高二-数学-选修2-2函数的导数与单调性、极值
北师版数学高二选修2-2课件 函数的极值
(2)函数的单调性与极值 ①如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是 增加 的，在区间(x0，b)上是_减__少__ 的，则x0是极大值点，f(x0)是极大值. ②如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是减少 的，在区间(x0，b)上是_增__加__ 的，则x0是极小值点，f(x0)是极小值.
解答
命题角度2 含参数的函数求极值 例2 设函数f(x)＝2x3－3(a－1)x2＋1，其中a≥1. (1)求f(x)的单调区间；
解答
(2)讨论f(x)的极值. 解 由(1)知，当a＝1时，函数f(x)没有极值. 当a>1时，函数在x＝0处取得极大值1，在x＝a－1处取得极小值1－(a－1)3.
跟踪训练3 函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的图像如图所示，且与直线y＝0在 原点处相切，函数的极小值为－4.
(1)求a，b，c的值；
解答
(2)求函数的递减区间.
解 由(1)知，f(x)＝x3－3x2，且f′(x)＝3x(x－2). 由f′(x)<0，得3x(x－2)<0，∴0<x<2， ∴函数f(x)的递减区间是(0，2).
第三章 §1 函数的单调性与极值
1.2 函数的极值
学习目标
1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极 值与导数的关系，并会灵活应用. 2.掌握函数极值的判定及求法. 3.掌握函数在某一点取得极值的条件.
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一 函数的极值点和极值
思考1
观察y＝f(x)的图像，指出其极大值点和极小值点及极值.
本课结束
答案
梳理 求函数极值点的步骤
(1)求出导数 f′(x)； (2)解方程 f′(x)＝0， (3)对于方程f′(x)＝0的每一个解x0，分析f′(x)在x0左、右两侧的符号 (即f(x)的单调性)，确定极值点 . ①若f′(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为极大值点 . ②若f′(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为极小值点 . ③若f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是 极值点.
选修2-2导数与极值最值题型总结
导数在研究函数中的应用--极值与最值（第二课时）题型一 求极值【例1】(1)（2019·湖北高二期末）函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则（ ）A ．12为()f x 的极大值点 B ．2-为()f x 的极大值点 C ．2为()f x 的极大值点D ．45为()f x 的极小值点(2)（2019·黑龙江铁人中学高二期中）函数()()2312f x x =-+的极值点是（ ） A ．0x = B ．1x =C ．1x =-或1D ．1x =或0【举一反三】1．（2018·安徽高二期末（理））函数()321313f x x x x =+--的极小值点是（ ） A ．1B ．（1，﹣83）C ．3-D ．（﹣3，8）2．（2019·安徽高二月考）已知函数()2ln f x ax b x =+在点M (1,1)处的切线方程为230x y +-=.（1）求函数()y f x =的解析式； （2）求函数()y f x =的单调区间和极值.题型二 求最值【例2】（1）（2019·黑龙江铁人中学高二期中）函数32()32f x x x =-+在区间[－1，1]上的最大值是（ ）A ．4B ．2C ．0D ．－2（2）函数f (x )＝x 2－cos x ，x ∈[－π2，π2]的值域是________． 【举一反三】1．（2019·湖南高一月考）已知函数2()4,[0,3],f x x x a x =-++∈若()f x 有最小值2-，则()f x 的最大值为____2（2019·广东高三月考（理））已知函数32()f x x ax bx =++在 2x =-与 12x =处都取得极值． （1）求函数()f x 的解析式及单调区间； （2）求函数()f x 在区间3,2的最大值与最小值．题型三 利用极值最值求参数【例3】(1)已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1处有极值0，则a ＝________，b ＝________. (2)（2019·贵州省铜仁第一中学高三）若函数()333f x x bx b =-+在()0,1内有极小值，则b 的取值范围为（ ） A ．01b <<B ．1b <C ．0b >D ．12b <(3)（2019·安徽高二月考（文））若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[－5，0)B ．(－5，0)C ．[－3，0)D ．(－3，0)【举一反三】1．（2019·湖北高三月考）若2x =-是函数()321213f x x ax x =--+的一个极值点，则函数()f x 的极小值为（ ） A ．113-B ．16-C ．16D ．1732．（2019·平罗中学高三期中）若函数()212ln 2f x x x a x =-+有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a >B ．10a -<<C ．1a <D ．01a <<3．（2019·宁夏长庆高中高二期中）若函数32()39f x x ax x =++-在3x =-时取得极值，则a =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54．（2019·江苏高二期中）设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值．（1）求,a b 的值；（2）若对于任意的[03]x ∈，，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围．1．（2019·江西高三期中）若函数()32236f x x mx x =-+在区间()1,+∞上存在极值点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞B ．(),1-∞C ．(],2-∞D ．()2,+∞2．（2019·陕西高三）函数3()1f x ax x =++有极值的充要条件是 （ ）A ．0a >B ．0a ≥C ．0a <D ．0a ≤3．（2019·重庆南开中学高三月考（理））如图是定义在(),a b 上的函数()f x 的导函数的图象，则函数()f x 的极值点的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54．（2019·广东高三月考）设函数()f x 在R 上可导，其导函数为'()f x ，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数'()y xf x =的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2019·台山市华侨中学高二期中（文））设三次函数()f x 的导函数为()f x '，函数()y x f x '=⋅的图象的一部分如图所示，则正确的是（ ）A ．()f x 的极大值为f ，极小值为(fB ．()f x 的极大值为(f ，极小值为fC ．()f x 的极大值为(3)f ，极小值为(3)f -D ．()f x 的极大值为(3)f -，极小值为(3)f6．（2019·江西高二期末）如图所示是函数()y f x =的导数()y f x '=的图像，下列四个结论：①()f x 在区间()3,1-上是增函数；②()f x 在区间()2,4上是减函数，在区间()1,2-上是增函数： ③1x =是()f x 的极大值点；④1x =-是()f x 的极小值点.其中正确的结论是（ ） A ．①③B ．②③C ．②③④D ．②④7．（2019·周口市中英文学校高二期末（理））函数y ＝f(x)的导函数y ＝f ′(x)的图象如图所示，给出下列命题：①－3是函数y ＝f(x)的极值点；②－1是函数y ＝f(x)的最小值点；③y ＝f(x)在区间(－3,1)上单调递增；④y ＝f(x)在x ＝0处切线的斜率小于零．正确命题的序号是( ) A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④8．（2019·辽宁高二期末（理））已知函数()3223f x x mx nx m =+++在1x =时有极值2，则m n +=_______.9．（2019·新疆高三月考）已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范围是__________． 10．（2019·抚顺市第十中学高二期中（理））如图是函数y ＝f （x ）的导函数y ＝f ′（x ）的图象，给出下列命题：①﹣3是函数y ＝f （x ）的极值点；②﹣1是函数y ＝f （x ）的最小值点；③y ＝f （x ）在x ＝0处切线的斜率小于零；④y ＝f （x ）在区间（﹣3，1）上单调递增． 则正确命题的序号是 ．11．（2019·贵州省安顺市第一高级中学高二期末（理））函数()f x 的定义域为(),a b ，导函数()f x '在(),a b 内的图像如图所示，则函数()f x 在(),a b 内有________个极大值点。
