江苏省东海高级中学2013届高三阶段检测理科数学试题

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2013年高考理数真题试卷(江苏卷)及解析

第1页，总14页…………装…………○…___________姓名：___________班级…………装…………○…2013年高考理数真题试卷（江苏卷）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明一、填空题（题型注释）1.函数y=3sin （2x+ π4 ）的最小正周期为．2.设z=（2﹣i ）2（i 为虚数单位），则复数z 的模为．3.双曲线 x 216−y 29=1 的两条渐近线方程为．则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为．5.现在某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n （m≤7，n≤9）可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为．6.如图，在三棱柱A 1B 1C 1﹣ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F ﹣ADE 的体积为V 1 ，三棱柱A 1B 1C 1﹣ABC 的体积为V 2 ，则V 1：V 2= ．7.抛物线y=x 2在x=1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D （包含三角形内部和边界）．若点P （x ，y ）是区域D 内的任意一点，则x+2y 的取值范围是．8.设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC上的点，AD= 12 AB ，BE= 23BC ，若 DE → =λ1 AB → +λ2AC →（λ1 ， λ2为实数），则λ1+λ2的值为．9.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为 x 2a 2+y 2b 2=1 （a ＞b ＞0），右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为d 1 ， F 到l 的距离为d 2 ，若d 2= √6d 1 ，则椭圆C 的离心率为．答案第2页，总14页装…………○………※要※※在※※装※※订※※线※装…………○………10.在平面直角坐标系xOy 中，设定点A （a ，a ），P 是函数y= 1x （x ＞0）图象上一动点，若点P ，A 之间的最短距离为2 √2 ，则满足条件的实数a 的所有值为． 11.在正项等比数列{a n }中， a 5=12 ，a 6+a 7=3，则满足a 1+a 2+…+a n ＞a 1a 2…a n 的最大正整数n 的值为．二、解答题（题型注释）12.设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列（d≠0），S n 是其前n 项和．记b n = nSnn 2+c ，n∈N * ，其中c 为实数．（1）若c=0，且b 1 ， b 2 ， b 4成等比数列，证明：S nk =n 2S k （k ，n∈N *）；（2）若{b n }是等差数列，证明：c=0．13.设函数f （x ）=lnx ﹣ax ，g （x ）=e x ﹣ax ，其中a 为实数．（1）若f （x ）在（1，+∞）上是单调减函数，且g （x ）在（1，+∞）上有最小值，求a 的取值范围；（2）若g （x ）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，试求f （x ）的零点个数，并证明你的结论．14.如图，AB 和BC 分别与圆O 相切于点D 、C ，AC 经过圆心O ，且BC=2OC ．求证：AC=2AD ．15.已知矩阵A= [−1002] ，B= [126] ，求矩阵A ﹣1B ． 16.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为 {x =t +1y =2t（为参数），曲线C 的参数方程为 {x =2t 2y =2t（t 为参数）．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．17.已知a≥b＞0，求证：2a 3﹣b 3≥2ab 2﹣a 2b ．第3页，总14页○…………线…………○…_○…………线…………○…18.如图，在直三棱柱A 1B 1C 1﹣ABC 中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA 1=4，点D 是BC 的中点．（1）求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值；（2）求平面ADC 1与ABA 1所成二面角的正弦值．19.设数列{a n }：1，﹣2，﹣2，3，3，3，﹣4，﹣4，﹣4，﹣4，…， (−1)k−1k,⋯,(−1)k−1k ︷k 个，…，即当(k−1)k 2 ＜n≤ (k+1)k 2（k∈N *）时， a n =(−1)k−1k ．记S n =a 1+a 2+…+a n （n∈N ∗）．对于l∈N ∗ ，定义集合P l =﹛n|S n 为a n 的整数倍，n∈N ∗ ，且1≤n≤l}（1）求P 11中元素个数；（2）求集合P 2000中元素个数．答案第4页，总14页参数答案1.π【解析】1.解：∵函数表达式为y=3sin （2x+ π4 ）， ∴ω=2，可得最小正周期T=| 2πω |=| 2π2 |=π 所以答案是：π 2.5【解析】2.解：z=（2﹣i ）2=4﹣4i+i 2=3﹣4i ．所以，|z|= √32+(−4)2=5．所以答案是5． 3.y =±34x【解析】3.解：∵双曲线 x 216−y 29=1 的a=4，b=3，焦点在x 轴上而双曲线 x 2a 2−y 2b2=1 的渐近线方程为y=± ba x ∴双曲线 x 216−y 29=1 的渐近线方程为 y =±34x所以答案是： y =±34x4.2【解析】4.解：由图表得到甲乙两位射击运动员的数据分别为：甲：87，91，90，89，93；乙：89，90，91，88，92；x 甲¯=87+91+90+89+935=90 ， x 乙¯=89+90+91+88+925=90 ．方差 S 甲2=（87−90）2+（91−90）2+（90−90）2+（89−90）2+（93−90）25=4 =4．S 乙2=（89−90）2+（90−90）2+（91−90）2+（88−90）2+（92−90）25=2 =2．所以乙运动员的成绩较稳定，方差为2．所以答案是2．【考点精析】解答此题的关键在于理解极差、方差与标准差的相关知识，掌握标准差和方差越大，数据的离散程度越大；标准差和方程为0时，样本各数据全相等，数据没有离散性；方差与原始数据单位不同，解决实际问题时，多采用标准差．第5页，总14页…○…………外…………○…………装…………○……学校:___________姓名：___________班级：__…○…………内…………○…………装…………○…… 5.2063【解析】5.解：m 取小于等于7的正整数，n 取小于等于9的正整数，共有7×9=63种取法． m 取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n 取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况，则m ，n 都取到奇数的方法种数为4×5=20种．所以m ，n 都取到奇数的概率为 4×57×9=2063 ．所以答案是 2063 ．6.1：24【解析】6.解：因为D ，E ，分别是AB ，AC 的中点，所以S △ADE ：S △ABC =1：4，又F 是AA 1的中点，所以A 1到底面的距离H 为F 到底面距离h 的2倍．即三棱柱A 1B 1C 1﹣ABC 的高是三棱锥F ﹣ADE 高的2倍．所以V 1：V 2= 13S △ADE ⋅ℎS△ABC ⋅H=124 =1：24．所以答案是1：24． 7.[﹣2， 12 ]【解析】7.解：由y=x 2得，y′=2x，所以y′|x=1=2，则抛物线y=x 2在x=1处的切线方程为y=2x ﹣1．令z=x+2y ，则 y =−12x =z2．画出可行域如图，所以当直线 y =−12x =z2过点（0，﹣1）时，z min =﹣2．过点（ 12,0 ）时， z max =12 ．所以答案是[﹣2， 12 ]．答案第6页，总14页……○…………订…………○…………线※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………订…………○…………线【考点精析】根据题目的已知条件，利用基本求导法则的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导． 8.12【解析】8.解：由题意结合向量的运算可得 DE →= DB →+BE →= 12AB →+23BC →=12AB →+23(BA→+AC →)= 12AB→−23AB→+23AC →=−16AB→+23AC →又由题意可知若 DE →=λ1 AB →+λ2 AC →，故可得λ1= −16 ，λ2= 23 ，所以λ1+λ2= 12所以答案是： 12【考点精析】本题主要考查了平面向量的基本定理及其意义的相关知识点，需要掌握如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使才能正确解答此题．9.√33【解析】9.解：如图，准线l ：x= a 2c ，d 2= a 2c−c =b 2c，由面积法得：d 1= bca ，若d 2= √6d 1 ，则 b 2c=√6×bca ，整理得 √6a 2﹣ab ﹣ √6b 2 =0，两边同除以a 2，得 √6 (b a )2 +（ ba ）﹣ √6=0，解得b a =√63．∴e= √1−(b a )2= √33 ．第7页，总14页○…………外…………○………装…………○…………订…………………线…………○…学__________姓名：___________班级：___________考号：_________○…………内…………○………装…………○…………订…………………线…………○…所以答案是： √33．10.﹣1或 √10【解析】10.解：设点P (x,1x )(x >0) ，则|PA|===，令 t =x +1x ，∵x＞0，∴t≥2，令g （t ）=t 2﹣2at+2a 2﹣2=（t ﹣a ）2+a 2﹣2，①当a≤2时，t=2时g （t ）取得最小值g （2）=2﹣4a+2a 2= (2√2)2，解得a=﹣1； ②当a ＞2时，g （t ）在区间[2，a ）上单调递减，在（a ，+∞）单调递增，∴t=a，g （t ）取得最小值g （a ）=a 2﹣2，∴a 2﹣2= (2√2)2，解得a= √10 ．综上可知：a=﹣1或 √10 ．所以答案是﹣1或 √10 ．11.12【解析】11.解：设正项等比数列{a n }首项为a 1 ，公比为q ，由题意可得，解之可得：a 1= 132 ，q=2，故其通项公式为a n = 132×2n−1=2n ﹣6 ．记T n =a 1+a 2+…+a n =132(1−2n )1−2=2n −125，S n =a 1a 2…a n =2﹣5×2﹣4…×2n ﹣6=2﹣5﹣4+…+n﹣6= 2(n−11)n2 ．答案第8页，总14页……订…………○…………线…………○线※※内※※答※※题※※……订…………○…………线…………○由题意可得T n ＞S n ，即 2n −125＞ 2(n−11)n2 ，化简得：2n﹣1＞ 212n 2−112n+5 ，即2n﹣ 212n 2−112n+5 ＞1，因此只须n ＞ 12n 2−112n +5 ，即n 2﹣13n+10＜0解得13−√1292 ＜n ＜ 13+√1292，由于n 为正整数，因此n 最大为 13+√1292的整数部分，也就是12．所以答案是：12【考点精析】关于本题考查的解一元二次不等式和等差数列的前n 项和公式，需要了解求一元二次不等式解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数;二判：判断对应方程的根;三求：求对应方程的根;四画：画出对应函数的图象;五解集：根据图象写出不等式的解集;规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边；前n 项和公式：才能得出正确答案．12. （1）证明：若c=0，则a n =a 1+（n ﹣1）d ， S n =n[(n−1)d+2a]2， b n=nS n n 2=(n−1)d+2a2．当b 1，b 2，b 4成等比数列时，则 b 22=b 1b 4 ，即： (a+d 2)2=a(a +3d2) ，得：d 2=2ad ，又d≠0，故d=2a ．因此： S n =n 2a ， S nk =(nk)2a =n 2k 2a ， n 2S k =n 2k 2a ．故： S nk =n 2S （k ，n∈N*）．（2）证明： b n =nS n n 2+c=n 2(n−1)d+2a2n 2+c=n 2(n−1)d+2a 2+c (n−1)d+2a 2−c (n−1)d+2a2n 2+c= (n−1)d+2a 2−c (n−1)d+2a2n 2+c． ①若{b n }是等差数列，则{b n }的通项公式是b n =A n +B 型．观察①式后一项，分子幂低于分母幂，故有：c(n−1)d+2a2n 2+c，即 c(n−1)d+2a2，而(n−1)d+2a2≠0 ，故c=0．经检验，当c=0时{b n }是等差数列．第9页，总14页…○…………线…………____…○…………线…………【解析】12.（1）写出等差数列的通项公式，前n 项和公式，由b 1 ， b 2 ， b 4成等比数列得到首项和公差的关系，代入前n 项和公式得到S n ，在前n 项和公式中取n=nk 可证结论；（2）把S n 代入 b n =nS nn 2+c中整理得到b n = (n−1)d+2a 2−c (n−1)d+2a2n 2+c，由等差数列的通项公式是a n =An+B 的形式，说明c(n−1)d+2a2n 2+c=0 ，由此可得到c=0．【考点精析】本题主要考查了等差数列的前n 项和公式和等比关系的确定的相关知识点，需要掌握前n 项和公式：；等比数列可以通过定义法、中项法、通项公式法、前n 项和法进行判断才能正确解答此题．13.（1）解：求导数可得f′（x ）= 1x ﹣a∵f（x ）在（1，+∞）上是单调减函数，∴ 1x ﹣a≤0在（1，+∞）上恒成立， ∴a≥ 1x ，x∈（1，+∞）．∴a≥1．令g′（x ）=e x ﹣a=0，得x=lna ．当x ＜lna 时，g′（x ）＜0；当x ＞lna 时，g′（x ）＞0．又g （x ）在（1，+∞）上有最小值，所以lna ＞1，即a ＞e ．故a 的取值范围为：a ＞e ．（2）解：当a≤0时，g （x ）必为单调函数；当a ＞0时，令g′（x ）=e x ﹣a ＞0，解得a ＜e x ，即x ＞lna ，因为g （x ）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，类似（1）有lna≤﹣1，即0＜ a ≤1e ．结合上述两种情况，有 a ≤1e．①当a=0时，由f （1）=0以及f′（x ）= 1x ＞0，得f （x ）存在唯一的零点；②当a ＜0时，由于f （e a ）=a ﹣ae a =a （1﹣e a ）＜0，f （1）=﹣a ＞0，且函数f （x ）在[e a ，1]上的图象不间断，所以f （x ）在（e a ，1）上存在零点．另外，当x ＞0时，f′（x ）= 1x ﹣a ＞0，故f （x ）在（0，+∞）上是单调增函数，所以f （x ）只有一个零点．③当0＜a≤ 1e 时，令f′（x ）= 1x ﹣a=0，解得x= 1a ．当0＜x ＜ 1a 时，f′（x ）＞0，当x ＞ 1a 时，f′（x ）＜0，所以，x= 1a 是f （x ）的最大值点，且最大值为f （ 1a ）=﹣lna ﹣1．（i ）当﹣lna ﹣1=0，即a= 1e 时，f （x ）有一个零点x=e ；答案第10页，总14页……外…………○……※※请※……内…………○……（ii ）当﹣lna ﹣1＞0，即0＜a ＜ 1e 时，f （x ）有两个零点；实际上，对于0＜a ＜ 1e ，由于f （ 1e ）=﹣1﹣ ae ＜0，f （ 1a ）＞0，且函数f （x ）在[ 1e ,1a ]上的图象不间断，所以f （x ）在（ 1e ,1a ）上存在零点．另外，当0＜x ＜ 1a 时，f′（x ）= 1x ﹣a ＞0，故f （x ）在（0， 1a ）上时单调增函数，所以f （x ）在（0， 1a ）上只有一个零点．下面考虑f （x ）在（ 1a ，+∞）上的情况，先证明f （ 1e a ）=a （ 1a 2−e1a ）＜0．为此，我们要证明：当x ＞e 时，e x ＞x 2．设h （x ）=e x ﹣x 2，则h′（x ）=e x ﹣2x ，再设l （x ）=h′（x ）=e x ﹣2x ，则l′（x ）=e x ﹣2．当x ＞1时，l′（x ）=e x ﹣2＞e ﹣2＞0，所以l （x ）=h′（x ）在（1，+∞）上时单调增函数；故当x ＞2时，h′（x ）=e x ﹣2x ＞h′（2）=e 2﹣4＞0，从而h （x ）在（2，+∞）上是单调增函数，进而当x ＞e 时，h （x ）=e x ﹣x 2＞h （e ）=e e ﹣e 2＞0，即当x ＞e 时，e x ＞x 2 当0＜a ＜ 1e ，即 1a ＞e时，f （ 1e a ）= 1a −ae 1a =a （ 1a 2−e1a ）＜0，又f （ 1a ）＞0，且函数f （x ）在[ 1a ， 1e a ]上的图象不间断，所以f （x ）在（ 1a ， 1e a ）上存在零点．又当x ＞ 1a 时，f′（x ）= 1x ﹣a ＜0，故f （x ）在（ 1a ，+∞）上是单调减函数，所以f （x ）在（ 1a ，+∞）上只有一个零点．综合（i ）（ii ）（iii ），当a≤0或a= 1e 时，f （x ）的零点个数为1，当0＜a ＜ 1e 时，f （x ）的零点个数为2．【解析】13.（1）求导数，利用f （x ）在（1，+∞）上是单调减函数，转化为 1x ﹣a≤0在（1，+∞）上恒成立，利用g （x ）在（1，+∞）上有最小值，结合导数知识，即可求得结论；（2）先确定a 的范围，再分类讨论，确定f （x ）的单调性，从而可得f （x ）的零点个数．【考点精析】认真审题，首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减)．14.证明：连接OD ．因为AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，所以ADO=∠ACB=90° 又因为∠A=∠A，所以Rt△ADO∽Rt△ACB，………外……………………装…………○…………订………○…………线…………○…校:___________姓名：___________班级：___________考号：_______………内……………………装…………○…………订………○…………线…………○…所以，因为BC=2OC=2OD ．所以AC=2AD ．【解析】14.证明Rt△ADO∽Rt△ACB，可得 BCOD =ACAD ，结合BC=2OC=2OD ，即可证明结论．15.解：设矩阵A 的逆矩阵为，则 = ，即 = ，故a=﹣1，b=0，c=0，d= ，从而A ﹣1= ，∴A ﹣1B= = ．【解析】15.设矩阵A ﹣1= [abc d] ，通过AA ﹣1为单位矩阵可得A ﹣1 ，进而可得结论． 16.解：直线l 的参数方程为（为参数），由x=t+1可得t=x ﹣1，代入y=2t ，可得直线l 的普通方程：2x ﹣y ﹣2=0．曲线C 的参数方程为（t 为参数），化为y 2=2x ，答案第12页，总14页………外…………○…………线…………○※※请※………内…………○…………线…………○联立，解得，，于是交点为（2，2），．【解析】16.运用代入法，可将直线l 和曲线C 的参数方程化为普通方程，联立直线方程和抛物线方程，解方程可得它们的交点坐标．17.证明：2a 3﹣b 3﹣2ab 2+a 2b=2a （a 2﹣b 2）+b （a 2﹣b 2）=（a ﹣b ）（a+b ）（2a+b ）， ∵a≥b＞0，∴a﹣b≥0，a+b ＞0，2a+b ＞0，从而：（a ﹣b ）（a+b ）（2a+b ）≥0， ∴2a 3﹣b 3≥2ab 2﹣a 2b ．【解析】17.直接利用作差法，然后分析证明即可．【考点精析】本题主要考查了不等式的证明的相关知识点，需要掌握不等式证明的几种常用方法:常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等才能正确解答此题． 18.（1）解：以{ AB →,AC,→AA 1→}为单位正交基底建立空间直角坐标系A ﹣xyz ，则由题意知A （0，0，0），B （2，0，0），C （0，2，0）， A 1（0，0，4），D （1，1，0），C 1（0，2，4）， ∴ A 1B →=(2,0,−4) ， C 1D →=（1，﹣1，﹣4）， ∴cos＜ A 1B →,C 1D →＞=A 1B →⋅C 1D→|A 1B →|⋅|C 1D →|= √20⋅√18 = 3√1010 ，∴异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为3√1010．（2）解： AC →=(0,2,0) 是平面ABA 1的一个法向量，设平面ADC 1的法向量为 m →=(x,y,z) ， ∵ AD →=(1,1,0),AC 1→=(0,2,4) ， ∴ {m →⋅AD →=x +y =0m →⋅AC 1→=2y +4z =0，取z=1，得y=﹣2，x=2，∴平面ADC 1的法向量为 m →=(2,−2,1) ，设平面ADC 1与ABA 1所成二面角为θ， ∴cosθ=|cos＜ AC →,m →＞|=| 2×√9 |= 23 ，∴sinθ= √1−(23)2= √53 ．∴平面ADC 1与ABA 1所成二面角的正弦值为 √53 ．【解析】18.（1）以{ AB →,AC,→AA 1→}为单位正交基底建立空间直角坐标系A ﹣xyz ，利用向量法能求出异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值．（2）分别求出平面ABA 1的法向量和平面ADC 1的法向量，利用向量法能求出平面ADC 1与ABA 1所成二面角的余弦值，再由三角函数知识能求出平面ADC 1与ABA 1所成二面角的正弦值．【考点精析】掌握异面直线及其所成的角是解答本题的根本，需要知道异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系． 19. （1）解：由数列{a n }的定义得a 1=1，a 2=﹣2，a 3=﹣2，a 4=3， a 5=3，a 6=3，a 7=﹣4，a 8=﹣4，a 9=﹣4，a 10=﹣4，a 11=5，所以S 1=1，S 2=﹣1，S 3=﹣3，S 4=0，S 5=3，S 6=6，S 7=2， S 8=﹣2，S 9=﹣6，S 10=﹣10，S 11=﹣5，从而S 1=a 1，S 4=0•a 4，S 5=a 5，S 6=2a 6，S 11=﹣a 11，所以集合P 11中元素的个数为5；（2）解：先证：S i （2i+1）=﹣i （2i+1）（i∈N*）．事实上，①当i=1时，S i （2i+1）=S 3=﹣3，﹣i （2i+1）=﹣3，故原等式成立； ②假设i=m 时成立，即S m （2m+1）=﹣m （2m+1），则i=m+1时， S （m+1）（2m+3）=S m （2m+1）+（2m+1）2﹣（2m+2）2=﹣m （2m+1）﹣4m ﹣3 =﹣（2m 2+5m+3）=﹣（m+1）（2m+3）．综合①②可得S i （2i+1）=﹣i （2i+1）．于是S （i+1）（2i+1）=S i （2i+1）+（2i+1）2 =﹣i （2i+1）+（2i+1）2=（2i+1）（i+1）．由上可知S i （2i+1）是2i+1的倍数，而a i （2i+1）+j=2i+1（j=1，2，…，2i+1），答案第14页，总14页又S （i+1）（2i+1）=（i+1）•（2i+1）不是2i+2的倍数，而a （i+1）（2i+1）+j=﹣（2i+2）（j=1，2，…，2i+2），所以S （i+1）（2i+1）+j=S （i+1）（2i+1）+j （2i+2）=（2i+1）（i+1）﹣j （2i+2）不是a （i+1）（2i+1）+j （j=1，2，…，2i+2）的倍数，故当l=i （2i+1）时，集合P l 中元素的个数为1+3+…+（2i ﹣1）=i 2，于是，当l=i （2i+1）+j （1≤j≤2i+1）时，集合P l 中元素的个数为i 2+j ．又2000=31×（2×31+1）+47，故集合P 2 000中元素的个数为312+47=1008．【解析】19.（1）由数列{a n }的定义，可得前11项，进而得到前11项和，再由定义集合P l ，即可得到元素个数；（2）运用数学归纳法证明S i （2i+1）=﹣i （2i+1）（i∈N*）．再结合定义，运用等差数列的求和公式，即可得到所求．【考点精析】通过灵活运用数学归纳法的定义，掌握数学归纳法是证明关于正整数n 的命题的一种方法即可以解答此题．。

