2013高考数学二轮突破性专题训练：随机事件的概率 Word版含答案
2013年高考数学复习资料：事件与概率历届高考试题汇编(有答案)
2013年高考数学复习资料：事件与概率历届高考试题汇编（有答案）各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢2013年高考数学复习资料：事件与概率历届高考试题汇编（有答案）新人教B版1.(2011•长沙调研)甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件．那么()A．甲是乙的充分但不必要条件B．甲是乙的必要但不充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件[答案] B[解析]∵互斥事件一定是对立事件，∴甲⇒乙，但对立不一定互斥，∴乙⇒/ 甲，故选B.[来源:]2．(文)甲、乙两人随意入住两个房间，则甲乙两人恰住在同一间房的概率为()D．1[答案] B[解析]将两个房间编号为(1,2)，则所有可能入住方法有：甲住1号房，乙住2号房，甲住2号房，乙住1号房，甲、乙都住1号房，甲、乙都住2号房，共4种等可能的结果，其中甲、乙恰住在同一房间的情形有2种，∴所求概率P＝12.(理)从集合{1,3,6,8}中任取两个数相乘，积是偶数的概率是()[答案] A[解析]所有可能取法有{(1,3)，(1,6)，(1,8)，(3,6)，(3,8)，(6,8)}，只有(1,3)构不成积是偶数，∴P＝56，故选A.3．(文)(2011•安徽合肥模拟)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，则事件“抽到的不是一等品”的概率为()A．B．C．D．[答案] C[解析]事件“抽到的不是一等品”与事件A是对立事件，由于P(A)＝，所以由对立事件的概率公式得“抽到的不是一等品”的概率为P＝1－P(A)＝1－＝(理)袋中装有白球3个，黑球4个，从中任取3个①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球．在上述事件中，是对立事件的为()A．①B．②C．③D．④[答案] B[解析]∵“至少一个白球”和“全是黑球”不可能同时发生，且必有一个发生．4．(2010•北京高考)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是() [答案] D[解析]分别从两个集合中各取一个数，共有15种取法，其中满足b>a的有3种取法，故所求事件的概率P＝315＝15.5．(2011•安徽“江南十校”联考)第16届亚运会于2010年11月12日在中国广州举行，运动会期间有来自A大学2名和B大学4名的大学生志愿者，现从这6名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，至少有一名A大学志愿者的概率是()[答案] C[解析]若这2名大学生来自两所大学，则P1＝2×415＝815；若这2名大学生均来自A大学，则P2＝115.故至少有一名A大学生志愿者的概率是815＋115＝35.[点评]由对立事件概率公式知，有另解P＝1－615＝35.6．(2011•大连模拟)一只猴子任意敲击电脑键盘上的0到9这十个数字键，则它敲击两次(每次只敲击一个数字键)得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为()[答案] D[解析]0～9这十个数字键，任意敲击两次共有10×10＝100种不同结果，在0～9中是3的倍数的数字有0,3,6,9，敲击两次都是3的倍数共有4×4＝16种不同结果，∴P＝16100＝425.7．(文)(2011•德州期末)现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为________．[答案]35[解析]共有取法5种，其中理科书为3种，∴P＝35.(理)(2010•南京市调研)某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为________．[答案]14[解析]每人用餐有两种情况，故共有23＝8种情况．他们在同一食堂用餐有2种情况，故他们在同一食堂用餐的概率为28＝14.8．(文)(2010•江苏南通一模)抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1,2,3,4的正四面体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为x，y，则xy为整数的概率是________．[答案]12[解析]将抛掷甲、乙两枚质地均匀的正四面体所得的数字x，y记作有序实数对(x，y)，共包含16个基本事件，其中xy为整数的有：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(4,2)，共8个基本事件，故所求概率为P＝816＝12.(理)(2011•广东高州模拟)某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛，甲、乙两队夺取冠军的概率分别是37和14，则该市足球队夺得全省足球冠军的概率是________．[答案]1928[解析]设事件A：甲球队夺得全省足球冠军，B：乙球队夺得全省足球冠军，事件C：该市足球队夺得全省足球冠军．依题意P(A)＝37，P(B)＝14，且C ＝A＋B，事件A、B互斥，所以P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝37＋14＝1928.9．(文)(2010•浙江开化)已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线方程为mx－y＝0，若m在集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取一个数，则双曲线的离心率大于3的概率是________．[答案]79[解析]e>3，即ca>3，∴a2＋b2a2>9，∴ba>22，即m>22，∴m可取值3,4,5,6,7,8,9，∴p＝79.(理)(2011•浙江金华十校模拟)已知甲盒内有外形和质地相同的1个红球和2个黑球，乙盒内有外形和质地相同的2个红球和2个黑球．现从甲、乙两个盒内各取1个球，则取出的2个球中恰有1个红球的概率是________．[答案]12[解析]从甲、乙两个盒内各取1个球，共有3×4＝12种不同的取法．其中，从甲盒内取1个红球，从乙盒内取1个黑球，有2种取法；从甲盒内取1个黑球，从乙盒内取1个红球，有4种取法．故取出的2个球中恰有1个红球的概率是P ＝2＋412＝12.10．有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验：用( x，y)表示结果，其中x表示第1颗正四面体玩具向下一面的点数，y表示第2颗正四面体玩具向下一面的点数．试写出：(1)这个试验的基本事件空间；(2)事件“向下一面点数之和大于3”；(3)事件“向下一面点数相等”．[解析](1)这个试验的基本事件空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}；(2)事件“向下一面点数之和大于3”包含以下13个基本事件(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．(3)事件“向下一面点数相等”包含以下4个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4).11.(2011•山东临沂质检)一个盒子中装有4张卡片，上面分别写着如下四个定义域为R的函数：f1(x)＝x3，f2(x)＝|x|，f3(x)＝sinx，f4(x)＝cosx，现从盒子中任取2张卡片，将卡片上的函数相乘得到一个新函数，所得函数为奇函数的概率是()[答案] C[解析]f1(x)与f3(x)是奇函数，f2(x)与f4(x)是偶函数．奇函数与偶函数相乘是奇函数，故所得函数为奇函数的概率是P＝2×26＝23.12．(2011•北京西城一模)下面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损．则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为()[答案] C[解析]x－甲＝88＋89＋90＋91＋925＝90，x－乙＝83＋83＋87＋x＋995.由x－甲>x－乙，得x0y>0，即b＋2b－2a>0a＋1b－2a>0，解得b>2a.