解三角形培优
第二节 解锐角三角形及应用-学而思培优
第二节解锐角三角形及应用-学而思培优
解锐角三角形是三角函数中的重要内容，也是后续研究几何和三角学的基础。
本节课将介绍解锐角三角形的基本概念、性质及应用。
一、基本概念
1. 锐角三角形：指三个内角都是锐角的三角形。
锐角的度数小于90度。
2. 感状角：指与锐角三角形的一个内角相等的锐角。
3. 代角：指与感状角对顶的外角。
二、性质
1. 锐角三角形内角和等于180度。
即：$A + B + C = 180$，其中A、B、C分别为三角形的三个内角度数。
2. 锐角三角形的感状角对应的代角是锐角。
3. 锐角三角形的内心、重心、垂心和外心四点共线。
三、应用
锐角三角形及其性质在几何和三角学的应用中具有重要意义，
常见的应用包括：
1. 三角定理：锐角三角形中，正弦定理和余弦定理分别描述了
三角形的边与角度之间的关系。
2. 解三角形问题：通过已知锐角三角形的某些边长或角度，求
解其它未知部分的问题。
3. 几何证明：锐角三角形的性质可用于解决一些几何问题，例
如判定锐角三角形的相似性、直角三角形的判定等。
4. 三角函数应用：解锐角三角形可用于理解和应用正弦、余弦、正切等三角函数。
四、总结
解锐角三角形及其应用是研究几何和三角学的基础内容。
通过
掌握锐角三角形的基本概念、性质和应用，我们能够更好地理解和
应用三角函数，解决几何问题，以及在数学问题中进行准确推理和
证明。
以上是本节课的研究内容概述，希望对同学们的研究有所帮助。
谢谢！。
初三数学---解直角三角形---培优班
ABE F QP 初三数学 解三角形1.（2007•宁波）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB ，B 是CD 的中点，CD 是水平的，在阳光的照射下，塔影DE 留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12 m ，塔影长DE=18 m ，小明和小华的身高都是，同一时刻，小明站在点E 处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m 和1m ，那么塔高AB 为 米.2． 如图，大海中有A 和B 两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ 上点E 处测得∠AEP ＝74°，∠BEQ ＝30°；在点F 处测得∠AFP ＝60°，∠BF Q ＝60°，EF ＝1km ． （1）判断ABAE 的数量关系，并说明理由；（2）求两个岛屿A 和B 之间的距离（结果精确到）．（参考数据：3≈，sin74°≈，cos74°≈，tan74°≈，sin76°≈，cos76°≈）3. (2010年兰州市)如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°. 已知原传送带AB 长为4米. （1）求新传送带AC 的长度；（2）如果需要在货物着地点C 的左侧留出2米的通道，试判断距离B 点4米的货物MNQP 是否需要挪走，并说明理由．(说明：⑴⑵的计算结果精确到米，参考数据：2≈，3≈，5≈，6≈4.（2007台州）一次数学活动中，小迪利用自己制作的测角器测量小山的高度CD ．已知她的眼睛与地面的距离为米，小迪在B 处测量时，测角器中的60AOP ∠=°（量角器零度线AC 和铅垂线OP 的夹角，如图）；然后她向小山走50米到达点F 处（点B F D ，，在同一直线上），这时测角器中的45EO P ''∠=°，那么小山的高度CD 约为 米. （注：数据3 1.732≈，2 1.414≈供计算时选用）5. （2010楚雄）如图，河流的两岸PQ ，MN 互相平行，河岸PQ 上有一排小树，已知相邻两树之间的距离CD ＝50米，某人在河岸MN 的A 处测的∠DAN ＝35°，然后沿河岸走了120米到达B 处，测的∠CBN ＝70°，求河流的宽度CE （结果保留两个有效数字）． （参考数据：si n 35°≈，co s35°≈，t an 35°≈Si n 70°≈，co s70°≈，t an 70°≈）6. （2010扬州）如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD ．小明在山坡的坡脚A 处测得宣传牌底部D 的仰角为60°，沿山坡向上走到B 处测得宣传牌顶部C 的仰角为45°．已知山坡AB 的坡度i ＝1:3，AB ＝10米，AE ＝15米，求这块宣传牌CD 的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到米．参考数据：2≈，3≈）7. (2010年绍兴市)如图,小敏、小亮从A ,B 两地观测空中C 处一个气球,分别测得仰角为30°和60°,A ,B 两地相距100 m.当气球沿与BA 平行地飘移10秒后到达C ′处时,在A 处测得气球的仰角为45°.（1）求气球的高度（结果精确到ｍ）；（2）求气球飘移的平均速度（结果保留3个有效数字）. 8．（2009年铁岭市）某旅游区有一个景观奇异的望天洞，D 点是洞的入口，游人从入口进洞游览后，可经山洞到达山顶的出口凉亭A 处观看旅游区风景，最后坐缆车沿索道AB 返回山脚下的B 处．在DCN︒35︒70A B CDE 45°60°同一平面内，若测得斜坡BD 的长为100米，坡角10DBC ∠=°，在B 处测得A 的仰角40ABC ∠=°，在D 处测得A 的仰角85ADF ∠=°，过D 点作地面BE 的垂线，垂足为C ． （1）求ADB ∠的度数； （2）求索道AB 的长．（结果保留根号）9.（苏州）某学校体育场看台的侧面如图阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶．已知看台高为米，现要做一个不锈钢的扶手AB 及两根与FG 垂直且长为l 米的不锈钢架杆AD 和BC(杆子的底端分别为D ，C)，且∠DAB=66. 5°． (1)求点D 与点C 的高度差DH ；(2)求所用不锈钢材料的总长度l (即AD+AB+BC ，结果精确到米)．(参考数据：°≈，°≈，°≈10.（2007山东威海）如图，一条小船从港口A 出发，沿北偏东40方向航行20海里后到达B 处，然后又沿北偏西30方向航行10海里后到达C 处．问此时小船距港口A 多少海里（结果精确到1海里）友情提示：以下数据可以选用：sin 400.6428≈，cos 400.7660≈，tan 400.8391≈，3 1.732≈．11.（2009年江苏省）如图，在航线l 的两侧分别有观测点A 和B ，点A 到航线l 的距离为2km ，点B 位于点A 北偏东60°方向且与A 相距10km 处．现有一艘轮船从位于点B 南偏西76°方向的C 处，正沿该航线自西向东航行，5min 后该轮船行至点A 的正北方向的D 处． （1）求观测点B 到航线l 的距离；（2）求该轮船航行的速度（结果精确到h ）．（参考数据：3 1.73≈，sin760.97°≈，cos760.24°≈，tan76 4.01°≈）CQ BA P北 40 30 AC DE FB 北东C DBE60°76°O12.（2010株洲市）如图，直角ABC ∆中，90C ∠=︒，25AB =，5sin 5B =，点P 为边BC 上一动点，PD ∥AB ，PD 交AC 于点D ，连结AP ． （1）求AC 、BC 的长；（2）设PC 的长为x ，ADP ∆的面积为y ．当x 为何值时，y 最大，并求出最大值．13.（2009年泸州）在某段限速公路BC 上(公路视为直线)，交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60千米／时(即350米／秒)，并在离该公路100米处设置了一个监测点A ．在如图8所示的直角坐标系中，点A 位于y 轴上，测速路段BC 在x 轴上，点B 在A 的北偏西60°方向上，点C 在A 的北偏东45°方向上，另外一条高等级公路在y 轴上，AO 为其中的一段．(1)求点B 和点C 的坐标；(2)一辆汽车从点B 匀速行驶到点C 所用的时间是15秒，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速(参考数据：7.13≈)(3)若一辆大货车在限速路上由C 处向西行驶，一辆小汽车在高等级公路上由A 处向北行驶，设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍，求两车在匀速行驶过程中的最近距离是多少14.(2009年黄冈市)如图，在海面上生产了一股强台风，台风中心（记为点M ）位于海滨城市（记作点A ）的南偏西15°，距离为612千米，且位于临海市（记作点B ）正西方向603千米处．台风中心正以72千米/时的速度沿北偏东60°的方向移动（假设台风在移动过程中的风力保持不变），距离台风中心60千米的圆形区域内均会受到此次强台风的侵袭． （1）滨海市．临海市是否会受到此次台风的侵袭？请说明理由．（2）若受到此次台风侵袭，该城市受到台风侵袭的持续时间有多少小时？DCBA15．（2010义乌）如图1，已知∠ABC ＝90°，△ABE 是等边三角形，点P 为射线BC 上任意一点（点P 与点B 不重合），连结AP ，将线段AP 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AQ ，连结QE 并延长交射线BC 于点F .（1）如图2，当BP ＝BA 时，∠EBF ＝ °，猜想∠QFC ＝ °；（2）如图1，当点P 为射线BC 上任意一点时，猜想∠QFC 的度数，并加以证明； （3）已知线段AB ＝32，设BP ＝x ，点Q 到射线BC 的距离为y ，求y 关于x 的函数关系式．图2ABEQPFC图1ACBEQF。
全等三角形问题培优
全等三角形问题培优在初中数学学习中，全等三角形是一个很重要的概念。
全等三角形指的是具有相等边长和相等内角的两个三角形。
在解决问题时，我们常常要运用全等三角形的性质。
本文将从这一角度出发，介绍全等三角形问题的培优方法。
一、全等三角形的定义和性质全等三角形是指具有相等边长和相等内角的两个三角形。
在解决问题时，我们可以利用全等三角形的性质来简化计算过程和证明过程。
1. 边边边（SSS）全等条件：如果两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等。
2. 边角边（SAS）全等条件：如果两个三角形的一个边和其夹角分别相等，并且另一边也相等，则这两个三角形全等。
3. 角边角（ASA）全等条件：如果两个三角形的两个角和夹在两个角之间的边分别相等，则这两个三角形全等。
利用这些全等条件，我们可以在解决问题过程中找到相应的全等三角形，从而得出答案。
二、全等三角形的应用1. 边长和角度比较在问题中，经常会出现两个或多个三角形的边长或内角需要进行比较的情况。
利用全等三角形的性质，我们不需要逐一计算每个边长或者每个内角的数值，只需要通过观察边长和角度的关系，找到全等三角形，就可以简化计算过程。
例如，已知三角形ABC和三角形DEF的三个内角分别相等，我们可以得出这两个三角形全等。
如果已知三角形ABC的一条边的长度为a，而三角形DEF的相应边的长度为b，那么我们就可以直接得出三角形DEF的边长与a的比较结果。
2. 证明问题在几何证明中，全等三角形是常常被用到的工具。
通过找到一个或多个全等三角形，我们可以得到所求证的结论。
例如，我们需要证明两条线段相等，可以通过构造两个全等三角形，使得所求线段等于全等三角形中的某条边。
然后，利用全等三角形的性质，我们可以得到所求线段等于另一条边，从而得到所需要证明的结论。
3. 问题求解在解决具体问题时，全等三角形也是一个很有用的工具。
通过观察问题中的几何关系，我们可以找到并利用全等三角形来简化问题的求解过程。
成都七中初中学校数学三角形解答题(培优篇)(Word版 含解析)
【分析】
（1）运用折叠原理及三角形的外角性质即可解决问题，
（2）运用折叠原理及四边形的内角和定理即可解决问题，
（3）运用三角形的外角性质即可解决问题，
（4）先根据翻折的性质求出∠AEF、∠EFD，再根据四边形的内角和定理列式整理即可得解．
【详解】
解：（1）如图，∠1=2∠A．
理由如下：由折叠知识可得：∠EA′D=∠A；
（2）根据“智慧三角形”的概念证明即可；
（3）分点C在线段OB和线段OB的延长线上两种情况，根据“智慧三角形”的定义计算．
【详解】
（1）答案为：30°；是；
（2）∵AB⊥OM
∴∠BAO＝90°
∵∠BAC＝60°
∴∠OAC＝∠BAO-∠BAC=30°
∵∠MON＝60°
∴∠ACO＝180°-∠OAC-∠MON＝90°
（1）∠ABO的度数为°，△AOB（填“是”或“不是”灵动三角形）；
（2）若∠BAC＝60°，求证：△AOC为“灵动三角形”；