东海高级中学2013-2014学年高一上学期第三次学分认定数学试题

高一年级第三次学分认定数学试题（考试时间120分钟，满分160分）命题人：唐春兵审核人：周希银一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把正确答案填写在答题卡相应的位置上．1.集合{|21},{(,)|31}A x y x B x y y x ==-==+，则A B = ▲ .2.已知一个圆台的上、下底面半径分别为1,2cm cm ，高为3cm ，则该圆台的母线长为 ▲ .3.设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()f a f b >, 则()f a - ▲ ()f b -(填“>”或 “<”)4.如果,a b 是异面直线，直线c 与,a b 都相交，那么由这三条直线中的任意两条所确定的平面共为 ▲ 个.5.设{2,},{2,2}M m N m ==，且M N =，则实数m = ▲ .6. 在空间中，用a ，b ，c 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列四个判断：（1）若//,//a b b c ，则//a c （2）若,a b b c ⊥⊥，则a c ⊥ （3）若//a γ，//b γ，则//a b （4）若a γ⊥，b γ⊥，则//a b 则所有正确的序号是 ▲ ．7.已知函数2,0,(),0,x x f x x x ≥⎧=⎨<⎩，则((2))f f -= ▲ .8. 设a b 、是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个判断： ①若,a b a α⊥⊥，则//b α ②若,a βαβ⊥⊥，则//a α ③若βα⊥a a ,//，βα⊥则 ④若,,ab a b αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥其中正确的个数为 ▲ ．9. 已知正四棱锥的底面边长是6，则这个正四棱锥的侧面积是 ▲ ． 10. 长方体1111ABCD A B C D -中，13,2AB BC AA ===，则四面体11A BC D 的体积为 ▲ .11. 设βα,为两个不重合的平面，n m ,是两条不重合的直线，给出下列四个判断： ①若α⊥⊥m n m ,，则α//n ； ②若,,βα⊂⊂m n βα与相交且不垂直，则m n 与不垂直；③若βαα//,,//⊥n n m ，则β⊥m ； ④若n m m ⊥=⊥,,βαβα ，则n β⊥．其中所有错误的序号是 ▲ .12.已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间[0,)+∞上是单调增函数，若3(1)(log )f f x <，则实数x 的取值范围为 ▲ .13. 现有如下判断或结论：①过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直；②过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；③如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行；④如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内．则错误的个数是 ▲ ．14. 如图，在长方形ABCD 中，2,1,AB BC E ==为DC 的中点，F 为线段EC （端点除外）上一动点，现将AFD ∆沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC .在平面ABD 内过点D 作,DK AB K ⊥为垂足，设AK t =，则t 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题纸指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分14分）记函数()f x =的定义域为集合M ，函数2()43g x x x =-+的值域为集合N ，求：（1）M ，N ；（2）,M N M N .16．（本题满分14分）如图,四边形ABCD 为平行四边形，四边形ADEF 是正方形，且BD ⊥平面CDE ，H 是BE 的中点,G 是AE ,DF 的交点. （1）求证:GH ∥平面CDE ；（2）求证:面ADEF ⊥面ABCD .⇒ABDF17. （本题满分14分）如图，在四棱锥A —BCDE 中，底面BCDE 是直角梯形， 90=∠BED ，BE ∥CD ，AB =6，BC =5，31=BE CD ，侧面ABE ⊥底面BCDE ，︒=∠90BAE ．⑴求证：平面ADE ⊥平面ABE ；⑵过点D 作面α∥平面ABC ，分别于BE ，AE 交于点F ，G ，求DFG ∆的面积．18. （本题满分16分）经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的日销售量（件）与价格（元）均为时间t （天）的函数，且销售量近似满足g (t )＝80－2t （件），价格近似满足1()20|10|2f t t =--（元）．（1）试写出该种商品的日销售额y 与时间t （0≤t ≤20）的函数表达式；（2）求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值．EBCDADC 1A 1B 1CBA·····19. （本题满分16分）如图,在三棱柱111-A B CA B C 中，侧棱1AA ⊥底面ABC ,,⊥AB BC D 为AC 的中点,12A A AB ==,3BC =. （1）求证：1//AB 平面1BC D ； (2) 求四棱锥11-B AAC D 的体积.20. （本题满分16分）已知a R ∈，函数()||f x x x a =-. （1）当2a =时，写出函数()y f x =的单调递增区间；（2）当2a >时，求函数()y f x =在区间[1,2]上的最小值；（3）设0a ≠，函数()y f x =在(,)m n 上既有最大值又有最小值，请分别求出,m n 的取值范围（用a 表示）。

2013届高三理科数学综合试卷及答案

2013届高三理科数学综合试卷一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α=（）A ．15B ．15-C ．513D ．513-（2）设a 是实数，且1i 1i2a +++是实数，则a =（）A ．12B ．1C ．32D ．2（3）设a b ∈R ，，集合{}10ba b a b a⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，，，，，则b a -=（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-（4）下面给出的四个点中，到直线10x y -+=的距离为2，且位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩，表示的平面区域内的点是（） A ．(11)，B ．(11)-，C ．(11)--，D ．(11)-，（5）如图，正四棱柱1111ABC D A B C D -中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（） A ．15B ．25C ．35D ．45（6）设1a >，函数()log a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最小值之差为12，则a =（）A．B ．2C． D ．4（7）21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为15，则n =（） A ．3B ．4C ．5D ．6AB1B1A1D1C C D（8）．如图，三行三列的方阵中有9个数(123123)ij a i j ==，，；，，，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（） A ．1314 B ．47C ．114D ．37二、填空题：本大题共6小题，每小题5分共30分。

9．已知向量)3,(),2,4(x b a ==向量，且a ∥b ，则x = 。

10．曲线sin y x =在点（32π）处的切线方程为；11．已知等比数列{}n a 的前三项依次为1a -，1a +，4a +，则n a = ．12．已知正方形A B C D ，则以A B ，为焦点，且过C D ，两点的椭圆的离心率为_____．从以下三题中选做两题，如有多选，按前两题记分.13．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点()1,0到直线()c o s s i n 2ρθθ+=的距离为．14．（不等式选讲选做题）不等式142x x -<-+的解集是．15．几何证明选讲选做题］如图所示，圆Ｏ的直径为６，Ｃ为圆周上一点。

江苏省新海高级中学2013届高三理科数学12月检测试卷

江苏省新海高级中学2013届高三理科数学12月检测试卷一．填空题1.函数)1(log 4)(22--=x x x f 的定义域为___),2(+∞___.2. 已知复数11z i =-，21z i =+,那么21zz =____i _____3. 将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是22c o s y x =4. 已知点(1,2)P 在α终边上，则6sin 8cos 3sin 2cos αααα+-＝ 55.已知向量,a b 满足||3,||5,||7a b a b ==-=，则,a b 的夹角为 23π______ 6. .在R 上定义运算⊙: a ⊙b a ab b ++=2,则满足x ⊙)2(-x <0的实数x 的取值范围为 (-2,1) 。

