四川省绵阳市南山中学2014-2015学年高二下学期入学考试题 数学文
2014-2015学年四川省绵阳南山中学高二学年入学考试数学试卷(带解析)
绝密★启用前2014-2015学年四川省绵阳南山中学高二学年入学考试数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、设是平面直角坐标系中两两不同的四点,若,,且，则称调和分割.已知平面上的点调和分割点，则下列说法正确的是 A ．可能线段的中点 B ．可能线段的中点C ．可能同时在线段上D ．不可能同时在线段的延长线上2、若的值为A ．B ．C ．D ．3、已知是等比数列，等于A ．7B ．C ．14D ．不确定4、已知的值为A ．B ．C ．D ．5、某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于A ．B ．C ．D ．6、在A ．B ．C ．D ．7、已知三条直线，两个平面．则下列命题中：①；②；③；④；⑤，正确的命题是A ．①⑤B ．①②C ．②④D ．③⑤8、若直线经过两点，则直线的倾斜角为 A ．B ．C ．D ．9、.在中，已知，则角A． B． C． D．10、已知向量，则实数的值为A．3 B．-3 C．2 D．-2第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）11、如图，设，且.当时，定义平面坐标系为-仿射坐标系，在-仿射坐标系中,任意一点的斜坐标这样定义：分别为与轴、轴正向相同的单位向量，若，则记为，下列结论中①设、，若，则；②设，则； ③设、，若，则； ④设、，若，则； ⑤设、，若与的夹角，则.正确的有 .（填上所有正确结论的序号）12、为了测量正在海面匀速直线行驶的某航船的速度，在海岸上选取距离为1千米的两个观察点C,D,在某时刻观察到该航船在A 处，此时测得，3分钟后该船行驶至B 处，此时测得，,，则船速为 千米/分钟13、已知正三棱柱底面边长是2，外接球的表面积是，则该三棱柱的侧棱长 ．三、解答题（题型注释）14、已知等差数列的首项，公差，且其第二项、第五项、第十四项分别是等比数列的第二、三、四项． （1）求数列与的通项公式；（2）令数列满足：＝ ，求数列的前101项之和；（3）设数列对任意，均有＋＋＋＝成立，求的值．15、如图，边长为2的正方形所在的平面与平面垂直，与的交点为，，且.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成线面角的正切值.16、在中，角为锐角，已知内角、、所对的边分别为、、，向量且向量共线．（1）求角的大小;（2）如果，且,求的值.17、设向量（1）若;（2）设函数的最大值.参考答案1、D2、C3、B4、D5、B6、A7、A8、C9、D10、B11、①、③、⑤.12、13、14、（1）a n＝2n－1；b n＝3n-1（2）5151＋；（3）3201415、（1）见解析；（2）16、（1）（2）17、（1）（2）【解析】1、试题分析：由已知不妨设A（0，0）、B（1，0）、C（c，0）、D（d，0），则（c，0）=λ（1，0），（d，0）=μ（1，0），∴λ=c，μ=d；代入得若C是线段AB的中点，则代入，d不存在，∴C不可能是线段AB的中点，A错误；同理B错误；若C，D同时在线段AB上，则0≤c≤1，0≤d≤1，代入得，c=d=1，此时C和D点重合，与已知矛盾，∴C错误．故选：D．考点：新定义应用问题2、试题分析：因为所以所以考点：两角差的余弦公式和二倍角公式3、试题分析：因为是等比数列，可设公比为，则则，所以考点：等比数列性质的应用4、试题分析：角的拼凑，所以考点：角的拼凑及两角和的正切公式5、试题分析：三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”由题设及图知，此几何体为一个四棱锥，其底面为一个对角线长为2的正方形，故其底面积为由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高，其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成一个直角三角形由于此侧棱长为，对角线长为2，故棱锥的高为此棱锥的体积为故选B．考点：是由三视图求几何体的面积、体积，三视图的理解与应用，6、试题分析：，因为,所以考点：余弦定理的变形7、试题分析：法一，①是公理四正确；看选项只能从答案中选择；②不对，平行于同一个平面的两条直线可以平行也可相交或异面故选A，法二，逐个验证得到答案考点：线线平行与线面平行及绵绵平行8、试题分析：设直线的倾斜角为，直线经过两点，所以，即，又因为，所以考点：直线的斜率与倾斜角9、试题分析：因为，所以,,根据正弦定理得，,解得，所以考点：三角形解得个数及正弦定理10、试题分析：因为向量，则，解得考点：向量平行的应用11、试题分析：显然①正确；，∵，所以②错误；由得,所以，所以，故③正确；∵，所以④错误；根据夹角公式，又，得，故，即，⑤正确所以正确的是①、③、⑤.考点：新定义，正确理解题中给出的斜坐标并与已知的向量知识相联系12、试题分析：设|AB|=xkm，在△ACD中，∠ADC=30°，∠ACB=60°，∠BCD=45°，∴∠CAD=45°，又|CD|=1km，∴由正弦定理,即，解得：|AD|=在△BCD中，∠ADC=30°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，∴∠CBD=45°，∴△BCD为等腰直角三角形，∠BCD=∠CBD=45°，∴|BD|=1km；在△ABD中，由余弦定理得，|AB|2=|BD|2+|AD|2-2|BD|•|AD|cos∠ADB=∴|AB|=km设船速为v千米/分钟，则v=v千米/分钟考点：解三角形的实际应用，着重考查正弦定理与余弦定理的应用13、试题分析：∵该三棱柱外接球的表面积是16π，∴4πR2=16π，∴该球的半径R=2，又正三棱柱底面边长是2，∴底面三角形的外接圆半径∴该三棱柱的侧棱长是考点：空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空间形象能力．14、试题分析：(1)根据等差数列的首项和公差求通项公式；(2)根据等比数列的首项和公比求通项公式；注意题中限制条件；(3)若一个数列的通项公式是由若干等差数列或等比数列或可求和的数列组成则求和，可以用分组转化法，分别求和然后相加减；(4)等比数列的判定方法：1)定义法：若是常数，则是等比数列；中项公式法：若数列中，，则是等比数列；通项公式法：若数列通项公式可写成；(5）熟记等比数列前项和公式，，注意利用性质把数列转化，利用等比数列前项和；试题解析：（1）由题意得：(a1＋d)(a1＋13d)＝(a1＋4d)2 (d＞0)，解得d＝2，∴a n＝2n－1．2分∴b2＝a2＝3, b3＝a5＝9,∴b n＝3n 13分（2）∵a101＝201，b2＝3∴T101＝(a1＋a3＋＋a101)＋(b2＋b4＋＋b100)＝＋＝5151＋6分（3）当n≥2时，由＝＋＋＋－(＋＋＋)＝a n+1－a n＝2得c n＝2b n＝2·3n 1，当n＝1时，c1＝3．故c n＝8分故c1＋c2＋＋c2014＝3＋2×3＋2×32＋＋2×32013＝32014．10分考点：等差数列等比数列通项公式及前n项和公式及分组转化法求和15、试题分析：(1)证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化.(2)求直线与平面所成的角，关键是利用定义作出直线和平面所成的角，必要时，可利用平行线与同一个平面所成的角相等，平移直线位置，以方便寻找直线在该平面的射影试题解析：(1)∵平面平面,平面平面,, 2分又,3分∵四边形是正方形，，平面． 5分(2) 取AB的中点F,连结CF,EF.,平面平面,平面平面6分又,7分即为直线EC与平面ABE所成角。
2014-2015学年四川省绵阳市南山中学高二(下)期初数学试卷(文科)
2014-2015学年四川省绵阳市南山中学高二（下）期初数学试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共40.0分)1.若直线l1：2x+3y-1=0与直线l2：4x-my+2=0互相垂直，则m的值是（）A.m=1B.m=2C.m=D.m=【答案】C【解析】解：∵直线l1：2x+3y-1=0与直线l2：4x-my+2=0互相垂直，∴2×4+3（-m）=0，解得m=故选：C由垂直关系易得2×4+3（-m）=0，解方程可得．本题考查直线的一般式方程与垂直关系，属基础题．2.在直角坐标系x O y中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，极坐标方程为ρ=3cosθ，θ∈[0，]，表示的曲线为（）A.圆B.直线C.半圆D.线段【答案】C【解析】解：∵曲线的极坐标方程为ρ=3cosθ，θ∈[0，]，∴ρ2=3ρcosθ，θ∈[0，]，∴x2+y2=3x，x≥0，y≥0，∴，x≥0，y≥0，故曲线表示的一个半圆，故选：C由已知中曲线的极坐标方程为ρ=3cosθ，θ∈[0，]，化为普通方程，可判断曲线的形状．本题考查的知识点是简单曲线的极坐标方程，熟练掌握极坐标方程与普通方程的互化方法是解答的关键．3.如图所示是2014年某大学自主招生面试环节中，六位评委为某考生打出的面试分数的茎叶统计图，若该生笔试成绩90分，下列关于该同学成绩的说法正确的是（）A.面试成绩的中位数为83B.面试成绩的平均分为84C.总成绩的众数为173D.总成绩的方差与面试成绩的方差都是19【答案】C【解析】解：由题意，根据茎叶图，得；6位评委为某考生打出的分数从小到大依次是78，83，83，85，90，91．面试分数的众数为83，所以总成绩的众数为173，故选：C．根据茎叶图，把数据按从小到大的顺序排列，找出众数即可．本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了中位数与众数的应用问题，是基础题．4.曲线=1与曲线=1（k＜9）的（）A.长轴长相等B.短轴长相等C.离心率相等D.焦距相等【答案】D【解析】解：曲线=1表示焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为，焦距为8．曲线=1（k＜9）表示焦点在x轴上，长轴长为2，短轴长为2，离心率为，焦距为8．对照选项，则D正确．故选D．分别求出两椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，即可判断．本题考查椭圆的方程和性质，考查运算能力，属于基础题．5.已知20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下图所示．则成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数分别为（）A.2，3B.2，4C.3，2 D.4，2【答案】A【解析】解：根据频率分布直方图，得；（2a+3a+7a+6a+2a）×10=1，解得a=0.005；∴成绩落在[50，60）内的频率为2a×10=0.1，所求的学生人数为20×0.1=2；成绩落在[60，70）内的频率为3a×10=0.15，所求的学生人数为20×0.15=3．故选：A．根据频率和为1，求出a的值，再利用频率=频数，计算所求的学生人数即可．样本容量本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率、频数与样本容量的应用问题，是基础题目．6.从12个同类产品（其中10个是正品，2个是次品）中任意抽取3个的必然事件是（）A.3个都是正品B.至少有1个是次品C.3个都是次品D.至少有1个是正品【答案】D【解析】解：任意抽取3个一定会发生的事：最少含有一个正品，故选D任意抽取3个一定会发生的事：最少含有一个正品，根据题目条件选出正确结论，分清各种不同的事件是解决本题的关键．