2011工科数分第一学期期末试题(A)
2011-2012微积分及工科数学分析期末考试试卷A参考答案
北 京 交 通 大 学2011-2012学年第一学期《工科数学分析》I 、《数学分析A 》I 期末考试试卷（A ）考试方式： 闭卷 任课教师：学院_____________ 专业___________________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________请注意：本卷共七道大题，如有不对，请与监考老师调换试卷！ 一、填空题（本题共10小题，每小题3分，满分30分）：1．=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→xx x 211lim 2e .2. 设)(x f 在a x =点可导,且2)(='a f ,则=--→ha f h a f h )()(lim2-.3. 设)()(x x f e f e y --=，其中函数)(x f 有连续的导函数，则=dy ()()()()''f x x x x ef x f e e f e dx ----⎡⎤-+⎣⎦. 4. 要使函数0(0),ln(0,53cos 1)(32>⎪⎩⎪⎨⎧≤->+-=a x x a x x x xx f 为常数)连续，则=a 5. 设2sin x 为)(x f 的一个原函数，则=⎰dx x f x )(2222sin cos .x x x C ++6.⎰-=++222cos 1cos 1ππdx x xx . 7．设⎰-=x dt t y sin 03)1(,则=dxdy()31sin cos x x -. 8. 曲线16213123+++=x x x y 在点)1,0(处的切线方程是16+=x y .9.=+⎰∞+222xdx. 10. 双纽线θρ2cos 42=所围图形的面积A 的定积分表达式为A ＝48cos 2d πθθ⎰.二、求解下列各题（本题共6小题，每小题6分，满分36分）：1. 求极限⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x x tan 11lim 20.解：20203022022011lim tan tan lim tan tan lim sec 1lim 3tan lim 313x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→⎛⎫- ⎪⎝⎭-=-=-===2. 设xy xe y +=12，求=x dxdy .解：2xy xy dy dy e xe y x dx dx ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以012x dy dx ==。
北京理工大学2010-2011学年第一学期工科数学分析期末试题(A卷)答案
代入方程得 解得
6 A 1 ， 2 A 3 B 1
………………..(9 分) ………………..(10 分)
A
1 4 ， B 6 9 x2 4 x )e x 6 9 x2 4 x )e x 6 9
y* (
通解为
y C1e x C 2 e 2 x (
……………..(11 分)
四.
1
………………….(3 分) …………………..(4 分)
dy 1 dx 1 sin y
dy d y dx dx 2 (1 sin y ) 2
2
cos y
……………(6 分)
cos y
1 cos y 1 sin y 2 (1 sin y ) (1 sin y ) 3
0 x
……(6 分)
…………………….(7 分)
令 t u ，得
F ( x) ( x 2t ) f (t )dt
0
x
…………………….(8 分)
( x 2t ) f (t )dt
0
x
( x 2u ) f (u )du F ( x)
v x 0 2 vdv sin xdx
1 2 v cos x C 2
由初值得
C 1
信息与电子学部学生会 学习部整理
v 2 2(cos x 1)
…………………….(8 分)
十．
设
f ( x) ln x f ( x) 1 1 x e
x 1 x2 e dx e 0
…………………….(1 分) …………………….(2 分)
令
f ( x) 0 ， 得
工科数学分析上学期AB卷期末考试题及答案2套
,考试作弊将带来严重后果！期末考试《工科数学分析》试卷A1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； ．考试形式：闭卷；5分，共10分） （1）)(lim 22x x x x x --++∞→ （2）xx x ln 1)(cot lim +→（10分）设1lim )(2212+++=-∞→n n n x bxax x x f 为连续函数, 试确定常数a 和b .（10分）设参数方程⎩⎨⎧=+=ty t x arctan )1ln(2确定了函数0)(>=x f y , 求x yd d 与22d d xy, 并判定函数)(x f 的单调性及凸性. （10分）造一个容积为V 的圆柱形无盖水池, 问高h 及底半径r为多少时, 可使其表面积最小? （10分）设0>x 时, 方程112=+xkx 有且仅有一个解, 求k 的取值范围.