7. 在等差数列}{n a 中,6,7253+==a a a ,则____________6=a .138.从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是 __0.75__9. .已知1F 、2F 是椭圆1:2222=+by a x C （a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且21PF PF ⊥.若21F PF ∆的面积为9，则b =_____3____.10. 设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；（3）设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直；（4）直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直。

上面命题中，正确命题的个数是 2 个11.△ABC 中，π2C =，1,2AC BC ==，则()2(1)f CA CB λλλ=+-的最小值是12. 已知直线1)0(022=+≠=++y x abc c by ax 与圆相离，则以三条边长分别为|||,||,|c b a 所构成的三角形的形状是钝角三角形 13. 曲线1:=+y x C 上的点到原点的距离的最小值为42. 14. 设函数12,0()(1),0x x f x f x x -⎧≤=⎨->⎩,方程f(x)＝x+a 有且只有两相不等实数根，则实a 的取值范围为 [)3,4 .二．解答题15．在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=．（1）求角B 的大小；（2）设(sin ,1),(3,cos 2)m A n A ==，试m n ⋅求的取值范围．（1）因为(2)cos cos a c B b C -=，所以(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=，即 2s i n c o s s i n c o s s i n c o s s i n (A B C B B C C B A=+=+= 而 s i n 0A >，所以1cos 2B =．故 60B =……………………6分（2）因为 (s i n ,1),(3,c om A n A == 所以 223173sin cos 23sin 12sin 2(sin )48m n A A A A A ⋅=+=+-=--+．P A BCDE FN F EDCB A P MF EDCBAP由09060090A B C ⎧<<⎪=⎨⎪<<⎩得090012090A A ⎧<<⎪⎨<<⎪⎩- 所以 3090A <<……10分从而1sin (,1)2A ∈ 故m n ⋅的取值范围是17(2,]8．……………………14分16．在四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，P A ＝2AB ＝2．（Ⅰ）求四棱锥P －ABCD 的体积V ；（Ⅱ）若F 为PC 的中点，求证PC ⊥平面AEF ；（Ⅲ）求证CE ∥平面P AB ．解：（Ⅰ）在Rt △ABC 中，AB ＝1， ∠BAC ＝60°，∴BCAC ＝2．在Rt △ACD 中，AC ＝2，∠CAD ＝60°，∴CD ＝AD ＝4．∴S ABCD ＝1122AB BC AC CD ⋅+⋅111222=⨯⨯⨯V＝123= （Ⅱ）∵P A ＝CA ，F 为PC 的中点，∴AF ⊥PC ． ∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥CD ．∵AC ⊥CD ，P A ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面P AC ．∴CD ⊥PC ． ∵E 为PD 中点，F 为PC 中点， ∴EF ∥CD ．则EF ⊥PC ． ∵AF ∩EF ＝F ，∴PC ⊥平面AEF ．（Ⅲ）证法一：取AD 中点M ，连EM ，CM ．则EM ∥P A ． ∵EM ⊄平面P AB ，P A ⊂平面P AB ，∴EM ∥平面P AB ． ……… 12分在Rt △ACD 中，∠CAD ＝60°，AC ＝AM ＝2， ∴∠ACM ＝60°．而∠BAC ＝60°，∴MC ∥AB ． ∵MC ⊄平面P AB ，AB ⊂平面P AB ，∴MC ∥平面P AB ．∵EM ∩MC ＝M ，∴平面EMC ∥平面P AB ． ∵EC ⊂平面EMC ， ∴EC ∥平面P AB ．证法二：延长DC 、AB ，设它们交于点N ，连PN ． ∵∠NAC ＝∠DAC ＝60°，AC ⊥CD ， ∴C 为ND 的中点． ……12分 ∵E 为PD 中点，∴EC ∥PN ．……14分 ∵EC ⊄平面P AB ，PN ⊂平面P AB ，∴EC ∥平面P AB ．17．设命题p ：函数21()lg()16f x ax x a =-+的定义域为R ；命题q ：不等式39x x a -<对一切正实数均成立（1）如果p 是真命题，求实数a 的取值范围；（2）如果命题“p 或q ”为真命题且“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围。

