【学练优】八年级数学下册 1.4 角平分线(第1课时)教案 (新版)北师大版

角平分线
第1课时 角平分线
1．复习角平分线的相关知识，探究归纳角平分线的性质和判定定理；(重点)
2．能够运用角平分线的性质和判定定理解决问题．(难点)
一、情境导入
问题：在S 区有一个集贸市场P ，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P 点建两条路，一条到公路，一条到铁路． 问题1：怎样修建道路最短？ 问题2：往哪条路走更近呢？
二、合作探究
探究点一：角平分线的性质定理
【类型一】应用角平分线的性质定理证明线段相等
如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，BD ＝DF .求证：(1)CF ＝EB ；(2)AB ＝AF ＋2EB .
解析：(1)根据角平分线的性质，可得点D 到AB 的距离等于点D 到AC 的距离，即CD ＝DE .再根据Rt △CDF ≌Rt △EBD ，得CF ＝EB ；(2)利用角平分线的性质证明△ADC 和△ADE 全等得到AC ＝AE ，然后通过线段之间的相互转化进行证明．
证明：(1)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴DE ＝DC .在Rt △DCF 和Rt △DEB
中，∵⎩
⎪⎨⎪⎧BD ＝DF ，
DC ＝DE ，∴Rt △
CDF ≌Rt △
EBD (HL)．∴CF ＝EB ；
(2)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴CD ＝DE .在△ADC 与△ADE 中，∵
⎩
⎪⎨⎪⎧CD ＝DE ，AD ＝AD ， ∴△ADC ≌△ADE (HL)，∴AC ＝AE ，∴AB ＝AE
＋BE ＝AC ＋EB ＝AF ＋CF ＋EB ＝AF ＋2EB .
方法总结：角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在应用时一定要注意是两条“垂线段”相等．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题
【类型二】 角平分线的性质定理与三角形面积的综合运用
如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，S △ABC ＝7，DE ＝2，AB ＝4，则AC 的长是( )
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
解析：过点D 作DF ⊥AC 于F ，∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，∴DF ＝DE ＝2，∴S △
ABC
＝12×4×2＋1
2
×AC ×2＝7，解得AC ＝3.故选D.
方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题
【类型三】 角平分线的性质定理与全等三角形的综合运用
如图所示，D 是△ABC 外角∠ACG 的平分线上的一点．DE ⊥AC ，DF ⊥CG ，垂足分别为E ，F .求证：CE ＝CF .
解析：由角平分线上的性质可得DE ＝DF ，再利用“HL ”证明Rt △CDE 和Rt △CDF 全等，根据全等三角形对应边相等证明即可． 证明：∵CD 是∠ACG 的平分线，DE ⊥AC ，DF ⊥CG ，∴DE ＝DF .在Rt △CDE 和Rt △CDF 中，
∵⎩
⎪⎨⎪⎧CD ＝CD ，DE ＝DF ，∴Rt △CDE ≌Rt △CDF (HL)，∴CE ＝CF .
方法总结：全等三角形的判定离不开边，而角平分线的性质是判定线段相等的主要依
据，可作为判定三角形全等的条件．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题
探究点二：角平分线的判定定理 【类型一】 角平分线的判定
如图，BE ＝CF ，DE ⊥AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且DB ＝DC ，求证：AD 是∠BAC 的平分线．
解析：先判定Rt △BDE 和Rt △CDF 全等，得出DE ＝DF ，再由角平分线的判定可知AD 是∠BAC 的平分线．
证明：∵DE ⊥AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC 于点F ，∴∠BED ＝∠CFD ，∴△BDE 与△CDF 是直角三角形．在Rt △BDE 和Rt △CDF 中，
∵⎩
⎪⎨⎪⎧BE ＝CF ，BD ＝CD ， ∴Rt △BDE ≌Rt △CDF (HL)，∴DE ＝DF .∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴AD 是∠BAC 的平分线． 方法总结：证明一条射线是角平分线的方法有两种：一是利用三角形全等证明两角相等；二是角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上．
变式训练：见《学练优》本课时练习 “课堂达标训练”第7题
【类型二】 角平分线的性质和判定的综合
如图所示，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F .下面给出四个结论，①AD 平分∠EDF ；②AE ＝AF ；③AD 上的点到B 、C 两点的距离相等；④到AE 、AF 距离相等的点，到DE 、DF 的距离也相等．其中正确的结论有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
解析：由AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC 可得DE ＝DF ，由此易得△ADE ≌△ADF ，故∠ADE ＝∠ADF ，即①AD 平分∠EDF 正确；②AE ＝AF 正确；中垂线上的点到两端点的距离相等，故③正确；∵④到AE 、AF 距离相等的点，在∠BAC 的角平分线AD 上，到DE 、DF 的距离相等的点在∠EDF 的平分线DA 上，两者同一条直线上，所以到DE 、DF
的距离也相等正确，故④正确；①②③④都正确．故选D.
方法总结：运用角平分线的性质或判定时，可以省去证明三角形全等的过程，可以直接得到线段或角相等．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题
【类型三】 添加辅助线解决角平分线的问题
如图，△ABC 的∠ABC 和∠ACB 的外角平分线交于点D .求证：AD 是∠BAC 的平分线．
解析：分别过点D 作DE 、DF 、DG 垂直于AB 、BC 、AC ，垂足分别为E 、F 、G ，然后利用角平分线上的点到角两边的距离相等可知DE ＝DG ，再利用到角两边距离相等的点在角平分线上来证明．
证明：分别过D 作DE 、DF 、DG 垂直于AB 、BC 、AC ，垂足分别为E 、F 、G .∵BD 平分∠CBE ，DE ⊥BE ，DF ⊥BC ，∴DE ＝DF .同理DG ＝DF ，∴DE ＝DG ，∴点D 在∠BAC 的平分线上，∴AD 是∠BAC 的平分线．
方法总结：在遇到角平分线的问题时，往往过角平分线上的一点作角两边的垂线段，利用角平分线的判定或性质解决问题．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题
【类型四】 线段垂直平分线与角平分线的综合运用
如图，在四边形ADBC 中，AB 与CD 互相垂直平分，垂足为点O .
(1)找出图中相等的线段；
(2)OE ，OF 分别是点O 到∠CAD 两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系．
解析：(1)由垂直平分线的性质可得出相等的线段；(2)由条件可证明△AOC ≌△AOD ，可得AO 平分∠DAC ，根据角平分线的性质可得OE ＝OF .
解：(1)∵AB 、CD 互相垂直平分，∴OC ＝OD ，AO ＝OB ，且AC ＝BC ＝AD ＝BD ； (2)OE ＝OF ，理由如下：在△AOC 和△AOD 中，
∵⎩⎪⎨⎪
⎧AC ＝AD ，OC ＝OD ，AO ＝AO ，∴△AOC ≌△AOD (SSS)，∴∠CAO ＝∠DAO .又∵OE ⊥AC ，OF ⊥AD ，∴OE ＝OF .
方法总结：本题是线段垂直平分线的性质和角平分线的性质的综合，掌握它们的适用条件和表示方法是解题的关键． 三、板书设计
1．角平分线的性质定理
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
2．角平分线的判定定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．
本节课由于采用了动手操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生对角以及角平分线的性质的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生在性质的运用上还存在问题，需要在今后的教学与作业中进一步的加强巩固和训练.。