（3）当△ABC为“灵动三角形”时，求∠OAC的度数．
【答案】（1）30°；（2）详见解析；（3）∠OAC=80°或52.5°或30°.
【解析】
【分析】
（1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO的度数，根据“智慧三角形”的概念判断；
∴此种情况不存在，
∴综上所述：∠OAC=80°或52.5°或30°。
【点睛】
考查的是三角形内角和定理、“智慧三角形”的概念，分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
2．（问题探究）
将三角形 纸片沿 折叠，使点A落在点 处.
（1）如图，当点A落在四边形 的边 上时，直接写出 与 之间的数量关系；
（2）如图，当点A落在四边形 的内部时，求证： ；
全等三角形培优
全等三角形培优关键信息项1、培优课程的目标和预期成果明确学生在全等三角形知识方面的掌握程度提升目标预期学生在相关考试和竞赛中的表现提升2、教学内容和方法涵盖全等三角形的定义、性质、判定定理等核心知识点采用讲解、练习、讨论、案例分析等多种教学方法3、教学时间和进度安排总课时数每周的上课时间和时长每个阶段的教学重点和进度计划4、学生的学习要求和责任按时参加课程，完成作业和练习积极参与课堂讨论和互动主动提出问题和寻求帮助5、教师的职责和教学质量保障具备专业知识和教学经验及时批改作业和答疑解惑定期进行教学评估和改进6、费用和退费政策课程费用的具体金额和支付方式退费的条件和流程7、保密和知识产权对教学资料和学生学习成果的保密规定知识产权的归属11 课程目标和预期成果111 本全等三角形培优课程旨在帮助学生深入理解全等三角形的概念、性质和判定方法，提高学生运用全等三角形知识解决复杂几何问题的能力。
通过本次培优课程，学生应能够熟练掌握全等三角形的各种证明技巧，能够准确快速地识别全等三角形，并能够运用全等三角形的知识解决综合性的几何难题。
112 预期成果方面，学生在完成本课程后，在学校的数学考试中有关全等三角形的题目得分率应显著提高，能够在数学竞赛中灵活运用所学知识取得较好的成绩。
同时，学生应具备较强的逻辑思维能力和空间想象能力，为后续学习更高级的几何知识打下坚实的基础。
12 教学内容和方法121 教学内容将全面涵盖全等三角形的各个方面，包括但不限于：全等三角形的定义、性质和判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）的详细讲解和应用举例。
全等三角形与其他几何图形（如等腰三角形、直角三角形）的综合应用。
全等三角形在证明线段相等、角相等以及求解图形面积等问题中的应用。
复杂图形中全等三角形的识别和构造。
122 教学方法将多样化，以满足不同学生的学习需求：课堂讲解：由教师系统地讲解全等三角形的知识点，确保学生理解基本概念和原理。
2024年高三培优讲义36---解三角形大题第一问专练
专题7-1解三角形大题第一问专练·13个类型练到位目录高考真题回顾与梳理 (3)2023.新高考一卷T17（1）：出现了3个角时∣拆角 (3)2022.新高考二卷T18（2）：式子变形后出现了三边的平方∣余弦 (4)2019.全国Ⅲ卷高考真题：出现两角之和∣变为第三个角 (4)题型一正弦定理+和差公式 (5)类型1 出现了3个角（拆角，正向使用和差公式） (5)类型2 反向使用和差公式 (6)类型3 拆角后再用辅助角公式合并求角 (7)题型二用余弦定理 (8)类型1 出现了边的平方 (8)类型2 出现角的余弦（正弦走不通） (10)题型三多解问题分析 (12)题型四通过诱导公式统一函数名 (12)题型五降幂，半角，二倍角 (13)类型1 半角降幂扩角 (13)类型2余弦二倍角转变为1元二次方程 (14)题型六切化弦 (14)题型七判断三角形的形状或验证角度之间的关系 (15)题型七遇到两角之和化为第三个角 (17)1/ 192 / 19一、基本定理公式（1）正余弦定理：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式==2sin sin sinCa b c R A B = 2222cos a b c bc A =+−；2222cosB b c a ac =+−； 2222cosC c a b ab =+−.常见变形(1)2sin a R A =，2sinB b R =，2sinC c R =(2)sin 2a A R =，sinB 2b R =，sinC 2cR=；222cosA 2b c a bc+−=；222cosB 2c a b ac +−=；222cosC 2a b c ab+−=.111sin sin sin 222S ABC ab C bc A ac B ∆===1()42abc S ABC a b c r R ∆==++⋅（r 是三角形内切圆的半径，并可由此计算R ，r . ） （3）二倍角公式sin 22sin cos A A A =，2222cos 22cos 112sin cos sin A A A A A=−=−=−二、相关应用 （1）正弦定理的应用①边化角，角化边::sin :sin :sin a b c A B C ⇔= ②大边对大角 大角对大边sin sin cos cos a b A B A B A B >⇔>⇔>⇔<③合分比：b 2sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin B sin a bc a b b c a c a cR A B C A B B C A C A C+++++=======+++++（2）ABC △内角和定理（结合诱导公式）：A B C π++= ①sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+cos cos c a B b A ⇔=+ 同理有：cos cos a b C c B =+，cos cos b c A a C =+. ②cos cos()cos cos sinAsinB C A B A B −=+=−；3 / 19③斜三角形中，tan tan tan tan()1tan tan A BC A B A B+−=+=−⋅tan tan tanC tan tan tanC A B A B ⇔++=⋅⋅④sin()cos 22A B C +=；cos()sin 22A B C+= ⑤在ABC ∆中，内角A B C ，，成等差数列2,33B AC ππ⇔=+=. （3）2倍角公式的扩角降幂21cos cos 22C C +=.，21cos sin 22C C −= 忘记了可以用二倍角公式推导:记2Ct =， 则22cos cos 22cos 112sin C t t t ==−=− 故221cos 2cos 22cos 1cos 2t t t t +=−⇒=，221cos 2cos 212sin sin 2t t t t −=−⇒=高考真题回顾与梳理2023·新高考一卷T17（1）：出现了3个角时∣拆角已知在ABC 中，()3,2sin sin A B C A C B +=−=，求sin A .4 / 192022·新高考二卷T18（2）：式子变形后出现了三边的平方∣余弦记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知12331,sin 23S S S B −+==，求ABC 的面积.2019·全国Ⅲ卷高考真题：出现两角之和∣变为第三个角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 2A Ca b A +=，求B5 / 19题型一 正弦定理+和差公式类型1 出现了3个角（拆角，正向使用和差公式）1．在ABC 中，23cos cos 3b cCAa−=，求A 的值2．△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且2sin 6b c A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求C.3．（2023·湛江一模）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知π2cos 3b C a ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，求A .重点题型·归类精6 / 19类型2 反向使用和差公式4．（2023·重庆二模）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos cos cos23a A B b A c b ⋅+=−，求角A5．（2024届·广州·阶段练习）已知ABC 中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足cos cos 3cos c bB C C a a+=，求sin C 的值6．（2023届·荆门三校5月联考）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3cos cos cos cos cos b c a aB C A B C+=+，求tan tan B C .7 / 19类型3 拆角后再用辅助角公式合并求角7．（2023届·深圳市一模）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin 6b c a C π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，求A .8．在 ABC sin sin 3cos sin B CC C A++=，求A .9．（2023·重庆三模）锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 3sin a C c A b c +=+，求A .10．（2023下·襄阳·三模）已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且8 / 19cos 3sin a C a C b c +=+，求角A 的大小；题型二 用余弦定理 类型1 出现了边的平方11．已知ABC 内角,,A B C 所对的边长分别为2222,,,22cos 2cos a b c a B b ab C a c +=++，求B .12．在ABC ∆中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知25c =52sin cos sin sin sin a C B a A b B C =−+，求b2023届·湖南四大名校团队模拟冲刺卷(一)13．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC 的面积为S ，9 / 19且22sin sin 2sin sin C ASa b sinA B C+=+（）（），求C 的值14．已知ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin cos cos sin sin sin A c B b C c B c C b B +−=+，求角A15．（2023·华中师大一附中期中）在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知 sin sin sin 2sin a A b B c C b A +=+．求角C 的大小16．（2023·福州·二模）记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2222b a c −=，求tan tan B A的值10 / 19类型2 出现角的余弦（正弦走不通）17．（2023·广州二模）记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos cos b A a B b c −=−,求A .18．（2023·深圳二模）已知,,a b c 分别为ABC 三个内角,,A B C 的对边，且()sin 2sin A B C −=，证明:2222a b c =+.19．（2023·广州一模）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2,2sin 3sin2c b A C ==，求sin C .11 / 1920．（2022·佛山二模）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，23B π=，且()sin sin sin cos 21A B C C ++=，求证53a c =21．