（10分）计算下列积分（每小题5分，共10分）（1）⎰+x x x )1(d 3 （2）⎰-+226d )cos (sin ππx x x x七．（10分）设⎰+∞-=0d e x x I x n n (n 为正整数), 试建立数列}{n I 的递推公式, 并求n I 的值.八．（10分）求抛物线px y 22=在点),2(p p 处法线与抛物线围成的图形的面积.九.（10分）设函数)(x f 在),(+∞-∞上有二阶导数且0)(≥''x f , 如果A xx f x =→)(lim, 试证明对任意),(+∞-∞∈x , 有Ax x f ≥)(. 十．（10分）设01>x , )(211nn n x ax x +=+, 证明数列}{n x 收敛并求其极限.《工科数学分析》试卷A 答案一. （1）解：12lim)(lim 2222=-++=--++∞→+∞→xx x x xx x x x x x（2）解：)1)1sin (cot 1lim exp()ln cot ln lim exp()(cot lim 200ln 10xx x xx x x x x x -==+++→→→ e1)1exp()cos sin lim exp(0=-=-=+→x x x x二. 解: ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=-+-=++<+=1|| ,/11 ,2/)1(1,2/)1(1|| ,)(2x x x b a x b a x bx ax x f , 由于)(x f 为连续函数, 故)1()1()1(f f f ==+-, )1()1()1(-=-=-+-f f f即1=+b a , 1-=-b a解之得.1 ,0==b a三. 解: t t t t x y 21)1/(2)1/(1d d 22=++=, 32222241)1/(2/121d d tt t t t x y +-=+-=. 因0)(>x f , 故0>t , 从而0d d >xy, 0d d 22<x y . 因此, 方程确定的函数)(x f y =单调增加且上凸.四. 解: 表面积2222r r V r rh S πππ+=+=, 令0222=+-='r rVS π, 得32/πV r =, 此时3/4πV h =. 因S 有唯一驻点, 由实际问题可知必有最小表面积, 故当32/πV r =, 3/4πV h =时, 表面积最小. 五. 解: 令11)(2-+=x kx x f , 则32)(xk x f -='. 0≤k 时, )(x f 在),0(+∞单调下降. 又+∞=+→)(lim 0x f x , -∞=+∞→)(lim x f x (0<k ), 1)(lim -=+∞→x f x (0=k )因此, 当0≤k 时, )(x f 在),0(+∞只有一个零点, 即原方程在),0(+∞内只有一个解. 当0>k 时, )(x f 有唯一驻点30/2k x =, 且)(x f 在),(0+∞x 与),0(0x 内分别单调增加和单调减少. 注意到此时+∞=+→)(lim 0x f x , +∞=+∞→)(lim x f x故当且仅当0)(0=x f 即392=k 时, 函数有且仅有一个零点, 即原方程在),0(+∞内有且仅有一个解. 六. 解: (1) 令6x t =, 于是Cx x C t t dt t dt t t t t dt t x x x +-=+-=+-=+=+=+⎰⎰⎰⎰)arctan (6 )arctan (6)111(616)1(6)1(d 662223253(2)⎰⎰⎰⎰-===+--202022226dcos 2d sin 2d sin d )cos (sin ππππππx x x x x x x x x x x x.2d cos 2cos 2202/0=+-=⎰ππx x x x 七. 因为101010d e 0d e |e d e -+∞--+∞--∞+-+∞-=+=+-==⎰⎰⎰n x n xn x n x n n nI x x n x nx x x x I于是容易知道1!I n I n =. 又因为1|e 0d e |e d e 001=-=+-==∞+-+∞-∞+-+∞-⎰⎰x x x xx x x x I , 故有!.n I n =八. 因p y y 22=', 故1|2=='=y py p x , 从而可知抛物线在点),2(p p 的法线方程为)2(p x p y --=-或y px -=23.除去切点外抛物线与法线的另一个交点坐标为)3,29(p p -, 所以所求图形的面积232316d )223(p y p y y p A pp =--=⎰-九. 0)(lim)(lim )0(0===→→x xx f x f f x x , A xx f x f x f f x x ==-='→→)(lim )0()(lim)0(00. 由泰勒公式, ),(+∞-∞∈∀x , 0≠x , 有Ax x f x f x f f x f ='≥''+'+=)0(!2)()0()0()(2ξ上式当0=x 时显然成立. 证毕.十. 单调增加（减少）有上界（下界）的数列必收敛. 下面我们证明数列}{n x 是单调减少有下界的数列. 由于a x ax x nn n =⋅≥+1 故数列}{n x 有下界. 