我们学过的事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；必然事件：在一定条件下必然发生的事件；不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件．7.直线y=kx+1与圆x2+y2-2y=0的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.取决于k的值【答案】A【解析】解：圆x2+y2-2y=0即x2+（y-1）2=1，表示以（0，1）为圆心，半径等于1的圆．圆心到直线y=kx+1的距离为=0，故圆心（0，1）在直线上，故直线和圆相交，故选A．根据圆的方程，先求出圆的圆心和半径，求出圆心到直线y=kx+1的距离，再和半径作比较，可得直线与圆的位置关系．本题主要考查求圆的标准方程的特征，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，属于中档题．8.执行如图所示的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的S=（）A.45B.50C.55D.66【答案】C【解析】解：∵输入N的值为10，第一次执行循环体后：S=1，k=2，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后：S=3，k=3，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后：S=6，k=4，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后：S=10，k=5，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后：S=15，k=6，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后：S=21，k=7，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后：S=28，k=8，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后：S=36，k=9，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后：S=45，k=10，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后：S=55，k=11，满足退出循环的条件；故输出的S值为：55，故选：C由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．9.与直线x+2y+4=0垂直的抛物线y=x2的切线方程是（）A.2x-y+3=0B.2x-y-3=0C.2x-y+1=0D.2x-y-1=0【答案】D【解析】解：设切点为（m，n），y=x2的导数为y′=2x，则切线的斜率为k=2m，由于切线与直线x+2y+4=0垂直，则k=2m=2，解得m=1，n=1，k=2，即有切线的方程为y-1=2（x-1），即为2x-y-1=0，故选：D．设切点为（m，n），求出导数，求得切线的斜率，再由两直线垂直的条件可得切线的斜率，解得m=1，n=1，k=2，由点斜式方程即可得到切线方程．本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义和两直线垂直的条件，正确求出导数和设出切点是解题的关键，属于基础题．10.椭圆mx2+ny2=1与直线x+y=1交于M，N两点，MN的中点为P，且OP的斜率为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0），∴①，②，由题意M，N在椭圆上，可得，两式相减可得m（x1-x2）（x1+x2）+n（y1-y2）（y1+y2）=0③，把①②代入③整理可得，故选：A．设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0）由①，②及M，N在椭圆上，可得利用点差法进行求解本题主要考查了直线与椭圆相交的位置关系，在涉及到与弦的斜率及中点有关时的常用方法有两个：①联立直线与椭圆，根据方程求解②利用“点差法”，而第二种方法可以简化运算，注意应用．二、填空题(本大题共5小题，共20.0分)11.在区间[-1，2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为______ ．【答案】【解析】解：利用几何概型，其测度为线段的长度．∵|x|≤1得-1≤x≤1，∴|x|≤1的概率为：P（|x|≤1）=．故答案为：．本题利用几何概型求概率．先解绝对值不等式，再利用解得的区间长度与区间[-1，2]的长度求比值即得．本题主要考查了几何概型，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．12.在空间直角坐标系中，点（-2，1，4）关于x轴的对称点的坐标是______ ．【答案】（-2，-1，-4）【解析】解：∵在空间直角坐标系中，点（x，y，z）关于x轴的对称点的坐标为：（x，-y，-z），∴点（-2，1，4）关于x轴的对称点的坐标为：（-2，-1，-4）．故答案为：（-2，-1，-4）．先根据空间直角坐标系对称点的特征，点（x，y，z）关于x轴的对称点的坐标为只须将横坐标、竖坐标变成原来的相反数即可，即可得对称点的坐标．本小题主要考查空间直角坐标系、空间直角坐标系中点的坐标特征等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．13.根据如图的程序语句，当输入X的值为2时，输出结果为______【答案】6【解析】解：本程序语句对应的功能是求函数y=，，＞，则当x=2时，y=2×（2+1）=2×3=6，故答案为：6根据程序语句，结合条件结果进行求解即可．本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件结果进行求解是解决本题的关键．14.直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆C：x2+y2=1分成长度相等的四段弧，则a2+b2= ______ ．【答案】2【解析】解：由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，∴==cos45°=，∴a2+b2=2，故答案为：2．由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，即==cos45°，由此求得a2+b2的值．本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，得到==cos45°是解题的关键，属于基础题．15.已知动圆M与圆O1：x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆O2：x2+y2-6x-91=0内切，曲线C为动圆圆心M的轨迹；则下列命题中：（1）动圆圆心M的轨迹方程是+=1；（2）若∠O1MO2=60°，则S=27；（3）以坐标原点为圆心半径为6的圆与曲线C没有公共点；（4）动点M（x，y），（y≠0）分别与两定点（-6，0），（6，0）连线的斜率之积为-，其中正确命题的序号是：______ ．【答案】（1）（4）【解析】解：对于（1）圆O1：x2+y2+6x+5=0，即（x+3）2+y2=4的圆心为（-3，0），半径为2；圆O2：x2+y2-6x-91=0，即（x-3）2+y2=4的圆心为（3，0），半径为10；设动圆圆心为M（x，y），半径为r；则|M01|=2+r，|MO2|=10-r；于是|M01|+|MO2|=12＞|O1O2|=6所以，动圆圆心M的轨迹是以O1（-3，0），O2（3，0）为焦点，长轴长为12的椭圆．a=6，c=3，b2=a2-c2=27；所以M的轨迹方程为+=1．故（1）正确；对于（2）∵|M01|=2+r，|MO2|=10-r，|O1O2|=6，由余弦定理得，|O1O2|2=|M01|2+|MO2|2-2|M01|•|MO2|cos60°，∴36=（2+r）2+（10-r）2-2（2+r）（10-r）cos60°，解得r=4，∴|M01|=6，|MO2|=6，∴S=|M01|•|MO2|•sin60=9，故（2）不正确；对于（3）∵M的轨迹方程为+=1，b＜6，a=6，∴以坐标原点为圆心半径为6的圆与曲线C有两个公共点，分别为（-6，0），（6，0），故（3）不正确；对于（4）动点M（x，y），（y≠0）分别与两定点（-6，0），（6，0）连线的斜率之积，为•===-=-，故（4）正确．故答案是：（1）（4）对于（1）求出两个圆的圆心与半径，设出动圆的圆心与半径，判断动圆的圆心轨迹，推出结果即可．对于（2），利用余弦定理，求出r，再根据三角形的面积公式计算即可，对于（3），根据b＜6，a=6，得到以坐标原点为圆心半径为6的圆与曲线C有两个公共点，对于（4），根据斜率公式，代入计算即可．本题主要圆和圆的位置关系，以及椭圆的定义和性质，余弦定理和正弦定理，属于中档题．三、解答题(本大题共4小题，共40.0分)16.已知直线l经过直线l1：2x+y-5=0与l2：x-2y=0的交点A，（1）当直线l在两坐标轴上的截距相等时，求直线l的方程；（2）当点B（5，0）到l的距离最大值时，求直线l的方程．【答案】解：（1）由得A（2，1）…（1分）设直线：，则∴a=3，∴l：x+y-3=0…（4分）当a=0时，l：x-2y=0…（6分）∴l：x+y-3=0或x-2y=0（2）由题意：当l⊥AB时，B到l的距离最大∵…（8分）∴直线l的方程y=3x-5…（10分）【解析】（1）首先求出A的坐标，因为直线在坐标轴的截距相等，所以分别设截距为0和相等但是不为0解答；（2）由题意，得到AB⊥直线l，求出l的斜率，利用点斜式求方程．本题考查了直线方程的求法；采用了待定系数法求参数；属于基础题．现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果；（Ⅱ）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．【答案】解：（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果有：（A，B）、（A，C）、（A，X）、（A，Y）、（A，Z）、（B，C）、（B，X）、（B，Y）、（B，Z）、（C，X）、（C，Y）、（C，Z）、（X，Y）、（X，Z ）、（Y，Z），共计15个结果．（Ⅱ）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，则事件M包含的结果有：（A，Y）、（A，Z）、（B，X）、（B，Z）、（C，X）、（C，Y），共计6个结果，故事件M发生的概率为=．【解析】（Ⅰ）用表中字母一一列举出所有可能的结果，共15个．（Ⅱ）用列举法求出事件M包含的结果有6个，而所有的结果共15个，由此求得事件M发生的概率．本题考主要查古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，列举法，是解决古典概型问题的一种重要的解题方法，属于基础题．18.已知点P（2，2），圆C：x2+y2-8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．（1）求M的轨迹方程；（2）当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．【答案】解：（1）由圆C：x2+y2-8y=0，得x2+（y-4）2=16，∴圆C的圆心坐标为（0，4），半径为4．设M（x，y），则，，，．由题意可得：．即x（2-x）+（y-4）（2-y）=0．整理得：（x-1）2+（y-3）2=2．∴M的轨迹方程是（x-1）2+（y-3）2=2．