2013年高考理科数学江苏卷试题与答案word解析版,推荐文档

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学（江苏卷）数学I 试题、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共计70分•请把答案填写在答题卡相应位置上.n1 • （2013江苏，1）函数y 3sin 2x —的最小正周期为 _______________ •42. （2013江苏，2）设z = （2 — i ） 2（i 为虚数单位），则复数z 的模为 _________ •2 23. （2013江苏，3）双曲线 — 乞=1的两条渐近线的方程为16 94. _________________________________________ （2013江苏，4）集合｛ — 1,0,1｝共有 ___________________________________________ 个子集.5.（2013江苏，5）下图是一个算法的流程图，则输出的 n 的值是 ___________ .6. （2013江苏，6）抽样统计甲、乙两位射击运动员的 5次训练成绩（单位：环）, 结果如下：7. （2013江苏，7）现有某类病毒记作，其中正整数 m , n （mc 乙n w 9）可以任意选取，则 m , n 都取到奇数的概率为 ____________ .8. __________________________________________________________ （2013江苏，8）如图，在三棱柱 ABC — ABC 中, D, E, F 分别是AB, AQ AA 的中点，设三棱锥F —ADE 的体积为 V ,三棱柱 ABC — ABC 勺体积为 V 2,贝U V : \2= __________________ .9. （2013江苏，9）抛物线y = x 2在x = 1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D （包含三角形内部和边界）.若点P （x , y ）是区域D 内的任意一点，贝U x + 2y 的取值范围是 __________ .运动员第1次第2次第3次第4次第5次甲87 91 90 8993 乙8990918892工N-1a-2则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 ____________x 的解集用区间表示为 _____________ . ■^2 =1 （a > 0, b > 0），右 b焦点为F,右准线为I ，短轴的一个端点为 B 设原点到直线BF 的距离为d 1,F 到I 的距离为d 2.若d 2 . 6d 1 ,则椭圆C 的离心率为 ____________ .一 113. （2013江苏，13）在平面直角坐标系 xOy 中，设定点A （a , a ）, P 是函数y （x >0）图象上一动x10. （2013江苏，10）设D, E 分别是△ ABC 的边 AB BC 上的点,ujur uuu DE 1AB 11. （2013 江苏，11）已知 f （x ）UULT 2AC （入1,入2为实数），则是定义在AD 」AB , BE=-BC .若2 3入 1 +入2的值为 __________ .R 上的奇函数，当x >0时，f （x ） = x 2 — 4x ，则不等式f （x ） > 2x xOy 中，椭圆C 的标准方程为 —a12. （2013江苏，12）在平面直角坐标系点•若点P, A之间的最短距离为2罷，则满足条件的实数a的所有值为 __________ .114. （2013江苏，14）在正项等比数列｛a n｝中，a5, a6 + a?= 3.则满足a i + a? +•••+a n>a©…a n的2最大正整数n的值为____________ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域.内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. （2013 江苏，15）（本小题满分14 分）已知a= （cos a, sin a ）, b= （cos 卩，sin 卩）,0 v 卩V a Vn.（1）若| a-b| =72，求证：a±b;（2）设c= （0,1），若a-b= c,求 a ,卩的值.16. （2013江苏，16）（本小题满分14分）如图，在三棱锥S- ABC中，平面SABL平面SBC AB± BC AS= AB过A作AF丄SB,垂足为F,点E, G分别是棱SA SC的中点. 求证：（1）平面EFG/平面ABC （2）BCL SAC17. (2013江苏，17)(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)设圆C的半径为1，圆心在I上.(1) 若圆心C也在直线y= x-1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2) 若圆C上存在点M使MA F 2MO求圆心C的横坐标a的取值范围.18. (2013江苏，18)(本小题满分16分)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径•一种是从A沿直线步行到C另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min，在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B,在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC12 3长为 1 260 m，经测量，cos A= , cos C=-.13 5(1) 求索道AB的长；(2) 问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过19. (2013江苏，19)(本小题满分16分)设｛刘是首项为a,公差为d的等差数列(d^0) ,S是其前n项和.记b n,n€ N*，其中c为实数.n c(1)若c= 0,且b1, b, b4成等比数列，证明：$k= n2$(k, n€N*)；⑵若｛b n｝是等差数列，证明：c= 0.20. (2013江苏，20)(本小题满分16分)设函数f(x) = ln x—ax, g(x) = e x-ax，其中a为实数.(1)若f (x)在(1 ,+s)上是单调减函数，且g(x)在(1 ,+^)上有最小值，求a的取值范围；⑵若g(x)在(—1 ,+8)上是单调增函数，试求 f (x)的零点个数，并证明你的结论.数学n （附加题）【选做题】本题包括 A 、 B 、 C 、D 四小题，请．选．定．其．中．两．小．题．，．并．在．相．应．的．答．题．区．域．内．作．答．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21. （2013江苏，21）A .［选修4 — 1:几何证明选讲］（本小题满分10分）如图，AB 和 BC 分别与圆O 相切于点D, C, AC 经过圆心 Q 且BC= 2OC3 3 2 2B.［选修4— 2 :矩阵与变换］（本小题满分10分）已知矩阵A =1 0,B =0 2，求矩阵 A —1B .C . ［选修 4— 4:坐标系与参数方程］（本小题满分x t 1, x'（t 为参数），曲线C 的参数方程为y 2ty10分）在平面直角坐标系 xQy 中，直线I 的参数方程为2tan 22tan（e 为参数）.试求直线I 和曲线C 的普通方程,D.［选修4—5:不等式选讲］（本小题满分10分）已知a>b>0，求证：2a—b >2ab —a b.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分•请在答题卡指定区说明、证明过程或演算步骤.22. （2013江苏，22）（本小题满分10分）如图，在直三棱柱点D 是BC 的中点.（1）求异面直线 AB 与CD 所成角的余弦值；（2）求平面ADC 与平面ABA 所成二面角的正弦值.23. (2013 江苏，23)(本小题满分 10 分)设数列{a n } : 1,— 2, — 2,3,3,3 , — 4,— 4, — 4, — 4，…，6 4 4 4 7个 4 4 48 k k (1)k 1k,L ,( 1)k 1k ，…，即当 ------------ n -------------- (k € N *)时，a n = ( — 1)k — 1k .记 S= a 1+ a 2+-+ a n ( n2 2 € N).对于I € N ,定义集合 R = {n |S 是a n 的整数倍，n €N *,且1< n w l }.(1) 求集合P 11中元素的个数； (2) 求集合P 2 000中元素的个数.域内作答，解答时应写出文字ABC — ABC 中,2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学（江苏卷）数学I试题、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分•请把答案填写在答题卡相应位置上.解析：|z| =1(2 —i) 2| = |4 —4i + i2| = |3 —4i| = , 32 4 2 5 = 5.33.答案：y —x4解析：由题意可知所求双曲线的渐近线方程为4.答案：8解析：由于集合｛—1,0,1｝有3个兀素，故其子集个数为23= 8.5.答案：3解析：第一次循环后：a—8, n^2；第二次循环后：a—26, n—3;由于26> 20,跳出循环, 输出n= 3.6.答案：2解析：由题中数据可得x甲=90 , x乙=90 .2 1 2 2 2 2 2 2 1 2于是S甲= — [(87 —90) + (91 —90) + (90 —90) + (89 —90) + (93 —90) ] = 4, s乙=—[(89 —90) + (90 552 2 2 2—90) + (91 —90) + (88 —90) + (92 —90) ] = 2,2 2由S甲>S z，可知乙运动员成绩稳定.故应填 2.解析：由题意知m的可能取值为1,2,3，…，7；n的可能取值为1,2,3，…，9.由于是任取m n：若m= 1时，n可取1,2,3，…，9,共9种情况；同理m取2,3，…，7时，n也各有9种情况，故m n的取值情况共有7X 9= 63种.若m, n都取奇数，则m的取值为1,3,5,7 , n的取值为1,3,5,7,9&答案：1 : 24解由题意可知点F到面ABC勺距离与点A到面ABC勺距离之比为1 : 2 , S MDE：S MBC= 1 : 4.2AF SABC1 9.答案：2,丄2解析：由题意可知抛物线y= x2在x= 1处的切线方程为y= 2x— 1.该切线与两坐标轴围成的区域如图中阴解析：函数y 3sin 2x 2.答案：5n的最小正周期T42 n—— n.7.答案: 2063,因此满足条件的情形有4X 5= 20种.故所求概率为20 63因此V : V2= £A F S AED3=1 : 24.影部分所示:1 1当直线x + 2y = 0平移到过点 A —,o 时，x + 2y 取得最大值—.2 2当直线x + 2y = 0平移到过点B (0，- 1)时，x + 2y 取得最小值—2.1因此所求的x + 2y 的取值范围为2寸1 uuu2 uuur uuu ABAC 1 AB 6 31 故入1 +入2=.2uuur122AC— e ，入2=11.答案：(—5,0) U (5 ,+^)2x 4x,x 0,解析：•函数f (x )为奇函数，且 x > 0时，f (x ) = x — 4x ，贝U f (x )=0,x 0, •••原不等式等价于2x4x, x 0,110.答案：一 2 解析：由题意作图如图. uuur uuur •••在△ ABC 中, DE DB uuu 1 uuu 2 uuuBE - AB BC 2 31 uuu2 UULT 2AB严uuuAB)x 0, 或 x 0,2或 2x 4x x, x 4x x, 由此可解得x > 5或一5v x v 0. 故应填(—5,0) U (5 ,+s ).12.答案：3解析：设椭圆C 的半焦距为 c ,由题意可设直线 BF 的方程为- 结合题意可知 (1)当 a w 2, t = 2 时，I PA 2取得最小值.此时(2 — a )2 + a 2— 2 = 8,解得a =— 1, a = 3(舍去).⑵ 当a > 2, t = a 时，|PA 2取得最小值.此时 a 2— 2= 8,解得a =、、10 , a = .10(舍去).故满足条件的实数a 的所有值为,10 , — 1. 14. 答案：12解析：设正项等比数列｛a n ｝的公比为q ,则由，a 6 + a= a 5(q + q 2) = 3可得q = 2,于是a n = 2n —6,—(1 2n ) 1则 a ’+ a 2+・・・+ a n = 322n 5 —.1 2321门'a5— , q = 2 , 2.A2--a 6= 1, a 1a 11 =a 6 = 1.11.7I611.•- aa 2…an = 1.当 n 取 12 时，a 1 + a 2+ …+ a 12= 2 —> aa 2…a 11a 12= a 12= 2 成立；当 n 取 13 时，a 1+ a 232A8I6713+ …+ a 13= 2 —v a 1a 2…a 11a 12a 13= a 12a 13= 2 ・2 = 2 .当 n > 13 时，随着 n 增大 a 1+ a 2+・・・+ &将恒小于32…a n .因此所求n 的最大值为12.二、解答题：本大题共 6小题，共计90分•请在答题卡指定区域.内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.、. 2 2 2 215. (1)证明：由题意得 |a — b | = 2，即(a — b ) = a — 2a ・b + b = 2.y=1，即bx + cy — bc = 0.于是可知 bd ibc一 b2c 2竺，d 2a2 2 2 ,2a a cb ccc cd 2一 6d i ，-业，即ab 飞c 2. c a3•- e3 .13. 答案：—1, 0解析1 :设P 点的坐标为 x,-，贝UxI PA22 21 2 1 =(x a)a = x2xx1 2a x -x1=2a 2.令 t x 2，则 |PA 2= t 2— 2at + 2a 2— 2 x22 2 4 4 2 21••• a (a — c ) = 6c . /• 6e + e — 1= 0. /• e =.2 2=(t — a ) + a — 2 (t >2).又因为a2= b2= |a| 2= |b| 2= 1, 所以 2 —2a -b = 2,即a -b = 0.故a丄b.⑵解: 因为3) = (0,1),所以cos cos 0, a + b = (cosa + cos (3 , sina + sinsinsin1,由此得 cos a = cos( n — 卩).由0<3Vn :，得 0V n — 3Vn,又 0 V a Vn , 故a=n — 3 .