此外, 因为1)11(21)1(2121=+≤+=+n n n x a x x 故数列}{n x 单调减少. 因此, 数列}{n x 收敛, 设其极限为A , 于是AaA x a x x A n n n n n +=+==∞→+∞→)(21limlim 1 解之得a A =（由极限保号性负根舍去）.,考试作弊将带来严重后果！期末考试《工科数学分析》试卷B1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； ．考试形式：闭卷；5分，共10分） （1）)2(lim 2x x x x -++∞→ （2）x x x +→0lim二．（10分）设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=0 ,e 0,1sin )(x x xx x f x βα, 试根据α和β的值, 讨论)(x f 在0=x 处的连续性(包括左连续、右连续及间断点的类型).三．（10分）设方程22ln arctan y x x y +=确定函数)(x f y =, 求22d d x y .四．（10分）试确定数列}{n n 中的最大项.五．（10分）设0>a , 试讨论方程ax x =ln 实根的个数. 六．计算下列积分（每小题5分，共10分） （1）⎰+xx e1d （2）⎰-+22d )e (sin 4ππx x x x七．（10分）设⎰+∞-=0d e x x I x n n (n 为正整数), 试建立数列}{n I 的递推公式, 并求n I 的值.八．（10分）求抛物线x y 22=与直线21=x 所围成的图形绕直线1-=y 旋转而成的立体的体积.九.（10分）设函数)(x f 在]1,0[上二阶可导, a x f ≤|)(|, b x f ≤''|)(|,)1,0(∈c , 试证明22|)(|b a c f +≤'. 十．（10分）已知0>a , a x =1, n n x a x +=+1, 证明数列}{n x 收敛并求其极限.《工科数学分析》试卷B 答案一. （1）解：122lim)2(lim 22=++=-++∞→+∞→xx x x x x x x x（2）解：1)/1/1lim exp()/1ln lim exp()ln lim exp(lim 20000=-===++++→→→→xx x x x x x x x x x x 二. 解: )0(1)0(f f =+=-β. 当0>α时, 0)0(=+f ; 当0≤α时, )0(+f 不存在. 因此, 当0>α且1-=β时, 函数在0=x 处连续; 当0>α且1-≠β时, 函数在0=x 处左连续但又不连续, 0=x 为第一类间断点; 当0≤α时, 函数在0=x 处左连续, 0=x 为第二类间断点.三. 解: 方程两边关于x 求导得22222221)/(11yx y y x x y y x x y +'+=-'+ 整理得 yx yx x y -+=d d 于是, 322222)()(2)()1)(())(1(d d y x y x y x y y x y x y x y -+=-'-+--'+=. 四. 解: 令x x x f /1)(=, 0>x . 令0ln 1)(2/1=-='xxx x f x , 得e /1=x . 则在)/1,0(e 与),/1(+∞e 上)(x f 分别单调增加和单调减少. 从而33)/1(2<<e e因此,33为最大项.五. 解: 令ax x x f -=ln )(, 0>x . 解01)(=-='a xx f 得唯一驻点ax 1=. )(x f 在)/1,0(a 与),/1(+∞a 内分别单调增加和单调减少. 又由于-∞=+→)(lim 0x f x , -∞=+∞→)(lim x f x , 所以有如下结论:(1) 当e a /1>时, 0)/1(<a f , 原方程没有根; (2) 当e a /1=时, 0)/1(=a f , 原方程有一个根; (3) 当e a /1<时, 0)/1(>a f , 原方程有两个根 六. (1)令1+=x e t , 则)1ln(2-=t x , 于是Cx e C e e C t t dt t t dt t t t e dxx x x x+--+=+++-+=++-=+--=-=+⎰⎰⎰)11ln(21111ln 11ln )1111(12112(2) ⎰⎰⎰⎰-===+--20202222dcos 2d sin 2d sin d )e (sin 4ππππππx x x x x x x x x x x x.2d cos 2cos 2202/0=+-=⎰ππx x x x 七. 因为1010100d e 0d e |e d e -+∞--+∞--∞+-+∞-=+=+-==⎰⎰⎰n x n xn x n x n n nI x x n x nx x x x I于是容易知道1!I n I n =. 又因为1|e 0d e |e d e 001=-=+-==∞+-+∞-∞+-+∞-⎰⎰x x x xx x x x I , 故有!.n I n = 八. 体积元素x x x dV πππ24)12()12(22=+--+=, 因此所求体积ππ342421==⎰dx x V九. 