（2023·重庆·三模）已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，sin()tan sin sin A B C A B −=，求222a cb +.22．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin =sin b c B b A C −−，求角A .12 / 19题型三 多解问题分析23．(易漏解)△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且有()sin 230C A B +=，求角C .24．（2023上·肇庆·二模）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知()cos cos cos 0b c A a B a C +−−=，求角A .题型四 通过诱导公式统一函数名25．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知πsin cos 6a B b A ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，求A 的值26．（2023下·华中师大一附中5月压轴卷(一)·模拟预测）已知ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，13 / 19b ，c ，若满足(sin 2cos cos )sin sin 0a A B C b A C −+=，求角A 的大小.27．（2023下·台州·二模）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知πsin cos 6a B b A ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，cos cos b C c B =，求A 的值.题型五 降幂，半角，二倍角 类型1 半角降幂扩角28．（2023·重庆八中二模）记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知223cos cos 222C A a c b +=.证明：sin sin 2sin A C B +=29．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别a ，b ，c ，且223(coscos )()222C A a c a c b ac ++−=，求角B14 / 19的大小；类型2 余弦二倍角转变为1元二次方程30．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知cos2A －3cos （B ＋C ）＝1，求角A 的大小．题型六 切化弦长沙市长郡中学、长沙一中、雅礼中学、湖南师大附中2023届5月“一起考” 31．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin sin tan cos cos B CA B C+=+，求A ∠.32．（2023·青岛·三模）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()2sin 2tan c B a c C =−，求角B .15 / 1933．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足πsin 3tan πsin 6C B C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫− ⎪⎝⎭，求A .题型七 判断三角形的形状或验证角度之间的关系34．（2023·黄冈中学·三模）在锐角ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足222sin sin sin 1sin sin A A CC B−−=，且A C ，求证：2B C =.35．已知在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若()tan cos cos sin sin B A C C A −=−，求证：ABC 为等腰三角形.16 / 192023·雅礼中学二模36．已知ABC 的内角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，ABC 的面积为223sin 4a b C −，求证：sin 3sin A B =重庆市巴蜀中学校2023届高三下学期适应性月考（十）37．已知ABC 的三内角A ，B ，C 所对边分别是a ，b ，c ，且满足22sin 24C c ab=，证明：ABC 是等腰三角形38．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos a c b A +=，证明：2B A =.17 / 1939．在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos c b A b −=，求证：2A B =.2023届·武汉市华中师范大学第一附属中学5月压轴卷(二)40．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且()()sin cos cos sin A B C B A C −=−,判断ABC 的形状；题型七 遇到两角之和化为第三个角41．（20233sinsin 2A Ba c A +=，求角C 的大小.18 / 1942．（2023·广东·二模）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3cossin 2A Bb c B +=，求C43．（2023·广州一模）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且满足cossin 2B Cb a B +=，求A .44．（2023·福州三模）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知()sin cos sin AA C C a=+，2c =，求B专题7-1解三角形大题第一问专练·共13个类型目录高考真题回顾与梳理 (3)2023.新高考一卷T17（1）：出现了3个角时∣拆角 (3)2022.新高考二卷T18（2）：式子变形后出现了三边的平方∣余弦 (3)2019.全国Ⅲ卷高考真题：出现两角之和∣变为第三个角 (4)题型一正弦定理+和差公式 (6)类型1 出现了3个角（拆角，正向使用和差公式） (6)类型2 反向使用和差公式 (7)类型3 拆角后再用辅助角公式合并求角 (8)题型二用余弦定理 (10)类型1 出现了边的平方 (10)类型2 出现角的余弦（正弦走不通） (12)题型三多解问题分析 (14)题型四通过诱导公式统一函数名 (15)题型五降幂，半角，二倍角 (16)类型1 半角降幂扩角 (16)类型2余弦二倍角转变为1元二次方程 (17)题型六切化弦 (17)题型七判断三角形的形状或验证角度之间的关系 (19)题型七遇到两角之和化为第三个角 (21)一、基本定理公式（1）正余弦定理：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式==2sin sin sinCa b c R A B = 2222cos a b c bc A =+−；2222cosB b c a ac =+−； 2222cosC c a b ab =+−.常见变形(1)2sin a R A =，2sinB b R =，2sinC c R =(2)sin 2a A R =，sinB 2b R =，sinC 2cR=；222cosA 2b c a bc+−=；222cosB 2c a b ac +−=；222cosC 2a b c ab+−=.111sin sin sin 222S ABC ab C bc A ac B ∆===1()42abc S ABC a b c r R ∆==++⋅（r 是三角形内切圆的半径，并可由此计算R ，r . ） （3）二倍角公式sin 22sin cos A A A =，2222cos 22cos 112sin cos sin A A A A A =−=−=−二、相关应用 （1）正弦定理的应用①边化角，角化边::sin :sin :sin a b c A B C ⇔= ②大边对大角 大角对大边sin sin cos cos a b AB A B A B >⇔>⇔>⇔<③合分比：b 2sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin B sin a bc a b b c a c a cR A B C A B B C A C A C+++++=======+++++（2）ABC △内角和定理（结合诱导公式）：A B C π++= ①sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+cos cos c a B b A ⇔=+ 同理有：cos cos a b C c B =+，cos cos b c A a C =+. ②cos cos()cos cos sinAsinB C A B A B −=+=−； ③斜三角形中，tan tan tan tan()1tan tan A BC A B A B+−=+=−⋅tan tan tanC tan tan tanC A B A B ⇔++=⋅⋅④sin()cos 22A B C +=；cos()sin 22A B C+= ⑤在ABC ∆中，内角A B C ，，成等差数列2,33B AC ππ⇔=+=. （3）2倍角公式的扩角降幂21cos cos 22C C +=.，21cos sin 22C C −= 忘记了可以用二倍角公式推导:记2Ct =， 则22cos cos 22cos 112sin C t t t ==−=− 故221cos 2cos 22cos 1cos 2t t t t +=−⇒=，221cos 2cos 212sin sin 2t t t t −=−⇒=高考真题回顾与梳理2023·新高考一卷T17（1）：出现了3个角时∣拆角已知在ABC 中，()3,2sin sin A B C A C B +=−=，求sin A .【答案】310【详解】3A B C +=， π3C C ∴−=，即π4C =， 又2sin()sin sin()A C B A C −==+，2sin cos 2cos sin sin cos cos sin A C A C A C A C ∴−=+， sin cos 3cos sin A C A C ∴=， sin 3cos A A ∴=，即tan 3A =，所以π02A <<，310sin 10A ∴==2022·新高考二卷T18（2）：式子变形后出现了三边的平方∣余弦记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知12331,sin 23S S S B −+==，求ABC 的面积. 【答案】2【分析】先表示出123,,S S S ，再由1233S S S −+=求得2222a c b +−=，结合余弦定理及平方关系求得ac ，再由面积公式求解即可； 【详解】由题意得222212313333,,2S a S S =⋅==，则2221233333S S S −+==， 即2222a c b +−=，由余弦定理得222cos 2a c b B ac +−=，整理得cos 1ac B =，则cos 0B >，又1sin 3B =，则2122cos 13B ⎛⎫−= ⎪⎝⎭132cos ac B ==12sin 2ABCS ac B =2019·全国Ⅲ卷高考真题：出现两角之和∣变为第三个角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 2A Ca b A +=，求B 【答案】3B =【详解】[方法一]【最优解：利用三角形内角和为π结合正弦定理求角度】 由三角形的内角和定理得222A C Bπ+=−， 此时sinsin 2A C a b A +=就变为sin sin 22B a b A π⎛⎫−= ⎪⎝⎭． 由诱导公式得sin cos 222B B π⎛⎫−= ⎪⎝⎭，所以cos sin 2B a b A =．在ABC 中，由正弦定理知2sin ,2sin a R A b R B ==， 此时就有sin cossin sin 2B A A B =，即cos sin 2BB =， 再由二倍角的正弦公式得cos2sin cos 222B B B=，解得3B π=． [方法二]【利用正弦定理解方程求得cos B 的值可得B ∠的值】 由解法1得sinsin 2A CB +=， 两边平方得22sinsin 2A C B +=，即21cos()sin 2A CB −+=． 