤5对任意*∈N n 恒成立，则实数k 的取值范围是二、选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分）13. 已知b a 、为实数，则b a 22>是b a 22log log >的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件14. 数列{}n a 的通项⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3sin 3cos 22ππn n n a n ，其前n 项和为n S ，则10S 为（ ） A. 0 B.1- C.21 D.21- 15. 已知集合(){}(){}a x y y x B y x y x A a a <+=>+=,,0log log ,，若∅=B A ，则a 的取值范围是（ ）A.∅B.0>a 且1≠aC.20≤<a 且1≠aD.21≤<a16.已知函数()()R x xx x f ∈+=1时，则下列结论：①()x f 是R 上的偶函数；②()x f 是R 上的增函数；③不等式()1<x f 在R 上恒成立；④函数()()x x f x g -=在R 上有三个零点.其中错误的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17. （本题满分14分，第（1）问6分，第（2）问8分）在ABC ∆中，c b a ,,分别为内角C B A ,,所对的边，且满足()C a A c A b cos cos 3cos 2+=。
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曹杨二中2018-2019学年度第一学期期中考试高一数学试卷
一、填空题
1.设全集{}(){}，
，，，，，424321===N C M N M U U 则=N _______. 2.满足{}{}432121，，，，⊆⊂≠
M 的集合M 的个数是________. 3.设，，m x x ≤≤≤:41:βα若α是β的充分条件,则m 的取值范围为_______.
4.已知，R x ∈命题“若，＜＜52x 则01072＜+-x x ”的否命题是______________.
5.函数223x x y --=的定义域是__________.
6.若()()，，x
x x g x x x x f 332+=+-=则()()=∙x g x f _________. 7.已知，，＞，＞20200=+y x y x 则xy 的最大值是_______.
8.已知正实数y x 、满足，13=+y x 则y
x x 31+的最小值为_________. 9.若关于x 的不等式02＞c bx ax ++的解集为{}，＜＜21|x x -则关于x 的不等式
02＞a bx cx ++的解集是___________.
10.二次函数()132+-+=x a x y 的图像与x 轴的两个交点的横坐标分别为，、21x x 且 ，＞，＜2221x x 则a 的取值范围是_________.
11.设()x f 的定义域是[]，，10则函数()⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2121x f x f x h 的定义域为_______. 12.定义满足不等式()0＞，＜B R A B A x ∈-的实数x 的集合叫做A 的B 领域，若t b a -+(t 为正常数)的b a +领域是一个关于原点对称的区间,则22b a +的最小值为_________.
二、选择题
13.设集合{}
{}，
＜，＜2|0|2x x N x x x M =-=则 A.∅=N M B.M N M = C.M N M = D.R N M =
14.设命题甲为“50＜＜x ”,命题乙为“32＜-x ”,那么甲是乙的
A.充分而不必要条件
B.充分必要条件
C.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件
15.函数()，2x x f =则对任意实数21x x 、,下列不等式总成立的是 A.()()222121x f x f x x f +≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+ B.()()222121x f x f x x f +⎪⎭
⎫ ⎝⎛+＜ C.()()222121x f x f x x f +≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+ D.()()222121x f x f x x f +⎪⎭
⎫ ⎝⎛+＞ 16.对于使M x x ≤+-22成立的所有常数中,我们把M 的最小值1叫做x x 22+-的上确界,若R b a ∈，且1=+b a ,则b
a 221--的上确界为 A.29 B.29- C.4
1 D.4- 三、解答题
17.记关于x 的不等式01
11＜++-x a 的解集为P,不等式11≤-x 的解集为Q ，若 ，，＞Q Q P a = 0求实数a 的取值范围。
18.若实数m y x 、、满足，＞m y m x --则称x 比y 远离.m
(1)若12-x 比3远离0,求x 的取值范围；
(2)对任意两个不相等的正实数，、b a 证明:33b a +比22ab b a +远离.2ab ab
19.为了降低能源损耗,最近上海对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层,某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米的隔热层建造成本为6万元,该建筑物每年的能源损耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x (单位:cm)满足关系:()()，1005
3≤≤+=x x k x C 若不建隔热层,每年能源损耗费用为8万元,设()x f 为隔热层建造费用与20年的能源损耗费用之和.
(1)求k 的值及()x f 的表达式；
(2)隔热层修建多厚时,总费用()x f 达到最小,并求最小值。
20.已知一元二次函数()()002＞，＞c a c bx ax x f ++=的图像与x 轴有两个不同的交点,其
中一个交点的坐标为()，，0c 且当c x ＜＜0时,恒有().0＞x f
(1)求出不等式()0＜x f 的解(用c a 、表示)；
(2)若以二次函数的图像与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8,求a 的取值范围；
(3)若不等式0122≥+++-ac b km m 对所有[]11，
-∈k 恒成立,求实数m 的取值范围。
附加题(供参加数学竞赛的同学练习,得分不计入年级排名。
任选1题做,记10分)
21.设{}，，，，200321=E 且{}n a a a G ，，
，⋯=21是E 的真子集,且G 具有下列两条性质: (1)对任何，1001≤≤≤j i 恒有；
201≠+j i a a (2).1008010021=+⋯++a a a
试证:G 中的奇数的个数是4的倍数,且G 中的所有数字的平方和为一定数
22.设，，，+∈R c b a 试证:对任意实数z y x 、、有 ()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++≥++zx b a c yz a c b xy c b a a c c b b a abc z y x 2
22。