代入 sina + sin=1,得 sina = sin 3 =1 而a >3 ,所以5 n,n26616•证明：⑴因为AS= AB AF 丄SB 垂足为F ,所以F 是SB 的中点•又因为 E 是SA 的中点，所以EF//AB因为EF]平面ABC AB 平面ABC 所以EF /平面ABC同理EG/平面ABC 又EF A EG= E , 所以平面EF(/平面ABC⑵因为平面 SABL 平面SBC 且交线为 SB 又AF 平面SAB AF 丄SB 所以AF 丄平面SBC 因为BC 平面SBC 所以AF 丄BC又因为 ABL BC , AF n AB= A, AF, AB 平面 SAB 所以 BCL 平面 SAB 因为SA 平面SAB 所以BC L SA17.解：(1)由题设，圆心C 是直线y = 2x — 4和y = x — 1的交点，解得点C (3,2),于是切线的斜率必存在. 设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y = kx + 3 , 由题意，1 3^11= 1,解得k = 0或3, 賦14故所求切线方程为 y = 3或3x + 4y — 12= 0.⑵ 因为圆心在直线 y = 2x — 4上，所以圆C 的方程为(x —a )2+ [y — 2(a — 2)] 2= 1. 设点Mx , y ),因为MA= 2MO 所以x 2 y 3 2 =2 x 2 y 2 ,化简得x 2+ y 2+ 2y — 3= 0,即 x 2+ (y + 1)2= 4,所以点 M 在以 Q0 , — 1)为圆心，2为半径的圆上.由题意，点 Mx , y )在圆C 上,所以圆C 与圆D 有公共点，贝U |2 —1| w CDc 2+ 1, 即 1, a 2 2a 3 2 3.由 5a — 12a + 8>0,得 a € R ； , 2 / 冃 12 由 5a — 12a w 0,得 0w a w .5所以点C 的横坐标a 的取值范围为 18 .解：⑴在厶ABC 中 ,因为cosc 120,. 5 12A =二,13cos从而 sin B= sin[ n — (A + C )] = sin( A + C = sin35C =-,所以 sin A = 一 , 5 13 5 A DOS C + cos A sin C =—13sinC =仝512 4 13 563 65AR 由正弦定理倍- sin C匹，得ABsin BAC. c 1260 4 sinC= 1 040(m).sin B 6- 565所以索道AB 的长为 ⑵假设乙出发t min 后，甲、乙两游客距离为 d ,此时，甲行走了 (100 + 50t ) m ,乙距离12所以由余弦定理得 d 2= (100 + 50t )2+ (130t )2-2X 130t X (100 + 50t ) X = 200(37 t 2- 70t + 50),131 040 m.A 处 130t m ,104035 因0W t w,即0W t w 8,故当t(min)时，甲、乙两游客距离最短.13037⑶由正弦定理-BC 竺，得BC=竺 sin A 譬 -=500(m).si nA sin B sinB 631365乙从B 出发时，甲已走了 50X (2 + 8 + 1) = 550(m)，还需走 710 m 才能到达 C.1 20 .解：⑴令 f '(x )=-x—1,即f (x )在(a —1, +8)上是单调减函数.上是单调减函数，故(1 , +8) x v ln a 时，g '(x ) v 0；当 x > In a 时，g '(x ) >0.又 g (x )在(1 , +m )上有最小值，所以 In a > 1，即 a > e.综上，有 a € (e , +8).⑵ 当a <0时，g (x )必为单调增函数；当 a >0时，令g '(x ) = e x — a >0，解得a v e x ，即卩x >In a . 因为g (x )在(—1, +8)上是单调增函数，类似 ⑴有In a w — 1，即0v a <e — 1. 结合上述两种情况，有 a we 1.1① 当a = 0时，由f ⑴=0以及f '(x ) =>0，得f (x )存在唯一的零点；x② 当a v 0时，由于f (e a ) = a — a e a = a (1 — e a ) v 0, f (1) =— a > 0，且函数f (x )在［e a,1］上的图象不间断, 所以f19. 证明：由题设，S nn(n na - 21)d . (1) 由c = 0,得b nS nn J a d .又因为b, b 2, b 4成等比数列，所以2n 2即d a - =a a 3d ，化简得d 2 __—2ad = 0.因为0,所以 d = 2a .22C 处互相等待的时间不超过 3 min ，乙步行的速度应控制在因此，对于所有的肚N ,有S m = ma ._ * 2 2 2 2 从而对于所有的 k , n € N ,有 &= (n k ) a = nka = n S.,2b = bb .设乙步行的速度为 v m/min ，由题意得3 500710 503，解得125043625，所以为使两位游客在14竺，625(单位: 43 14 m/min)范围内.(2)设数列｛b n ｝的公差是d 1，则b n = b 1+ ( n — 1)d 1,即即2 n nS n理得，对于所有的 * 1 n € N ,有 d 1 -d 2 1 B = b 1 — d 1 — a + d ,2 t h d 1 a —=b + (n — 1)d 1, n € N ，代入S n 的表达式，整c1 2d n cd 1n = c (d 1 — b ).2D = c (d 1— b"，则对于所有的 n € N ,有 An 3 + Bn 2+ cdn = D.(*)n = 1,2,3,4，得 A + B + cd 1 = 8A + 4B + 2cd 1 = 27A + 9B + 3cd 1 = 64A + 16B + 4cd 1,7A 3B cd 1 0,①从而有19A 5B cd 1 0,②21A 5B cd 1 0,③由②，③得A =0, cd 1 = —5B,代入方程①, 得即d 11d = 0, b 1 —d 1 — 1 -a + d = 0, cd ==0 22d = 0,与题设矛盾，所以d& 0.1 ax v 0,考虑到f (x )的定义域为(0,+s )，故a > 0,进而解得 x 同理，f (x )在(0 , a —1)上是单调增函数.由于f (x )在(1 , (a — 1, +m ),从而 a —1w 1,即 a > 1.令 g '( x ) = e x — a = 0, 得 x = In + ^) a .当得 B = 0，从而 cd 1 = 0. 令 A = d 1〔d ,2 在(*)式中分别取 1 若 d 1= 0，则由 d 1 d = 0, 2又因为cd 1 = 0，所以c = 0.1(x)在(e a,1)上存在零点.另外，当x> 0时，f'(x) = - —a> 0，故f(x)在(0,+^)上是单调增函数，所以f(x)只有一个零点.x③当0v a we —1时，令f'( x) = ——a= 0,解得x= a—-当0< x v a—1时，f '(x) > 0,当x>a—1时，f'(x)x—1 ——1< 0,所以，x = a是f (x)的最大值点，且最大值为f (a ) = —In a— 1. 当一In a— 1 = 0，即a= e—1时，f (x)有一个零点x = e.一1当一In a— 1 > 0，即0< a< e时，f (x)有两个零点.实际上，对于0 < a< e—1,由于f(e —1) =—1 —a e—1< 0, f (a—1) > 0，且函数f(x)在［e 一1, a—1］上的图象不—1 — 1 间断，所以f(x)在(e , a )上存在零点.另外，当x€ (0 , a—1)时，f ' (x) = 一—a> 0,故f(x)在(0 , a一1)上是单调增函数，所以 f (x)在(0 , a—1)x上只有一个零点.下面考虑f(x)在(a一1,+^)上的情况.先证f(e a—1) = a(a—2—e a—1) < 0.为此，我们要证明：当x>e 时，e x>x2.设h(x) = e x—x2,则h' (x) = e x—2x，再设I (x) = h ' (x) = e x—2x, 则I ' (x) = e— 2.当x> 1 时，1' (x) = e x—2>e—2>0,所以I (x) = h' ( x)在(1 , +^)上是单调增函数.故当x>2 时，h ' ( x) x . , 2=e —2x > h (2) = e —4> 0,从而h(x)在(2 ,+s)上是单调增函数，进而当x>e时，h( x) = e x—x2> h(e) = e e—e2> 0.即当x > e 时，e x> x2.当0< a< e—1,即卩a—1> e 时，f (e a—1) = a—1—a e a—1= a(a—2—e a—1) < 0,又f ( a—1) > 0，且函数f( x)在［a一1,一一一一1e a一1］上的图象不间断，所以f (x)在(a一1, e a—1)上存在零点.又当x > a—1时，f' (x)= —a< 0,故f (x)x在(a—1,+g)上是单调减函数，所以f (x)在(a—1,+g)上只有一个零点. 综合①，②，③，当a<0或a=訂时，f (x)的零点个数为1, 当0 <a<e—1时，f(x)的零点个数为2.数学n (附加题)【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答. 若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21.证明：连结OD因为AB和BC分别与圆O相切于点D, C,所以/ AD(=Z ACB= 90°.又因为/ A=Z A,所以Rt △ AD® Rt△ ACB 所以BC JAC1 OD AD又BC= 2OC= 2OD 故AC= 2ADB.［选修4— 2:矩阵与变换］解：设矩阵A 的逆矩阵为 a bc d所以A —1B=线I 的普通方程为同理得到曲线 C 的普通方程为y 2 = 2x .y 2x11联立方程组 %解得公共点的坐标为(2,2),丄，1 .y 2x,23322222222D.证明：2a — b — (2 ab — a b ) = 2a (a — b ) + b ( a — b ) = (a — b )(2 a + b ) = (a — b )( a + b )(2 a + b ). 因为a >b > 0,所以 a — b >0, a + b > 0,2 a + b >0,从而(a — b )( a + b )(2 a + b )》0，即卩 2a — b 》2ab — a b .【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.解：（1）以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A — xyz ,则 A (0,0,0) , 02,0,0) , C (0,2,0), D (1,1,0) , A(0,0,4) , C (0,2,4),unr uuuu所以 A ] B = (2,0 , — 4) , G D = (1 , — 1 , — 4).uuir uuuuuur uuuD A I B C I D因为 cos 〈 AB , C 1D 〉= uuur||uuuu 「A B ||GD=18 3怖1 0 ab 1°,即 a b 0 1 2c 2d故 a =— 1, b = 0, c = 0,1，从而A 的逆矩阵为A 1 =2C.解：因为直线l 的参数方程为x = t +1, y = 2t（t 为参数），由 x =t + 1得t = x — 1,代入y = 2t ，得到直2x — y — 2 = 0.20 18 10 '所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为璧0.10uuir umu uuir uuun⑵设平面ADC的法向量为n i= (x,y,z)，因为AD = (1,1,0) , AC1= (0,2,4)，所以n i • AD = 0,n i • AC1=0，即卩x+ y= 0 且y+ 2z = 0,取z= 1，得x= 2, y=- 2,所以，m = (2 , - 2,1)是平面ADC的一个法向量.取平面AAB的一个法向量为n2= (0,1,0)，设平面ADC与平面ABA所成二面角的大小为0 .由|cos 0 | = 门1门 2 2—，得sin 0 = 2^.|门1 ||门2 | s/9 V1 3 3因此，平面ADC与平面ABA所成二面角的正弦值为.323.解：(1)由数列｛a n｝的定义得a1 = 1, a2=- 2, a3=- 2, a4= 3, a s = 3, a6 = 3, a?=—4, a8=- 4, a o =—4, a10=- 4 , an = 5,所以S= 1 , S2 =- 1, S3=-3 , S= 0 , S5= 3 , S6 = 6 , S= 2 , S3=- 2 , S o=- 6 , S o = - 10 , S11 = - 5 ,从而S= a1 , S= 0x a4 , S s= a s , S e= 2a6 , S1 = - an ,所以集合P1 中元素的个数为5.*(2)先证：S(2i+1)= - i (2i + 1)( i € N).事实上，①当i = 1时，S(2i +1) = S B=- 3, —i (2 i + 1) = - 3,故原等式成立；②假设i = m时成立,即Si(2m+1)= —m(2 m+ 1),贝V i = m+ 1 时，S(m+1)(2 m+3)= Sn<2m+1)+ (2 m+ 1) —(2 m+ 2)=—2n(2 1) -4m- 3=- (2 m+ 5m+ 3) =- (m+ 1)(2 m+ 3).综合①②可得S(2i +1) = —i (2 i + 1).于是S i +1)(2 i +1) = S(2i +1) + (2 i + 1) = —i (2 i + 1) + (2 i + 1) = (2 i + 1)( i + 1).由上可知S(2i +1)是2i + 1 的倍数,而a (2i +1)+j = 2i + 1( j = 1,2 ,…,2i + 1),所以S ⑵ +1)+j = S ⑵ +1)+ j (2 i + 1)是a i(2i+1)+j (j = 1,2 ,…,2i + 1)的倍数.又S(i+1)(2i+1) = (i + 1)(2 i + 1)不是2i + 2 的倍数,而a(i+1)(2i +1) + j = - (2i + 2)( j = 1,2 ,…,2i + 2),所以S(i+1)(2i +1) +j = S i+1)(2 i +1) - j (2 i + 2) = (2 i + 1)( i + 1) - j (2 i + 2)不是a(i +1)(2 i+1)+j(j = 1,2 ,…,2i + 2)的倍数,故当l = i (2i + 1)时,集合P中元素的个数为1+ 3 +… + (2i - 1) = i2,于是，当I = i(2i + 1) + j (1 < j W2i + 1)时，集合P 中元素的个数为i2+ j.又 2 000 = 31 X (2 X 31 + 1) + 47 ,故集合F2 000 中元素的个数为31 + 47= 1 008.。