（2）由（1）知M的轨迹是以点N（1，3）为圆心，为半径的圆，由于|OP|=|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM．∵k ON=3，∴直线l的斜率为-．∴直线PM的方程为，即x+3y-8=0．则O到直线l的距离为．又N到l的距离为，∴|PM|==．∴．【解析】（1）由圆C的方程求出圆心坐标和半径，设出M坐标，由与数量积等于0列式得M的轨迹方程；（2）设M的轨迹的圆心为N，由|OP|=|OM|得到ON⊥PM．求出ON所在直线的斜率，由直线方程的点斜式得到PM所在直线方程，由点到直线的距离公式求出O到l的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出PM的长度，代入三角形面积公式得答案．本题考查圆的轨迹方程的求法，训练了利用向量数量积判断两个向量的垂直关系，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题．19.已知椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆的离心率为，且椭圆经过点，．（1）求椭圆C的标准方程；（2）线段PQ是椭圆过点F2的弦，且，求△PF1Q内切圆面积最大时实数λ的值．【答案】解：（1）设椭圆的标准方程为（a＞b＞0），则∵椭圆的离心率为，且椭圆经过点，，∴，，又a2=b2+c2，∴a2=4，b2=3，∴…（4分）（2）显然直线PQ不与x轴重合当直线PQ与x轴垂直时，|PQ|=3，|F1F2|=2，；…（5分）当直线PQ不与x轴垂直时，设直线PQ：x=ky+1，k≠0代入椭圆C的标准方程，整理，得（3+4k2）y2+6ky-9=0，…（7分）令t=3+4k2，∴＞，，∵＜＜，由上，得，∴当直线PQ与x轴垂直时最大，且最大面积为3…（10分）设△PF1Q内切圆半径r，则S=4r≤3，即，此时直线PQ与x轴垂直，△PF1Q内切圆面积最大∴，…（12分）【解析】（1）设椭圆的标准方程，利用椭圆的离心率为，且椭圆经过点，，结合a2=b2+c2，求出a2=4，b2=3，从而可求椭圆C的标准方程；（2）分类讨论，确定当直线PQ与x轴垂直时最大，进而可求△PF1Q内切圆面积最大时实数λ的值．本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查分类讨论的数学思想，考查三角形面积的计算，属于中档题．高中数学试卷第11页，共11页。
四川省绵阳南山重点中学2014-2015学年高二12月月考 数学文试题
2014-2015学年高二12月月考 数学文试题第I 卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、若直线024:0132:21=+-=-+my x l y x l 与直线互相垂直，则m 的值是（ ） ()A 1=m ()B 2=m ()C 38=m ()D 43=m 2、某大学数学系共有学生5 000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4∶3∶2∶1，要用分层抽样的方法从数学系所有学生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为 （ ） (A) 80 (B) 40 (C) 60 (D) 20 3、在圆06222=--+y x y x 内，过点E(0，1)的最短弦AC 的长度为（ ）（A ）25 (B)52 (C) 5 (D)2204、 阅读程序框图,运行相应的程序,当输入x 的值为25-时, 输出x 为 ( )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 45、过点(0,1)与抛物线22(0)y px p =>只有一个公共点的直线的条数是（ ）()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 3 6、对任意实数[),,2+∞∈a ，点)2,(a a P -与圆04:22=-+y y x C 的位置关系是（A ）点P 在圆上 (B)点P 在圆外(C ) 点P 在圆内 或圆上 (D ）点P 在圆外或圆上7、设线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动， 且|AB|=4，点是线段AB 的中点，则点M 的轨迹方程是（A ）14922=+y x (B). 422=+y x (C). 422=-y x ( D)192522=+x y8、设关于x 的函数b ax x x f -+=2)(，从集合{}30≤≤=x x A 中任取一个元素为a ，从集合{}20≤≤=x x B 中任取一个元素为b ，则使1)1(≥f 的概率为 （ ）． （A ）32 (B)31 (C) 41 (D)529、已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足21MF MF ⊥的点M 总在椭圆内，则椭圆离心率的取值范围是(A) (12,1) (B) (0,12] (C) (0,22) (D) [22,1)10、已知直线)0)(2(>+=k x k y 与抛物线C x y 82=相交A 、B 两点，F 为C 的焦点。
四川省绵阳市高中2014-2015学年高二第二学期期末教学质量测试数学文试题
四川省绵阳市高中2013级第二学年末教学质量测试数学（文科）第I 卷（选择题，共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、复数1z ，2z 互为共轭复数，若112z i =-，则12z z -=（ ）A ．4i -B ．4iC ．0D ．2 2、()f x '是定义在R 上的函数()f x 的导函数，0R x ∈，设命题:P ()00f x '=；命题Q :0x x =是函数()f x 的极值点，则P 是Q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3、不等式1101x ->-的解集是（ ） A ．()2,+∞ B ．(),1-∞ C ．()1,2 D ．()(),12,-∞+∞4、设x ，R y ∈，若0x y ->，则下列不等式中正确的是（ ） A ．11x y< B ．11x y > C ．22x y < D ．22x y >5、以下命题正确的个数是（ ）①命题“R x ∀∈，sin 0x >”的否定是“R x ∃∈，sin 0x ≤”．②命题“若2120x x +-=，则4x =”的逆否命题为“若4x ≠，则2120x x +-≠”． ③若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6、设曲线12x y e ax =+在点()0,1处的切线与直线210x y +-=垂直，则实数a =（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0 7、已知函数()32f x ax bx c =++，其导函数()f x '的图象如图，则函数()f x 的极小值为（ ）A ．cB ．a b c ++C ．84a b c ++D ．32a b +8、若实数x ，y 满足22002x y x y -+<⎧⎪>⎨⎪<⎩，则1y x -的取值范围为（ ）A ．()(),12,-∞-+∞B ．()(),10,2-∞-C ．()()1,00,2-D ．()1,2-9、设0a >，1b >，若2a b +=，且不等式24181m m a b +>+-恒成立，则m 的取值范围是（ ）A ．9m >或1m <- B ．1m >或9m <- C ．91m -<< D ．19m -<< 10、若函数()cos f x kx x x =+在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则k 的最小值是（ ）A ．1B ．1-C ．2π-D ．2π 第II 卷（非选择题，共60分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．） 11、已知R b ∈，若()()12bi i +-为纯虚数，则1bi += ．12、若曲线ln y ax x =-在()1,a 处的切线平行于x 轴，则实数a = ． 13、若点()2,3A 与点()01,y B 位于直线:l 250x y -+=的两侧，则0y 的取值范围是 ．14、函数()24f x x x =++-的最小值为 ．15、函数()3123f x x x =-+，()3x g x m =-，若对[]11,5x ∀∈-，[]20,2x ∃∈，()()12f x g x ≥，则实数m 的最小值是 ．三、解答题（本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16、（本小题满分10分）已知命题:p对于a ⎡∈-⎣，不等式1m -≤立，命题:q 不等式20x mx m ++<有解，若p q ∨为真，且p q ∧为假，求实数m 的取值范围．17、（本小题满分10分）已知某公司生产一种零件的年固定成本是3万元，每生产1千件，须另投入2万元，设该公司年内共生产该零件x 千件并全部销售完，每1千件的销售收入为()R x 万元，且()()()225.601030R 133125010x x x x xx ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩． ()1写出年利润()W x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；()2当年产量为多少千件时，该公司在这种零件的生产中所获利润最大？（注：年利润=年销售收入-年总成本）18、（本小题满分10分）设函数()321262a f x ax x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，()ln g x m x =，其中0a ≠．()1若函数()y g x =的图象恒过定点P ，且点P 在函数()y f x =的图象上，求函数()y f x =在点P 处的切线方程；()2当4m =时，设()()()F x f x g x '=-（其中()f x '是()f x 的导函数），试讨论()F x 的单调性．19、（本小题满分10分）已知()ln f x mx x =-（0x e <≤），()ln xg x x=，其中e 是自然对数的底数，R m ∈．()1当1m =时，求函数()f x 的单调区间和极值；()2求证：当1m =时，()()11f x g x e >+-；()3是否存在实数m ，使()f x 的最小值是2？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．绵阳市高2013级第二学年末考试数学（文科）参考答案及评分意见一、选择题：每小题4分，共40分．1．A 2．B 3．D 4．D 5．C 6．B 7．C 8．A 9．C 10．D 二、填空题：每小题4分，共20分．11．512．113．(3，+∞)14．615．14三、解答题：共40分．16．解：∵ [2a ∈-，∴∈[2，3]．∵ 对于[2a ∈-，不等式|1|m -恒成立，可得|1|m -≤2，∴ p ：-1≤m ≤3． ……………………………………………………………………2分 又命题q ：x 2+mx +m <0有解，∴ Δ=m 2-4m >0，解得 m <0或m >4． ………………………………………………4分 ∵ p ∨q 为真，且p ∧q 为假，∴ p 与q 必有一真一假． ……………………………………………………………5分当p 真q 假时，有⎩⎨⎧≤≤≤≤-，，4031m m 即0≤m ≤3；…………………………………………7分当p 假q 真时，有1340m m m m <->⎧⎨><⎩或，或，即m <-1或m >4．