2016年曹杨二中自招数学试卷(答案)
上海市曹杨二中2015-2016学年高一上学期期末数学试题
一、填空题上海市曹杨二中2015-2016学年高一上学期期末数学试题1. 已知集合,,若,则实数的取值范围是________.2. 若函数,,则________.3.函数为偶函数,则实数的值为________.4. 函数的反函数是__________.5. 在直角坐标系xOy中，终边在坐标轴上的角的集合是________.6.已知函数,则________.二、单选题7. 若幂函数在是单调减函数,则的取值集合是________.8. 若不等式成立的充分不必要条件是,则实数的取值范围是________.9.已知等腰三角形的周长为常数,底边长为,腰长为,则函数的定义域为________.10. 已知角的终边上一点，且，则的值为________.11. 已知是定义在R 上的奇函数，且当时，，则此函数的值域为__________.12. 对于函数f （x ），若存在x 0∈R ，使f （x 0）=x 0，则称x 0是f （x ）的一个不动点，已知f （x ）=x 2+ax +4在[1，3]恒有两个不同的不动点，则实数a 的取值范围______.13. 若，，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．14. 函数与在同一平面直角坐标系内的大致图象为（ ）三、解答题A ．B ．C ．D ．15.已知函数有两个零点，，则有（ ）A ．B ．C ．D ．16. 对于函数,若存在区间,使得,则称函数为“可等域函数”,区间A 为函数的一个“可等域区间”.给出下列四个函数:①;②;③;④.其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”的个数是( )A ．B ．C ．D ．17. 已知一个扇形的周长为定值,求其面积的最大值,并求此时圆心角的大小.18. （1）若方程，，在上有两个不相等的实数根，求的取值范围；（2）若方程，，在上有且仅有一个实数根，求的取值范围.19. 设函数. （1）若,解不等式;（2）若不等式对一切恒成立,求实数的取值范围.20. 给定函数，若存在实数对，使得对定义域内的所有，恒成立，则称为“函数”. （1）判断函数，是不是“函数”；（2）若是一个“函数”，求所有满足条件的有序实数对；（3）若定义域为的函数为“函数”,且存在满足条件的有序实数对，当时,函数的值域为，求当时, 函数的值域。
最新题库2015-2016年上海市普陀区曹杨二中高一上学期数学期中试卷带答案
C．f （x1）＜ f（x2） D．不能确定 f（x1）与 f（x2）的大小
17．（ 4 分）已知函数 f（x）=
，则下列说法中正确的是（
）
A．若 a≤0，则 f（x）≤ 1 恒成立 B．若 f（ x）≥ 1 恒成立，则 a≥ 0 C．若 a＜0，则关于 x 的方程 f（x）=a 有解 D．若关于 x 的方程 f（x）=a 有解，则 0＜ a≤ 1
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11．（ 3 分）已知函数
的定义域是全体实数，那么实
数 a 的取值范围是 （﹣∞，﹣ ] ∪ [ 1，+∞） ．
【解答】 解：若函数
则 a=1 时，显然成立， a=﹣1 时， f（x）= 若 a2﹣1≠0，
的定义域是全体实数， ，不成立，
则
，
解得： a≥1 或 a≤﹣ ， 故答案为：（﹣∞，﹣ ] ∪ [ 1，+∞）．
12．（ 3 分）设函数 f（x）， g（ x）的定义域分别为 Df，Dg，且 Df? Dg．若对于任 意 x∈Df，都有 g（x）=f（x），则称函数 g（ x）为 f（x）在 Dg 上的一个延拓函数． 设 f（x）=x2+2x，x∈（﹣∞， 0] ，g（ x）为 f（ x）在 R 上的一个延拓函数，且 g（x） 是偶函数，则 g（x）= x2﹣ 2| x| ． 【解答】 解：由题意可得当 x≤0 时， g（ x） =f（x）=x2+2x 由函数 g（x）为偶函数可得， g（﹣ x） =g（x） 当 x＞0 时，则﹣ x＜0，g（﹣ x）=x2﹣2x，则 g（x）=x2﹣2x ∴ g（ x）=x2﹣2| x| 故答案为： x2﹣2| x|
（ 3）是否存在自然数 a，使得函数 f （x）的值域恰为
上海曹杨二中高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试题(有答案解析)
一、选择题1．高一某班有5名同学报名参加学校组织的三个不同社区服务小组，每个小组至多可接收该班2名同学，每名同学只能报一个小组，则报名方案有（ ） A ．15种 B ．90种C ．120种D ．180种2．从0，1，2，3，…，9中选出三个不同数字组成一个三位数，其中能被3整除的三位数个数为（ ） A ．252B ．216C ．162D ．2283．二项式51(2)x x-的展开式中含3x 项的系数是A ．80B ．48C ．−40D ．−804．10个人排队，其中甲、乙、丙、丁4人两两不相邻的排法A ．5457A A 种 B ．1010A －7474A A 种 C ．6467A A 种D ．6466A A 种5．某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为 A ．14B ．16C ．20D ．486．在一个具有五个行政区域的地图上（如图），用四种颜色给这五个行政区着色，当相邻的区域不能用同一颜色时，则不同的着色方法共有（ ）A ．72种B ．84种C ．180种D ．390种 7．1180被9除的余数为（ ）A ．1-B ．1C ．8D ．8-8．某校高二年级共有六个班，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为（ ） A ．2264A CB ．22642A CC ．2264A AD ．262A9．现有甲、乙、丙三个盒子，其中每个盒子中都装有标号分别为1、2、3、4、5、6的六张卡片，现从甲、乙、丙三个盒子中依次各取一张卡片使得卡片上的标号恰好成等差数列的取法数为（ ） A ．14B ．16C ．18D ．2010．现某路口对一周内过往人员进行健康码检查安排7名工作人员进行值班，每人值班1天，每天1人，其中甲乙两人需要安排在相邻两天，且甲不排在周三，则不同的安排方法有( )A ．1440种B ．1400种C ．1320种D ．1200种 11．由1，2，3，4，5组成没有重复数字，含2和5且2与5不相邻的四位数的个数是( ) A ．120B ．84C ．60D ．3612．为抗击新冠病毒，某部门安排甲、乙、丙、丁、戊五名专家到三地指导防疫工作.因工作需要，每地至少需安排一名专家，其中甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，则不同的分配方法总数为（ ） A ．18B ．24C ．30D ．36二、填空题13．设2122101221(1)x a a x a x a x -=+++，则1011a a += .14．四个不同小球放入编号为1、2、3、4四个盒子中，恰有一个空盒的放法有______种. 15．如图所示的五个区域中，中心区E 域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色．．．．．．．．．，有四种颜色可供选择．要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为______．16．已知()()()()2*01211...1nnn x a a x a x a x n N =+++++++∈对任意的x ∈R 恒成立，若450a a +=，则n =______.17．若1121101211(21)x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，则2202101311()()a a a a a a ++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+=________18．已知数列{}n a 共有21项，且11a =， 2115a =，11(1,2,3,,20)k k a a k +-==，则满足条件的不同数列{}n a 有______个.19．某单位拟安排6位员工在今年6月14号至16号（某节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天.若6位员工中的甲不值16号，乙不值14号，则不同的安排方法共有____________种.20．某中学安排,,,A B C D 四支小队去3所不同的高校参观，上午每支小队各参观一所高校，下午A 小队有事返回学校，其余三支小队继续参观.要求每支小队上下午参观的高校不能相同，且每所高校上午和下午均有小队参观，则不同的安排有_____种.三、解答题21．某大学师范学院的两名教授带领四名实习学生外出实习，实习前在学院门口合影留念，实习结束后四名实习生就被安排在三所中学任教，请回答以下问题.(用数字作答) （1）若站成两排合影，两名教授站在前排，四名实习学生站在后排，则共有多少种不同的排法？（2）若站成一排合影，两名教授必须相邻，则共有多少种不同的排法？（3）实习结束后，四名实习生被安排在三所中学任教，若每个中学至少一人去，则共有多少种不同的安排方法？ 22．（1）在239(1)(1)(1)(1)x x x x ++++++++的展开式中，求2x 的系数；（2）设6260126(12)x a a x a x a x -=++++…，()x R ∈，求下列各式的值. （ⅰ）0126a a a a ++++…； （ⅱ）246a a a ++；（ⅲ）12345623456a a a a a a +++++.23．从6名运动员中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？（1）甲、乙两人必须入选且跑中间两棒； （2）甲不跑第一棒且乙不跑第四棒.24．我校学生会进行换届选举，共选举出7名学生会委员，其中甲、乙、丙是上一届的委员，现对7名成员进行如下分工.（1）若学生会正、副主席两职位只能由甲、乙、丙三人选两人担任，则有多少种不同的分工方法；（2）若甲不担任学生会主席，乙不能担任组织委员，则有多少种不同的分工方法？ 25．有4名学生和2位老师站成一排合影. （1）若2位老师相邻，则排法种数为多少？ （2）若2位老师不相邻，则排法种数为多少？ 26．已知*(12),n x n +∈N ．（1）若展开式中奇数项的二项式系数和为128，求展开式中二项式系数最大的项的系数； （2）若展开式前三项的二项式系数和等于37，求展开式中系数最大的项．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据题意，5名同学需以“2，2，1”形式参加三个服务小组，即先把5名同学分成3组，每组人数为2，2，1人，再将3组分配的3个服务小组即可. 【详解】解：根据题意，5名同学需以“2，2，1”形式参加三个服务小组，即先把5名同学分成3组，每组人数为2，2，1人，共有2215312215C C C A =种，再将三组分配到3个服务小组，共有221353132290C C C A A ⋅=种， 故选：B. 【点睛】本题考查排列组合的部分平均分组分配问题，解题的关键是将5名同学以“2，2，1”形式参加三个服务小组，其中2，2是部分平均分组问题，需除以22A ，故有2215312215C C C A =种，再分配进而解决，是中档题.2．D解析：D 【分析】根据题意将10个数字分成三组:即被3除余1的有1，4，7；被3除余2的有2，5，8；被3整除的有3，6，9，0，若要求所得的三位数被3整除，则可以分类讨论:每组自己全排列，每组各选一个，再利用排列与组合的知识求出个数，进而求出答案. 【详解】解:将10个数字分成三组，即被3除余1的有{1,4,7}，被3除余2的有{2,5,8}，被3整除的有{3,6,9,0}.若要求所得的三位数被3整除，则可以分类讨论:①三个数字均取自第一组{1,4,7}中，或均取自第二组{2,5,8}中，有33212A =个； ②若三个数字均取自第三组{3,6,9,0}，则要考虑取出的数字中有无数字0，共有324318A A -=个；③若三组各取一个数字，第三组中不取0，有11133333162C C C A ⋅⋅⋅=个， ④若三组各取一个数字，第三组中取0，有112332236C C A ⋅⋅⋅=个， 这样能被3整除的数共有12+18+162+36228=个. 故选：D. 【点睛】本题考查分类计数原理和排列组合知识，如何分类是关键，属于中档题.3．D解析：D 【解析】512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为：()()55521551C 212C rr r r r rr r T x x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 令523r -=，1r =，所求系数为145C 280-=-，故选D .4．C解析：C 【分析】不相邻问题采用“插空法”. 【详解】解：∵10个人排成一排，其中甲、乙、丙、丁4人两两不相邻排成一排， ∴采用插空法来解，另外六人，有66A 种结果，再在排列好的六人的七个空档里，排列甲、乙、丙、丁， 有47A 种结果，根据分步计数原理知共有66A •47A ， 故选C ． 【点睛】本题考查排列组合及简单计数问题，在题目中要求元素不相邻，这种问题一般采用插空法，先排一种元素，再在前面元素形成的空档，排列不相邻的元素．5．B解析：B 【解析】由间接法得32162420416C C C -⋅=-=，故选B ．6．