高中数学新湘教版选修2-2函数的极大值和极小值
4．3.2函数的极大值和极小值[读教材·填要点]1．极值与极值点(1)极大值点与极大值：设函数y＝f(x)在区间(a，b)内有定义，x0是(a，b)内的一个点，若点x0附近的函数值都小于f(x0)(即f(x)＜f(x0)，x∈(a，b))，就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极大值，x0称为f(x)的一个极大值点．(2)极小值点与极小值：设函数y＝f(x)在区间(a，b)内有定义，x0是(a，b)内的一个点，若点x0附近的函数值都大于f(x0)(即f(x)＞f(x0)，x∈(a，b))，就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极小值，x0称为f(x)的一个极小值点．极大值和极小值统称极值，极大值点和极小值点统称为极值点．2．极大值与极小值的判断(1)如果f(x)在(a，x0]上递增，在[x0，b)上递减，则f(x)在x＝x0处取到极大值；(2)如果f(x)在(a，x0]上递减，在[x0，b)上递增，则f(x)在x＝x0处取到极小值．3．极值的求法(1)求导数f′(x)；(2)求f(x)的驻点，即求f′(x)＝0的根；(3)检查f′(x)在驻点左右的符号，得到极大值或极小值．[小问题·大思维]1．导数为0的点都是极值点吗？提示：不一定．y＝f(x)在x＝x0及附近有定义，且f′(x0)＝0，y＝f(x)是否在x＝x0处取得极值，还要看f′(x)在x0两侧的符号是否异号．例如f(x)＝x3，由f′(x)＝3x2知f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．2．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有几个极小值点？提示：由图可知，在区间(a，x1)，(x2,0)，(0，x3)内f′(x)>0；在区间(x1，x2)，(x3，b)内f′(x)<0.即f(x)在(a，x1)内单调递增，在(x1，x2)内单调递减，在(x2，x3)内单调递增，在(x3，b)内单调递减．所以函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极小值点，极小值点为x＝x2.3．函数y＝f(x)在给定区间上一定有极值点吗？极大值是否一定比极小值大？提示：(1)在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点；函数可以只有极大值，没有极小值，或者只有极小值没有极大值，也可能即有极大值，又有极小值．(2)极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．求下列函数的极值：(1)f (x )＝x 4－2x 2；(2)f (x )＝x 2e －x .[自主解答] (1)函数f (x )的定义域为R. f ′(x )＝4x 3－4x ＝4x (x ＋1)(x －1)． 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－1或x ＝1. 列表：当x ＝0时，函数有极大值，且f (0)＝0； 当x ＝－1或x ＝1时，函数有极小值， 且f (－1)＝f (1)＝－1. (2)函数的定义域为R.f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x 2e x ′＝(x 2)′e x －(e x )′x 2(e x )2＝2x e －x －x 2e －x ＝x (2－x )e －x ＝－e －x x (x －2)．令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2. 列表：当x ＝2时，函数有极大值，且f (2)＝4e 2.求可导函数f (x )极值的步骤 (1)求函数的导数f ′(x )；(2)令f ′(x )＝0，求出全部的根x 0；(3)列表，方程的根x 0将整个定义域分成若干个区间，把x ，f ′(x )，f (x )在每个区间内的变化情况列在这个表格内；(4)判断得结论，若导数在x 0附近左正右负，则在x 0处取得极大值；若左负右正，则取得极小值．要注意函数的定义域．1．求函数f (x )＝2xx 2＋1－2的极值． 解：函数f (x )的定义域为R.f ′(x )＝2(x 2＋1)－4x 2(x 2＋1)2＝－2(x －1)(x ＋1)(x 2＋1)2. 令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以当x ＝－1时，函数有极小值，且f (x )极小值＝－3； 当x ＝1时，函数有极大值，且f (x )极大值＝－1.已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0.求a ，b 的值．[自主解答] ∵f (x )在x ＝－1时有极值0且 f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b .∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)＝0，f (－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0， 所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去．当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)． 当x ∈(－∞，－3)时，f (x )为增函数； 当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数； 当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )为增函数．所以f (x )在x ＝－1时取得极小值，因此a ＝2，b ＝9.若将“在x ＝－1时有极值0”改为“在x ＝－1和x ＝3处有极值”，如何求解？ 解：f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ， ∵－1,3是f (x )的极值点， ∴－1,3是f ′(x )＝0的两个根． 即－1,3是3x 2＋6ax ＋b ＝0的两根．由根与系数的关系知⎩⎨⎧－6a3＝－1＋3，b3＝(－1)×3，解得a ＝－1，b ＝－9.解决此类问题通常是利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程，从而求出参数的值．需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件，所以必须对求出的参数值进行检验，看是否符合函数取得极值的条件．2．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1时取得极值，且f (1)＝－1. (1)求常数a ，b ，c 的值；(2)判断x ＝±1是函数的极小值还是极大值，并说明理由． 解：(1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由f ′(－1)＝f ′(1)＝0，得3a ＋2b ＋c ＝0,3a －2b ＋c ＝0. 又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1. ∴a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)由(1)可得f (x )＝12x 3－32x ，∴f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)．当x ＜－1或x ＞1时，f ′(x )＞0；当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0，∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数， 在(－1,1)上为减函数． ∴当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1；当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1.设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a .(1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点． [自主解答] (1)f ′(x )＝3x 2－2x －1＝(x －1)(3x ＋1)． 令f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：所以f (x )的极大值是f ⎝⎭⎫－13＝527＋a ，极小值是f (1)＝a －1. (2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1.