上海市2018-2019学年曹杨二中高一上期末数学期末试卷
上海市-曹杨二中高一数学学科期末考试试卷(含答案)(2019.06)
曹杨二中高一期末数学试卷2019.06一. 填空题1. 已知向量(3,1)a =，(,6)b x =-，若a b ⊥，则实数x 的值为2. 若120°角的终边经过点(1,)P a -，则实数a 的值为3. 已知向量(4,3)a =，则a 的单位向量0a 的坐标为4. 在等差数列{}n a 中，165a a +=，43a =，则8a 的值为5. 若a 、b 为单位向量，且2()3a a b ⋅+=，则向量a 、b 的夹角为 （用反三角函数值表示）6. 已知向量(cos ,sin )a θθ=，(1,3)b =，则||a b -的最大值为7. 若4sin 25θ=，且sin 0θ<，则θ是第 象限角 8. 已知△ABC 是边长为2的等边三角形，D 为BC 边上（含端点）的动点，则AD BC ⋅ 的取值范围是9. 若当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=10. 走时精确的钟表，中午12时，分针与时针重合于表面上12的位置，则当下一次分针与时针重合时，时针转过的弧度数的绝对值等于11. 如图，P 为△ABC 内一点，且1135AP AB AC =+，延长BP ， 交AC 于点E ，若AE AC λ=，则实数λ的值为12. 为了研究问题方便，有时将余弦定理写成：2222cos a ab C b c -+=，利用这个结构解决如下问题：若三个正实数x 、y 、z 满足229x xy y ++=，2216y yz z ++=，2225z zx x ++=，则xy yz zx ++=二. 选择题13. 已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，若{}n a 的前10项之和大于前21项之和，则（ ）A. 0d <B. 0d >C. 160a <D. 160a >14. 已知数列{}n a 满足1(1)n n n n a a a +⋅=+-（n *∈N ），则42a a 的值为（ ） A. 1615 B. 43 C. 13D. 8315. 在非直角△ABC 中，“A B >”是“|tan ||tan |A B >”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件16. 在△ABC 中，若623AC AB AB BC BC CA ⋅=⋅=⋅，则角A 的大小为（ ） A.4π B. 3π C. 23π D. 34π三. 解答题17. 设向量(1,1)a =-，(3,2)b =，(3,5)c =.（1）若()a tb +∥c ，求实数t 的值；（2）求c 在a 方向上的投影.18. 已知方程20x mx n ++=有两根1x 、2x ，且1arctan x α=，2arctan x β=.（1）当m =4n =时，求αβ+的值；（2）当sin m θ=-，cos n θ=（0θπ<<）时，用θ表示αβ+.19. 某菜农有两段总长度为20米的篱笆PA 及PB ，现打算用它们和两面直角的墙OM 、ON 围成一个如图所示的四边形菜园OAPB （假设OM 、ON 这两面墙都足够长），已知||||10PA PB ==（米），4AOP BOP π∠=∠=，OAP OBP ∠=∠，设O A P θ∠=，四边形OAPB 的面积为S .（1）将S 表示为θ的函数，并写出自变量θ的取值范围；（2）求出S 的最大值，并指出此时所对应θ的值.20. 已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，0ϕπ≤<）的最小正周期为2π，且其图像的 一个对称轴为2x π=，将函数()f x 图像上所有点的横坐标缩小到原来的12倍，再将图像向 左平移4π个单位长度，得到函数()g x 的图像. （1）求()f x 的解析式，并写出其单调递增区间；（2）求函数()()y f x g x =-在区间[0,2]π上的零点；（3）对于任意的实数t ，记函数()f x 在区间[,]2t t π+上的最大值为()M t ，最小值为()m t ，求函数()()()h t M t m t =-在区间[0,]π上的最大值.21. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，R 为△ABC 的外接圆半径.（1）若2R =，2a =，45B =︒，求c ；（2）在△ABC 中，若C 为钝角，求证：2224a b R +<；（3）给定三个正实数a 、b 、R ，其中b a ≤，问：a 、b 、R 满足怎样的关系时，以a 、b 为边长，R 为外接圆半径的△ABC 不存在，存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC 存在的情况下，用a 、b 、R 表示c .参考答案一. 填空题1. 22.3. 43(,)554. 75. 1arccos 3π- 6. 3 7. 三 8. [2,2]-9. 10. 21111. 310 12. 二. 选择题13. C 14. B 15. C 16. D三. 解答题17.（1）8t =；（2）18.（1）3π；（2）22πθ-.19.（1）3sin()4S πθθ=-，3(0,)(,)444πππθ∈；（2）max 1)S =. 20.（1）()sin f x x =，单调递增区间[2,2]22k k ππππ-+，k ∈Z ；（2）6π，56π，32π；（321.（1（2）证明略；（3）当90A <︒时，c =；当90A >︒时，c =。
2018-2019学年上海中学高一(上)期末数学试卷(解析版)
2018-2019学年上海中学高一（上）期末数学试卷一、填空题1．函数f（x）＝+ln（x﹣1）的定义域为．2．设函数为奇函数，则实数a的值为．3．已知y＝log a x+2（a＞0且a≠1）的图象过定点P，点P在指数函数y＝f（x）的图象上，则f（x）＝．4．方程的解为．5．对任意正实数x，y，f（xy）＝f（x）+f（y），f（9）＝4，则＝．6．已知幂函数f（x）＝（m2﹣5m+7）x m是R上的增函数，则m的值为．7．已知函数f（x）＝的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（）＝．8．函数y＝log|x2﹣6x+5|的单调递增区间为．9．若函数（a＞0且a≠1）满足：对任意x1，x2，当时，f（x1）﹣f（x2）＞0，则a的取值范围为．10．已知x＞0，定义f（x）表示不小于x的最小整数，若f（3x+f（x））＝f（6.5），则正数x的取值范围为．11．已知函数f（x）＝log a（mx+2）﹣log a（2m+1+）（a＞0且a≠1）只有一个零点，则实数m的取值范围为．12．已知函数f（x）＝，（n＜m）的值域是[﹣1，1]，有下列结论：（1）n＝0时，m∈（0，2]；（2）n＝时，；（3）时，m∈（n，2]，其中正确的结论的序号为．二、选择题13．下列函数中，是奇函数且在区间（1，+∞）上是增函数的是（）A．B．C．f（x）＝﹣x3D．14．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数m满足f（|m﹣1|）＞f（﹣1），则m的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0）∪（2，+∞）C．（0，2）D．（2，+∞）15．如果函数f（x）在其定义域内存在实数x0，使得f（x0+1）＝f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）为“可拆分函数”，若为“可拆分函数”，则a的取值范围是（）A．B．C．D．（3，+∞] 16．定义在（﹣1，1）上的函数f（x）满足f（x）＝，当x∈（﹣1，0]时，f（x）＝﹣1，若函数g（x）＝|f（x）﹣|﹣mx﹣m在（﹣1，1）内恰有3个零点，则实数m的取值范围是（）A．（）B．[）C．D．三、解答题17．已知函数f（x）＝2x﹣1的反函数是y＝f﹣1（x），g（x）＝log4（3x+1）．（1）画出f（x）＝2x﹣1的图象；（2）解方程f﹣1（x）＝g（x）．18．已知定义在R上的奇函数f（x）＝ka x﹣a﹣x（（a＞0且a≠1），k∈R）．（1）求k的值，并用定义证明当a＞1时，函数f（x）是R上的增函数；（2）已知，求函数g（x）＝a2x+a﹣2x在区间[0，1]上的取值范围．19．松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足2≤t≤20，经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤20时电车为满载状态，载客量为400人，当2≤t＜10时，载客量会减少，减少的人数与（10﹣t）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人，记电车载客量为p（t）．（1）求p（t）的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量；（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？20．对于定义域为D的函数y＝f（x），若存在区间[a，b]⊂D，使得f（x）同时满足，①f （x）在[a，b]上是单调函数，②当f（x）的定义域为[a，b]时，f（x）的值域也为[a，b]，则称区间[a，b]为该函数的一个“和谐区间”．（1）求出函数f（x）＝x3的所有“和谐区间”[a，b]；（2）函数是否存在“和谐区间”[a，b]？若存在，求出实数a，b的值；若不存在，请说明理由；（3）已知定义在（2，k）上的函数有“和谐区间”，求正整数k取最小值时实数m的取值范围．21．定义在R上的函数g（x）和二次函数h（x）满足：g（x）+2g（﹣x）＝e x+﹣9，h （﹣2）＝h（0）＝1，h（﹣3）＝﹣2．