高二-数学-选修2-2函数的导数与单调性、极值

导数与单调区间、极值重点：会利用导数解决函数的单调性，利用导数求函数的极值，以及已知单调性、极值求参数难点：导函数与原函数性质的区分、恒成立问题。

一、f’(x)>0(<0)与f(x) 单调性的关系判断判断函数f(x)=sinx-x的单调区间，如何进行？用图像法，定义法去试试思考函数的单调性与变化率有何关系？变化率又与导数有什么关系？①一般的，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间（a,b）内如果f’(x)＞0，那么函数y=f(x)在（a,b）上单调递增；如果f’(x)＜0，那么函数y=f(x)在（a,b）上单调递减；：（1（2（3（4典型题一、 f’(x)的图像与f(x) 图像例1．：A变式1已知函数y=f（x）的图象如图l所示，则其导函数y=f'（x）的图象可能是（）A．B．C．D．考点：函数的单调性与导数的关系．专题：导数的概念及应用．分析：根据原函数图象的单调性及极值点的情况，得到导函数的零点个数及导函数的正负取值，由此即可得到导函数的图象的大致形状．解答：解：由函数f（x）的图象看出，在y轴左侧，函数有两个极值点，且先增后减再增，在y轴右侧函数无极值点，且是减函数，根据函数的导函数的符号和原函数单调性间的关系可知，导函数在y轴右侧应有两个零点，且导函数值是先正后负再正，在y轴右侧无零点，且导函数值恒负，由此可以断定导函数的图象是A的形状．故选A．A变式2.函数y=f（x）的图象如图所示，则y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象可以是（）A．B．C．D．分析：排除法，由图象知x＜0时，图象从左向右降低，是减函数，得y的导函数y，＜0，排除A、B、C，即得．解答：解：由图象知，当x＜0时，y随x的增大而减小，是减函数，y=f（x）的导函数y，=f，（x）＜0；当x＞0时，y也随x的增大而减小，是减函数，y=f（x）的导函数y，=f，（x）＜0；所以，y=f（x）的导函数y，=f，（x）的图象可以是满足条件的D答案．故选：D．A 变式3设f′（x ）是函数f （x ）的导函数，y=f′（x ）的图象如图所示，则y=f （x ）的图象最有可能的是（ ）A ．B ．C ．D ．分析： 先根据导函数的图象确定导函数大于0 的范围和小于0的x 的范围，进而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间． 解答：解：由y=f'（x ）的图象易得当x ＜0或x ＞2时，f'（x ）＞0， 故函数y=f （x ）在区间（﹣∞，0）和（2，+∞）上单调递增；当0＜x ＜2时，f'（x ）＜0，故函数y=f （x ）在区间（0，2）上单调递减； 故选C ．A 变式4已知函数f （x ）的导函数f′（x ）=a （x+b ）2+c 的图象如图所示，则函数f （x ）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．分析：本题利用排除法，由导函数的图象可以看出f （x ）的单调区间，然后爱观察所给的选项，判断正误，问题得以解决． 解答：解：由导函数的图象可知，当时x ＜0时，函数f （x ）单调递减，排除A ，B ； 由f （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，x 1）单调递增，因此当x=0时，f （x ）有极小值，所以D 正确． 故选：D ．B 变式1下列各坐标系中是一个函数与其导函数的图象，其中一定错误的是（）A．B．C．D．分析：直接对四个选项利用原函数递增导函数值为正以及原函数递减导函数值为负，一一进行验证即可求出答案．解答：解；对于A，由图得，开口向下，且对称轴大于0，故对应的一次函数为减函数，且与轴的交点在轴的上方，即A符合；对于B，原函数的图象是先增，后减再增，对应的导函数的函数值应先正后负再正，故B符合．对于C，不论把哪条曲线对应的函数当成是原函数，均于函数的单调性与其导函数的正负之间的关系相矛盾，故C不符合；对于D，因为原函数的图象是先减后增，故其导函数的图象是先负后正，即D符合要求．故选 C．B变式2已知f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）A．B．C．D．考点：函数的单调性与导数的关系．专题：导数的概念及应用．分析：本题可以考虑排除法，容易看出选项D不正确，因为D的图象，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数．解答：解：不可能正确的是D．因为把上面的作为函数：在最左边单调递增，其导数应为大于0，但是其导函数的值小于0，故不正确；同样把下面的作为函数，中间一段是减函数，导函数应该小于0，也不正确．因此D 不正确．故选：D．注意 f’(x)>0 y=f(x) 单调递增f’(x)＜0 y=f(x) 单调递减f’(x)增减性与 y=f(x)增减性无关。

例如f’(x)>0 与 y=f(x)>0 无关典型题二、求函数单调区间。

例3．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）3()3f x x x =+； （2）2()23f x x x =--当导函数是二次函数时，也可以根据图像来看f ’(x)的符号。