由此可知x 取足够大的正数时有f (x )＞0，x 取足够小的负数时有f (x )＜0， 所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个交点． 结合f (x )的单调性可知， 当f (x )的极大值527＋a ＜0，即a ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－527时它的极小值也小于0， 因此曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点，它在(1，＋∞)上； 当f (x )的极小值a －1＞0，即a ∈(1，＋∞)时它的极大值也大于0， 因此曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点，它在⎝⎛⎭⎫－∞，－13上． 所以当a ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时， 曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点．在本例(2)中，若将“曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点”改为“曲线y ＝f (x )与x 轴有三个交点”呢？解：由于曲线y ＝f (x )与x 轴有三个交点， ∴f (x )极大值>0且f (x )极小值<0. 即⎩⎪⎨⎪⎧527＋a >0，a －1<0，解得－527<a <1.即a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－527，1.利用导数求极值，要先讨论函数的单调性，涉及参数时，必须对参数的取值情况进行讨论，在存在极值的情况下，求出极值．3．已知函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ≠0)，求函数f (x )的单调区间与极值点． 解：f ′(x )＝3(x 2－a )(a ≠0)， 当a <0时，f ′(x )>0恒成立， 即函数在(－∞，＋∞)上单调递增， 此时函数没有极值点．当a >0时，令f ′(x )＝0，得x 1＝a ，x 2＝－a ， 当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化如下表：a )，此时x ＝－a 是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点．a 为何值时，方程x 3－3x 2－a ＝0恰有一个实根、两个不等实根、三个不等实根，有没有可能无实根？[巧思] 方程x 3－3x 2－a ＝0根的个数，即为直线y ＝a 和函数f (x )＝x 3－3x 2图象交点的个数，因此可借助函数的单调性和极值画出函数f (x )＝x 3－3x 2的图象，然后借助图象判断根的个数．[妙解] 令f (x )＝x 3－3x 2，则f (x )的定义域为R ， 由f ′(x )＝3x 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝2. 所以当x ＜0或x ＞2时，f ′(x )＞0； 当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0.函数f (x )在x ＝0处有极大值0，在x ＝2处有极小值－4，如图所示，故当a ＞0或a ＜－4时，原方程有一个根； 当a ＝0或a ＝－4时，原方程有两个不等实根； 当－4＜a ＜0时，原方程有三个不等实根； 由图象可知，原方程不可能无实根．1．若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9在x ＝－3时取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由题意知f ′(－3)＝0， 即3×(－3)2＋2×(－3)a ＋3＝0，解得a ＝5. 答案：D2.设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)解析：由题图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <1时，f ′(x )<0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．答案：D3．若a ＞0，b ＞0，且函数ƒ(x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9解析：函数的导数为ƒ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，由函数ƒ(x )在x ＝1处有极值， 可知函数ƒ(x )在x ＝1处的导数值为零， 即12－2a －2b ＝0，所以a ＋b ＝6.由题意知a ，b 都是正实数，所以ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝⎝⎛⎭⎫622＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取到等号． 答案：D4．若函数f (x )＝－x 3＋6x 2＋m 的极大值为13，则实数m 等于______． 解析：f ′(x )＝－3x 2＋12x ＝－3x (x －4)．由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝4. 当x ∈(－∞，0)∪(4，＋∞)时，f ′(x )＜0；x ∈(0,4)时，f ′(x )＞0， ∴x ＝4时f (x )取到极大值．故－64＋96＋m ＝13，解得m ＝－19. 答案：－195．若函数f (x )＝x 3＋x 2－ax －4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a 的取值范围为__________．解析：由题意，f ′(x )＝3x 2＋2x －a ，则f ′(－1)f ′(1)<0，即(1－a )(5－a )<0，解得1<a <5，另外，当a ＝1时，函数f (x )＝x 3＋x 2－x －4在区间(－1，1)上恰有一个极值点， 当a ＝5时，函数f (x )＝x 3＋x 2－5x －4在区间(－1,1)没有极值点． 故实数a 的范围为[1,5)． 答案：[1,5)6．已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝ 4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． 解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝⎛⎭⎫e x －12. 令f ′(x )＝0，得x ＝－ln 2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )<0. 故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减． 当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值， 极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．一、选择题1．当函数y ＝x ·2x 取极小值时，x ＝( )A.1ln 2 B ．－1ln 2C ．－ln 2D ．ln 2解析：令y ′＝2x ＋x ·2x ln 2＝0，∴x ＝－1ln 2. 答案：B2．已知函数y ＝f (x )，其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )( )A ．在(－∞，0)上为减函数B ．在x ＝0处取极小值C ．在(4，＋∞)上为减函数D ．在x ＝2处取极大值解析：由导函数的图象可知：x ∈(－∞，0)∪(2,4)时，f ′(x )>0，即x ∈(0,2)∪(4，＋∞)时，f ′(x )<0，因此f (x )在(－∞，0)，(2,4)上为增函数，在(0,2)，(4，＋∞)上为减函数，所以x ＝0取得极大值，x ＝2取得极小值，x ＝4取得极大值，因此选C.答案：C3．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极大值10，则ab 的值为( )A ．－23B ．－2C ．－2或－23D ．2或－23解析：由题意知，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b －a 2－7a ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9， 经检验⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9满足题意，故a b ＝－23.答案：A4．设函数f (x )＝e x sin x ，x ∈[0，π]，则( ) A ．x ＝π2为f (x )的极小值点B ．x ＝π2为f (x )的极大值点C ．x ＝3π4为f (x )的极小值点D ．