（1）求g（x）和h（x）的解析式；（2）若对于x1，x2∈[﹣1，1]，均有h（x1）+ax1+5≥g（x2）+3﹣e成立，求a的取值范围；（3）设f（x）＝，在（2）的条件下，讨论方程f[f（x）]＝a+5的解的个数．2018-2019学年上海中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．函数f（x）＝+ln（x﹣1）的定义域为（1，2]．【解答】解：由题意可得，解得1＜x≤2，故函数的定义域为：（1，2]，故答案为：（1，2]2．设函数为奇函数，则实数a的值为1．【解答】解：是奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x），即，∴x2+（a﹣1）x﹣a＝x2+（1﹣a）x﹣a，∴（a﹣1）x＝（1﹣a）x，∴a＝1．故答案为：1．3．已知y＝log a x+2（a＞0且a≠1）的图象过定点P，点P在指数函数y＝f（x）的图象上，则f（x）＝2x．【解答】解：由a的任意性，x＝1时，y＝2，故y＝log a x+2（a＞0且a≠1）的图象过定点P（1，2），把P（1，2）代入指数函数f（x）＝a x，a＞0且a≠1，得a＝2，所以f（x）＝2x，故答案为：2x．4．方程的解为﹣．【解答】解：由题意，92x+1＝，∴92x+1•3x＝1，32（2x+1）•3x＝1，32（2x+1）+x＝1，即35x+2＝1．∴5x+2＝0，∴x＝﹣．故答案为：﹣．5．对任意正实数x，y，f（xy）＝f（x）+f（y），f（9）＝4，则＝1．【解答】解：令x＝y＝3，则f（9）＝2f（3）＝4，∴f（3）＝2，令，则，∴．故答案为：1．6．已知幂函数f（x）＝（m2﹣5m+7）x m是R上的增函数，则m的值为3．【解答】解：函数f（x）＝（m2﹣5m+7）x m是幂函数，则m2﹣5m+7＝1，即m2﹣5m+6＝0，解得m＝2或m＝3；当m＝2时，f（x）＝x2不是R上的增函数，不满足题意；当m＝3时，f（x）＝x3是R上的增函数，满足题意．则m的值为3．故答案为：3．7．已知函数f（x）＝的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（）＝﹣1．【解答】解：由题意，x≤0，2x＝，∴x＝﹣1，∴f﹣1（）＝﹣1．故答案为﹣1．8．函数y＝log|x2﹣6x+5|的单调递增区间为（﹣∞，1），[3，5）．【解答】解：函数t＝|x2﹣6x+5|的图象如图，内层函数大于0的减区间为（﹣∞，1），[3，5）；而外层函数为定义域内的减函数，∴函数y＝log|x2﹣6x+5|的单调递增区间为（﹣∞，1），[3，5）．故答案为：（﹣∞，1），[3，5）．9．若函数（a＞0且a≠1）满足：对任意x1，x2，当时，f（x1）﹣f（x2）＞0，则a的取值范围为（1，2）．【解答】解：∵y＝x2﹣ax+2＝（x﹣）2+2﹣在对称轴左边递减，∴当x1＜x2≤时，y1＞y2∵对任意的x1、x2，当x1＜x2≤时，f（x1）﹣f（x2）＞0⇒f（x1）＞f（x2），故应有a＞1 ①又因为y＝x2﹣ax+3在真数位置上所以须有2﹣＞0⇒﹣2＜a＜2②综上得1＜a＜2故答案为：（1，2）．10．已知x＞0，定义f（x）表示不小于x的最小整数，若f（3x+f（x））＝f（6.5），则正数x的取值范围为．【解答】解：由题意，f（6.5）＝7，故f（3x+f（x））＝7，∴6＜3x+f（x）≤7，当f（x）＝1时，0＜x≤1，此时6＜3x+1≤7，解得，不符合题意；当f（x）＝2时，1＜x≤2，此时6＜3x+2≤7，解得，满足题意；当f（x）＝3时，2＜x≤3，此时6＜3x+3≤7，解得，不符合题意；易知，当时均不符合题意；综上，实数x的取值范围为．故答案为：．11．已知函数f（x）＝log a（mx+2）﹣log a（2m+1+）（a＞0且a≠1）只有一个零点，则实数m的取值范围为m≤﹣1或m＝0或m＝﹣．【解答】解：函数f（x）＝log a（mx+2）﹣log a（2m+1+）（a＞0且a≠1）只有一个零点，可得f（x）＝0，即mx+2＝2m+1+＞0，有且只有一个实根，m＝0，x＝2显然成立；由mx2+（1﹣2m）x﹣2＝0，△＝（1﹣2m）2+8m＝0，解得m＝﹣，此时x＝2成立；由m（x﹣2）＝﹣1＝，即（x﹣2）＝0，由x≠2，可得mx+1＝0，2m+2≤0，即m≤﹣1．综上可得m的范围是m≤﹣1或m＝0或m＝﹣．故答案为：m≤﹣1或m＝0或m＝﹣．12．已知函数f（x）＝，（n＜m）的值域是[﹣1，1]，有下列结论：（1）n＝0时，m∈（0，2]；（2）n＝时，；（3）时，m∈（n，2]，其中正确的结论的序号为（2）（3）．【解答】解：当x＞1时，x﹣1＞0，f（x）＝22﹣x+1﹣3＝23﹣x﹣3，单调递减，当﹣1＜x＜1时，f（x）＝22+x﹣1﹣3＝21+x﹣3，单调递增，∴f（x）＝22﹣|x﹣1|﹣3在（﹣1，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，∴当x＝1时，取最大值为1，∴绘出22﹣|x﹣1|﹣3的图象，如图下方曲线：（1）当n＝0时，f（x）＝，由函数图象可知：要使f（x）的值域是[﹣1，1]，则m∈（1，2]；故（1）错误；（2）当n＝时，f（x）＝，f（x）在[﹣1，]单调递增，f（x）的最大值为1，最小值为﹣1，∴m∈（，2]；故（2）正确；（3）当n∈[0，）时，m∈[1，2]；故（3）正确；故答案为：（2）（3）．二、选择题13．下列函数中，是奇函数且在区间（1，+∞）上是增函数的是（）A．B．C．f（x）＝﹣x3D．【解答】解：在A中，f（x）＝﹣x是奇函数，在区间（1，+∞）上是减函数，故A错误；在B中，是偶函数，在区间（1，+∞）上是减函数，故B错误；在C中，f（x）＝﹣x3是奇函数且在区间（1，+∞）上是减函数，故C错误；在D中，f（x）＝﹣log2是奇函数且在区间（1，+∞）上是增函数，故D正确．故选：D．14．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数m满足f（|m﹣1|）＞f（﹣1），则m的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0）∪（2，+∞）C．（0，2）D．（2，+∞）【解答】解：∵偶函数，在（﹣∞，0）上是增函数，∴函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，∵f（|m﹣1|）＞f（﹣1），∴|m﹣1|＜1，∴﹣1＜m﹣1＜1，∴0＜m＜2故不等式的解集为{m|0＜m＜2}，故选：C．15．如果函数f（x）在其定义域内存在实数x0，使得f（x0+1）＝f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）为“可拆分函数”，若为“可拆分函数”，则a的取值范围是（）A．B．C．D．（3，+∞]【解答】解：因为函数f（x）＝lg为“可分拆函数”，所以存在实数x0，使得lg＝lg+lg，即＝×，且a＞0，所以a＝，令t＝2x0，则t＞0，所以，a＝＝+，由t＞0得＜a＜3，即a的取值范围是（，3）．故选：B．16．定义在（﹣1，1）上的函数f（x）满足f（x）＝，当x∈（﹣1，0]时，f（x）＝﹣1，若函数g（x）＝|f（x）﹣|﹣mx﹣m在（﹣1，1）内恰有3个零点，则实数m的取值范围是（）A．（）B．[）C．D．【解答】解：当x∈（﹣1，0]时，f（x）＝﹣1，当x∈（0，1）时，x﹣1∈（﹣1，0），f（x）＝＝＝x，若函数g（x）＝|f（x）﹣|﹣mx﹣m在（﹣1，1]内恰有3个零点，即方程|f（x）﹣|﹣mx﹣m＝0在（﹣1，1]内恰有3个根，也就是函数y＝|f（x）﹣|与y＝mx+m的图象有三个不同交点．作出函数图象如图：由图可知，直线y＝mx+m恒过点（﹣1，0），过点（﹣1，0）与点（0，）的直线的斜率为；过点（﹣1，0）与（1，）的直线斜率为，可得|f（x）﹣||与y＝mx+m的图象有三个不同交点的m的取值范围为[，）．故选：C．三、解答题17．已知函数f（x）＝2x﹣1的反函数是y＝f﹣1（x），g（x）＝log4（3x+1）．（1）画出f（x）＝2x﹣1的图象；（2）解方程f﹣1（x）＝g（x）．【解答】解：（1）如图所示，（2）由y＝2x﹣1，解得：x＝log2（y+1），把x与y互换可得：y＝log2（x+1），∴f（x）的反函数是y＝f﹣1（x）＝log2（x+1）（x＞﹣1）．方程f﹣1（x）＝g（x）即log2（x+1）＝log4（3x+1）．∴（x+1）2＝3x+1＞0，解得：x＝0，1．18．已知定义在R上的奇函数f（x）＝ka x﹣a﹣x（（a＞0且a≠1），k∈R）．（1）求k的值，并用定义证明当a＞1时，函数f（x）是R上的增函数；（2）已知，求函数g（x）＝a2x+a﹣2x在区间[0，1]上的取值范围．【解答】解：（1）因为定义在R上的奇函数f（x）＝ka x﹣a﹣x（（a＞0且a≠1），k∈R）．所以f（0）＝k﹣1＝0，解得k＝1，∴f（x）＝a x﹣a﹣x，当a＞1时，任取x1，x2∈（﹣∞，+∞），且x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）＝（a﹣a）﹣（a﹣a）＝（a﹣a）+（a﹣a），＝（a﹣a）+（﹣）＝（a﹣a）+＝（a﹣a）+＝（a﹣a）（1+），∵a＞1，x1＜x2，∴a＜a，即a﹣a＜0，a＞0，∴f（x1）＜f（x2），所以函数f（x）在R上是增函数．（2）由（1）知，k＝1，又因为f（1）＝，a﹣a﹣1＝，解得a＝2或﹣（舍），所以g（x）＝22x+2﹣2x＝4x+4﹣x＝4x+，令t＝4x，（1≤t≤4）则y＝t+，所以t∈[2，]，函数g（x）＝a2x+a﹣2x在区间[0，1]上的取值范围[2，]．19．