∵a，b∈{1,2,3,4,5,6}，∴基本事件总数共有36种．满足b>2a的有(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，共6种，∴P＝636＝16，即直线l1与l2交点在第一象限的概率为16.15．(文)(2010•北京顺义一中月考)已知实数a，b∈{－2，－1,1,2}．(1)求直线y＝ax＋b不经过第四象限的概率；(2)求直线y＝ax＋b与圆x2＋y2＝1有公共点的概率．[解析]由于实数对(a，b)的所有取值为：(－2，－2)，(－2，－1)，(－2,1)，(－2,2)，(－1，－2)，(－1，－1)，(－1,1)，(－1,2)，(1，－2)，(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(2，－2)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)共16种(1)设“直线y＝ax＋b不经过第四象限”为事件A若直线y＝ax＋b不经过第四象限，则必须满足a≥0，b≥0，则事件A包含4个基本事件，∴P(A)＝416＝14，∴直线y＝ax＋b不经过第四象限的概率为14.(2)设“直线y＝ax＋b与圆x2＋y2＝1有公共点”为事件B，则需满足|b|a2＋1≤1，即b2≤a2＋1，∴事件B包含12个基本事件，∴P(B)＝1216＝34，∴直线y＝ax＋b与圆x2＋y2＝1有公共点的概率为34.(理)(2011•山东聊城模拟)已知某单位有50名职工，现要从中抽取10名职工，将全体职工随机按1～50编号，并按编号顺序平均分成10组，按各组内抽取的编号依次增加5进行系统抽样．(1)若第5组抽出的号码为22，写出所有被抽出职工的号码；(2)分别统计这10名职工的体重(单位：公斤)，获得体重数据的茎叶图如图所示，求该样本的方差；(3)在(2)的条件下，从这10名职工的体重不轻于73公斤(≥73公斤)的职工中随机抽取2名，求体重为76公斤的职工被抽取到的概率．[解析](1)由题意，第5组抽出的号码为22.因为2＋5×(5－1)＝22，所以第1组抽出的号码为2，抽出的10名职工的号码分别为2,7,12,17,22,27,32,37,42,47.(2)因为10名职工的平均体重为x－＝110(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71所以样本方差为：s2＝110(102＋12＋22＋52＋72＋82＋92＋62＋42＋122)＝52.(3)解法1：从10名职工中的体重不轻于73公斤的职工中随机抽取2名，共有10种不同的取法：(73,76)，(73,78)，(73,79)，(73,81)，(76,78)，(76,79)，(76,81)，(78,79)，(78,81)，(79,81)．设A表示“抽到体重为76公斤的职工”，则A包含的基本事件有4个：(73,76)，(76,78)，(76,79)，(76,81)，故所求概率为P(A)＝410＝25.解法2：10名职工中，体重不轻于73公斤的职工有5名，从中任取2名有C25＝10种不同取法，其中体重76公斤的职工被抽到的有4种取法，∴所求概率P＝410＝25.1．(2010•广西柳州市模考)在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从到会教师中随机挑选一人表演节目．如果每位教师被选到的概率相等，而且选到男教师的概率为920，那么参加这次联欢会的教师共有()A．360人B．240人C．144人D．120人[答案] D[解析]设与会男教师x人，则女教师为x＋12人，由条件知，xx＋＋＝920，∴x＝54，∴2x＋12＝120，故选D.2．若一元二次方程x2＋mx＋n＝0中m，n的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数，则方程有实根的概率为()D. 1736[答案] A[解析]∵方程有实根，∴m2－4n≥0，∴(m，n)的允许取值情形有：(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)共19种，∴p＝1936.3．把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，每人一张，则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是()A．对立事件B．互斥但不对立事件C．不可能事件D．必然事件[答案] B[解析]“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不可能同时发生，但可以同时不发生，当“丙分得红牌”时，上述两事件都没发生，故选B.4．(2011•温州八校期末)已知α，β，γ是不重合平面，a，b是不重合的直线，下列说法正确的是()A．“若a∥b，a⊥α，则b⊥α”是随机事件B．“若a∥b，a⊂α，则b∥α”是必然事件C．“若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β”是必然事件D．“若a⊥α，a∩b＝P，则b⊥α”是不可能事件[答案] D[解析]a∥ba⊥α⇒b⊥α，故A错；a∥ba⊂α⇒b∥α或b⊂α，故B错；当α⊥γ，β⊥γ时，α与β可能平行，也可能相交(包括垂直)，故C错；如果两条直线垂直于同一个平面，则此二直线必平行，故D为真命题．5．(2011•奉贤区检测(一))在一次读书活动中，一同学从4本不同的科技书和2本不同的文艺书中任选3本，则所选的书中既有科技书又有文艺书的概率为()[答案] D[解析]因为文艺书只有2本，所以选取的3本书中必有科技书，这样问题就等价于求选取的3本书中有文艺书的概率．设4本不同的科技书为a，b，c，d,2本不同的文艺书为e，f，则从这6本书中任选3本的可能情况有：(a，b，c)，(a，b，d)，(a，b，e)，(a，b，f)，(a，c，d)，(a，c，e)，(a，c，f)，(a，d，e)，(a，d，f)，(a，e，f)，(b，c，d)，(b，c，e)，(b，c，f)，(b，d，e)，(b，d，f)，(b，e，f)，(c，d，e)，(c，d，f)，(c，e，f)，(d，e，f)，共20种，记“选取的3本书中有文艺书”为事件A，则事件A－包含的可能情况有：(a，b，c)，(a，b，d)，(a，c，d)，(b，c，d)，共4种，故P(A)＝1－P(A－)＝1－420＝45.6．(2010•济南市模拟)已知a、b、c 为集合A＝{1,2,3,4,5,6}中三个不同的数，如下框图给出的一个算法运行后输出一个整数a，则输出的数a＝5的概率是()[答案] C[解析]由程序框图知，输入a、b、c三数，输出其中的最大数，由于输出的数为5，故问题为从集合A中任取三个数，求最大数为5的概率，∴P＝C24C36＝620＝310.7．(2011•石家庄模拟)老师为研究男女同学数学学习的差异情况，对某班50名同学(其中男同学30名，女同学20名)采取分层抽样的方法，抽取一个样本容量为10的样本进行研究，某女同学甲被抽到的概率为________．[答案]158．(2011•惠州调研)已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907966191925271932812458569683431257393027556488 730113537989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为()A．B．C．D．[答案] B[解析]由随机数可得：在20组随机数中满足条件的只有5组，故该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢。
