2017-2018学年河北省张家口市高二上学期期中数学试题(理科)(解析版)
河北省邢台市2017-2018学年高二上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案
2017-2018学年度第一学期高二期中考试理科数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若直线30x y a ++=过圆22240x y x y ++-=的圆心，则a 的值为（ ） A ．-1 B ．1 C ．3 D ．-32.若(2,1,3)a x =，(1,2,9)b y =-，若//a b ，则（ ）A ．1x =，1y =B ．12x =，12y =- C ．16x =， 32y =- D ．16x =-，32y =-3.若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=有公共点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[3,1]-- B ．[1,3]- C ．[3,1]- D ．(,3][1,)∞-+∞4.圆221:20O x y x +-=和圆222:40O x y y +-=的位置关系是（ ）A ．相交B ．相离 C. 外切 D ．内切5.已知直线,l m ，平面,αβ，且l α⊥，m β⊂，给出下列四个命题：①若//αβ，则l m ⊥；②若l m ⊥，则//αβ；③若αβ⊥，则//l m ；④若//l m ，则αβ⊥.其中正确的命题个数为（ ）A ．1B ．2 C.3 D ．46.正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1A BC D --的大小为（ ） A ．30° B ．45° C.60° D ．135°7.已知(1,1,)a t t t =--，(2,,)b t t =，则||a b -的最小值为（ ）A B C.115D 8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．123π+ B ．73π C.136π D ．52π9.过点(2,2)P 的直线与圆22(1)5x y -+=相切，且与直线10ax y -+=垂直，则a =（ ） A ．2 B ．1 C.12 D ．12- 10.如图，在四面体D ABC -中，若AB BC =，AD CD =，E 是AC 的中点，则下列正确的是（ ）A ．平面ABC ⊥平面ABDB ．平面ABD ⊥平面BDCC. 平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDE D ．平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE11.过圆224x y +=外一点作圆(4,2)P 的两条切线，切点分别为,A B ，则ABP ∆的外接圆的方程为（ ）A ．22(4)(2)1x y -+-= B ．22(2)4x y +-= C. 22(2)(1)5x y +++= D ．22(2)(1)5x y -+-=12.三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，且2AB BC CA PC ====，则该三棱锥的外接球的表面积是（ ） A ．3π B ．4π C. 163π D ．283π第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.直线250x y -+=与圆228x y +=相交于,A B 两点，则||AB = ． 14.若平面a 的一个法向量(2,1,1)n =，直线l 的一个方向向量为(1,2,3)a =，则α与l 所成角的正弦值为 ．15.如图，在边长为4的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，剪去AOB ∆，将剩余部分沿,OC OD 折叠，使,OA OB 重合，则折叠后以(),,,A B C D O 为顶点的四面体的体积为 ．16.若直线y x b =+与曲线3y =b 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形,侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ; (2)求该几何体的表面积S .18.（1）已知圆经过(2,3)A -和(2,5)B --两点，若圆心在直线230x y --=上，求圆M 的方程；（2）求过点(1,0)A -、(3,0)B 和(0,1)C 的圆N 的方程. 19. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点D 是BC 的中点.（1）求证：1//A B 平面1ADC ；（2）若AB AC =，12BC AA ==，求点1A 到平面1ADC 的距离. 20. 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1,BB CD 的中点.（1）求证：1D F ⊥平面ADE ；（2）求异面直线EF 与1BD 所成角的余弦值.21. 已知直线:(21)(1)740l m x m y m +++--=，m R ∈，圆22:(1)(2)25C x y -+-=. （1）证明：直线l 恒过一定点P ； （2）证明：直线l 与圆C 相交；（3）当直线l 被圆C 截得的弦长最短时，求m 的值.22.已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB CD ，90DAB ∠=°，PA ⊥底面ABCD ，且112PA AD DC AB ====，M 是PB 的中点.（1）证明：平面PAD ⊥平面PCD ； （2）求AC 与PB 所成角的余弦值；（3）求平面AMC 与平面BMC 所成二面角（锐角）的余弦值.2017-2018学年度第一学期高二第二次联考理科数学试题参考答案及评分标准一、选择题二、填空题13. 14.; 15. ; 16. 1⎡⎤-⎣⎦.三、解答题：17. 解：（Ⅰ）根据三视图还原几何体，如右图，四棱锥P ABCD -，底面矩形ABCD 中，8AB =，6BC =，对角线,AC BD 交于点H ，PH ⊥底面ABCD ，且4PH =．∴ 该几何体的体积1684643V =⨯⨯⨯=； （Ⅱ）分别取AB 、BC 的中点E 、F ，连接,,,PE HE PF HF ． ∵ ,AB HE AB PH ⊥⊥， ∴AB ⊥平面PHE ，AB PE ⊥．Rt PHE ∆中，4PH =，3HE =，故5PE =，∴ 1202PAB PCD S S AB PE ∆∆==⋅=．同理可求12PBC PAD S S BC PF ∆∆==⋅= ∵ 底面矩形ABCD 的面积为48， ∴该几何体的表面积88S =+ 18.解：（Ⅰ）由点()2,3A -和点()2,5B --可得，线段AB 的中垂线方程为240x y ++=． ∵ 圆经过()2,3A -和()2,5B --两点，圆心在直线230x y --=上， ∴ 240230x y x y ++=⎧⎨--=⎩，解得1,2x y =-=-，即所求圆的圆心()1,2M --，∴半径r AM ==M 的方程为()()221210x y +++=； （Ⅱ）设圆N 的方程为220x y Dx Ey F ++++=， ∵ 圆N 过点()1,0A -、()3,0B 和()0,1C ，∴ 列方程组得10,930,10,D F D F E F -+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得2,2,3D E F =-==-，∴ 圆N 的方程为222230x y x y +-+-=．19.解：（Ⅰ）证明：连接1A C 交1AC 于点O ，连接OD ．∵ 矩形11ACC A 中，O 是1A C 的中点，又点D 是BC 的中点， ∴ 1A BC ∆中，1OD A B ∥．∵ OD ⊂平面1ADC ，1A B ⊄平面1ADC ， ∴ 1A B ∥平面1ADC ；（Ⅱ）由（Ⅰ）知O 是1A C 的中点，故点1A 到平面1ADC 的距离与点C 到平面1ADC 的距离相等，设为h ．∵ ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点， ∴AD BC ⊥．∵ 直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ， ∴ 11,AD CC BC CC ⊥⊥，∴AD ⊥平面11BCC B ，1AD DC ⊥．在1Rt C CD ∆中，1112,12CC AA CD BC ====，则1C D =12ADC S AD ∆=； 在Rt ACD ∆中，12ACD S AD ∆=； ∵ 三棱锥1C ADC -与三棱锥1C ACD -的体积相等，即111133ADC ACD S h S CC ∆∆⋅=⋅，∴ 1112332AD h AD ⋅=⨯⨯，解得h =即点1A 到平面1ADC． 20.解：如图，以点D 为坐标原点，向量1,,DA DC DD 分别作为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系．设正方体棱长为A ，则()0,0,0D ，()2,0,0A ，()2,2,0B ，()10,0,2D ，()2,2,1E ，()0,1,0F ．（Ⅰ）设平面ADE 的法向量()000,,n x y z =，则0n DA n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即000020,220x x y z =⎧⎨++=⎩，不妨取()0,1,2n =- ∵()10,1,2D F =-，∴n ∥1D F ，即1D F ⊥平面ADE ； （Ⅱ）∵ ()()12,1,1,2,2,2EF BD =---=--， ∴1112cos ,EF BD EF BD EF BD⋅==⋅EF 与1BD ．21.解：（Ⅰ）直线l 方程变形为()()0472=-++-+y x m y x ，由⎩⎨⎧=-+=-+04072y x y x ，得⎩⎨⎧==13y x ，∴ 直线l 恒过定点()13，P ；（Ⅱ）∵ 55<=PC ，∴ P 点在圆C 内部，∴ 直线l 与圆C 相交；（Ⅲ）当l PC ⊥时，所截得的弦长最短，此时有1l PC k k ⋅=-， 而211,12l PC m k k m +=-=-+，于是2112(1)m m +=-+，解得34m =-. 22.解：建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(1,0,0)D ，(0,0,1)P ，(0,2,0)B ，(1,1,0)C ，1(0,1,)2M ．（Ⅰ）因为(0,0,1)AP =，(0,1,0)DC =， 故0AP DC ⋅=，所以AP DC ⊥． 由题设知AD DC ⊥，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线， 由此得DC ⊥面PAD ，又DC ⊂面PCD ，故平面PAD ⊥面PCD ．（Ⅱ）因(1,1,0)AC =，(0,2,1)PB =-，||2AC ∴=||5PB =，2AC PB ⋅=，10cos ,||||AC PB AC PB AC PB ⋅∴<>==⋅． （Ⅲ）设平面AMC 的一个法向量为1111(,,)n x y z =，则1n AM ⊥，11111111(,,)(0,1,)022n AM x y z y z ∴⋅=⋅=+=．又1n AC ⊥，111111(,,)(1,1,0)0n AC x y z x y ∴⋅=⋅=+=， 取11x =，得11y =-，12z =，故1(1,1,2)n =-．同理可得面BMC 的一个法向量为2(1,1,2)n =． ∵ 1212122cos ,36n n n n n n ⋅<>===， ∴ 平面AMC 与平面BMC 所成二面角（锐角）的余弦值为23．2017-2018学年度第一学期高二第二次联考理科数学试题参考答案及评分标准一、选择题（每题5分，共60分）二、填空题（每题5分，共20分） 13. 14.6; 15. 3; 16. 1⎡⎤-⎣⎦.三、解答题：（本大题共6小题，共70分） 17. （本题满分10分）解：（Ⅰ）根据三视图还原几何体，如右图，四棱锥P ABCD -，底面矩形ABCD 中，8AB =，6BC =，对角线,AC BD 交于点H ，PH ⊥底面ABCD ，且4PH =．∴ 该几何体的体积1684643V =⨯⨯⨯=； …………………………………………5分 （Ⅱ）分别取AB 、BC 的中点E 、F ，连接,,,PE HE PF HF ． ∵ ,AB HE AB PH ⊥⊥， ∴AB ⊥平面PHE ，AB PE ⊥．Rt PHE ∆中，4PH =，3HE =，故5PE =，∴ 1202PAB PCD S S AB PE ∆∆==⋅=．同理可求12PBC PAD S S BC PF ∆∆==⋅= ∵ 底面矩形ABCD 的面积为48，∴ 该几何体的表面积88S =+10分 18. （本题满分12分）解：（Ⅰ）由点()2,3A -和点()2,5B --可得，线段AB 的中垂线方程为240x y ++=．…………………………………………2分∵ 圆经过()2,3A -和()2,5B --两点，圆心在直线230x y --=上， ∴ 240230x y x y ++=⎧⎨--=⎩，解得1,2x y =-=-，即所求圆的圆心()1,2M --，………4分∴半径r AM ==M 的方程为()()221210x y +++=； ………6分 （Ⅱ）设圆N 的方程为220x y Dx Ey F ++++=， ∵ 圆N 过点()1,0A -、()3,0B 和()0,1C ，∴ 列方程组得10,930,10,D F D F E F -+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得2,2,3D E F =-==-，…………………10分∴ 圆N 的方程为222230x y x y +-+-=． ……………………………………12分 19. （本题满分12分）解：（Ⅰ）证明：连接1A C 交1AC 于点O ，连接OD ．∵ 矩形11ACC A 中，O 是1A C 的中点，又点D 是BC 的中点， ∴ 1A BC ∆中，1OD A B ∥．∵ OD ⊂平面1ADC ，1A B ⊄平面1ADC ，∴ 1A B ∥平面1ADC ； ……………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知O 是1A C 的中点，故点1A 到平面1ADC 的距离与点C 到平面1ADC 的距离相等，设为h ．∵ ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点， ∴AD BC ⊥．