由泰勒公式21)0)((21)0)(()()0(c f c c f c f f -''+-'+=ξ, ),0(1c ∈ξ 22)1)((21)1)(()()1(c f c c f c f f -''+-'+=ξ, )1,(2c ∈ξ 两式相减得2122)(21)1)((21)()1()0(c f c f c f f f ξξ''--''+'=- 因此22])1[(212 |)(|21)1(|)(|21|)1(||)0(||)(|222122b a c c b a c f c f f f c f +≤+-+≤''+-''++≤'ξξ十. 单调增加（减少）有上界（下界）的数列必收敛. 下面我们证明数列}{n x 是单调增加有上界的数列. 显然, 12x x >, 假设1->n n x x , 则n n n n x x a x a x =+>+=-+11故数列}{n x 单调增加. 此外, 显然, 11+<a x , 假设1+<a x n , 则111+<++<+=+a a a x a x n n故数列}{n x 有上界. 因此, 数列}{n x 收敛, 设其极限为A , 于是A a x a x A n n n n +=+==∞→+∞→lim lim 1解之得2411aA ++-=（由极限保号性负根舍去）.。
2011-2012学年第一学期高等数学A试卷(A卷)答案
一、单选题(每小题3分，共15分)(要求把答案填在答题纸上)
1．设 ，则当 时，有（B）
（A） 与 是等价无穷小；（B） 与 同阶但非是等价无穷小；
（C） 是比 高阶的无穷小；（D） 是比 低阶的无穷小.
2.函数 在 可导，且 ，则 （D）
（A） ；（B）2；（C） ；（D）－2.
3. 是曲线 有拐点 的（D）
（A）充分而非必要条件；（B）必要而非充分条件；
（C）充分必要条件；（D）既非充分又非必要.
4.设 ，则 （C）
（A） ；（B） ；
（C） ；（D） .
5． 等于(B)
（A） ；（B） ；（C） ；（D） .
二、填空(每小题3分，共15分)(要求把答案填在答题纸上)
故所求面积为
……………8分
四、（共14分）求函数 的定义域，单调区间，极值，凹凸性，拐点，渐近线，并画出草图.
解：（1）定义域：
由于 是偶函数，它的图形关于 轴对称，因此可以只讨论 上该函数的图形------------------------------------(2分)
（2） ，得水平渐近线 ，-------------(3分)
（3） ，由 得 -------------(5分)
，由 得 -------------(7分)
（4）列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:
0
0
－
－
-
-
-
0
+
极大
拐点
所以，函数的单调递增区间为 ,单调递减区间为 ；
极大值为 ；
凹区间为 ， ；凸区间为 ；
工科数分(上)答案(A)
北京邮电大学2008——2009学年第一学期《工科数学分析》期末考试试卷(A 卷)参考评分规范一、填空（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.极限1sin lim sin x ax a x a -→⎛⎫= ⎪⎝⎭.解答：1sin eα2.当0≥x 时,20()()x f x t t dt =-⎰的最大值是.解答：163.设当0→x 时，)1ln()cos 1(2x x +-是比n x x sin ⋅高阶的无穷小，而n x x sin ⋅是比12-x e 高阶的无穷小，则正整数n 等于.解答：24.已知dx xex df x=)( 则=)(x f .解答：C ex+25.极限120lim 1nn x dx x →∞=+⎰. 解答：06.[]22()()tan f x f x xdx -+-=⎰.解答：07.设()f x 是连续函数，且12()()f x xf t dt =⎰，则()f x =.2x8.方程4(1)'2(1)+-=+x y y x 的通解是.解答：221(1)(1).2⎛⎫+++⎪⎝⎭x x C 9.11sin cos dx x x=++⎰.解答：ln 1tan2xC ++ 10.2arctan 1xdx x+∞=+⎰_____________________________. 解答：28π二、(6分)设()F x 是()f x 的原函数, 且π42)1(=F ，当0>x 时，有)1(arctan )()(x x x x F x f +=，试求)(x f .解:由)()(x F x f '=，知 ,)1(a r c t a n )()(x x x x F x F +='即,arctan arctan 2)()(x d x x dF x F ⎰⎰= 解出,arctan )(2122C x x F += 代入初始条件π42)1(=F , 即得0=C ，故.ar c t a n 2)(x x F =由此得)1(22)(x x x f +=（0>x ）.三、(8分)对||1,x <证明存在(0,1),θ∈使得arcsin x =，并求lim .x θ→证明：由Taylor 公式，对任意||1,x <存在(0,1)θ∈使得arcsin arcsin 0(arcsin )'|x x x x θ==+=.