2013年高考理科数学全国新课标卷2试题与答案word解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷II)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M ＝{x |(x －1)2＜4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝( )．A ．{0,1,2}B ．{－1,0,1,2}C ．{－1,0,2,3}D ．{0,1,2,3} 2．(2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )．A ．－1＋iB ．－1－IC ．1＋iD ．1－i3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )．A ．13B ．13-C ．19D ．19-4．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，lα，lβ，则( )．A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l5．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( )．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－16．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )．A ．1111+2310+++B ．1111+2!3!10!+++C ．1111+2311+++D ．1111+2!3!11!+++7．(2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )．8．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )．A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c9．(2013课标全国Ⅱ，理9)已知a ＞0，x ，y 满足约束条件1,3,3.x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥(-)⎩若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )．A ．14 B．12 C ．1 D ．210．(2013课标全国Ⅱ，理10)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )．A．∃x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝011．(2013课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )．A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x12．(2013课标全国Ⅱ，理12)已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )．A．(0,1) B．11,22⎛⎫-⎪⎪⎝⎭ C．1123⎛⎤-⎥⎝⎦ D．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。
2013年普通高等学校招生全国统一考试 数学(江苏卷)word版(含答案)
2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）参考公式：样本数据12,,,nx x x…的方差2211()niis x xn-=-∑，其中11niix xn-=∑。
棱锥的体积公式：13V Sh=，其中S是锥体的底面积，h为高。
棱柱的体积公式：V Sh=，其中S是柱体的底面积，h为高。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。
请把答案填写在答题卡相印位置上。
1、函数)42sin(3π+=xy的最小正周期为▲2、设2)2(iz-=（i为虚数单位），则复数z的模为▲3、双曲线191622=-yx的两条渐近线的方程为▲4、集合}1,0,1{-共有▲个子集5、右图是一个算法的流程图，则输出的n的值是▲6运动员第一次第二次第三次第四次第五次甲87 91 90 89 93乙89 90 91 88 92 则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为▲7、现在某类病毒记作nmYX，其中正整数m，n（7≤m，9≤n）可以任意选取，则nm，都取到奇数的概率为 ▲8、如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V ▲9、抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D （包含三角形内部和边界）。
若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 ▲ 10、设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点，AB AD 21=，BC BE 32=，若12DE AB AC λλ=+u u u r u u u r u u u r（21λλ，为实数），则21λλ+的值为 ▲ 11、已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。
当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)(的解集用区间表示为 ▲12、在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x 0a b>>），右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆C 的离心率为 ▲13、在平面直角坐标系xOy 中，设定点),(a a A ，P 是函数xy 1=（0>x ）图象上一动点，若点A P ，之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为 ▲ 14、在正项等比数列}{n a 中，215=a ，376=+a a ，则满足n n a a a a a a ΛΛ2121>+++的最大正整数n 的值为 ▲二、解答题：本大题共6小题，共计90分。
2013年高考数学试题及答案word版
2013年高考数学试题及答案word版一、选择题（每题5分，共50分）1. 函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1在区间[0,1]上的最大值是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C2. 已知向量a = (3, -1)，b = (2, 4)，向量a与向量b的夹角的余弦值为：A. 1/5B. 3/5C. -1/5D. -3/5答案：B3. 圆x^2 + y^2 - 6x - 8y + 25 = 0的圆心坐标为：A. (3, 4)B. (-3, -4)C. (3, -4)D. (-3, 4)答案：A4. 已知等比数列{an}的首项为1，公比为2，求前5项的和S5：A. 31B. 15C. 33D. 63答案：A5. 函数y = ln(x+√(x^2+1))的导数为：A. 1/(x+√(x^2+1))B. 1/(x-√(x^2+1))C. 1/(x+1)D. 1/(x-1)答案：A6. 已知双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1的离心率为2，求a和b的关系：A. a = 2bB. a = b/2C. b = 2aD. b = a/2答案：C7. 已知三角形ABC的内角A、B、C满足A+B=2C，且sinA+sinB=sinC，求角C的大小：A. π/3B. π/4C. π/6D. π/2答案：A8. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + m在区间[2, +∞)上单调递增，求m的取值范围：A. m ≥ -4B. m > -4C. m ≤ -4D. m < -4答案：A9. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5 = 40，S10 - S5 = 40，求S15 - S10的值：A. 60B. 40C. 20D. 0答案：A10. 已知函数f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d，其中a、b、c、d均为实数，且f(0) = 0，f'(0) = 0，f''(0) = 0，求f(1)的值：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：A二、填空题（每题5分，共30分）11. 已知直线l的方程为y = 2x + 3，求直线l与x轴的交点坐标。
安徽省2013年高考数学第二轮复习 专题七概率与统计第3讲 .