∵ 直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ， ∴ 11,AD CC BC CC ⊥⊥，∴AD ⊥平面11BCC B ，1AD DC ⊥．在1Rt C CD ∆中，1112,12CC AA CD BC ====，则1C D =1ADC S AD ∆=； 在Rt ACD ∆中，12ACD S AD ∆=； ……………………………………8分 ∵ 三棱锥1C ADC -与三棱锥1C ACD -的体积相等，即111133ADC ACD S h S CC ∆∆⋅=⋅， ∴11123232AD h AD ⨯⋅=⨯⨯，解得5h =即点1A 到平面1ADC……………………………………12分20. （本题满分12分）解：如图，以点D 为坐标原 点，向量1,,DA DC DD 分别作为,,x y z 轴的正方 向，建立空间直角坐标系．设正方体棱长为A ， 则()0,0,0D ，()2,0,0A ，()2,2,0B ，()10,0,2D ，()2,2,1E ，()0,1,0F ．……………………………………4分（Ⅰ）设平面ADE 的法向量()000,,n x y z =，则n DA n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即000020,220x x y z =⎧⎨++=⎩，不妨取()0,1,2n =-∵()10,1,2D F =-，∴n ∥1D F ，即1D F ⊥平面ADE ； ……………………………………8分 （Ⅱ）∵ ()()12,1,1,2,2,2EF BD =---=--， ∴1112cos ,3EF BD EF BD EF BD ⋅==⋅，即异面直线EF 与1BD 所成角的余弦值为3．……………………………………12分21. （本题满分12分）解：（Ⅰ）直线l 方程变形为()()0472=-++-+y x m y x ，由⎩⎨⎧=-+=-+04072y x y x ，得⎩⎨⎧==13y x ，∴ 直线l 恒过定点()13，P ； ……………………………………4分 （Ⅱ）∵ 55<=PC ，∴ P 点在圆C 内部，∴ 直线l 与圆C 相交； ……………………………………8分 （Ⅲ）当l PC ⊥时，所截得的弦长最短，此时有1l PC k k ⋅=-，而211,12l PC m k k m +=-=-+，于是2112(1)m m +=-+，解得34m =-.……………12分22. （本题满分12分）解：建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(1,0,0)D ，(0,0,1)P ，(0,2,0)B ，(1,1,0)C ，1(0,1,)2M ． ……………………………………………2分（Ⅰ）因为(0,0,1)AP =，(0,1,0)DC =，故0AP DC ⋅=，所以AP DC ⊥． 由题设知AD DC ⊥，且AP 与AD 是平面PAD内的两条相交直线， 由此得DC ⊥面PAD ，又DC ⊂面PCD ，故平面PAD ⊥面PCD ．……………………………………5分（Ⅱ）因(1,1,0)AC =，(0,2,1)PB =-，||2AC ∴=||5PB =，2AC PB ⋅=，10cos ,||||AC PB AC PB AC PB ⋅∴<>==⋅． …………………………………………8分 （Ⅲ）设平面AMC 的一个法向量为1111(,,)n x y z =，则1n AM ⊥，11111111(,,)(0,1,)022n AM x y z y z ∴⋅=⋅=+=．又1n AC ⊥，111111(,,)(1,1,0)0n AC x y z x y ∴⋅=⋅=+=， 取11x =，得11y =-，12z =，故1(1,1,2)n =-． 同理可得面BMC 的一个法向量为2(1,1,2)n =． ∵ 1212122cos ,36n n n n n n ⋅<>===， ∴ 平面AMC 与平面BMC 所成二面角（锐角）的余弦值为23．…………………12分。
2017-2018年河北省邯郸市高二(上)期中数学试卷和答案(理科)
2017-2018学年河北省邯郸市高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={x|（x+2）（3﹣x）＞0}，B={x|y=lgx}，则A∩B=（）A．（0，3） B．[0，3） C．（3，+∞）D．（0，+∞）2．（5分）已知命题p：∀x＜0，x+≤﹣2，则￢p是（）A．∀x＜0，x+＞﹣2 B．∀x≥0，x+＞﹣2C．∃x0＜0，x0＞﹣2 D．∃x0≥0，x0＞﹣23．（5分）设数列{a n}满足a n=3a n﹣1（n≥2），且a1=3，则a20=（）A．317B．318C．319D．3204．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2c，cosC=，则sinA=（）A．B．C．D．5．（5分）若a=2x2+1，b=x2+2x，c=﹣x﹣3，则（）A．a≥b＞c B．a≥c≥b C．b＞a＞c D．b≥a＞c6．（5分）已知椭圆M的焦点为椭圆x2=1在长轴上的顶点，且M经过点（1，﹣），则M的方程为（）A．B．C．=1 D．=17．（5分）若公差为d的等差数列{a n}满足a n=（3a﹣1）n2+2an，则d=（）A．B．C．D．8．（5分）已知F是椭圆C：的左焦点，P为C上的一点，A（﹣1，2），则|PA|+|PF|的最大值为（）A．5B．9 C．6D．109．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2=1，则“a3＞5”是“S3+S9＞93”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．（5分）设数列{a n}的前n项和S n满足S n=n（2n﹣1）a n，且a1=1，则S n=（）A．B．C．D．11．（5分）如图，海中有一小岛C，一小船从A地出发由西向东航行，望见小岛C在北偏东60°，航行8海里到达B处，望见小岛C在北偏东15°．若此小船不改变航行的方向继续前行海里，则离小岛C的距离为（）A．海里B．海里C．海里D．海里12．（5分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F2，O为坐标原点，M为y轴上一点，点A是直线MF2与椭圆C的一个交点，且|OA|=|OF2|=2|OM|，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设x，y满足约束条件，则z=4x﹣y的最小值为．14．（5分）若椭圆C：=1（m＞0）的离心率为，则其长轴长为．15．（5分）在△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，A+C=2B，bsinA=6sinB，若符合条件的三角形有两解，则b的取值范围是．16．（5分）设S n为正项数列{a n}的前n项和，a1=1，a n+1（S n+S n+1）=n，则S16=．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）求分别满足下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在y轴上，焦距为8，且经过点A（﹣1，3）；（2）焦点在x轴上，短轴长为8，离心率为．18．（12分）已知p：∃x∈R，m≥﹣cos2x+2sinx+3；q：∀x∈R，函数f（x）=lg （mx2﹣mx+1）有意义．（1）若p∨q为真，求m的取值范围；（2）若（￢p）∧q为真，求m的取值范围．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB=3bcosA．（1）求A的大小；（2）若a=7，b=5，求△ABC的面积．20．（12分）用硬纸做一个体积为80cm3，高为4cm的长方形无盖纸盒，这个纸盒的长，宽各为多少时，表面积最小？并求出最小值．21．（12分）已知数列{a n}满足a1=2，a n=2﹣（n≥2），记b n=．（1）证明：数列{b n}为等差数列；（2）求数列{a n a n+1+a n+a n+1+1}的前n项和S n．22．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0），圆O：x2+y2=4恰好经过椭圆C的两个焦点和两个顶点．（1）求椭圆C的方程；（2）经过原点的直线l（不与坐标轴重合）交椭圆于A，B两点，AM⊥x轴于点M，连接BM并延长交椭圆C于N，证明：以线段BN为直径的圆经过点A．2017-2018学年河北省邯郸市高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={x|（x+2）（3﹣x）＞0}，B={x|y=lgx}，则A∩B=（）A．（0，3） B．[0，3） C．（3，+∞）D．（0，+∞）【解答】解：集合A={x|（x+2）（3﹣x）＞0}={x|（x+2）（x﹣3）＜0}={x|﹣2＜x＜3}=（﹣2，3），B={x|y=lgx}={x|x＞0}=（0，+∞），则A∩B=（0，3）．故选：A．2．（5分）已知命题p：∀x＜0，x+≤﹣2，则￢p是（）A．∀x＜0，x+＞﹣2 B．∀x≥0，x+＞﹣2C．∃x0＜0，x0＞﹣2 D．∃x0≥0，x0＞﹣2【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定是特称命题，则￢p是∃x0＜0，x0＞﹣2，故选：C．3．（5分）设数列{a n}满足a n=3a n﹣1（n≥2），且a1=3，则a20=（）A．317B．318C．319D．320【解答】解：数列{a n}满足a n=3a n﹣1（n≥2），且a1=3，∴{a n}设一3为首项，以3为公比的等比数列，∴a n=3n，∴a20=320，故选：D．4．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2c，cosC=，则sinA=（）A．B．C．D．【解答】解：由于：，则：=，又a=2c，利用正弦定理：，解得：，故选：D．5．（5分）若a=2x2+1，b=x2+2x，c=﹣x﹣3，则（）A．a≥b＞c B．a≥c≥b C．b＞a＞c D．b≥a＞c【解答】解：∵a=2x2+1，b=x2+2x，c=﹣x﹣3，∴a﹣b=（2x2+1）﹣（x2+2x）=x2﹣2x+1=（x﹣1）2≥0，即a≥b，b﹣c=（x2+2x）﹣（﹣x﹣3）=x2+3x+3=（x+）2+＞0，即b＞c，综上可得：a≥b＞c，故选：A．6．（5分）已知椭圆M的焦点为椭圆x2=1在长轴上的顶点，且M经过点（1，﹣），则M的方程为（）A．B．C．=1 D．=1【解答】解：椭圆x2=1在长轴上的顶点（0，±2）．所求椭圆的焦点坐标为：（0，±2），设椭圆M的方程为：（m＞n＞0），由题意可得，m2﹣n2=4，，解得：m2=6，n2=2，即有椭圆M的方程为：．故选：B．7．（5分）若公差为d的等差数列{a n}满足a n=（3a﹣1）n2+2an，则d=（）A．B．C．D．【解答】解：∵公差为d的等差数列{a n}满足a n=（3a﹣1）n2+2an，∴a1=3a﹣1+2a=5a﹣1，a2=（3a﹣1）×4+2a×2=16a﹣4，a3=（3a﹣1）×9+2a×3=33a﹣9，∵a1，a2，a3成等差数列，∴2a2=a1+a3，即2（16a﹣4）=（5a﹣1）+（33a﹣9），解得a=，∴d=a2﹣a1=（3a﹣1）×4+4a﹣（3a﹣1+2a）=11a﹣3==．故选：B．8．（5分）已知F是椭圆C：的左焦点，P为C上的一点，A（﹣1，2），则|PA|+|PF|的最大值为（）A．5B．9 C．6D．10【解答】解：F是椭圆C：的左焦点，如图，设椭圆的右焦点为F′，则|PF|+|PF′|=6；F′（2，0），|PF′|==，∴|PA|+|PF|=|PA|+6﹣|PF′|=6+|PA|﹣|PF′|；由图形知，当P在直线AF′上时，||PA|﹣|PF′||=|AF′|=，∴|PA|+|PF|的最大值为6+，故选：C．9．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2=1，则“a3＞5”是“S3+S9＞93”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：设公差是d，若a2=1，a3＞5，则d＞3，故S3+S9=3a2+9（a2+3d）=12+27d＞12+27×3=12+81=93，充分性成立，反之，令a3=4.5，也能推出S3+S9＞93，故S3+S9＞93时，推不出a3＞5，必要性不成立，故选：A．10．（5分）设数列{a n}的前n项和S n满足S n=n（2n﹣1）a n，且a1=1，则S n=（）A．B．C．D．【解答】解：∵S n=n（2n﹣1）a n，n≥2时，S n﹣1=（n﹣1）（2n﹣3）a n﹣1，∴a n=n（2n﹣1）a n﹣（n﹣1）（2n﹣3）a n﹣1，化为：=．∴a n=•…•••×1=．∴S n=n（2n﹣1）•=，n=1时也成立．故选：C．11．（5分）如图，海中有一小岛C，一小船从A地出发由西向东航行，望见小岛C在北偏东60°，航行8海里到达B处，望见小岛C在北偏东15°．若此小船不改变航行的方向继续前行海里，则离小岛C的距离为（）A．海里B．海里C．海里D．海里【解答】解：在△ABC中，AB=8，∠BAC=30°，∠ABC=105°，∴∠ACB=45°，由正弦定理得：，即，解得AC=4+4，设小船继续航行2（﹣1）海里到达D处，则AD=2+6，在△ACD中，由余弦定理得：CD2=（4+4）2+（2+6）2﹣2（4+4）（2+6）×=16+8，∴CD==2（+1）．故选：C．12．（5分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F2，O为坐标原点，M为y轴上一点，点A是直线MF2与椭圆C的一个交点，且|OA|=|OF2|=2|OM|，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，取椭圆的左焦点为F1，连接AF1，依题意：|OA|=|OF2|=2|OM|=c，可得．△F1AF2∽△MOF2，⇒==，∵AF1+AF2=2a，∴．由⇒，∴．则椭圆C的离心率为：，故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设x，y满足约束条件，则z=4x﹣y的最小值为﹣1．【解答】解：作出x，y满足约束条件，对应的平面区域如图：由z=4x﹣y得y=4x﹣z，平移直线y=4x﹣z，由图象可知当直线y=4x﹣z经过点A时，此时z最小，由，解得A（1，5），此时z=4×1﹣5=﹣1，故答案为：﹣1．14．（5分）若椭圆C：=1（m＞0）的离心率为，则其长轴长为．【解答】解：椭圆C：=1（m＞0）的离心率为，可得：，解得m=2，椭圆长轴长为：2=2．故答案为：2．15．