A解析：A 【分析】可分2种情况讨论：若选3种颜色时，必须2,4同色且1,5同色；若4种颜色全用，只能2,4同色或1,5同色，其它不相同，从而可得结果.【详解】选用3种颜色时，必须2,4同色且1,5同色，与3进行全排列， 涂色方法有334324C A ⋅=种；4色全用时涂色方法：2,4同色或1,5同色，有2种情况， 涂色方法有142448C A ⋅=种，∴不同的着色方法共有482472+=种，故选A.【点睛】本题主要考查分步计数原理与分类计数原理的应用，属于简单题.有关计数原理的综合问题，往往是两个原理交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.7．C解析：C 【分析】将1180转化为()11811-，利用二项式定理，即可得解. 【详解】()111180811=-()()()()2101101210111110911111111111818118118111C C C C C =⋅+⋅⋅-+⋅⋅-++⋅⋅-+⋅-1210111110911111111181818181C C C C =-⋅+⋅++⋅- 1211109111181818111811C C =-⋅+⋅++⨯-121110911118181811081811C C =-⋅+⋅++⨯+- 12111091111818181108180C C =-⋅+⋅++⨯+ 121110911118181811081728C C =-⋅+⋅++⨯++12111091111818181108172C C -⋅+⋅++⨯+可以被9整除，所以1180被9除的余数为8. 故选：C. 【点睛】本题考查利用二项式定理解决余数问题，将原式变形为()11811-是本题的解题关键，属于中档题.8．B解析：B 【分析】先将4名学生均分成两组，注意重合的部分要去掉，再从6个班级中选出2个班进行排列，最后根据分步计数原理得到合要求的安排方法数． 【详解】解：先将4名学生均分成两组方法数为2412C ， 再分配给6个年级中的2个分配方法数为26A ，∴根据分步计数原理合要求的安排方法数为224612C A ．故选：B ． 【点睛】本题先考查的是平均分组问题，是一个易出错的问题，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原为实际问题．9．C解析：C 【分析】根据题意，若取出的卡片上的标号恰好成等差数列分三种情况，一是标号相等时，即所得的等差数列的公差为0，二是所得的等差数列公差为1或-1，三是所得的等差数列的公差为2或-2时，分别求出其不同的取法，再求和.根据题意，若取出的卡片上的标号恰好成等差数列分三种情况， 一是标号相等时，即全部为1、2、3、4、5、6时，有6种取法，二是所得的等差数列公差为1或-1，即1、2、3；3、2、1；…4、5、6；6、5、4等8种取法，三是所得的等差数列的公差为2或-2时，即1、3、5；5、3、1；…2、4、6；6、4、2等4种取法，所以共有68418++=种. 故选：C 【点睛】本题主要考查分类加法计算原理，还考查了分类讨论的思想和列举求解的能力，属于中档题.10．D解析：D 【分析】根据题意,分2步进行分析: ①将甲、乙按要求安排，②将剩下的5人全排列，安排在剩下的5天，由分步计数原理计算可得答案. 【详解】根据题意，分2步进行分析:①要求甲、乙安排在相邻两天，且甲不排在周三，先把周一周二、周二周三、⋯、周六周日看作6个位置，任选一个位置，排上甲乙两人，有126212A A =种方法，其中甲排在周三去掉，则甲乙的安排方法有1262210A A -=种,②将剩下的5人全排列，安排在剩下的5天，有55120A =种情况； 由分步计数乘法原理知，则有101201200⨯=种安排方法. 故选：D 【点睛】本题主要考查了排列、组合的实际应用，涉及分步计数原理的应用，属于中档题.11．D解析：D 【分析】由题可知四位数中含2和5，且2与5不相邻，所以1，3，4选2个并全排列有23A 种，再在两个元素中形成的三个空中插入2与5有23A 种，即可得出结果. 【详解】由题可得四位数中含2和5，所以2与5都选，又2与5不相邻，所以1，3，4选2个并全排列有23A 种，再在两个元素中形成的三个空中插入2与5有23A 种，所以共有223336⨯=A A 种.故选：D.本题主要考查插空法排列问题.12．C解析：C 【分析】由甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，此时甲、乙两名专家看成一个整体即相当于一个人，所以相当于只有四名专家，先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数，再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的排列数，即可得到答案. 【详解】因为甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，此时甲、乙两名专家 看成一个整体即相当于一个人，所以相当于只有四名专家，先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数，即从四个中选二个和 其余二个看成三个元素的全排列共有：2343C A ⋅种； 又因为丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，所以再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的排列数有33A 种， 所以不同的分配方法种数有：23343336630C A A ⋅-=-= 故选：C 【点睛】本题考查了排列组合的应用，考查了间接法求排列组合应用问题，属于一般题.二、填空题13．0【分析】就是展开式中的系数利用通项公式求解即可【详解】展开式通项为所以故答案为0【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数属于简单题二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一关于二项式定理的命题解析：0 【分析】1011,a a 就是21(1)x -展开式中1011,x x 的系数，利用通项公式求解即可.【详解】21(1)x -展开式通项为21121(1)r rr r T C x -+=-， 111111102121(1)a C C =⋅-=- 1010101111212121(1)a C C C =⋅-==所以1111101121210a a C C +=-+=， 故答案为0. 【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T ab -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.14．144【分析】首先把四个小球分成211三组然后再从四个盒子中选出三个盒子放入三组小球即可求解【详解】首先把四个小球分成211三组共有种不同的分法然后再从四个盒子中选出三个盒子放入三组小球共有种故答案解析：144 【分析】首先把四个小球分成2、1、1三组，然后再从四个盒子中选出三个盒子放入三组小球，即可求解. 【详解】首先把四个小球分成2、1、1三组，共有21142122C C C A 种不同的分法， 然后再从四个盒子中选出三个盒子放入三组小球，共有211334214322144C C C C A A ⨯⨯=种. 故答案为：144. 【点睛】本题主要考查了排列、组合的综合应用，其中解答中熟记分配问题的处理方法是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.15．84【分析】按照选取的颜色个数分类：（1）用四种颜色涂色颜色都不同；（2）用三种颜色或同色；（3）用两种颜色涂色同色同色根据分类甲法原理即可求出结论【详解】分三种情况：（1）用四种颜色涂色有种涂法；解析：84 【分析】按照选取的颜色个数分类：（1）用四种颜色涂色，,,,A B C D 颜色都不同；（2）用三种颜色，,A C 或,B D 同色；（3）用两种颜色涂色，,A C 同色，,B D 同色，根据分类甲法原理，即可求出结论. 【详解】 分三种情况：（1）用四种颜色涂色，有4424A =种涂法； （2）用三种颜色涂色，有34248A =种涂法； （3）用两种颜色涂色，有2412A =种涂法； 所以共有涂色方法24481284++=. 故答案为：84 【点睛】本题考查排列和分类加法原理的应用，合理分类是解题的关键，属于中档题.16．【分析】先由赋值法求出再利用二项式定理以及展开式的通项公式求即可【详解】因为令则即因为由展开式的通项为得：所以解得故答案为：【点睛】本题考查了二项式展开式的通项需熟记公式属于中档题 解析：9【分析】先由赋值法求出0a ，再利用二项式定理以及展开式的通项公式求n 即可. 【详解】因为()()()()2*01211...1nnn x a a x a x a x n N =+++++++∈，令1x =-，则()01na =-，即()()011n a n ⎧⎪=⎨-⎪⎩为偶数为奇数，因为450a a +=，由()11nn x x ⎡⎤=-++⎣⎦展开式的通项为()()111n rrrr n T C x -+=-+得： ()()4545110n n n n C C ---+-=，所以45n n C C =， 解得9n =. 故答案为：9 【点睛】本题考查了二项式展开式的通项，需熟记公式，属于中档题.17．【分析】利用赋值法求二项式展开式系数和令则可得的值令则可得的值从而得解；【详解】解：因为令得令得则故答案为：【点睛】本题考查利用赋值法求二项式展开式的系数和的问题属于中档题 解析：177147-【分析】利用赋值法求二项式展开式系数和，令1x =则，可得01211a a a a +++⋅⋅⋅+的值，令1x =-则，可得01231011a a a a a a -+-+⋅⋅⋅+-的值，从而得解；【详解】解：因为1121101211(21)x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+ 令1x =得11012113a a a a +++⋅⋅⋅+=，令1x =-得()110123101111a a a a a a -+-+⋅⋅⋅+-=-=-则2202101311()()a a a a a a ++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+[][]0210131102101311()()()()a a a a a a a a a a a a =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+⋅++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+()1131=⨯-177147=-故答案为：177147-【点睛】本题考查利用赋值法求二项式展开式的系数和的问题，属于中档题.18．【分析】转化条件得或求出满足的个数再利用组合的知识即可得解【详解】或设满足的个数为解得结合组合的应用满足要求的数列有个故答案为：【点睛】本题考查了数列递推公式的应用考查了组合的应用与转化化归思想属于解析：1140【分析】转化条件得11k k a a +-=或11k k a a +-=-，求出满足11k k a a +-=的个数，再利用组合的知识即可得解.【详解】11k k a a +-=， ∴11k k a a +-=或11k k a a +-=-，设满足11k k a a +-=的个数为x ，()()()211212*********a a a a a a a a -=-+-+⋅⋅⋅+-=，∴()()20114x x +-⋅-=，解得17x =，结合组合的应用，满足要求的数列有20217301140C C ==个.故答案为：1140.【点睛】本题考查了数列递推公式的应用，考查了组合的应用与转化化归思想，属于中档题. 19．42【分析】根据题意不同的安排方法的数目等于所有排法减去甲值16号或乙值14号的排法数再加上甲值16号且乙值14号的排法进而计算可得答案【详解】解：根据题意不同的安排方法的数目为：所有排法减去甲值1解析：42【分析】根据题意，不同的安排方法的数目等于所有排法减去甲值16号或乙值14号的排法数，再加上甲值16号且乙值14号的排法，进而计算可得答案．【详解】解：根据题意，不同的安排方法的数目为：所有排法减去甲值16号或乙值14号的排法数，再加上甲值16号且乙值14号的排法，即221211645443242C C C C C C -⨯+=， 故答案为：42．【点睛】本题考查组合数公式的运用，注意组合与排列的不同以及各种排法间的关系，避免重复、遗漏．20．【分析】本题属于分组分配问题可按上午参观时A是否与其他小队分在一组进行讨论分上下午两步安排参观即可得出答案【详解】若与中的某一支小队分在一组上午有种参观方法下午参观时三支小队不去各自上午参观的高校有解析：【分析】本题属于分组分配问题，可按上午参观时A是否与其他小队分在一组进行讨论，分上下午两步安排参观，即可得出答案.【详解】若A与B、C、D中的某一支小队分在一组，上午有1333C A⋅种参观方法，下午参观时B、C、D三支小队不去各自上午参观的高校，有2种方法，故有1333236C A⋅⋅=种；若B、C、D中某两支队分在一组，上午有2333C A⋅种参观方法，下午再安排时，也有2种方法，故有2333236C A⋅⋅=种.所以一共有363672+=种.故答案为：72.【点睛】本题考查考查分组分配问题，注意其中的分类分步，属于中档题.三、解答题21．(1) 48 (2) 240 (3) 36【分析】(1)先排教授，再排学生由分步乘法计数原理可得答案.