解三角形培优提升练习

解三角形练习
1．在锐角△ABC 中，c b a 、、分别为∠A 、∠B 、∠C （1）确定∠C 的大小；
（2）若c ABC 周长的取值范围．
2．（本小题满分12分）设ABC ∆是锐角三角形，,,a b c 分别是内角,,A B C 所对边长，并且
（1）求角A 的大小；
（2） 若2b =，1c =，D 为BC 的中点，求AD 的长．
3．已知ABC ∆的内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，且 （1）求角A 的大小；
（2）若2bc =，求边长a 的最小值．
4．（本小题满分12分）已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且::7:5:3a b c =． （1）求cos A 的值；
（2）若△ABC 外接圆的半径为14，求△ABC 的面积．
5．（本题满分12分）设三角形ABC 的内角A B C 、、所对的边长分别是a b c 、、，且．若ABC
△不是钝角三角形，求：
（1 （2
6．ABC ∆中,,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,(1,2),(cos 2m n A ==且1=⋅n m . （1）求A 的大小；
（2求ABC ∆的面积并判断ABC ∆的形状.
7．（本小题满分12分）在AB C ∆中，角C B A 、、的对边分别为c b 、、a ，若2,cos 2
1
==-a C a c b . （1）求
C
c
sin 的值； （2）若,bc c b =+求AB C ∆的面积.
8．（本小题满分15分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足3sin cos c A a C =． （Ⅰ）求角C 的大小；
（Ⅱ）当3cos cos A B +取得最大值时，试判断ABC ∆的形状．
9．（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，已知10,14,3
AB AC B π
===
,D 是BC 边上的一点， 6.DC =
（1）求ADB ∠的值； （2）求sin DAC ∠的值.
10．（本小题满分12分）如图，在凸四边形ABCD 中，D C ,为定点，3=CD ,B A ,为动点，满足
1===DA BC AB ．
（1）写出C cos 与A cos 的关系式；
（2）设BCD ∆和ABD ∆的面积分别为S 和T ，求22S T +的最大值． 11．（本小题满分14分）如图，某城市有一条公路从正西方AO 通过市中心O 后转向东偏北α角方向的OB ．位于该市的某大学M 与市中心O 的距离313OM km =，且AOM β∠=．现要修筑一条铁路L ，L 在
OA 上设一站A ，在OB 上设一站B ，铁路在AB 部分为直线段，且经过大学M ．其中tan 2α=，3cos 13
β=，
15AO km =．
（1）求大学M 与站A 的距离AM ； （2）求铁路AB 段的长AB ．
L
A
B
O
M
L
L
α β
12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2sin sin sin B A C =． （Ⅰ）求2ac b -的值；
（Ⅱ）若2b =，且32BA BC ⋅=，求BC BA +的值．
13．（本小题满分12分）如图所示，在四边形ABCD 中，B D ∠=∠2，且1=AD ，3=CD ，3
3
cos =
B .
（1）求ACD ∆的面积；
（2）若32=BC ，求AB 的长.
14．（本小题共13分）如图所示，在四边形ABCD 中， AB DA ⊥，7CE =，23
ADC π
∠=
；E 为AD 边上一点，1DE =，2EA =，3
BEC π
∠=
.
（Ⅰ）求sin ∠CED 的值； （Ⅱ）求BE 的长．
D A
C
B
E
解三角形练习
1．在锐角△ABC 中，c b a 、、分别为∠A 、∠B 、∠C
（1）确定∠C 的大小；
（2）若c
ABC 周长的取值范围．
试题解析：（1）已知a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C
＝2csinA ，
＝2sinCsinA ，又sinA≠0，则
∵△ABC 为锐角三角形，∴∠C=120°舍去。

∴∠C=60°
（2）∵
即a=2sinA ，b=2sinB ，又A+B=π
，∴a+b+c=2（sinA+sinB ）
=2[sinA+sin
）
（
）
（
∵△ABC A sin （
则△ABC 周长的取值范围是（
．
2．（本小题满分12分）设ABC ∆是锐角三角形，,,a b c 分别是内角,,A B C 所对边长，并且
（1）求角A 的大小；
（2） 若2b =，1c =，D 为BC
的中点，求AD 的长．
试题解析：（1
A
（2，由222c a b +=，可知三角形ABC 是一个角B 为直角的
直角三角形，在ABD Rt ∆,AB=1
3，sin 0C ≠,(0,A π∈（2） 2
22222cos 22a
b c bc A b c bc bc bc bc =+-=+-≥-==
边长a 的最小值为2．
4．（本小题满分12分）已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且::7:5:3a b c =． （1）求cos A 的值；
（2）若△ABC 外接圆的半径为14，求△ABC 的面积．
试题解析：（1）因为::7:5:3a b c = 所以可设7a k =，5b k =，3c k
=()0k > 2分
分
分
（2）由（1因为
A 是△ABC 的内角，所以分
分
分 由（1）设7a k =，即
分
分
所以△
ABC 的面积为分
5．（本题满分12分）设三角形ABC 的内角A B C 、、所对的边长分别是a b c 、、，且．若ABC
△不是钝角三角形，求：
分 分
10分
分
分
6．ABC ∆中,,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,(1,2),(cos 2m n A ==且1=⋅n m . （1）求A 的大小；
（2求ABC ∆的面积并判断ABC ∆的形状.
试题解析：（1
cos2m n ⋅= 2分 （2， )cos 1(2)(cos 22222A bc c b A bc c b a +-+=-+=,
，3=∴bc ， 8分
分
∴ABC ∆为等边三角形. 12分
7．（本小题满分12分）在AB C ∆中，角C B A 、、的对边分别为c b 、、a ，若 （1
（2）若,bc c b =+求AB C ∆的面积.
分 分
分 （2） 由A bc c b a cos 2222
-+=
得：422=-+bc c b 9分
∴43)
(2
=-+bc c b ∵,bc c b =+∴043)(2=--bc bc ∴4=bc 11分
∴AB C ∆的面积
分 8．（本小题满分15分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为
,,a b c ，且满足
（Ⅰ）求角C 的大小；
取得最大值时，试判断ABC ∆的形状．
试题解析：
分 分 分
分
则
3cos cos A B +53cos cos(
)6
A A π
=+- 313cos cos sin 22A A A =-
+ 31cos sin 22A A =+sin()3
A π=+11分 ∵506
A π<<
, ∴73
3
6
A π
π
π<+
<
12分
当
3
2
A π
π
+
=
时,
3cos cos A B +取得最大值1, 13分
此时
2,6
3A B π
π=
=
,6
C π=, 14分
故此时ABC ∆为等腰三角形 . 15分
考点：1、解三角形；2、三角恒等变换.
9．（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，已知10,14,3
AB AC B π
===
,D 是BC 边上的一点， 6.DC =
（1）求ADB ∠的值；
（2）求sin DAC ∠的值.
试题解析：（1）由余弦定理222cos 2AB BC AC B AB BC +-=⋅得2100196
cos 3210BC BC
π+-=⨯⨯，
16=BC 或6-=BC （舍去）
， 由于10=BD ，ABD ∆是等边三角形，3
π
=
∠ADB ，3
2π
=
∠ADC 8分
（2）2221001963613
cos 22101414AD AC CD DAC AD AC +-+-∠=
==⋅⨯⨯得 33
sin 14
DAC ∠=
. 12分
考点：1、余弦定理的应用；2、同角三角函数的基本关系.
10．（本小题满分12分）如图，在凸四边形ABCD 中，D C ,为定点，3=CD ,B A ,为动点，满足
1===DA BC AB ．。