（5分）在△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，A+C=2B，bsinA=6sinB，若符合条件的三角形有两解，则b的取值范围是．【解答】解：△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，A+C=2B，则：A+B+C=180°，解得：B=60°，由于：bsinA=6sinB，则：，解得：a=6．若符合条件的三角形有两解，则：a＞b≥asinB，即：，故答案为：．16．（5分）设S n为正项数列{a n}的前n项和，a1=1，a n+1（S n+S n+1）=n，则S16= 11．【解答】解：∵a n+1（S n+S n+1）=n，∴（S n+1﹣S n）（S n+S n+1）=n，∴﹣=n，∴=（n﹣1）+（n﹣2）+…+1+12=+1．则=+1=121，S16＞0．∴S16=11．故答案为：11．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）求分别满足下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在y轴上，焦距为8，且经过点A（﹣1，3）；（2）焦点在x轴上，短轴长为8，离心率为．【解答】解：（1）根据题意，要求椭圆的焦点在y轴上，且焦距为8，即c=4，则椭圆的焦点为（0，4）和（0，﹣4），又由椭圆经过点A（﹣1，3），则2a=+=6，则a=3，又由c=4，则b2=a2﹣c2=2，则要求椭圆的方程为+=1；（2）根据题意，要求椭圆的短轴长为8，即2b=8，则b=4，离心率为，则有e2===1﹣=，解可得a2=25；则要求椭圆的方程为：+=1．18．（12分）已知p：∃x∈R，m≥﹣cos2x+2sinx+3；q：∀x∈R，函数f（x）=lg （mx2﹣mx+1）有意义．（1）若p∨q为真，求m的取值范围；（2）若（￢p）∧q为真，求m的取值范围．【解答】解：令g（x）=﹣cos2x+2sinx+3=（sinx+1）2+1，显然g（x）≥1，故p为真时，m≥1；m=0时，f（x）=lg1有意义，m≠0时，只需，解得：0＜m＜4，故q为真时，0≤m＜4，（1）若p∨q为真，则m≥0；（2）若（￢p）∧q为真，则p假q真，则，故m∈[0，1]．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB=3bcosA．（1）求A的大小；（2）若a=7，b=5，求△ABC的面积．【解答】解：（1）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB=3bcosA，利用正弦定理：sinAsinB=3sinBcosA，解得：tanA=3，则：A=arctan3．（2）由tanA=3，解得：sinA=，cosA=，由于：a=7，b=5，利用正弦定理：，解得：sinB=，则：cosB=，所以：sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=．所以：=．20．（12分）用硬纸做一个体积为80cm3，高为4cm的长方形无盖纸盒，这个纸盒的长，宽各为多少时，表面积最小？并求出最小值．【解答】解：硬纸做一个体积为80cm3，高为4cm的长方形无盖纸盒，设这个纸盒的长，宽各为x和y时，则：4xy=80，解得：xy=20．则表面积S=xy+2（4x+4y）≥20+32，当且仅当x=y=2时表面积的最小值为20+32．21．（12分）已知数列{a n}满足a1=2，a n=2﹣（n≥2），记b n=．（1）证明：数列{b n}为等差数列；（2）求数列{a n a n+1+a n+a n+1+1}的前n项和S n．【解答】解：（1）根据题意，数列{a n}满足a n=2﹣，则有a n+1=3﹣=，变形可得=+，由于b n=，即b n=b n﹣1+，b1==，数列{b n}为等差数列，其首项为，公差为；（2）有（1）可得：b n=，即=，则a n=﹣1，则a n a n+1+a n+a n+1+1=（﹣1）（﹣1）+（﹣1）+（﹣1）+1==9（﹣）；则S n=9（1）+9（﹣）+9（﹣）+…+9（﹣）=9（1﹣）=．22．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0），圆O：x2+y2=4恰好经过椭圆C的两个焦点和两个顶点．（1）求椭圆C的方程；（2）经过原点的直线l（不与坐标轴重合）交椭圆于A，B两点，AM⊥x轴于点M，连接BM并延长交椭圆C于N，证明：以线段BN为直径的圆经过点A．【解答】解：（1）∵圆O：x2+y2=4（O为坐标原点）经过椭圆C：=1（a＞b＞0）的短轴端点和两个焦点，∴b=2，c=2，则a2=b2+c2=8．∴椭圆C的标准方程为：．（2）证明：设直线AB的方程为：y=kx，设A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），则M（x1，0），k=∴k BM==∴可设直线BN方程为：y=由得，x B+x N=﹣x1+x N=⇒x N=，y N==，∴，∴=﹣+k2x12==0．∴AB⊥AN，即以线段BN为直径的圆经过点A．。
河北省张家口市高二数学上学期期中试题文(2021年整理)
河北省张家口市2017-2018学年高二数学上学期期中试题文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（河北省张家口市2017-2018学年高二数学上学期期中试题文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为河北省张家口市2017-2018学年高二数学上学期期中试题文的全部内容。
2017—2018学年河北省张家口市高二(上）期中数学试卷(文科）一、选择题1．椭圆=1的右焦点为( ）A．（﹣1，0）B．(1，0）C．（﹣,0）D．(,0)2．命题“∃x0＞0，x02﹣2x0﹣7＞0"的否定是( ）A．∃x0≤0，x02﹣2x0﹣7≤0 B．∃x0＞0,x02﹣2x0﹣7≤0C．∀x＞0，x2﹣2x﹣7＞0 D．∀x＞0,x2﹣2x﹣7≤03．如图是2016年某大学在自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为（）A．85，84 B．87，85 C．87，84 D．84，874．椭圆=1上一点到两个焦点的距离之和为（)A．2B．4 C．2D．25．已知a，b∈R，则“a＞0”是“a+b2＞0”的（)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．给出命题：“若a n+1=a n+1,则数列{a n｝是等差数列”，对原命题，逆命题，否命题、逆否命题而言，其中真命题的个数为（)A．0 B．1 C．2 D．47．如图描述的是我国2014年四个季度与2015年前三个季度三大产业GDP累计同比贡献率，以下结论正确的是（）A．2015年前三个季度中国GDP累计比较2014年同期增速有上升的趋势B．相对于2014年,2015年前三个季度第三产业对GDP的贡献率明显增加C．相对于2014年,2015年前三个季度第二产业对GDP的贡献率明显增加D．相对于2014年,2015年前三个季度第一产业对GDP的贡献率明显增加8．若m是集合｛1,3，5，7，9，11｝中任意选取的一个元素,则椭圆=1的焦距为整数的概率为（）A．B．C．D．9．若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N=n（modm），例如10≡3（mol7）,如图所示的程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》，执行该程序框图,则输出的n=（）A．33 B．39 C．45 D．7510．已知O为原点，椭圆C：=1(a＞b＞0）的左顶点为A，上顶点为B，过椭圆C的右焦点作x轴的垂线交直线AB于点D，若直线OD的斜率是直线AB的斜率的3倍,则椭圆C的离心率为( ）A．B．C．D．11．已知直线l交椭圆+=1于A、B两点，且线段AB的中点为(﹣1，﹣1）,则l的斜率为（）A．﹣2 B．﹣C．2 D．12．给出下列3个命题p1：二进制数10111对应的十进制数为24．p2:“x≠1或y≠3”是“xy≠3"的必要不充分条件．p3:若lga+lgb=0,则a+b≥2．那么，下列命题为真命题的是（）A．p2∧p3B．p1∨（￢p3) C．p1∧p2D．（￢p2）∧p3二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上（共4小题，每小题5分,满分20分)13．（5分）椭圆=1的长轴长为．14．（5分）2017年某企业员工有200人参加“郊区植树”活动，按年龄分组：第1组［25,30），第2组[30，35），第3组[35，40)，第4组[40,45），第5组［45,50]，得到的频率分布直方图如图所示，现要从第1，3，4组中用分层抽样的方法抽取32人,则在地3组抽取的人数为．15．(5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x,y都是区间（0，2）内任意选取的一个实数，则输出的结果是1的概率为．16．（5分）设D为椭圆x2+=1上任意一点，A（0，﹣2）,B（0，2），延长AD至点P,使得｜PD|=|BD|，则点P的轨迹方程为．三、解答题;本大题共6小题,共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（共6小题，满分70分)17．（10分）设p：若x=a，则x2=4,q：若x＞a，则2x＞1．（1)写出p的逆否命题；(2）若p∧q为真,求a的值．18．（12分）已知到A，B的坐标分别为（1，0），（﹣1，0),直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为﹣,求动点P的轨迹方程,并指出点P的轨迹是什么？19．（12分)为了研究美国人用餐消费与小费支出的关系，随机抽取了7为用餐顾客进行调查,得样本数据如下：消费（单元：美元） 32 40 50 86 63 100 133小费（单元:美元） 5 6 7 9 8 9 12相关公式：==,=﹣参考数据：32×5+40×6+86×9+63×8+100×9+133×12=4524322+402+502+862+632+1002+1332=44178（1）求小费y（单位:美元）关于消费x（单位：美元）的线性回归方程=x+（其中的值精确到0。
河北省邢台市2017-2018学年高二上学期期中考试数学(理)试题 Word版含解析
2017-2018学年度第一学期高二期中考试理科数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若直线过圆的圆心，则的值为（）A. -1B. 1C. 3D. -3【答案】B【解析】分析：圆x2+y2+2x-4y=0的圆心为（-1，2）代入直线3x+y+a=0，解方程求得a的值．解答：圆x2+y2+2x-4y=0的圆心为（-1，2），代入直线3x+y+a=0得：-3+2+a=0，∴a=1，故选C。
点评：本题考查根据圆的方程求圆心的坐标的方法，用待定系数法求参数的取值范围2. 若，，若，则（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】由＝＝，得x＝，y＝－.3. 若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得，解得，选D.【点睛】直线与圆位置关系一般用圆心到直线距离d与半径关系来判断：当d>r时，直线与圆相离，当d=r时，直线与圆相切，当d<r时，直线与圆相交。
4. 圆和圆的位置关系是（）A. 相交B. 相离C. 外切D. 内切【答案】A【解析】两圆的方程可化为，两圆心距离．由两圆之间位置关系的判定可知两圆相交．故本题答案选．5. 已知直线，平面，且，，给出下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的命题个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】试题分析：对①，若∥，又，所以.又，，正确；对②，、可以平行，也可以相交，故错；对③，若，则、有可能平行，也有可能异面，也有可能相交，故错；对④，若∥，因为，所以.又，所以．正确.考点：空间直线与平面的位置关系.6. 正方体中，二面角的大小为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 135°【答案】B【解析】正方体中,∵平面，∴，就是所求二面角的平面角。
2017-2018学年河北省承德市高二上学期期中数学试卷与解析(理科)