………………………………9分综上，实数m 的取值范围是(1)-∞-，∪[0，3] ∪(4)+∞，．……………………10分 17．解：（1）当0<x ≤10时，W (x )=xR (x )-(3+2x )=3306.33--x x ． 当x >10时，W (x )= xR (x )-(3+2x )=x x21250130--，∴ 33.63(010)30()12501302(10)x x x W x x x x ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎪-->⎪⎩，．…………………………………………………3分 （2）①当0<x ≤10时，由()W x '=23.610x -=0，得x =6，又当x ∈(6，10)时，()W x '<0，即W (x )在(6，10)上是减函数， 当x ∈(0，6)时，()W x '>0，即W (x )在(0，6)上是增函数，∴ 当x =6时，W (x )max = W (6) =4.11330666.33=--⨯． ②当x >10，W =)21250(130********x x x x +-=--≤130-2x x21250⨯=30， 当且仅当x x21250=时，即x =25时，W (x )max =30， 由①②知，当x =25千件时，W 取最大值30万元．………………………………10分 18．解：（1）P 点为（1，0），又点P 在y =f (x )的图象上，所以0=2261-+aa ，解得a =3， ∴ 232121)(x x x f -=． 于是x x x f -='223)(， ∴ y =f (x )在点P 处的切线的斜率为k =21)1(='f ． ∴ y =f (x )在点P 处的切线方程为210x y --=． …………………………………4分（2）当m =4时，x x a ax x x f x F ln 4)4(21ln 4)()(2--+=-'=，（x >0）， ∴ 24(4)4(1)(4)()(4)ax a x x ax F x ax a x x x+--+-'=+--==．当a <0时，因为x >0，所以0)(<'x F ，所以F (x )在(0，+∞)上为减函数； 当a >0时，由0)(>'x F 得a x 4>，由0)(<'x F 得ax 40<<，∴ F (x )在(0，a 4)上为减函数，在(a4，+∞)上为增函数． 综上，当a <0时，F (x )在(0，+∞)上为减函数；当a >0时，F (x )在(0，a4)上为减函数，在(a4，+∞)上为增函数．……………………………………………………………10分 19．解：（1）∵ f (x )=x -ln x ，∴xx x x f 111)(-=-='，(0)x e <≤ 由()0f x '>得1<x <e ，由0)(<'x f 得0<x <1∴ ()f x 的单调递减区间为(01)，，单调递增区间为(1，e )； ∴ ()f x 的极小值为(1)1f =．…………………………………………………………3分 （2）由（1）知()f x 的极小值为1，也就是()f x 在]0(e ，上的最小值为1， 令h (x )=1()1g x e +-=ln 11x x e +-，21ln ()xh x x-'=， 当0<x <e 时，0)(>'x h ，所以h (x )在]0(e ，上单调递增， ∴ h (x )max = h (e )=1111ee+-=． ∵ max ()()1h x h e ==与min ()(1)1f x f ==不同时取到，∴ ()()f x h x > 即1()()1f x g x e>+-.………………………………………………6分 （3）假设存在实数m ，使f (x )=mx -ln x (x ∈]0(e ，)有最小值2，11()mx f x m x x-'=-=． ①当m ≤0时，f (x )在]0(e ，上单调递减， ()f x min =f (e )=me -1=2，解得m =30e>，舍去．②当0<1m <e 时，因为f (x )在(0，1m)上单调递减，在1(]e m ，上单调递增，所以()f x min =f (1m)=1+ln m =2，解得m =e ，满足条件． ③当1m≥e 时，因为f (x )在]0(e ，上单调递减， 所以()f x min =f (e )=me -1=2，解得m =3e ，不满足1m≥e ，舍去．综上，存在实数m =e ，使得当x ∈]0(e ，时f (x )有最小值2．……………………10分。
2015绵阳南山中学文科数学模式试题
汇智百年—品质教育领导者全程个性化辅导Hui zhi Education Co., Ltd.四川省绵阳市南山中学2015届高考数学模拟试卷（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将答案填在答题卷相应表格内.1．已知i为虚数单位，a∈R，若为纯虚数，则复数z=（2a+1）+i的模为( )A．B．C．D．2．已知集合A={x|2x2﹣x﹣1≥0}，B={x|y=}，则A∩B=( )A．（0，1）B．（0，1]C．（1，+∞）D．④f（x）=sinx﹣cosx，其中属于“同簇函数”的是( )A．①②B．①④C．②③D．③④8．已知双曲线﹣=1，过其左焦点F作圆x2+y2=a2的两条切线，切点记作C，D，原点为O，∠COD=，其双曲线的离心率为( )A．B．2 C．D．9．已知定义在R上的函数f（x）满足f（1）=1，且对于任意的x，f′（x）恒成立，则不等式f（lg2x）＜+的解集为( )A．（0，）B．（10，+∞）C．（，10）D．（0，）∪（10，+∞）10．如图所示几何体中，AB∥CD∥EG，∠ABC=90°，CD=EG=AB，平面BCEF⊥平面ABCD，点M为侧面BCEF内的一个动点，若点M到直线EG的距离与到平面ABCD的距离相等，则点M在侧面BCEF内的轨迹是( )A．一条线段B．圆的一部分C．抛物线的一部分D．椭圆的一部分二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卷相应横线上.11．如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为__________．12．已知点P（x，y）是满足的区域内的动点，则的取值范围是__________．13．已知x是1，2，3，x，5，6，7这7个数据的中位数，且1，2，x2，﹣y这四个数据的平均数为1，则y﹣的最小值为__________．14．已知偶函数f（x）满足f（x）﹣f（x+2）=0，且当x∈时，f（x）=x•e x，若在区间内，函数g（x）=f（x）﹣kx﹣2k有且仅有3个零点，则实数k的取值范围是__________．15．对于具有相同定义域D的函数f（x）和g（x），若存在x∈D，使得|f（x）﹣g（x）|＜1，则f（x）和g（x）在D上是“亲密函数”．给出定义域均为D=（0，1）的四组函数如下：①f（x）=lnx﹣1，g（x）=②f（x）=x3，g（x）=3x﹣1③f（x）=e x﹣2x，g（x）=﹣x ④f（x）=x﹣，g（x）=其中，函数f（x）和g（x）在D上是“亲密函数”的是__________．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．先将函数f（x）=cos（2x+）的图象上所有的点都向右平移个单位，再把所有的点的横坐标都伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．（1）求函数g（x）的解析式和单调递减区间；（2）若A为三角形的内角，且g（A）=，求f（）的值．17．某工厂生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：大于或等于7.5为正品，小于7.5为次品．现从一批产品中随机抽取这两种元件各5件进行检测，检测结果记录如下：A 7 7 7.5 9 9.5B 6 x 8.5 8.5 y由于表格被污损，数据x，y看不清，统计员只记得x＜y，且A，B两种元件的检测数据的平均值相等，方差也相等．（1）求表格中x与y的值；（2）从被检测的5件B种元件中任取2件，求2件都为正品的概率．18．已知各项均为正数的等比数列{a n}的首项a1=2，S n为其前n项和，若5S1，S3，3S2成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，c n =，记数列{c n}的前n项和为T n．若对于任意的n∈N*，T n≤λ（n+4）恒成立，求实数λ的取值范围．19．已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC=2AD=4，M是BC边的中点，E，F分别是AB，CD上的点，且EF∥BC，设AE=x．如图，沿EF将四边形AEFD折起，使平面AEFD⊥平面EBCF．（1）当x=2时，求证：BD⊥EM；（2）当x变化时，求四棱锥D﹣BCEF的体积f（x）的函数式．汇智百年—品质教育领导者全程个性化辅导Hui zhi Education Co., Ltd.20．已知椭圆C：=1，（a＞b＞0），直线（m+3）x+（1﹣2m）y﹣m﹣3=0（m∈R）恒过的定点F为椭圆的一个焦点，且椭圆上的点到焦点F的最大距离为3，（1）求椭圆C的方程；（2）若直线MN为垂直于x轴的动弦，且M、N均在椭圆C上，定点T（4，0），直线MF与直线NT交于点S．求证：①点S恒在椭圆C上；②求△MST面积的最大值．21．设函数f（x）=2ax2+（a+4）x+lnx．（Ⅰ）若f（x）在x=处的切线与直线4x+y=0平行，求a的值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若函数y=f（x）的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明f′（x0）＜0．四川省绵阳市南山中学2015届高考数学模拟试卷（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将答案填在答题卷相应表格内.1．已知i为虚数单位，a∈R ，若为纯虚数，则复数z=（2a+1）+i的模为( )A ．B ．C ．D ．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数的基本运算，即可得到结论．解答：解：==，若为纯虚数，则，解得a=，则z=（2a+1）+i=z=2+i，则复数z=（2a+1）+i 的模为，故选：C点评：本题主要考查复数的有关概念，利用复数的基本运算求出a的值是解决本题的关键，比较基础．2．已知集合A={x|2x2﹣x﹣1≥0}，B={x|y=}，则A∩B=( )A．（0，1）B．（0，1]C．（1，+∞）D．专题：集合．分析：求出集合A，B的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．解答：解：A={x|2x2﹣x﹣1≥0}={x丨x≥1或x ≤}，B={x|y=}={x 丨}={x丨x＞1}，则A∩B={x丨x＞1}，故选：C点评：本题主要考查集合的基本运算，利用条件求出集合A，B是解决本题的关键．3．直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，则“k=1”是“|AB|=”的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：直线与圆；简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义结合直线和圆相交的弦长公式进行判断即可．解答：解：∵直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，∴圆心到直线的距离d=，则|AB|=2=2，当k=1时，|AB|=，即充分性成立，若|AB|=，则，即k2=1，解得k=1或k=﹣1，即必要性不成立，故“k=1”是“|AB|=”的充分不必要条件，故选：A点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断以及直线和圆相交的弦长的计算，根据弦长公式是解决本题的关键．