x ＝3π4为f (x )的极大值点解析：∵f (x )＝e x sin x ，∴f ′(x )＝e x (sin x ＋cos x ) ＝2e x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， 由f ′(x )≤0，得sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤0， ∴2k π＋π≤x ＋π4≤2k π＋2π(k ∈Z)，即2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z)，∵x ∈[0，π]，∴f (x )在⎣⎡⎦⎤0，3π4上单调递增，f (x )在⎣⎡⎦⎤3π4，π上单调递减， ∴x ＝3π4为f (x )的极大值点．答案：D 二、填空题5．已知函数y ＝f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )的极大值与极小值之差为________．解析：∵f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(2)＝3×22＋6a ×2＋3b ＝0，f ′(1)＝3×12＋6a ×1＋3b ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0，∴f ′(x )＝3x 2－6x ，令3x 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝2， ∴f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4. 答案：46．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则a 的取值范围为________． 解析：y ′＝e x ＋a ，由y ′＝0，得x ＝ln(－a )， 由题意知ln(－a )>0，∴a <－1. 答案：(－∞，－1)7．函数f (x )＝ax 2＋bx 在x ＝1a 处有极值，则b 的值为________． 解析：f ′(x )＝2ax ＋b ，∵函数f (x )在x ＝1a 处有极值，∴f ′⎝⎛⎭⎫1a ＝2a ·1a ＋b ＝0，即b ＝－2. 答案：－28．若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是________． 解析：f ′(x )＝3x 2－6b ，若f (x )在(0,1)内有极小值， 只需f ′(0)·f ′(1)＜0，即－6b ·(3－6b )＜0，解得0＜b ＜12. 答案：⎝⎛⎭⎫0，12 三、解答题9．设函数f (x )＝x 2e x －1＋ax 3＋bx 2，已知x ＝－2和x ＝1为f (x )的极值点． (1)求a 和b 的值；(2)讨论f (x )的单调性．解：(1)f ′(x )＝e x －1(2x ＋x 2)＋3ax 2＋2bx ＝x e x －1(x ＋2)＋x (3ax ＋2b )， 因为x ＝－2和x ＝1是f (x )的极值点，所以f ′(－2)＝f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －6a ＋2b ＝0，3＋3a ＋2b ＝0，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－13，b ＝－1.(2)因为a ＝－13，b ＝－1， 所以f ′(x )＝x (x ＋2)(e x －1－1)． 令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝0，x 3＝1.因为当x ∈(－∞，－2)∪(0,1)时，f ′(x )<0；当x ∈(－2,0)∪(1，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－2,0)，(1，＋∞)上单调递增；在(－∞，－2)，(0,1)上单调递减．10．设函数f (x )＝a 3x 3＋bx 2＋cx ＋d (a ＞0)，且方程f ′(x )－9x ＝0的两个根分别为1,4. (1)当a ＝3且曲线y ＝f (x )过原点时，求f (x )的解析式；(2)若f (x )在(－∞，＋∞)内无极值点，求a 的取值范围．解：由f (x )＝a 3x 3＋bx 2＋cx ＋d ， 得f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c .因为f ′(x )－9x ＝ax 2＋2bx ＋c －9x ＝0的两个根分别为1,4，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2b ＋c －9＝0，16a ＋8b ＋c －36＝0.(*) (1)当a ＝3时，由(*)式得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋c －6＝0，8b ＋c ＋12＝0. 解得b ＝－3，c ＝12.又因为曲线y ＝f (x )过原点，所以d ＝0，故f (x )＝x 3－3x 2＋12x .(2)由于a ＞0，所以“f (x )＝a 3x 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，＋∞)内无极值点 ”等价于“f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”． 由(*)式得2b ＝9－5a ，c ＝4a .又Δ＝(2b )2－4ac ＝9(a －1)(a －9)．解⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝9(a －1)(a －9)≤0得a ∈[1,9]． 即a 的取值范围是[1,9]．。
(完整word版)高中数学选修2-2函数的单调性与导数
1.3.1函数的单调性与导数［学习目标］1•结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函.3.会求函数的单调区间(其中多项式数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式函数的最高次数一般不超过三次).尸知识梳理自主学习知识点一函数的单调性与其导数的关系在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系:导数函数的单调性f' (x)>0单调递增f' (x)<0单调递减—f' (x) = 0常函数思考以前，我们用定义来判断函数的单调性，在假设X i V X2的前提下，比较f(x i)与f(X2)的大小，在函数y= f(x)比较复杂的情况下，比较f(x i)与f(x2)的大小并不很容易，如何利用导数来判断函数的单调性？答案根据导数的几何意义，可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系，如果切线的斜率大于零，则其倾斜角是锐角，函数曲线呈上升的状态，即函数单调递增；如果切线的斜率小于零，则其倾斜角是钝角，函数曲线呈下降的状态，即函数单调递减知识点二利用导数求函数的单调区间利用导数确定函数的单调区间的步骤：(1) 确定函数f(x)的定义域.⑵求出函数的导数f' (x).(3)解不等式f' (x)>0,得函数的单调递增区间；解不等式f' (x)v0,得函数的单调递减区间.知识点三导数绝对值的大小与函数图象的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化较快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些也就是说导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度如图，函数y= f(x)在(a,0)和(0, b)内的图象“陡峭”，在(一® a)和(b,+^ )内的图象“平题型一利用导数确定函数的单调区间例1求下列函数的单调区间.(1)f(x) = 3X2—2ln x; (2)f(x)= x2• e e；1(3)f(x) = x+ x .解⑴函数的定义域为 D = (0 ,+^). T f' (x)= 6x—2,令f (x) = 0，得x i = ¥, X2= —申x 3 3 (舍去)，用x i分割定义域D，得下表:x0,号3+ 8 3 ,+f' (x)一0+f(x)•••函数f(x)的单调递减区间为0,呼，单调递增区间为.3 3⑵函数的定义域为D = (— 8,+^). •/ f' (x)= (x2)' e—x+ x2(e—x)' = 2xe—x—x2e—x= e—x(2x —x2)，令f' (x)= 0，由于e x> 0, • x i = 0, x2= 2,用x i, x2分割定义域D，得下表：x(—8, 0)0(0,2)2(2, +8)f' (x)一0+ 0一f' (x)• f(x)的单调递减区间为(—8, 0)和(2, +8)，单调递增区间为(0,2).(3)函数的定义域为D = (—8 , 0)U (0, +8).1f ' (x)= 1 —~2,令f' (x)= 0，得x i=—1, X2= 1，用x i , X2 分割定义域D，得下表:xx(—8,—1)—1(—1,0)(0,1)1(1 ,+ 8 )f' (x)+0一一0+f(x)•••函数f(x)的单调递减区间为(一1,0)和(0,1)，单调递增区间为(一8,—1)和(1,+8).