（2）将2名教授看作是一个整体，和4名实习学生一起排列，再将两名教授进行排列，由分步乘法计数原理可得答案.（3）把4名实习学生按1 , 1 , 2分成3组, 再将三组分别分配到三所中学任教可得答案.【详解】(1 )先排2名教授,有222A=(种)不同的排法,再排4名实习学生,有4424A=(种)不同的排法,故由分步乘法计数原理可得，共有22448⨯= (种)不同的排法(2) 将2名教授看作是一个整体，和4名实习学生一起排列有55120A= (种)不同的排法又2名教授,有222A=(种)不同的排法,所以共有2120240⨯= (种)不同的排法(3 )把4名实习学生按1 , 1 , 2分成3组,有214222C CA种分组方法.再将三组分别分配到三所中学任教故共有2134232236C C A A ⨯= (种)不同的排法. 【点睛】方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数. 22．（1）120；（2）（ⅰ）1；（ⅱ）364；（ⅲ）12.【分析】(1)利用二项式定理求得2x 的系数的表达式，再利用组合数的计算公式，即可求解.(2) 令1x =即可求得（ⅰ）的结果，令0x =得01a =；令1x =-，计算即可求得（ⅱ）的结果，对已知条件两边求导，令1x =即可求得（ⅲ）的结果.【详解】（1）在239(1)(1)(1)(1)x x x x ++++++++的展开式中，2x 项的系数为2223223223232393394499910120C C C C C C C C C C C C +++=+++=+++==+==…………. （2）（ⅰ）令1x =得0161a a a +++=…（ⅱ）令0x =得01a =；令1x =-，得0126729a a a a -+-+=…与（ⅰ）中式子相加得：0246365a a a a +++=，所以246364a a a ++=（ⅲ）6260126(12)x a a x a x a x -=++++…，求导可得： 523451234566(2)(12)23456x a a x a x a x a x a x ⨯--=+++++令1x =得：1234562345612a a a a a a +++++=.【点睛】本题考查了二项展开式系数，考查了二项式定理的性质及其应用、导数的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.23．（1）24，（2）252.【分析】（1）分两步，第一步，排甲乙两人，有222A =种排法，第二步，从剩下4人选出两人来跑第一棒和第四棒，有2412A =种排法，即可得出答案（2）以乙跑不跑第一棒分成两类，第一类，乙跑第一棒，有131560A A =种排法，第二类，乙不跑第一棒，有112444192A A A =种排法，即可得出答案.【详解】（1）因为甲、乙两人必须入选且跑中间两棒所以可分两步，第一步，排甲乙两人，有222A =种排法第二步，从剩下4人选出两人来跑第一棒和第四棒，有2412A =种排法所以共有21224⨯=种排法（2）以乙跑不跑第一棒分成两类第一类，乙跑第一棒，有131560A A =种排法第二类，乙不跑第一棒，有112444192A A A =种排法所以共有60192252+=种排法【点睛】本题考查的是分步和分类计数原理、排列，属于基础题.24．（1）720；（2）3720.【分析】（1）由学生会正、副主席两职位只能由甲乙丙三人中选出两人担任，利用排列、组合计算即可；（2）甲不担任学生会主席，乙不担任组织委员，可用间接法计算，即可求解．【详解】（1）由题意，学生会正、副主席两职位只能由甲乙丙三人中选出两人担任，则有225325720C A A =种不同的分工．（2）甲不担任学生会主席，乙不担任组织委员，则有76576523720A A A -+=种不同的分工．【点睛】本题主要考查了排列、组合及其简单的计数原理的应用，其中解答中认真审题，合理利用排列数、组合数的公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．25．（1）240种；（2）480种【分析】（1）2位老师站在一起，可以采取绑定法计数，先绑定2位老师，再将2者看作一人与4名学生进行全排列；（2）2位老师互不相邻，可先排4名学生，然后把2位老师插空，最后用乘法原理计数.【详解】（1）先把2位老师“捆绑”看做1元素，与其余4个元素进行排列，再对2位老师进行排列，共有A 22A 55＝240种.（2）先让4名学生站好，有A 44种排法，这时有5个“空隙”可供2位老师选取，共有A 44A 52＝480种.【点睛】本题主要考查排列、组合及简单计数问题以及捆绑法，插空法的应用，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.26．（1）1120；（2）561792,1792x x【分析】（1）由奇数项的二项式系数和为128求得8n =，再利用二项式系数的性质求解即可； （2）由展开式前三项的二项式系数和等于37求得8n =，利用展开式中系数最大的项的系数比相邻两项的系数大，列不等式求解即可.【详解】（1）由展开式中奇数项的二项式系数和为0241 (2)128n n n n C C C -+++==, 可得8n =，所以展开式中二项式系数最大的项第五项，其系数为44821120C ⨯=；（2）由展开式前三项的二项式系数和012(1)1372n n n n n C C C n -++=++=， 化为2720n n +-=，解得8n =，或9n =-（舍去），设展开式中系数最大的项为第1k +项，则11881188225622k k k k k k k k C C k C C --++⎧⨯≥⨯⇒≤≤⎨⨯≥⨯⎩， 所以展开式中系数最大的项为第6或第7项，即5556666878(2)1792,(2)1792T C x xT C x x =⋅==⋅= 【点睛】本题主要考查展开式中二项式系数最大的项以及展开式中项的系数最大的项，同时考查了二项展开式的通项公式，考查了计算能力，意在考查学生综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.。
曹杨二中2016-2017学年高二上学期期中考试数学试卷(解析版)
2016-2017学年上海市普陀区曹杨二中高二（上）期中数学试卷一.填空题1．三个平面最多把空间分割成个部分．2．两条异面直线所成的角的取值范围是．3．给出以下命题“已知点A、B都在直线l上，若A、B都在平面α上，则直线l在平面α上”，试用符号语言表述这个命题．4．设E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的形状一定是．5．设点A∈平面α，点B∈平面β，α∩β=l，且点A∉直线l，点B∉直线l，则直线l与过A、B两点的直线的位置关系．6．数列{a n}中，设S n是它的前n项和，若log2（S n+1）=n+1，则数列{a n}的通项公式a n=．7．a，b是不等的两正数，若=2，则b的取值范围是．8．计算81+891+8991+89991+…+81=．9．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则点C1到直线BD的距离为．10．我们把b除a的余数r记为r=abmodb，例如4=9bmod5，如图所示，若输入a=209，b=77，则循环体“r←abmodb”被执行了次．11．设S n是数列{a n}的前n项和，a1=﹣1，a n+1=S n S n+1，则S n=．12．若三个数a，1，c成等差数列（其中a≠c），且a2，1，c2成等比数列，则的值为．13．在学习公理四“平行于同一条直线的两条直线平行”时，有同学进行类比，提出了下列命题：①平行于同一平面的两个不同平面互相平行；②平行于同一直线的两个不同平面互相平行；③垂直于同一直线的两个不同平面互相平行；④垂直于同一平面的两个不同平面互相平行；其中正确的有．14．在n行n列矩阵中，若记位于第i行第j列的数为a ij（i，j=1，2，…，n），则当n=9时，表中所有满足2i＜j的a ij的和为．二.选择题15．如图给出的是计算的值的一个程序框图，判断其中框内应填入的条件是（）A．i＞10 B．i＜10 C．i＞20 D．i＜2016．下列命题中，正确的共有（）①因为直线是无限的，所以平面内的一条直线就可以延伸到平面外去；②两个平面有时只相交于一个公共点；③分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上；④一条直线与三角形的两边都相交，则这条直线必在三角形所在的平面内．A．0个B．1个C．2个D．3个17．从k2+1（k∈N）开始，连续2k+1个自然数的和等于（）A．（k+1）3B．（k+1）3+k3C．（k﹣1）3+k3D．（2k+1）（k+1）318．已知方程组的解中，y=﹣1，则k的值为（）A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1三.解答题19．解关于x、y的方程组，并对解的情况进行讨论．20．如图，A是△BCD所在平面外一点，M、N为△ABC和△ACD重心，BD=6；（1）求MN的长；（2）若A、C的位置发生变化，MN的位置和长度会改变吗？21．已知长方体ABCD﹣A'B'C'D'中，AB=4，AD=3，AA'=2；（1）求出异面直线AC'和BD所成角的余弦值；（2）找出AC'与平面D'DBB'的交点，并说明理由．22．已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n=（a n﹣1）（a为常数，且a≠0，a≠1）；（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=+1，若数列{b n}为等比数列，求a的值；（3）若数列{b n}是（2）中的等比数列，数列c n=（n﹣1）b n，求数列{c n}的前n项和T n．23．设数列{a n}的前n项和为S n，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得S n=a m，则称{a n}是“H数列”．（1）若数列{a n}的前n项和为S n=2n（n∈N*），证明：{a n}是“H数列”；（2）设{a n}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{a n}是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列{a n}，总存在两个“H数列”{b n}和{c n}，使得a n=b n+c n（n∈N*）成立．2016-2017学年上海市普陀区曹杨二中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（2015春•鹤岗校级期末）三个平面最多把空间分割成8个部分．【考点】平面的基本性质及推论．【专题】空间位置关系与距离．【分析】分别讨论三个平面的位置关系，根据它们位置关系的不同，确定平面把空间分成的部分数目．【解答】解：三个平面两两平行时，可以把空间分成4部分，三个平面有两个平行，第三个与他们相交时，可以把空间分成6部分，三个平面交于同一直线时，可以把空间分成6部分，三个平面两两相交，交线相互平行时，可以把空间分成7部分，当两个平面相交，第三个平面同时与两个平面相交时，把空间分成8部分．所以空间中的三个平面最多能把空间分成8部分．故答案为：8．【点评】本题考查平面的基本性质及推论，要讨论三个平面不同的位置关系．2．（2009秋•三明期中）两条异面直线所成的角的取值范围是（0°，90°] ．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】阅读型．【分析】由异面直线所成角的定义求解．【解答】解：由异面直线所成角的定义可知：过空间一点，分别作相应直线的平行线，两条相交直线所成的直角或锐角为异面直线所成的角故两条异面直线所成的角的取值范围是（0°，90°]故答案为：（0°，90°]【点评】本题主要考查异面直线所成的角，同时，还考查了转化思想，属基础题．3．（2016秋•普陀区校级期中）给出以下命题“已知点A、B都在直线l上，若A、B都在平面α上，则直线l在平面α上”，试用符号语言表述这个命题已知A∈l，B∈l，若A∈α，B∈α，则l⊆α．【考点】平面的基本性质及推论．【专题】阅读型；定义法；空间位置关系与距离．【分析】根据几何符号语言的应用，对题目中的语句进行表示即可．【解答】解：用符号语言表述这个命题为：已知A∈l，B∈l，若A∈α，B∈α，则l⊆α．故答案为：已知A∈l，B∈l，若A∈α，B∈α，则l⊆α．【点评】本题考查了空间几何符号语言的应用问题，是基础题目．4．（2016秋•普陀区校级期中）设E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA 的中点，则四边形EFGH的形状一定是平行四边形．【考点】棱锥的结构特征．【专题】综合题；转化思想；演绎法；空间位置关系与距离．【分析】证明FG∥EH，且FG=EH即可得出结论．【解答】解：如图，连接BD．因为FG是△CBD的中位线，所以FG∥BD，FG=BD．又因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，EH=BD．根据公理4，FG∥EH，且FG=EH．所以四边形EFGH是平行四边形．故答案为平行四边形【点评】主要考查知识点：简单几何体和公理四，证明平行四边形常用方法：对边平行且相等；或对边分别平行；或对角线相交且平分．要注意：对边相等的四边形不一定是平行四边形．5．（2016秋•普陀区校级期中）设点A∈平面α，点B∈平面β，α∩β=l，且点A∉直线l，点B∉直线l，则直线l与过A、B两点的直线的位置关系异面．