4．已知向量=（1，），=（3，m）．若向量在方向上的投影为3，则实数m=( )A．2B ．C．0 D ．﹣考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由投影的定义即得，解出m即可．解答：解：根据投影的定义：；∴解得m=．故选：B．点评：考查投影的概念，向量夹角的余弦公式，向量数量积的坐标运算，以及根据向量坐标求向量长度．5．当m=6，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为( )汇智百年—品质教育领导者 全程个性化辅导Hui zhi Education Co., Ltd.A ．6B ．30C ．120D ．360考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S ，k 的值，当k=3时，满足条件k ＜m ﹣n+1=4，退出循环，输出S 的值为120．解答： 解：模拟执行程序框图，可得 m=6，n=3 k=6，S=1，不满足条件k ＜m ﹣n+1=4，S=6，k=5 不满足条件k ＜m ﹣n+1=4，S=30，k=4 不满足条件k ＜m ﹣n+1=4，S=120，k=3满足条件k ＜m ﹣n+1=4，退出循环，输出S 的值为120． 故选：C ．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的S ，k 的值是解题的关键，属于基本知识的考查．6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．B ．C ．16D ．32考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，由三视图判断四棱锥的高为4，底面是对角线长为4的正方形，求出正方形的边长，把数据代入棱锥的体积公式计算．解答： 解：由三视图知：几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，高为2， 四棱锥的底面是对角线长为4的正方形， ∴底面正方形的边长为2， ∴几何体的体积V=××2=．故选：A ．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是关键．7．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数： ①f （x ）=sinxcosx ， ②f （x ）=sin2x+2，③f （x ）=2sin （x+），④f （x ）=sinx ﹣cosx ，其中属于“同簇函数”的是( ) A ．①② B ．①④ C ．②③ D ．③④考点：判断两个函数是否为同一函数． 专题：函数的性质及应用．分析：利用三角函数的倍角公式、两角和差的正弦公式、平移变换，再根据“同簇函数”的意义即可得出．解答： 解：∵①f （x ）=sinxcosx=，②f （x ）=sin2x+2，③f （x ）=2sin （x+）， ④f （x ）=sinx ﹣cosx=2=，∴只有③经过相右平移个单位可得④．因此③④为“同簇函数”．故选：D ．点评：本题考查了三角函数的倍角公式、两角和差的正弦公式、平移变换、新定义，属于基础题．8．已知双曲线﹣=1，过其左焦点F 作圆x 2+y 2=a 2的两条切线，切点记作C ，D ，原点为O ，∠COD=，其双曲线的离心率为( )A ．B ．2C ．D ．考点：双曲线的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意可先求得∠COF 利用OF 和OC ，在直角三角形中求得的值，进而可求得双曲线的离心率解答： 解解：如图，由题知OC ⊥CF ，OD ⊥DF 且∠COD=， ∴∠COF=，又OC=a ，OF=c ，∴==cos=， ∴e==2． 故选B ．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的过程中采用了数形结合的思想，使问题的解决更直观．9．已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （1）=1，且对于任意的x ，f ′（x ）恒成立，则不等式f （lg 2x）＜+的解集为( ) A ．（0，）B ．（10，+∞）C ．（，10）D ．（0，）∪（10，+∞）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：设g （x ）=f （x ）﹣x ，由f ′（x ）＜，得到g ′（x ）小于0，得到g （x ）为减函数，将所求不等式变形后，利用g （x ）为减函数求出x 的范围，即为所求不等式的解集．解答： 解：设g （x ）=f （x ）﹣x ，由f ′（x ）＜，得到g ′（x ）=f ′（x ）﹣＜0， ∴g （x ）为减函数． 又f （1）=1， ∵f （lg 2x ）＜+，∴g （lg 2x ）=f （lg 2x ）﹣lg 2x ＜+﹣lg 2x==f （1）﹣=g （1）=g （lg 210），∴lg 2x ＜lg 210， ∴（lgx+lg10）（lgx ﹣lg10）＜0， ∴﹣lg10＜lgx ＜lg10，解得＜x ＜10，故选：C点评：本题考查了其他不等式的解法，涉及的知识有：利用导数研究函数的增减性，对数函数的单调性及特殊点，以及对数的运算性质，是一道综合性较强的试题，属于中档题10．如图所示几何体中，AB ∥CD ∥EG ，∠ABC=90°，CD=EG=AB ，平面BCEF ⊥平面ABCD ，点M 为侧面BCEF 内的一个动点，若点M 到直线EG 的距离与到平面ABCD 的距离相等，则点M 在侧面BCEF 内的轨迹是()A ．一条线段B ．圆的一部分C ．抛物线的一部分D ．椭圆的一部分考点：轨迹方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：先证明EG ⊥平面BCEF ，可得ME 为点M 到直线EG 的距离，由点M 到直线EG 的距离与到平面ABCD 的距离相等，可得M 到定点E 的距离等于M 到直线BC 的距离，利用抛物线的定义，即可得出结论． 解答： 解：∵∠ABC=90°，平面BCEF ⊥平面ABCD ， ∴AB ⊥平面BCEF ， ∵AB ∥EG ，∴EG ⊥平面BCEF ， ∵EM ⊂平面BCEF ，∴EG ⊥EM ，即ME 为点M 到直线EG 的距离，∵点M 到直线EG 的距离与到平面ABCD 的距离相等， ∴M 到定点E 的距离等于M 到直线BC 的距离， ∴点M 在侧面BCEF 内的轨迹是抛物线的一部分． 故选：C ．点评：本题考查轨迹方程，考查抛物线的定义，考查线面垂直，考查学生分析解决问题的能力，正确运用抛物线的定义是关键．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卷相应横线上.11．如图，在△ABC 中，∠B=45°，D 是BC 边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB 的长为．汇智百年—品质教育领导者全程个性化辅导Hui zhi Education Co., Ltd.考点：余弦定理．专题：综合题．分析：先根据余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根据正弦定理可得答案．解答：解：在△ADC中，AD=5，AC=7，DC=3，由余弦定理得cos∠ADC==﹣，∴∠ADC=120°，∠ADB=60°在△ABD中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理得，∴AB=故答案为：．点评：本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，在解决问题的过程中要灵活运用正弦定理和余弦定理．属基础题．12．已知点P（x，y）是满足的区域内的动点，则的取值范围是；1，2，x2，﹣y的平均数为1，∴1+2+x2﹣y=4×1，∴y=x2﹣1；∴y﹣=x2﹣1﹣，设t=x2﹣1﹣，则t′=x+，当x∈时，t′＞0，t是增函数，在x=3时，有最小值t=32﹣1﹣=；即y﹣的最小值是；故答案为：．点评：本题考查了中位数，平均数以及函数的性质与应用问题，是一个综合性题目．14．已知偶函数f（x）满足f（x）﹣f（x+2）=0，且当x∈时，f（x）=x•e x，若在区间内，函数g（x）=f（x）﹣kx﹣2k有且仅有3个零点，则实数k的取值范围是（）．考点：函数的周期性；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由f（x）﹣f（x+2）=0得f（x）=f（x+2），得到函数的周期是2，由g（x）=f（x）﹣kx﹣2k=0，得到f（x）=k（x+2），作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论．解答：解：∵f（x）﹣f（x+2）=0，∴f（x）=f（x+2），即函数的周期是2，∵当x∈时，f（x）=x•e x，∴根据增函数的性质可知，此时函数f（x）单调递增，且f（0）=0，f（1）=e，∴当x∈时，f（x）=f（﹣x）=﹣x•e﹣x，由g（x）=f（x）﹣kx﹣2k=0，得到f（x）=k（x+2），作出两个函数f（x）和g（x）=k（x+2）在的图象，由图象可知当x=1时，f（1）=e，当x=3时，f（3）=f（1）=e，即B（1，e），C（3，e），当直线y=k（x+2）经过点B（1，e）时，此时两个函数有2个交点，此时e=3k，解得k=，直线y=k（x+2）经过点C（3，e）时，此时两个函数有4个交点，此时e=5k，解得k=，∴要想使函数g（x）=f（x）﹣kx﹣2k有且仅有3个零点，则直线应该位于直线AB和AC之间，∴此时直线的斜率k满足，故k的取值范围是（），故答案为：（）点评：本题主要考查函数零点个数的应用，利用函数的周期性和单调性之间的关系，将方程转化为两个函数，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强．15．对于具有相同定义域D的函数f（x）和g（x），若存在x∈D，使得|f（x）﹣g（x）|＜1，则f（x）和g（x）在D上是“亲密函数”．给出定义域均为D=（0，1）的四组函数如下：①f（x）=lnx﹣1，g（x）=②f（x）=x3，g（x）=3x﹣1③f（x）=e x﹣2x，g（x）=﹣x ④f（x）=x﹣，g（x）=其中，函数f（x）和g（x）在D上是“亲密函数”的是②④．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数的图象．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：分析：根据新定义，构造新函数h（x）=f（x）﹣g（x），利用导数的方法确定函数的单调性，从而确定函数的值域，利用若对任意的x∈D，都有|f（x）﹣g（x）|＜1，则称f（x）和g（x）在D上是“亲密函数”，即可得到结论解答：解：①设h（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣1﹣，∴h'（x）==∵0＜x＜1，∴h'（x）＞0，即h（x）在（0，1]上单调增，∵h（1）=﹣1，∴h（x）＜﹣1，∴对任意的x∈D，都有|f（x）﹣g（x）|＞1，∴函数f（x）和g（x）在D上不存在“亲密函数”；②设h（x）=f（x）﹣g（x）=x3﹣3x+1，∴h′（x）=3x2﹣3∵0＜x＜1，∴h′（x）＜0，函数单调递减．∵h（0）=1，h（1）=﹣1，∴﹣1＜h（x）＜1，即|h（x）|＜1，即存在x∈D，都有|f（x）﹣g（x）|＜1．