反思与感悟首先确定函数定义域，然后解导数不等式，最后写成区间的形式，注意连接同类单调区间不能用“U”.跟踪训练1 求函数f(x)= x3—3x的单调区间.解f' (x)= 3x2—3 = 3(x2—1).当f' (x)> 0 时，x v—1 或x> 1,此时函数f(x)单调递增；当f' (x)v 0时，一1 v x v 1,此时函数f(x)单调递减.•函数f(x)的递增区间是(—8,—1), (1,+ 8 )，递减区间是(一1,1).题型二利用导数确定函数的大致图象例2 画出函数f(x) = 2x3—3x2—36x+ 16的大致图象.解f' (x) = 6x2—6x—36= 6(x2—x—6)= 6(x—3)(x+ 2).由f' (x)> 0 得x v — 2 或x> 3,•函数f(x)的递增区间是(一8,—2)和(3,+ 8).由f' (x)v 0 得一2v x v 3,•函数f(x)的递减区间是(一2,3).由已知得f( —2) = 60, f(3)=—65, f(0) = 16.•结合函数单调性及以上关键点画出函数f(x)大致图象如图所示(答案不唯一).反思与感悟利用导数可以判定函数的单调性，而函数的单调性决定了函数图象的大致走向当函数的单调区间确定以后，再通过描出一些特殊点，就可以画出一个函数的大致图象跟踪训练2已知导函数f' (x)的下列信息：当2v x v 3 时，f' (x)v 0;当x> 3 或x v 2 时，f' (x)> 0;当x= 3 或x= 2 时，f' (x)= 0;试画出函数f(X )图象的大致形状•解当2 v X V 3时，f' (x)v 0，可知函数在此区间上单调递减；当x> 3或x v 2时，f' (x)> 0，可知函数在这两个区间上单调递增；当x= 3或x= 2时，f' (x)= 0，在这两点处的两侧，函数单调性发生改变综上可画出函数f(x)图象的大致形状，如图所示(答案不唯一).例3 已知函数f(x)= 2ax—x3, x€ (0,1］, a>0,若函数f(x)在(0,1］上是增函数，求实数a的取值范围•解f' (x) = 2a —3x2,又f(x)在(0,1］上是增函数等价于f' (x)>0对x€ (0,1］恒成立，且仅有有限个点使得f' (x) = 0,3••• x€ (0,1］时，2a —3x2>0,也就是a>3x2恒成立.3 3又x€ (0,1］时，/2€ 0, ,3• a的取值范围是-,+ ^反思与感悟已知函数在某个区间上的单调性，求参数的范围，是近几年高考的热点问题，解决此类问题的主要依据就是导数与函数的单调性的关系，其常用方法有三种：①利用充要条件将问题转化为恒成立问题，即f' (x)> 0(或f' (x) w 0)在给定区间上恒成立，然后转为不等式恒成立问题；②利用子区间(即子集思想)，先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求出的增或减区间的子集；③利用二次方程根的分布，着重考虑端点函数值与0的关系和对称轴相对区间的位置•1跟踪训练 3 已知函数f(x)= In x, g(x)= 2ax2+ 2x, a^ 0.(1)若函数h(x) = f(x)—g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围;⑵若函数h(x) = f(x)—g(x)在［1,4］上单调递减，求a的取值范围1解(1)h(x) = In x —?ax2—2x, x€ (0, + ),1• h' (x)= -一ax— 2.xh(x)在(0, + m)上存在单调递减区间,1•••当 x € (0,+^)时，-一ax — 2v 0 有解，x 1 2即a >X — 2有解. 1 2设 G(x) = x 2-X ， 只要a >G(x)min 即可. 工1 2而 G(x) = - — 1 2— 1,x--G (x)min = 一 1 , a > — 1.(2) •/ h(x)在［1,4］上单调递减，1• x € ［1,4］时，h ' (x) = 一一 ax — 2< 0 恒成立,x 1 2即a > £— 2恒成立，x 2 x- 1 …--a 》G(X )max ，而 G(x)= x 一 1 一 1 ,• ■ • a 》—16.1 1错解 y ' = 1 — i,令y ' = 1 —1 >0,得x > 1或x v 0,所以函数y = x — ln x 的单调递增区x x 1间为(1, + m ), (—g, 0).令y ' = 1 — _v 0,得0 v x v 1,所以函数y = x — In x 的单调递减 x 区间为(0,1).错因分析在解与函数有关的问题时，一定要先考虑函数的定义域，这是最容易忽略的地方. 正解 函数y = x — ln x 的定义域为(0, + g ), 又 y ' = 1 —-,X ，1令y ' = 1 — ->0,得x > 1或x v 0(舍去)，所以函数y = x — ln x 的单调递增区间为(1, + g ). x 1令y ' = 1 — _v 0,得0v x v 1,所以函数y = x — ln x 的单调递减区间为(0,1). x 防范措施 在确定函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域--G (x)max =_7 16,例4 求函数y = x — ln x 的单调区间m当堂检测宜查自纠1•函数f(x) = x + In x 在(0,6)上是()A. 单调增函数B. 单调减函数1 1C. 在0,-上是减函数，在-，6上是增函数e e1 1D. 在0, -上是增函数，在-，6上是减函数e e答案A1解析•/ x€ (0,6)时，f，(x) = 1 + -> 0,•••函数f(x)在(0,6)上单调递增.x2. f，(x)是函数y= f(x)的导函数，若y= f，(x)的图象如图所示，则函数y= f(x)的图象可能是( )答案D解析由导函数的图象可知，当x v 0时，f，(x)>0，即函数f(x)为增函数；当0v x v 2时, f，(x)< 0，即f(x)为减函数；当x> 2时，f，(x)> 0，即函数f(x)为增函数•观察选项易知D正确•3•若函数f(x)= x3—ax2- x+ 6在(0,1)内单调递减，则实数a的取值范围是()A. [1,+旳B.a= 1C.(—s, 1]D.(0,1)答案A解析T f，(x) = 3x2—2ax—1,且f(x)在(0,1)内单调递减，•不等式3x2—2ax—K 0在(0,1)内恒成立，• f，(0)w 0,且f，(1)w 0, • a> 1.4•函数y = x 2— 4x + a 的增区间为 ________ ，减区间为 ________ . 答案(2,+^ )( — 8, 2)解析 y ' = 2x — 4,令 y ' > 0,得 x > 2;令 y ' v 0,得 x v 2, 所以y = x 2— 4x + a 的增区间为(2,+ g )，减区间为(一^, 2).1 一5•已知函数 f(x) = 2ax — -, x € (0,1］.若f(x)在x € (0,1］上是增函数，则 a 的取值范围为x1答案—2，+m1解析 由已知条件得f ' (x) = 2a +采.••• f(x)在 (0,1］上是增函数，1而g(x) = — 2"2在 (0,1］上是增函数,1f ' (x)=— 1 + p 对 x € (0,1］有 f ' (x)>0,且仅在 x = 1 时, —1• a =— 时，f(x)在(0,1］上是增函数 一 1• a 的取值范围是一夕+g ._课堂小结 ------------------判断函数单调性的方法如下：(1)定义法.在定义域内任取 X 1 , x 2,且X 1V X 2，通过判断f(X 1)—f(x 2)的符号来确定函数的单调 性.⑵图象法.利用函数图象的变化趋势进行直观判断.图象在某个区间呈上升趋势，则函数在这个区间内是增函数；图象在某个区间呈下降趋势，则函数在这个区间内是减函数 (3)导数法.利用导数判断可导函数 f(x)在区间(a , b)内的单调性，步骤是：①求f ' (x);②确定f ' (x)在(a , b)内的符号；③确定单调性.(x)> 0, 12护在x € (0,1］上恒成立g(X )max = g(1)=— 12.f ' (x) = 0.求函数y = f(x)的单调增区间、减区间分别是解不等式f' (x) > 0和f' (x) v 0所得的x的取值集合.反过来，如果已知f(x)在区间D上单调递增，求f(x)中参数的值，这类问题往往转化为不等式的恒成立问题，即f' (x)>0在D上恒成立且仅在有限个点上等号成立，求f(x)中参数的值.同样可以解决已知f(x)在区间D上单调递减，求f(x)中参数的值的问题.课时精练一、选择题1•函数y=(3 —x1 2)e x的单调递增区间是()A. ( —g, 0)B.(0 ,+s )C.( — g,—3)和(1 ,+g )D.( —3,1)答案D解析求导函数得y' = (—x2—2x+ 3)e x.令y' = (—x2—2x+ 3)e x>0,可得x2+ 2x—3v 0,—3v x v 1.•••函数y = (3 —x2)e x的单调递增区间是(—3,1).2.已知函数f(x) = —x3+ ax2—x—1在(一g, +g )上单调递减，则实数a的取值范围是()A. ( —g,—.3] U [ 3,+g )B. [ —.3, .3]C. ( — g,—.3) U ( 3,+g )D. ( —. 3, .3)答案B解析由题意得f' (x) = —3x2+ 2ax—1< 0在(—g , + g)上恒成立，且仅在有限个点上f' (x)=0，则有△= 4a2—12W 0,解得—.3W a w 3.3. 