江苏省东海高级中学高三数学三模试题苏教版

江苏省东海高级中学高三数学三模试题(正题部分，本部分满分160分,考试时间120分钟)命制人：唐春兵审核人：王兴华、周振东一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.1、已知全集=I {∈x x |R }，集合=A {x x |≤1或x ≥3}，集合=B {|1x k x k <<+，k R ∈ }，且∅=B A C I )(，则实数k 的取值范围是 ▲ .2、某小卖部为了了解冰糕销售量y (箱)与气温x (C ︒)之间的关系，随机统计了某4天卖出的冰糕的箱数与当天气温，并制作了对照表（如左所示）：由表中数据算得线性回归方程a bx y+=ˆ中的2b ≈，预测当气温为25C ︒时，冰糕销量为__▲___箱． 3、如图所示,四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角6πθ=,现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖,求飞镖落在小正方形内概率 ▲ .4、点M （a,b ）（ab ≠0）是圆C ：x 2 + y 2 =r 2内一点，直线l 是以M 为中点的弦所在的直线，直线m 的方程是ax + by = r 2，那么直线l 与直线m 的关系是 ▲ .5、已知复数i z 24-=（i 为虚数单位），且复数2)(i a z +在复平面上对应的点在第一象限，则实数a 的取值范围为 ▲ .6、等差数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，2007200512008,2,20072005S S a =--=则2008S 的值为 ▲ ． 7、已知：圆M ：0222=-+y y x ，直线l 的倾斜角为︒120，与圆M 交于P 、Q 两点，若0=⋅→→OQ OP (O 为原点)，则l 在x 轴上的截距为 ▲ .8、在ABC ∆中，()()2cos ,2sin ,5cos ,5sin OA OB ααββ==，若5O AO B =-，则ABC S ∆= ▲ .9、已知椭圆2214x y +=的左右顶点分别为M 、,N P 为椭圆上任意一点,且直线PM 的斜率的取值范围是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则直线PN 的斜率的取值范围是 ▲ . 10、已知函数)3,2( , cos )(ππ∈=x x x f ，若方程a x f =)(有三个不同的根，且从小到大依次成等比数列，则a的值为 ▲ .11、已知)33(A ，O 是原点，点),(y x P 的坐标满足0200y x y -<-+<⎨⎪≥⎪⎩，则（1的最大值为 ▲ ；（2||OP 的取值范围为 ▲ .12、数列}{n a 是正项等差数列，若nna a a a b nn ++++++++=32132321，则数列}{n b 也为等差数列. 类比上述结论，写出正项等比数列}{n c ，若n d = ▲ ，则数列{n d }也为等比数列. 13、如图，有一圆柱形的开口容器（下表面密封），其轴截面是边长为2的正方形，P 是BC 中点，现有一只蚂蚁位于外壁A 处，内壁P 处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为__ _▲ ． 14、已知函数()f x 定义域为R ，则下列命题: ① ()y f x =为偶函数, 则(2)y f x =+的图象关于y 轴对称.② (2)y f x =+为偶函数, 则()(2)2f x f x -=+. ③ 若函数(21)f x +是偶函数, 则(2)f x 的图象关于直线21=x 对称.④ 若(2)(2)f x f x -=-, 则()y f x =关于直线2x =对称.⑤ (2)y f x =- 和(2)y f x =-的图象关于2x =对称. 其中正确的命题序号是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内. 15（本题满分１４分）、已知a 、b 、c 是△ABC 三边长，关于x 的方程)(02222b c a b x b c ax >>=---的两根之差的平方等于4，△ABC 的面积.7,310==c S （Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）求a 、b 的值.16（本题满分14分）、如图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，⊥=11,AC BB AB 平面D BD A ,1为AC 的中点．（Ⅰ）求证：//1C B 平面BD A 1；（Ⅱ）求证：⊥11C B 平面11A ABB ；（Ⅲ）设E 是1CC 上一点，试确定E 的位置使平面⊥BD A 1平面BDE ，并说明理由．D第13题C 1B 1A 1DCBA17（本题满分14分）、已知Ｏ为坐标原点，A （0,2），B （4,6），→-→-→-+=AB t OA t OM 21 . (Ⅰ) 求点M 在第二或第三象限的充要条件；(Ⅱ) 求证：当三点都共线、、为何实数，时，不论M B A 121t t =；(Ⅲ) 若.a 12 ABM ,21的值时的面积为且求当∆⊥=→-→-AB OM a t18（本题满分16分）、已知圆O :222x y +=交x 轴于A ，B 两点,曲线C 是以AB 为长轴,离心率为2的椭圆,其左焦点为F .若P 是圆O 上一点,连结PF ,过原点O 作直线PF 的垂线交椭圆C 的左准线于点Q . (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)若点P 的坐标为(1,1),求证:直线PQ 与圆O 相切；(Ⅲ)试探究:当点P 在圆O 上运动时(不与A 、B 重合),直线PQ 与圆O 是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,请说明理由.19（本题满分16分）、{}12(2)k A a a a k =，，，≥，其中(12)i a i k ∈=Z ，，，，由A 中的元素构成两个相应的集合：{}()S a b a A b A a b A =∈∈+∈，，，，{}()T a b a A b A a b A =∈∈-∈，，，．其中()a b ，是有序数对，集合S 和T 中的元素个数分别为m 和n ．若对于任意的a A ∈，总有a A -∉，则称集合A 具有性质P ．（I ）对任何具有性质P 的集合A ，证明：(1)2k k n -≤；（II ）判断m 和n 的大小关系，并证明你的结论．20（本题满分16分）、已知二次函数2()f x ax x =+（a R ∈）．（1）当０＜a ＜12时，(sin )f x （x R ∈）的最大值为54，求()f x 的最小值；（2）对于任意的R x ∈，总有|(sin cos )f x x |1≤．试求a 的取值范围；（3）若当*N n ∈时，记1231ni n i a a a a a ==++++∑，令1a =，求证：312()ni nif i =<<∑成立。

2013江苏高考数学试卷含答案(校正精确版)

2013江苏一、填空题1．函数y ＝3sin(2x ＋π4)的最小正周期为．【解】利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的周期公式求解．函数y ＝3sin(2x ＋π4)的最小正周期为T ＝2π2＝π．2．设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为．【解】z ＝3－4i ，|z |＝53．双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为．【解】y ＝±34x4．集合{－1，0，1}共有个子集．【解】23＝8(个)5．右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ▲【解】经过了两次循环，n 值变为36．抽样统计甲，乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：运动员第1次第2次第3次第4次第5次甲 87 91 90 89 93 乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 ▲ ．【解】易知均值都是90，乙方差较小，2222222111()[(8990)(9090)(9190)(8890)(9290)]25n i i s x x n ==-=-+-+-+-+-=∑7．现有某类病毒记作n m Y X ，其中正整数)9,7(,≤≤n m n m 可以任意选取，则n m ,都取到奇数的概率为 ▲ ．【解】m 可以取的值有：1，2，3，4，5，6，7共7个，n 可以取的值有：1，2，3，4，5，6，7，8，9共9个，故总共有7×9＝63种可能，符合题意的m 可以取1，3，5，7共4个，符合题意的n 可以取1，3，5，7，9共5个，故总共有4×5＝20种可能符合题意，故符合题意的概率为2063． 8．如图，在三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F -ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝．【解】设三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的高为h ，底面三角形ABC 的面积为S ，则V 1＝13×14S ×12h ＝124Sh ＝124V 2，即V 1∶V 2＝1∶24．9．抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界)．若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 ▲ ．【解】易知切线方程为：y ＝2x －1，故与两坐标轴围成的三角形区域三个点为(0,0)A ，(0.5,0)B ，(0,1)C -，易知过C 点时有最小值－2，过B 点时有最大值0．510．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ．若DE ―→＝λ1AB ―→＋λ2AC ―→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为．【解】DE ―→＝DB ―→＋BE ―→＝12AB ―→＋23BC ―→＝12AB ―→＋23(BA ―→＋AC ―→)＝－16AB ―→＋23AC ―→，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12． 11．已知f (x )是定义在R 上的奇函数．当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为 ▲ ．【解】由于f (x )为R 上的奇函数，所以当x ＝0时，f (0)＝0；当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x 2＋4x ＝－f (x )，即f (x )＝－x 2－4x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x <0.由f (x )>x ，可得⎩⎨⎧x 2－4x >x ，x >0或⎩⎨⎧－x 2－4x >x ，x <0，解得x >5或－5<x <0，所以原不等式的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)． 12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ．若126d d =，则椭圆的离心率为 ▲ ．【解】由题意知2212,bc a b d d c a c c ==-=，故有2b c =，两边平方得到2246a b c =，即42246a a c c -=，两边同除以4a 得到2416e e -=，解得213e =，即e =ABC1ADE F1B1C13．平面直角坐标系xOy 中，设定点),(a a A ，P 是函数)0(1>=x xy 图像上一动点，若点A P ,之间最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为 ▲ ．【解】由题意设0001(,)(0)P x x x >，则有22220002000111()()2(+)PA x a a x a x x x x =-+-=+-+2220000112(+)2(+)22a x a x a x x =-+-，令001(2)x t t x +=≥，则222()222(2)PA f t t at a t ==-+-≥，对称轴t a =，1．2a ≤时，222min (2)242,2428PA f a a a a ==-+∴-+=，1a =-，3a =(舍去) 2．2a >时，222min()2,28PAf a a a ==-∴-=，a =，a =(舍去)综上1a =-或a =14．在正项等比数列{a n }中，a 5＝12，a 6＋a 7＝3．则满足a 1＋a 2＋…＋a n ＞a 1a 2…a n 的最大正整数n的值为．【解】a 5＝12，a 6＋a 7＝3，故a 5q ＋a 5q 2＝3，q 2＋q －6＝0，q ＞0，故q ＝2，故a n ＝2n －6，因a 1＋a 2＋…＋a n ＞a 1a 2…a n ，故2n －5－2－5＞2n 2－11n2，2n －5－2n 2－11n2＞2－5＞0，n －5＞12(n 2－11n )，故13－1292＜n ＜13＋1292，因n ∈N *，故1≤n ≤12，n ∈N *，又n ＝12时符合题意，故n 的最大值为12．设数列{a n }的公比为q (q ＞0)，由已知得，12q ＋12q 2＝3，即q 2＋q －6＝0，解得q ＝2，或q ＝－3(舍去)，a n ＝a 5q n －5＝12×2n －5＝2n －6，a 1＋a 2＋…＋a n ＝132(2n －1)，a 1a 2…a n ＝2－52－42－3…2n －6＝2n 2－11n 2，由a 1＋a 2＋…＋a n ＞a 1a 2…a n ，可知2n －5－2－5＞2n 2－11n2，由2n －5－2－5＞2n 2－11n2，可求得n 的最大值为12，而当n ＝13时，28－2－5<213，故n 的最大值为12．二、解答题15．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π． ⑴．若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；⑵．设c ＝(0，1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．【解】⑴．由题意得|a －b |2＝2，即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2.又a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b ；⑵．因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，由此得cos α＝cos(π－β).由0＜β＜π，得0＜π－β＜π，又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，可得sin β＝12.∴sin α＝12，而α＞β，所以α＝5π6，β＝π6．16．如图，在三棱锥S ABC -中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB BC ⊥，AS AB =．过A 作AF SB ⊥，垂足为F ，点E ，G 分别是侧棱SA ，SC 的中点．求证：⑴．平面EFG //平面ABC ； ⑵．BC SA ⊥．【解】⑴．,E G Q 分别是侧棱,SA SC 的中点，EG AC ∴∥，AC Q 在平面ABC 中，EG 在平面外，EG ∴∥平面ABC ，,AS AB AF SB =Q ⊥，F ∴为SB 中点，EF AB ∴∥，Q AB 在平面ABC 中，EF 在平面外，EF ∴∥平面ABC ，Q EF 与EG 相交于E ，,EF EG 在平面EFG 中，∴平面EFG //平面ABC⑵．Q 平面SAB ⊥平面SBC ，SB 为交线，Q AF 在SAB 中，AF SB ⊥，AF ∴⊥平面SBC ，AF BC ∴⊥，BC AB Q ⊥，AF 与AB 相交于A ，,AF AB 在平面SAB 中，BC ∴⊥平面SAB ，BC SA ∴⊥17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4．设圆C 的半径为1，圆心在l 上．⑴．若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； ⑵．若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．【解】⑴．由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C (3，2)，于是切线的斜率必存在．设过A (0，3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3，由题意，得|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0．⑵．因为圆心在直线y ＝2x －4上，故圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1．设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ，故x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，故点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，故圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤CD ≤2＋1，即1≤a 2＋（2a －3）2≤3．整理得－8≤5a 2－12a ≤0．由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ；由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125．故点C 的横坐标a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，125． 18．如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min ．在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C ．假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35．⑴．求索道AB 的长；⑵．问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？⑶．为使两位游客在C 处相互等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？【解】(1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，故sin A ＝513，sin C ＝45．从而sin B ＝sin[π－(A＋C )]＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365．由正弦定理AB sin C ＝ACsin B ，得AB ＝AC sin B ·sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)．故索道AB 的长为1 040 m ． (2)设乙出发t min 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，故由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)，因0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537(min)时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理BC sin A ＝AC sin B ，得BC ＝AC sin B ·sin A ＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C ．设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，故为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在⎣⎡⎦⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内．19．设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项的和．记b n ＝nS nn 2＋c，n ∈N *，其中c 为实数．⑴．若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈N *)； ⑵．若{b n }是等差数列，证明：c ＝0．【解】⑴．由题设，S n ＝na ＋n （n －1）2d ．(1)由c ＝0，得b n ＝S n n ＝a ＋n －12d ．又b 1，b 2，b 4成等比数列，故b 22＝b 1b 4，即⎝⎛⎭⎫a ＋d 22＝a ⎝⎛⎭⎫a ＋32d ，化简得d 2－2ad ＝0．因为d ≠0，故d ＝2a ．因此，对于所有的m ∈N *，有S m ＝m 2a ．从而对于所有的k ，n ∈N *，有S nk ＝(nk )2a ＝n 2k 2a ＝n 2S k ．⑵．设数列{b n }的公差为d 1，则b n ＝b 1＋(n －1)d 1，即nS nn 2＋c ＝b 1＋(n －1)d 1，n ∈N *，代入S n 的表达式，整理得，对于所有的n ∈N *，有⎝⎛⎭⎫d 1－12d n 3＋(b 1－d 1－a ＋12d )n 2＋cd 1n ＝c (d 1－b 1)．令A ＝d 1－12d ，B ＝b 1－d 1－a ＋12d ，D ＝c (d 1－b 1)，则对于所有的n ∈N *，有An 3＋Bn 2＋cd 1n ＝D (*)．在(*)式中分别取n ＝1，2，3，4，得A ＋B ＋cd 1＝8A ＋4B ＋2cd 1＝27A ＋9B ＋3cd 1＝64A ＋16B ＋4cd 1，从而有⎩⎪⎨⎪⎧7A ＋3B ＋cd 1＝0，①19A ＋5B ＋cd 1＝0，②21A ＋5B ＋cd 1＝0，③由②，③得A ＝0，cd 1＝－5B ，代入方程①，得B ＝0，从而cd 1＝0．即d 1－12d ＝0，b 1－d 1－a ＋12d ＝0，cd 1＝0．若d 1＝0，则由d 1－12d ＝0，得d ＝0，与题设矛盾，故d 1≠0．又cd 1＝0，故c ＝0．20．设函数f (x )＝ln x －ax ，g (x )＝e x －ax ，其中a 为实数．⑴．若f (x )在(1，＋∞)上是单调减函数，且g (x )在(1，＋∞)上有最小值，求a 的取值范围； ⑵．若g (x )在(－1，＋∞)上是单调增函数，试求f (x )的零点个数，并证明你的结论．【解】⑴．令f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x ＜0，考虑到f (x )的定义域为(0，＋∞)，故a ＞0，进而解得x ＞a －1，即f (x )在(1a ，＋∞)上是单调减函数．同理，f (x )在(0，a －1)上是单调增函数．由于f (x )在(1，＋∞)上是单调减函数，故(1，＋∞)⊆(1a ，＋∞)，从而1a ≤1，即a ≥1．令g ′(x )＝e x －a ＝0，得x ＝ln a ．当x＜ln a 时，g ′(x )＜0；当x ＞ln a 时，g ′(x )＞0．又g (x )在(1，＋∞)上有最小值，故ln a ＞1，即a ＞e ．综上，a 的取值范围为(e ，＋∞)．⑵．当a ≤0时，g (x )必为单调增函数；当a ＞0时，令g ′(x )＝e x －a ＞0，解得a ＜e x ，即x ＞ln a ，因为g (x )在(－1，＋∞)上是单调增函数，类似(1)有ln a ≤－1，即0＜a ≤1e．综合上述两种情况，有a ≤1e．(ⅰ)当a ＝0时，由f (1)＝0以及f ′(x )＝1x＞0，得f (x )存在唯一的零点．(ⅱ)当a ＜0时，由于f (e a )＝a －a e a ＝a (1－e a )＜0，f (1)＝－a ＞0，且函数f (x )在[e a ，1]上的图像不间断，故f (x )在(e a ，1)上存在零点．另外，当x ＞0时，f ′(x )＝1x －a ＞0，故f (x )在(0，＋∞)上是单调增函数，故f (x )只有一个零点．(ⅲ)当0＜a ≤1e 时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，解得x ＝1a ．当0＜x ＜1a 时，f ′(x )＞0，当x ＞1a 时，f ′(x )＜0，故，x ＝1a 是f (x )的最大值点，且最大值为f (1a)＝－1－ln a ．①．当－1－ln a ＝0，即a ＝1e 时，f (x )有一个零点x ＝e ．②．当－1－ln a ＞0，即0＜a ＜1e时，f (x )有两个零点．实际上，对于0＜a ＜1e ，由于f (1e )＝－1－a e ＜0，f (1a )＞0，且函数f (x )在[1e ，1a ]上的图像不间断，故f (x )在(1e ，1a )上存在零点．另外，当x ∈(0，1a )时，f ′(x )＝1x －a ＞0，故f (x )在(0，1a )上是单调增函数，故f (x )在(0，1a)上只有一个零点．下面考虑f (x )在(1a ，＋∞)上的情况．先证f (e 1a )＝a (1a2－e 1a )＜0．为此，我们要证明：当x ＞e 时，e x ＞x 2．设h (x )＝e x －x 2，则h ′(x )＝e x －2x ，再设l (x )＝h ′(x )＝e x －2x ，则l ′(x )＝e x －2．当x ＞1时，l ′(x )＝e x －2＞e －2＞0，故l (x )＝h ′(x )在(1，＋∞)上是单调增函数．故当x ＞2时，h ′(x )＝e x －2x ＞h ′(2)＝e 2－4＞0，从而h (x )在(2，＋∞)上是单调增函数，进而当x ＞e 时，h (x )＝e x －x 2＞h (e)＝e e －e 2＞0，即当x ＞e 时，ex＞x 2．当0＜a ＜1e ，即1a ＞e 时，f (e 1a )＝a (1a 2－e 1a )＜0，又f (1a)＞0，且函数f (x )在[1a ，e 1a ]上的图像不间断，故f (x )在(1a ，e 1a )上存在零点．又当x ＞1a 时，f ′(x )＝1x －a ＜0，故f (x )在(1a ，＋∞)上是单调减函数，故f (x )在(1a，＋∞)上只有一个零点．综合(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ)，当a ≤0或a ＝1e 时，f (x )的零点个数为1，当0＜a ＜1e 时，f (x )的零点个数为2．B ．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 0 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6，求矩阵A －1B ．【解】设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 02⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12，从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10 012，故A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10 0 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －2 0 3．C ．在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为12x t y t =+⎧⎨=⎩(t 为参数)，曲线C 的参数方程为22tan 2tan x y θθ⎧=⎨=⎩(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．解：因为直线l 的参数方程为12x t y t =+⎧⎨=⎩(t 为参数)，由1x t =+得，1t x =-，代入2y t =得，直线l 的普通方程为220x y --=，同理得曲线C 的普通方程为22y x =，联立方程组22(1),2y x y x =-⎧⎨=⎩，解得公共点的坐标为(2,2)，1(,1)2-．22．如图，在直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点． ⑴．求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值； ⑵．求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值．解：⑴．以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (0，2，0)，D (1，1，0)，A 1(0，0，4)，C 1(0，2，4)，所以A 1B ―→＝(2，0，－4)，C 1D ―→＝(1，－1，－4)．因为cos 〈A 1B ―→，C 1D ―→〉＝A 1B ―→·C 1D ―→| A 1B ―→||C 1D ―→|＝1820×18＝31010，所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010； ⑵．设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，因为AD ―→＝(1，1，0)，AC 1―→＝(0，2，4)，所以n 1·AD ―→＝0，n 1·AC 1―→＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以n 1＝(2，－2，1)是平面ADC 1的一个法向量．取平面ABA 1的一个法向量为n 2＝(0，1，0)，设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ．由|cos θ|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝29×1＝23，得sin θ＝53．因此，平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为53． 23．设数列{a n }：1，－2，－2，3，3，3，－4，－4，－4，－4，…，11(1)(1)k k k k k 644474448－－－，，－，，个……即当(k －1)k 2<n ≤k (k ＋1)2(k ∈N *)时，a n ＝(－1)k －1k ，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *)．对于l ∈N *，定义集合P l ＝{n |S n 是a n 的整数倍，n ∈N *，且1≤n ≤l }． (1)求集合P 11中元素的个数； (2)求集合P 2000中元素的个数．解 (1)由数列{a n }的定义得a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝－2，a 4＝3，a 5＝3，a 6＝3，a 7＝－4，a 8＝－4，a 9＝－4，a 10＝－4，a 11＝5，所以S 1＝1，S 2＝－1，S 3＝－3，S 4＝0，S 5＝3，S 6＝6，S 7＝2，S 8＝－2，S 9＝－6，S 10＝－10，S 11＝－5，从而S 1＝a 1，S 4＝0×a 4，S 5＝a 5，S 6＝2a 6，S 11＝－a 11，所以集合P 11中元素的个数为5．(2)先证：S i (2i ＋1)＝－i (2i ＋1)(i ∈N *)．事实上，①当i ＝1时，S i (2i ＋1)＝S 3＝－3，－i (2i ＋1)＝－3，故原等式成立；②假设i＝m时成立，即S m(2m＋1)＝－m(2m＋1)，则i＝m＋1时，S(m＋1)(2m＋3)＝S m(2m＋1)＋(2m＋1)2－(2m＋2)2＝－m(2m＋1)－4m－3＝－(2m2＋5m＋3)＝－(m＋1)(2m＋3)．综合①②可得S i(2i＋1)＝－i(2i＋1)．于是S(i＋1)(2i＋1)＝S i(2i＋1)＋(2i＋1)2＝－i(2i＋1)＋(2i＋1)2＝(2i＋1)(i＋1)．由上可知S i(2i＋1)是2i＋1的倍数，而a i(2i＋1)＋j＝2i＋1(j＝1，2，…，2i＋1)，所以S i(2i＋1)＋j＝S i(2i＋1)＋j(2i＋1)是a i(2i＋1)＋j(j＝1，2，…，2i＋1)的倍数．又S(i＋1)(2i＋1)＝(i＋1)(2i＋1)不是2i＋2的倍数，而a(i＋＝－(2i＋2)(j＝1，2，…，2i＋2)，所以S(i＋1)(2i＋1)＋j＝S(i＋1)(2i＋1)－j(2i＋2)＝(2i＋1)(i＋1)－j(2i＋1)(2i＋1)＋j2)不是a(i＋1)(2i＋1)＋j(j＝1，2，…，2i＋2)的倍数，故当l＝i(2i＋1)时，集合P l中元素的个数为1＋3＋…＋(2i－1)＝i2，于是，当l＝i(2i＋1)＋j(1≤j≤2i＋1)时，集合P l中元素的个数为i2＋j．又2000＝31×(2×31＋1)＋47，故集合P2000中元素的个数为312＋47＝1008．。