2017-2018学年河北省承德市高二（上）期中数学试卷（理科）一、单选（本大题共12题，每小题5分，共60分）1．（5分）命题“若a＞b，则a﹣1＞b﹣1”的否命题是（）A．若a＞b，则a﹣1≤b﹣1 B．若a＞b，则a﹣1＜b﹣1C．若a≤b，则a﹣1≤b﹣1 D．若a＜b，则a﹣1＜b﹣12．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x2﹣x+1≤0 B．∀x∈R，x2﹣x+1＜0C．∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0 D．∃x0∈R，x02﹣x0+1＜03．（5分）设x∈R，则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）双曲线﹣=1的一个焦点坐标为（）A．（3，0） B．（0，3） C．（2，0） D．（0，2）5．（5分）下列命题为真命题的是（）A．若ac＞bc，则a＞b B．若a2＞b2，则a＞bC．若，则a＜b D．若，则a＜b6．（5分）已知点（1，﹣2）在抛物线y=ax2的准线上，则a的值为（）A．B．﹣ C．8 D．﹣87．（5分）若双曲线=1的一条渐近线过点（2，），则此双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．8．（5分）给定命题p：若x∈R，则；题q：若x≥0，则x2≥0．则下列各命题中，假命题的是（）A．p∨q B．（￢p）∨q C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）9．（5分）焦点为（0，6），且与双曲线﹣y2=1有相同的渐近线的双曲线方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=110．（5分）“m=1”是“直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my﹣3=0垂直”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件11．（5分）已知抛物线C：y2=4x，O为坐标原点，F为C的焦点，P为C上的一点，若|PF|=5，则△POF的面积为（）A．1 B．2 C．3 D．412．（5分）若椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1、F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为（）A．36 B．16 C．20 D．24二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若双曲线x2﹣y2=a2（a＞0）的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则a=．14．（5分）抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2﹣=1的渐近线的距离是．15．（5分）P为抛物线y2=4x上任意一点，P在y轴上的射影为Q，点M（7，8），则|PM|与|PQ|长度之和的最小值为．16．（5分）已知下列命题：①命题“∀x∈R，x2+3＜5x”的否定是“∃x∈R，x2+3＜5x”；②已知p，q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则“（￢p）∧（￢q）为真命题”；③“a＞2015”是“a＞2017”的充分不必要条件；④“若xy=0，则x=0且y=0”的逆否命题为真命题其中，所有真命题的序号是．三、解答题（解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知条件p：|1﹣|≤3；条件q：x2﹣2x+1﹣m2＞0（m＞0）若￢p是q的充分非必要条件，试求实数m的取值范围．18．（12分）已知双曲线E：．（1）若m=4，求双曲线E的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；（2）若双曲线E的离心率，求实数m的取值范围．19．（12分）已知p：∀x∈R，不等式恒成立，q：椭圆的焦点在x轴上．若命题p∧q为真命题，求实数m的取值范围．20．（12分）已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根；命题q：函数f（x）=lg[x2﹣2（m+1）x+m（m+1）]的定义域为R，若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围．21．（12分）已知椭圆C：x2+2y2=4．（I）求椭圆C的离心率；（II）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．22．（12分）椭圆C：过点P（，1）且离心率为，F为椭圆的右焦点，过F的直线交椭圆C于M，N两点，定点A（﹣4，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若△AMN面积为3，求直线MN的方程．2017-2018学年河北省承德市高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、单选（本大题共12题，每小题5分，共60分）1．（5分）命题“若a＞b，则a﹣1＞b﹣1”的否命题是（）A．若a＞b，则a﹣1≤b﹣1 B．若a＞b，则a﹣1＜b﹣1C．若a≤b，则a﹣1≤b﹣1 D．若a＜b，则a﹣1＜b﹣1【解答】解：命题“若a＞b，则a﹣1＞b﹣1”的否命题是“若a≤b，则a﹣1≤b﹣1”．故选：C．2．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x2﹣x+1≤0 B．∀x∈R，x2﹣x+1＜0C．∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0 D．∃x0∈R，x02﹣x0+1＜0【解答】解：命题“∀x∈R，x2+x+1＞0“的否定是∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0，故选：C．3．（5分）设x∈R，则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由2﹣x≥0得x≤2，由|x﹣1|≤1得﹣1≤x﹣1≤1，得0≤x≤2．则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的必要不充分条件，故选：B．4．（5分）双曲线﹣=1的一个焦点坐标为（）A．（3，0） B．（0，3） C．（2，0） D．（0，2）【解答】解：根据题意，双曲线﹣=1中，其焦点在y轴上，a=2，b=，则c==3，其焦点坐标为（0，±3）；故选：B．5．（5分）下列命题为真命题的是（）A．若ac＞bc，则a＞b B．若a2＞b2，则a＞bC．若，则a＜b D．若，则a＜b【解答】解：由ac＞bc，当c＜0时，有a＜b，选项A错误；若a2＞b2，不一定有a＞b，如（﹣3）2＞（﹣2）2，但﹣3＜﹣2，选项B错误；若，不一定有a＜b，如，当2＞﹣3，选项C错误；若，则，即a＜b，选项D正确．故选：D．6．（5分）已知点（1，﹣2）在抛物线y=ax2的准线上，则a的值为（）A．B．﹣ C．8 D．﹣8【解答】解：点（1，﹣2）在抛物线y=ax2的准线上，可得准线方程为：y=﹣，即﹣，解得a=．故选：A．7．（5分）若双曲线=1的一条渐近线过点（2，），则此双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．【解答】解：双曲线=1的渐近线方程为y=±x，∵双曲线=1的一条渐近线过点（2，），∴（2，）在y=x上，即=，即=，则双曲线的离心率e=====，故选：B．8．（5分）给定命题p：若x∈R，则；题q：若x≥0，则x2≥0．则下列各命题中，假命题的是（）A．p∨q B．（￢p）∨q C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）【解答】解：对于命题p：若x∈R，则；显然当x≤0时，不成立，故p假对于命题q：若x≥0，则x2≥0．显然q真∴利用复合命题的真假判定p∨q为真，（￢p）∨q为真，（￢p）∧q为真，（￢p）∧（￢q）为假故选：D．9．（5分）焦点为（0，6），且与双曲线﹣y2=1有相同的渐近线的双曲线方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：根据题意，要求双曲线与﹣y2=1有相同的渐近线，可以设其方程为：﹣y2=k，又由其焦点为（0，6），则其焦点在y轴上且c=6，必有k＜0，故其标准方程为：﹣=1，则有c2=（﹣k）+（﹣2k）=36，解可得k=﹣12；故要求双曲线的标准方程为：﹣=1；故选：B．10．（5分）“m=1”是“直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my﹣3=0垂直”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当m=0时，两条直线分别化为：﹣y+1=0，x﹣1=0，此时两条直线垂直；当m=时，两条直线分别化为：x+2=0，6x+y﹣6=0，此时两条直线不垂直；当m≠0，时，两条直线分别化为：，y=，若此时两条直线垂直，则，解得m=﹣1．综上可得：直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my﹣3=0垂直的充要条件是：m=0或﹣1．因此“m=1”是“直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my﹣3=0垂直”的既不充分也不必要条件．故选：D．11．（5分）已知抛物线C：y2=4x，O为坐标原点，F为C的焦点，P为C上的一点，若|PF|=5，则△POF的面积为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：F（1，0），设P（m，n），则|PF|=m+1=5，∴m=4，∴n=±4，∴S==2．△POF故选：B．12．（5分）若椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1、F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为（）A．36 B．16 C．20 D．24【解答】解：∵椭圆的方程：，则a=6，b=4，c==2．由椭圆的定义：|PF1|+|PF2|=2a=12，由勾股定理可知：|PF1|2+|PF2|2=（2c）2=80，∴|PF1||PF2|=32．∴△PF1F2的面积=|PF1||PF2|=16．△PF1F2的面积为16，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若双曲线x2﹣y2=a2（a＞0）的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则a=．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），故双曲线x2﹣y2=a2（a＞0）的右焦点坐标为（1，0），故c=1，由双曲线x2﹣y2=a2的标准方程为：，故2a2=1，又由a＞0，∴a=．故答案为：14．（5分）抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2﹣=1的渐近线的距离是．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点在x轴上，且p=2，∴抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），由题得：双曲线x2﹣=1的渐近线方程为x±y=0，∴F到其渐近线的距离d==．故答案为：．15．（5分）P为抛物线y2=4x上任意一点，P在y轴上的射影为Q，点M（7，8），则|PM|与|PQ|长度之和的最小值为9．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线方程为：直线x=﹣1，∴|PQ|=|PF|﹣1连结MF，则|PM|+|PF|的最小值为|MF|==10．∴|PM|+|PQ|的最小值为10﹣1=9．故答案为：9．16．（5分）已知下列命题：①命题“∀x∈R，x2+3＜5x”的否定是“∃x∈R，x2+3＜5x”；②已知p，q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则“（￢p）∧（￢q）为真命题”；③“a＞2015”是“a＞2017”的充分不必要条件；④“若xy=0，则x=0且y=0”的逆否命题为真命题其中，所有真命题的序号是②．【解答】解：①命题“∀x∈R，x2+3＜5x”的否定是“∃x∈R，x2+3≥5x”，故错误；②已知p，q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则p，q均为假命题，则￢p，￢q均为真命题，则“（￢p）∧（￢q）为真命题”，正确；③“a＞2015”是“a＞2017”的必要不充分条件，故错误；④“若xy=0，则x=0且y=0”为假命题，故其逆否命题为假命题，故错误；故答案为：②．三、解答题（解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知条件p：|1﹣|≤3；条件q：x2﹣2x+1﹣m2＞0（m＞0）若￢p是q的充分非必要条件，试求实数m的取值范围．【解答】解：条件P中不等式解得﹣3≤x≤9，条件q中的不等式解得x＜1﹣m或x＞1+m，若￢p是q的充分非必要条件，可以推出￢q是p的充分非必要条件，分析可得：，解得0＜m≤4．18．（12分）已知双曲线E：．（1）若m=4，求双曲线E的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；（2）若双曲线E的离心率，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵双曲线E：．∴m=4时，双曲线方程转化为：，∴a=2，b=，c==3，∴双曲线的焦点坐标为F1（﹣3，0），F2（3，0），双曲线的顶点坐标A1（﹣2，0），A2（2，0），双曲线的渐近线方程为：y=．（2）∵双曲线E：，∴==1+，∵，∴，解得5＜m＜10，∴实数m的取值范围是（5，10）．19．（12分）已知p：∀x∈R，不等式恒成立，q：椭圆的焦点在x轴上．若命题p∧q为真命题，求实数m的取值范围．【解答】解：∵p：∀x∈R，不等式恒成立，∴（x﹣）2+，即，解得：；q：椭圆的焦点在x轴上，∴m﹣1＞3﹣m＞0，解得：2＜m＜3，由p∧q为真知，p，q皆为真，解得．20．（12分）已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根；命题q：函数f（x）=lg[x2﹣2（m+1）x+m（m+1）]的定义域为R，若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围．【解答】解：命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根，∴△=m2﹣4＞0，解得m＞2或m＜﹣2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）命题q：即不等式x2﹣2（m+1）x+m（m+1）＞0对任意的实数x恒成立，∴△=4（m+1）2﹣4m（m+1）＜0，解得m＜﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）若“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p与q必然一真一假，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∴或，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）解得m＞2或﹣2≤m＜﹣1．∴实数m的取值范围是m＞2或﹣2≤m＜﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）21．（12分）已知椭圆C：x2+2y2=4．（I）求椭圆C的离心率；（II）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．【解答】解：（I）由题意，椭圆C的标准方程为．所以a2=4，b2=2，从而c2=a2﹣b2=2．因此a=2，c=．故椭圆C的离心率e=．（II）设点A，B的坐标分别为（t，2），（x0，y0），其中x0≠0．因为OA⊥OB，所以=0，即tx0+2y0=0，解得t=．又x02+2y02=4，所以|AB|2=（x0﹣t）2+（y0﹣2）2=（x0+）2+（y0﹣2）2=++4=（0≤4）．因为（0≤4）．，当时等号成立，所以|AB|2≥8．故线段AB长度的最小值为2．22．（12分）椭圆C：过点P（，1）且离心率为，F为椭圆的右焦点，过F的直线交椭圆C于M，N两点，定点A（﹣4，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若△AMN面积为3，求直线MN的方程．【解答】解：（1）由题意可得：=1，=，又a2=b2+c2，联立解得：a2=6，b2=2，c=2．∴椭圆C的方程为：．（2）F（2，0）．①若MN⊥x轴，把x=2代入椭圆方程可得：+=1，解得y=±．==2≠3，舍去．则S△AMN②若MN与x轴重合时不符合题意，舍去．因此可设直线MN的方程为：my=x ﹣2．把x=my+2代入椭圆方程可得：（m2+3）y2+4my﹣2=0．∴y1+y2=﹣，y1•y2=，∴|y1﹣y2|===．==3×=3，解得m=±1．则S△AMN∴直线MN的方程为：y=±（x﹣2）．。