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】计算题；转化思想；反证法；空间位置关系与距离．【分析】假设l与AB不是异面直线，那么它们在同一个平面上，记这个平面为γ，由此能推导出A 在α与β的交线l上，与已知点A∉直线l，点B∉直线l相互矛盾．从而得到l与AB是异面直线．【解答】解：假设l与AB不是异面直线，那么它们在同一个平面上，记这个平面为γ．∵A和l都在平面γ上，∴由它们决定的平面α在平面γ上，∴平面γ=平面α．同理γ=平面β．∴α=β，∵A∈α，∴A∈β，所以A在α与β的交线l上，与已知点A∉直线l，点B∉直线l相互矛盾．∴假设不成立，∴l与AB是异面直线．故答案为：异面．【点评】本题考查两直线的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．6．（2016秋•普陀区校级期中）数列{a n}中，设S n是它的前n项和，若log2（S n+1）=n+1，则数列{a n}的通项公式a n=．【考点】数列递推式．【专题】综合题；函数思想；转化法；等差数列与等比数列．【分析】由已知数列递推式求得S n，再由a n=S n﹣S n﹣1（n≥2）求得数列{a n}的通项公式．【解答】解：由log2（S n+1）=n+1，得S n+1=2n+1，∴，当n=1时，a1=S1=3；当n≥2时，，当n=1时，上式不成立，∴．故答案为：．【点评】本题考查数列递推式，考查了由数列的前n项和求数列的通项公式，是中档题．7．（2016秋•普陀区校级期中）a，b是不等的两正数，若=2，则b的取值范围是（0，2）．【考点】极限及其运算．【专题】计算题；分类讨论；极限思想．==a，进而求出b的范围．【分析】当a＞b时，【解答】解：a，b是不等的两正数，且=2，须对a，b作如下讨论：=0，则==a，①当a＞b时，所以，a=2，因此，b∈（0，2），②当a＜b时，则=﹣b=2，而b＞0，故不合题意，舍去．综合以上讨论得，b∈（0，2），故答案为：（0，2）．【点评】本题主要考查了极限及其运算，以及应用常用极限|q|＜1，q n=0解题，属于基础题．8．（2016秋•普陀区校级期中）计算81+891+8991+89991+…+81=10n+1﹣9n﹣10．【考点】数列的求和．【专题】转化思想；等差数列与等比数列．【分析】原式=8×（10+102+…+10n）+（1+1+…+1）+（90+990+…+×10），利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：原式=8×（10+102+…+10n）+（1+1+…+1）+（90+990+…+×10）=8×+n+（102﹣10）+（103﹣10）+…+（10n﹣10）=+n+﹣10（n﹣1）=10n+1﹣9n﹣10．故答案为：10n+1﹣9n﹣10．【点评】本题考查了分组求和、等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（2016秋•普陀区校级期中）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则点C1到直线BD的距离为．【考点】点、线、面间的距离计算．【专题】数形结合；转化思想；空间位置关系与距离．【分析】如图所示，连接AC，BD，DC1，BC1．设AC∩BD=O，连接OC1．利用等腰三角形的性质可得：OC1⊥BD，因此OC1是点C1到直线BD的距离．【解答】解：如图所示，连接AC，BD，DC1，BC1．设AC∩BD=O，连接OC1．∵DC1=BC1，OB=OD．∴OC1⊥BD，∴OC1是点C1到直线BD的距离．OC1==．故答案为：．【点评】本题考查了正方体的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 10．（2016秋•普陀区校级期中）我们把b 除a 的余数r 记为r=abmodb ，例如4=9bmod5，如图所示，若输入a=209，b=77，则循环体“r ←abmodb ”被执行了 4 次．【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a ，b ，r 的值，当r=0时满足条件，退出循环，从而得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得 a=209，b=77， r=55不满足条件r=0，执行循环体，a=77，b=55，r=22 不满足条件r=0，执行循环体，a=55，b=22，r=11 不满足条件r=0，执行循环体，a=22，b=11，r=0 此时，满足条件r=0，退出循环，输出a 的值为22． 由此可得循环体“r ←abmodb ”被执行了4次． 故答案为：4．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的a ，b ，r 的值是解题的关键，属于基础题．11．（2016秋•徐汇区校级期中）设S n 是数列{a n }的前n 项和，a 1=﹣1，a n +1=S n S n +1，则S n = ﹣ ． 【考点】数列的求和．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列． 【分析】a n +1=S n S n +1，可得S n +1﹣S n =S n S n +1， =﹣1，再利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵a n +1=S n S n +1，∴S n +1﹣S n =S n S n +1， ∴=﹣1，∴数列是等差数列，首项为﹣1，公差为﹣1．∴=﹣1﹣（n ﹣1）=﹣n ，解得S n =﹣． 故答案为：．【点评】本题考查数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 12．（2014•宝山区二模）若三个数a ，1，c 成等差数列（其中a ≠c ），且a 2，1，c 2成等比数列，则的值为 0 ．【考点】极限及其运算；等差数列的性质；等比数列的性质． 【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】由等差中项的概念和等比中项的概念列式求得a ，c 的值，然后代入数列极限求得答案． 【解答】解：∵a ，1，c 成等差数列， ∴a +c=2 ①又a 2，1，c 2成等比数列， ∴a 2c 2=1 ② 联立①②得： 或或，∵a ≠c ， ∴或，则a +c=2，．∴=．故答案为：0．【点评】本题考查等差数列和等比数列的性质，考查了方程组的解法，训练了数列极限的求法，是基础的计算题．13．（2016秋•普陀区校级期中）在学习公理四“平行于同一条直线的两条直线平行”时，有同学进行类比，提出了下列命题：①平行于同一平面的两个不同平面互相平行；②平行于同一直线的两个不同平面互相平行；③垂直于同一直线的两个不同平面互相平行；④垂直于同一平面的两个不同平面互相平行；其中正确的有①③．【考点】类比推理．【专题】综合题；转化思想；演绎法．【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：①平行于同一平面的两个不同平面互相平行，正确；②平行于同一直线的两个不同平面互相平行或相交，不正确；③垂直于同一直线的两个不同平面互相平行，正确；④垂直于同一平面的两个不同平面互相平行或相交，不正确．故答案为①③．【点评】本题考查类比推理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．14．（2016秋•普陀区校级期中）在n行n列矩阵中，若记位于第i行第j列的数为a ij（i，j=1，2，…，n），则当n=9时，表中所有满足2i＜j的a ij的和为88．【考点】三阶矩阵．【专题】选作题；转化思想；演绎法；矩阵和变换．【分析】根据题意n=9时，求得所有满足2i＜j的a ij，相加即可求得答案．【解答】解：由题意可知：当i=1时，由2i＜j，∴j取3，4，5，6，7，8，9当i=2时，j取5，6，7，8，9当i=3时，j取7，8，9当i=4时，j取9∴表中所有满足2i＜j的a ij和为：a13+a14+a15+a16+a17+a18+a19+a25+a26+a27+a28+a29+a37+a38+a39+a49=3+4+5+6+7+8+9+6+7+8+9+1+9+1+2+3=88，故答案为：88【点评】本题考查高阶矩阵，考查学生的理解问题，分析解决问题的能力，考查a ij中i和j的字母含义，属于中档题．二.选择题15．（2013•沈河区模拟）如图给出的是计算的值的一个程序框图，判断其中框内应填入的条件是（）A．i＞10 B．i＜10 C．i＞20 D．i＜20【考点】程序框图．【专题】阅读型；图表型．【分析】框图给出的是计算的值的一个程序框图，首先赋值i=1，执行s=0+时同时执行了i=i+1，和式共有10项作和，所以执行完s=后的i值为11，再判断时i=11应满足条件，由此可以得到正确答案．【解答】解：框图首先给变量s，n，i赋值s=0，n=2，i=1．判断，条件不满足，执行s=0+，n=2+2=4，i=1+1=2；判断，条件不满足，执行s=+，n=4+2=6，i=2+1=3；判断，条件不满足，执行s=++，n=6+2=8，i=3+1=4；…由此看出，当执行s=时，执行n=20+2=22，i=10+1=11．此时判断框中的条件应满足，所以判断框中的条件应是i＞10．故选C．【点评】本题考查了程序框图中的直到型循环，虽然是先进行了一次判断，但在不满足条件时执行循环，直到满足条件算法结束，此题是基础题．16．（2016秋•普陀区校级期中）下列命题中，正确的共有（）①因为直线是无限的，所以平面内的一条直线就可以延伸到平面外去；②两个平面有时只相交于一个公共点；③分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上；④一条直线与三角形的两边都相交，则这条直线必在三角形所在的平面内．A．0个B．1个C．2个D．3个【考点】平面的基本性质及推论．【专题】探究型；空间位置关系与距离．【分析】根据平面的基本性质及其推论逐一判断即可得解．【解答】解：对于①，因为平面也是可以无限延伸的，故错误；对于②，两个平面只要有一个公共点，就有一条通过该点的公共直线，故错误；对于③，交点分别含于两条直线，也分别含于两个平面，必然在交线上，故正确；对于④，一条直线与三角形的两边都相交，则两交点在三角形所在的平面内，则这条直线必在三角形所在的平面内，故正确．故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断，考查平面的基本性质及其推论的应用，属于基础题．17．（2016秋•普陀区校级期中）从k2+1（k∈N）开始，连续2k+1个自然数的和等于（）A．（k+1）3B．（k+1）3+k3C．（k﹣1）3+k3D．（2k+1）（k+1）3【考点】数学归纳法．【专题】转化思想；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】从k2+1（k∈N）开始，连续2k+1个自然数的和=k2+1+k2+2+…+（k2+2k+1），再利用等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：从k2+1（k∈N）开始，连续2k+1个自然数的和=k2+1+k2+2+…+（k2+2k+1）=（2k+1）•k2+=2k3+3k2+3k+1=（k+1）2+k3．故选：B．【点评】本题考查了数学归纳法、等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（2016秋•普陀区校级期中）已知方程组的解中，y=﹣1，则k的值为（）A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1【考点】简单线性规划．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】由已知方程组得到x，z，k的方程组，解之即可．【解答】解：由已知得到，解得；故选B．【点评】本题考查了三元一次方程组的解法；只要利用加减消元即可得到所求．三.解答题19．（2016秋•普陀区校级期中）解关于x、y的方程组，并对解的情况进行讨论．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】综合题；转化思想；演绎法；函数的性质及应用．【分析】将原方程组写成矩阵形式为Ax=b，其中A为2×2方阵，x为2个变量构成列向量，b为2个常数项构成列向量．而当它的系数矩阵可逆，或者说对应的行列式D不等于0的时候，它有唯一解．并不是说有解．【解答】解：系数矩阵D非奇异时，或者说行列式D=4﹣2m2﹣2m≠0，即m≠1且m≠﹣2时，方程组有唯一的解，x==，y==．系数矩阵D奇异时，或者说行列式D=4﹣2m2﹣2m=0，即m=1或m=﹣2时，方程组有无数个解或无解．当m=﹣2时，原方程为无解，当m=1时，原方程组为，无解．【点评】本题主要考查克莱姆法则，克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都可以成立．20．（2016秋•普陀区校级期中）如图，A是△BCD所在平面外一点，M、N为△ABC和△ACD重心，BD=6；（1）求MN的长；（2）若A、C的位置发生变化，MN的位置和长度会改变吗？【考点】棱锥的结构特征．【专题】综合题；转化思想；演绎法；空间位置关系与距离．