专题七 概率与统计第3讲 随机变量及其分布列真题试做1．(2012·课标全国高考，理15)某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为__________．2．(2012·山东高考，理19)现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得2分，没有命中得0分，该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．(1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分X 的分布列及数学期望E (X )．3．(2012·陕西高考，理20)某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；(2)X 表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X 的分布列及数学期望．4．(2012·安徽高考，理17)某单位招聘面试，每次从试题库中随机调用一道试题．若调用的是A 类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A 类型试题和一道B 类型试题入库，此次调题工作结束，若调用的是B 类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束．试题库中现有n ＋m 道试题，其中有n 道A 类型试题和m 道B 类型试题．以X 表示两次调题工作完成后，试题库中A 类型试题的数量．(1)求X ＝n ＋2的概率；(2)设m ＝n ，求X 的分布列和均值(数学期望)． 考向分析本讲是概率统计的重点，主要考查三方面的内容：①相互独立事件及其概率，题型有选择、填空，有时也出现在解答题中与其他知识交会命题；②二项分布及其应用，准确把握独立重复试验的特点是解答二项分布问题的关键，一般以中档题为主；③随机变量的分布列、期望和方差，以考生比较熟悉的实际应用题为背景，综合排列组合、概率公式、互斥事件及独立事件等基础知识，考查对随机变量的识别及概率计算能力，解答时要注意分类与整合、转化与化归思想的运用，其中有选择题，也有填空题，但更多的是解答题，难度中档．热点例析热点一 相互独立事件及其概率【例1】乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率； (2)求开始第5次发球时，甲得分领先的概率． 规律方法(1)求复杂事件的概率的一般步骤：①列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；②理清各事件之间的关系，列出关系式．即把随机事件分成几个互斥事件的和，每个小事件再分为n 个相互独立事件的乘积．③根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算．(2)直接计算符合条件的事件的概率较繁时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．变式训练1甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响．(1)求乙获胜的概率；(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率． 热点二 二项分布及其应用【例2】(2012·安徽六安一中第十次月考，理17)为备战运动会，射击队运动员们正在积极备战．若某运动员每次射击成绩为10环的概率为13.求该运动员在5次射击中，(1)至少有3次射击成绩为10环的概率；(2)记“射击成绩为10环的次数”为ξ，写出ξ的分布列并求E ξ.(结果用分数表示) 规律方法事件服从二项分布的条件是：(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的．(2)各次试验中的事件是相互独立的．(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．(4)随机变量是这n 次独立重复试验中事件发生的次数．变式训练2某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响．(1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；(2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率； (3)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分．在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分．记ξ为射手射击3次后的总得分数，求ξ的分布列．热点三 离散型随机变量的分布列、均值与方差【例3】(2012·天津高考，理16)现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列与数学期望E (ξ)．规律方法求离散型随机变量的分布列，关键是计算各个概率值，一方面要弄清楚相应的概型(古典概型、相互独立事件的概率、独立重复试验等)，以便套用相关的计算公式计算；另一方面要注意运用分布列的性质检验所求概率值是否正确．变式训练3(2012·安徽江南十校联考，理18)“低碳经济”是促进社会可持续发展的推进器．某企业现有100万元资金可用于投资，如果投资“传统型”经济项目，一年后可能获利20%，可能损失10%，也可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为35，15，15；如果投资“低碳型”经济项目，一年后可能获利30%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为a 和b (其中a ＋b ＝1)．(1)如果把100万元投资“传统型”经济项目，用ξ表示投资收益(投资收益＝回收资金－投资资金)，求ξ的概率分布及均值(数学期望)E ξ；(2)如果把100万元投资“低碳型”经济项目，预测其投资收益均值会不低于投资“传统型”经济项目的投资收益均值，求a 的取值范围．思想渗透转化与化归思想——期望与概率的实际应用解题中要善于透过问题的实际背景，发现其中的数学规律，以便使用我们掌握的离散型随机变量及其分布列的知识来解决实际问题．【典型例题】某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1,2，…，8，其中X ≥5为标准A ，X ≥3为标准B ，已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假设甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．(1)且X 1的数学期望E (X 1)＝(2)为分析乙厂产品的等级系数X 2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 34 6 3 4 75 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 56 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X 2的数学期望； (3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．注：(1)产品的“性价比”＝产品的等级系数的数学期望产品的零售价；(2)“性价比”大的产品更具可购买性.解：(1)因为E (X 1)＝6，所以5×0.4＋6a ＋7b ＋8×0.1＝6，即6a ＋7b ＝3.2，又由X 1的概率分布列得0.4＋a ＋b ＋0.1＝1，即a ＋b ＝0.5.由⎩⎪⎨⎪⎧ 6a ＋7b ＝3.2，a ＋b ＝0.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.3，b ＝0.2. (2)X 2的概率分布列如下：所以E (X 2) 4.8， 即乙厂产品的等级系数X 2的数学期望等于4.8. (3)乙厂的产品更具可购买性，理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其“性价比”为66＝1.因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，所以其“性价比”为4.84＝1.2.所以乙厂的产品更具可购买性．1．设随机变量ξ服从正态分布N (3，σ2)，若P (ξ>m )＝a ，则P (ξ>6－m )等于( )． A ．a B ．1－2a C ．2a D ．1－a2．设一随机试验的结果只有A 和A 且P (A )＝m ，令随机变量ξ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，A 发生0，A 不发生，则ξ的方差D (ξ)等于( )．A ．mB ．2m (1－m )C ．m (m －1)D ．m (1－m )3．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，以Z 表示取出球的最大号码，令a ＝P (Z ＝6)，则函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2ax 的单调递增区间是( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．(－∞，1) D ．(1，＋∞) 4．箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球．从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是( )．A.16625B.96625C.624625D.46255．(2012·浙江五校联考，理16)甲、乙两个篮球队进行比赛，比赛采用5局3胜制(即先胜3局者获胜)．若甲、乙两队在每场比赛中获胜的概率分别为23和13，记需要比赛的场次为ξ，则E (ξ)＝__________.6．