松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足2≤t≤20，经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤20时电车为满载状态，载客量为400人，当2≤t＜10时，载客量会减少，减少的人数与（10﹣t）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人，记电车载客量为p（t）．（1）求p（t）的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量；（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？【解答】解：（1）由题意知，p（t）＝（k为常数），∵p（2）＝400﹣k（10﹣2）2＝272，∴k＝2．∴p（t）＝．∴p（6）＝400﹣2（10﹣6）2＝368；（2）由，可得Q＝，当2≤t＜10时，Q＝180﹣（12t+），当且仅当t＝5时等号成立；当10≤t≤20时，Q＝﹣60+≤﹣60+90＝30，当t＝10时等号成立．∴当发车时间间隔为5分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为60元．20．对于定义域为D的函数y＝f（x），若存在区间[a，b]⊂D，使得f（x）同时满足，①f （x）在[a，b]上是单调函数，②当f（x）的定义域为[a，b]时，f（x）的值域也为[a，b]，则称区间[a，b]为该函数的一个“和谐区间”．（1）求出函数f（x）＝x3的所有“和谐区间”[a，b]；（2）函数是否存在“和谐区间”[a，b]？若存在，求出实数a，b的值；若不存在，请说明理由；（3）已知定义在（2，k）上的函数有“和谐区间”，求正整数k取最小值时实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝x3；∴f（x）在R内单调递增；再令f（x）＝x3＝x，∴x＝﹣1，0，1；∴f（x）＝x3的“和谐区间”为：[﹣1，0]、[0，1]、[﹣1，1]；（2）假设函数存在和谐区间，∴；∴x2+3x﹣4＝0或x2﹣3x+4＝0①当x2+3x﹣4＝0，即x＝﹣4或1；在[﹣4，1]内f（x）不单调，故不成立；②当x2﹣3x+4＝0时，x无解，故不成立；∴综上所述：函数不存在和谐区间；（3）∵函数有“和谐区间”；∴f（x）在（2，k）内单调递增，且f（x）＝x在定义内有两个不等的实数根；∴在定义内有两个不等的实数根；即：2m＝x+＝；∵x∈（2，k），∴，即m；∵在（2，3）内单调递减，在（3，+∞）内单调递增，∴k＞3；∵函数与直线y＝2m在（2，k）有两个交点，g（2）＝6∴，∴正整数k最小值为5，此时g（5）＝6；∴2m＝6；即m＝3；此时m的取值范围为（，3）．21．定义在R上的函数g（x）和二次函数h（x）满足：g（x）+2g（﹣x）＝e x+﹣9，h （﹣2）＝h（0）＝1，h（﹣3）＝﹣2．（1）求g（x）和h（x）的解析式；（2）若对于x1，x2∈[﹣1，1]，均有h（x1）+ax1+5≥g（x2）+3﹣e成立，求a的取值范围；（3）设f（x）＝，在（2）的条件下，讨论方程f[f（x）]＝a+5的解的个数．【解答】解：（1）∵g（x）+2g（﹣x）＝e x+﹣9，∴g（﹣x）+2g（x）＝e﹣x+2e x﹣9，由以上两式联立可解得，g（x）＝e x﹣3；∵h（﹣2）＝h（0）＝1，∴二次函数的对称轴为x＝﹣1，故设二次函数h（x）＝a（x+1）2+k，则，解得，∴h（x）＝﹣（x+1）2+2＝﹣x2﹣2x+1；（2）由（1）知，g（x）＝e x﹣3，其在[﹣1，1]上为增函数，故g（x）max＝g（1）＝e ﹣3，∴h（x1）+ax1+5≥e﹣3+3﹣e＝0对任意x∈[﹣1，1]都成立，即对任意x∈[﹣1，1]都成立，∴，解得﹣3≤a≤7，故实数的a的取值范围为[﹣3，7]；（3），作函数f（x）的图象如下，令t＝f（x），a∈[﹣3，7]，则f（t）＝a+5∈[2，12]，①当a＝﹣3时，f（t）＝2，由图象可知，此时方程f（t）＝2有两个解，设为t1＝﹣1，t2＝ln5∈（1，2），则f（x）＝﹣1有2个解，f（x）＝ln5有3个解，故共5个解；②当﹣3＜a＜e2﹣8时，f（t）＝a+5∈（2，e2﹣3），由图象可知，此时方程f（t）＝a+5有一个解，设为t3＝ln（a+8）∈（ln5，2），则f（x）＝t3＝ln（a+8）有3个解，故共3个解；③当a＝e2﹣8时，f（t）＝a+5＝e2﹣3，由图象可知，此时方程f（t）＝a+5有一个解t4＝2，则f（x）＝t4＝2有2个解，故共2个解；④当e2﹣8＜a≤7时，f（t）＝a+5∈（e2﹣3，12]，由图象可知，此时方程f（t）＝a+5有一个解t5＝ln（a+8）∈（2，ln15]，则f（x）＝t5有1个解，故共1个解．。
精品解析：上海市上海中学2018-2019学年高一上学期期末数学试题(解析版)
2018学年上海中学高一年级第一学期期末试卷2019．1一、填空题1.函数的定义域为______．()()ln 1f x x =+-【答案】(]1,2【解析】【分析】求已知函数解析式的函数定义域即使式子有意义，偶次根式的被开方数非负，对数的真数大于零，即可解答。
【详解】()()ln 1f x x =+- 解得2010x x -≥⎧∴⎨->⎩12x <≤故函数的定义域为(]1,2x ∈故答案为：(]1,2【点睛】本题考查函数的定义域，求函数的定义域即使式子有意义，常见的有（1）分式中分母不为零；（2）偶次根式中被开方数大于或等于零；（3）零次幂的底数不为零；（4）对数函数的真数大于零；属于基础题。
2.设函数为奇函数，则实数a 的值为______．()()()1x x a f x x+-=【答案】1a =【解析】【分析】一般由奇函数的定义应得出，但对于本题来说，用此方程求参数的值运算较繁，因为()()0f x f x +-=是一个恒成立的关系故可以代入特值得到关于参数的方程求的值．()()0f x f x +-=a 【详解】解：函数为奇函数， (1)()()x x a f x x+-=，()()0f x f x ∴+-=，(1)(1)0f f ∴+-=即，2(1)00a -+=．1a \=故答案为：．1【点睛】本题考查函数奇偶性的运用，其特征是利用函数的奇偶性建立方程求参数，在本题中为了减少运算量，没有用通用的等式来求而是取了其一个特值，这在恒成立的等式中，是一个常用的技巧．a 3.已知（且）的图像过定点P ，点P 在指数函数的图像上，则log 2a y x =+0a >1a ≠()y f x =______．()f x =【答案】()2xf x =【解析】【分析】由题意求出点的坐标，代入求函数解析式．P ()f x 【详解】解：由题意，令，则，log 2a y x =+1x =2y =即点，(1,2)P 由在指数函数的图象上可得，令P ()f x ()xf x a =()01a a >≠且，12a ∴=即，2a =故()2xf x =故答案为：()2xf x =【点睛】本题考查了对数函数与指数函数的性质应用，属于基础题．4.方程的解为______．21193xx +⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】25-【解析】【分析】将方程转化为同底指数式，利用指数相等得到方程，解得即可。
2018-2019学年上海市曹杨二中高一上学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市曹杨二中高一上学期期末数学试题一、单选题1．如果,a b c d >>，则下列不等式成立的是（ ） A.a c b d ->- B.a c b d +>+C.a b d c> D.ac bd >【答案】B【解析】根据不等式的性质，分别将各个选项分析求解即可。
【详解】A 项，当54,31a b c d =>==>=时，2,3a c b d -=-=，则a c b d -<-，故A 项不一定成立；因为,a b c d >>，两式相加得a c b d +>+，故B 项一定成立； 当21,11a b c d =>==>=-时，2,1a bd c =-=，则a b d c<，故C 项不一定成立； D 项，当12,34a b c d =->=-=->=-时，3,8ac bd ==，则ac bd <，故D 项不一定成立； 故选：B 【点睛】本题主要考查不等式的性质，此题比较简单，需掌握不等式的性质，注意排除法在解选择题中的应用。
2．唐代诗人杜牧的七绝唐诗中的两句诗为“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。
”其中后一句“成仙”是“到蓬莱”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 【答案】A【解析】根据命题的“真、假”，条件与结论的关系即可得出选项。
【详解】不到蓬莱⇒不成仙，∴成仙⇒到蓬莱，“成仙”是到“到蓬莱”的充分条件，但“到蓬莱”是否“成仙”不确定，因此“成仙”是“到蓬莱”的充分非必要条件。
故选：A 【点睛】充分、必要条件有三种判断方法：1、定义法：直接判断“若p 则q ”和“若q 则p ”的真假。
2、等假法：利用原命题与逆否命题的关系判断。
3、若A B ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A B =,则A 是B 的充要条件。
上海市曹杨二中2018-2019学年高三第一学期数学期末考试