又因为33arcsin (),(0).6x x x o x x =++→ 故当0x →33(),6x x o x =++由此知222222()31()6x o x x x o x θ+=⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 两边取极限得22220022()13lim lim 31()6x x x o x xx o x θ→→+==⎛⎫++ ⎪⎝⎭,故0lim x θ→=. 四、(10分)设抛物线2y ax bx c =++过原点, 且当01x ≤≤时,0y ≥. 又知该抛物线与直线0,1x x ==及x 轴所围成的图形面积是13. 求,,a b c 使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体体积V 最小. 解: 由于抛物线2y ax bx c =++过原点, 所以c=0. 由围成图形的面积可知1201()3ax bx dx +=⎰, 整理得1323a b +=, 即2(1).3b a =-于是旋转体体积1220()V ax bx dxπ=+⎰22221114()((1)(1)).5235327a a ab b a a a ππ=++=+-+-令2128[(1)]053327a V a a a π'=+---=, 得唯一驻点 53,42a b =-=,又知该问题存在最小值, 故当53,,042a b c =-==时旋转体体积最小.五、(7分)设(),()f x g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导, 且()()0 .f a f b ==求证：( , )a b ξ∃∈使得'()()'()0f f g ξξξ+=.证明：令()()(),g x F x f x e=则()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导, 且()()0F a F b ==.故由罗尔定理：(,), a b ξ∃∈使得()()'()'()()'()0g F f f g e ξξξξξ=+=，而()0g eξ≠, 因此'()()'()0f f g ξξξ+=.六、(7分)设0,x ≥证明arctan ln(1).1xx x+≥+证明：设()(1)ln(1)arctan ,f x x x x =++-21'()ln(1)1.1f x x x =++-+ 当0x ≥时'()0,f x >因此函数()f x 严格单调递增， 且()(0)0.f x f ≥= 从而当0x ≥时,arctan ln(1).1xx x+≥+七、(12分)(本大题共两个小题，每小题6分)(1)求摆线第一拱(sin ),(0,02)(1cos )=-⎧>≤≤⎨=-⎩x a t t a t y a t π的长度.解:20=⎰Lπ22002sin 8.2===⎰⎰ta dt a ππ(2) 判别积分20+∞⎰的敛散性.解：0=x 2的奇点.2221001+∞+∞=+⎰⎰⎰.因为22200tan lim lim 1(1)x x xx x ++→→==+，而1⎰收敛,故 21⎰收敛；又因为),1(∞+∈∀x22<，且1+∞⎰收敛,所以21+∞⎰绝对收敛.综上所述，可知20+∞⎰收敛.八、(10分)求微分方程22223sin2xy y y x e x '''-+=-的通解, 以及满足条件0)0(,0)0(='=y y 的特解.解：(1)特征方程0222=+-λλ，特征根i i -=+=1,121λλ，故所对应的齐次线性方程的通解为.sin cos 21x e C x e C y xx +=注意到自由项的形式，由线性方程特解的叠加原理，先设方程特解为***12y y y =+其中**12,y y 分别为方程(1) 2222y y y x '''-+= (2) 223sin2,xy y y e x '''-+=- 的特解. (i)由于0λ=不是特征根，故设2222y y y x '''-+=的特解为*21,y ax bx c =++则 ()*1'2,y ax b =+()*1"2,y a =代入(1)比较系数得 1,2,1a b c === 于是的特解为*212 1.y x x =++由于i 21±=λ不是特征根，故设223sin2,x y y y e x '''-+=-的特解为*2(cos 2sin 2),x y e A x B x =+ 代入(2)比较系数得 0,1,A B == 于是得特解为*2sin 2.x y e x =故原方程的通解为()*212cos sin 21sin 2.x x x y y y C e x C e x x x e x =+=+++++(2)将0)0(,0)0(='=y y 代入方程的通解中易知121,3,C C =-=-满足条件0)0(,0)0(='=y y 的特解为()2cos 3sin 21sin 2.x x x y e x e x x x e x =--++++。
工科数学分析第一学期期末试题
则 a ? ln 3
1
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2．已知 y ? x 2
解： dy ? 1 dx 2
x2 ? 1 ? 1 ln( x ? x2 ? 1），则 dy ? ______。
2
dx
x2 ? 1 ? x 2
1? x ?1 x2 ? 1 2 x ?