又180A BC ++=︒，即cos()cos A C B +=−，所以21cos 2sin B B +=，进一步整理得22cos cos 10B B +−=， 解得1cos 2B =，因此3B π=．[方法三]【利用正弦定理结合三角形内角和为π求得,,A B C 的比例关系】 根据题意sinsin 2A C a b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=， 因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sinsin 2A CB +=． 0<B π<，02AC π+<<，因为故2A C B +=或者2A CB π++=， 而根据题意A BC π++=，故2A C B π++=不成立，所以2A CB +=， 又因为A BC π++=，代入得3B π=，所以3B π=.题型一 正弦定理+和差公式类型1 出现了3个角（拆角，正向使用和差公式）1．在ABC 中，23cos cos 3b cCAa−=，求A 的值 【答案】π6【详解】因为23cos cos 3b cC A a−=，所以由正弦定理可得2sin 3sin cos cos 3sin B C CA A−=2sin cos 3sin cos 3sin cos 3sin()3sin B A A C C A A C B =+=+=因为sin 0B ≠，所以3cos 2A =，因为()0,πA ∈，所以π6A =.2．△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且2sin 6b c A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求C. 【答案】6π解：因为2sin()6b c A π=+，在△ABC 中，由正弦定理得，sin 2sin sin()6B C A π=+，又因为()()sinB sin A C sin A C π=−−=+，所以sin()2sin sin(),6A C C A π+=+展开得31sin cos cos sin 2sin sin cos 22A C A C C A A ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭ sin cos 3sin sin 0A C C A −=因为sinA ≠0，故cos 3sin ,C C =3tan 3C = 又因为0()C π∈，，所以6C π=3．（2023·湛江一模）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知π2cos 3b C a ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，求A . 【答案】π6A =重点题型·归类精【详解】πππ2cos 2cos cos 2sin sin cos 3333C C C C C ⎛⎫−=+= ⎪⎝⎭，所以cos 3bC C a=，故3sin cos b a C a C =+． 由正弦定理得sin 3sin sin cos B A C A C =+，又()πB A C =−+， 所以()()sin sin πsin 3sin sin cos B A C A C A C A C =−+=+=+⎡⎤⎣⎦， 故sin cos cos sin sin cos 3sin A C A C A C A C +=，()0,πC ∈，sin 0C ≠，所以cos 3A A =，即3tan 3A =，()0,πA ∈，故π6A =．类型2 反向使用和差公式4．（2023·重庆二模）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos cos cos23a A B b A c b ⋅+=−，求角A 【答案】(1)6A =【详解】因为2cos cos cos23a A B b A c b ⋅+=−， 所以()2cos cos cos 213a A B b A c ++=， 即22cos cos 2cos 3a A B b A c +=,由正弦定理得22sin cos cos 2sin cos 3A A B B A C +=，()2cos sin cos sin cos 3A A B B A C +=，()2cos sin 3A A B C +，即2cos sin 3A C C =，且sin 0C >， 所以3cos A =()0,πA ∈，则π6A =5．（2024届·广州·阶段练习）已知ABC 中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足cos cos 3cos c bB C C a a+=，求sin C 的值 【答案】22【分析】已知等式利用正弦定理边化角,或利用余弦定理角化边,化简可求sin C 的值； 【详解】（1）解法一：由cos cos 3cos c bB C C a a+=，得cos cos 3cos c B b C a C +=．由正弦定理sin sin sin a b cA B C==得sin cos sin cos 3sin cos C B B C A C +=， 所以sin()3sin cos B C A C +=，由于πA B C ++=，所以sin()sin(π)sin B C A A +=−=，则sin 3sin cos A A C =．因为0πA <<，所以sin 0A ≠，1cos 3C =． 因为0πC <<，所以222sin 1cos C C =−=解法二：由cos cos 3cos c bB C C a a+=，得cos cos 3cos c B b C a C +=．所以由余弦定理得2222223cos 22a c b a b c c b a C ac ab+−+−⋅+⋅=，化简得3cos a a C =，即1cos 3C =，因为0πC <<，所以222sin 1cos 3C C =−=6．（2023届·荆门三校5月联考）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3cos cos cos cos cos b c a aB C A B C+=+，求tan tan B C . 【答案】tan tan 2B C =【详解】因为3cos cos cos cos cos b c a aB C A B C+=+， 所以cos cos cos cos 3cos cos cos cos cos cos b C c B a B C a AB C A B C++=，即()()cos cos cos cos cos 3cos b C c B A a B C A +=+，由正弦定理得()()sin cos sin cos cos sin cos cos 3cos B C C B A A B C A +=+， 所以()()sin cos sin cos cos 3cos B C A A B C A +=+， 即()sin cos sin cos cos 3cos A A A B C A =+，0πA <<，则sin 0A >，故cos cos 2cos 0B C A +=，即()cos cos 2cos 0B C B C −+=，也即cos cos 2cos cos 2sin sin 0B C B C B C −+=，2sin sin cos cos B C B C ∴=， 所以1tan tan 2B C =.类型3 拆角后再用辅助角公式合并求角7．（2023届·深圳市一模）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin 6b c a C π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，求A .【答案】3A π=点评：拆角+辅助角公式【解析】（1）由已知得，3sin cos b c a C a C +=+，由正弦定理可得，sin sin 3sin sin cos B C A C A C +=+，因为A B C π++=，所以()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+．代入上式，整理得cos sin A Csin 3sin C A C +=，又因为()0,C π∈，sin 0C ≠3cos 1A A −=，即1sin 62A π⎛⎫−= ⎪⎝⎭． 而5666A πππ−<−<，所以66A ππ−=，3A π=．8．在 ABC sin sin 3cos sin B CC C A++=，求A .【答案】3A π=【详解】在 ABC 中sin sin 3cos sin B CC C A++=，3sin sin cos sin sin sin()sin C A A C B C A C C +=+=++，即sin sin cos sin cos cos sin sin +=++C A A C A C A C C 3，于是3sin cos sin sin C A A C C =+， 因为sin 0C ≠3cos 1A A −=，即311cos 222A A −=， 所以1sin 62A π⎛⎫−= ⎪⎝⎭，又因为0A π<<，所以 ,⎛⎫−∈− ⎪⎝⎭πππA 5666， 所以66A ππ−=，解得3A π=. 点评：拆角+辅助角公式9．（2023·重庆三模）锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 3sin a C c A b c +=+，求A . 【答案】3A =【详解】cos 3sin sin cos 3sin sin sin a C c A b c A C C A B C =+⇒=+()()sin cos 3sin sin sin 3sin sin cos 1A C C A A C C C A C A =++⇒=+⇒ ∵ππ0,sin 03cos 12sin 26A B C C A A A ⎛⎫⎛⎫∈∴≠⇒−==− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、、，， 而ππππππ,663663A A A ⎛⎫−∈−⇒−=⇒= ⎪⎝⎭.10．（2023下·襄阳·三模）已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且cos 3sin a C a C b c +=+，求角A 的大小；【答案】3A =【详解】由cos 3sin a C a C b c =+及正弦定理， 得sin cos 3sin sin sin sin A C A C B C =+即()πsin cos 3sin sin sin sin A C A C A C C =−++⎡⎤⎣⎦， 3sin cos sin sin A C A C C =+,因为sin 0C ≠ 3sin cos 1A A =+，即π1sin 62A ⎛⎫−= ⎪⎝⎭.由于ππ5π0π,666A A <<−<−<，所以ππ66A −=，π3A =.题型二 用余弦定理 类型1 出现了边的平方11．已知ABC 内角,,A B C 所对的边长分别为2222,,,22cos 2cos a b c a B b ab C a c +=++，求B . 解：（1）由余弦定理得222222222cos a B b a b c a c +=+−++，即2222cos 2a B a =， 所以2cos 2B =，又()0,πB ∈，则π4B =.12．在ABC ∆中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知25c =52sin cos sin sin sin a C B a A b B C =−+，求b ； 【答案】4解：(1)因为52sin sin sin asinCcosB a A b B C =−+由正弦定理得2252cos 2ac B a b bc =−+ 由余弦定理得222225222a cb ac a b ac +−⋅=−+所以5c b a=又因为25,c =所以b=42023届·湖南四大名校团队模拟冲刺卷(一)13．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC 的面积为S ，且22sin sin 2sin sin C ASa b sinA B C+=+（）（），求C 的值 【答案】(1)3； 【详解】在ABC 中，由三角形面积公式得:1sin 2S bc A =，由正弦定理得：()2212sin sin 2c a bc A a b A b c ⎛⎫⨯+=+ ⎪⎝⎭，整理得：222a b c ab +−=，由余弦定理得：2221cos 22a b c C ab +−==，又0C π<<，故3C π=．