河北省邢台市2017-2018学年高二(上)期中数学模拟试卷(理科)(解析版)
2017-2018学年河北省邢台市高二（上）期中数学试卷（理科）一．选择题（共11小题，满分55分，每小题5分）1．设圆C1：x2+y2=1 与C2：（x﹣2）2+（y+2）2=1，则圆C1与C2的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内含2．已知向量=（2m+1，3，m﹣1），=（2，m，﹣m），且∥，则实数m的值等于（）A．B．﹣2C．0D．或﹣23．过点P（2，1）且被圆C：x2+y2﹣2x+4y=0 截得弦长最长的直线l的方程是（）A．3x﹣y﹣5=0B．3x+y﹣7=0C．x﹣3y+5=0D．x+3y﹣5=04．圆（x+1）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．外切C．相交D．相离5．设命题：若平面α内有无数条直线与平面β平行，则平面α与β平行，则该命题与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．36．已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在表面积为16π的球O的球面上，AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，设二面角P﹣AB﹣C的大小为θ，则sinθ=（）A．B．C．D．7．若有以下说法：①相等向量的模相等；②若和都是单位向量，则=；③对于任意的和，|+|≤||+||恒成立；④若∥，∥，则∥．其中正确的说法序号是（）A．①③B．①④C．②③D．③④8．圆x2+y2+4y=0与直线3x+4y+2=0相交于A、B两点，则线段AB的垂直平分线的方程是（）A．4x﹣3y﹣6=0B．4x+3y+6=0C．3x+4y+8=0D．4x﹣3y﹣2=09．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，△PDC，△PBC，△PAB，△PDA 为全等的等边三角形，E、F分别为PA、PD的中点，在此几何体中，下列结论中错误的为（）A．直线BE与直线CF共面B．直线BE与直线AF是异面直线C．平面BCE⊥平面PADD．面PAD与面PBC的交线与BC平行10．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为（）A．2B．2C．D．11．如图（二），需在正方体的盒子内镶嵌一个小球，使得镶嵌后三视图均为图（一）所示，且面A1C1B截得小球的截面面积为，则该小球的体积为（）A．B．C．D．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）12．直线y=x+1与圆x2+y2+2y﹣3=0交于A，B两点，则|AB|=．13．已知直线l的一个法向量是，则l的倾斜角的大小是．14．如图甲是一个正三棱柱形的容器，高为2a，内装水若干．现将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图乙所示，这时水面恰好为中截面，则图甲中水面的高度为．15．在平面直角坐标系xOy中，已知点P为直线l：kx﹣y+4=0上一点，点M，N在圆C：（x﹣1）2+y2=4上运动，且满足|MN|=2，若=，则实数k的取值范围是．三．解答题（共6小题，满分70分）16．（10分）一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个三棱柱的表面积和体积．17．（12分）已知圆C同时满足下列三个条件：①与y轴相切；②在直线y=x上截得弦长为；③圆心在直线x﹣3y=0上，求圆C的方程．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点．（1）在棱PB上是否存在一点Q，使得QM∥面PAD？若存在，指出点Q的位置并证明；若不存在，请说明理由；（2）求点D到平面PAM的距离．19．（12分）如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB，E，F分别为PB，PD的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥平面PBD；（Ⅱ）求异面直线PC与AE所成角的余弦值；（Ⅲ）若平面AEF与棱PC交于点M，求的值．20．（12分）求过两圆O1：x2+y2﹣6x=0与O2：x2+y2=4的交点．（1）且过M（2，﹣2）的圆C1的方程；（2）且圆心在直线x+y﹣1=0上的圆C2的方程．21．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中点．（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求直线AC与PB所成角的余弦值；（III）求二面角A﹣MC﹣B的余弦值．2017-2018学年河北省邢台市高二（上）期中数学mn试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（共11小题，满分55分，每小题5分）1．设圆C1：x2+y2=1 与C2：（x﹣2）2+（y+2）2=1，则圆C1与C2的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内含【分析】求出两圆的圆心与半径，利用圆心距与半径之间的关系进行判断即可．【解答】解：圆心C1：（0，0），C2：（2，﹣2），半径R=1，r=1，则|C1C2|===4＞1+1，即圆C1与C2的位置关系是相离，故选：A．【点评】本题主要考查圆与圆位置关系的判断，结合圆心距和半径之间的关系是解决本题的关键．2．已知向量=（2m+1，3，m﹣1），=（2，m，﹣m），且∥，则实数m的值等于（）A．B．﹣2C．0D．或﹣2【分析】根据两向量平行的充要条件建立等式关系，然后解二元一次方程组即可求出m的值．【解答】解：∵空间平面向量=（2m+1，3，m﹣1），=（2，m，﹣m），且∥，∴（2m+1，3，m﹣1）=λ （2，m，﹣m）=（2λ，λm，﹣λm），∴，解得m=﹣2．故选：B．【点评】本题主要考查了平空间向量共线（平行）的坐标表示，以及解二元一次方程组，属于基础题．3．过点P（2，1）且被圆C：x2+y2﹣2x+4y=0 截得弦长最长的直线l的方程是（）A．3x﹣y﹣5=0B．3x+y﹣7=0C．x﹣3y+5=0D．x+3y﹣5=0【分析】当过点P的直线过圆心时，截得的弦长正是圆的直径，为弦长最长的情况，进而根据圆的方程求得圆心坐标，根据圆心和点P的坐标求得所求直线的方程．【解答】解：依题意可知过点P和圆心的直线被圆截得的弦长最长，整理圆方程得（x﹣1）2+（y+2）2=5，圆心为（1，﹣2）．又P（2，1）和圆心（1，﹣2），可求出过点P和圆心的直线的斜率为k==3∴过点P和圆心的直线方程为y﹣1=3（x﹣2），整理得3x﹣y﹣5=0故选：A．【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系．考查了学生分析问题和解决问题的能力．4．圆（x+1）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．外切C．相交D．相离【分析】由两圆的方程可得圆心坐标及其半径，判断圆心距与两圆的半径和差的关系即可得出．【解答】解：圆C（x+1）2+y2=4的圆心C（﹣1，0），半径r=2；圆M（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的圆心M（2，1），半径R=3．∴|CM|==，R﹣r=3﹣2=1，R+r=3+2=5．∴R﹣r＜＜R+r．∴两圆相交．故选：C．【点评】本题考查了判断两圆的位置关系的方法，属于基础题．5．设命题：若平面α内有无数条直线与平面β平行，则平面α与β平行，则该命题与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】判断原命题的真假，即可得到逆否命题的真假，判断逆命题的真假即可得到否命题的真假，即可得到结果．【解答】解：命题：若平面α内有无数条直线与平面β平行，则平面α与β平行，显然不正确，如果这无数条直线是平行线，两个平面可能平行；所以原命题是假命题；则逆否命题是假命题；命题的逆命题是：平面α与β平行，则平面α内有无数条直线与平面β平行，是真命题，所以否命题也是真命题，故真命题的个数是2．故选：C．【点评】本题考查命题的真假的判断，四种命题的真假关系，直线与平面，平面与平面平行的简单性质的应用，是基本知识的考查．6．已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在表面积为16π的球O的球面上，AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，设二面角P﹣AB﹣C的大小为θ，则sinθ=（）A．B．C．D．【分析】AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，△ABC为等腰直角三角形，P在面ABC上的射影为圆心O，过圆心O作OD⊥AB于D，连结PD，则∠PDO为二面角P﹣AB﹣C的平面角．【解答】解：如图所示：由已知得球的半径为2，AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，△ABC为等腰直角三角形，P在面ABC上的射影为圆心O，过圆心O作OD⊥AB于D，连结PD，则∠PDO为二面角P﹣AB﹣C的平面角，在△ABC△中，PO=2，OD=BC=，∴，sinθ=．故选：C．【点评】本题考查了与球有关的组合体，关键是要画出图形，找准相应的线线、线面位置关系．属于难题．7．若有以下说法：①相等向量的模相等；②若和都是单位向量，则=；③对于任意的和，|+|≤||+||恒成立；④若∥，∥，则∥．其中正确的说法序号是（）A．①③B．①④C．②③D．③④【分析】根据向量相等的定义，可得①正确；根据单位向量的定义，得到②不正确；根据向量加法法则，可得不等式|+|≤||+||恒成立，从而③正确；根据零向量与任意非零向量平行，可得④不正确．由此即可得到本题的答案．【解答】解：根据定义，大小相等且方向相同的两个向量相等．因此相等向量的模相等，故①正确；因为单位向量的模等于1，而方向不确定．所以若和都是单位向量，则不一定有=成立，故②不正确；根据向量加法的三角形法则，可得对于任意的和，都有|+|≤||+||成立，当且仅当和方向相同时等号成立，故③正确；若=，则有∥且∥，但是∥不成立，故④不正确．综上所述，正确的命题是①③故选：A．【点评】本题给出关于向量概念的几个命题，要我们找出其中的真命题，着重考查了向量的定义、单位向量和向量的加减法法则等知识，属于中档题．8．圆x2+y2+4y=0与直线3x+4y+2=0相交于A、B两点，则线段AB的垂直平分线的方程是（）A．4x﹣3y﹣6=0B．4x+3y+6=0C．3x+4y+8=0D．4x﹣3y﹣2=0【分析】由题意可得所求直线为垂直于直线3x+4y+2=0且过圆心（0，﹣2）的直线，由直线的垂直关系可得斜率，进而可得方程．【解答】解：由直线和圆的位置关系可得：线段AB的垂直平分线是垂直于直线3x+4y+2=0且过圆心（0，﹣2）的直线，由直线的垂直关系可得所求直线的向量为，故方程为：y﹣（﹣2）=（x﹣0），即4x﹣3y﹣6=0故选：A．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，得出直线过圆心且垂直于已知直线，是解决问题的关键，属中档题．9．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，△PDC，△PBC，△PAB，△PDA 为全等的等边三角形，E、F分别为PA、PD的中点，在此几何体中，下列结论中错误的为（）A．直线BE与直线CF共面B．直线BE与直线AF是异面直线C．平面BCE⊥平面PADD．面PAD与面PBC的交线与BC平行【分析】几何体的展开图，复原出几何体，利用异面直线的定义判断A，B的正误；利用直线与平面垂直的判定定理判断C的正误；利用直线与平面平行的判定、性质定理判断D的正误．【解答】解：画出几何体的图形，如图，由题意可知，A，直线BE与直线CF共面，正确，因为E，F是PA与PD的中点，可知EF∥AD，所以EF∥BC，直线BE与直线CF是共面直线；B，直线BE与直线AF异面；满足异面直线的定义，正确．C，因为△PAB是等腰三角形，BE与PA的关系不能确定，所以平面BCE⊥平面PAD，不正确．D，∵AD∥BC，∴AD∥平面PBC，∴面PAD与面PBC的交线与BC平行，正确．故选：C．【点评】本题是中档题，考查空间图形中直线与直线、平面的位置关系，考查异面直线的判断，基本知识与定理的灵活运用．10．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为（）A．2B．2C．D．【分析】先由题意求得直线方程，再由圆的方程得到圆心和半径，再求得圆心到直线的距离，即可求解．【解答】解：根据题意：直线方程为：y=x，∵圆x2+y2﹣4y=0，∴圆心为：（0，2），半径为：2，圆心到直线的距离为：d=1，∴弦长为2=2，故选：A．【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系其其方程的应用，是常考题型，属中档题．11．如图（二），需在正方体的盒子内镶嵌一个小球，使得镶嵌后三视图均为图（一）所示，且面A1C1B截得小球的截面面积为，则该小球的体积为（）A．B．C．D．【分析】设正方体盒子的棱长为2a，则内接球的半径为a，根据平面A1BC1是正三角形，所求截面的面积是该正三角形的内切圆面积，由此求出内切圆的半径和面积，即可求出内接球半径a和体积．