【分析】（1）利用三角形的重心的性质，可得M、N分别是△ABC与△ACD的中线的一个三等分点，得=，由此利用平行线的性质与三角形中位线定理，算出MN与BD的关系，即可得到MN的长．（2）由（1）可得位置改变，长度不改变．【解答】解：（1）延长AM、AN，分别交BC、CD于点E、F，连结EF．∵M、N分别是△ABC和△ACD的重心，∴AE、AF分别为△ABC和△ACD的中线，且=，可得MN∥EF且MN=EF，∵EF为△BCD的中位线，可得EF=BD，∴MN=BD=2；（2）由（1）可得位置改变，长度不改变．【点评】本题着重考查了三角形的重心性质、平行线的性质和三角形的中位线定理等知识，属于中档题．21．（2016秋•普陀区校级期中）已知长方体ABCD﹣A'B'C'D'中，AB=4，AD=3，AA'=2；（1）求出异面直线AC'和BD所成角的余弦值；（2）找出AC'与平面D'DBB'的交点，并说明理由．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；异面直线及其所成的角．【专题】计算题；作图题；转化思想；空间位置关系与距离；立体几何．【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出两条线段的方向向量，代入向量夹角公式，可得答案．（2）连接BD'，DB'交于点O，则点O即为AC'与平面D'DBB'的交点，根据长方体的性质，可得结论．【解答】解：（1）建立如图所示空间直角坐标系，∵AB=4，AD=3，AA'=2；∴C'（4，3，2），B（4，0，0），D（0，3，0）则：=（4，3，2），=（﹣4，3，0）异面直线AC'和BD所成角的余弦值为：==；（2）连接BD'，DB'交于点O，则点O即为AC'与平面D'DBB'的交点，根据长方体的几何特征可得：O为长方体ABCD﹣A'B'C'D'外接球的球心，AC'为长方体ABCD﹣A'B'C'D'外接球的直径，故O为AC'中点，又由BD'，DB'交于点O，故O在平面D'DBB'上，故O即为AC'与平面D'DBB'的交点．【点评】本题考查的知识点是空间直线与直线，直线与平面的位置关系，异面直线的夹角，难度中档．22．（2016秋•普陀区校级期中）已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n=（a n﹣1）（a为常数，且a≠0，a≠1）；（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=+1，若数列{b n}为等比数列，求a的值；（3）若数列{b n}是（2）中的等比数列，数列c n=（n﹣1）b n，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【专题】方程思想；作差法；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（1）由公式求得通项公式；（2）简化数列{b n}，再由等比数列的通项公式的结构特征，得出=0，解得参数a；（3）由（2）求出数列{c n}的通项，根据通项结构特征，采用错位相减法求数列{c n}的前n项和．【解答】解：（1）当n=1时，，∴a1=a，，当n≥2时，S n=（a n﹣1）且，两式做差化简得：a n=a•a n﹣1即：，∴数列{a n}是以a为首项，a为公比的等比数列，∴．（2）b n=+1=，若数列{b n}为等比数列，则=0，即．（3）由（2）知，∴∴T n=0×3+1×32+2×33+…+（n﹣1）3n…①3T n=0×32+1×33+2×34+…+（n﹣2）×3n+（n﹣1）×3n+1…②①﹣②得：﹣2T n=32+33+34+…+3n﹣（n﹣1）×3n+1=∴．【点评】本题主要考查求数列通项公式，已知等比数列求参数，求数列前n项和，利用错位相减求前前n项和是关键．23．（2014•江苏）设数列{a n}的前n项和为S n，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得S n=a m，则称{a n}是“H数列”．（1）若数列{a n}的前n项和为S n=2n（n∈N*），证明：{a n}是“H数列”；（2）设{a n}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{a n}是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列{a n}，总存在两个“H数列”{b n}和{c n}，使得a n=b n+c n（n∈N*）成立．【考点】数列的应用；等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）利用“当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，当n=1时，a1=S1”即可得到a n，再利用“H”数列的意义即可得出．（2）利用等差数列的前n项和即可得出S n，对∀n∈N*，∃m∈N*使S n=a m，取n=2和根据d＜0即可得出；（3）设{a n}的公差为d，构造数列：b n=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1，c n=（n﹣1）（a1+d），可证明{b n}和{c n}是等差数列．再利用等差数列的前n项和公式及其通项公式、“H”的意义即可得出．【解答】解：（1）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，当n=1时，a1=S1=2．当n=1时，S1=a1．当n≥2时，S n=a n+1．∴数列{a n}是“H”数列．（2）S n==，对∀n∈N*，∃m∈N*使S n=a m，即，取n=2时，得1+d=（m﹣1）d，解得，∵d＜0，∴m＜2，又m∈N*，∴m=1，∴d=﹣1．（3）设{a n}的公差为d，令b n=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1，对∀n∈N*，b n+1﹣b n=﹣a1，c n=（n﹣1）（a1+d），对∀n∈N*，c n+1﹣c n=a1+d，则b n+c n=a1+（n﹣1）d=a n，且数列{b n}和{c n}是等差数列．数列{b n}的前n项和T n=，令T n=（2﹣m）a1，则．当n=1时，m=1；当n=2时，m=1．当n≥3时，由于n与n﹣3的奇偶性不同，即n（n﹣3）为非负偶数，m∈N*．因此对∀n∈N*，都可找到m∈N*，使T n=b m成立，即{b n}为H数列．数列{c n}的前n项和R n=，令c m=（m﹣1）（a1+d）=R n，则m=．∵对∀n∈N*，n（n﹣3）为非负偶数，∴m∈N*．因此对∀n∈N*，都可找到m∈N*，使R n=c m成立，即{c n}为H数列．因此命题得证．【点评】本题考查了利用“当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，当n=1时，a1=S1”求a n、等差数列的前n项和公式及其通项公式、新定义“H”的意义等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、构造法，属于难题．。
2016曹二自招试题
冲刺17年自主招生之 2016年曹杨二中自招数学试卷1.存在，可化简为___________.2. 123kx k -=有1个整数解x ，正整数k 的个数有____________. A. 4 B. 5 C. 6 D. 73. 同一直角坐标系，y kx b =+（k b ，为实数，0k ≠）代表的直线有无数条，不论怎么抽，都能得证其中两条过完全相同的象限，至少要抽____________. A. 5 B. 6 C.7 D. 84. []x 表示不超过x 的最大整数. M N ==（x 为实数）. 当1x ≥时，M N 、的大小关系为__________.A. M N >B. M N =C. M N <D. M N ≥5. ABC △中，AB AC AD =，为高，AD BC AB AC +=+， ABC △周长为2，则ABC S △为_________.A. 316B. 38C. 34 D.无法计算6. 矩形ABCD 边AB 经过O ⊙圆心O E F ，、分别为AB DC 、与O ⊙交点，34AE AD ==，，5.DF =求O ⊙直径______________.=7. 任意实数x y 、，定义2*xyx y ax by=+（a b 、为常数），等式右端的计算是通常的四则运算. 若1*212*32==，，则()2*1____________.-=8. 函数121y x x x =+++-∣∣+∣∣∣∣的最小值是______________.9. 实数x y 、满足2245x x y --=，则2x y -的取值范围是___________.10. 二次函数()20y ax bx ab =+≠，当x 取()1212x x x x ≠、时，函数值相等. 当x 取()1212x x x x +≠时，函数值___________.y =A11. 若242221021010a a b b ab +-=--=-≠，，，求2016221ab b a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭12. a b c ，，是ABC △的三边，b a b c ≥，≥. 函数()()22y a b x cx a b =++--在12x =-处取得最小值2a-，求ABC △三内角度数.13. ABC △中，3046A AB AC P ∠=︒==，，，是AC 边上任一点，过P 作PD AB ∥，()1若AP x PBD =，△面积S ，求出S 与x 的关系式. ()2 x 为何值时，S 有最大值？求出这个最大值.A。
上海曹杨二中数学全等三角形单元测试题(Word版 含解析)
一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；（2）如图2，若∠AOB=120º，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由．【答案】（1）CF=CG；（2）CF=CG，见解析【解析】【分析】(1)结论CF=CG，由角平分线性质定理即可判断．(2)结论：CF=CG，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，证明△CMF≌△CNG，利用全等三角形的性质即可解决问题．【详解】解：（1）结论：CF=CG；证明：∵OP平分∠AOB，CF⊥OA，CG⊥OB，∴CF=CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）；（2）CF=CG.理由如下：如图，过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，∵OP平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB，∠AOB=120º，∴CM=CN（角平分线上的点到角两边的距离相等），∴∠AOC=∠BOC=60º（角平分线的性质），∵∠DCE=∠AOC，∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60º，∴∠MCO=90º-60º =30º，∠NCO=90º-60º =30º，∴∠MCN=30º+30º=60º，∴∠MCN=∠DCE ，∵∠MCF=∠MCN-∠DCN ，∠NCG=∠DCE-∠DCN ，∴∠MCF=∠NCG ，在△MCF 和△NCG 中，CMF CNG CM CNMCF NCG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△MCF ≌△NCG （ASA ），∴CF=CG （全等三角形对应边相等）；【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等 ．2．在四边形 ABCD 中，E 为 BC 边中点.（Ⅰ）已知：如图，若 AE 平分∠BAD ，∠AED =90°，点 F 为 AD 上一点，AF =AB .求证：（1）△ABE ≌AFE ；（2）AD =AB +CD（Ⅱ）已知：如图，若 AE 平分∠BAD ，DE 平分∠ADC ，∠AED =120°，点 F ，G 均为 AD 上的点，AF =AB ，GD =CD .求证：（1）△GEF 为等边三角形；（2）AD =AB + 12BC +CD .【答案】（Ⅰ）（1）证明见解析；（2）证明见解析；（Ⅱ）（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）（1）运用SAS 证明△ABE ≌AFE 即可；（2）由（1）得出∠AEB=∠AEF ，BE=EF ，再证明△DEF ≌△DEC （SAS ），得出DF=DC ，即可得出结论；（Ⅱ）（1）同（Ⅰ）（1）得△ABE ≌△AFE （SAS ），△DGE ≌△DCE （SAS ），由全等三角形的性质得出BE=FE ，∠AEB=∠AEF ，CE=GE ，∠CED=∠GED ，进而证明△EFG 是等边三角形；（2）由△EFG 是等边三角形得出GF=EE=BE=12BC ，即可得出结论． 