x x2 ? 1 x2 ? 1
? 1 x2 ??1
a ? lim 2x2 ? x ? 2 , x?? x( x ? 1)
b?
2x2 ? x lim ( x? ? x ? 1
? 2x)
?
lim
x? ?
? 3 x ?? x?1
3
12
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，
四、（6分）（1）证明：当 x ? 0时， x ? sin x ；
（2）设0 ? x1 ? ? ， xn?1 ? sin xn (n ? 1,2,L )，
代入原方程，得： du ? u 2 ? 1 dx
解得 ar ctan u ? x ? C , 即 ar ctan( x ? y) ? x ? C ,
通解为 y ? tan( x ? C) ? x
9
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大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以询问和交流
10
三、（6分）已知 lim( 2 x2 ? x ? ax ? b) ? 0，试确定常数 x?? x ? 1x? 解：y?e
?
?(
?
1 x
)dx
(
x
2e
?(
?
1 x
)dx
dxC?
)
? ? eln x ( x2e ? ln xdxC? )
2010—2011 学年第一学期期末考试大学《数学分析 1》 试题及答案
五、证明题（3 小题，1,2 小题各题 6 分，3 小题 7 分，共 19 分）
1、设 an
=
sin1 2
+
sin 2 22
++
sin n 2n
，证明数列 an 收敛.
2、证明 f (x) = x2 在a,b上一致连续.
3、若函数
f
在 a,b上可导，且
f
+
(a
)
f
−
(b)
，
k
为介于
f
+
(a
)和f
−
(b)
( ) 1、已知 y = ln x + 1+ x2 ，求 dy ； dx
2、设
x y
= =
a(t a(1
− sin t) − cost)
，求
dy dx
；
3、设 y = xsin x ，求 y ；
4、设 y = arcsin 1− x2 ，求 dy .
5、求函数 f (x) = (2x − 5) 3 x2 的极值.