【解答】解：设正方体盒子的棱长为2a，则内接球的半径为a，平面A1BC1是边长为2a的正三角形，且球与以点B1为公共点的三个面的切点恰为△A1BC1三边的中点，∴所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，则由图得，△A1BC1内切圆的半径是a×tan30°=a，则所求的截面圆的面积是π×a×a=a2=a=1•13=．∴该小球的体积为V球=故选：B．【点评】本题考查了正方体和它的内接球几何结构特征的问题，关键是想象出截面图的形状，是中档题．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）12．直线y=x+1与圆x2+y2+2y﹣3=0交于A，B两点，则|AB|=2．【分析】求出圆的圆心与半径，通过点到直线的距离以及半径、半弦长的关系，求解即可．【解答】解：圆x2+y2+2y﹣3=0的圆心（0，﹣1），半径为：2，圆心到直线的距离为：=，所以|AB|=2=2．故答案为：2．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，弦长的求法，考查计算能力．13．已知直线l的一个法向量是，则l的倾斜角的大小是．【分析】设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π）．设直线的方向向量为=（x，y），则=0，可得tanθ=．【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π）．设直线的方向向量为=（x，y），则=x﹣y=0，∴tanθ==，解得θ=．故答案为：．【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系、三角函数求值、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．如图甲是一个正三棱柱形的容器，高为2a，内装水若干．现将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图乙所示，这时水面恰好为中截面，则图甲中水面的高度为．【分析】先求出乙图中水的体积，然后求出甲图中水的高度即可．【解答】解：设正三棱柱的底面积为S，将图乙竖起得图丙，V=S•2a﹣（S）•2a=aS．则V水=V柱﹣设图甲中水面的高度为x，则S•x=aS，得x=a．故答案为：【点评】本题考查棱柱的体积，考查学生的转化思想，空间想象能力，是基础题．15．在平面直角坐标系xOy中，已知点P为直线l：kx﹣y+4=0上一点，点M，N在圆C：（x﹣1）2+y2=4上运动，且满足|MN|=2，若=，则实数k的取值范围是．【分析】首先由向量相等得到四边形OMPN为平行四边形，可得到线段MN和线段OP的重点重合，并设这两条线段的重点为点Q（x0，y0），可得出点P的坐标，并将点P的坐标代入直线方程，可得到点Q所在直线方程为kx﹣y+2=0，其次利用勾股定理得到CQ=，转化为圆心C到直线kx﹣y+2=0的距离小于或等于，利用点到直线的距离公式列有关k的不等式解出k的取值范围即可．【解答】解：易知，圆心C的坐标为（1，0），设线段MN的中点为点Q（x0，y0），由于，所以四边形OMPN为平行四边形，则点Q也是线段OP的中点，则点P的坐标为（2x0，2y0），点P在直线kx﹣y+4=0上，则有2kx0﹣2y0+4=0，化简得kx0﹣y0+2=0，所以，点Q在直线kx﹣y+2=0上，由于点Q是线段MN的中点，所以，CQ⊥MN，且CQ=，可视为圆心C到直线kx﹣y+2=0上一点的距离等于，所以，圆心C到直线kx﹣y+2=0的距离，即，化简得2k2﹣4k﹣1≥0，解得或，故答案为：．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，主要是将向量的关系进行转化，其次就是将两点间的距离转化为点到直线的距离，是解本题的关键，属于难题．三．解答题（共6小题，满分70分）16．（10分）一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个三棱柱的表面积和体积．【分析】由正三棱柱的三视图知，该正三棱柱的侧棱长4cm，上下底面正三角形的高为2cm，由此能求出该三棱柱的表面积和体积．【解答】解：由正三棱柱的三视图知，该正三棱柱的形状如图所示：且AA′=BB′=CC′=4cm，（2分）正三角形ABC和正三角形A′B′C′的高为2cm．（4分）∴正三角形ABC的边长为|AB|==4．（6分）∴该三棱柱的表面积为S=3×4×4+2××42sin60°=48+8（cm2）．（10分）AA′|=×42×sin60°×4=16（cm3）．体积为V=S底•|故这个三棱柱的表面积为（48+8）cm2，体积为16cm3．（14分）【点评】本题考查由几何体的三视图求几何体的体积、表面积的求法，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意空间想象能力的培养．17．（12分）已知圆C同时满足下列三个条件：①与y轴相切；②在直线y=x上截得弦长为；③圆心在直线x﹣3y=0上，求圆C的方程．【分析】由题意，设圆心为（3a ，a ），半径r=3|a |，利用弦长公式求解弦长为；可得a 的值，即得求圆C 的方程．【解答】解：圆心在直线x ﹣3y=0上，与y 轴相切， 设圆心为（3a ，a ），半径r=3|a |，圆心到直线y=x 的距离d=弦长=2，即9a 2﹣2a 2=7． ∴a 2=1，即a=±1，3a=±3．∴圆心的坐标C 分别为（3，1）和（﹣3，﹣1），故所求圆的方程为（x ﹣3）2+（y ﹣1）2=9或（x +3）2+（y +1）2=9【点评】本题考查圆的方程，解题时要注意点到直线的距离公式和勾股定理的合理运用．结合图形进行求解会收到良好的效果．18．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD ，侧面PAD 是边长为2的正三角形，且与底面ABCD 垂直，底面ABCD 是∠ABC=60°的菱形，M 为PC 的中点．（1）在棱PB 上是否存在一点Q ，使得QM ∥面PAD ？若存在，指出点Q 的位置并证明；若不存在，请说明理由；（2）求点D 到平面PAM 的距离．【分析】（1）取棱PB 的中点Q ，连结QM ，QA ，又M 为PC 的中点，证明QM ∥AD ，利用直线与平面平行的判定定理证明QM ∥面PAD ．（2）设点D 到平面PAC 的距离为h ，由V D ﹣PAC =V P ﹣ACD ，通过证明以及计算即可求点D 到平面PAM 的距离．【解答】解：（1）当点Q 为棱PB 的中点时，QM ∥面PAD ，证明如下…（1分）取棱PB 的中点Q ，连结QM ，QA ，又M 为PC 的中点，所以，在菱形ABCD 中AD ∥BC 可得QM ∥AD…（3分） 又QM ⊄面PAD ，AD ⊂面PAD 所以QM ∥面PAD…（2）点D 到平面PAM 的距离即点D 到平面PAC 的距离， 由（Ⅰ）可知PO ⊥AD ，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD=AD ，PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD ， 即PO 为三棱锥P ﹣ACD 的体高．…（7分）在Rt △POC 中，，，在△PAC 中，PA=AC=2，，边PC 上的高AM=，所以△PAC 的面积，…（9分）设点D 到平面PAC 的距离为h ，由V D ﹣PAC =V P ﹣ACD 得 …（10分），又，所以，…（11分）解得，所以点D 到平面PAM 的距离为．…（12分）【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，点线面距离的求法，等体积的方法的应用，考查空间想象能力以及计算能力．19．（12分）如图，在正四棱锥P ﹣ABCD 中，PA=AB ，E ，F 分别为PB ，PD 的中点． （Ⅰ）求证：AC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）求异面直线PC 与AE 所成角的余弦值；（Ⅲ）若平面AEF 与棱PC 交于点M ，求的值．【分析】（Ⅰ）设AC∩BD=O，则O为底面正方形ABCD中心．连接PO，推导出PO⊥AC，BD⊥AC，由此能证明AC⊥平面PBD．（Ⅱ）由OA，OB，OP两两互相垂直，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出异面直线PC与AE所成角的余弦值．（Ⅲ）连接AM．设，其中λ∈[0，1]，求出平面AEMF的法向量，利用向量法能求出．【解答】（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）设AC∩BD=O，则O为底面正方形ABCD中心．连接PO．因为P﹣ABCD为正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD．（1分）所以PO⊥AC．（2分）又BD⊥AC，且PO∩BD=O，（3分）所以AC⊥平面PBD．（4分）（Ⅱ）因为OA，OB，OP两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系O﹣xyz．因为PB=AB，所以Rt△POB≌Rt△AOB．所以OA=OP．（6分）设OA=2．所以A（2，0，0），B（0，2，0），C（﹣2，0，0），D（0，﹣2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），F（0，﹣1，1）．所以=（﹣2，1，1），=（﹣2，0，﹣2）．（7分）所以|cos＜＞|==．即异面直线PC与AE所成角的余弦值为．（9分）（Ⅲ）连接AM．设，其中λ∈[0，1]，则==（﹣2λ，0，﹣2λ），（10分）所以==（﹣2﹣2λ，0，2﹣2λ）．设平面AEMF的法向量为=（x，y，z），又=（﹣2，﹣1，1），所以，即所以y=0．令x=1，z=2，所以=（1，0，2）．（12分）因为AM⊂平面AEF，所以=0，（13分）即﹣2﹣2λ+2（2﹣2λ）=0，解得，所以．（14分）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查异面直线所成角的求法，考查线段比值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想，考查运用意识，是中档题．20．（12分）求过两圆O1：x2+y2﹣6x=0与O2：x2+y2=4的交点．（1）且过M（2，﹣2）的圆C1的方程；（2）且圆心在直线x+y﹣1=0上的圆C2的方程．【分析】（1）设过两圆交点的圆系方程为（x2+y2﹣6x）+λ（x2+y2﹣4）=0（λ≠﹣1）．由圆C1过点M（2，﹣2），求出λ=1，由此能求出圆C1的方程．（2）设圆C2的方程为（1+λ）x2+（1+λ）y2﹣6x﹣4λ=0，由圆心C2（，0）在直线x+y﹣1=0上，能求出圆C2的方程．【解答】解：（1）∵圆O1：x2+y2﹣6x=0与O2：x2+y2=4，∴设过两圆交点的圆系方程为（x2+y2﹣6x）+λ（x2+y2﹣4）=0（λ≠﹣1）．∵圆C1过点M（2，﹣2），∴（4+4﹣12）+λ（4+4﹣4）=0，解得λ=1，∴圆C1的方程是x2+y2﹣3x﹣2=0．（2）∵圆C2的方程为（1+λ）x2+（1+λ）y2﹣6x﹣4λ=0，且圆心C2（，0）在直线x+y﹣1=0上，∴﹣1=0，解得λ=2，∴圆C2的方程是x2+y2﹣2x﹣=0．【点评】本题考查圆的方程的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．21．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中点．（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求直线AC与PB所成角的余弦值；（III）求二面角A﹣MC﹣B的余弦值．【分析】（Ⅰ）推导出AD⊥DC，PD⊥DC，从而CD⊥平面PAD，由此能证明面PAD⊥面PCD．（Ⅱ）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AC与PB所成角的余弦值．（III）求出平面ACM的法向量和平面BCM的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣MC﹣B的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，∴AD⊥DC，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PD⊥DC，∵PD∩AD=D，∴CD⊥平面PAD，∵CD⊂平面PCD，∴面PAD⊥面PCD．解：（Ⅱ）∵四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中点，∴以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），B（0，2，0），=（1，1，0），=（0，2，﹣1），设直线AC与PB所成角为θ，则cosθ===．∴直线AC与PB所成角的余弦值为．（III）A（0，0，0），M（0，1，），C（1，1，0），B（0，2，0），=（1，1，0），=（0，1，），=（1，﹣1，0），=（0，﹣1，），设平面ACM的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣1，2），设平面BCM的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，1，2），设二面角A﹣MC﹣B的平面角为α，则cosα===．∵二面角A﹣MC﹣B是钝二面角，∴二面角A﹣MC﹣B的余弦值为﹣．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线线角的余弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．。
2017-2018学年高二年级数学期末试卷(理数)含答案
2．若 x 2m2 3 是 1 x 4 的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围是（ ）
10．已知函数 f x 1 x3 1 mx2 4x 3 在区间 1,2上是增函数，则实数 m 的取值范围是（
32
A . 3,3
B . ,3 3, C . ,1 1,
，则满足
11．已知函数
f
x
3|x1| , x2 2x
x 1,
0, x
0
若关于
x
的方程 f
x2
a
1f
x
a
0有
7
个不
等实根，则实数 a 的取值范围是(
)
A . 2,1
B .2,4
C . 2,1
D . ,4
12.