江苏省连云港市东海高级中学2012-2013学年高三数学上学期期中试卷文(含解析)

2012-2013学年江苏省连云港市东海高级中学高三（上）期中数学试卷（文科）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）命题p：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0．考点：命题的否定．分析：根据命题p：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”是特称命题，其否定为全称命题，将“存在”改为“任意的”，“＜“改为“≥”即可得答案．解答：解：∵命题p：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”是特称命题∴￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0故答案为：∀x∈R，均有x2+x+1≥0．点评：本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化问题．这里注意全称命题的否定为特称命题，反过来特称命题的否定是全称命题．2．（5分）若函数y=log a（3﹣ax）在[0，1]上是减函数，则a 的取值范围是（1，3）．考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：由于函数y=log a（3﹣ax）在[0，1]上是减函数，故 a＞1，且3﹣a＞0，由此求得a 的取值范围．解答：解：由于函数y=log a（3﹣ax）在[0，1]上是减函数，故 a＞1，且3﹣a＞0，∴3＞a＞1，故答案为：（1，3）．点评：本题考查对数函数的单调性和特殊点，得到a＞1，且3﹣a＞0，是将诶提的关键．3．（5分）若函数f（x）=e x﹣2x﹣a在R上有两个零点，则实数a的取值范围是（2﹣2ln2，+∞）．考点：函数的零点．专题：计算题．分析：画出函数f（x）=e x﹣2x﹣a的简图，欲使函数f（x）=e x﹣2x﹣a在R上有两个零点，由图可知，其极小值要小于0．由此求得实数a的取值范围．解答：解：令f，（x）=e x﹣2=0，则x=ln2，∴x＞ln2，f，（x）=e x﹣2＞0；x＜ln2，f，（x）=e x﹣2＜0；∴函数f（x）在（ln2，+∞）上是增函数，在（﹣∞，ln2）上是减函数．∵函数f（x）=e x﹣2x﹣a在R上有两个零点，所以f（ln2）=2﹣2ln2﹣a＜0，故a＞2﹣2ln2．故填：（2﹣2ln2，+∞）．点评：本题主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．4．（5分）函数y=1﹣（x∈R）的最大值与最小值之和为 2 ．考点：奇偶函数图象的对称性；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：构造函数g（x）=﹣，可判断g（x）为奇函数，利用奇函数图象的性质即可求出答案．解答：解：f（x）=1﹣，x∈R．设g（x）=﹣，因为g（﹣x）=﹣==﹣g（x），所以函数g（x）是奇函数．奇函数的图象关于原点对称，它的最大值与最小值互为相反数．设g（x）的最大值为M，则g（x）的最小值为﹣M．所以函数f（x）的最大值为1+M，则f（x）的最小值为1﹣M．∴函数f（x）的最大值与最小值之和为2．故答案为2点评：本题主要考查奇函数图象的性质、函数的最值及分析问题解决问题的能力，解决本题的关键是恰当构造奇函数．5．（5分）定义在R上的函数f（x）满足且为奇函数．给出下列命题：（1）函数f（x）的最小正周期为；（2）函数y=f（x）的图象关于点对称；（3）函数y=f（x）的图象关于y 轴对称．其中真命题有（2）（3）．（填序号）考点：函数的周期性；奇偶函数图象的对称性．专题：计算题．分析：本题可先由恒等式得出函数的周期是3，可以判断（1），再由函数是奇函数求出函数的对称点来判断（2）（3），综合可得答案．解答：解：由题意定义在R上的函数y=f（x）满足条件，故有恒成立，故函数周期是3，故（1）错；又函数是奇函数，故函数y=f（x）的图象关于点对称，由此知（2）（3）是正确的选项，故答案为：（2）（3）点评：本题考查奇偶函数图象的对称性，求解本题的关键是由题设条件把函数的性质研究清楚，解答关键是得出函数是周期函数．6．（5分）已知函数，给定条件p：，条件q：﹣2＜f（x）﹣m＜2，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围为（3，5）．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；正弦函数的定义域和值域．专题：计算题．分析：本题考查的知识点是充要条件的定义，及正弦型函数的定义域和值域，由若p是q的充分条件，则满足条件p的x的取值范围P，与满足条件q的x的取值范围Q之间满足P⊊Q，然后结合正弦型函数的定义域和值域即可得到答案．解答：解：∵p是q的充分条件∴P⊊Q，又∵P={x|}∴此时f（x）∈[3，5]又∵Q={x|﹣2＜f（x）﹣m＜2} ∴∴m∈（3，5）故答案为：（3，5）点评：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．7．（5分）已知函数的解集为（0，2）．考点：运用诱导公式化简求值；指、对数不等式的解法．专题：计算题；三角函数的求值；不等式的解法及应用．分析：根据三角函数的奇偶性得f（x）是奇函数，从而得到f（﹣1）==1．再用正弦、正切的诱导公式，化简整理可得f（24）=1，原不等式化简为log2x＜1，解之即可得到所求解集．解答：解：∵∴=﹣f（x），可得f（x）是奇函数∵f（1）==﹣1，∴f（﹣1）==1而f（24）===∴f（24）=1，不等式f（24）＞log2x即log2x＜1=log22解之得0＜x＜2，得原不等式的解集为（0，2）故答案为：（0，2）点评：本题给出三角函数式，要求根据此函数式解关于x 的不等式，着重考查了三角函数的奇偶性、三角函数诱导公式和对数不等式的解法等知识，属于中档题．8．（5分）如图，平面四边形ABCD 中，若AC=，BD=2，则（+）•（+）= 1 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：综合题．分析：先利用向量的加减法运算，化简向量，再利用数量积公式，即可求得结论．解答：解：（+）•（+）=（+）•（+）=（﹣）•（+）= ∵AC=，BD=2，∴=1 ∴（+）•（+）=1故答案为：1点评：本题考查向量的线性运算及数量积运算，化简向量是解题的关键，属于中档题．9．（5分）若正六棱锥的底面边长为3cm ，侧面积是底面积的倍，则这个棱锥的高是cm ．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；转化思想．分析：由已知中正六棱锥的全面积是底面积的倍，得到其侧高与底面中心到对称棱的距离之间为：1，构造直角三角形PQO （其中P 为棱锥的顶点，Q 为底面棱的中点，O为底面的中心），解三角形即可得到侧面与底面所成的角，最后利用直角三角形求出棱锥的高．解解：由于正六棱锥的全面积是底面积的3倍，答：不妨令P为棱锥的顶点，Q为底面棱的中点，O为底面的中心∵侧面积是底面积的3倍，则PQ=3OQ则∠PQO即为侧面与底面所成的角∵cos∠PQO=，∴sin∠PQO=，∴tan∠PQO=，在直角三角PQO中，PO=QO•tan∠PQO=×=故答案为：．点评：本题考查棱锥的结构特征等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题10．（5分）设α∈（π，2π），若，则的值为．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：利用两角和差的正切公式求得tanα=5﹣8，再利用同角三角函数的基本关系求得sin2α 和cos2α 的值，再由=cos cos2α+sin sin2α，运算求得结果．解答：解：∵==，∴tanα=5﹣8．再由sin2α===，cos2α===，可得=cos cos2α+sin sin2α=，故答案为．点评：本题主要考查两角和差的正切公式、余弦公式、同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．11．（5分）设关于x的不等式组解集为A，Z为整数集，且A∩Z共有两个元素，则实数a的取值范围为．考点：集合的包含关系判断及应用；交集及其运算．专题：数形结合．分析：由条件|x+1|＜2得﹣3＜x＜1．A∩Z共有两个元素，说明不等式x2+2ax+3＜0的解的集合的区间长度有着限制．解答：解：由条件|x+1|＜2得﹣3＜x＜1．由分析知，不等式x2+2ax+3﹣a＜0的解的集合的区间长度有着限制，也即方程x2+2ax+3﹣a=0的解的集合的区间长度有着限制，设f（x）=x2+2ax+3﹣a则有f（0.5）=3.25＞0，结合﹣3＜x＜1和抛物线的图象，得或解之得，实数a的取值范围为故填．点评：本题属于难题了，难在对于条件的转化，难在数形结合思想的应用．12．（5分）（2012•山东）如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于（2，1）时，的坐标为（2﹣sin2，1﹣cos2）．考点：圆的参数方程；平面向量坐标表示的应用．专题：计算题；综合题；压轴题．分析：设滚动后圆的圆心为O'，切点为A，连接O'P．过O'作与x轴正方向平行的射线，交圆O'于B（3，1），设∠BO'P=θ，则根据圆的参数方程，得P的坐标为（2+cosθ，1+sinθ），再根据圆的圆心从（0，1）滚动到（2，1），算出θ=﹣2，结合三角函数的诱导公式，化简可得P的坐标为（2﹣sin2，1﹣cos2），即为向量的坐标．解答：解：设滚动后的圆的圆心为O'，切点为A（2，0），连接O'P，过O'作与x轴正方向平行的射线，交圆O'于B（3，1），设∠BO'P=θ∵⊙O'的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=1，∴根据圆的参数方程，得P的坐标为（2+cosθ，1+sinθ），∵单位圆的圆心的初始位置在（0，1），圆滚动到圆心位于（2，1）∴∠AO'P=2，可得θ=﹣2可得cosθ=cos（﹣2）=﹣sin2，sinθ=sin（﹣2）=﹣cos2，代入上面所得的式子，得到P的坐标为（2﹣sin2，1﹣cos2）∴的坐标为（2﹣sin2，1﹣cos2）．故答案为：（2﹣sin2，1﹣cos2）点评：本题根据半径为1的圆的滚动，求一个向量的坐标，着重考查了圆的参数方程和平面向量的坐标表示的应用等知识点，属于中档题．13．（5分）已知|AB|=3，C是线段AB上异于A，B的一点，△ADC，△BCE均为等边三角形，则△CDE的外接圆的半径的最小值是．考点：解三角形．专题：计算题．分析：设AC=m，CB=n，则m+n=3，在△CDE中，由余弦定理知DE2=9﹣3mn，利用基本不等式，可得，再利用△CDE的外接圆的半径，即可得到结论．解答：解：设AC=m，CB=n，则m+n=3，在△CDE中，由余弦定理知DE2=CD2+CE2﹣2CD•CEcos∠DCE=m2+n2﹣mn=（m+n）2﹣3mn=9﹣3mn又，当且仅当时，取“=”，所以，又△CDE的外接圆的半径∴△CDE的外接圆的半径的最小值是故答案为：．点评：本题考查余弦定理的运用，考查基本不等式，考查正弦定理的运用，确定DE的范围是关键．14．（5分）若方程lgkx=2lg（x+1）仅有一个实根，那么k的取值范围是k=4或k＜0 ．考点：根的存在性及根的个数判断；对数函数的图像与性质．专题：计算题；转化思想．分析：先将方程lgkx=2lg（x+1）转化为lgkx﹣2lg（x+1）=0，先对参数k的取值范围进行分类讨论，得出函数的定义域再分别研究仅有一根时的参数的取值范围，得出答案．解答：解：由题意，当k＞0时，函数定义域是（0，+∞），当k＜0时，函数定义域是（﹣1，0）当k＞0时，lgkx=2lg（x+1）∴lgkx﹣2lg（x+1）=0∴lgkx﹣lg（x+1）2=0，即kx=（x+1）2在（0，+∞）仅有一个解∴x2﹣（k﹣2）x+1=0在（0，+∞）仅有一个解令f（x）=x2﹣（k﹣2）x+1又当x=0时，f（x）=x2﹣（k﹣2）x+1=1＞0∴△=（k﹣2）2﹣4=0∴k﹣2=±2∴k=0舍，或4k=0时lgkx无意义，舍去∴k=4当k＜0时，函数定义域是（﹣1，0）函数y=kx是一个递减过（﹣1，﹣k）与（0，0）的线段，函数y=（x+1）2在（﹣1，0）递增且过两点（﹣1，0）与（0，1），此时两曲线段恒有一个交点，故k＜0符合题意故答案为：k=4或k＜0．点评：本题主要考查在对数方程的应用，要按照解对数方程的思路熟练应用对数的性质及其运算法则转化问题．二、解答题：（本大题6小题，共90分）15．（14分）已知集合A={x|（x﹣2）（x﹣2a﹣5）＜0}，函数的定义域为集合B．（1）若a=4，求集合A∩B；（2）已知，且”x∈A”是”x∈B”的必要条件，求实数a的取值范围．考点：必要条件；一元二次不等式的解法；指、对数不等式的解法．专题：计算题．分析：（1）由a=4，确定集合A，利用对数函数的定义域，确定集合B，从而可求集合A∩B （2）根据已知，确定集合A，B，利用∵“x∈A”是“x∈B”的必要条件，可知B⊆A，从而建立不等式，即可求得实数a的取值范围．解答：解：（1）当a=4时，集合A={x|（x﹣2）（x﹣13）＜0}={x|2＜x＜13}，函数=的定义域为{x|8＜x＜18}，∴B={x|8＜x＜18}，∴集合A∩B={x|8＜x＜13}；（2）∵，∴2a+5＞2，∴A=（2，2a+5）∵a2+2＞2a，∴B=（2a，a2+2）∵“x∈A”是“x∈B”的必要条件，∴B⊆A∴∴1≤a≤3∴实数a的取值范围是[1，3]．点评：本题主要考查了集合的运算，集合之间的关系，考查四种条件的运用，解决本题的关键是要熟练掌握分式不等式与对数函数的定义．16．（14分）（2012•枣庄一模）如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题．分析：（Ⅰ）取CE中点P，连接FP、BP，欲证AF∥平面BCE，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AF与平面平面BCE内一直线平行，而AF∥BP，AF⊂平面BCE，BP⊂平面BCE，满足定理条件；（Ⅱ）欲证平面BCE⊥平面CDE，根据面面垂直的判定定理可知在平面BCE内一直线与平面CDE垂直，而根据题意可得BP⊥平面CDE，BP⊂平面BCE，满足定理条件．解答：证明：（Ⅰ）取CE中点P，连接FP、BP，∵F为CD的中点，∴FP∥DE，且FP=．又AB∥DE，且AB=．∴AB∥FP，且AB=FP，∴ABPF为平行四边形，∴AF∥BP．（4分）又∵AF⊄平面BCE，BP⊂平面BCE，∴AF∥平面BCE（6分）（Ⅱ）∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD ∵AB⊥平面ACD，DE∥AB∴DE⊥平面ACD又AF⊂平面ACD∴DE⊥AF又AF⊥CD，CD∩DE=D∴AF⊥平面CDE（10分）又BP∥AF∴BP⊥平面CDE又∵BP⊂平面BCE∴平面BCE⊥平面CDE（12分）点评：本小题主要考查空间中的线面关系，考查线面平行、面面垂直的判定，考查运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于基础题．17．（15分）（2012•普陀区一模）已知△ABC中，，记．（1）求f（x）解析式及定义域；（2）设g（x）=6m•f（x）+1，是否存在正实数m，使函数g（x）的值域为？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．考点：平面向量数量积的运算；正弦函数的定义域和值域；正弦定理．专题：计算题．分析：（1），结合正弦定理，可以表示出BC 、AB 边的长，根据边长为正，可求出即定义域，同时我们不难给出求f （x ）解析式．（2）由（1）的结论写出g （x ）的解析式，并求出g （x ）的值域（边界含参数），利用集合相等，边界值参数的值．解答：解：（1）由正弦定理有： ∴=（2）g （x ）=6mf （x ）+1=假设存在实数m 符合题意，∵，∴．因为m ＞0时，的值域为（1，m+1]．又g （x ）的值域为，解得； ∴存在实数，使函数f （x ）的值域恰为．点评：本题考查的比较综合的考查了三角函数的性质，根据已知条件，及第一步的要求，我们断定求出向量的模，长度是本题的切入点，利用正弦定理求出边长后，易得函数的解析式和定义域，故根据已知条件和未知的结之间的联系，进而找出解题的方向是解题的关键．18．（15分）（2013•成都模拟）省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f （x ）与时刻x （时）的关系为f （x ）=+2a+，x ∈R ，其中a 是与气象有关的参数，且a ∈]，若取每天f （x ）的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M （a ）．（1）令t=，x ∈R ，求t 的取值范围；（2）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问：目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？考点：函数最值的应用；实际问题中导数的意义．专题：计算题．分析：（1）先取倒数，然后对得到的函数式的分子分母同除以x ，再利用导数求出的取值范围，最后根据反比例函数的单调性求出t的范围即可；（2）f（x）=g（t）=|t﹣a|+2a+．下面分类讨论：当 0＜a＜，当＞a≥，分别求出函数g（x）的最大值M（a），然后解不等式M（a）≤2即可求出所求．解答：解：（1）当x=0时，t=0；（2分）当0＜x≤24时，=x+．对于函数y=x+，∵y′=1﹣，∴当0＜x＜1时，y′＜0，函数y=x+单调递减，当1＜x≤24时，y′＞0，函数y=x+单调递增，∴y∈[2，+∞）．综上，t的取值范围是[0，]．（2）当a∈（0，]时，f（x）=g（t）=|t﹣a|+2a+=∵g（0）=3a+，g（）=a+，g（0）﹣g（）=2a﹣．故M（a）==当且仅当a≤时，M（a）≤2，故a∈（0，]时不超标，a∈（，]时超标．点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用、待定系数法求函数解析式及分类讨论的思想，属于实际应用题．19．（16分）已知定义域为[0，1]的函数同时满足以下三个条件：①对任意x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②f（1）=1；③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．（1）求f（0）的值；（2）函数g（x）=2x﹣1在区间[0，1]上是否同时适合①②③？并予以证明；（3）假定存在x0∈[0，1]，使得f（x0）∈[0，1]，且f（f（x0））=x0，求证：f（x0）=x0．考点：函数的值；函数恒成立问题．专题：综合题；压轴题．分析：（1）由①知：f （0）≥0；由③知f （0）≤0，从而得到f （0）=0．（2）由题设知g （1）=1；由x ∈[0，1]知2x ∈[1，2]，得g （x ）∈[0，1]，有g （x ）≥0；设x 1≥0，x 2≥0，x；由此能够证明函数g （x ）=2x﹣1在区间[0，1]上同时适合①②③．（3）若f （x 0）＞x 0，则由题设知f （x 0）﹣x 0∈[0，1]，且由①知f[f （x 0）﹣x 0]≥0，由此入手能证明f （解答：解：（1）由①知：f （0）≥0；由③知：f （0+0）≥f（0）+f （0），即f （0）≤0； ∴f（0）=0（2 ）证明：由题设知：g （1）=2﹣1=1；由x ∈[0，1]知2x ∈[1，2]，得g （x ）∈[0，1]，有g （x ）≥0；设x 1≥0，x 2≥0，x 1+x 2≤1，则，； ∴即g （x 1+x 2）≥g（x 1）+g （x 2）∴函数g （x ）=2x ﹣1在区间[0，1]上同时适合①②③．（3）证明：若f （x 0）＞x 0，则由题设知：f （x 0）﹣x 0∈[0，1]，且由①知f[f （x 0）﹣x 0]≥0， ∴由题设及③知：x 0=f （f （x 0））=f[（f （x 0）﹣x 0）+x 0]=f[f （x 0）﹣x 0]+f （x 0）≥f（x 0）矛盾；若f （x 0）＜x 0，则则由题设知：x 0﹣f （x 0）∈[0，1]，且由①知f[x 0﹣f （x 0）]≥0， ∴同理得：f （x 0）=f[（x 0﹣f （x 0））+f （x 0）]=f[x 0﹣f （x 0）]+f （f （x 0））≥f（f （x 0））=x 0，矛盾；故由上述知：f （x 0）=x 0．点评：本题考查函数值的求法和函数恒成立问题的应用，解题时要认真审题，仔细解答．20．（16分）已知函数f （x ）=（x 3﹣6x 2+3x+t ）e x ，t ∈R ．（1）若函数y=f （x ）依次在x=a ，x=b ，x=c （a ＜b ＜c ）处取到极值．①求t 的取值范围；②若a+c=2b 2，求t 的值．（2）若存在实数t ∈[0，2]，使对任意的x ∈[1，m]，不等式f （x ）≤x 恒成立．求正整数m 的最大值．考点：利用导数研究函数的极值；不等式的综合．专题：计算题；压轴题．分析：（1）①根据极值点是导函数的根，据方程的根是相应函数的零点，结合函数的单调性写出满足的不等式解出t 的范围，②将三个极值点代入导函数得到方程，左右两边各项的对应系数相等，列出方程组，解出t 值．（2）先将存在实数t ∈[0，2]，使不等式f （x ）≤x 恒成立转化为将t 看成自变量，f （x ）的最小值）≤x；再构造函数，通过导数求函数的单调性，求函数的最值，求出m 的范围．解答：解：（1）①f'（x ）=（3x 2﹣12x+3）e x +（x 3﹣6x 2+3x+t ）e x =（x 3﹣3x 2﹣9x+t+3）e x ∵f（x ）有3个极值点，∴x3﹣3x2﹣9x+t+3=0有3个根a，b，c．令g（x）=x3﹣3x2﹣9x+t+3，g'（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x+1）（x﹣3），g（x）在（﹣∞，﹣1），（3，+∞）上递增，（﹣1，3）上递减．∵g（x）有3个零点∴∴﹣8＜t＜24．②∵a，b，c是f（x）的三个极值点，∴x3﹣3x2﹣9x+t+3=（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c）=x3﹣（a+b+c）x2+（ab+bc+ac）x﹣abc∴∴b=1或﹣（舍∵b∈（﹣1，3））∴∴t=8（2）不等式f（x）≤x，即（x3﹣6x2+3x+t）e x≤x，即t≤xe﹣x﹣x3+6x2﹣3x．转化为存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，不等式t≤xe﹣x﹣x3+6x2﹣3x恒成立．即不等式0≤xe﹣x﹣x3+6x2﹣3x在x∈[1，m]上恒成立．即不等式0≤e﹣x﹣x2+6x﹣3在x∈[1，m]上恒成立．设φ（x）=e﹣x﹣x2+6x﹣3，则φ'（x）=﹣e﹣x﹣2x+6．设r（x）=φ'（x）=﹣e﹣x﹣2x+6，则r'（x）=e﹣x﹣2，因为1≤x≤m，有r'（x）＜0．故r（x）在区间[1，m]上是减函数．又r（1）=4﹣e﹣1＞0，r（2）=2﹣e﹣2＞0，r（3）=﹣e﹣3＜0故存在x0∈（2，3），使得r（x0）=φ'（x0）=0．当1≤x＜x0时，有φ'（x）＞0，当x＞x0时，有φ'（x）＜0．从而y=φ（x）在区间[1，x0]上递增，在区间[x0，+∞）上递减．又φ（1）=e﹣1+4＞0，φ（2）=e﹣2+5＞0，φ（3）=e﹣3+6＞0，φ（4）=e﹣4+5＞0，φ（5）=e﹣5+2＞0，φ（6）=e﹣6﹣3＜0．所以当1≤x≤5时，恒有φ（x）＞0；当x≥6时，恒有φ（x）＜0；故使命题成立的正整数m的最大值为5．点评：本题考查利用导数求函数的极值、极值点是导函数的根、解决不等式恒成立常用的方法是构造函数利用导数求函数的最值．。