【详解】（Ⅰ）（1）∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE=∠FAE ，在△ABE 和△AFE 中， AB AF BAE FAE AE AE ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△ABE ≌△AFE （SAS ），（2）∵△ABE ≌△AFE ，∴∠AEB=∠AEF ，BE=EF ，∵E 为BC 的中点，∴BE=CE ，∴FE=CE ，∵∠AED=∠AEF+∠DEF=90°，∴∠AEB+∠DEC=90°，∴∠DEF=∠DEC ，在△DEF 和△DEC 中，FE CE DEF DEC DE DE ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△DEF ≌△DEC （SAS ），∴DF=DC ，∵AD=AF+DF ，∴AD=AB+CD ；（Ⅱ）（1）∵E 为BC 的中点，∴BE=CE=12BC ， 同（Ⅰ）（1）得：△ABE ≌△AFE （SAS ），△DEG ≌△DEC （SAS ），∴BE=FE ，∠AEB=∠AEF ，CE=GE ，∠CED=∠GED ，∵BE=CE ，∴FE=GE ，∵∠AED=120°，∠AEB+∠CED=180°-120°=60°，∴∠AEF+∠GED=60°，∴∠GEF=60°，∴△EFG 是等边三角形，（2）∵△EFG 是等边三角形，∴GF=EF=BE=12BC ， ∵AD=AF+FG+GD ， ∴AD=AB+CD+12BC ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．3．如图，AB=12cm ，AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AC=BD=9cm ，点P 在线段AB 上以3 cm/s 的速度，由A 向B 运动，同时点Q 在线段BD 上由B 向D 运动．（1）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当运动时间t=1（s ），△ACP 与△BPQ 是否全等？说明理由，并直接判断此时线段PC 和线段PQ 的位置关系；（2）将 “AC ⊥AB ，BD ⊥AB ”改为“∠CAB=∠DBA ”，其他条件不变．若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能使△ACP 与△BPQ 全等. （3）在图2的基础上延长AC ，BD 交于点E ，使C ，D 分别是AE ，BE 中点，若点Q 以（2）中的运动速度从点B 出发，点P 以原来速度从点A 同时出发，都逆时针沿△ABE 三边运动，求出经过多长时间点P 与点Q 第一次相遇．【答案】（1）△ACP ≌△BPQ ，理由见解析；线段PC 与线段PQ 垂直（2）1或32（3）9s 【解析】【分析】（1）利用SAS 证得△ACP ≌△BPQ ，得出∠ACP=∠BPQ ，进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可； （2）由△ACP ≌△BPQ ，分两种情况：①AC=BP ，AP=BQ ，②AC=BQ ，AP=BP ，建立方程组求得答案即可．（3）因为V Q ＜V P ，只能是点P 追上点Q ，即点P 比点Q 多走PB+BQ 的路程，据此列出方程，解这个方程即可求得．【详解】（1）当t=1时，AP=BQ=3，BP=AC=9，又∵∠A=∠B=90°，在△ACP 与△BPQ 中，AP BQ A B AC BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACP ≌△BPQ （SAS ），∴∠ACP=∠BPQ ，∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°，∠CPQ=90°，则线段PC 与线段PQ 垂直.（2）设点Q 的运动速度x,①若△ACP ≌△BPQ ，则AC=BP ，AP=BQ ，912t t xt=-⎧⎨=⎩， 解得31t x =⎧⎨=⎩， ②若△ACP ≌△BPQ ，则AC=BQ ，AP=BP ，912xt t t =⎧⎨=-⎩解得632t x =⎧⎪⎨=⎪⎩， 综上所述，存在31t x =⎧⎨=⎩或632t x =⎧⎪⎨=⎪⎩使得△ACP 与△BPQ 全等. （3）因为V Q ＜V P ，只能是点P 追上点Q ，即点P 比点Q 多走PB+BQ 的路程，设经过x 秒后P 与Q 第一次相遇，∵AC=BD=9cm ，C ，D 分别是AE ，BD 的中点；∴EB=EA=18cm.当V Q =1时，依题意得3x=x+2×9，解得x=9；当V Q =32时， 依题意得3x=32x+2×9， 解得x=12.故经过9秒或12秒时P 与Q 第一次相遇.【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是熟练的掌握一元一次方程的性质与运算.4．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，4cm AC BC ==，点D 是斜边AB 的中点．点E 从点B 出发以1cm/s 的速度向点C 运动，点F 同时从点C 出发以一定的速度沿射线CA 方向运动，规定当点E 到终点C 时停止运动．设运动的时间为x 秒，连接DE 、DF ．（1）填空：ABC S ∆=______2cm ；（2）当1x =且点F 运动的速度也是1cm/s 时，求证：DE DF =；（3）若动点F 以3cm /s 的速度沿射线CA 方向运动，在点E 、点F 运动过程中，如果存在某个时间x ，使得ADF ∆的面积是BDE ∆面积的两倍，请你求出时间x 的值．【答案】（1）8;(2)见解析；（3）45或4. 【解析】【分析】（1）直接可求△ABC 的面积； （2）连接CD ，根据等腰直角三角形的性质可求：∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°，即BD=CD ，且BE=CF ，即可证△CDF ≌△BDE ，可得DE=DF ；（3）分△ADF 的面积是△BDE 的面积的两倍和△BDE 与△ADF 的面积的2倍两种情况讨论，根据题意列出方程可求x 的值．【详解】解：（1）∵S △ABC =12⨯AC×BC ∴S △ABC =12×4×4=8（cm 2） 故答案为：8（2）如图：连接CD∵AC=BC ，D 是AB 中点∴CD 平分∠ACB又∵∠ACB=90°∴∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°∴CD=BD依题意得：BE=CF∴在△CDF 与△BDE 中BE CF B DCA BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CDF ≌△BDE （SAS ）∴DE=DF（3）如图：过点D 作DM ⊥BC 于点M ，DN ⊥AC 于点N ，∵AD=BD ，∠A=∠B=45°，∠AND=∠DMB=90°∴△ADN ≌△BDM （AAS ）∴DN=DM当S △ADF =2S △BDE ．∴12×AF×DN=2×12×BE×DM ∴|4-3x|=2x ∴x 1=4，x 2=45综上所述：x=45或4 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，全等三角形的性质和判定，利用分类思想解决问题是本题的关键．5．如图1，在ABC ∆中，ACB ∠是直角，60B ∠=︒，AD 、CE 分别是BAC ∠、BCA ∠的平分线，AD 、CE 相交于点F ．（1）求出AFC ∠的度数；（2）判断FE 与FD 之间的数量关系并说明理由．（提示：在AC 上截取CG CD =，连接FG ．）（3）如图2，在△ABC ∆中，如果ACB ∠不是直角，而（1）中的其它条件不变，试判断线段AE 、CD 与AC 之间的数量关系并说明理由．【答案】（1）∠AFC ＝120°；（2）FE 与FD 之间的数量关系为：DF ＝EF ．理由见解析；（3）AC ＝AE+CD ．理由见解析．【解析】（1）根据三角形的内角和性质只要求出∠FAC，∠ACF即可解决问题;（2）根据在图2的 AC上截取CG=CD，证得△CFG≌△CFD (SAS),得出DF= GF；再根据ASA 证明△AFG≌△AFE，得EF=FG，故得出EF=FD；（3）根据(2) 的证明方法，在图3的AC上截取AG=AE，证得△EAF≌△GAF (SAS)得出∠EFA=∠GFA；再根据ASA证明△FDC≌△FGC，得CD=CG即可解决问题．【详解】（1）解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∴∠FAC＝15°，∠FCA＝45°，∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠ACF）＝120°（2）解：FE与FD之间的数量关系为：DF＝EF．理由：如图2，在AC上截取CG＝CD，∵CE是∠BCA的平分线，∴∠DCF＝∠GCF，在△CFG和△CFD中，CG CDDCF GCFCF CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CFG≌△CFD（SAS），∴DF＝GF．∠CFD＝∠CFG由（1）∠AFC＝120°得，∴∠CFD＝∠CFG＝∠AFE＝60°，∴∠AFG＝60°，又∵∠AFE＝∠CFD＝60°，∴∠AFE＝∠AFG，在△AFG和△AFE中，AFE AFGAF AFEAF GAF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AFG≌△AFE（ASA），∴DF＝EF；（3）结论：AC＝AE+CD．理由：如图3，在AC上截取AG＝AE，同（2）可得，△EAF≌△GAF（SAS），∴∠EFA＝∠GFA，AG＝AE∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120°∴∠AFC＝180°﹣(∠FAC+∠FCA)＝180°-12(∠BAC+∠BCA)=180°-12×120°=120°，∴∠EFA＝∠GFA＝180°﹣120°＝60°＝∠DFC，∴∠CFG＝∠CFD＝60°，同（2）可得，△FDC≌△FGC（ASA），∴CD＝CG，∴AC＝AG+CG＝AE+CD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质的运用，全等三角形的判定和性质是证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造全等三角形．6．已知△ABC中，AB=AC，点P是AB上一动点，点Q是AC的延长线上一动点，且点P从B运动向A、点Q从C运动向Q移动的时间和速度相同，PQ与BC相交于点D，若AB=82BC=16．（1）如图1，当点P为AB的中点时，求CD的长；（2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，设BE+CD=λ，λ是否为常数？若是请求出λ的值，若不是请说明理由．【答案】（1）4；（2）8【解析】【分析】（1）过P点作PF∥AC交BC于F，由点P和点Q同时出发，且速度相同，得出BP=CQ，根据PF∥AQ，可知∠PFB=∠ACB，∠DPF=∠CQD，则可得出∠B=∠PFB，证出BP=PF，得出PF=CQ，由AAS证明△PFD≌△QCD，得出，再证出F是BC的中点，即可得出结果；（2）过点P作PF∥AC交BC于F，易知△PBF为等腰三角形，可得BE=12BF，由（1）证明方法可得△PFD≌△QCD 则有CD=12CF，即可得出BE+CD=8．【详解】解:（1）如图①，过P点作PF∥AC交BC于F，∵点P和点Q同时出发，且速度相同，∴BP=CQ，∵PF∥AQ，∴∠PFB=∠ACB，∠DPF=∠CQD，又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠PFB，∴BP=PF，∴PF=CQ，又∠PDF=∠QDC，∴△PFD≌△QCD，∴DF=CD=12CF，又因P 是AB 的中点，PF ∥AQ ，∴F 是BC 的中点，即FC=12BC=8， ∴CD=12CF=4； （2）8BE CD λ+==为定值．如图②，点P 在线段AB 上，过点P 作PF ∥AC 交BC 于F ，易知△PBF 为等腰三角形，∵PE ⊥BF∴BE=12BF ∵易得△PFD ≌△QCD∴CD=12CF ∴()111182222BE CD BF CF BF CF BC λ+==+=+== 【点睛】 此题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判断与性质，熟悉相关性质定理是解题的关键．7．如图①，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AE 是过A 点的一条直线，且B 、C 在AE 的异侧，BD AE ⊥于D ，CE AE ⊥于E .（1）求证：BD DE CE =+.（2）若将直线AE 绕点A 旋转到图②的位置时（BD CE <），其余条件不变，问BD 与DE 、CE 的关系如何？请予以证明.【答案】（1）见解析；（2）BD=DE-CE ，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据已知利用AAS 判定△ABD ≌△CAE 从而得到BD=AE ，AD=CE ，因为AE=AD+DE ，所以BD=DE+CE ；（2）根据已知利用AAS 判定△ABD ≌△CAE 从而得到BD=AE ，AD=CE ，因为AD+AE=BD+CE ，所以BD=DE-CE ．【详解】解：（1）∵∠BAC=90°，BD ⊥AE ，CE ⊥AE ，∴∠BDA=∠AEC=90°，∵∠ABD+∠BAE=90°，∠CAE+∠BAE=90°∴∠ABD=∠CAE ，∵AB=AC ，在△ABD 和△CAE 中，BDA AEC ABD CAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△CAE （AAS ），∴BD=AE ，AD=CE ，∵AE=AD+DE ，∴BD=DE+CE ；（2）BD 与DE 、CE 的数量关系是BD=DE-CE ，理由如下：∵∠BAC=90°，BD ⊥AE ，CE ⊥AE ，∴∠BDA=∠AEC=90°，∴∠ABD+∠DAB=∠DAB+∠CAE ，∴∠ABD=∠CAE ，∵AB=AC ，在△ABD 和△CAE 中，BDA AEC ABD CAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△CAE （AAS ），∴BD=AE ，AD=CE ，∴AD+AE=BD+CE ，∵DE=BD+CE ，∴BD=DE-CE ．【点睛】此题主要考查全等三角形的判定和性质，常用的判定方法有SSS ，SAS ，AAS ，HL 等．这种类型的题目经常考到，要注意掌握．8．如图（1），AB=4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=3cm，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，他们的运动时间为t(s).（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由（2）判断此时线段PC和线段PQ的关系，并说明理由。