下列函数中，在(0,+g )内为增函数的是()A.y= sin xB.y= xe2C. y= x3—xD.y= In x—x答案B解析显然y= sin x在(0, + g)上既有增又有减，故排除A；对于函数y= xe2,因e2为大于零的常数，1对于 D , y' = —— 1 (x> 0).x故函数在(1, + g)上为减函数，在(0,1)上为增函数.故选B.不用求导就知y= xe2在(0 ,+g)内为增函数；对于C, y' = 3x2— 1 = 3 x+于x —_33,故函数在—g,——3, -3, + g上为增函数，3 3在—专，专上为减函数；3 34•设f(x), g(x)在［a, b］上可导，且f' (x)>g ' (x),则当a v x v b 时，有()A. f(x)> g(x)B. f(x)v g(x)C. f(x) + g(a)> g(x) + f(a)D. f(x) + g(b)> g(x) + f(b)答案C解析■/ f' (x) - g' (x) > 0,•••(f(x)—g(x))' >0,••• f(x)- g(x)在［a, b］上是增函数，•••当a v x v b 时f(x)- g(x)> f(a)- g(a),• f(x) + g(a)> g(x) + f(a).5. 函数y= ln_|x|的图象大致是()x答案C解析T y= f(—x)= ln~! =—f(x),—x•- y= f(x) = ln |x l为奇函数,x• y= f(x)的图象关于原点成中心对称，可排除 B.又•••当x> 0 时，f(x)=乎，f' (x)= 1-x2l x,•当x> e 时，f' (x)v 0,•函数f(x)在(e,+s)上单调递减；当O v x v e 时，f' (x)>0,•函数f(x)在(0, e)上单调递增.故可排除A , D，而C满足题意.6. 定义在R上的函数f(x)满足：f' (x)> 1 —f(x) ,f(O)= 6 ,f' (x)是f(x)的导函数，则不等式e x f(x) >e x+ 5(其中e为自然对数的底数)的解集为()A.(O,+s )B.( 0) U (3 ,+s )C.( — f, 0)U (1 ,+s )D.(3 ,+s )答案A解析由题意可知不等式为e x f(x) —e x—5> 0,设g(x) = e x f(x)—e x—5,••• g' (x)= ef(x)+ e x f' (x) —e x=e x[f(x) + f'x)—1] > 0.•函数g(x)在定义域上单调递增.又••• g(0) = 0, • g(x)> 0 的解集为(0,+^).二、填空题7•若函数f(x)= 2x2—In x在定义域内的一个子区间(k —1, k+ 1)上不是单调函数，贝U实数k的取值范围是__________________ .3答案1, 31 4x2—1解析显然函数f(x)的定义域为(0, + f), f' (x) = 4x — - = --- •由f' (x)> 0,得函数f(x)x x1 1的单调递增区间为2,+ m；由f'(x)< 0，得函数f(x)单调递减区间为0, 2 •因为函数在1 1 3区间(k—1, k+ 1)上不是单调函数，所以k—1v 2< k + 1,解得一2< k v3，又因为(k—1, k3+1)为定义域内的一个子区间，所以k— 1 >0，即k> 1•综上可知，K k<3.38•函数y= f(x)在其定义域—2, 3内可导，其图象如图所示，记y= f(x)的导函数为y= f' (x),则不等式f' (x)< 0的解集为__________ •1答案—3, 1 U [2,3)9.函数y= In(x2—x—2)的递减区间为________ •答案(— R, —1)2x—1 1解析f' (x)= -，令f' (x)< 0得x<—1或1<x< 2,注意到函数定义域为(―8,—x2—x— 2 2 4 4 U (2, + f)，故递减区间为(一8,—1)・1 110•若函数f(x)= x 2+ ax + -在2，+m上是增函数，则a 的取值范围是 _________X 2 答案 [3 ,+^ )1 1解析 因为f(x)= x 2 + ax + -在2,+ m上是增函数,'X. 厶1 1故f ' (x)= 2x + a —采》0在2，+g 上恒成立， 1 1即a ＞尹—2x 在-,+ 上恒成立•2则 h ' (x)=— --3 — 2,入1当x € 2，+ g 时，h ' (x) v 0,贝U h(x)为减函数, 1所以 h(x) v h 2 = 3,所以 a >3. 三、解答题11. 已知函数f(x) = ax 3+ bx 2的图象经过点 M(1,4)，曲线在点M 处的切线恰好与直线 垂直.(1) 求实数a , b 的值；⑵若函数f(x)在区间[m , m + 1]上单调递增，求 m 的取值范围.解 (1) •••函数 f(x)= ax 3 + bx 2 的图象经过点 M(1,4)，二 a + b = 4.① f ' (x)= 3ax 2+ 2bx ,则 f ' (1) = 3a + 2b.1由条件 f ' (1) •— 9 =— 1,即 3a + 2b = 9.② 由①②解得a = 1, b = 3.(2) f(x) = x 3 + 3x 2，则 f ' (x)= 3x 2 + 6x. 令 f ' (x)= 3x 2 + 6x >0,得 x >0 或 x < — 2. •••函数f(x)在区间[m , m + 1]上单调递增， •••[m , m + 1]?(—g,— 2] U [0,+ g) /• m >0或 m + K — 2, • m >0 或 m W — 3.12. 已知函数f(x)= a x + x 2— xln a — b(a , b € R , a > 1), e 是自然对数的底数. (1)试判断函数f(x)在区间(0,+g )上的单调性；⑵当a = e , b = 4时，求整数k 的值，使得函数f(x)在区间(k , k + 1)上存在零点 解 (1)f ' (x) = a x ln a + 2x — In a = 2x + (a x — 1)ln a.•/a > 1, •••当 x € (0, + g )时，ln a >0 , a x — 1>0 ,1令 h(x)=护—2x ,x + 9y = 0• f' (x)> 0,•函数f(x)在(0 , +g)上单调递增.⑵•/ f(x) = e x+ x2- X—4, ••• f (x) = e x+ 2x—1,••• f' (0) = 0.当x> 0 时，e x> 1, • f' (x) >0,• f(x)是(0, + g)上的增函数.同理，f(x)是(-g, 0)上的减函数•又f(0) =—3v 0, f(1) = e—4v 0, f(2) = e2—2>0, 当x>2 时，f(x)>0,•••当x> 0时，函数f(x)的零点在(1,2)内，•- k= 1满足条件.1 1f(0) = —3V0, f(—1)=——2V 0, f( —2) = -2+ 2>0, e e当x v—2 时，f(x)>0,•••当x v 0时，函数f(x)零点在(一2,—1)内，•- k=—2满足条件.综上所述，k= 1或—2.13. 求下列函数的单调区间.(1) y= In (2x+ 3) + x2;x一1(2) f(x) = aln x+ (a 为常数).x+ 13解(1)函数y= In (2x+ 3) + x2定义域为一§, + g •/y= In (2x+ 3) + x2, , 2 4x2+ 6x+ 2 2 2x+ 1 x+ 1…y = + 2x= =y 2x+ 3 2x+ 3 2x+ 3当y' > 0,即一3v x v —1 或x>—丄时，2 2函数y= In(2x+ 3) + x2单调递增.1当y' v 0,即一1 v x v —时，函数y= In(2x+ 3) + x2单调递减.3 1故函数y = In(2x + 3) + x 2的单调递增区间为 一2, — 1 , — ?, 当a >0时，f ' (x)> 0,函数f(x)在(0,+s )上单调递增当 a v 0 时，令 g(x)= ax 2 + (2a + 2)x + a , 由于 △= (2a + 2尸一4a 2= 4(2a + 1),1①当 a =-㊁时，A= 0, g(x )w 0,1② 当 a v -号时,Av 0, g(x)v 0, f ' (x)v 0，函数f(x )在(0 ,+a )上单调递减 1③当一2< a v 0 时，A> 0.设x 1, X 2(X 1< X 2)是函数g(x)的两个零点, Qa 2+ 2a + — 2a + 1 >。
高中数学选修2-2函数的极值与导数课件
B. y=cos2x
C. y=tanx-x
课堂练习
2.曲线y=x4-2x3+3x在点P(-1，0)处的切线的斜率为( B )
A. –5
B. –6
C. –7
D. –8
课堂练习 3. 下列说法正确的是 （ C ）
A. 函数在闭区间上的极大值一定比极小值大 B. 函数在闭区间上的最大值一定是极大值 C. 对于f(x)=x3+px2+2x+1，若|p|<√6，则f(x)无极值 D. 函数f(x)在区间(a,b)上一定存在最值
一般地，求函数y=f(x)的极值的方法是:解方程 f ' x 0 .当 f ' x0 0 时：
x （1）如果在 0 附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么
2如果在x0附近的左侧f ' x 0,右侧 f ' x 0, 那么f x0 是极小值.
f x0
是极大值；
口诀：左负右正为极小，左正右负为极大.