2023·广东省六校高三第四次联考14．已知ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin cos cos sin sin sin A c B b C c B c C b B +−=+，求角A【答案】2π3A =【详解】由余弦定理得222222cos cos 22a c b a b c c B b C c b a ac ab+−+−+=⨯+⨯=，所以()sin cos cos sin sin sin A c B b C c B c C b B +−=+， 可化为sin sin sin sin a A c B c C b B −=+，再由正弦定理得222a cb c b −=+，得222c b a bc +−=−， 所以2221cos 22b c a A bc +−==−，因为()0,πA ∈，所以2π3A =15．（2023·华中师大一附中期中）在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知 sin sin sin 2sin a A b B c C b A +=+．求角C 的大小； 【答案】4；【详解】已知sin sin sin 2sin a A b B c C b A +=，由正弦定理可得2222a b c ab +=+，即2222a b c ab +−=，所以22222cos 2a b c ab C ab +−===因为()0,πC ∈，所以π4C =．16．（2023·福州·二模）记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2222b a c −=，求tan tan B A的值【答案】tan 3tan BA=− 【详解】由余弦定理可得2222cos b c a ac B =+−，代入2222b a c −=，得到()22222cos 2c a ac B a c +−−=，化简得22cos 0c ac B +=，即2cos 0c a B +=.由正弦定理可得sin 2sin cos 0C A B +=，即()sin 2sin cos 0A B A B ++=，展开得sin cos cos sin 2sin cos 0A B A B A B ++=， 即3sin cos cos sin A B A B =−，所以tan 3tan BA=−类型2 出现角的余弦（正弦走不通）17．（2023·广州二模）记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos cos b A a B b c −=−,求A . 【解答】π3A =解：因为cos cos b A a B b c −=−，由余弦定理可得22222222b c a a c b b a b c bc ac+−+−⋅−⋅=−，化简可得222b c a bc +−=，由余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +−==， 因为0πA <<，所以，π3A =. 18．（2023·深圳二模）已知,,a b c 分别为ABC 三个内角,,A B C 的对边，且()sin 2sin A B C −=，证明:2222a b c =+.【详解】（1）由sin 2sin 2sin A B C A B −==+， 得sin cos cos sin 2sin cos 2cos sin A B A B A B A B −=+， 则sin cos 3cos sin 0A B A B +=，由正弦定理和余弦定理得2222223022a c b b c a a b ac bc+−+−⋅+⋅=，化简得2222a b c =+19．（2023·广州一模）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2,2sin 3sin2c b A C ==，求sin C .【答案】144【详解】因为2sin 3sin2A C =， 所以2sin 6sin cos A C C =， 所以26cos a c C =， 即3cos a c C =，所以cos 3a C c=， 由余弦定理及2c b =得：2222222243cos 222a b c a b b a b C ab ab ab +−+−−===， 又cos 36a a C c b ==， 所以222232926a b a a b ab b−=⇒=，即32a =， 所以3222cos 66a C b b === 所以22214sin 1cos 14C C ⎛⎫=−=−= ⎪ ⎪⎝⎭20．（2022·佛山二模）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，23B π=，且()sin sin sin cos 21A B C C ++=，求证53a c =【详解】证明：sin sin sin cos 21A B C C ++=∴()2sin sin sin 12sin 1A B C C ++−= ∴()2sin sin sin 2sin A B C C +=sin 0C ≠∴sin sin 2sin A B C +=，即2a b c +=由余弦定理得222cos 2a c b B ac +−=，即222122a c b ac +−−=2221(2)22a c c a ac +−−−= 整理可得53a c =.21．（2023·重庆·三模）已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，sin()tan sin sin A B C A B −=，求222a cb +.【详解】因为sin()tan sin sin A B C A B −=， 所以sin sin()sin sin cos CA B A B C−=，所以sin()sin sin sin cos A B C A B C −=， 即sin cos sin cos sin sin sin sin cos A B C A B C A B C −=， 由正弦定理可得cos cos cos ac B bc A ab C −=，由余弦定理可得222222222222a c b b c a a b c ac bc ab ac bc ab+−+−+−⋅−⋅=⋅，所以222222222a c b b c a a b c +−−−+=+−， 即2223a c b +=， 所以2223a c b +=.22．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知()()sin =sin b c B b A C −−，求角A . 【答案】3A π=【详解】()()sin sin b c B b A C −=−，所以()()sin sin cos cos sin b c B b A C A C −=−，所以222222222cos cos 22a b c b c a b bc ab C bc A a c +−+−−=−=−=−，又2222cos a b c bc A =+−，所以1cos 2A =，因为()0,A π∈，所以3A π=．题型三 多解问题分析23．(易漏解)△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且有()sin 230C A B +=，求角C . 【答案】（1）2C π=或3π或23π【分析】根据三角恒等变换将式子化简，即可求出角C 的大小； 【详解】因为()sin 230C A B ++=，且A B C π++=，所以()()sin 23sin 232sin cos 30C A B C C C C C π++=−==， 即2sin cos 3C C C =， 所以cos 0C =或3sin C = 解得2C π=或3π或23π.24．（2023上·肇庆·二模）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知()cos cos cos 0b c A a B a C +−−=，求角A .【答案】(1)3A π=【详解】由条件及正弦定理可得：()sin sin cos sin cos sin cos 0B C A A B A C +−−=，即sin cos cos sin sin cos cos sin 0B A B A C A C A −+−=故()()sin sin 0B A C A −+−=，则有()()sin sin B A A C −=−， 又()(),,,B A C A ππππ−∈−−∈−，故有B A A C −=−，或()()B A A C π−+−=（舍去），或()()B A A C π−+−=−（舍去）， 则2B C A +=，又A B C π++=， 所以3A π=题型四 通过诱导公式统一函数名25．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知πsin cos 6a B b A ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，求A 的值 【答案】π3【详解】因为πsin cos 6a B b A ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，所以由正弦定理可得:πsin sin sin cos 6A B B A ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，在三角形ABC 中，()0πA B C ∈、、，，显然sin 0B ≠，所以πsin cos 6A A ⎛⎫=− ⎪⎝⎭， 所以ππcos cos 26A A ⎛⎫⎛⎫−=−⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为πππππ5π,,,222666A A ⎛⎫⎛⎫−∈−−∈− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππ26A A −=−或ππ026A A −+−=（显然不成立），所以π3A =26．（2023下·华中师大一附中5月压轴卷(一)·模拟预测）已知ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若满足(sin 2cos cos )sin sin 0a A B C b A C −+=，求角A 的大小. 【答案】π2【详解】（1）由正弦定理知，sin (sin 2cos cos )sin sin sin 0A A B C B A C −+=， ∵()0,πA ∈，∴sin 0A ≠，∴sin 2cos cos sin sin 0A B C B C −+=，化简得sin 2cos cos sin sin cos()cos()sin 2πA B C B C B C πA A ⎛⎫=−=+=−=− ⎪⎝⎭，(0,π)A ∈，22πA A π∴+−=（其中2πA A 2=−舍去），即π2A =．27．（2023下·台州·二模）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知πsin cos 6a B b A ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，cos cos b C c B =，求A 的值. 【答案】3【详解】因为πsin cos 6a B b A ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，所以由正弦定理可得:πsin sin sin cos 6A B B A ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，在三角形ABC 中，()0πA B C ∈、、，，显然sin 0B ≠，所以πsin cos 6A A ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，所以ππcos cos 26A A ⎛⎫⎛⎫−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为πππππ5π,,,222666A A ⎛⎫⎛⎫−∈−−∈− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππ26A A −=−或ππ026A A −+−=（显然不成立），所以π3A =题型五 降幂，半角，二倍角 类型1 半角降幂扩角28．