【数学】2015-2016年上海市普陀区曹杨二中高一(上)数学期中试卷带答案
2015-2016学年上海市普陀区曹杨二中高一（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共13小题、每小题3分）1．（3分）设全集U=R．若集合A={1，2，3，4}，B={x|2≤x＜3}，则A∩（∁U B）=．2．（3分）不等式的解集为．3．（3分）命题“若x＞2且y＞3，则x+y＞5”的否命题是命题．（填入“真”或“假”）4．（3分）已知x，y∈R+，且x+4y=1，则xy的最大值为．5．（3分）已知函数，若f（x0）=8，则x0=．6．（3分）若x＞0，y＞0，且，则x+2y的最小值为．7．（3分）已知函数f（x）=x2+2ax﹣3在[2，3]上单调，则实数a取值范围是．8．（3分）定义在R 上的奇函数f（x）在[0，+∞）上的图象如图所示，则不等式xf（x）＜0 的解集是．9．（3分）已知集合，其中m ＞0，全集U=R．若“x∈∁U P”是“x∈∁U Q”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为．10．（3分）若关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣2|≤a的解集为∅，则实数a的取值范围是．11．（3分）已知函数的定义域是全体实数，那么实数a的取值范围是．12．（3分）设函数f（x），g（x）的定义域分别为D f，D g，且D f⊂D g．若对于任意x∈D f，都有g（x）=f（x），则称函数g（x）为f（x）在D g上的一个延拓函数．设f（x）=x2+2x，x∈（﹣∞，0]，g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数，且g（x）是偶函数，则g（x）=．13．（3分）定义区间（a，d），[a，d），（a，d]，[a，d]的长度为d﹣a（d＞a），已知a＞b，则满足的x构成的区间的长度之和为．二、选择题（本大题共4小题，每小题4分）14．（4分）如图，U是全集，M、P、S是U的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A．（M∩P）∩S B．（M∩P）∪S C．（M∩P）∩∁U S D．（M∩P）∪∁U S15．（4分）下列各式中，最小值为2的是（）A．B．C．D．16．（4分）设f（x）是R上的偶函数，且在（﹣∞，0）上为减函数，若x1＜0，x1+x2＞0，则（）A．f（x1）＞f（x2）B．f（x1）=f（x2）C．f（x1）＜f（x2）D．不能确定f（x1）与f（x2）的大小17．（4分）已知函数f（x）=，则下列说法中正确的是（）A．若a≤0，则f（x）≤1恒成立B．若f（x）≥1恒成立，则a≥0C．若a＜0，则关于x的方程f（x）=a有解D．若关于x的方程f（x）=a有解，则0＜a≤1三、解答题（10分+10分+12分+13分）18．（10分）已知集合A={x|（m﹣1）x2+3x﹣2=0}．（1）若集合A为两个元素的集合，试求实数m的范围；（2）是否存在这样的实数m，使得集合A有仅有两个子集？若存在，求出所有的m的值组成的集合M；若不存在，请说明理由．19．（10分）对于集合A、B，我们把集合{x|x∈A且x∉B}叫做集合A与B的差集，记作A﹣B．（1）若集合M={{x|y=}，N={y|y=1﹣x2}，求M﹣N；（2）若集合A={x|0＜ax﹣1≤5}，B=，且A﹣B=∅，求实数a的取值范围．20．（12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=（1≤x≤10），设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求f（x）的表达式；（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．21．（13分）设函数，函数，其中a为常数且a＞0，令函数f（x）=g（x）•h（x）．（1）求函数f（x）的表达式，并求其定义域；（2）当时，求函数f（x）的值域；（3）是否存在自然数a，使得函数f（x）的值域恰为？若存在，试写出所有满足条件的自然数a所构成的集合；若不存在，试说明理由．2015-2016学年上海市普陀区曹杨二中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共13小题、每小题3分）1．（3分）设全集U=R．若集合A={1，2，3，4}，B={x|2≤x＜3}，则A∩（∁U B）={1，3，4} ．【解答】解：∵全集U=R，集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x＜3}，∴（∁U B）={x|x≥3或x＜2}，∴A∩（∁U B）={1，3，4}，故答案为：{1，3，4}．2．（3分）不等式的解集为（．【解答】解：≤0，可化为或，解得：﹣＜x≤1，则原不等式的解集为（﹣，1]．故答案为：（﹣，1]3．（3分）命题“若x＞2且y＞3，则x+y＞5”的否命题是假命题．（填入“真”或“假”）【解答】解：若x＞2且y＞3，则x+y＞5”的逆命题为：若x+y＞5，则x＞2且y ＞3，此命题为假命题，原因：若x=4，y=1，此时x+y＞5，但是x＞2且y＞3不成立而命题的逆命题与否命题的真假相同可知原命题的否命题为假命题故答案为：假4．（3分）已知x，y∈R+，且x+4y=1，则xy的最大值为．【解答】解：，当且仅当x=4y=时取等号．故应填．5．（3分）已知函数，若f（x0）=8，则x0=2或4．【解答】解：∵函数，f（x0）=8，∴当0≤x0≤2时，f（x0）=+4=8，解得x0=2或x0=﹣2（舍），当x0＞2时，f（x0）=2x0=8，解得x0=4，∴x0的值为2或4．故答案为：2或4．6．（3分）若x＞0，y＞0，且，则x+2y的最小值为19+6．【解答】解：∵x＞0，y＞0，且，则x+2y=（x+2y）=19++≥19+2=19+6，当且仅当3x==3+9时取等号．其最小值为19+6，故答案为：19+6．7．（3分）已知函数f（x）=x2+2ax﹣3在[2，3]上单调，则实数a取值范围是a ≤﹣3，或a≥﹣2．【解答】解：函数f（x）=x2+2ax﹣3的图象是开口朝上，且以直线x=﹣a为对称轴的抛物线，若函数f（x）=x2+2ax﹣3在[2，3]上单调，则﹣a≤2，或﹣a≥3，解得：a≤﹣3，或a≥﹣2，故答案为：a≤﹣3，或a≥﹣28．（3分）定义在R 上的奇函数f（x）在[0，+∞）上的图象如图所示，则不等式xf（x）＜0 的解集是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．【解答】解：（1）x＞0时，f（x）＜0，∴x＞2，（2）x＜0时，f（x）＞0，∴x＜﹣2，∴不等式xf（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．9．（3分）已知集合，其中m ＞0，全集U=R．若“x∈∁U P”是“x∈∁U Q”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为[9，+∞）．【解答】解：由“x∈∁U P”是“x∈∁U Q”的必要不充分条件，可得∁U P⊋∁U Q，即P⊊Q，P={x||1﹣|≤2}={x|﹣2≤x≤10}，Q={x|x2﹣2x+（1﹣m2）≤0}={x|1﹣m≤x≤1+m}，则，即，解得m≥9，故实数m的取值范围[9，+∞），故答案为：[9，+∞）．10．（3分）若关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣2|≤a的解集为∅，则实数a的取值范围是a＞3．【解答】解：因为|x+1|﹣|x﹣2|≤|x+1﹣x+2|=3，由题意得a＞3，故答案为a＞3．11．（3分）已知函数的定义域是全体实数，那么实数a的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[1，+∞）．【解答】解：若函数的定义域是全体实数，则a=1时，显然成立，a=﹣1时，f（x）=，不成立，若a2﹣1≠0，则，解得：a≥1或a≤﹣，故答案为：（﹣∞，﹣]∪[1，+∞）．12．（3分）设函数f（x），g（x）的定义域分别为D f，D g，且D f⊂D g．若对于任意x∈D f，都有g（x）=f（x），则称函数g（x）为f（x）在D g上的一个延拓函数．设f（x）=x2+2x，x∈（﹣∞，0]，g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数，且g（x）是偶函数，则g（x）=x2﹣2|x| ．【解答】解：由题意可得当x≤0时，g（x）=f（x）=x2+2x由函数g（x）为偶函数可得，g（﹣x）=g（x）当x＞0时，则﹣x＜0，g（﹣x）=x2﹣2x，则g（x）=x2﹣2x∴g（x）=x2﹣2|x|故答案为：x2﹣2|x|13．（3分）定义区间（a，d），[a，d），（a，d]，[a，d]的长度为d﹣a（d＞a），已知a＞b，则满足的x构成的区间的长度之和为2．【解答】解：∵，∴≥1，即﹣1≥0，则≤0，设x2﹣（2+a+b）x+ab+a+b=0的根为x1和x2．则有求根公式得x1=∈（a，b），x2=＞a，x1+x2═2+a+b，则由穿根法得不等式的解集为[b，x1]∪[a﹣x2]，则构成的区间的长度之和x1﹣b+x2﹣a=x1﹣x2﹣a﹣b=2+a+b﹣a﹣b=2，故答案为：2二、选择题（本大题共4小题，每小题4分）14．（4分）如图，U是全集，M、P、S是U的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A．（M∩P）∩S B．（M∩P）∪S C．（M∩P）∩∁U S D．（M∩P）∪∁U S【解答】解：由图知，阴影部分在集合M中，在集合P中，但不在集合S中故阴影部分所表示的集合是（M∩P）∩C U S故选：C．15．（4分）下列各式中，最小值为2的是（）A．B．C．D．【解答】解：A．x＜0时，＜0，因此不成立；B.+≥2=4，当且仅当x=时取等号，不成立．C．若＜0，＜0，则不成立．D．∵x≥0，∴+3=+2≥2，当x=1时取等号，因此其最小值为2．正确．故选：D．16．（4分）设f（x）是R上的偶函数，且在（﹣∞，0）上为减函数，若x1＜0，x1+x2＞0，则（）A．f（x1）＞f（x2）B．f（x1）=f（x2）C．f（x1）＜f（x2）D．不能确定f（x1）与f（x2）的大小【解答】解：若x1＜0，x1+x2＞0，即x2＞﹣x1＞0，∵f（x）是R上的偶函数，且在（﹣∞，0）上为减函数，∴函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，则f（x2）＞f（﹣x1）=f（x1），故选：C．17．（4分）已知函数f（x）=，则下列说法中正确的是（）A．若a≤0，则f（x）≤1恒成立B．若f（x）≥1恒成立，则a≥0C．若a＜0，则关于x的方程f（x）=a有解D．若关于x的方程f（x）=a有解，则0＜a≤1【解答】解：对于A，若a≤0，则f（x）≤1恒成立；当a=﹣1时，f（x）=，x∈（﹣1，0）时，f（x）＞1，∴A不正确；对于B，若f（x）≥1恒成立，即，可得|x|﹣|x﹣a|≥a，当a≥0时，x＜0，不等式不成立．∴B不正确；对于C，若a＜0，则关于x的方程f（x）=a有解，即=a有解，显然不等式不成立，∴C不成立．对于D，若关于x的方程f（x）=a有解，当a≤0时，f（x）＞0，等式不成立，当a＞1时，f（x）≤1，不等式不成立，当0＜a≤1，f（x）∈（0，1）．∴D正确．故选：D．三、解答题（10分+10分+12分+13分）18．（10分）已知集合A={x|（m﹣1）x2+3x﹣2=0}．（1）若集合A为两个元素的集合，试求实数m的范围；（2）是否存在这样的实数m，使得集合A有仅有两个子集？若存在，求出所有的m的值组成的集合M；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）若集合A为两个元素的集合，则关于x的方程（m﹣1）x2+3x ﹣2=0有实数解，则m﹣1≠0，且△=9+8（m﹣1）＞0，∴且m≠1；（2）集合A且仅有两个子集，∴关于x的方程恰有一个实数解，讨论：①当m=1时，x=，满足题意；②当m≠1时，△=8m+1=0，∴m=﹣．