例题讲解
求函数y＝(x2－1)3＋1的极值． 解：定义域为R，y ’＝6x(x2－1)2.由y ’＝0可得x1＝－1，x2＝0，x3＝1 当x变化时，y ’ ，y的变化情况如下表：
当x＝0时，y有极小值，并且y极小值＝0．
课堂练习
1 . 下列函数中，x=0是极值点的函数是（ B )
A. y=-x3 D. y=1/x
人教版高中数学选修2-2
第1章 导数及其应用
函数的极值与导数
课前导入
一般地，函数的单调性与导数的关系： 在某个区间a, b内, 如果f ' x > 0, 那么 函数y = f x在这个区间内单调递增; 如果 f ' x < 0,那么函数 y = f x在这个区间内
高中数学理科选修知识点(2-2,2-3,4-1,4-4,4-5)
数学选修2-2知识点总结 第一章 导数及其应用 一、导数概念的引入1.导数的物理意义：瞬时速率。
一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()limx f x x f x x ∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即0()f x '=000()()limx f x x f x x ∆→+∆-∆2.导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。
容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即000()()lim()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ',即0()()()limx f x x f x f x x ∆→+∆-'=∆二.导数的计算1.函数()y f x c ==的导数2.函数()y f x x ==的导数3.函数2()y f x x ==的导数4.函数1()y f x x ==的导数基本初等函数的导数公式:1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=；2 若()f x x α=,则1()f x x αα-'=;3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5 若()x f x a =,则()ln xf x a a '= 6 若()x f x e =,则()x f x e '=7 若()logxa f x =,则1()ln f x x a '=8 若()ln f x x =,则1()f x x '=导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''∙=∙+∙3. 2()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''∙-∙'=复合函数求导()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=∙三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增； 如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减.2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数()y f x =的极值的方法是: 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值; 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值;4.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤 求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值. 四.生活中的优化问题利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题第二章 推理与证明考点一 合情推理与类比推理根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理. 类比推理的一般步骤:找出两类事物的相似性或一致性;用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);考点二 演绎推理(俗称三段论)由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理.考点三 数学归纳法它是一个递推的数学论证方法. 步骤:A.命题在n=1（或0n ）时成立，这是递推的基础；B.假设在n=k 时命题成立C.证明n=k+1时命题也成立,完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n>=0n ,且n N ∈)结论都成立。
选修2-2函数的单调性与导数
因此,函数fx = sinx - x,x∈0,π内 单调递减 .
如图（3）所示.
y
o
图3
x
fx = sinx - x
4因为f x = 2x3 + 3x2 - 24x +1,所以fx = 6 x 2 6 x 24 .
当fx > 0,即
x 1 17 或x 1 17
2
2
时,
函数f x
单调递增
;
当fx < 0,即
t
Oa
b
(1)
(2)
观察下面一些函数图象, 探讨函数的单调性与其导函数正负
的关系. y yx
y y x2
OO
x
1
y
y x3
2 OO
x
y y1 x
OO
x
3
OO
x
4
如图,导数f x0 表示函数
f x 在点 x0,f x0 处的
y y f x
切线的斜率.在x = x0 处,
f x0 > 0,切线是“左下
一些.如图所示,函数y = f x 在0,a或
-a,0内图象“陡峭”,在 a,+∞或 -∞,-a内
“平缓”.
例4 已知函数f(x)＝ax3＋3x2－x＋1在(－∞，＋∞)
上是减函数，求实数a的取值范围．
【解析】f′(x)＝3ax2＋6x－1， 由题意得3ax2＋6x－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立． 当a＝0时，6x－1≤0，x≤1 不满足题意，∴a≠0.
试画出函数f（x）图象的大致形状.
解当: 1 < x < 4 时, f(可x )知> 0 , 在此区f(间x)内单调
递增;
人教版高二数学选修2-2导数及其应用《函数单调性与导数》课件(共33张PPT)
内是减函数
方程根的问题
1 求证：方程 x sin x 0只有一个根。 2
1 f ( x ) x - sin x,x ( , ) 2 1 f '( x ) 1 cos x 0 2 f(x)在（ ， ）上是单调函数， 而当x 0时，（ f x )=0 1 方程x sin x 0有唯一的根x 0. 2
4.讨论函数y=x2－4x＋3的单调性. 图象法 定义法
单增区间：(２，+∞). 单减区间：(－∞，２).
5.确定函数f(x)=xlnx在哪个区间内是增函数?哪个区 间内是减函数? 提出问题:(1)你能画出函数的图象吗?
(2)能用单调性的定义吗?
发现问题:定义是解决单调性最根本的工具,但有时很
麻烦,甚至解决不了.尤其是在不知道函数的图象的时
2 f '(x) 0,即a - 3 在x （0， 1]上恒成立 x
a -1
练习2 已知函数f (x)=2ax - x ，x (0, 1],a 0,
3
若f (x)在（0， 1]上是增函数，求a的取值范围。
3 [ , ) 2
变式2.函数y=ax bx 6 x 1的
x x 在x (0, )上单调递减.
(0, )
练习：求下列函数的单调区间.
(1) f ( x) x ln x (2) f ( x) e x x 1
变式2：求f ( x) 2 x 6ax 7(a 0) 的单调减区间
3 2
解：
2 f ( x)＝6x 12ax
候,如该例,这就需要我们寻求一个新的方法来解决．
函数的单调性可简单的认为是：
f ( x2 ) f ( x1 ) 若 0, 则函数f ( x)为增函数 x2 x1
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导数与单调区间、极值重点：会利用导数解决函数的单调性，利用导数求函数的极值，以及已知单调性、极值求参数难点：导函数与原函数性质的区分、恒成立问题。