曹杨二中2018学年第一学期期终考试数学试卷一、填空题1、函数()sin cos f x x x =的最小正周期为_________2、2lim 12n P n →∞++=_________3、函数()()()3log 212x f x x =-≥的反函数()1f x -_________ 4、在62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，常数项为___________ 5、一直一组数据为2,11,9,8,10，则这组数据的方差为_________6、双曲线221x y -=的一条渐近线被圆()2224x y -+=截得线段长为________7、已知数列{}n a 的首项12a =，且满足()*22n n n a a n N +=∈，则20a =________8、已知函数()f x 是奇函数，()112f =，且()()()()22f x f x f x R +=+∈，则()5f =________ 9、将一颗均匀的骰子掷两次，第一次得到的点数记为a ，第一次得到的点数记为b ，则方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩有唯一解的概率是___________ 10、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1313,615a S ≤≤≤≤，则21a a 的取值范围是__________ 11、设函数()3,1,1x a x f x x a x ⎧-<=⎨-≥⎩，若()f x 有且仅有1个零点，则实数a 的取值范围是___________12、定义全集U 的子集M 的特征函数()10M U x M f x x C M ∈⎧=⎨∈⎩，对于两个集合,M N ，定义集合()(){}*1M N M N x f x f x =+=，已知集合{}{}2,4,6,8,10,1,2,4,8,16A B ==，并用S 表示有限集S 的元素个数，则对于任意有限集,**M M A M B +的最小值为________二、选择题13、若1+i 为虚数单位）是关于x 的实系数一元二次方程20z bz c ++=的一个复数根，则（）A. 2,3b c ==B. 2,1b c ==-C. 2,3b c =-=D. 2,1b c =-=-14、已知,,x y z 为正实数，且230x y -+=，则2y xz的最小值为（） A.1 B.2 C.3 D.615、设平面α和平面β相交于直线m ，直线a 在平面α上，直线b 在平面β上，且b m ⊥，则“αβ⊥”是“a b ⊥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件16、在ABC ∆中，若623AC AB AB BC BC CA ⋅=⋅=⋅，则A ∠=（）A.45°B.60°C.120°D.135°二、解答题17、在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2,6a C π==，且ABC ∆（1）求c ；（2）若F 为边AC 上一点，且CF =，求sin BFC ∠18、如图，某甜品创作一种冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形，现把半径为10cm 的圆形蛋皮等分成5个扇形，用一个扇形蛋皮固成圆锥的侧面（蛋皮厚度忽略不计）。
2019届上海市曹杨二中高三上学期期末数学试题(解析版)
2019届上海市曹杨二中高三上学期期末数学试题一、单选题1．（上海市崇明区2018届高三4月模拟）若1是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）A.2b =， 3c =B.2b =， 1c =-C.2b =-， 3c =D.2b =-， 1c =-【答案】C【解析】由题意可得：()()2110b c +++=，则：()()120b c -++++=， 整理可得：()()10b c i +-+=，据此有：100b c +-=⎧⎪⎨=⎪⎩，求解方程组可得：23b c =-⎧⎨=⎩. 本题选择C 选项.2．已知,,x y z 为正实数，且230x y z -+=，则2yxz的最小值为（）A.1B.2C.3D.6【答案】C【解析】由x ﹣2y +3z ＝0可推出y 32x z +=，代入2y xz中，消去y ，再利用均值不等式求解即可． 【详解】 ∵x ﹣2y +3z ＝0， ∴y 32x z+=， ∴222966644y x z xz xz xz xz xz xz+++=≥=3， 当且仅当x ＝3z 时取“＝”． 故选：C ．【点睛】本小题考查了二元基本不等式，运用了消元的思想，属于中档题．3．设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b m ⊥则“αβ⊥”是“a b ⊥”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分不必要条件【答案】A【解析】【详解】试题分析：α⊥β， b ⊥m 又直线a 在平面α内，所以a ⊥b ，但直线不一定相交，所以“α⊥β”是“a ⊥b”的充分不必要条件，故选A.【考点】充分条件、必要条件.4．在ABC ∆中，若623AC AB AB BC BC CA ⋅=⋅=⋅，则角A 的大小为（ ） A ．4πB ．3π C ．23π D ．34π 【答案】D【解析】由平面向量数量积的定义得出tan B 、tan C 与tan A 的等量关系，再由()tan tan A B C =-+并代入tan B 、tan C 与tan A 的等量关系式求出tan A 的值，从而得出A 的大小. 【详解】623AC AB AB BC BC CA ⋅=⋅=⋅uuu r uu u r uu u r uu u r uu u r uu rQ ，6cos 2cos 3cos bc A ca B ab C ∴=-=-，cos 3cos a B b A ∴=-，由正弦定理边角互化思想得sin cos 3cos sin A B A B =-，tan 3tan A B ∴=-，1tan tan 3B A ∴=-，同理得1tan tan 2C A =-，()11tan tan tan tan 32tan tan 111tan tan 1tan tan 32A AB C A B C B C A A --+∴=-+=-=--⎛⎫⎛⎫--⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭225tan 5tan 616tan 1tan 6AA A A ==--，0A π<<，则tan 0A ≠，解得tan 1A =±， ABC ∆中至少有两个锐角，且1tan tan 3B A =-，1tan tan 2C A =-，所以，tan 1A =-，0A π<<，因此，34A π=，故选：D. 【点睛】本题考查平面向量的数量积的计算，考查利用正弦定理、两角和的正切公式求角的值，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将问题转化为正切来进行计算，属于中等题.二、填空题5．函数sin cos y x x =的最小正周期是______． 【答案】p 【解析】1sin 22y x =，周期2ππ2T ==.6．212n n lim n→∞=++⋯+_________．【答案】2【解析】利用等差数列的前n 项和公式求出分母后代入212n n lim n→∞++⋯+得答案．【详解】()222221112112n n n n n n n lim lim lim lim n n n n n →∞→∞→∞→∞====+++⋯+++，故答案为：2． 【点睛】本题考查了数列的极限及等差数列求和公式，属于基础题． 7．函数()()()3log 212x f x x =-≥的反函数()1fx -=_________．【答案】2 (31)x log +（x ≥1）．【解析】由x ≥2，可得f (x )＝log 3(21)x -≥1，由y ＝log 3(21)x-，解得x ＝2(31)y log +，把x 与y 互换即可得出反函数． 【详解】令y ＝f (x )＝log 3(21)x-，∵x ≥2，∴y ＝log 3(21)x-≥1，由y ＝log 3(21)x-，解得x ＝2 (31)y log +，把x 与y 互换得到y ＝2 (31)x log +故f ﹣1（x ）＝2 (31)x log +（x ≥1）．故答案为：f ﹣1（x ）＝2 (31)x log +（x ≥1）．【点睛】本题考查了反函数的求法、指数与对数的互化，属于基础题． 8．在62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，常数项为___________．【答案】﹣160【解析】写出二项式的展开式的通项，使得x 的指数为0，得到相应的r ，从而可求出常数项． 【详解】展开式的通项为()6162rrr r T C x x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭＝()626612rr r r C x ---令2r ﹣6＝0可得r ＝3常数项为（﹣1）33362C =-160故答案为：﹣160 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，解题的关键是写出展开式的通项公式，同时考查了计算能力，属于基础题．9．已知一组数据为2,11,9,8,10，则这组数据的方差为_________． 【答案】10【解析】先计算五个数据的平均数为8，再根据方差的计算公式，求出这五个数的方差即可． 【详解】∵五个数2，8，9，10，11的平均数为15（2+8+9+10+11）＝8， ∴五个数的方差为：s 215=[（2﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2+（11﹣8）2]＝10， 故答案为：10 【点睛】本题考查了平均数和方差的计算公式，属于基础题．10．双曲线221x y -=的一条渐近线被圆()2224x y -+=截得线段长为________．【答案】【解析】求出双曲线的渐近线方程，利用圆的半径与弦心距，半弦长的关系，求解即可． 