③设h（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣x，∴h′（x）=e x﹣1∵0＜x＜1，∴h′（x）＞0∴h（x）在上单调增，∵h（0）=1，h（1）=e﹣1＞1∴不满足对任意的x∈D，都有|f（x）﹣g（x）|＜1．④设h（x）=f（x）﹣g（x）=x ﹣﹣当x=0时满足题意，当x≠0时，h′（x）=，由h'（x）=0得，x=，∵0＜x＜1，∴当x=时，函数取得极小值，即h （）==．∴存在x∈D，都有|f（x）﹣g（x）|＜1，∴函数f（x）和g（x）在D上为“亲密函数”；故答案为：②④．点评：本题是一道新定义题，要理清定义的条件和结论，将问题转化为已知的去解决，主要涉及了函数的单调性，函数的最值求法等．综合性较强难度较大．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．先将函数f（x）=cos（2x+）的图象上所有的点都向右平移个单位，再把所有的点的横坐标都伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．（1）求函数g（x）的解析式和单调递减区间；（2）若A为三角形的内角，且g（A）=，求f （）的值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的单调性；余弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）依题意，易求g（x）=sin（x ﹣），利用正弦函数的单调性可求得函数g（x）的单调递减区间；（2）由（1）知，g（A）=sin（A ﹣）=，易知0＜A ﹣＜，于是得cos（A ﹣）=，f （）=sinA=sin，利用两角和的正弦即可求得答案．解答：解：（1）∵f（x）=cos（2x+）=sin2x，∴依题意，有g（x）=sin（x ﹣），由+2kπ≤x ﹣≤+2kπ得：+2kπ≤x ≤+2kπ，k∈Z．∴g（x）=sin（x ﹣），且它的单调递减区间为k∈Z．（2）由（1）知，g（A）=sin（A ﹣）=，∵0＜A＜π，∴﹣＜A ﹣＜，又0＜sin（A ﹣）＜，∴0＜A ﹣＜，∴cos（A ﹣）=，∴f （）=sinA=sin=×+×=．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查正弦函数的单调性，考查诱导公式与两角和的正弦，考查转化思想与综合运算能力，属于中档题．17．某工厂生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：大于或等于7.5为正品，小于7.5为次品．现从一批产品中随机抽取这两种元件各5件进行检测，检测结果记录如下：A 7 7 7.5 9 9.5B 6 x 8.5 8.5 y由于表格被污损，数据x，y看不清，统计员只记得x＜y，且A，B两种元件的检测数据的平均值相等，方差也相等．（1）求表格中x与y的值；（2）从被检测的5件B种元件中任取2件，求2件都为正品的概率．考点：古典概型及其概率计算公式．汇智百年—品质教育领导者 全程个性化辅导Hui zhi Education Co., Ltd.专题：概率与统计．分析：（1）由已知中A ，B 两种元件的检测数据的平均值相等，方差也相等，可得x+y=17且（x ﹣8）2+（y﹣8）2=1，结合x ＜y ，可求出表格中x 与y 的值； （2）从被检测的5件B 种元件中任取2件，共有=10种不同的情况，记“抽取2件都为正品”为事件A ，则事件A 共包含=6种不同的情况，进而可求得结果．解答： 解：（1）∵=（7+7+7.5+9+9.5）=8，=（6+x+8.5+8.5+y ），∵=，∴x+y=17…① ∵=（1+1+0.25+1+2.25）=1.1，=，∵=，∴（x ﹣8）2+（y ﹣8）2=1…②由①②结合x ＜y 得：x=8，y=9．（2）记被检测的5件B 种元件为：A ，B ，C ，D ，E ，其中A ，B ，C ，D 为正品，从中选取的两件为（x ，y ） 则共有=10种不同的情况，分别为：（A ，B ），（A ，C ），（A ，D ），（A ，E ），（B ，C ）， （B ，D ），（B ，E ），（C ，D ），（C ，E ），（D ，E ）， 记“抽取2件都为正品”为事件A ， 则事件A 共包含=6种不同的情况，分别为：（A ，B ），（A ，C ），（A ，D ），（B ，C ），（B ，D ），（C ，D ）， 故P （A ）==，即2件都为正品的概率为．点评：本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，平均数与方差，是统计与概率的综合应用，但难度不大，属于基础题．18．已知各项均为正数的等比数列{a n }的首项a 1=2，S n 为其前n 项和，若5S 1，S 3，3S 2成等差数列． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n =log 2a n ，c n =，记数列{c n }的前n 项和为T n ．若对于任意的n ∈N *，T n ≤λ（n+4）恒成立，求实数λ的取值范围．考点：数列与不等式的综合；数列的求和；等比数列的性质． 专题：综合题；等差数列与等比数列． 分析：（1）由5S 1，S 3，3S 2成等差数列，利用性质建立方程，再用首项与公比将此方程转化为关于公比的等式，解出公比的值得出通项；（2）依次求出b n 、c n ，根据所得出的形式，裂项求和即可．解答： 解：（1）设{a n }的公比为q ．∵5S 1，S 3，3S 2成等差数列，∴2S 3=5S 1+3S 2． 即，化简得2q 2﹣q ﹣6=0， 解得：q=2或．由已知，q=2．∴．…（2）由b n =log 2a n 得．∴．∴．… ∴…∵，当且仅当即n=2时等号成立，∴．∴实数λ的取值范围是．…点评：本题考查等差数列的性质，求和公式，数列求和的技巧，不等式恒成立的转化，综合性质较强，解答时要细致认真，才能解答完整．19．已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC=2AD=4，M 是BC 边的中点，E ，F 分别是AB ，CD 上的点，且EF ∥BC ，设AE=x ．如图，沿EF 将四边形AEFD 折起，使平面AEFD ⊥平面EBCF ． （1）当x=2时，求证：BD ⊥EM ；（2）当x 变化时，求四棱锥D ﹣BCEF 的体积f （x ）的函数式．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定． 专题：空间位置关系与距离． 分析：（1）作DH ⊥EF 于H ，连结BH ，MH ，EM ，证明DH ⊥平面EBCF ．然后推出EM ⊥平面BDH ．即可证明EM ⊥BD ．（2）设DH=AE=x 为四棱锥D ﹣BCFE 的高，求出底面面积然后求解体积的函数解析式． 解答： 解析：（1）证明：如图，作DH ⊥EF 于H ，连结BH ，MH ，EM ，∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，∴DH ⊥平面EBCF ．又EM⊂平面EBCF，∴EM⊥DH ．∵，EF∥BC，∠EBC=90°，∴四边形BMHE为正方形，∴EM⊥BH．∴EM⊥平面BDH．又BD⊂平面BDH，∴EM⊥BD．…（2）由（1）知，DH=AE=x为四棱锥D﹣BCFE的高，∵AE=x，∴BE=4﹣x ，，∴=，∴．…点评：本题考查直线与平面垂直的判断与性质定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20．已知椭圆C ：=1，（a＞b＞0），直线（m+3）x+（1﹣2m）y﹣m﹣3=0（m∈R）恒过的定点F为椭圆的一个焦点，且椭圆上的点到焦点F的最大距离为3，（1）求椭圆C的方程；（2）若直线MN为垂直于x轴的动弦，且M、N均在椭圆C上，定点T（4，0），直线MF与直线NT交于点S．求证：①点S恒在椭圆C上；②求△MST面积的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）化直线方程为直线系方程，然后联立方程组求出定点F的坐标，得到c的值，然后由椭圆上的点到焦点F的最大距离为3得到a+c=3，求出a的值，结合b2=a2﹣c2可得b得值，则答案可求；（2）①设出直线MN的方程，求出M和N的坐标，然后写出MF和NF所在的直线方程，联立后得到S点的坐标，代入椭圆方程后成立，则问题得到证明．②设出直线MS的方程，和椭圆方程联立后化为关于y的一元二次方程，利用根与系数关系得到M，S两点的纵坐标的和与积，然后代入面积公式，换元后利用“对勾函数”的单调性求得答案．解答：解：（1）直线（m+3）x+（1﹣2m）y﹣m﹣3=0可化为m（x﹣2y﹣1）+3x+y﹣3=0，所以，解得．所以F（1，0）．则c=1，又a+c=3，所以a=2，则b2=a2﹣c2=3．所以椭圆方程为；（2）①设直线MN的方程为x=s，M的坐标为（s，t），N的坐标为（s，﹣t）．且s、t满足3s2+4t2=12．MF 的直线方程为，NT 的直线方程为．联立解得交点S （），代入椭圆方程3x2+4y2=12得，3（5s﹣8）2+36t2=12（2s﹣5）2，化简得：3s2+4t2=12．所以点S恒在椭圆C上；②直线MS过点F（1，0），设方程为x=my+1，M（x1，y1），S（x2，y2）．．联立，得（3m2+4）y2+6my﹣9=0．，．所以．设m2+1=u（u≥1），则=．由对勾函数可知9u+在（）上位减函数，（）上为增函数，所以的最小值为10．所以．点评：本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线和圆锥曲线的关系，训练了“设而不求”的解题方法，考查了利用函数的单调性求最值，该题综合性较强，需要学生具有较好的理解能力和计算能力，是难题．21．设函数f（x）=2ax2+（a+4）x+lnx．（Ⅰ）若f（x）在x=处的切线与直线4x+y=0平行，求a的值；汇智百年—品质教育领导者 全程个性化辅导Hui zhi Education Co., Ltd.弟21页/（共22页） 弟22页/（共22页）（Ⅱ）讨论函数f （x ）的单调区间；（Ⅲ）若函数y=f （x ）的图象与x 轴交于A ，B 两点，线段AB 中点的横坐标为x 0，证明f ′（x 0）＜0．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性． 专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）利用求导公式求出导数并化简，由导数的几何意义和题意可得f ′（）=﹣4，解出a 的值即可；（Ⅱ）对导数因式分解后，再求出函数f （x ）的定义域，然后在定义域内分a ≥0，a ＜0两种情况，解不等式f ′（x ）＞0，f ′（x ）＜0可得函数的单调区间；（Ⅲ）设出函数y=f （x ）的图象与x 轴交于A ，B 两点的横坐标，利用分析法和根据（II ）结论进行证明，根据要证明的结论和分析的过程，利用放缩法、换元法、构造函数法解答，再利用导数求出函数的最值，即可证明结论．解答： 解：（I ）由题知f （x ）=2ax 2+（a+4）x+lnx ， 则．又∵f （x ）的图象在x=处的切线与直线4x+y=0平行， ∴，即4a ×+×（a+4）+1=﹣1，解得 a=﹣6．… （Ⅱ）由（I ）得，，由题知f （x ）=2ax 2+（a+4）x+lnx 的定义域为（0，+∞）， 由x ＞0，得＞0．①当a ≥0时，对任意x ＞0，f ′（x ）＞0，∴此时函数f （x ）的单调递增区间为（0，+∞）． ②当a ＜0时，令f ′（x ）=0，解得，当时，f ′（x ）＞0，当时，f ′（x ）＜0，此时，函数f （x ）的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+∞）．（Ⅲ）不妨设A （x 1，0），B （x 2，0），且0＜x 1＜x 2，由（Ⅱ）知 a ＜0， 于是要证f'（x ）＜0成立，只需证：即．∵，① ，②①﹣②得，即，∴，故只需证，即证明，即证明，变形为，设（0＜t ＜1），令，则=，显然当t ＞0时，g ′（t ）≥0，当且仅当t=1时，g ′（t ）=0，∴g （t ）在（0，+∞）上是增函数． 又∵g （1）=0，∴当t ∈（0，1）时，g （t ）＜0总成立，命题得证．…点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值，导数的几何意义及不等式的证明问题，体现了分类讨论和转化的思想方法．考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力，综合性较强，计算量大，难度较大，对能力要求较高．。