（2023·重庆八中二模）记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知223cos cos 222C A a c b +=，证明：sin sin 2sin A C B += 【详解】 因为223coscos 222C A a c b +=，则()()1cos 1cos 322a C c Ab +++=， 即cos cos 3ac a C c A b +++=，由正弦定理可得()()3sin sin sin sin cos cos sin sin sin sin B A C A C A C A C A C =+++=+++()sin sin sin πsin sin sin A C B A C B =++−=++，因此，sin sin 2sin A C B +=.29．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别a ，b ，c ，且223(coscos )()222C A a c a c b ac ++−=，求角B 的大小； 【答案】3B π=【解答】解：（1）因为22(coscos )()22C Aa c a cb ++− (1cos )(1cos )()()22a C c A a cb ++=++− (cos cos )()2a c a C c A a c b +++=+−()()2a cb ac b +++−=22222a c b ac+−+=32ac =， 222a c b ac ⇒+−=，1cos 2B ⇒=， 3B π⇒=．类型2 余弦二倍角转变为1元二次方程30．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知cos2A －3cos （B ＋C ）＝1，求角A 的大小．【答案】π3A =点评：解一元二次方程 由cos 2A －3cos （B ＋C ）＝1，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0，即（2cos A －1）（cos A ＋2）＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝−2（舍去）．题型六 切化弦长沙市长郡中学、长沙一中、雅礼中学、湖南师大附中2023届5月“一起考” 31．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin sin tan cos cos B CA B C+=+，求A ∠.【答案】π3A =【详解】因为sin sin tan cos cos B C A B C +=+，所以sin sin sin cos cos cos A B CA B C+=+，所以sin cos sin cos cos sin cos sin A B A C A B A C +=+， 所以sin cos cos sin cos sin sin cos −=−A B A B A C A C ，所以()()sin sin A B C A −=−，因为(),,0,πA B C ∈，所以()π,πA B −∈−，()π,πC A −∈−， 所以A B C A −=−或πA B C A −+−=， 当A B C A −=−时，又πA B C ++=，所以π3A =， 当πA B C A −+−=时，πC B −=，显然不满足，综上，π3A =.32．（2023·青岛·三模）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()2sin 2tan c B a c C =−，求角B . 【答案】π3B =【详解】（1）∵()2sin 2tan c B a c C =−，所以sin 2sin sin (2sin sin )cos CC B A C C=−⋅， sin 0C ≠，则2sin cos 2sin sin 2sin()sin B C A C B C C =−=+−2(sin cos cos sin )sin B C B C C =+−，整理得2sin cos sin C B C =，又sin 0C ≠，∴1cos 2B =，而(0,π)B ∈，∴π3B =33．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足πsin 3tan πsin 6C B C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫− ⎪⎝⎭，求A . 【答案】π3A =（补充：可以考虑换元） 【解析】由πsin 3tan πsin 6C B C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫− ⎪⎝⎭得πsin sin 3πcos sin 6C B B C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫− ⎪⎝⎭， 所以ππsin sin cos sin 63B C B C ⎛⎫⎛⎫−=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以3113sin sin cos cos sin cos 2222B C C B C C ⎛⎫⎛⎫−=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以)()sin 3cos cos sin 3BC C B C C −=，所以)sin cos cos sin 3cos cos sin sin 0C B C B C B C B ++−=， 所以()()sin 30B C B C +++=，所以()tan 3B C +=tan 3A =因为()0,πA ∈，所以π3A =.题型七 判断三角形的形状或验证角度之间的关系34．（2023·黄冈中学·三模）在锐角ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足222sin sin sin 1sin sin A A CC B−−=，且A C ，求证：2B C =. 【详解】由题意得2sin sin sin sin sin sin A C A CC B−−=，即2sin sin C B =． 所以22sin sin sin sin B C A C =+，由正弦定理得22b c ac =+，又由余弦定理得2222cos b a c ac B =+−， 所以2cos c a c B =−，故sin sin 2sin cos C A C B =−， 故()sin sin 2sin cos C B C C B =+−，整理得()sin sin C B C =−．又ABC 为锐角三角形，则π0,2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ππ,22B C ⎛⎫−∈− ⎪⎝⎭，所以C B C =−，因此2B C =．35．已知在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若()tan cos cos sin sin B A C C A −=−，求证：ABC 为等腰三角形.【详解】根据已知条件有：()tan cos cos sin sin B A C C A −=−， 整理化简可得：sin cos cos sin sin cos B A C B C B −=sin cos A B −，sin cos sin cos sin cos cos sin B A A B C B C B ∴+=+，()()sin sin ,sin sin A B B C C A ∴+=+∴=，A C ∴=或A C π=−（舍去）， 故ABC 为等腰三角形.2023·雅礼中学二36．已知ABC 的内角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，ABC 的面积为223sin 4a b C −，求证：sin 3sin A B =【详解】13sin sin 24a b S ab C C −==，则2223ab a b =−，即22230a ab b −−=，即()()30a b a b +−=， 故3a b =，由正弦定理得sin 3sin A B =.重庆市巴蜀中学校2023届高三下学期适应性月考（十）37．已知ABC 的三内角A ，B ，C 所对边分别是a ，b ，c ，且满足22sin 24C cab=，证明：ABC 是等腰三角形；【详解】（1）由2sin 24C c ab=，可得21cos 24C c ab −=， 由余弦定理可得2222212a b c ab c ab ⎛⎫+−−= ⎪⎝⎭，整理得2()0a b −=，所以a b =，ABC 是等腰三角形.38．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos a c b A +=，证明：2B A =； 【详解】（1）由题意： 因为正弦定理：sin sin sin a b cA B C==， 所以对于2cos a c b A +=， 有sin sin 2sin cos C A B A +=，sin()2sin cos sin A B B A A ∴+=−整理得：sin cos sin cos sin A B B A A −=−，所以，sin()sin()A B A −=−，因为A ，B ，C 为ABC 的三个角， 所以A B A −=−，得2B A =.39．在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos c b A b −=，求证：2A B =. 又πA B C ++=，所以()()sin 2sin cos sin cos cos sin sin sin A B B A A B A B A B B +−=−=−=因为ABC 为锐角三角形，所以π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ππ,22A B ⎛⎫−∈− ⎪⎝⎭又sin y x =在ππ,22⎛⎫− ⎪⎝⎭上单调递增，所以A B B −=，即2A B =2023届·武汉市华中师范大学第一附属中学5月压轴卷(二)40．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且()()sin cos cos sin A B C B A C −=−,判断ABC 的形状； 【答案】直角三角形或等腰三角形．【详解】由题意：()()sin cos cos sin cos cos sin cos cos sin A B A B C B A C A C −=⋅−， 整理得()()cos cos sin sin cos cos sin 0A B C B C A C B ⋅−=⋅−=， 故cos 0A =或()sin 0C B −=，因为0π,ππA C B <<−<−<，所以π2A =或B C =， ABC ∴为直角三角形或等腰三角形．题型七 遇到两角之和化为第三个角41．（20233sinsin 2A Ba c A +=，求角C 的大小. 【答案】23π 3sinsin 3sin sin sin 3sin 2222A B C C a c A A C A C +π⎛⎫=⇒−=⇒= ⎪⎝⎭332sin cos 32sin sin 22222233C C C C C C C π2π=⇒=⇒=⇒=⇒=42．（2023·广东·二模）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3cossin 2A Bb c B +=，求C 【答案】(1)3C =【详解】由正弦定理sin sin b c B C =3cos sin sin 2A BB C B +=， 因为()0,πB ∈，则sin 0B ≠，所以3sin 2A BC +=， 因为πA B C ++=，所以πcos cos sin 2222A B C C +⎛⎫⎛⎫=−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．32sin cos 222C C C=． 因为()0,πC ∈，则π0,22C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得sin 02C≠，所以3cos 22C =， 则π26C =，所以π3C =．43．（2023·广州一模）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且满足cossin 2B Cb a B +=，求A . 【答案】3A =。
浙教版2022-2023学年九下数学第1章 解直角三角形 培优测试卷(解析版)