【详解】双曲线x 2﹣y 2＝1的一条渐近线不妨为：x +y ＝0，圆C ：（x ﹣2）2+y 2＝4的圆心（2，0），半径为2，圆心到直线的距离为：d=∴被圆C 截得的线段长为==故答案为： 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力． 11．已知数列{}n a 的首项12a =，且满足()*12n n n a a n N +=∈，则20a =________． 【答案】512【解析】利用已知将n 换为n +1，再写一个式子，与已知作比，得到数列{}n a 的各个偶数项成等比，公比为2，再求得2=1a ，最后利用等比数列的通项公式即可得出． 【详解】∵a n a n +1=2n ，（*n N ∈） ∴a n +1a n +2=2n +2．（*n N ∈） ∴22n na a +=,（*n N ∈），∴数列{}n a 的各个奇数项513...a a a ，，成等比，公比为2， 数列{}n a 的各个偶数项246...a a a ，，成等比，公比为2，又∵a n a n +1=2n，（*n N ∈），∴a 1a 2=2,又12a =，∴2=1a ，可得：当n 为偶数时，1222nn a a -=⋅∴a 20＝1•29＝512． 故答案为：512． 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝12，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)＝________.【答案】5 2【解析】令x＝－1，得f(1)＝f(－1)＋f(2)＝－f(1)＋f(2)．故12＝－12＋f(2)，则f(2)＝1.令x＝1，得f(3)＝f(1)＋f(2)＝12＋1＝32.令x＝3，得f(5)＝f(3)＋f(2)＝32＋1＝52.13．将一颗均匀的骰子掷两次，第一次得到的点数记为a，第一次得到的点数记为b，则方程组322ax byx y+=⎧⎨+=⎩有唯一解的概率是___________．【答案】11 12【解析】所有的可能的结果（a，b）共有6×6＝36种，满足直线l1与l2平行的结果（a，b）共有3个，由此求得直线l1与l2平行的概率，用1减去直线l1与l2平行的概率，即得所求．【详解】由题意可知，方程组有唯一解转化为表示方程组322ax byx y+=⎧⎨+=⎩的两直线相交，即直线l1:ax+by=3与直线l2：x+2y=2相交，又所有的可能出现的结果（a，b）共有6×6＝36种，当直线l1与l2平行时，应有3 122a b=≠，故其中满足直线l1与直线l2平行的结果（a，b）共有：（1，2）、（2，4）、（3，6），总计3个，故直线l1与l2平行的概率为336．又由a,b的意义可知两条直线不重合，故直线l1与l2相交的概率为1311 3612 -=，∴方程组有唯一解的概率为1311 3612 -=，故答案为：11 12．【点睛】本题考查古典概型及其对立事件的概率计算公式的应用，考查了两直线的位置关系，属于基础题．14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1313,615a S ≤≤≤≤，则21a a 的取值范围是__________． 【答案】[23，5] 【解析】根据题意，由等差数列的前n 项和的性质可得6≤S 3≤15，则6≤3a 2≤15，即2≤a 2≤5，由不等式的性质分析可得答案． 【详解】根据题意，等差数列{a n }的前n 项和为S n ， 若6≤S 3≤15，则6≤3a 2≤15，即2≤a 2≤5， 又由1≤a 1≤3，则有2123a a ≤≤5， 即21a a 的取值范围是[23，5]； 故答案为：[23，5]． 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式以及性质的应用，考查了不等式的性质，关键求出a 2的范围．15．设函数()3,1,1x a x f x x a x ⎧-<=⎨-≥⎩，若()f x 有且仅有1个零点，则实数a 的取值范围是___________． 【答案】（0，1）[3,+∞)【解析】由题意将问题转化为()3,1,1x x g x x x ⎧<=⎨≥⎩与y =a 有且仅有一个交点，作出y =g (x )的图像数形结合得答案． 【详解】若函数()f x 有且仅有1个零点,即()3,1,1x x g x x x ⎧<=⎨≥⎩与y =a 有且仅有一个交点，作出y =g (x )的图像如图： ∴a ∈（0，1）[3,+∞)．故答案为：（0，1）[3,+∞)．【点睛】本题考查函数的零点判定，考查数形结合与转化思想的解题方法，是中档题．16．定义全集U 的子集M 的特征函数()10M U x Mf x x C M∈⎧=⎨∈⎩，对于两个集合,M N ，定义集合()(){}*1M N M N x f x f x =+=，已知集合{}{}2,4,6,8,10,1,2,4,8,16A B ==，并用S 表示有限集S 的元素个数，则对于任意有限集,**M M A M B +的最小值为________． 【答案】4【解析】通过新定义及集合的并集与补集的运算求解计算即得结论． 【详解】由MN 的定义可知，f M （x ）+f N （x ）＝1 ，则MN ∈{x |x ∈M ∪N ，且x ∉ M ∩N } 即MA ＝{x |x ∈M ∪A ，且x ∉M ∩A }，MB ＝{x |x ∈M ∪B ，且x ∉M ∩B } 要使Card （MA ）+Card （MB ）的值最小，则2，4，8一定属于集合M ，且M 不能含有A ∪B 以外的元素， 所以集合M 为{6，10，1，16}的子集与集合{2，4，8}的并集， 要使**M A M B +的值最小，M ={2，4，8}， 此时，**M A M B +的最小值为4， 故答案为：4 【点睛】本题考查对集合运算的理解以及新定义的应用，考查计算能力．注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题17．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知6C π=，2a =，ABC 的，F 为边AC 上一点．()1求c ； ()2若CF =，求sin BFC ∠．【答案】（1）c=2（2）sin 4BFC ∠=【解析】()1由已知利用三角形的面积公式可求b 的值，根据余弦定理可得c 的值；()2由()1可得2a c ==，可求6A C π==，23ABC π∠=，由已知根据正弦定理sin 2CBF ∠=，由23CBF π∠≤，可求4CBF π∠=，根据两角和的正弦函数公式即可计算得解sin BFC ∠的值． 【详解】()16C π=，2a =，ABC11sin 2sin 226ab C b π==⨯⨯⨯， ∴解得：b =∴由余弦定理可得：2c ===，()2由()1可得2a c ==，6A C π∴==，23ABC A C ππ∠=--=， 在BCF 中，由正弦定理sin sin CF BF CBF BCF=∠∠，可得：sin 6sin CFCBF BFπ⋅∠=， 2CF =，sin CBF ∴∠=， 23CBF π∠≤， 4CBF π∴∠=，()sin sin sin sin cos cos sin 4646464BFC CBF BCF ππππππ⎛⎫∴∠=∠+∠=+=+= ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，正弦定理，两角和的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.18．如图，某甜品创作一种冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形，现把半径为10cm 的圆形蛋皮等分成5个扇形，用一个扇形蛋皮固成圆锥的侧面（蛋皮厚度忽略不计）。
上海市曹杨二中2018-2019学年高三上学期期末数学试题
【题干序号】1函数sin cos y x x =的最小正周期是______．【答案序号】【来源】上海市曹杨二中2018-2019学年高三上学期期末数学试题 【答案】π 【解析】1sin 22y x =，周期2ππ2T ==.【题干序号】2212n n lim n→∞=++⋯+_________．【答案序号】【来源】上海市曹杨二中2018-2019学年高三上学期期末数学试题 【答案】2【解析】()222221112112n n n n n n n lim lim lim lim n n n n n →∞→∞→∞→∞====+++⋯+++， 故答案为：2．【题干序号】3函数()()()3log 212xf x x =-≥的反函数()1fx -=_________．【答案序号】【来源】上海市曹杨二中2018-2019学年高三上学期期末数学试题【答案】2 (31)x log +（x ≥1）．【解析】令y ＝f (x )＝log 3(21)x-，∵x ≥2，∴y ＝log 3(21)x-≥1，由y ＝log 3(21)x-，解得x ＝2(31)y log +，把x 与y 互换得到y ＝2 (31)x log + 故f ﹣1（x ）＝2 (31)x log +（x ≥1）． 故答案为：f ﹣1（x ）＝2 (31)x log +（x ≥1）．【题干序号】4在62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，常数项为___________．【答案序号】【来源】上海市曹杨二中2018-2019学年高三上学期期末数学试题 【答案】﹣160【解析】展开式的通项为()6162rrr r T C x x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭＝()626612rr r r C x ---令2r ﹣6＝0可得r ＝3常数项为（﹣1）33362C =-160故答案为：﹣160【题干序号】5已知一组数据为2,11,9,8,10，则这组数据的方差为_________．