四川省绵阳市南山中学高二数学下学期入学考试题 文
绵阳南山中学高2016届2015年入学考试文科数学试题第I 卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、若直线024:0132:21=+-=-+my x l y x l 与直线互相平行，则m 的值是（ ） A 1=m B 2=m C 6-=m D 43=m 2、在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，极坐标 方程为3cos ,[0,]2πρθθ=∈，表示的曲线为（ ）A 圆 B.直线 C.半圆 D.线段3、如图所示是2014年某大学自主招生面试环节中，六位评委为某考生打出的面试分数 的茎叶统计图，若该生笔试成绩90分，下列关于该同学成绩的说法正确的是( )A ．面试成绩的中位数为83B ．面试成绩的平均分为C ．总成绩的众数为173D ．总成绩的方差与面试成绩的方差都是194．曲线092522=+y x 与曲线092522=-+-ky k x 的 （ ） A 长轴长相等 B 短轴长相等C 离心率相等D 焦距相等5、20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，则成绩落在[50，60)与[60，70)中的学生人数（ ）A.2,3B.2,4C.3,2D.4,26、从12个同类产品(其中有10个正品，2个次品)中，任意抽取3个的必然事件( )A ．3个都是正品B ．至少有1个是次品C ．3个都是次品D ．至少有1个是正品7、直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2－2y ＝0的位置关系是( )．A ．相交B ．相切C ．相离D ．取决于k 的值8、执行右面的程序框图,如果输入的10N =,那么输出的S =( )A 45B 50C 55D 669、与直线042=++y x 垂直的抛物线2x y =的切线方程是 （ ） A 012=--y x B 022=++y x C 012=+-y x D 012=-+y x10、椭圆122=+ny mx 与直线1=+y x 交于,M N 两点，MN 的中点为P ，且OP 的斜率为22，则nm的值为 （ ） （A ）22 （B ）322 （C ）229 （D ）2732第II 卷（非选择题 共60分）二、填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分，把答案填写在答题卡相应位置上。
四川省绵阳南山中学2014-2015学年高二数学10月月考试题 文
绵阳南山中学高2016届2014年10月月考数学试题〔文科〕一、选择题：每一小题4分，共40分.1．过点M (－3，2)，N (－2，3)的直线的斜率是( )．A ．1B ．2C ．－1 D.322．点A (1，－1)，B (－1,1)，如此以线段AB 为直径的圆的方程是( )．A ．x 2＋y 2＝ 2B ． x 2＋y 2＝2C ．x 2＋y 2＝1D ．x 2＋y 2＝43．集合A ＝{(x ，y )|x ，y R ∈，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y R ∈，且x ＋y ＝1}，如此A ∩B的元素个数为( )． A ．4 B ．3 C ．2D ．14．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于直线y ＝x 对称的圆的方程为( )．A ．(x －2)2＋y 2＝5B ．x 2＋(y －2)2＝5C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝55.直线y=2x 与直线y=2x+5间的距离为 ( )A.25 B.5 C.5 D.25 6．过点A (1,2)且与原点距离最大的直线方程为( )． A ．2x ＋y －4＝0 B. x ＋2y －5＝0C ．x ＋3y －7＝0D ．3x ＋y －5＝07．设F 1、F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，P 是第一象限内该椭圆上的一点，且PF 1⊥PF 2，如此点P 的横坐标为( )．A ． 1 B.83C ．2 2 D.2638．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )．A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y－1)2＝19．假设三条直线l 1：4x ＋y ＝4，l 2：mx ＋y ＝0，l 3：2x －3my ＝4不能围成三角形，如此实数m 的取值最多有( )．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个10．圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3的圆与直线l ：x ＋2y －3＝0交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，假设满足OP →·OQ →＝0，如此圆C 的方程为( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y －3)2＝52B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y －3)2＝254C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋3)2＝52D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋3)2＝254二、填空题：每一小题4分，共20分.11．空间直角坐标系中，点A 〔10,-1,6〕与B 〔4,1,9〕之间的距离为________.12．过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程为________．13．假设圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，如此半径r 的取值范围是．14．从原点向圆x 2＋y 2－12y ＋27＝0作两条切线，如此这两个切点之间的距离为________．15．m ≥0，直线l ：mx －(m 2＋1)y ＝4m 和圆C ：x 2＋y 2－8x ＋4y ＋16＝0.有以下几个说法：①直线l 的倾斜角不是钝角；②圆C 的面积为4π； ③直线l 必过第一、三、四象限； ④直线l 斜率的取值范围是[0，12]；⑤直线l 能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧.其中正确的说法有________________.(写出所有正确说法的番号)三、解答题：每道题10分，共40分.解答时应写出必要的文字说明或推演步骤.16．求经过三点A (1,12)，B (7,10)，C (－9,2)的圆的一般方程．17．根据如下条件，分别求出相应椭圆的标准方程：(1)焦点在y 轴上，长轴是短轴的3倍且经过点A (3,0)；(2)一个焦点是F (1,0)，且短轴的两个三等分点M ，N 与F 构成正三角形.18．求与x 轴相切，圆心在直线3x －y ＝0上，且被直线x －y ＝0截得的弦长为准方程．19. 圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(1)求过点P (1,2)且与圆O 相切的直线l 的方程；(2)直线m 过点P (1,2)，且与圆O 交于A 、B 两点，假设|AB |＝23，求直线m 的方程；(3)圆O 上有一动点00(,)M x y ，00(2,)ON x y =，假设向量122OQ OM ON =+，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线．绵阳南山中学高2016届2014年10月月考数学试题〔文史类〕参考答案一、选择题：1A 2B 3C 4D 5B 6B 7D 8A9C 10B二、填空题：11、7；12、x -y -7＝0或4x ＋3y ＝0；13、〔4,6〕；14、15、①②④三、解答题：16.解 【法一】 设圆的一般方程为：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，如此⎩⎪⎨⎪⎧1＋144＋D ＋12E ＋F ＝0，49＋100＋7D ＋10E ＋F ＝0，81＋4－9D ＋2E ＋F ＝0，解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－95， ∴所求圆的一般方程为x 2＋y 2－2x －4y －95＝0 【法二】 由A (1,12)，B (7,10)，得A 、B 的中点坐标为(4,11)，k AB ＝－13，如此AB 的中垂线方程为：3x －y －1＝0.同理得AC 的中垂线方程为x ＋y －3＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y －1＝0，x ＋y －3＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2.即圆心坐标为(1,2)，如此半径r ＝10.∴所求圆的一般方程为：x 2＋y 2－2x －4y －95＝0【法三】求两条中垂线解圆心，可相应给分。
四川省绵阳中学高二下学期入学考试(数学)