(2012·山东济南二模，20)一次考试共有12道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个是正确的．评分标准规定：“每题只选一个选项，答对得5分，不答或答错得0分．”某考生已确定有8道题的答案是正确的，其余题中有两道题都可判断两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只好乱猜．请求出该考生：(1)得60分的概率；(2)所得分数ξ的分布列和数学期望．参考答案命题调研·明晰考向 真题试做 1.38解析：设元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A ，B ，C ，显然P (A )＝P (B )＝P (C )＝12，∴该部件的使用寿命超过1 000的事件为(A B ＋A B ＋AB )C .∴该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为P ＝⎝⎛12×12＋12×12＋12×⎭⎪⎫12×12＝38. 2．解：(1)记：“该射手恰好命中一次”为事件A ，“该射手射击甲靶命中”为事件B ，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C ，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D ，由题意知P (B )＝34，P (C )＝P (D )＝23，由于A ＝B C D ＋B C D ＋B C D ， 根据事件的独立性和互斥性得P (A )＝P (B C D ＋B C D ＋B C D )＝P (B C D )＋P (B C D )＋P (B C D )＝P (B )P (C )P (D )＋P (B )P (C )P (D )＋P (B )P (C )P (D )＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝⎛⎭⎪⎫1－34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝736.(2)根据题意，X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5， 根据事件的独立性和互斥性得P (X ＝0)＝P (B C D )＝[1－P (B )][1－P (C )][1－P (D )]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23 ＝136， P (X ＝1)＝P (B C D )＝P (B )P (C )P (D )＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23 ＝112， P (X ＝2)＝P (B C D ＋B C D )＝P (B C D )＋P (B C D )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23 ＝19， P (X ＝3)＝P (BC D ＋B C D )＝P (BC D )＋P (B C D )＝34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝13， P (X ＝4)＝P (B CD )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×23＝19， P (X ＝5)＝P (BCD )＝34×23×23＝13.故X 的分布列为所以EX ＝0×136＋1×12＋2×9＋3×3＋4×9＋5×3＝12.3．解：设Y Y 的分布列如下：(1)A A 对应三种情形： ①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟．所以P (A )＝P (Y ＝1)P (Y ＝3)＋P (Y ＝3)P (Y ＝1)＋P (Y ＝2)P (Y ＝2)＝0.1×0.3＋0.3×0.1＋0.4×0.4＝0.22.(2)方法一：X 所有可能的取值为0,1,2.X ＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟， 所以P (X ＝0)＝P (Y ＞2)＝0.5；X ＝1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P (X ＝1)＝P (Y ＝1)P (Y ＞1)＋P (Y ＝2)＝0.1×0.9＋0.4＝0.49； X ＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟， 所以P (X ＝2)＝P (Y ＝1)P (Y ＝1)＝0.1×0.1＝0.01. 所以X 的分布列为E (X )方法二：X 所有可能的取值为0,1,2.X ＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟， 所以P (X ＝0)＝P (Y ＞2)＝0.5；X ＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟， 所以P (X ＝2)＝P (Y ＝1)P (Y ＝1)＝0.1×0.1＝0.01； P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝2)＝0.49. 所以X 的分布列为E (X )4．解：以A i 表示第i 次调题调用到A 类型试题，i ＝1,2.(1)P (X ＝n ＋2)＝P (A 1A 2)＝n m ＋n ·n ＋1m ＋n ＋2＝n (n ＋1)(m ＋n )(m ＋n ＋2).(2)X 的可能取值为n ，n ＋1，n ＋2.P (X ＝n )＝P (A 1 A 2)＝n n ＋n ·n n ＋n ＝14.P (X ＝n ＋1)＝P (A 1A 2)＋P (A 1A 2)＝n n ＋n ·n ＋1n ＋n ＋2＋n n ＋n ·n n ＋n ＝12，P (X ＝n ＋2)＝P (A 1A 2)＝n n ＋n ·n ＋1n ＋n ＋2＝14，从而X 的分布列是E (X )＝n ×14＋(n ＋1)×2＋(n ＋2)×4＝n ＋1.精要例析·聚焦热点 热点例析【例1】 解：记Ai 表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i 分，i ＝0,1,2； Bi 表示事件：第3次和第4次这两次发球，甲共得i 分，i ＝0,1,2； A 表示事件：第3次发球，甲得1分；B 表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2；C 表示事件：开始第5次发球时，甲得分领先． (1)B ＝A 0·A ＋A 1·A ，P (A )＝0.4，P (A 0)＝0.42＝0.16， P (A 1)＝2×0.6×0.4＝0.48， P (B )＝P (A 0·A ＋A 1·A )＝P (A 0·A )＋P (A 1·A ) ＝P (A 0)P (A )＋P (A 1)P (A )＝0.16×0.4＋0.48×(1－0.4)＝0.352.(2)P (B 0)＝0.62＝0.36，P (B 1)＝2×0.4×0.6＝0.48，P (B 2)＝0.42＝0.16， P (A 2)＝0.62＝0.36.C ＝A 1·B 2＋A 2·B 1＋A 2·B 2， P (C )＝P (A 1·B 2＋A 2·B 1＋A 2·B 2) ＝P (A 1·B 2)＋P (A 2·B 1)＋P (A 2·B 2) ＝P (A 1)P (B 2)＋P (A 2)P (B 1)＋P (A 2)P (B 2)＝0.48×0.16＋0.36×0.48＋0.36×0.16 ＝0.307 2.【变式训练1】 解：设Ak ，Bk 分别表示甲、乙在第k 次投篮投中，则P (A k )＝13，P (B k )＝12(k ＝1,2,3)．(1)记“乙获胜”为事件C ，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P (C )＝P (A 1B 1)＋P (A 1B 1A 2B 2)＋P (A 1B 1A 2B 2A 3B 3)＝P (A 1)P (B 1)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)P (A 3)P (B 3) ＝23×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝1327. (2)记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D ，则由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P (D )＝P (A1B1A 2B 2)＋P (A1B1A2B 2A 3)＝P (A1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)P (A 3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝427.【例2】 解：设随机变量X 为射击成绩为10环的次数，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13. (1)在5次射击中，至少有3次射击成绩为10环的概率为P (X ≥3)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＋P (X ＝5)＝40243＋10243＋1243＝1781.(2)因为ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，3，所以E (ξ)＝3. 【变式训练2】 解：(1)设X 为射手在5次射击中击中目标的次数，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，23.在5次射击中，恰有2次击中目标的概率P (X ＝2)＝C 52×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233＝40243.