A 变式1 ()sin (0,)f x x x x π=-∈； A 变式2 32()23241f x x x x =+-+体会： 用导数求单调区间和用定义法求单调区间比较二．变化率快慢与导数大小的关系 典型题、变化率快慢与切线斜率例4．如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图像．思考 你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？ 一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．增加还是减小 '()0f x <（'()0f x >） 变化的快慢 '()f x 绝对值的大小思考：当(),x a b ∈时，'()0f x >当(),x b ∈+∞时，'()0f x <那当x=b 时，'()f x 是多少呢？图像上最特殊的点是哪几个？'()0f x =的点 单调性的转折点 在一点附近函数值最大（最小）的点我们把点a 叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值；点b 叫做函数y=f(x)的极大值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极大值。

极大值点与极小值点称为极值点, 极大值与极小值称为极值. 找出图中的极点，并说明哪些点为极大值点，哪些点为极小值点？思考 极大值一定大于极小值吗？ 典型题 求函数极值例题 求函数()31443f x x x =-+的极值归纳：求函数y=f(x)极值的方法是: 求()'fx ,解方程()'f x =0,当()'f x =0时:(1) 如果在x 0附近的左边()'f x ＞0,右边()'f x ＜0,那么f(x 0)是极大值.(2) 如果在x 0附近的左边()'fx ＜0,右边()'f x ＞0,那么f(x 0)是极小值思考 导数值为0的点一定是极值点吗？为什么？ 极值点本质是单调性的转折点，所以肯定要一边()'f x ＜0，一边()'f x ＞0典型题 已知含参函数极值点、极值，求参数例题.已知函数f （x ）=ax 3+bx 2-2x 在x=-2，x=1处取得极值,求函数f （x ）的解析式及单调区间。

A 变式1已知函数1)(3--=ax x x f 当1x =时，取极小值，求a 。

A变式2.A变式3.已知f(x)=x3+ax2+(a+b)x+1有极大值和极小值，求实数a的范围。

A变式 4已知函数f（x）=x3+bx2+cx的图象如图所示，则B变式1已知函数f（x）=mx3+3（m﹣1）x2﹣m2+1（m＞0）的单调递减区间是（0，4），则m=（）A．3B．C．2D．分析：首先对f（x）求导数f'（x），由题意令f'（x）＜0，根据条件得0和4是方程f'（x）=0的两根，由根与系数的关系得到m的值．解答：解：函数f（x）=mx3+3（m﹣1）x2﹣m2+1（m＞0）则导数f'（x）=3mx2+6（m﹣1）x，令f'（x）＜0即3mx2+6（m﹣1）x＜0，∵m＞0，f（x）的单调递减区间是（0，4），∴0，4是方程3mx2+6（m﹣1）x=0的两根，∴0+4=，0×4=0，∴m=．故选：B．B变式2若函数f(x)=x3-3bx+3b在（0，1）内有极小值，求实数b的范围典型题、已知含参函数单调区间，求参数.例题[-1，2]，则b= ，c=A变式1.R上的单调增函数，则实数m的取值范围是（）A变式2R上的单调减函数，则实数m的取值范围是（）A变式3b= c=B 变式1已知函数f（x）=（x+a）2﹣7lnx+1在（1，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为（）A．（，+∞）B．[，+∞）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，﹣]分析：f（x）在（1，+∞）上单调递增，则其导函数大于等于0恒成立．解答：解：=≥0，在x∈（1，+∞）上恒成立，∴2x2+2ax﹣7≥0，=，令g（x）=在[1，+∞）上单调递减，∴g（x）≥g（1）=5，即a≥．故选：B．B变式3若函数f（x）=x2+ax+是增函数，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0]B．[﹣1，∞]C．[0，3]D．[3，+∞]考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：由函数在（，+∞）上是增函数，可得≥0在（，+∞）上恒成立，进而可转化为a≥﹣2x在（，+∞）上恒成立，构造函数求出﹣2x在（，+∞）上的最值，可得a的取值范围．解答：解：∵在（，+∞）上是增函数故≥0在（，+∞）上恒成立即a≥﹣2x在（，+∞）上恒成立令h（x）=﹣2x，则h′（x）=﹣﹣2当x∈（，+∞）时，h′（x）＜0，则h（x）为减函数∴h（x）＜h（）=3∴a≥3故选D在某区间上恒>0(<0),典型题、单调区间与定义域例题函数y=x﹣lnx的单调递减区间是（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，1）C．（0，1）D．（e，+∞）分析：求出函数的导数为y'=1﹣，再解y'=1﹣＜0得x＜1．结合函数的定义域，即可得到单调递减区间是（0，1）解答：解：函数y=x﹣lnx的导数为y'=1﹣∵令y'=1﹣＜0，得x＜1∴结合函数的定义域，得当x∈（0，1）时，函数为单调减函数．因此，函数y=x﹣lnx的单调递减区间是（0，1）故选：C求单调区间时要注意定义域。