已知函数
A . loga c logb c B . logc a logc b C . a c bc
D . ca cb
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 9．已知函数 f x 2 xm 1 为偶函数，记 a f log0.5 3 ， b f log2 5 ， c f 2m，则
由题设知
，
则
解得 的横坐标分别是 则 有 又
，又 于是
， ，
，
，即 l 与直线 平行， 一定相交，分别联立方
设
是平面
的法向量，则
，即
。
对任意
，要使
与
的面积之比是常数，只需 t 满足
可取
，故，所以 与平面
20. （1）依题意可得
所成角的正弦值为 ---------12 分 ，
2017-2018学年河北省唐山一中高二(上)期中理科数学试题解析版
2017-2018学年河北省唐山一中高二（上）期中理科数学试卷解析版一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）直线MN的斜率为2，其中点N（1，﹣1），点M在直线y=x+1上，则（）A．M（5，7）B．M（4，5） C．M（2，1） D．M（2，3）【分析】设M的坐标为（a，b），根据题意可得b=a+1①，=2②，联立①②解可得a=4，b=5，即可得答案．【解答】解：根据题意，设M的坐标为（a，b），若点M在直线y=x+1上，则有b=a+1，①若直线MN的斜率为2，则有=2，②联立①②解可得a=4，b=5，即M的坐标为（4，5）；故选：B．【点评】本题考查直线的斜率计算，关键是掌握直线的斜率计算公式．2．（5分）过原点且与圆x2+y2﹣4x+3=0相切的直线的倾斜角为（）A．或B．或C．或D．或【分析】由已知圆的方程求出圆心坐标和圆的半径，设出直线l的方程，由圆心到l的距离等于半径求得斜率，则直线l的倾斜角可求．【解答】解：由x2+y2﹣4x+3=0，得（x﹣2）2+y2=1，∴圆的圆心为（2，0），半径为1，设直线l的方程为kx﹣y=0，由圆与直线相切得：=1，解得k=．设直线l的倾斜角为θ（0≤θ＜π），由tanθ=±，得θ=或．∴直线l的倾斜角为或．故选：B．【点评】本题考查了圆的切线方程，训练了点到直线的距离公式，考查了直线的倾斜角和斜率的关系，是中档题．3．（5分）由直线y=x+2上的点向圆（x﹣4）2+（y+2）2=1引切线，则切线长的最小值为（）A．B．C．D．【分析】要使切线长最小，必须直线y=x+2上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心（4，﹣2）到直线的距离m，求出m，由勾股定理可求切线长的最小值．【解答】解：要使切线长最小，必须直线y=x+2上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心（4，﹣2）到直线的距离m，由点到直线的距离公式得m==4，由勾股定理求得切线长的最小值为=．故选B．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式、勾股定理得应用．解题的关键是理解要使切线长最小，必须直线y=x+2上的点到圆心的距离最小．4．（5分）平面内动点P到两点A、B距离之比为常数λ（λ＞0，λ≠1），则动点P的轨迹叫做阿波罗尼斯圆，若已知A（﹣2，0），B（2，0），λ=，则此阿波尼斯圆的方程为（）A．x2+y2﹣12x+4=0 B．x2+y2+12x+4=0C．x2+y2﹣x+4=0 D．x2+y2+x+4=0【分析】由题意，设P（x，y），则=，化简可得结论．【解答】解：由题意，设P（x，y），则=，化简可得x2+y2+x+4=0，故选：D．【点评】本题考查轨迹方程，考查学生的计算能力，比较基础．5．（5分）已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【分析】利用双曲线的离心率，求出a，b的关系，然后求解双曲线的渐近线方程．【解答】解：双曲线的离心率为，可得=，即，可得．则该双曲线的渐近线方程为：x=0．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．6．（5分）已知点P在抛物线x2=4y上，则当点P到点Q（1，2）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）A．（2，1）B．（﹣2，1）C．D．【分析】过点P作PN⊥l，连接FP，利用抛物线的定义可得|PN|=|FP|．，可知当PQ∥y轴时，点P、Q、N三点共线，因此，|PQ|+|PF|取得最小值|QN|，求出即可．【解答】解：抛物线x2=4y的焦点F的坐标为F（0，1），准线方程为y=﹣1，过点P作PN⊥l，垂足为N，连接FP，则|PN|=|FP|．故当PQ∥y轴时，|PQ|+|PF|取得最小值|QN|=2﹣（﹣1）=3．设点P（1，y），代入抛物线方程12=4y，解得y=，∴P（1，）．故选D．【点评】本题考查抛物线的简单性质，着重考查抛物线的定义的应用，突出转化思想的运用，属于中档题．7．（5分）抛物线y=2x2的焦点到其准线的距离为（）A．2 B．1 C．D．【分析】将抛物线方程化为标准方程，即可求得抛物线y=2x2的焦点到其准线的距离．【解答】解：抛物线y=2x2化为标准方程为x2=y∴抛物线y=2x2的焦点到其准线的距离为=故选：D．【点评】本题考查抛物线的性质，将抛物线方程化为标准方程是解题的关键．8．（5分）已知动点P（x，y）满足5=|3x+4y﹣1|，则点P的轨迹是（）A．直线B．抛物线C．双曲线D．椭圆【分析】利用方程转化动点的几何意义，然后求解判断轨迹即可．【解答】解：动点P（x，y）满足5=|3x+4y﹣1|，可得：=，表示动点P（x，y）到（1，2）与到直线3x+4y﹣1=0距离相等，又（1，2）不在直线3x+4y﹣1=0上，则点P的轨迹是以（1，2）为焦点以直线3x+4y﹣1=0为准线的抛物线．故选：B．【点评】本题考查轨迹方程的求法，轨迹的判断，注意抛物线的定义域本题直线方程的区别，是易错题．9．（5分）已知双曲线方程为，过P（1，0）的直线L与双曲线只有一个公共点，则L的条数共有（）A．4条B．3条C．2条D．1条【分析】由双曲线方程可知其渐近线为y=y=±2x，分别考虑所求直线的情况有①直线的斜率不存在②与渐近线平行【解答】由题意可得：双曲线x2﹣=1的渐近线方程为：y=±2x，点P（1，0）是双曲线的右顶点，故直线x=1 与双曲线只有一个公共点；过点P （1，0）平行于渐近线y=±2x时，直线L与双曲线只有一个公共点，有2条所以，过P（1，0）的直线L与双曲线只有一个公共点，这样的直线共有3条故选B【点评】本题以双曲线为载体，主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．突出考查了双曲线的几何性质．10．（5分）已知P（x0，y0）是椭圆C：上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若，则x 0的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】设以O为原点、半焦距c=为半径的圆x2+y2=3与椭圆交于A，B 两点；由，x=可得x0的取值范围是（﹣）．【解答】解：如图，设以O为原点、半焦距c=为半径的圆x2+y2=3与椭圆交于A，B两点；由得，x=要使，则点P在A、B之间，∴x 0的取值范围是（）．故选：A【点评】本题考查了椭圆的方程、性质，向量的数量积的运算，属于中档题．11．（5分）已知不过原点的直线l 与y=x2交于A、B两点，若使得以AB为直径的圆过原点，则直线l必过点（）A．（0，1）B．（1，0）C．（0，2）D．（1，0），（﹣1，0）【分析】令直线y=kx+b（b≠0）与抛物线方程y=x2联立，利用韦达定理，结合OA⊥OB即可求得b的值，从而可证直线l过定点．【解答】解：令直线y=kx+b（b≠0）与抛物线y=x2相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点．由y=kx+b，代入y=x2得：x2﹣kx﹣b=0于是，x1、x2是此方程的两实根，由韦达定理得：x1+x2=k，x1x2=﹣by1y2=（kx1+b）（kx2+b）=k2x1x2+kb（x1+x2）+b2=b2，又OA⊥OB⇔x1x2+y1y2=0∴b2﹣b=0，又b≠0，∴b=1故直线l：y=kx+1过定点C（0，1）．故选：A．【点评】本题考查恒过定点的直线，考查韦达定理的应用，求得b的值是关键，也是难点，属于中档题．12．（5分）设双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，若在曲线C的右支上存在点P，使得△PF1F2的内切圆半径为a，圆心记为M，又△PF1F2的重心为G，满足MG∥F1F2，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2 D．【分析】设P（s，t）（s，t＞0），F1（﹣c，0），F2（c，0），运用三角形的重心坐标，求得内心的坐标，可得t=3a，再结合双曲线的定义和等积法，求得|PF2|=2c﹣a，再由双曲线的离心率公式和第二定义，可得s=2a，将P的坐标代入双曲线的方程，运用a，b，c的关系和离心率公式，即可得到所求值．【解答】解：设P（s，t）（s，t＞0），F1（﹣c，0），F2（c，0），可得重心G（，）即（，），设△PF1F2的内切圆与边F1F2的切点N，与边PF1的切点为K，与边PF2上的切点为Q，则△PF1F2的内切圆的圆心的横坐标与N的横坐标相同．由双曲线的定义，|PF1|﹣|PF2|=2a．①由圆的切线性质|PF1|﹣PF2|=|F I K|﹣|F2Q|=|F1N|﹣|F2N|=2a，∵|F1N|+|F2N|=|F1F2|=2c，∴|F2N|=c﹣a，|ON|=a，即有M（a，a），由MG∥F1F2，则△PF1F2的重心为G（，a），即t=3a，由△PF1F2的面积为•2c•3a=a（|PF1|+|PF2|+2c），可得|PF1|+|PF2|=4c②由①②可得|PF2|=2c﹣a，由右准线方程x=，双曲线的第二定义可得e==，解得s=2a，即有P（2a，3a），代入双曲线的方程可得﹣=1，可得b=a，c==2a，即e==2．故选：C．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率和准线方程，运用定义法是解题的关键，同时考查内心和重心的坐标的求法，考查化简整理的运算能力，属于难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的相应位置上.13．（5分）点P（x，y）为椭圆+y2=1上的任意一点，则x+3y的最大值为3．【分析】先根据椭圆方程设出x=3cosθ，y=sinθ，表示出S利用两角和公式化简整理后，根据正弦函数的性质求得S的最大值．【解答】解：椭圆+y2=1，设x=3cosx，y=sinx∴x+3y=3cosx+3sinx=3sin（x+）≤3．∴最大值为3．故答案为：．【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质及参数方程的问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．14．（5分）已知直线l 1：ax+3y﹣1=0，，且l1⊥l2，则a= 0或．【分析】根据两直线垂直的关系，得到2a+3（a2﹣a）=0，即可求出a的值．【解答】解：由题意2a+3（a2﹣a）=0，∴a=0或a=，故答案为0或．【点评】本题考查两直线垂直的性质，考查学生的计算能力，比较基础．15．（5分）在抛物线y2=16x内，通过点（2，1）且在此点被平分的弦所在直线的方程是8x﹣y﹣15=0 ．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可得两式相减，结合中点坐标公式可求直线的斜率，进而可求直线方程【解答】解：设直线与椭圆交于点A，B，设A（x1，y1），B（x2，y2）由题意可得两式相减两式相减可得（y1﹣y2）（y1+y2）=16（x1﹣x2）由中点坐标公式可得，，==8∴所求的直线的方程为y﹣1=8（x﹣2）即8x﹣y﹣15=0故答案为8x﹣y﹣15=0【点评】本题主要考查了直线与椭圆相交关系的应用，要掌握这种设而不求的方法在求解直线方程中的应用．16．（5分）已知定圆M：（x﹣3）2+y2=16，点A是圆M所在平面内一定点，点P是圆M上的动点，若线段PA的中垂线交直线PM于点Q，则点Q的轨迹可能是：①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线；⑥一个点；⑦线段．其中正确的命题序号为①②④⑥．【分析】Q是线段PA的中垂线上的点，可得QA=PQ，对点A的位置分类讨论，利用圆锥曲线的定义即可得出．