(2)设“第i 次射击击中目标”为事件A i (i ＝1,2,3,4,5)；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A ，则P (A )＝P (A 1A 2A 3A 4 A 5)＋P (A 1A 2A 3A 4A 5)＋P (A 1 A 2A 3A 4A 5)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫233×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝881.(3)由题意可知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,6，P (ξ＝0)＝P (A 1 A 2 A 3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127；P (ξ＝1)＝P (A 1A 2 A 3)＋P (A 1A 2A 3)＋P (A 1 A 2A 3)＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋13×23×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132×23＝29； P (ξ＝2)＝P (A 1A 2A 3)＝23×13×23＝427； P (ξ＝3)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827； P (ξ＝6)＝P (A 1A 2A 3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827.所以ξ【例3】 解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0,1,2,3,4)，则P (A i )＝C 4i ⎝ ⎛⎭⎪⎫13i ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－i.(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P (A 2)＝C 42⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827.(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3∪A 4.由于A 3与A 4互斥，故P (B )＝P (A 3)＋P (A 4)＝C 43⎝ ⎛⎭⎪⎫133⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝19.所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19.(3)ξ的所有可能取值为0,2,4. 由于A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥，故P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827，P (ξ＝2)＝P (A 1)＋P (A 3)＝4081，P (ξ＝4)＝P (A 0)＋P (A 4)＝1781.所以ξ的分布列是随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝0×27＋2×81＋4×81＝81.【变式训练3】 解：(1)依题意，ξ的可能取值为20,0，－10， ξ的分布列为E (ξ)＝20×35＋0×15＋(－10)×5＝10(万元)．(2)设η表示100η的分布列为E (η)＝30a －20b ＝50a －20.依题意要求50a －20≥10，∴35≤a ≤1.创新模拟·预测演练1．D 解析：正态分布曲线关于x ＝μ对称，即关于x ＝3对称，m 与6－m 关于x ＝3对称， ∴P (ξ<6－m )＝P (ξ>m )＝a ， 则P (ξ>6－m )＝1－a . 2．D3．A 解析：P (Z ＝6)＝C 11C 52C 63＝12，y ＝212x x-⎛⎫⎪⎝⎭在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12上单调递增．4．B 解析：若摸出的两球中含有4，必获奖，有5种情形；若摸出的两球是2,6，也能获奖．故获奖的情形共6种，获奖的概率为6C 62＝25.现有4人参与摸奖，恰有3人获奖的概率是C 43⎝ ⎛⎭⎪⎫253·35＝96625.5.10727解析：依题意ξ的可能取值分别为3,4,5， P (ξ＝3)＝23×23×23＋13×13×13＝927，P (ξ＝4)＝C 32⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13×23＋C 32×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×23×13＝1027，P (ξ＝5)＝1－P (ξ＝3)－P ()ξ＝4＝827.E (ξ)＝3×P (ξ＝3)＋4×P (ξ＝4)＋5×P (ξ＝5)＝10727.6．解：(1)设“可判断两个选项是错误的”两道题之一选对为事件A ，“可判断一个选项是错误的”一道题选对为事件B ，“不理解题意的”一道题选对为事件C ，∴P (A )＝12，P (B )＝13，P (C )＝14，∴得60分的概率为P ＝12×12×13×14＝148.(2)ξ可能的取值为40,45,50,55,60.P (ξ＝40)＝12×12×23×34＝18，P (ξ＝45)＝C12×12×12×23×34＋12×12×13×34＋12×12×23×14＝1748，P (ξ＝50)＝12×12×23×34＋C 21×12×12×13×34＋C 21×12×12×23×14＋12×12×13×14＝1748，P (ξ＝55)＝C 21×12×12×13×14＋12×12×23×14＋12×12×13×34＝748，P (ξ＝60)＝12×12×13×14＝148.所得分数ξE (ξ)＝40×648＋(45＋50)×48＋55×48＋60×48＝12.。
2013年高考真题分类汇编：考点49 随机事件的概率、古典概型、几何概型 Word版含解析
考点49 随机事件的概率、古典概型、几何概型一、选择题1.（2013·四川高考理科·Ｔ9）节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在4秒内为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )A. 14 B. 12C. 34D. 78【解题指南】本题考查的是几何概型问题,首先明确两串彩灯开始亮是通电后4秒内任一时刻等可能发生,第一次闪亮相互独立,而满足要求的是两串彩灯第一次闪亮的时刻相差不超过2秒.【解析】选C.由于两串彩灯第一次闪亮相互独立且在通电后4秒内任一时刻等可能发生,所以总的基本事件为如图所示的正方形的面积,而要求的是第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的基本事件为如图所示的阴影部分的面积,根据几何概型的计算公式可知它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是123164，故选C.2.（2013·安徽高考文科·Ｔ5）若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（ ）A.23B.25C. 35D.910【解题指南】 以甲、乙为选择对象分情况考虑，先组合再求概率。
【解析】选D.当甲、乙两人中仅有一人被录用时的概率2313536=22=1010C P C ?；当甲、乙两人都被录用时的概率132353=10C P C =，所以所求概率为12369+P =101010P P =+=。
3.（2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ3）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ） A. 12B.13C.14D. 16【解析】选B.从1，2，3，4中任取2个不同的数有6种，取出的2个数之差的绝对值为2有2种，则概率3162==P . 4. （2013·陕西高考理科·Ｔ5）如图, 在矩形区域ABCD 的A , C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无．信号的概率是 ( )A ． 14π-B. 12π-C ． 22π-D. 4π【解题指南】几何概型面积型的概率为随机事件所占有的面积和基本事件所占有的面积的比值求出该几何概型的概率.【解析】选A.由题设可知，矩形ABCD 的面积为2，曲边形DEBF 的面积为22π-，故所求概率为.41222ππ-=-5.（2013·江西高考文科·Ｔ4）集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B 中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是（ ）A. 23 B. 12 C. 13 D.16【解题指南】属于古典概型，列举出所有的结果是关键.【解析】选C.所有的结果为（2,1），（2,2），(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)共6种，满足所求事件的有2种，所以所求概率为13.6. （2013·湖南高考文科·Ｔ9）.已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为21，则ADAB=（ ）A.12B.14C.2 D.4【解题指南】本题的关键是找出使△APB 的最大边是AB 的临界条件，首先是确定AD<AB,然后作出矩形ABCD ，最后分别以A 、B 为圆心以AB 为半径作圆弧交CD 于F 、E ，当EF=21CD 时满足题意。