【答案序号】【来源】上海市曹杨二中2018-2019学年高三上学期期末数学试题 【答案】10【解析】∵五个数2，8，9，10，11的平均数为15（2+8+9+10+11）＝8， ∴五个数的方差为： s 215=[（2﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2+（11﹣8）2]＝10， 故答案为：10【题干序号】6双曲线221x y -=的一条渐近线被圆()2224x y -+=截得线段长为________．【答案序号】【来源】上海市曹杨二中2018-2019学年高三上学期期末数学试题【答案】【解析】双曲线x 2﹣y 2＝1的一条渐近线不妨为：x +y ＝0，圆C ：（x ﹣2）2+y 2＝4的圆心（2，0），半径为2，圆心到直线的距离为：d =∴被圆C 截得的线段长为==故答案为：已知数列{}n a 的首项12a =，且满足()*12n n n a a n N +=∈，则20a =________．【答案序号】【来源】上海市曹杨二中2018-2019学年高三上学期期末数学试题 【答案】512【解析】∵a n a n +1=2n ，（*n N ∈） ∴a n +1a n +2=2n +2．（*n N ∈）∴22n na a +=,（*n N ∈），∴数列{}n a 的各个奇数项513...a a a ，，成等比，公比为2， 数列{}n a 的各个偶数项246...a a a ，，成等比，公比为2， 又∵a n a n +1=2n ，（*n N ∈），∴a 1a 2=2,又12a =，∴2=1a ， 可得：当n 为偶数时，1222n n a a -=⋅∴a 20＝1•29＝512．故答案为：512．【题干序号】8设函数f(x)(x ∈R)为奇函数，f(1)＝12，f (x +2)＝f (x )+f(2)，则f(5)＝________.【答案序号】【来源】上海市曹杨二中2018-2019学年高三上学期期末数学试题 【答案】52【解析】令x ＝－1，得f (1)＝f (－1)＋f (2)＝－f (1)＋f (2)．故12＝－12＋f (2)，则f (2)＝1. 令x ＝1，得f (3)＝f (1)＋f (2)＝12＋1＝32.令x ＝3，得f (5)＝f (3)＋f (2)＝32＋1＝52.【题干序号】9将一颗均匀的骰子掷两次，第一次得到的点数记为a ，第一次得到的点数记为b ，则方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩有唯一解的概率是___________．【来源】上海市曹杨二中2018-2019学年高三上学期期末数学试题 【答案】1112【解析】由题意可知，方程组有唯一解转化为表示方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩的两直线相交，即直线l 1:ax +by =3与直线l 2：x +2y =2相交，又所有的可能出现的结果（a ，b ）共有6×6＝36种，当直线l 1与l 2平行时，应有3122a b =≠， 故其中满足直线l 1与直线l 2平行的结果（a ，b ）共有：（1，2）、（2，4）、（3，6），总计3个，故直线l 1与l 2平行的概率为336．又由a ,b 的意义可知两条直线不重合， 故直线l 1与l 2相交的概率为 13113612-=， ∴方程组有唯一解的概率为 13113612-=， 故答案为：1112．【题干序号】10已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1313,615a S ≤≤≤≤，则21a a 的取值范围是__________．【答案序号】【来源】上海市曹杨二中2018-2019学年高三上学期期末数学试题 【答案】[23，5] 【解析】根据题意，等差数列{a n }的前n 项和为S n ， 若6≤S 3≤15，则6≤3a 2≤15，即2≤a 2≤5， 又由1≤a 1≤3，则有2123a a ≤≤5， 即21a a 的取值范围是[23，5]； 故答案为：[23，5]．【题干序号】11设函数()3,1x a x f x ⎧-<=⎨，若()f x 有且仅有1个零点，则实数a 的取值范围是___________．【来源】上海市曹杨二中2018-2019学年高三上学期期末数学试题【答案序号】【来源】上海市曹杨二中2018-2019学年高三上学期期末数学试题 【答案】（0，1）U [3,+∞)【解析】若函数()f x 有且仅有1个零点,即()3,1,1x x g x x x ⎧<=⎨≥⎩与y =a 有且仅有一个交点，作出y =g (x )的图像如图： ∴a ∈（0，1）U [3,+∞)． 故答案为：（0，1）U [3,+∞)．【题干序号】12定义全集U 的子集M 的特征函数()10M U x Mf x x C M ∈⎧=⎨∈⎩，对于两个集合,M N ，定义集合()(){}*1M N M N x f x f x =+=，已知集合{}{}2,4,6,8,10,1,2,4,8,16A B ==，并用S 表示有限集S 的元素个数，则对于任意有限集,**M M A M B +的最小值为________．【答案序号】【来源】上海市曹杨二中2018-2019学年高三上学期期末数学试题 【答案】4【解析】由M ∗N 的定义可知，f M （x ）+f N （x ）＝1 ，则M ∗N ∈{x|x ∈M ∪N ，且x ∉ M ∩N }要使Card （M ∗A ）+Card （M ∗B ）的值最小，则2，4，8一定属于集合M ，且M 不能含有A ∪B 以外的元素， 所以集合M 为{6，10，1，16}的子集与集合{2，4，8}的并集， 要使|M ∗A |+|M ∗B |的值最小，M ={2，4，8}， 此时，|M ∗A |+|M ∗B |的最小值为4， 故答案为：4【题干序号】13若1+是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ） A ．2,3b c == B ．2,1b c ==-C ．2,1b c =-=-D ．2,3b c =-=【答案序号】【来源】上海市曹杨二中2018-2019学年高三上学期期末数学试题 【答案】D【解析】由题意1i 是关于x 的实系数方程x 2+bx +c ＝0 ∴i ﹣2+b bi +c ＝0，即()10b c i -+++=∴100b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得b ＝﹣2，c ＝3 故选：D ．【题干序号】14已知,,x y z 为正实数，且230x y z -+=，则2yxz的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．6【答案序号】【来源】上海市曹杨二中2018-2019学年高三上学期期末数学试题 【答案】C【解析】∵x ﹣2y +3z ＝0，∴y 32x z+=， ∴222966644y x z xz xz xz xz xz xz+++=≥=3， 当且仅当x ＝3z 时取“＝”． 故选：C ．【题干序号】15则“αβ⊥”是“a b ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分不必要条件【答案序号】【来源】上海市曹杨二中2018-2019学年高三上学期期末数学试题 【答案】A【解析】α⊥β， b ⊥m又直线a 在平面α内，所以a ⊥b ，但直线不一定相交，所以“α⊥β”是“a ⊥b”的充分不必要条件，故选A.【题干序号】16在ABC ∆中，若623AC AB AB BC BC CA ⋅=⋅=⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，则角A 的大小为（ ）A ．4π B ．3π C ．23π D ．34π【答案序号】【来源】上海市曹杨二中2018-2019学年高三上学期期末数学试题 【答案】D【解析】623AC AB AB BC BC CA ⋅=⋅=⋅uuu r uu u r uu u r uu u r uu u r uu rQ ，6cos 2cos 3cos bc A ca B ab C ∴=-=-，cos 3cos a B b A ∴=-，由正弦定理边角互化思想得sin cos 3cos sin A B A B =-，tan 3tan A B ∴=-，1tan tan 3B A ∴=-，同理得1tan tan 2C A =-，()11tan tan tan tan 32tan tan 111tan tan 1tan tan 32A AB C A B C B C A A --+∴=-+=-=--⎛⎫⎛⎫--⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭225tan 5tan 616tan 1tan 6AA A A ==--，0A π<<Q ，则tan 0A ≠，解得tan 1A =±， ABC ∆Q 中至少有两个锐角，且1tan tan 3B A =-，1tan tan 2C A =-，所以，tan 1A =-，0A π<<Q ，因此，34A π=，故选D.ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知6C π=，2a =，ABC V 的面，F 为边AC 上一点．()1求c ； ()2若CF =，求sin BFC ∠．【答案序号】【来源】上海市曹杨二中2018-2019学年高三上学期期末数学试题 【答案】（1）c=2（2）sin BFC ∠=【解析】()16C π=Q ，2a =，ABC V11sin 2sin 226ab C b π==⨯⨯⨯， ∴解得：b =，∴由余弦定理可得：2c ===，()2Q 由()1可得2a c ==，6A C π∴==，23ABC A C ππ∠=--=， Q 在BCF V 中，由正弦定理sin sin CF BF CBF BCF=∠∠，可得：sin 6sin CFCBF BFπ⋅∠=，CF =Q ，sin 2CBF ∴∠=， 23CBF π∠≤Q ， 4CBF π∴∠=，()sin sin sin sin cos cos sin 4646464BFC CBF BCF ππππππ⎛⎫∴∠=∠+∠=+=+= ⎪⎝⎭【题干序号】18如图，某甜品创作一种冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形，现把半径为10cm 的圆形蛋皮等分成5个扇形，用一个扇形蛋皮固成圆锥的侧面（蛋皮厚度忽略不计）．