浙教版2022-2023学年九下数学第1章 解直角三角形 培优测试卷（解析版）一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1．在Rt△ABC 中，△C ＝90°，各边都扩大5倍，则tanA 的值（ ） A ．不变 B ．扩大5倍 C ．缩小5倍 D ．不能确定 【答案】A【解析】∵三角函数值与对应边的比值有关， ∴各边都扩大5倍后，tanA 的值不变. 故答案为：A.2．如图，冬奥会滑雪场有一坡角为20°的滑雪道，滑雪道的长AC 为100米，则BC 的长为（ ）米．A ．100cos20° B ．100cos20° C ．100sin20° D ．100sin20° 【答案】B【解析】∵△B=90°，△C=20°，∴cos∠C =BCAC，∴BC=AC·cos∠C =100cos20°. 故答案为：B. 3．如图是拦水坝的横断面，斜坡AB 的水平宽度为12米，斜面坡度为1:2，则斜坡AB 的长为（ ）米A ．4√3B ．6√5C ．12√5D ．24【答案】B【解析】如图,过B 作BE△AD 于点E ，∵斜面坡度为1：2，AE=12， ∴BE=6，在Rt△ABC 中， AB =√AE 2+BE 2=√122+62=6√5 ． 故答案为：B ．4．如图所示，在边长相同的小正方形组成的网格中，两条经过格点的线段相交所成的锐角为α，则夹角α的正弦值为（ ）A ．12B ．√22C ．√32D ．1【答案】B【解析】如图，设AB 与CD 交于点E ，过点C 作CF△AB ，连接DF ，∵CF△AB ，∴∠C =∠AEC =α ， 设小正方形的边长为1，根据勾股定理得： CD 2=12+32=10 ， DF 2=12+22=5 ， CF 2=12+22=5 ，∴CF 2+DF 2=CD 2 ，DF=CF ， ∴△CDF 为等腰直角三角形， ∴△C=45°，∴sinC =√22，∴夹角α的正弦值为 √22.故答案为：B.5．鹅岭公园是重庆最早的私家园林，前身为礼园，是国家级AAA 旅游景区，园内有一瞰胜楼，登上高楼能欣赏到重庆的优美景色.周末，李明同学游览鹅岭公园，如图，在点A 观察到瞰胜楼楼底点C 的仰角为12°，楼顶点D 的仰角为13°，测得斜坡BC 的坡面距离BC = 510米，斜坡BC 的坡度 i =8：15 .则瞰胜楼的高度CD 是（ ）米.（参考数据：tan12°≈0.2，tan13°≈0.23）A ．30B ．32C ．34D ．36 【答案】D【解析】由斜坡BC 的坡度i =8：15 ，设 CE =8x 、 BE =15x ， 在 Rt △BCE 中，BC =√BE 2+CE 2=√(8x)2+(15x)2=17x ， 由 BC =17x =510 求得 x =30 ， ∴CE =240 米、 BE =450 米，在 Rt △ACE 中，AE =CE tan∠CAE =240tan12°=1200 （米）， 在 Rt △ADE 中，DE =AEtan∠DAE =1200×tan13°=276 （米）， 则 DC =DE −CE =276−240=36 （米）. 故答案为：D.6．若规定 sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ ，则sin15°=（ ） A ．√2−12 B ．√2−√64 C ．√3−12 D ．√6−√24【答案】D【解析】由题意得，sin15°=sin （45°-30°） =sin45°cos30°-cos45°sin30°=√22×√32−√22×12=√6−√24故答案为：D7．如图，在菱形ABCD 中，DE△AB ，cosA ＝35，AE ＝3，则tan△DBE 的值是（ ）A ．12B ．2C ．√52D ．√55【答案】B【解析】∵DE△AB ，cosA ＝35，AE ＝3，∴AE AD =3AD =35，解得：AD ＝5. ∴DE ＝ √AD 2−AE 2=√52−32＝4， ∵四边形ABCD 是菱形，∴AD=AB=5， ∴BE ＝5﹣3＝2，∴tan△DBE ＝ DE BE =42＝2.故答案为：B.8．如图，在△ABC 中，△C=90°，△A=30°，D 为AB 上一点，且AD ：DB=1：3，DE△AC 于点E ，连接BE ，则tan△CBE 的值等于（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】设AB=4a ，∵在△ABC 中，△C=90°，△A=30°，D 为AB 上一点，且AD ：DB=1：3， ∴BC=2a ，AC=2 √3 a ，AD ：AB=1：4， ∵△C=90°，DE△AC ， ∴△AED=90°， ∴△AED=△C ， ∴DE△BC ，∴△AED△△ACB ，∴AE AC =AD AB ，∴AE AC =14 ，∴AE= 14×2√3a =√32a ，∴EC=AC ﹣AE= 2√3a −√32a =3√32a ，∴tan△CBE= CE CB =3√32a 2a =3√34，故答案为：C ．9．如图，已知扇形OAB 的半径为r ，C 是弧AB 上的任一点（不与A ，B 重合），CM△OA ，垂足为M ，CN△OB ，垂足为N ，连接MN ，若△AOB ＝ α ，则MN 可用 α 表示为（ ）A ．rsinαB ．2rsin α2 C ．rcosα D ．2rcos α2【答案】A【解析】如图，连接OC 交MN ，延长OM 、ON 交于一点D ，∵∵△CMD=△DNO=90°， ∴△D=△D ，∴△CMD△△OND ，∴DM DN =DC DO ，即DM DC =DN DO , ∵△D=△D ，∴△DMN△△DCO ， ∴MN CO =DN OD， ∵sin△AON=DN OD ,∴sin△AON=MN CO, 即sin α=MN r,∴MN= rsinα ， 故答案为：A.10．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝8，E 为AC 边的中点，线段BE 的垂直平分线交边BC 于点D.设BD ＝x ，tan△ACB ＝y ，则x 与y 满足关系式（ ）A ．x ﹣y 2＝3B ．2x ﹣y 2＝6C ．3x ﹣y 2＝9D ．4x ﹣y 2＝12【答案】C【解析】过A 作AQ△BC 于Q ，过E 作EM△BC 于M ，连接DE ，∵BE 的垂直平分线交BC 于D ，BD=x ， ∴BD=DE=x ，∵AB=AC ，BC=8，tan△ACB=y ， ∴EM MC =AQCQ =y ，BQ=CQ=4， ∴AQ=4y ，∵AQ△BC ，EM△BC ， ∴AQ ∥EM ，∵E 为AC 中点，∴CM=QM=12CQ=2，∴EM=2y ，∴DM=8-2-x=6-x ，在Rt△EDM 中，由勾股定理得：x 2=（2y ）2+（6-x ）2， 即3x -y 2=9. 故答案为：C.二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.11．如图，正方形网格中，点A ，O ，B ，E 均在格点上．△O 过点A ，E 且与AB 交于点C ，点D 是△O 上一点，则tan∠CDE = ．【答案】12【解析】由题意可得：△CDE ＝△EAC ， 则tan△CDE ＝tan△EAC ＝BE AE =24=12．故答案为：12．12．如图，已知BD 是△ABC 的外接圆直径，且BD =13，tanA =512，则BC = ．【答案】5【解析】如图所示，连接C ，D ，由图可知 ∠A =∠D （同弧所对的圆周角相等）， 且 ∠BCD =90°（直径所对的圆周角等于90°），∵tanA =512，∴sinA =513，∴sinA =sinD =513，∴BC =BD ⋅sinD =13×513=5，故答案为：5．13．如图所示，在四边形 ABCD 中， ∠B =90° ， AB =2 ， CD =8 ， AC ⊥CD ，若 sin∠ACB =13，则 cos∠ADC = ．【答案】45【解析】∵∠B =90° ， sin∠ACB =13，∴AB AC =13 ，∵AB =2 ，∴AC =6 ，∵AC ⊥CD ，∴∠ACD =90° ，∴AD =√AC 2+CD 2=√62+82=10 ，∴cos∠ADC =DC AD =810=45． 14．如图，在Rt△ABC 中，△C ＝90°，AM 是BC 边上的中线，sin△CAM ＝ 35，则tan△B ＝ ．【答案】23【解析】Rt△AMC 中，sin△CAM=MC AM =35， 设MC=3x ，AM=5x ，则AC= √AM 2−MC 2 =4x ． ∵M 是BC 的中点，∴BC=2MC=6x ． 在Rt△ABC 中，tan△B= AC BC =4x 6x =23．故答案为 23.15．如图，在5×5的正方形网格中，点A ，B ，C ，D 为格点，AB 交CD 于点O ，则tan△AOC ＝ .【答案】12【解析】如图：将线段AB 向右平移至FD 处，使得点B 与点D 重合，连接CF ，∴△AOC ＝△FDC ，设正方形网格的边长为单位1，根据勾股定理可得：CF =√22+12=√5，CD =√42+22=2√5， DF =√32+42=5，∵(√5)2+(2√5)2=52， ∴CF 2+CD 2＝DF 2， ∴△FCD ＝90°，∴tan∠AOC =tan∠FDC =CF CD =√52√5=12.故答案为：12.16．自行车因其便捷环保深受人们喜爱，成为日常短途代步与健身运动首选.如图1是某品牌自行车的实物图，图2是它的简化示意图.经测量，车轮的直径为 66cm ，中轴轴心 C 到地面的距离 CF 为 33cm ，后轮中心 A 与中轴轴心 C 连线与车架中立管 BC 所成夹角 ∠ACB =72° ，后轮切地面 l 于点 D .为了使得车座 B 到地面的距离 BE 为 90cm ，应当将车架中立管 BC 的长设置为 cm .（参考数据: sin72°≈0.95,cos72°≈0.31,tan72°≈3.1)【答案】60【解析】∵车轮的直径为 66cm ∴AD=33cm ∵CF=33cm ∴AC△DF∴EH=AD=33cm ∵BE△ED ∴BE△AC∵BH=BE -EH=90-33=57cm∴△sinACB=sin72°= BH BC =57BC=0.95∴BC=57÷0.95=60cm 故答案为60.三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤. 17．求下列各式的值（1）sin45°cos45°+4tan30°sin60° ；（2）cos60°−2sin 245°+23tan60°−sin30° .【答案】（1）解： sin45°cos45°+4tan30°sin60°=√22×√22+4×√33×√32=12+2 =52. （2）解：cos60°−2sin 245°+23tan 260°−sin30° .=12 -2×(√22)2+23×(√3)2-12 =12-1+2-12 =1. 18．在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树CD 的高度.如图所示，测得斜坡BE 的坡度i ＝1：4（即AB ：AE ＝1：4），坡底AE 的长为8米，在B 处测得树CD 顶部D 的仰角为30°，在E 处测得树CD 顶部D 的仰角为60°.（1）求AB的高；（2）求树高CD.（结果保留根号）【答案】（1）解：作BF△CD于点F，根据题意可得ABCF是矩形，∴CF=AB，∵斜坡BE的坡度i=1：4，坡底AE的长为8米，∴AB=2（米），（2）解：∵AB=2，∴CF=2，设DF=x米，在Rt△DBF中，tan∠DBF=DF BF，则BF=DFtan30∘=√3x（米），在直角△DCE中，DC=x+CF=（2+x）米，在直角△DCE中，tan∠DEC=DC EC∴EC=√33(x+2)米.∵BF-CE=AE，即√3x−√33(x+2)=8.解得：x=4√3+1，则CD=4√3+1+2=(4√3+3)米.答：CD的高度是（(4√3+3)）米.19．如图，将一个直角三角形形状的楔子（Rt△ABC）从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动.如果楔子底面的斜角为10°，其高度AC为1.8厘米，楔子沿水平方向前进一段距离（如箭头所示），留在外面的楔子长度HC为3厘米.（1）求BH的长；（2）木桩上升了多少厘米？（sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，结果精确到0.1厘米）【答案】（1）解：在Rt△ABC中，∠ABC=10°，tan∠ABC=AC BC，则BC=ACtan∠ABC≈1.80.18=10(cm)，∴BH=BC−HC=7(cm)，（2）解：在 Rt △BPH 中， ∠ABC =10° ， tan∠ABC =PHBH， 则 PH =BH ⋅tan∠ABC ≈7×0.18≈1.3(cm) ， 答：木桩上升了大约 1.3 厘米.20．