一、f’(x)>0(<0)与f(x) 单调性的关系判断判断函数f(x)=sinx-x的单调区间，如何进行？用图像法，定义法去试试思考函数的单调性与变化率有何关系？变化率又与导数有什么关系？①一般的，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间（a,b）内如果f’(x)＞0，那么函数y=f(x)在（a,b）上单调递增；如果f’(x)＜0，那么函数y=f(x)在（a,b）上单调递减；：（1（2（3（4典型题一、 f’(x)的图像与f(x) 图像例1．：A变式1已知函数y=f（x）的图象如图l所示，则其导函数y=f'（x）的图象可能是（）A．B．C．D．考点：函数的单调性与导数的关系．专题：导数的概念及应用．分析：根据原函数图象的单调性及极值点的情况，得到导函数的零点个数及导函数的正负取值，由此即可得到导函数的图象的大致形状．解答：解：由函数f（x）的图象看出，在y轴左侧，函数有两个极值点，且先增后减再增，在y轴右侧函数无极值点，且是减函数，根据函数的导函数的符号和原函数单调性间的关系可知，导函数在y轴右侧应有两个零点，且导函数值是先正后负再正，在y轴右侧无零点，且导函数值恒负，由此可以断定导函数的图象是A的形状．故选A．A变式2.函数y=f（x）的图象如图所示，则y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象可以是（）A．B．C．D．分析：排除法，由图象知x＜0时，图象从左向右降低，是减函数，得y的导函数y，＜0，排除A、B、C，即得．解答：解：由图象知，当x＜0时，y随x的增大而减小，是减函数，y=f（x）的导函数y，=f，（x）＜0；当x＞0时，y也随x的增大而减小，是减函数，y=f（x）的导函数y，=f，（x）＜0；所以，y=f（x）的导函数y，=f，（x）的图象可以是满足条件的D答案．故选：D．A 变式3设f′（x ）是函数f （x ）的导函数，y=f′（x ）的图象如图所示，则y=f （x ）的图象最有可能的是（ ）A ．B ．C ．D ．分析： 先根据导函数的图象确定导函数大于0 的范围和小于0的x 的范围，进而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间． 解答：解：由y=f'（x ）的图象易得当x ＜0或x ＞2时，f'（x ）＞0， 故函数y=f （x ）在区间（﹣∞，0）和（2，+∞）上单调递增；当0＜x ＜2时，f'（x ）＜0，故函数y=f （x ）在区间（0，2）上单调递减； 故选C ．A 变式4已知函数f （x ）的导函数f′（x ）=a （x+b ）2+c 的图象如图所示，则函数f （x ）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．分析：本题利用排除法，由导函数的图象可以看出f （x ）的单调区间，然后爱观察所给的选项，判断正误，问题得以解决． 解答：解：由导函数的图象可知，当时x ＜0时，函数f （x ）单调递减，排除A ，B ； 由f （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，x 1）单调递增，因此当x=0时，f （x ）有极小值，所以D 正确． 故选：D ．B 变式1下列各坐标系中是一个函数与其导函数的图象，其中一定错误的是（）A．B．C．D．分析：直接对四个选项利用原函数递增导函数值为正以及原函数递减导函数值为负，一一进行验证即可求出答案．解答：解；对于A，由图得，开口向下，且对称轴大于0，故对应的一次函数为减函数，且与轴的交点在轴的上方，即A符合；对于B，原函数的图象是先增，后减再增，对应的导函数的函数值应先正后负再正，故B符合．对于C，不论把哪条曲线对应的函数当成是原函数，均于函数的单调性与其导函数的正负之间的关系相矛盾，故C不符合；对于D，因为原函数的图象是先减后增，故其导函数的图象是先负后正，即D符合要求．故选 C．B变式2已知f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）A．B．C．D．考点：函数的单调性与导数的关系．专题：导数的概念及应用．分析：本题可以考虑排除法，容易看出选项D不正确，因为D的图象，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数．解答：解：不可能正确的是D．因为把上面的作为函数：在最左边单调递增，其导数应为大于0，但是其导函数的值小于0，故不正确；同样把下面的作为函数，中间一段是减函数，导函数应该小于0，也不正确．因此D 不正确．故选：D．注意 f’(x)>0 y=f(x) 单调递增f’(x)＜0 y=f(x) 单调递减f’(x)增减性与 y=f(x)增减性无关。
例如f’(x)>0 与 y=f(x)>0 无关典型题二、求函数单调区间。
例3．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）3()3f x x x =+； （2）2()23f x x x =--当导函数是二次函数时，也可以根据图像来看f ’(x)的符号。
A 变式1 ()sin (0,)f x x x x π=-∈； A 变式2 32()23241f x x x x =+-+体会： 用导数求单调区间和用定义法求单调区间比较二．变化率快慢与导数大小的关系 典型题、变化率快慢与切线斜率例4．如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图像．思考 你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？ 一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．增加还是减小 '()0f x <（'()0f x >） 变化的快慢 '()f x 绝对值的大小思考：当(),x a b ∈时，'()0f x >当(),x b ∈+∞时，'()0f x <那当x=b 时，'()f x 是多少呢？图像上最特殊的点是哪几个？'()0f x =的点 单调性的转折点 在一点附近函数值最大（最小）的点我们把点a 叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值；点b 叫做函数y=f(x)的极大值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极大值。
极大值点与极小值点称为极值点, 极大值与极小值称为极值. 找出图中的极点，并说明哪些点为极大值点，哪些点为极小值点？思考 极大值一定大于极小值吗？ 典型题 求函数极值例题 求函数()31443f x x x =-+的极值归纳：求函数y=f(x)极值的方法是: 求()'fx ,解方程()'f x =0,当()'f x =0时:(1) 如果在x 0附近的左边()'f x ＞0,右边()'f x ＜0,那么f(x 0)是极大值.(2) 如果在x 0附近的左边()'fx ＜0,右边()'f x ＞0,那么f(x 0)是极小值思考 导数值为0的点一定是极值点吗？为什么？ 极值点本质是单调性的转折点，所以肯定要一边()'f x ＜0，一边()'f x ＞0典型题 已知含参函数极值点、极值，求参数例题.已知函数f （x ）=ax 3+bx 2-2x 在x=-2，x=1处取得极值,求函数f （x ）的解析式及单调区间。
A 变式1已知函数1)(3--=ax x x f 当1x =时，取极小值，求a 。
A变式2.A变式3.已知f(x)=x3+ax2+(a+b)x+1有极大值和极小值，求实数a的范围。
A变式 4已知函数f（x）=x3+bx2+cx的图象如图所示，则B变式1已知函数f（x）=mx3+3（m﹣1）x2﹣m2+1（m＞0）的单调递减区间是（0，4），则m=（）A．3B．C．2D．分析：首先对f（x）求导数f'（x），由题意令f'（x）＜0，根据条件得0和4是方程f'（x）=0的两根，由根与系数的关系得到m的值．解答：解：函数f（x）=mx3+3（m﹣1）x2﹣m2+1（m＞0）则导数f'（x）=3mx2+6（m﹣1）x，令f'（x）＜0即3mx2+6（m﹣1）x＜0，∵m＞0，f（x）的单调递减区间是（0，4），∴0，4是方程3mx2+6（m﹣1）x=0的两根，∴0+4=，0×4=0，∴m=．故选：B．B变式2若函数f(x)=x3-3bx+3b在（0，1）内有极小值，求实数b的范围典型题、已知含参函数单调区间，求参数.例题[-1，2]，则b= ，c=A变式1.R上的单调增函数，则实数m的取值范围是（）A变式2R上的单调减函数，则实数m的取值范围是（）A变式3b= c=B 变式1已知函数f（x）=（x+a）2﹣7lnx+1在（1，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为（）A．（，+∞）B．[，+∞）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，﹣]分析：f（x）在（1，+∞）上单调递增，则其导函数大于等于0恒成立．解答：解：=≥0，在x∈（1，+∞）上恒成立，∴2x2+2ax﹣7≥0，=，令g（x）=在[1，+∞）上单调递减，∴g（x）≥g（1）=5，即a≥．故选：B．B变式3若函数f（x）=x2+ax+是增函数，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0]B．[﹣1，∞]C．[0，3]D．[3，+∞]考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：由函数在（，+∞）上是增函数，可得≥0在（，+∞）上恒成立，进而可转化为a≥﹣2x在（，+∞）上恒成立，构造函数求出﹣2x在（，+∞）上的最值，可得a的取值范围．解答：解：∵在（，+∞）上是增函数故≥0在（，+∞）上恒成立即a≥﹣2x在（，+∞）上恒成立令h（x）=﹣2x，则h′（x）=﹣﹣2当x∈（，+∞）时，h′（x）＜0，则h（x）为减函数∴h（x）＜h（）=3∴a≥3故选D在某区间上恒>0(<0),典型题、单调区间与定义域例题函数y=x﹣lnx的单调递减区间是（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，1）C．（0，1）D．（e，+∞）分析：求出函数的导数为y'=1﹣，再解y'=1﹣＜0得x＜1．结合函数的定义域，即可得到单调递减区间是（0，1）解答：解：函数y=x﹣lnx的导数为y'=1﹣∵令y'=1﹣＜0，得x＜1∴结合函数的定义域，得当x∈（0，1）时，函数为单调减函数．因此，函数y=x﹣lnx的单调递减区间是（0，1）故选：C求单调区间时要注意定义域。