（2）若要制作500个这样的蛋筒，需要多少升冰淇淋？（精确到0.1L ）【答案序号】【来源】上海市曹杨二中2018-2019学年高三上学期期末数学试题 【答案】（1）28π；（2）29.0L 【解析】解：（1）由题意可知圆锥的母线10l =，所以21=205S rl l πππ==侧 并且2r =，所以2=28S r ππ=半球，所以=+=20+8=28S S S πππ表侧半球 （2）由（1）知圆锥的高度为h =2311141657.832333V r h r πππ=+⋅=+≈所以3150050057.82890029.0V V cm L ==⨯=≈【题干序号】19()()122,0,2,0F F -是椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>的两个焦点，M 是椭圆Γ上一点，当112MF F F ⊥时，有213MF MF =. （1）求椭圆Γ的标准方程；（2）设过椭圆右焦点2F 的动直线l 与椭圆交于,A B 两点，试问：在x 铀上是否存在与2F 不重合的定点T ，使得22F A TA F BTB=恒成立？【答案序号】【来源】上海市曹杨二中2018-2019学年高三上学期期末数学试题【答案】（1）2284x y +=1. （2）T （4，0）.【解析】（1）由题知，椭圆()2222:10x y a b Γ+=>>的半焦距为c =2，又由椭圆的定义可知212MF MF a +=，即142MF a =，∴2122b MF a a==，∴224,8b a ==∴椭圆的方程为2284x y +=1.（2）假设存在符合条件的点T 满足22F A TA F BTB=，则x 轴为ATB ∠的角平分线，即直线AT 与BT 的斜率之和为0，设T （t ，0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣2），由()22282x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，可得（2k 2+1）x 2﹣8k 2x +8k 2﹣8＝0，∴x 1+x 222821k k =+，x 1x 2228821k k -=+， 由k AT +k BT ＝0，得1212y y x t x t+=--0， ∴()()121222k x k x x tx t--+=--0，∴2x 1x 2﹣（t +2）（x 1+x 2）+4t ＝0， 解得t ＝4， 即T （4，0），当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝2，与椭圆的交点坐标分别为（2），（2，），显然满足k AT +k BT ＝0， ∴存在点T （4，0），满足题意.【题干序号】20已知实数0a >，函数()()1,1f x x =∈-. （1）当0a =时，求函数()f x 的值域；（2）当1a =时，判断函数()f x 的单调性，并证明； （3）求实教a的范围，使得对于区间⎡⎢⎣⎦上的任意三个实数r s t 、、，都存在以()()()f r f s f t 、、为边长的三角形.试卷第11页，总13页【来源】上海市曹杨二中2018-2019学年高三上学期期末数学试题【答案】（1）(]01，． （2）x ∈[0，1）时，f （x ）递增；x ∈（﹣1，0]时，f （x ）递减； （3）15153a ＜＜． 【解析】由题意，f （x ）的定义域为（﹣1，1），且f （x ）为偶函数．（1）a ＝0时，()f x ==∴x ∈（﹣1，1）时，21[12x +∈，），(]()(]2212011f x x ∈=+，，， , ∴()f x 的值域为(]01，． （2）a ＝1时，()f x == ∴x ∈[0，1）时，f （x ）递增；x ∈（﹣1，0]时，f （x ）递减；由于f （x ）为偶函数，∴只对x ∈[0，1）时，证明f （x ）递增． 设0≤x 1＜x 2＜1，，得()()120f x f x -=∴x ∈[0，1）时，f （x ）递增成立；同理证明x ∈（﹣1，0]时，f （x ）递减； ∴x ∈[0，1）时，f （x ）递增；x ∈（﹣1，0]时，f （x ）递减；（3）设t =∵55x ⎡∈-⎢⎣⎦，， ∴113t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，∴113a y t t t ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭从而原问题等价于求实数a 的范围，使得在区间113⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上，恒有2y min ＞y max ． ①当109a ≤＜时，a y t t =+在113⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，∴1313min max y a y a =+=+，，由2y min ＞y max 得115a ＞， 从而11159a ≤＜；试卷第12页，总13页②当1193a ≤＜时，a y t t =+在13⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，∴13113min max y y max a a a ⎧⎫==++=+⎨⎬⎩⎭，，由2y min ＞y max得77a -+＜1193a ≤＜； ③当113a ＜＜时，a y t t =+在13⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增， ∴y min ＝y max ＝133a +， 由2y min ＞y maxa ，从而113a ＜＜； ④当a ≥1时，a y t t =+在113⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，∴1133min max y a y a =+=+，， 由2y min ＞y max 得53a ＜，从而513a ≤＜； 综上，15153a ＜＜．【题干序号】21设数列A ：1a ，2a ,…N a (N ≥).如果对小于n (2n N ≤≤)的每个正整数k 都有k a ＜n a ，则称n 是数列A 的一个“G 时刻”.记“()G A 是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合.（1）对数列A ：-2，2，-1，1，3，写出()G A 的所有元素； （2）证明：若数列A 中存在n a 使得n a >1a ，则()G A ≠∅ ；（3）证明：若数列A 满足n a -1n a - ≤1（n=2,3, …,N ）,则()G A 的元素个数不小于N a -1a .【答案序号】【来源】上海市曹杨二中2018-2019学年高三上学期期末数学试题 【答案】（1）()G A 的元素为2和5；（2）详见解析；（3）详见解析. 【解析】（Ⅰ）的元素为和. （Ⅱ）因为存在使得，所以{}1|2,i i N i N a a *∈≤≤>≠∅.试卷第13页，总13页记{}1min |2,i m i N i N a a *=∈≤≤>， 则，且对任意正整数.因此，从而.（Ⅲ）当时，结论成立.以下设.由（Ⅱ）知.设.记.则.对，记{}|,i i i k n G k N n k N a a *=∈≤. 如果，取，则对任何.从而且.又因为是中的最大元素，所以.从而对任意p n k N ≤≤，，特别地，.对.因此.所以.因此的元素个数p 不小于1N a a -.。
上海曹杨二中2018-2019学年度上学期高三数学试题
上海曹杨二中2018-2019学年度上学期高三数学试题2018.12.27一、填空题(前6题每题4分,后6题每题5分,共54分)1.若集合{}{}，＜，＞210|-==x x B x x A 则=B A ______. 2.函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πx y 的周期为_________. 3.在()82-x 的二项展开式中,第2项的系数是________. 4.不等式021＞+-x x 的解集是_________. 5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为，n S 若，，21171==S a 则=n a _______.6.已知b a 、为单位向量,，1=+则b a 、向量的夹角为________.7.有一列正方体，棱长组成以1为首项、21为公比的等比数列，体积分别记为，，，，n V V V ⋯21 则()=+⋯++∞→n n V V V 21lim _______. 8.若复数()()i ai -+21在复平面上所对应的点在直线x y =上,则实数=a _____.9.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23,在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是________.10.已知函数()()()，＞π，023sin 419a a x a x g x x f +⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+=若对任意[]，，201∈x 总存在 []，，202∈x 使()()21x f x g =成立,则实数a 的取值范围是________.11.