综上所述，m=1或m=﹣．∴M的集合为{﹣，1}．19．（10分）对于集合A、B，我们把集合{x|x∈A且x∉B}叫做集合A与B的差集，记作A﹣B．（1）若集合M={{x|y=}，N={y|y=1﹣x2}，求M﹣N；（2）若集合A={x|0＜ax﹣1≤5}，B=，且A﹣B=∅，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）集合M={{x|y=}={x|2x﹣1≥0}={x|x≥}，N={y|y=1﹣x2}={y|y≤1}，M﹣N={x|x＞1}；（2）集合A={x|0＜ax﹣1≤5}={x|1＜ax≤6}，B=，且A﹣B=∅，∴A⊆B；当a=0时，不满足题意；当a＞0时，A={x|＜x≤}，应满足，解得a≥3；当a＜0时，A={x|≤x＜}，应满足，解得a＜﹣12；综上，a的取值范围是a＜﹣12或a≥3．20．（12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=（1≤x≤10），设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求f（x）的表达式；（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．【解答】解：（I）每年能源消耗费用为C（x）=，建造费用为6x，∴f（x）=20C（x）+6x=．（1≤x≤10）．（II）f′（x）=6﹣，令f′（x）=0得x=5或x=﹣（舍）．∴当1≤x＜5时，f′（x）＜0，当5＜x≤10时，f′（x）＞0．∴f（x）在[1，5）上单调递减，在[5，10]上单调递增．∴当x=5时，f（x）取得最小值f（5）=70．∴当隔热层修建5cm厚时，总费用最小，最小值为70万元．21．（13分）设函数，函数，其中a为常数且a＞0，令函数f（x）=g（x）•h（x）．（1）求函数f（x）的表达式，并求其定义域；（2）当时，求函数f（x）的值域；（3）是否存在自然数a，使得函数f（x）的值域恰为？若存在，试写出所有满足条件的自然数a所构成的集合；若不存在，试说明理由．【解答】解：（1），其定义域为[0，a]；（2分）（2）令，则且x=（t﹣1）2∴（5分）∴∵在[1，2]上递减，在[2，+∞）上递增，∴在上递增，即此时f（x）的值域为（8分）（3）令，则且x=（t﹣1）2∴∵在[1，2]上递减，在[2，+∞）上递增，∴y=在[1，2]上递增，上递减，（10分）t=2时的最大值为，（11分）∴a≥1，又1＜t≤2时∴由f（x）的值域恰为，由，解得：t=1或t=4（12分）即f（x）的值域恰为时，（13分）所求a的集合为{1，2，3，4，5，6，7，8，9}．（14分）。
曹杨二中高二开学考(2016.09)
上海市曹杨二中高二开学摸底考数学试卷2016.09一. 填空题1. 等比数列{}n a 中，25a =，680a =，则公比q =2. 方程cos sin6x π=的解为x = 3. 若1sin 3θ=，则3cos()2πθ-= 4. 等差数列{}n a 中，105S =，2015S =，则30S =5. 已知(3,3)a k =，(6,7)b k =--，若a b ⊥，则实数k 的值为6. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，232n S n n =-，则n a =7. 在△ABC 中，已知120A ︒=，5AB =，7BC =，那么△ABC 的面积S =8. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1200OB a OA a OC =+，且,,A B C 三点共线（该 直线不过原点O ），则200S =9. 直线6x π=是()sin()3f x x πω=+(0||6)ω<<图像的一条对称轴，则ω=10. 已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ︒∠=，点,E F 分别在,BC DC 上，3BC BE =，DC DF λ=，若1AE AF ⋅=，则λ=11. 已知等比数列{}n a 的公比为q ，它的前n 项积为n T ，且满足11a >，201520161a a ⋅>， 20152016(1)(1)0a a --<，给出以下四个命题：① 1q >；② 201520171a a ⋅<；③ 2015T 为n T 的最大值；④ 使1n T >成立的最大正整数n 为4031，则其中正确命题的序号为12. 定义12min{,,,}n a a a ⋅⋅⋅为12,,,n a a a ⋅⋅⋅的最小值，若2()min{,5,21}f x x x x x =---， 对于任意的*n N ∈，均有(1)(2)(21)(2)()f f f n f n kf n ++⋅⋅⋅+-+≤成立，则实数k 的 取值范围是二. 选择题13. 函数()sin 2cos 2f x x x =+的最小正周期是（ ）A. 4πB. 2π C. π D. 2π 14. 下列向量组中能够作为它们所在平面内所有向量的基的是（ ）A. (0,0)a =，(1,2)b =-B. (1,2)a =-，(2,4)b =-C. (3,5)a =，(6,10)b =D. (2,3)a =-，(6,9)b =15. 将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10π个单位，再把所得各点的横坐标伸 长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（ ）A. sin(2)10y x π=-B. sin(2)5y x π=- C. sin()210x y π=- D. sin()220x y π=- 16. 已知数列{}n a 的通项公式是1133()[()1]44n n n a --=⋅-，则下列选项正确的是（ ） A. 最大项为1a ，最小项为3a B. 最大项为1a ，最小项不存在 C. 最大项不存在，最小项为3a D. 最大项为1a ，最小项为4a三. 解答题17. 已知,(0,)2παβ∈且αβ<，若3sin 5α=，12cos()13αβ-=； （1）求cos β的值；（2）求tan2β的值；18. 在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且(cos cos )a B C b c +=+；（1）判断△ABC 的形状；（2）若△ABC 的外接圆半径等于1，求△ABC 周长的取值范围；19. 定义在R 上的函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,0)A ωϕπ>><<的图像如图所示；（1）求函数()f x 的解析式；（2）写出函数()f x 的单调递增区间；（3）设两个不相等的实数12,(0,)x x π∈，且12()()2f x f x ==-，求12x x +的值；20. 设数列{}n a 前n 项和为n S ，对一切*n N ∈，点(,)n S n n 都在()2n a f x x x=+的图像上； （1）证明：当2n ≥，*n N ∈时，12(21)n n a a n -+=-； （2）求数列{}n a 的通项公式；（3）设n T 为数列1{}n n a a -前n项积，若不等式3()2n a T f a a+<-对一切*n N ∈恒 成立，求实数a 的取值范围；参考答案一. 填空题1. 2±2. 23k ππ±+3. 13-4. 305. 75-6. 65n -7.4 8. 100 9. 5-或1 10. 2 11. ②③ 12. 1[,0]2-二. 选择题 13. C 14. D 15. C 16. A三. 解答题17.（1）3365；（2）47；18.（1）直角三角形；（2）(4,2+；19.（1）()4sin(2)3f x x π=+；（2）76π；20.（1）作差可得，证明略；（2）2n a n =；（3）((3,)2-+∞；。
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冲刺17年自主招生之 2016年曹杨二中自招数学试卷
1.
存在，可化简为___________.
【答】
【解析】由00a b ab ->，
≥ 00a b ⇒≤，≤， 原式
+=
=±
，题有问题
A.
B. -
C. D. -
2. 123kx k -=有1个整数解x ，正整数k 的个数有____________. A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答】C
【解析】212312323kx k k k k k =+⇒+⇒⨯⇒∣
∣有()()12116++=个不同解.
3. 同一直角坐标系，y kx b =+（k b ，为实数，0k ≠）代表的直线有无数条，不论怎么抽，
都能得证其中两条过完全相同的象限，至少要抽____________. A. 5 B. 6 C.7 D. 8
【答】A
【解析】除了x 轴y 轴，其他直线至少过两个象限，取5条直线至少有3条非x 轴y 轴，总共四条象限，必有两条过同一象限，4条直线构造1010x x x y ===-=，，，不符合题意
.
4. []x 表示不超过x 的最大整数
. M N ==（x 为实数）. 当1x ≥时，M N 、的大小关系为__________.
A. M N >
B. M N
= C. M N < D. M N ≥
【答】D
【解析】设()221k k <+，()2211k k k M k ⇒<
+⇒<+≤≤，
而1k k <+，N k == N M ⇒≤，取1x =可使等号成立.
5. ABC △中，AB AC AD =，为高，AD BC AB AC +=+， ABC △周长为2，则ABC S △为_________.
A. 316
B. 38
C. 3
4 D.无法计算
【答】A
【解析】设2BC a AD h ==，
，224343a h ah h a h +=⇒=⇒=，
53
22238
a a a =+⨯⇒=，243316ABC S ah a ===△
6. 矩形ABCD 边AB 经过O ⊙圆心O E F ，、分别为AB DC 、与O ⊙交点，34AE AD ==，，5.DF =求O ⊙直径______________.=
【答】10
【解析】设OE r =，()2
22
3544205r r r r =+-+⇒=⇒=⇒直径为
7. 任意实数x y 、，定义2*xy
x y ax by
=
+（a b 、为常数），等式右端的计算是通常的四则运
算. 若1*212*32==，，则()2*1____________.-=
【答】2
【解析】41212223a b
a b ⎧=⎪⎪+⎨⎪=
⎪+⎩
02a b ⇒==，
⇒原式2x ==.
8. 函数121y x x x =+++-∣∣+∣∣∣∣的最小值是______________. 【答】3
【解析】()()2112103y x x x x x =
++-+++--+=∣∣∣∣∣∣≥∣∣，1x =-时等号成立.
9. 实数x y 、满足2
245x x y --=，则2x y -的取值范围是___________.
【答】
9
22
x y -≤ 【解析】设2x y k -=，24250x x k -+-=，9
1682002
k k =-+⇒△≥≤
A
10. 二次函数()20y ax bx ab =+≠，当x 取()1212x x x x ≠、时，函数值相等. 当x 取()1212x x x x +≠时，函数值___________.y = 【答】0
【解析】对称轴121222x x b b x x a a +-
=⇒+=-，2
2
0b b y a a a ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭
.
11. 若2422
21021010a a b b ab +-=--=-≠，，，求2016
221ab b a ⎛⎫++ ⎪
⎝⎭
【答】1
【解析】由2
a b -、均为2210t t --=的两根，若这两根不同，则21a b -⋅=-矛盾；
2
a b ⇒-=，原式2016
2016
2121a a a a a a ⎛⎫--+-⎛⎫=== ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
12. a b c ，
，是ABC △的三边，b a b c ≥，≥. 函数()()22y a b x cx a b =++--在1
2
x =-处取得最小值2
a
-，求ABC △三内角度数.
【答】606060︒︒︒、、
【解析】由题意()()()2
2
1224a b a y a b x a b x a b x -⎛⎫=++-=++++ ⎪⎝
⎭，
()24
b a
a b c a b a b c -⇒+==--⇒==， ABC ⇒△三内角度数均为60︒.
13. ABC △中，3046A AB AC P ∠=︒==，，，是AC 边上任一点，过P 作PD AB ∥，
()1若AP x PBD =，△面积S ，求出S 与x 的关系式. ()2 x 为何值时，S 有最大值？求出这个最大值.
【答】()12
6x S x =-+ ()06x ≤≤，()232
【解析】
()1 sin304662ABC S ︒
=⨯⨯=，()()2
222
66166666PDC ABP ABC ABC x x S S x x S S S ⎛⎫-- ⎪==⇒=--⨯ ⎪⎝⎭
，， 2
6x S x =-+ ()06x ≤≤，
()2
()2
13362S x =--+32
≤
A。