1
( ) d 1− x2 , ……………………………………3 分
( )2
1− 1− x2
( ) = 1 d 1 − x2 = − 1 x dx ……………………………………………………5 分 x 2 1− x2 x 1− x2
5、解：定义域 (− ,+)
f
(x) = 23
x2
+
(2
x
−
5)
2
x
−
( ) 9、若在 x0 附近 f (x) = pn (x)+ o (x − x0 )n ，则 pn (x)是唯一的，其中
2011第一学期高等数学A试卷A
第页/共 页 郑州轻工业学院2011—2012学年 第一学期高等数学A 试卷A 试卷编号：20120104一、单项选择题（每题3分，共15分）1、xxx +-=11)(α，x x -=1)(β，则当1→x 时有（ ）A α是比β高阶的无穷小B α是比β低阶的无穷小C α与β同阶无穷小，但不等阶D βα~2、质点作曲线运动，其位置坐标与时间t 的关系为,123,222--=-+=t t y t t x 则当1=t 时，该质点的速度的大小等于（ ） A 3 B 4 C 5 D 73、设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其导函数的图 形如右图所示，则函数()f x 有（ ）个极小值点。
A 1B 2C 3D 44、下列函数在[]1,1-上满足罗尔定理条件的是（ ）A x eB x lnC 21x - D211x- 5、设在),(b a 内，)()(x g x f '='，则一定有（ ）A )()(x g x f =BC x g x f =-)()( C[]'⎰dx x f )([]'=⎰dx x g )( D ⎰dx x f )(⎰=dx x g )(二、填空题（每空3分，共15分）1、写出一种)(0x f '的定义表达式：)(0x f '=2、()f x 在0x x =处可微是()f x 在0x x =处可导的 条件．3、若c x dx x f +=⎰2cos )(，则=)(x f .4、x y 2=的麦克劳林公式中nx 项的系数=n a5、设ax a ax x a ax x f ------=)1(1)2(2)(222(a 为常数)则（1）当=a 时，)(lim 1x f x →不存在（2）当=a 时，21)(lim 1=→x f x（3）当=a 时，2)(lim 21=→x f x三．计算题（每题6分，共48分）1、求极限xxx x 3sin 11lim 0--+→2、求极限13)21(lim +∞→+-x x x x 2、 求极限)1(cot lim 0xx x -→.（这两个选一个）3、设xx y -=12，求)8(y4、已知5221sin tan e x x y ++=，求dy .5、计算不定积分⎰xdx x 2tan线 订 装郑州轻工业学院 / 学年 第 学期 试卷专业年级及班级 姓名 学号第页/共 页 6、求函数 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<+=0,1cos 0,00,sin )(x x x x x x x x x f 的间断点并判别其类型。
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课程编号：MTH17003 北京理工大学2011-2012学年第一学期
工科数学分析期末试题(A 卷)
班级_______________ 学号_________________ 姓名__________________
(本试卷共6页, 十一个大题. 解答题必须有解题过程. 试卷后面空白纸撕下做草稿纸. 试卷不得拆散.)
一. 填空题（每小题2分, 共10分）
1. 设⎪⎩
⎪
⎨⎧<≥+=01
arctan 0)cos (sin )(x x b x x x e x f x 是连续函数，则=b ___________. 2. 设)(),(x g x f 可导, ),1()(arctan 2++=x g x f y 则=dx
dy
__________________________. 3.
.________________________
)cos (sin 2C x x dx
+=+⎰ 4. 要在某人群中推广新技术, 设该人群总人数为常数N, 在任意时刻t 已掌握新技术的人数为)(t x (视其为连续可导函数), 已知)(t x 的变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比(比例系数为k), 则)(t x 所满足的微分方程为____________________. 5. 已知当0>x 时, ,2
3
)0(,)(ln =='f x x f 则)(x f 在]4,0[上的平均值为________________. 二. (9分) 求极限1
arcsin lim
3
--→x x e x x .
三. (9分) 设1)tan(2+=+xy y x ),2
0(π
<≤y 求
,dx dy 0
=x dx
dy .
四. (9分) 求微分方程x
y
x y dx dy tan +=的通解.
五. (9分) 设1
1
2lim )(211+++-=+-∞→x x x x x f n n n ),0(≥x 求)(x f 的表达式及反常积分.)(0⎰+∞dx x f
六. (9分) 在区间],0[π上研究方程a x x =cos sin 3 )0(>a 的实根的个数.
七. (9分) 一圆锥形贮水池(底面在上, 顶点在下), 深4m, 底面直径6m, 水池中装满了水,
如果将池中水全部抽出, 求所做的功. (要画出带坐标系的图形)
八. (9分) 求微分方程x xe y y y 22
1
21=-'-'' 的通解.
九. (11分) 设曲线2ax y =与x y ln =相切, 求a 的值以及此二曲线与x 轴所围成图形D 的
面积A, 并求D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积V .
十. (9分) 设)(x g 是可导函数, 且,0)(lim
0=→x
x g x ⎰-+-=x dt t x g x x f 02
)(2)(, 证明0=x 是)(x f 的极值点, 并判断)0(f 是极大值还是极小值.
十一. (7分) 设)(x f 在]2
,
0[π
上可导, 且,0cos )(40
2=⎰
π
xdx x f 证明),2
,0(π
ξ∈∃ 使
.tan )()(ξξξf f ='。