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江苏省东海高级中学高三理科数学阶段检测题（10.27）一、填空题（每小题5分，共70分）1、设集合A ={}{}21,2,3,2,3B a a -=++，若{}3A B ⋂=,则实数a 的值为 .2、若α角与85π角终边相同，则在[0,2]π内终边与4α角终边相同的角是 .3、若幂函数()f x 的图像经过点()4,2A ,则它在A 点处的切线的斜率为 .4、已知函数()()()2,125,1x ax x f x x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩若()()20f f =，则实数a = .5、已知1sin sin 3x y +=，则2sin cos y x -的最大值为 . 6、已知2tan sin 3,02πααα⋅=-<<，则cos()6πα-的值是 .7、已知集合(){}21,A x x a a x a R =+≤+∈，若A 中的所有的整数元素和为28，则a 的取值范围是 .8、已知命题p ：()f x =(]0,∞-∈x 上有意义，命题q ：函数2lg()y ax x a =-+的定义域为R ．如果p 和q 有且仅有一个正确，则a 的取值范围． 9、已知函数()2s i n ()(0f x x ωϕω=+>.若()0,()232f f ππ==，则实数ω的最小值为 .10、设函数sin (0)y x x π=≤≤的图象为曲线C ，动点(,)A x y 在曲线C 上，过A 且平行于x 轴的直线交曲线C 于点(B A B 、可以重合），设线段A B 的长为()f x ，则函数()f x 在[0,]2π上单调，在[,]2ππ上单调 .11、已知函数()()()[]2222,1,1xxf x a a x -=-++∈-.关于x 的方程()22fx a =有解，则实数a 的取值范围是 _____ .12、已知函数323y x x x =++的图象C 上存在一定点P 满足：若过点P 的直线l 与曲线C 交于不同于P 的两点M (x 1, y 1)，N (x 2, y 2)，就恒有21y y +的定值为y 0，则y 0的值为______. 13、已知函数()f x =，则其最大值为.14、已知函数()f x 定义在[](),2D m m m =->上且()0f x >，对于任意实数,,x y x y +,D ∈都有()()(),f x y f x f y +=且()11006f =，设函数()()()()()()21100611f x f xf xg x fx f x ++++=-+的最大值和最小值分别为M 和N ,则M N += .二、解答题15、(本小题14分)已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+>≤≤为偶函数，且其图象上相邻两对称轴之间的距离为π.（1）求函数()f x 的表达式；（2）若2sin ()3f αα+=，求)141tan παα-++的值.16、（本小题14分）已知二次函数()()21,f x x mx m Z =++∈ 且关于x 的方程()=2f x 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,3上有两个不相等的实数根.⑴求()fx 的解析式.⑵若[]2,x t ∈总有()52f x x -≤成立，求t 的最大值.17、（本小题14分）如图，单位圆（半径为1的圆）的圆心O轴交于点A ，与钝角α的终边O B 交于点(,)B B B x y ，设BAO ∠=（1）用β表示α；（2）如果4sin 5β=，求点(,)B B B x y 的坐标；（3）求B B x y -的最小值.α18、（本小题16分）如图，在半径为R 、圆心角为3π的扇形金属材料中剪出一个长方形EPQF ，并且E P 与A O B ∠的平分线O C 平行，设P O C θ∠=．（1）试写出用θ表示长方形EPQF 的面积()S θ的函数；（2）在余下的边角料中在剪出两个圆（如图所示），试问当矩形EPQF 的面积最大时，能否由这个矩形和两个圆组成一个有上下底面的圆柱？如果可能，求出此时圆柱的体积．19、（本小题16分）设函数()(,,)n n f x x bx c n N b c R +=++∈∈（1）设2n >，1,1b c ==-，证明：()n f x 在区间3,15⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一的零点；（2）设n 为偶数，(1)1n f -≤，(1)1n f ≤，求c b +3的最小值和最大值；（3）设2n =，若对任意12,x x [1,1]∈-，有2122|()()|9f x f x -≤，求b 的取值范围；20、（本小题16分）设函数()(1)()()f x x x x a a R =--∈,()f x 的两个极值点为(,()),(,(A fB f ααββ, 线段AB 的中点为M .(1) 如果函数()f x 为奇函数,求实数a 的值;当2a =时，求函数()f x 图象的对称中心； (2) 如果M 点在第四象限,求实数a 的范围;(3) 证明:点M 也在函数()f x 的图象上,且M 为函数()f x 图象的对称中心.答案一、填空题1、1；2、29719,,,510510ππππ； 3、41； 4、1； 5、49； 6、0； 7、[)8,7； 8、1(,](1,)2-∞+∞ ；9、3； 10、递减，递增； 11、(][)+∞⋃-∞-,22,； 12、2； 13、2； 14、2012.二、解答题15、解：（1）∵()f x 为偶函数， ∴sin()sin()x x ωϕωϕ-+=+，即2sin cos 0x ωϕ=恒成立，∴cos 0ϕ=，又∵0,2πϕπϕ≤≤∴=.………………………………5分又其图象上相邻对称轴之间的距离为,2,1,()cos T f x x ππω∴=∴=∴=.…………7分（2）∵原式sin 2cos 212sin cos 1tan ααααα-+==+，又∵2s i n c o s3αα+=，∴412s i n c o s 9αα+=,即52sin cos 9αα=-，故原式=59-…………………………………14分16、解：（1）由()=2f x 在⎪⎭⎫⎝⎛-21,3上有两个不相等的实数根，即 ()()2210g x f x x mx =-=+-=在⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,3上有两个不相等的实数根，()301021322g g m ⎧⎪->⎪⎪⎛⎫>⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-<-<⎪⎩()3823m m Z ⇒<<∈ 2m ⇒= 从而()221fx x x =++ ………7分（2）由 ()52f x x -≤ ，得 21016028x x x -+≤⇒≤≤而当[]2,x t ∈总有()52f x x -≤成立，m ax 8t = ………14分 17 、解：(1)如图βπαβππα223,22-=∴-=-=∠AOB . ………………………………5分（2）由s i n B y rα=，又1=r ,得3sin sin(2)2B y παβ==-2571)54(21sin 22cos 22=-⋅=-=-=ββ.由钝角α，知24cos ,25Bx α==-)257,2524(-∴B (10)分（3）【法一】)4cos(2sin cos πααα+=-=-B B y x ，又)45,43(4),,2(πππαππα∈+∈，⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡--∈+22,1)4cos(πα,B B y x -∴的最小值为2-.……………………………………………………………………14分【法二】α为钝角，1,0,022=+><∴B B B B y x y x ,)(B B B B y x y x +--=-，2)(2)(222=+≤+-B B B B y x y x ,2-≥-∴B B y x ,B B y x -∴的最小值为2-. (14)分18、解：（1）由条件得sin ,cos cos sin tan6C P C P R EP R R θθθθπ==-=-，从而()2sin (cos sin )S R R θθθθ=-.……………………………………4分（2）由（1）得222()[sin 2cos 2)]2sin(2)3S R R πθθθθ=--=+-，所以当232ππθ+=时，即,()12S πθθ=取得最大值，为2(2R -.…………………7分此时2sin122EF R R π==，cossin12122EP R R ππ=-=，所以EPQF 为正方形，依题意知制成的圆柱底面应是由E F 围成的圆，从而由周长22r EF R π==0.0844R R π≈.……………11分另一方面，如图所示，设圆与O A 边切于点H ，连结G E G HG A 、、，22EA O A O E R +-=-=.设两小圆的半径为G H r =，则(2tan12r EH r π==+，且AH r >，从而(2,2r r R ++<所以20.10r R +-<≈，因0.0840.10R R <，所以能作出满足条件的两个圆.此时圆柱的体积38RV π=.……………16分19、解：（1）由2n >，1,1b c ==-，得()1nn f x x x =+-()'110n n f x nx-=+>对3,15x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，从而()1nn f x x x =+-在3,15⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，又()110n f =>，233232055555nn f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()n f x 在区间3,15⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一的零点. ………4分（2）因为 (1)111102n f b c b c -≤⇒-≤-+≤⇒≤-≤(1)120n f b c ≤⇒-≤+≤ 由线性规划max min (3)2,(3)4,b c b c +=+=-（或()()[]324,2b c b c b c +=-++∈-，max min (3)2,(3)4,b c b c +=+=-）………8分PGHAE（3）当2n =时，()22f x x bx c =++（Ⅰ）当2b ≥或2b ≤-时，即12b -≤-或12b -≥，此时只需满足()()2299112922f f b b --=≤⇒-≤≤，从而99,22,22b ⎡⎤⎡⎤∈--⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（Ⅱ）当02b ≤<时，即102b -<-≤，此时只需满足()2222119242b b b f f b c c ⎛⎫⎛⎫--=++--+≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即24320b b +-≤ 解得：84b -≤≤，从而[)0,2b ∈ （Ⅲ）当20b -<<时，即012b <-<，此时只需满足()2222119242b b b f f b c c ⎛⎫⎛⎫---=-+--+≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即24320b b --≤ 解得：48b -≤≤ 从而()2,0b ∈-综上所述：99,22b ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦………16分 20 、解：（1）【法一】因为()f x 为奇函数，所以(1)(1)f f -=-, 得：1(11)(1)01a a -⋅----=⇒=-. 当1a =-时，2()(1)(1)(1)f x x x x x x =-+=-，有()()f x f x -=-，则()f x 为奇函数. ………4分【法二】32()(1)f x x a x ax =-++,()()f x f x -=-恒成立，3232()(1)(1)x a x ax x a x ax --+-=-++-, 求得1a =-.当2a =时，()(1)(2)f x x x x =--，该图象可由奇函数()(1)(1)f x x x x =+-的图象向右平移一个单位得到，可知函数()(1)(2)f x x x x =--图象的对称中心为（1，0）. ………4分（2）'2()32(1)f x x a x a =-++ ,令'2()32(1)0f x x a x a =-++=，则βα,为232(1)0x a x a -++=两实根.2(1)3a αβ+∴+=,3a αβ⋅=.=+2)()(βαf f 32321(1)(1)2a a a a αααβββ⎡⎤-+++-++⎣⎦ =()[][]{})(2)()1(3)(2122βααββααββαβα++-++--++a a=32(1)(1)(1)(2)(21)27327a a a a a a +++---+=-,点)2)()(,2(βαβαf f M ++在第四象限,得：0,10,(1)(21)(2)0,a a a a ∆>⎧⎪+>⎨⎪+-->⎩2a ⇒>或112a -<<. ……………10分（3）由（2）得点1(1)(2)(21)(,)327a a a a M ++---，又3213231311313131aa a a a a a a f -⋅-⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-++=⎪⎭⎫⎝⎛+ =27)12)(2)(1(--+-a a a ，所以点M 也在函数()f x 的图象上. ……………12分【法一】设),(00y x P 为函数()f x 的图象上任意一点，),(00y x P 关于M 的对称点为)27)12)(2)(1(2,3)1(2(00y a a a x a Q ---+--+而)3)1(2()3)1(2)(1()3)1(2()3)1(2(020300x a a x a a x a x a f -++-++--+=-+ =3200002(1)(2)(21)2(1)(2)(21)(1)2727a a a a a a x a x ax y +--+----++-=--.即)27)12)(2)(1(2,3)1(2(00y a a a x a Q ---+--+在函数()(1)()f x x x x a =--的图像上.所以，M 为函数()f x 的对称中心. ………………………………………16分【法二】设1(1)(2)(21)()()327a a a a g x f x ++--=++111(1)(2)(21)()(1)()33327a a a a a a x x x a ++++--=++-+-+1212(1)(2)(21)()()()33327a a aa a a x x x +--+--=++++32121212212112()()333333333a a a a a a a a ax x x +--+---+-=++++⋅+⋅+⋅ 1212(1)(2)(21)33327a a a a a a +--+--+⋅⋅+ 321(1)3x a a x =--+. 1(1)(2)(21)()()327a a a a g x f x ++--∴=++为奇函数，对称中心为(0,0)O . 把函数1(1)(2)(21)()()327a a a a g x f x ++--=++的图象按向量1(1)(2)(21)(,)327a a a a O M ++--=- 平移后得()f x 的图象，中国校长网中国校长网资源频道 http://zy 1(1)(2)(21)(,)327a a a a M ++--∴- 为函数()f x 的对称中心. ……………16分。