2013年高考第二轮复习数学江西理科专题升级训练17 概率、统计与统计案例专题升级训练卷(附答案).pdf
专题升级训练17 概率、统计与统计案例 (时间：60分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分) 1．从2 007名学生中选取50名学生参加全国数学联赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2 007人中剔除7人，剩下的2 000人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率( )． A．不全相等 B．均不相等 C．都相等，且为 D．都相等，且为 2．已知x与y之间的一组数据： x0123y1357则y与x的线性回归方程＝＋x必过点( )． A．(2,2) B．(1.5,0) C．(1,2) D．(1.5,4) 3．向假设的三座相互毗邻的军火库投掷一颗炸弹，只要炸中其中任何一座，另外两座也要发生爆炸．已知炸中第一座军火库的概率为0.2，炸中第二座军火库的概率为0.3，炸中第三座军火库的概率为0.1，则军火库发生爆炸的概率是( )． A．0.006 B．0.4 C．0.5 D．0.6 4．在区间[－2,2]内任取两数a，b，使函数f(x)＝x2＋2bx＋a2有两相异零点的概率是( )． A． B． C． D． 5．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他10个小长方形面积和的，且样本容量为160，则中间一组的频数为( )． A．32 B．0.2 C．40 D．0.25 6．从标有1,2,3，…，7的7个小球中取出一球，记下它上面的数字，放回后再取出一球，记下它上面的数字，然后把两数相加得和，则取得的两球上的数字之和大于11或者能被4整除的概率是( )． A． B． C． D． 二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分) 7．某校有高一学生400人，高二学生302人，高三学生250人，现在按年级分层抽样，从所有学生中抽取一个容量为190人的样本，应该从高______学生中剔除______人，高一、高二、高三抽取的人数依次是________． 8．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是__________． 9．已知实数x∈[－1,1]，y∈[0,2]，则点P(x，y)落在区域内的概率为__________． 三、解答题(本大题共3小题，共46分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 10．(本小题满分15分)(2012·江西八校联考，理17)某公司举办一次募捐爱心演出，有1 000人参加，每人一张门票，每张100元．在演出过程中穿插抽奖活动，第一轮抽奖从这1 000张票根中随机抽取10张，其持有者获得价值1000元的奖品，并参加第二轮抽奖活动．第二轮抽奖由第一轮获奖者独立操作按钮，电脑随机产生两个数x，y(x，y∈{0,1,2,3})，满足|x－1|＋|y－2|≥3电脑显示“中奖”，且抽奖者获得9 000元奖金；否则电脑显示“谢谢”，则不中奖． (1)已知小明在第一轮抽奖中被抽中，求小明在第二轮抽奖中获奖的概率； (2)若小白参加了此次活动，求小白参加此次活动收益的期望． 11．(本小题满分15分)设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1. (1)求概率P(ξ＝0)； (2)求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)． 12．(本小题满分16分)某单位招聘面试，每次从试题库中随机调用一道试题．若调用的是A类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A类型试题和一道B类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束．试题库中现有n＋m道试题，其中有n道A类型试题和m道B类型试题．以X表示两次调题工作完成后，试题库中A类型试题的数量． (1)求X＝n＋2的概率； (2)设m＝n，求X的分布列和均值(数学期望)．一、选择题 1．C 2．D 3．D 解析：设A，B，C分别表示炸中第一、第二、第三座军火库这三个事件，则P(A)＝0.2，P(B)＝0.3，P(C)＝0.1.设D表示“军火库爆炸”，则D＝A∪B∪C.又∵A，B，C彼此互斥，∴P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.2＋0.3＋0.1＝0.6. 4．D 5．A 解析：设中间的长方形面积为x，则其他的10个小长方形的面积为4x，所以可得x＋4x＝1，得x＝0.2；又因为样本容量为160，所以中间一组的频数为160×0.2＝32，故选A. 6．A 二、填空题 7．二 2 80,60,50 解析：总体人数为400＋302＋250＝952(人)，∵＝5……2，＝80，＝60，＝50，∴从高二年级中剔除2人．从高一，高二，高三年级中分别抽取80人、60人、50人． 8． 解析：∵以1为首项，－3为公比的等比数列的10个数为1，－3,9，－27，…，其中有5个负数，1个正数一共6个数小于8，∴从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是＝. 9． 解析：如图所示，(x，y)在矩形ABCD内取值，不等式组所表示的区域为△AEF，由几何概型的概率公式，得所求概率为. 三、解答题 10．解：(1)从0,1,2,3四个数字中(可重复)任取2个数字，其基本事件有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共16个． 设“小明在第二轮抽奖中获奖”为事件A，且事件A所包含的基本事件有(0,0)，(2,0)，(3,0)，(3,1)，(3,3)，共5个． ∴P(A)＝. (2)设小白参加此次活动的收益为ξ，ξ的可能取值为－100,900，9 900. 则P(ξ＝－100)＝，P(ξ＝900)＝×＝，P(ξ＝9 900)＝×＝. ∴ξ的分布列为 ξ－1009009 900P∴E(ξ)＝－100×＋900×＋9 900×＝－. 11．解：(1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8对相交棱，因此P(ξ＝0)＝＝＝. (2)若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，故P(ξ＝)＝＝， 于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝)＝1－－＝， 所以随机变量ξ的分布列是 ξ01P(ξ)因此E(ξ)＝1×＋×＝. 12．解：以Ai表示第i次调题调用到A类型试题，i＝1,2. (1)P(X＝n＋2)＝P(A1A2)＝·＝. (2)X的可能取值为n，n＋1，n＋2. P(X＝n)＝P()＝·＝. P(X＝n＋1)＝P(A1)＋P(A2)＝·＋·＝， P(X＝n＋2)＝P(A1A2)＝·＝， 从而X的分布列是 Xnn＋1n＋2PE(X)＝n×＋(n＋1)×＋(n＋2)×＝n＋1.。
高考数学随机事件的概率专题复习训练(含答案)
高考数学随机事件的概率专题复习训练（含答案）概率是对随机事情发作的能够性的度量，下面是随机事情的概率专题温习训练，请考生练习。
一、选择题
1.以下说法中一定正确的选项是()
A.一名篮球运发动，号称百发百中，假定罚球三次，不会出现三投都不中的状况
B.一粒骰子掷一次失掉2点的概率是，那么掷6次一定会出现一次2点
C.假定买彩票中奖的概率为万分之一，那么买一万元的彩票一定会中奖一元
D.随机事情发作的概率与实验次数有关
[答案] D
[解析] A错误，会有三投都不中的状况发作;B错误，能够6次都不出现2点C错误，概率是预测值，而该随机事情不一定会出现.
2.以下说法正确的选项是()
A.任何事情的概率总是在(0,1)之间
B.频率是客观存在的，与实验次数有关
C.随着实验次数的添加，频率普通会越来越接近概率
D.概率是随机的，在实验前不能确定
[答案] C
[解析] 频率是n次实验中，事情A发作的次数m与实验总次数n的比值，随着实验次数的增多，频率会越来越接近概率.
3.给出以下四个命题：
集合{x||x|0}为空集是肯定事情;
y=f(x)是奇函数，那么f(0)=0是随机事情;
假定loga(x-1)0，那么x1是肯定事情;
对顶角不相等是不能够事情.
其中正确命题的个数是()
A.4
B.1
C.2
D.3
[答案] D
[解析] |x|0恒成立，正确;
奇函数y=f(x)只要在x=0有意义时才有f(0)=0，
正确;
由loga(x-1)0知，当a1时，x-11即x
随机事情的概率专题温习训练分享到这里，更多内容请关注高考数学试题栏目。
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随机事件的概率
一、选择题
1. 已知(0,0),(30,0),(30,30),(0,30),(12,0),(30,18),(18,30),(0,12)O A B C E F P Q ，在正
方形OABC 内任意取一点，该点在六边形OEFBPQ 内的概率为
A ．425
B ．2125
C ．725
D ．16
25
2. 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则5
5
是
A ．乙胜的概率
B ．乙不输的概率
C ．甲胜的概率
D ．甲不输的概率
3. 12个篮球队中有3个强队，将这12个队任意分成3个组（每组4个队），则3个强队恰
好被分在同一组的概率为（ ） A ．
1
55
B ．
355
C ．
14
D ．
13
4. 四位母亲带领自己的孩子参加电视台“我爱妈妈”综艺节目，其中有一环节，先把四
位孩子的眼睛蒙上，然后四位母亲分开站，而且站着不许动，不许出声，最后让蒙上眼睛 的小朋友找自己的妈妈，一个母亲的身边只许站一位小朋友，站对一对后亮起两盏灯，站错不亮灯，则恰亮两盏灯的概率是（ ） A.