已知双曲线C:()01222＞b b y x =-的左、右焦点分别为，、21F F 其中2F 与抛物线x y 82=的焦点重合,设P为右支上任意一点,则221PF PF 的最小值为_______.12.已知函数()，2x x f =对于给定的实数，t 若存在，＞，＞00b a 满足:对任意[]，，b t a t x +-∈ 均有()()2≤-t f x f 成立,则记b a +的最大值为().t H 当[]21，∈t 时,函数()t H 的值域为___.二、选择题(每小题5分,共20分)13.“1＞a ”是“函数()()x a a x f ∙-=1是单调增函数”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件14.已知向量()，，43-=,则下列能使()R e e ∈+=μλμλ，21成立的一组向量21e e 是 A.()()620021，，-==e e B.()()623121，，-=-=e e C.()()232121，，=-=e e D.()2112121-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，，，e e 15.关于曲线C:，124=+y x ,给出下列四个命题:①曲线C 关于原点对称；②曲线C 关于直线x y =对称；③曲线C 围成的面积大于π；④曲线C 围成的面积小于π.上述命题中,真命题的序号为A.①②③B.①②④C.①④D.①③16.在正方体''''-D C B A ABCD 中,若点P(异于点B)是棱上一点，则满足BP 与'AC 所成的角为45°的点P 的个数为A.0B.3C.4D.6三、解答题(共76分)17.如图,在圆锥SO中,AB为底面圆O的直径,点C为弧AB的中点,SO=AB.(1)证明:AB⊥平面SOC；(2)若点D为母线SC的中点,求AD与平面SOC所成的角(结果用反三角函数表示).18.如图,一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾,红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4m,于是选择沿A→B→C 路线清扫.已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2m/s,忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间,10秒钟完成了清扫任务.(1)B、C两处垃圾的距离是多少?(精确到0.1)(2)智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角∠B是多少?(用反三角函数表示)19.椭圆C 的中心为坐标原点O,长轴端点分别为A 、B,右焦点为F,且.11==∙，(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆的上顶点为M,过F 作斜率不为零的直线l ,交椭圆C 于P 、Q 两点.试问是否存在直线l ,使得MQ MP =?若存在,请求出直线l 的方程；若不存在,请说明理由。
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2018-2019学年曹二高一上期末数字试卷
2019.1
一、填空题：
1、(19年曹杨高一期末1)若集合{}31,2,3,4,0,1x A B x x R x ⎧-⎫
==<∈⎨⎬+⎩⎭
，则A B I =__________； 答案：{}1,2
2、(19年曹杨高一期末2)函数()f x =_________； 答案：x<=1,≠0
3、(19年曹杨高一期末3)方程()()222log 1log 21x x -=+的解为x =___________； 答案：4
4、(19年曹杨高一期末4)已知函数()y f x =是奇函数，且当0x <时，()3x f x x =+，则当0x >时，()f x =__________；
答案：()3x f x x =-+
5、(19年曹杨高一期末5)函数()()211f x x x =+≤-的反函数()1f x -=__________；
(2)x ≥
6、(19年曹杨高一期末6)已知扇形的周长为4，面积为1，则扇形的圆心角为__________； 答案：2
7、(19年曹杨高一期末7)设m R ∈，若函数()()211f x m x mx =-++是偶函数，则()f x 的单调递减区间是__________； 答案：（0，+∞）
8、(19年曹杨高一期末8)设函数()1f x x =-，若0a b <<且()()f a f b =，则ab 的取值范围是_________；
答案：（0,1）
9、(19年曹杨高一期末9)对于非空数集,A B ，定义集合运算：{},A B ab a A b B =∈∈e ，已知{}{}1,2,1,1,3A B ==-，则集合A B e 中的元素之和为_________； 答案：9
10、(19年曹杨高一期末10)已知点()(),P a b a b ≠是直角坐标平面第一象限内一点，点P 关于直线y x =的对称点为点'P ，若点P 及点'P 都在幂函数()y f x =的图像上，则()f x =__________； 答案：1/x
11、(19年曹杨高一期末11)已知函数()()()9
6,2201
x f x g x a a a x =
-=⋅->+，若对任意[]10,2x ∈，总存在[]20,2x ∈，使()()21g x f x =成立，则实数a 的取值范围是__________； 答案：[3,+∞）
12、(19年曹杨高一期末)已知函数()()2
024x
x m f x m x mx m
x m
⎧≤⎪=>⎨-+>⎪⎩，若存在实数b ，
使得函数()()g x f x b =-有3个零点，则实数m 的取值范围是_________； 答案：m>3 二、迭择题：
13、(19年曹杨高一期末)如果,a b c d >>，则下列不等式成立的是（） A.a c b d ->- B.a c b d +>+
C.
a b
d c
> D.ac bd > 答案：B
14、(19年曹杨高一期末)唐代诗人杜牧的七绝唐诗中的两句诗为“今来海上升高望，不到蓬
莱不成仙。
”其中后一句“成仙”是“到蓬莱”的（） A 、充分非必要条件 B 、必要不充分条件
C 、充要条件
D 、既不充分又不必要条件
答案：A
15、(19年曹杨高一期末)已知角α的终边在第一象眼，那么角
3
α
的终边不可能再（）
A 、第一象限
B 、第二象眼
C 、第三象眼
D 、第四象眼
16、(19年曹杨高一期末)已知函数()()2,3f x x f x x x ==-+，若存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，使得
()()()()()()()()121121n n n n f x f x f x g x g x g x g x f x --++++=++++L L ，则正整数n 的最大值为（） A.5 B.6
C.7
D.8
答案：D 三、解答题：
17、(19年曹杨高一期末)已知集合{}{}
2230,,2,A x x x x R B x x m x R =--≤∈=-≤∈.
（1）若[]1,5A B =-U ，求实数m 的值；
（2）若R A C B ⊆，求实数m 的取值范围. 答案：（1）3 （2）（-∞，-3]∪[5,+∞）
18、(19年曹杨高一期末)已知函数()()
()2log 424,x x f x b g x x =+⋅+=. （1）当5b =-时，求()f x 的定义域；
（2）若()()f x g x >恒成立，求实数b 的取值范围. 答案：（1）（-∞，-0）∪（2,+∞）
19、(19年曹杨高一期末)著名英国数字家和物理字家lssacNewton 曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：把物体放在冷空气中冷却，如果物体的初始温度为1C θo ，空缺的温度为0,C t θo 分钟后物体的温度C θo 可甶公式()010kt e θθθθ-=+-⋅得到，这里e 是自然对数的底，k 是一个由物体与空气的接触状況而定的整肠生，失将一个初始温度为62C o 的物体放在15C o 的空气中冷却，1分钟后物体的温度是52C o . （1）求k 的值（精确到0.01）；
（2）该物体从最初的62C o 冷却多少分钟后温度是32C o （精确到0.1）？ 答案：（1）0.24 （2）4.2
20、(19年曹杨高一期末)已知下表为函数()3f x ax cx d =++部分自変量取值及其对应函数值，为了便于研究，相关函数值取非整数值时，取值精确到0.01.
据表中数据，研究该函数的一些性质； （1）判断函数()f x 的奇偶性，并证明；
（2）判断函数()f x 在区间[0.55,0.6]上是否存在零点，并说明理由；
（3）判断a 的正负，并证明函数()f x 在(],0.35-∞-上是单调递域函数. 答案：（1）奇函数 （2）存在 （3） a<0
21、(19年曹杨高一期末)若定义在R 上的函数()f x 满足：对任意的12,x x R ∈，当12x x <时，都有()()12f x f x ≤，则称()f x 是“非減函数”.
（1）若()31f x ax =+是“非減函数”，求a 的取值范围；
（2）若()f x 为偶函数，且为“非减函数”，证明()f x 是常值函数；
（3）已知()(),f x g x 是两个“非减函数”，定义{}{}max ,,min ,a a b b a b
a b a b b a b a a b ≥≥⎧⎧==⎨⎨<<⎩⎩
，
证明：函数()()(){}()()(){}max ,,min ,H x f x g x h x f x g x ==都是“非减函数”. 答案：（1）a>=0 （2）证明略 （3）证明略。