【解答】解：∵Q是线段PA的中垂线上的点，∴QA=PQ，（1）若A在圆M外部，则|QA﹣QM|=|PQ﹣QM|=PM=4，MA＞4，∴Q点轨迹是以A，M为焦点的双曲线；（2）若A在圆M上，则PA的中垂线恒过圆心M，即Q的轨迹为点M；（3）若A在圆M内部且不为圆心M，则MA＜4，QM+QA=QM+QP=4，∴Q点轨迹是以M，A为焦点的椭圆；（4）若A为圆M的圆心，即A与M重合时，Q为半径PM的中点，∴Q点轨迹是以M为圆心，以2为半径的圆．综上，Q点轨迹可能是①②④⑥四种情况．故答案为：①②④⑥．【点评】本题考查了圆锥曲线的定义及其性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）直线l过点，且与x轴，y轴的正方向分别交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积为6时，求直线l的方程．【分析】设出直线方程，求出直线和x轴和y轴的交点坐标，根据三角形的面积求出直线方程即可．【解答】解：设直线l方程为y=kx+b，k＜0，故直线l交x轴的交点为（﹣，0），y轴交点为（0，b）．当△AOB的面积为6时，，解得，或，∴直线l的方程为y=﹣x+3或y=﹣3x+6．【点评】本题考查了直线的点斜式方程，考查三角形的面积问题，是一道基础题．18．（12分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1和直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（θ﹣）=2．（1）求圆C1和直线C2的直角坐标方程．（2）求圆C1和直线C2交点的极坐标．【分析】（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2，以及两角差的余弦公式，化简整理即可得到所求直角坐标方程；（2）联立直线和圆方程，解得交点，化为极坐标即可．【解答】解：（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2，ρ=4sinθ，即为ρ2=4ρsinθ，即有x2+y2=4y；ρcos（θ﹣）=2，即为ρ（cosθ+sinθ）=2，即x+y=4，即有，C 2：x+y﹣4=0；（2）将直线和圆的方程联立后，即解得直角坐标为（0，4），（2，2），则交点的极坐标为（4，），（2，）（注：极坐标表示法不唯一）．【点评】本题考查直角坐标方程和极坐标方程的互化，直线和圆的交点坐标求法，考查运算能力，属于基础题．19．（12分）已知抛物线C：y=2x2和直线l：y=kx+1，O为坐标原点．（1）求证：l与C必有两交点；（2）设l与C交于A，B两点，且直线OA和OB斜率之和为1，求k的值．【分析】（1）联立抛物线C：y=2x2和直线l：y=kx+1，可得2x2﹣kx﹣1=0，利用△＞0，即可证明l与C必有两交点；（2）根据直线OA和OB斜率之和为1，利用韦达定理可得k的值．【解答】（1）证明：联立抛物线C：y=2x2和直线l：y=kx+1，可得2x2﹣kx ﹣1=0，∴△=k2+8＞0，∴l与C必有两交点；（2）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则+=1①因为y1=kx1+1，y2=kx2+1，代入①，得2k+（+）=1②因为x1+x2=k，x1x2=﹣，代入②得k=1．【点评】本题主要考查抛物线的方程与简单性质、直线的一般式方程、直线与抛物线的位置关系，以及方程思想，属于基础题．20．（12分）已知直线l的参数方程为，（t为参数），在直角坐标系xOy 中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆M的方程为ρ2﹣6ρsinθ=﹣8．（1）求圆M的直角坐标方程；（2）若直线l截圆M所得弦长为，求实数a的值．【分析】（1）根据极坐标方程和普通方程的关系即可转化为普通方程．（2）根据直线和圆相交的位置关系结合弦长公式结合点到直线的距离公式进行求解即可．【解答】解：（1）由ρ2﹣6ρsinθ=﹣8．得x2+y2﹣6y=﹣8，即x2+（y﹣3）2=1，则圆M的直角坐标方程为x2+（y﹣3）2=1．（2）直线l的参数方程为消去t得普通方程得3x+4y﹣3a+4=0，∵直线l截圆M所得弦长为，∴圆心（0，3）到直线l的距离d===，得a=或a=．【点评】本题主要考查极坐标和普通方程的关系的应用以及直线和圆相交的弦长公式的应用，考查学生的计算和转化能力．21．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l 的方程．【分析】（Ⅰ）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，利用△＞0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程．【解答】解：（Ⅰ）设F（c，0），由条件知，得 又，所以a=2 ，b2=a2﹣c2=1，故E的方程．…．（6分）（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，当△=16（4k2﹣3）＞0，即时，从而又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积=，设，则t＞0，，当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x﹣2或y=﹣x﹣2．…（12分）【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．22．（12分）过椭圆=1（a＞b＞0）的左顶点A作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B，与y轴的交点为C，已知．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设动直线y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q，若x轴上存在一定点M（1，0），使得PM⊥QM，求椭圆的方程．【分析】（Ⅰ）设直线AB：y=2（x+a），A（﹣a，0），C（0，2a），利用，求出B的坐标，代入椭圆方程，求解离心率．（Ⅱ）设椭圆方程为3x2+4y2﹣12t=0，联立y=kx+m，利用y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点，△=0，通过PM⊥QM数量积为0，得到方程．求解可得椭圆方程．【解答】解：（Ⅰ）∵A（﹣a，0），设直线方程为y=2（x+a），B（x1，y1）令x=0，则y=2a，∴C（0，2a），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）∴∵∴x1+a=，整理得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∵B点在椭圆上，∴，∴，∴，即，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）∵，可设b2=3t．a2=4t，∴椭圆的方程为3x2+4y2﹣12t=0由得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12t=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）∵动直线y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点P∴△=0，即64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12t）=0整理得m2=3t+4k2t﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）设P（x1，y1）则有，∴又M（1，0），Q（4，4k+m）若x轴上存在一定点M（1，0），使得PM⊥QM，∴恒成立整理得3+4k2=m2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∴3+4k2=3t+4k2t恒成立，故t=1所求椭圆方程为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力，知识综合性强．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2017-2018学年河北省张家口市高二（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题：苯大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选型中，只有一性符合题目要求的（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）椭圆=1的右焦点为（）
A．（﹣1，0）B．（1，0） C．（﹣，0）D．（，0）
2．（5分）命题“∃x0＞0，x02﹣2x0﹣7＞0”的否定是（）
A．∃x0≢0，x02﹣2x0﹣7≢0 B．∃x0＞0，x02﹣2x0﹣7≢0
C．∀x＞0，x2﹣2x﹣7＞0 D．∀x＞0，x2﹣2x﹣7≢0
3．（5分）如图是2016年某大学在自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为（）
A．85，84 B．87，85 C．87，84 D．84，87
4．（5分）椭圆=1上一点到两个焦点的距离之和为（）
A．2 B．4 C．2 D．2
5．（5分）已知函数f（x）=lgx，则“a＞1”是“f（a）＞1”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．（5分）如图描述的是我国2014年四个季度与2015年前三个季度三大产业GDP累计同比贡献率，以下结论正确的是（）
A．2015年前三个季度中国GDP累计比较2014年同期增速有上升的趋势B．相对于2014年，2015年前三个季度第三产业对GDP的贡献率明显增加C．相对于2014年，2015年前三个季度第二产业对GDP的贡献率明显增加D．相对于2014年，2015年前三个季度第一产业对GDP的贡献率明显增加
7．（5分）若m是集合{1，3，5，7，9，11}中任意选取的一个元素，则椭圆=1
的焦距为整数的概率为（）
A．B．C．D．
8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，动点P关于x轴的对称点为Q，且•=2﹣2y2，则点P的轨迹方程为（）
A．x2+y2=2 B．x2﹣3y2=2 C．x+y2=2 D．x﹣3y2=2
9．（5分）若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N=n（modm），例如10≡3（mol7），如图所示的程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》，执行该程序框图，则输出的n=（）
A．33 B．39 C．45 D．75
10．（5分）已知直线l交椭圆+=1于A、B两点，且线段AB的中点为（﹣
1，﹣1），则l的斜率为（）
A．﹣2 B．﹣ C．2 D．
11．（5分）给出下列3个命题：
p1：二进制数10111对应的十进制数为24
p2：“x≠1或y≠3”是“xy≠3”的必要不充分条件
p3：若lga+lgb=0，则a+b≣2
那么，下列命题为真命题的是（）
A．p2∧p3B．p1∨（￢p3）C．p1∧p2D．（￢p2）∧p3
12．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左顶点为A，上顶点为B，过
椭圆C的右焦点作x轴的垂线交直线AB于点D，若直线OD的斜率是直线AB的斜率的k（k＞4）倍，其中，O为坐标原点，则椭圆C的离心率的取值范围为（）A．（，1）B．（0，）C．（，1）D．（0，）
二、填空题：苯大题共4个小题，每小题5分，共20分，吧答案填在答题卡中的横线上（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）椭圆=1的长轴长为．
14．（5分）2017年某企业员工有200人参加“郊区植树”活动，按年龄分组：第1组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示，现要从第1，3，4组中用分层抽样的方法抽取32人，则在地3组抽取的人数为．
15．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y都是区间（0，2）内任意选取的一个实数，则输出的结果是1的概率为．。