四川省绵阳中学高二下学期入学考试（数学）一、选择题（12×4′=48′）1、设,a b 是两个实数，给出下列条件：①1a b +> ②2a b += ③2a b +> ④222a b +>⑤1ab >其中能推出“,a b 至少有一个大于1”的条件是（ ） A ．②③B ．①②③C ．③④⑤D ．③2、函数222(1)1x x y x x ++=>-+的图象的最低点的坐标是（ ）A ．(1,2)B ．(1,2)-C ．(0,2)D ．不存在3、直线l 经过点2(2,1),(1,)A B m ，则l 倾斜角的范围是（ ） A ．[0,]πB ．[0,](,)42πππC ．[0,]4πD ．[0,][,]42πππ4、3a =是两直线12:230,:3(1)7l ax y a l x a y a ++=+-=-平行且不重合的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5、若直线:4l ax by +=与圆22:4C x y +=有两个不同交点，则点(,)P a b 与圆C 的位置关系是（ ） A ．在圆外 B ．在圆上 C ．在圆内 D ．不确定6、若抛物线22(0)y px p =>上横坐标为3的点到焦点的距离等于5，则p 等于（ ）A ．1.5B ．2C ．4D ．87、过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的弦1,PQ F 是另一个焦点，若12PFQ π∠=，则双曲线的离心率e 等于（ ）A 1BC 1D 2+8、直线3y x =+与曲线2149x xy -=的交点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49、若双曲线222116x y b -=的一条准线恰好为圆2220x y x ++=的一条切线，则正数b 的值为（ ）A ．4B．C．D ．810、若实数,x y 满足222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值与最大值分别是（ ）A ．2，6B ．2，5C ．3，6D ．3，511、将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ） A ．B ．10种C ．36种D ．52种12、在R 在定义运算:(1)x y x y ⊗⊗=-，若方程：1(2)kx ⊗-=则k 的取值范围是（ ）A ．4[0,]3B ．[0,1]C ．1[0,]3D ．14[,]33二、填空题（4×3′=12′）13、已知双曲线的中心在坐标原点，离心率2e =，且它的一个顶点与抛物线216y x =-的焦点重合，则此双曲线的方程为 .14、已知,,a b c 为一直角三角形的三边，c 为斜边，若点(,)P m n 在直线0ax by c ++=上，则22m n +的最小值为 .15、已知圆C 的圆心与抛物线24y x =的焦点关于直线y x =对称，直线4320x y --=与圆C 相交于A 、B两点，且6AB =，则圆C 的方程为 .16、在333(1)(1(1x ++++的展开式中，x 的系数为 （数字作答）.三、解答题17、（10分）如图，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点1122(1,2),(,),(,)P A x y B x y 均在抛物线上. （1）写出该抛物线的方程及其准线方程；（2）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求12y y +的值及直线AB 的斜率.18、（10分）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为,（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线:l y kx =与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2O A O B ⋅>（其中O 为原点），求k 的取值范围.19、（10分）一场篮球比赛到了最后5分钟，甲队比乙队少得5分，如果甲队全投3分球，则有8次投篮机会，如果甲队全投2分球，则有3次投篮机会，假设甲队队员投3分球的命中率均为0.6.投2分球的命中率为0.8，并且甲队加强防守，不给乙队投的机会.问全投3分球与全投2分球这两种方案中选择哪一种甲队获胜的概率较大？10分）如图，点A 、B 分别是椭圆2213620x y +=长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA PF ⊥.（1）求点P 的坐标；（2）设M 是椭圆长轴AB 上一点，M 到直线AP 的距离等于MB，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值.参考答案一、选择题（12×4′=48′）二、填空题（4×3′=12′）13、2211648x y -= 14、 1 15、22(1)10x y +-= 16、 7 三、解答题17、解：（1）由已知条件，可设抛物线的方程为22y px =.点(1,2)P 在抛物线上，2221,2p p ∴=⋅∴=. ∴所求抛物线的方程是24y x =，其准线方程是1x =-.（2）设直线PA 的斜率为PA k ，直线PB 的斜率为PB k ，则12121222(1),(1)11PA PB y y k x k x x x --=≠=≠--PA PB 与的斜率存在且倾斜角互补，PA PB k k ∴=-.由1122(,),(,)A x y B x y 在抛物线上，得21122244y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 12221222111144y y y y --∴=---，12122(2),4y y y y ∴+=-+∴+=-①、②两式相减得，直线AB 的斜率21122112441()4AB y y k x x x x y y -===-=-≠-+18、解：（1）设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>.由已知得2a c ==再由222a b a +=，得21b =. 故双曲线C 的方程为2213x y -=. （2）将y kx =2213x y -=得22(13)90k x ---=由直线l与双曲线交于不同的两点得2222130)36(13)36(1)0k k k ⎧-≠⎪⎨∆=+-=->⎪⎩即213k ≠且21k < ①设(,),(,)A A B B A x y B x y，则229,1313A B A Bx x x x k k -+==--由2OA OB ⋅>得 2A B A B x x y y +>，而(A B A B A B A B x x y y x x kx kx +=+++2(1)()2A B A B k x x x x =++++=2222937(1)21331k k k k -+++=-- 于是2237231k k +>-，即2239031k k -+>-解此不等式得2133k << ②由①、②得2113k << 故k的取值范围为3(1,(,1)-19、要使甲队获胜，甲队至少投中两个3分球或3个2分球，甲队全投3分球至少投中2个球的概率为1708881(0.60.40.4)0.9915C C -⨯⨯+⨯=.甲全投2分球至少投中3个的概率为30.80.512=，可以选择全投3分球甲队获胜的概率较大.：（1）由已知可得点(6,0),(4,0)A F -.设点P 的坐标是(,)x y则(6,),(4,)AP x y FP x y =+=-，由已知得22213620(6)(4)0x y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-+=⎩则2329180,62x x x x +-===-或 由于0y >，所以32x =，于是y∴点P 的坐标是3(2（2）直线AP 的方程是60x -+=.设点M 的坐标是(,0)m ，则M 到直线AP 的距离是66,622m m m ++=-于是又66m -≤≤，解得2m =.椭圆上的点(,)x y 到点M 的距离为d则222222549(2)4420()15992d x y x x x x =-+=-++-=-+由于966,2x x -≤≤∴=当时，d。
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四川省绵阳市南山中学2014-2015学年高二下学期入学考试题 数学文
第I 卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、若直线024:0132:21=+-=-+my x l y x l 与直线互相平行，则m 的值是（ ） A 1=m B 2=m C 6-=m D 4
3=
m 2、在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，极坐标 方程为
3cos ,[0,]2
π
ρθθ=∈，表示的曲线为（ ）
A 圆 B.直线 C.半圆 D.线段
3、如图所示是2014年某大学自主招生面试环节中，六位评委为某考生打出的面试分数 的茎叶统计图，若该生笔试成绩90分，下列关于该同学成绩的说法正确的是( )
A ．面试成绩的中位数为83
B ．面试成绩的平均分为84
C ．总成绩的众数为173
D ．总成绩的方差与面试成绩的方差都是19
4．曲线092522=+y x 与曲线09252
2=-+-k
y k x 的 （ ）
A 长轴长相等
B 短轴长相等
C 离心率相等
D 焦距相等
5、20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如
图所示，则成绩落在[50，60)与[60，70)中的学生人数（ ）
A.2,3
B.2,4
C.3,2
D.4,2
6、从12个同类产品(其中有10个正品，2个次品)中，任意抽取
3个的必然事件( )
A ．3个都是正品
B ．至少有1个是次品
C ．3个都是次品
D ．至少有1个是正品
7、直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2
－2y ＝0的位置关系是( )．
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．取决于k
8、执行右面的程序框图,如果输入的10N =,那么输出的S =( )
A 45
B 50
C 55
D 66
9、与直线042=++y x 垂直的抛物线2x y =的切线方程是 （ A 012=--y x B 022=++y x C 012=+-y x D 012=-+y x
10、椭圆122=+ny mx 与直线1=+y x 交于,M N 两点，MN 的中点为P ，且OP 的斜率为
2
2
，则n
m
的值为 （ ）
（A ）2
2 （B ）
3
2
2 （C ）
2
2
9 （D ）
27
3
2
第II 卷（非选择题 共60分）
二、填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分，把答案填写在答题卡相应位置上。
11、在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则|x |≤1的概率为____________.
12、在空间直角坐标系中，点()4,1,2-P 关于x 轴的对称点的坐标是__________________.
13、根据如图的程序语句，当输入的X 的值为2时，输出结果为
14、直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的
四段弧，则a 2＋b 2＝________.
15.动圆M 与圆O 1：05622=+++x y x 外切，同时与圆O 2： 091622=--+x y x 内 切，曲线C 为动圆圆心M 的轨迹，
(1)动圆圆心M 的轨迹方程是
127
362
2=+y x ； (2)若01260O MO ∠=
，则12
o Mo S ∆=
（3）以坐标原点为圆心半径为6的圆与曲线C 没有公共点；
（4）动点(),,(0)M x y y ≠分别与两定点()()6,06,0-、连线的斜率之积为3
4
-
，其中正确命题的序号是： .
三、解答题：本大题共4小题，共40分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.已知直线l 经过直线1l ：2x ＋y －5＝0与2l ：x －2y ＝0的交点， (1)当直线l 在两坐标轴上的截距相等时，求直线l 的方程； (2)当点A (5,0)到l 的距离最大值时，求直线l 的方程．
17 . 某校夏令营有3
现从这6)． (1)用表中字母列举出所有可能的结果；
(2)设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M 发生的概率．
18、已知点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点． (1)求M 的轨迹方程；
(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．
19、已知椭圆左、右焦点分别为21F F 、，椭圆的离心率为12，且椭圆经过3(1,)2
； (1)求椭圆的标准方程；
(2)线段PQ 是椭圆过点2F 的弦，且F PF 22λ=,求1PFQ ∆内切圆面积最大时实数
λ的值.。