图①是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图②是小明锻炼时上半身由ON 位置运动到与地面垂直的OM 位置时的示意图．已知AC=0.66米，BD=0.26米，α=20°．（参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）（1）求AB 的长（精确到0.01米）；（2）若测得ON=0.8米，试计算小明头顶由N 点运动到M 点的路径MN ⌢的长度．（结果保留π）【答案】（1）解：过B 作BE△AC 于E ，则AE=AC ﹣BD=0.66米﹣0.26米=0.4米，△AEB=90°，∴AB =AE sin∠ABE =0.4sin20°≈1.17（米）.（2）解：△MON=90°+20°=110°，∴弧MN 的长度是110π×0.8180=2245π米. 21．图1，图2分别是某型号拉杆箱的实物图与平面示意图，具体信息如下：水平滑杆 DE 、箱长 BC 、拉杆 AB 的长度都相等，即 DE =BC =AB ，点 B ， F 在线段 AC 上，点 C 在 DE 上，支撑点 F 到箱底 C 的距离 FC =32cm ，CE ： CD =1 ： 5 ， DF ⊥AC 于点 F ， ∠DCF =50° ，请根据以上信息，解决下列问题：（1）求水平滑杆 DE 的长度；（2）求拉杆端点 A 到水平滑杆 DE 的距离 ℎ 的值 ( 结果保留到 1cm).( 参考数据：sin50°≈0.77 ， cos50°≈0.64 ， tan50°≈1.19) . 【答案】（1）解： ∵DF ⊥AC 于点 F ， ∠DCF =50° ，在 Rt △CDF 中， cos50°=CFCD，∴CD =CF cos50∘=320.64≈50(cm) ，∵CE ： CD =1 ： 5 ， ∴DE =60cm ；（2）解：如图，过A 作 AG ⊥ED ，交 ED 的延长线于G ，∵DE =BC =AB ， DE =60cm ， ∴AC =120cm ，在 Rt △ACG 中， sin∠DCF =AGAC，∴ℎ=AG =AC ⋅sin50°=120×0.77=92.4≈92(cm) .22．如图，在等腰三角形ABC 中，△ABC ＝90°，点D 为AC 边上的中点，过点D 作DE△DF ，交AB 于点E ，交BC 于点F.（1）求证：DE ＝DF（2）若AE ＝4，FC ＝3，求cos△BEF 的值. 【答案】（1）证明：连接BD ，∵ △ABC=90°，D 为AC 边上的中点，∴AD=BD=CD ，△C=△A=△EBD=△FBD=45°，BD△AC ，∵DE△DF ，∴△EDF=△BDC=90°，∴△EDB=△CDF=90°-△BDF ， ∴△EDB△△FDC （ASA ）， ∴ DE=DF（2）解：∵ △EDB△△FDC ，CF =3， ∴ CF=BE=3，同理AE=BF=4，在Rt△EBF 中，由勾股定理得：EF=√32+42=5，∴ cos△BEF ＝BF EF =35.23．如图，AB 是△O 的直径，弦CD△AB 于点E ，点P 在△O 上，△1=△BCD ．（1）求证：CB△PD ；（2）若BC=3，sin△BPD= 35，求△O 的直径．【答案】（1）证明：∵△D=△1，△1=△BCD，∴△D=△BCD，∴CB△PD；（2）解：连接AC，∵AB是△O的直径，∴△ACB=90°，∵CD△AB，∴BD⌢= BC⌢，∴△BPD=△CAB，∴sin△CAB=sin△BPD= 3 5，即BCAB=35，∵BC=3，∴AB=5，即△O的直径是5．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，8），点B是x轴正半轴上一点，连接AB，过点A作AC△AB，交x轴于点C，点D是点C关于点A的对称点，连接BD，以AD为直径作△Q交BD于点E，连接并延长AE交x轴于点F，连接DF.（1）求线段AE的长；（2）若△ABE＝△FDE，求EF的值.（3）若AB﹣BO＝4，求tan△AFC的值.【答案】（1）解：∵点A（0，8），∴AO=8，∵点D是点C关于点A的对称点，∴AC=AD，∵AC△AB，∴BC=BD，∴∠C=∠ADB，∵以AD为直径作△Q交BD于点E，∴∠AED=90°，∴在△CAO和△DAE中，{∠COA=∠AED=90°∠C=∠ADBAC=AD∴△CAO≌△DAE(AAS)，∴AE=AO=8；（2）解：∵△ABE＝△FDE，∴AB ∥DF ，∴∠CAB =∠CDF ，又∵∠C =∠C ，∴△CAB ∽△CDF ，∴AB DF =AC CD =12， ∵△ABE ＝△FDE ，∠AEB =∠FED ， ∴△ABE ∽△FDE ，∴AE FE =AB DF =12，即8FE =12， 解得△FE =16；（3）解：∵AB ﹣BO ＝4，即AB =BO +4， ∵∠AOB =90°，∴在RtΔABO 中，AO 2+OB 2=AB 2，即82+OB 2=(OB +4)2， 解得△OB =6，AB =10，∵∠BEF =90°，∴BE =√AB 2−AE 2=√102−82=6， ∵∠AOB =∠BEF =90°，∠AFO =∠BFE ， ∴△AFO ∽△BFE ，∴AO BE =FO EF =86=43， ∴设EF =3x ，OF =4x ，∴BF =4x −6，∴在RtΔBEF 中，BE 2+EF 2=BF 2，即62+(3x)2=(4x −6)2，解得△x =487， ∴EF =3x =1447， ∴tan∠AFC =tan∠EFB =BE EF =61447=724.。
高三数学一轮复习第四章三角函数与解三角形培优专题8三角形中的最值问题课件
[培优技法] 在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难 点．解决这类问题，通常有下列五种解题技巧： (1)利用基本不等式求范围或最值； (2)利用三角函数求范围或最值； (3)利用三角形中的不等关系求范围或最值； (4)根据三角形解的个数求范围或最值； (5)利用二次函数求范围或最值． 要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的 值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条 件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定 义域)找完善，避免结果的范围过大．
点拨 本例由于含有附加条件“△ABC为锐角三角形”，故不能采用基本不等 式法求解，应转化为三角函数后，利用函数求最值，要注意角度范
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2021届高三培优（平面向量）
1.已知O 为△ABC 的外心，若2
AO BC BC ⋅=，则△ABC 为（ ） A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 不能确定 2.如图，在△ABC 中，2AN NC =，P 是BN 上一点，若
1
3
AP t AB AC =+，则实数t 的值为（ ）
A.
16 B. 23 C. 1
2 D. 34
3.已知O 是△ABC 内一点，230OA OB OC ++=，2AB AC ⋅=-，且2
3
BAC π∠=，则
OBC ∆的面积为（ ）
A. 3
3 B.
3 C. 3
2 D. 3
4.已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( )
A.π6
B.π3
C.2π3
D.5π6
5.已知a ,b 是单位向量,且a ·b=0.若向量c 满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为( ).
A.√2-1
B.√2
C.√2+1
D.√2+2 6.已知向量a ，b 的夹角为4
π
，2a ||=，||2b =，c 与a b -共线，则||b c -的最小值为（ ）
A. 2
B. 1
C.
3
D.
2
7.若函数2()2cos 2sin f x x x a =-++在[,]63ππ
-上的最小值为12，则f (x )在[,]63
ππ
-上的最大值为（ ） A. 4
B. 5
C.
3
32
+ D.
5
32
+ 8.已知函数()sin 26f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
，若方程()2
3
f x =
的解为12,x x (120x x π<<<)，则()21sin x x -=（ ）
A.
23
B.
49
C.
D.
9.已知点A ,B,C 在圆221x y +=上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为（2，0），则
PA PB PC ++的最大值为（ ）
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
10.在等腰直角△ABC
中,∠ABC=90°,AB=BC=2,M ,N 为AC 边上的两个动点(M ,N 不
与A ,C 重合),且满足|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2,则BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BN
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为( ) A.[3
2,2] B.(3
2,2) C.[3
2,2)
D.[3
2,+∞)
11.设H 是△ABC 的垂心，且3450HA HB HC ++=，则cos BHC ∠的值为（ ）
A. B. C. D.
12.已知D ，E 是△ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP ＝x AB +y AC ，则xy 的取值范围是（ ）
A ．[19，49]
B ．[19，1
4]
C ．[29，1
2]
D ．[29，1
4
]
13.已知向量a=(-1,2),b=(2,3),若向量m=λa+b 与向量n=a -b 的夹角为钝角,则实数λ的取值范围是______.
14.在△ABC 中,AB=3,AC=5,若O 为△ABC 外心,则AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为 . 15.在正方形ABCD 中，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，若
AP x AB y AD =+，则x y +的最大值为
16.在ABC ∠中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c cos sin C c B =-.
（1）求B ；
（2）若b =AD 为BC 边上的中线，当△ABC 的面积取得最大值时，求AD 的长.
17.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t α
α
=⎧⎨
=+⎩（其中t 为参数，
34
π
απ≤<）.在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴所建立的极坐标系中，曲线C 的
极坐标方程为cos 22cos 2sin 2ρθθρθ=-.设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点. （1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；
（2）已知点()0,1P ，求11PA PB
+的最大值. 18.已知函数()()2
ln 0f x a x a x
=
+>． （Ⅰ）若函数()y f x =图象上各点切线斜率的最大值为2，求函数()f x 的极值点； （Ⅱ）若不等式()2f x <有解，求a 的取值范围． 19.已知函数2()2(1)x f x xe a x =-+.
（1）若f (x )在1x =时取得极小值，求f (x )的解析式； （2）当1
0a e
≤<
时，判断函数f (x )在(,1)-∞上的零点个数. 2021届高三培优（向量）
姓名__________ 得分__________
一 .选择题（5×20）
13__________ 14__________ 15__________
16. 17.
20.
21.。