83 B.31 C.41 D. 24
1
5. 某人射击一次击中的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为
A ．12581
B ．12554
C ．12536
D ．125
27
6. 甲、乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，若
甲每局比赛获胜的概率均为2
3
，则甲以3︰1获胜的概率为 （ ）
A.827 B ．3281 C ．6481 D ．49
7. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的概率
等于 A 、
1
6
B 、
1
3
C 、
2
3
D 、
56
8. 在所有的两位数中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是( )
A ．65
B ．54
C ．32
D ．2
1
9. 在1，2，3，4，5五个数字中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率
是 （ ）
A 、0．2
B 、0.25
C 、 0.3
D 、0.4
10. 从一副标准的52张扑克牌中任意抽一张，抽到黑色K 的概率为( )
A ．152
B ．113
C. 126
D ．14
11. 有5件产品．其中有3件一级品和2件二级品．从中任取两件，则以0.7为概率的是（ ）
A ．至多有1件一级品
B ．恰有l 件一级品
C ．至少有1件一级品
D ．都不是一级品
12. 有一部四卷文集，按任意顺序排放在书架的同一层上，则各卷自左到右或由右到左卷
号恰为1，2，3，4顺序的概率等于( ) A.
8
1 B.121 C.161 D. 241
二、填空题
13. 有20张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数,1k k +，其中
0,1,2,,19k = ．
从这20张卡片中任取一张，记事件“该卡片上两个数的各位数字之和（例如：若取到标有9,10的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为91010++=）不小于14”为A ，则()P A = ．
14. 甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5，则三人都达
标的概率是 ，三人中至少有一人达标的概率是 。
15. 若任意,x A ∈则1,A x ∈就称A 是“和谐”集合。
则在集合11
{1,0,,,1,2,3,4}32
M =- 的
所有非空子集中，“和谐”集合的概率是 .
16. 甲袋中有4只白球，2只黑球，乙袋中有6只白球，5只黑球，现从两袋中各取一球，
则两球颜色相同的概率是_____________.
三、解答题
17. 四个大小相同的小球分别标有数字1，1，2，2，把它们放在一个盒子中，从中任意摸出两
个小球，它们的标号分别为x 、y ，记随机变量x y ξ=+.
（1）求随机变量2ξ=时的概率；
（2）求随机变量ξ的概率分布列及数学期望。
18. 在20件产品中含有正品和次品各若干件，从中任取2件产品都是次品的概率是
19
1. （1）求这20件产品中正品的个数；（2）求从中任取3件产品，至少有1件次品的概率。
19. 口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一
种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．
⑴、甲、乙按以上规则各摸一个球，求事件“甲赢且编号的和为6”发生的概率； ⑵、这种游戏规则公平吗?试说明理由．
20. 某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则
即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为54、53、52、51
，
且各轮问题能否正确回答互不影响.
（Ⅰ）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率;
（Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率.（注：本小题结果可用分数表示）
答案
一、选择题 1. D 2. B 3. B
解析：因为将12个组分成4个组的分法有4441284
33C C C A 种，而3个强队恰好被分在同一组分法
有3144
39842
2C C C C A ，故个强队恰好被分在同一组的概率为31442444399842128433C C C C A C C C A =55
4. B
5. A
6. A
7. D
8. C
9. C 10. C 11. A 12. B
二、填空题
13. 解析：对于大于14的点数的情况通过列举可得有5种情况，即
7,8;8,9;16,17;17,18;18,19，而基本事件有20种，因此()P A =1
4
14. 0.24 0.76
解析：三人均达标为0.8×0.6×0.5=0.24,三人中至少有一人达标为1-0.24=0.76
15. 1\17 16. 17/33. 三、解答题
17. 解析：（1）2ξ=说明摸出的两个小球都是号的，这种摸法只有一种；……………1分
而从四个小球中摸出两个小球，共有2
46C =种摸法。
……………………3分
()2411
26
P C ξ∴==
= ……………………………………………………5分 （注：没有写出文字说明而答案正确的，只扣1分，给4分；） （2）随机变量ξ的所有取值为2、3、4. 由（1）知()1
26
P ξ==
；………………6分 由题意知()11
222
363
C C P ξ⋅===；()146P ξ==.………………………………10分
（注：()3P ξ=和()4P ξ=每求得一个各得2分）
ξ的分布列是：
11分
ξ的数学期望121
2343636
E ξ=⨯+⨯+⨯=.………………12分
18. 解析：（1）设这20件产品中存有n 件次品，由题意得191
1920)1(220
2=
⨯-=n n C C n 所以)4(5,20)1(-===-n n n n 舍去解得
所以，这20件产品中正品的个数为15。
………………6分
（2）设从这20件产品中任取3件均是正品的事件为A ，则至少有1件次品的事件为
228
91
)(320315=
=C C A P A 由………………9分 得.228
137
)()(=
-A P A P 所以，从中任取3件产品，至少有1件次品的概率是228
137
………………12分
19. 解析：⑴.设“甲胜且两数字之和为6”为事件A ，事件A 包含的基本事件为（1，5）,（2，
4）（3，3）,（4，2）,（5，1），共5个．
又甲、乙二人取出的数字共有5×5＝25（个）等可能的结果，
所以51()255
P A ==．
答：编号的和为6的概率为1
5
．
⑵.这种游戏规则不公平． 设“甲胜”为事件B ，“乙胜”为事件C ，
则甲胜即两数字之和为偶数所包含的基本事件数为13个： （1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2） ，（4，4），（5，1） ，（5，3），（5，5）．
所以甲胜的概率P （B ）＝1325，从而乙胜的概率P （C ）＝1－13
25
＝1225．
由于P （B ）≠P （C ），所以这种游戏规则不公平．
20. 解析：（Ⅰ）记 “该选手能正确回答第轮的问题”的事件为(1234)i A i =，，，，则
14()5P A =，23()5P A =，32()5P A =，41
()5P A =
，∴该选手进入第四轮才被淘汰的
概率
412341234432496
()()()()()5555625P P A A A A P A P A P A P P ===⨯⨯⨯=
． （Ⅱ）该选手至多进入第三轮考核的概率
3112123()P P A A A A A A =++112123()()()()()()P A P A P A P A P A P A =++
142433101555555125=+⨯+⨯⨯=
．。